专题——三角形中的常用辅助线
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专题——三角形中的常用辅助线
专题——三角形中的常用辅助线
SASASAAASSSSHL
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
1ΔABCBAC=90°BDABCACDCEBDBDEBD=2CE
2BD=2CEBDABC
AB=EBAB=ACΔABC是等腰三角形。
解题后的思考：题目中如果出现了三角形的中线，常加倍延长此线段，再将端点连结，便可得到全等三角形。
3）遇到角平分线，可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线，利用的思维模式是三角形全等变换中的“对折”，所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理。
3：ACBADCD=CBAB&ADB+ADC=180
2ACBADCBAD
CEABECFADF
RtCBERtCDF
CE=CFCB=CD
RtCBERtCDF
CDF+ADC=180
4ΔABCAB=ACEABFACEFBCDEB=CF
EEG//ACBCG
AB=ACB=ACB
B=EGBEGD=DCF
EDB=CDFΔDGEΔDCF
解题后的思考：此题的辅助线还可以有以下几种作法：
5ABCBAC=60C=40APBACBCPBQABCACQAB+BP=BQ+AQ
2AB+BP=BQ+AQOBCADOAQOOD=OQAD=AQBD=OD
ADO=ABC=1806040=80
AQO=C+QBC=80
&&& ADO=AQO
&&& DAO=QAOOA=AO
&&& ADOAQO
&&& OD=OQAD=AQ
&&& PBO=DOB
&&& PBO=DBO
&&& DBO=DOB
BPA=C+PAC=70
&&& BOP=OBA+BAO=70
&&& AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
1ABAD=AQOD
2OODBCACDADOABO5PPDBQACDABPADP
6ADBCEABADE=CDEDCE=ECB
2CD=AD+BCCDCF=CBDF=DA
ADC+BCD=180
DCE+CDE=90
2+3=901+4=90
11ABCDBCABAD=DCBDABC
BAD+BCD=180
21=2PBNPDBCDAB+BC=2BD
BAP+BCP=180
3△ABC∠C2∠B∠1∠2AB=AC+CD
DDEBAEDFBCF1-2
RtADERtCDF(HL)
BAD+DAE=180
BAD+DCF=180
BAD+BCD=180
21180BCP=EAP
RtAPERtCPD(SAS)
BAP+PAE=180
BAP+BCP=180
3从结论分析，“截长”或“补短”都可实现问题的转化，即延长ACECE=CDABAF=AC
ACEDC=CE∠CDE∠CED3-2
DF=DC∠AFD∠ACD
AB=AF+FB=AC+FD
AMNAM+AN&MD+DE+NE&&&&
BDMMB+MD&BD&&&&&&&&&&&
CENCN+NE&CE&&&&&&&&&&&
AM+AN+MB+MD+CN+NE&MD+DE+NE+BD+CE
AB+AC&BD+DE+EC
BDACFCEBFGABFGFCGDE
AB+AF&BD+DG+GF&&&&&&&&
GF+FC&GE+CE&&&&&&&&&&&
DG+GE&DE&&&&&&&&&&&&&&&
AB+AF+GF+FC+DG+GE&BD+DG+GF+GE+CE+DE
AB+AC&BD+DE+EC
5AB+AC&2ADAB+BD&ADAC+CD&ADAB+AC+BD+CD&AD+AD=2ADBD+CD2AD2AD
ABEAB+BE&AE
6AC=BFACBFACBFACBF
ADCACACBFBFH
ADHDH=ADBHADCHDBAC=BH
H=BFHBF=BH
∴ ADCHDB(SAS)
AC=BH H=HAC
BBHACADHADCHDB
FDHDH=FDHCCDHBDF
BFDCHD(SAS)
CCHBFADHCDHBDF
【本讲教育信息】
1. ADABCEACBEADFBFACFDCDBEAC
BEC1809090
2. ABADAEAC12DEBC
BCBCABEDCEBCABDDCAADSSS
2007BODO180°AOCOACBDMNMNOMON
&RtABCA90BACDCBDBDEBD2CE
馆藏&51405
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喜欢该文的人也喜欢初中几何难？4个口诀学会添加辅助线！
经常有孩子家长向我们公益课的老师反映孩子说几何很难，尤其是 孩子处在初中时期，孩子一不小心就掉队！
