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超难数分题目：证明函数f（x)=∑(sinnx/n^3) (∑上面是∞下面是n=1)在（-∞,+∞）上有连续的导函数
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扫描下载二维码& 不等式的证明知识点 & “已知函数f（x）=1-x/ax+lnx（...”习题详情
156位同学学习过此题，做题成功率63.4%
已知函数f（x）=1-xax+lnx（a≠0）（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若f（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，求a的取值范围；（3）求证：ln2＜1n+1+1n+2+1n+3+…+13n＜ln3（n∈N*）
本题难度：一般
题型：解答题&|&来源：网络
分析与解答
习题“已知函数f（x）=1-x/ax+lnx（a≠0）（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若f（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，求a的取值范围；（3）求证：ln2＜1/n+1+1/n+2+1/n+3+…+1/3n＜...”的分析与解答如下所示：
（1）直接利用导数的运算法则即可求出f′（x），对a进行讨论，即可求得函数的单调区间；（2）根据（1）函数的单调性，对a进行讨论，转化为求函数的最小值，对函数的最小值进行求导，即可求得a的取值范围；（3）根据（2）的结果，a=′1时，f（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，分别令x=kk+1，x=k+1k，即可证得结果．
解：（1）因为函数 f(x)=1-xax+lnx，其定义域为（0，+∞）所以f′（x）=[1-xax]′+（lnx）′=a&x-1ax2即&f′(x)=ax-1ax2当a＜0时，增区间为﹙0，+∞﹚；当a＞0时，减区间为﹙0，1a），增区间为（1a，+∞）（2）1°当a＜0时，函数增区间为﹙0，+∞﹚，此时不满足f（x）≥0在（0，+∞）上恒成立；2°当a＞0时，函数减区间为﹙0，1a），增区间为（1a，+∞），要使f（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，只需f（1a）≥0即可，即1-1a-lna≥0，令g（a）=1-1a-lna& （a＞0）则g′（a）=1a2-1a=1-aa2=0，解得a=1，因此g（a）在（0，1）单调递增，在（1，+∞）上单调递减，所以当a=1时，g（a）取最大值0，故f（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，当且仅当a=1时成立，即a=1；（3）由（2）知，令x=k+1k时，f(k+1k)&&=-1k+1+ln(k+1)-lnk＞0（k∈N*）∴1k+1＜ln(k+1)-lnk（k∈N*）∴1n+1+1n+2+1n+3+…+13n＜ln3令x=kk+1，则f(kk+1)&&=1k-ln(k+1)+lnk＞0（k∈N*）∴1k＞ln(k+1)-lnk（k∈N*）∴ln2＜1n+1+1n+2+1n+3+…+13n综上ln2＜1n+1+1n+2+1n+3+…+13n＜ln3成立．
本题考查函数性质和导数的综合应用，本题解题的关键是利用导数方法求函数的最值，利用函数思想时也要用导数来求最值，考查灵活应用知识分析解决问题的能力和运算能力，属难题．
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已知函数f（x）=1-x/ax+lnx（a≠0）（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若f（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，求a的取值范围；（3）求证：ln2＜1/n+1+1/n+2+1/n+3+…+...
错误类型：
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经过分析，习题“已知函数f（x）=1-x/ax+lnx（a≠0）（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若f（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，求a的取值范围；（3）求证：ln2＜1/n+1+1/n+2+1/n+3+…+1/3n＜...”主要考察你对“不等式的证明”
等考点的理解。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
不等式的证明
不等式的证明已知a＞0，b＞0，a+b=1，求证：a+12+b+12≤2证明：因为1=a+b≥2ab，所以ab≤14．所以12 （a+b）+ab+14≤1 所以（a+12）（b+12）≤1 从而有2+2（a+12）（b+12）≤4 即：（a+12 ）+（b+12 ）+2（a+12）（b+12）≤4 即：（a+12+b+12 ）2≤4 所以原式成立．
与“已知函数f（x）=1-x/ax+lnx（a≠0）（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若f（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，求a的取值范围；（3）求证：ln2＜1/n+1+1/n+2+1/n+3+…+1/3n＜...”相似的题目：
数列{an}的各项均为正数，Sn为其前n项和，对于任意n∈N*，总有an，Sn，an2成等差数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设数列{bn}的前n项和为Tn，且，求证：对任意实数x∈（1，e]（e是常数，e=2.71828…）和任意正整数n，总有Tn＜2；（3）正数数列{cn}中，an+1=（cn）n+1（n∈N*），求数列{cn}中的最大项．&&&&
已知函数f（x）=ex-kx，（1）若k=e，试确定函数f（x）的单调区间；（2）若k＞0，且对于任意x∈R，f（|x|）＞0恒成立，试确定实数k的取值范围；（3）设函数F（x）=f（x）+f（-x），求证：F（1）F（2）…F（n）＞（n∈N+）．&&&&
若a＞0，b＞0，a3+b3=2，求证：a+b≤2，ab≤1．&&&&
“已知函数f（x）=1-x/ax+lnx（...”的最新评论
该知识点好题
1已知函数f(x)=lnx+ax+1(a∈R)．（1）当a=92时，如果函数g（x）=f（x）-k仅有一个零点，求实数k的取值范围；（2）当a=2时，试比较f（x）与1的大小；（3）求证：ln(n+1)＞13+15+17+…+12n+1（n∈N*）．
2已知函数f（x）=1-xax+lnx（a≠0）（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若f（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，求a的取值范围；（3）求证：ln2＜1n+1+1n+2+1n+3+…+13n＜ln3（n∈N*）
3求证下列不等式（1）求证：√6+√7＞2√2+√5（2）设a＞0，b＞0，a+b=1求证：1a+1b+1ab≥8．
该知识点易错题
1已知函数f(x)=lnx+ax+1(a∈R)．（1）当a=92时，如果函数g（x）=f（x）-k仅有一个零点，求实数k的取值范围；（2）当a=2时，试比较f（x）与1的大小；（3）求证：ln(n+1)＞13+15+17+…+12n+1（n∈N*）．
2已知函数f（x）=1-xax+lnx（a≠0）（1）求函数f（x）的单调区间；（2）若f（x）≥0在