我们老师找了几个学生做了一些调查，发现大多数孩子的在几何方面存在的问题主要就是辅助线问题！
那么，辅助线到底如何添？首先需要把握定理和概念。还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。下面是我曾在网络公开课上和学生分享的4个应对常见几何题型添加辅助线的口诀：
第一个：注意点
辅助线，是虚线，画图注意勿改变。假如图形较分散，对称旋转去实验。
基本作图很关键，平时掌握要熟练。解题还要多心眼，经常总结方法显。
切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。分析综合方法选，困难再多也会减。
虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。
第二个：三角形
图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。线段和差及倍半，延长缩短可试验。
线段和差不等式，移到同一三角去。三角形中两中点，连接则成中位线。
三角形中有中线，延长中线等中线。
第三个：四边形
平行四边形出现，对称中心等分点。梯形问题巧转换，变为△和 □ 。
平移腰，移对角，两腰延长作出高。如果出现腰中点，细心连上中位线。
上述方法不奏效，过腰中点全等造。证相似，比线段，添线平行成习惯。
等积式子比例换，寻找线段很关键。直接证明有困难，等量代换少麻烦。
斜边上面作高线，比例中项一大片。
第四个：圆形
半径与弦长计算，弦心距来中间站。圆上若有一切线，切点圆心半径连。
切线长度的计算，勾股定理最方便。要想证明是切线，半径垂线仔细辨。
是直径，成半圆，想成直角径连弦。弧有中点圆心连，垂径定理要记全。
圆周角边两条弦，直径和弦端点连。弦切角边切线弦，同弧对角等找完。
要想作个外接圆，各边作出中垂线。还要作个内接圆，内角平分线梦圆
如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。内外相切的两圆，经过切点公切线。
若是添上连心线，切点肯定在上面。要作等角添个圆，证明题目少困难。
我相信很多学生记住这4个口诀，一定能走出初中几何的困境！
当然，我还有提升学习成绩的方法想要跟大家分享，由于内容过多，这里就不多说了。大家可以参加我的免费网络公开课了解更多。如果你还为其它教育和学习方面的问题烦恼，也可以直接发微信与我交流。
请加微信：jiyifa23（长按复制）我致力于记忆力提升、中小学学习方法的研究，希望能在教育问题上对家长有所帮助。
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下面是一篇学生的习作《三个和尚新传》，阅读后按要求回答问题。俗话说，一个和尚有水喝，两个和尚抬水喝，三个和尚没水喝。可生活中，我却真真切切地感受到了你、我、他融合在一起的力量。“唉，这题好难啊！”我咬着笔杆苦叹道。面对这道数学压轴题，我已经苦思冥想了半个钟头了。这时同桌凑上前来，打趣道：“遇到拦路虎了吧，让我瞧瞧。”“看来这道题是不简单。”同桌的眉头也皱了起来。周围的同学顿时来了兴趣，“什么题啊，让我也看看。”一下子，我的课桌旁已挤满了一圈小脑袋，大家你一言我一语地讨论起来，就连平时一直暗地里较劲儿的两位耿仔也热烈地切磋了起来。“我知道了，你们看，这里一连，再作一条辅助线，可以用勾股定理来证明。”小姜兴奋地叫了起来，大家连忙拿起笔，刷刷刷，茅塞顿开，果然行得通，都伸出大拇指连连称赞，他反倒不好意思了，下意识地挠着后脑勺，“都是大家共同努力的结果，我只不过在你们的基础上又加了一步，呵呵。”教室里传来一片笑声，在这笑声中，我感受到了合作的力量。周末，我跟妈妈一起去菜场买菜。在前面的拐角处，一个骑自行车的小伙子眼看就要撞到一位老大妈了，“哧——”的一声，小伙子连忙刹车，可还是将老大妈刮倒了，土豆、鱼、青菜洒了一地，立刻，人们都围了上去，我也连忙跑过去，只见小伙子把车一扔，忙蹲下身去，“大妈，对不起！您老摔伤了吗？我送您去医院？”说着忙把老大妈搀起来。 “小伙子，没关系，以后慢点儿，骑车注意点儿。”大妈摆摆手，转身去拾菜，有人递过菜篮子，里面的东西一点也没少，“谢谢啊，谢谢！”小伙子向大家连声鞠躬道谢，那憨厚的样子，引得众人都笑起来。“听说高二（7）班的王娟同学得了白血病，需要很大一笔医药费呢？”班长在班会上向大家提起话题，“她学习很好，但家境困难，大家帮帮她吧。”说着不由分说从口袋中掏出零用钱，投进捐款箱里。“我也捐，我也捐！”不一会儿捐款箱里就塞满了零钱，我也不能袖手旁观，掏出准备买书的二十元钱，投进捐款箱里，“谢谢！”我们又走出教室，在校园里设立了一个宣传栏，向全校同学发出倡议，很快得到师生的热烈响应，看到眼前人头攒动的情形，我又感受到了那种集体的力量。（1）请你谈谈这篇文章的亮点，至少两点。（4分）（2）文章有些毛病，请写出你的修改意见。（2分）&
本题难度：一般
题型：解答题&|&来源：2010-湖北省孝感市中考语文模拟试卷（人教新课标版）
分析与解答
习题“下面是一篇学生的习作《三个和尚新传》，阅读后按要求回答问题。俗话说，一个和尚有水喝，两个和尚抬水喝，三个和尚没水喝。可生活中，我却真真切切地感受到了你、我、他融合在一起的力量。“唉，这题好难啊！”我咬着笔杆苦叹...”的分析与解答如下所示：
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添加辅助线的方法
（一）从图形考虑
1，在三角形中，已知一条中线，常把延长一倍构成全等三角形或平行四边形，或把一边延长一倍造中位线，或取另一边的中点作成中位线。
2，在三角形中，若已知两条或三条中线时，则常连结两个中点作成中位线或延长某一中线到它的三分之一处，使之与重心、两个顶点构成平行四边形。
3，在等腰三角形中。常引底边上的高或顶角的平分线；在直角三角形中，则常引斜边上的中线或高。
4，在梯形中，常过顶点作高或与腰平行的线段；若已知各边中点，则作中位线。
5，在圆中，常作直径所对的圆周角，垂直于弦的半径（或直径）。过切点的半径；若两圆相切，则常作它的公切线和连心线；此外，还可根据共圆条件作一些辅助圆。
（二）从要证的结论考虑
1，要证线段的和、差、倍、分或比较大小时，常用延长或截取方法进行等量代换。
2，要证线段、角相等时，常找全等形进行等量代换。
3，要证四条线段成比例时，常作平行线找相似形。
4，要证面积相等时，常平移变换找等积形。
（三）从添辅助线的作用考虑
1，作平行线有利于造成线段、角相等，有利于造成相似形、平行四边形、全等形、等积形。
2，作垂线有利于造成平行线、直角三角形。
3，作圆有关线段和角，有利于用圆的有关性质和有关定理。
如何添加辅助线，归纳的方法是很多的，还可用如下的口诀加以记忆；
辅助线如何添，找出规律凭经验。
题中有角平分线，可向两边作垂线。
线段垂直平分线，可与两端把线连。
三角形中两中点，连结则成中位线。
三角形中有中线，则把中线一倍延。
成比例，证相似，通常要作平行线。
作线原则有一条，证题线段别割断
圆外若有一切线，切点圆心把线连。
如果两圆内外切，经过切点作切线。
两圆相交于两点，一般要作公共弦。
是直径、成半圆，想作直角把线连。
作等角，添个圆，证明题目少困难。
辅助线是虚线，画图注意莫改变。
辅助线的添法灵活多变，归纳只是一种形式，要灵活掌握，灵活运用。这里只是介绍了常规的一些辅助线的作法，具体问题要具体分析，要多在实际问题中去操练，才能形成自己的能力。
梯形作为特殊的四边形，在求解时常常需要转化为三角形或平行四边形等来解决。于是，梯形添加辅助线的方法就成为同学们学习时的一个难点。为此，笔者根据教学中的经验，归纳总结了一个梯形添加辅助线方法的口诀，这里介绍给大家并举例说明之。
梯形问题中，转化很重要，
平移对角线，平移梯形腰，
作出梯形高，延长两腰来相交，
中位线要想到，一腰中点等积变。
例1.如图1，已知在梯形ABCD中，AD//BC，AC＝BD，求证：AB＝CD
证明：过点D作DE//AC，交BC的延长线于点E。因为DE//AC，所以。又因为AD//BC，所以四边形ACED为平行四边形，所以AC＝DE，又因为AC＝BD，所以BD＝DE，所以，所以
所以AB＝DC
例2.如图2，已知梯形ABCD中，AD//BC，AB＝DC，求证：
证明：过点D作DE//AB，交BC于一点E，因为AB//DE，所以。又因为AD//BC，所以四边形ABED为平行四边形，所以AB＝DE，又因为AB＝DC，所以DE＝DC，所以，所以
例3.如图3，在梯形ABCD中，，，AD//BC，AD＝3，DC＝6，求梯形的面积S。
解：过点A、D分别作，，垂足分别为E、F
在中，因为，所以
在中，因为，所以AE＝BE，因为AD//BC，，，所以四边形AEFD为矩形，所以，所以，所以
例4.已知，如图4，在梯形ABCD中，AD//BC，AB＝CD，求证：梯形ABCD为轴对称图形。
证明：延长BA、CD交于点E，过点E作，交BC于G，交AD于F，因为，所以。又因为AD//BC，所以，因为，所以，即EG垂直平分AD、BC。又因为，，所以梯形ABCD关于EG对称，所以梯形ABCD为轴对称图形。
例5.如图5，已知梯形ABCD中，AD//BC，E为AB的中点，且，求证：
证明：取CD中点M，连结EM，因为EM为梯形ABCD的中位线
又因为，所以
所以为，所以
例6.如图6，已知在梯形ABCD中，AD//BC，M、N为腰AB、DC的中点，求证：（1）MN//BC；（2）
证明：连结AN并延长，交BC的延长线于点E，因为，
所以MN是的中位线，所以MN//BC，
平面几何是初中教学的重要组成部分，它的基础知识在生产实践和科学研究中有着广泛的应用，又是继续学习数学和其他学科的基础，但许多初中生对几何证实题感到困难，尤其是对需要添加辅助线的证实题，往往束手无策。
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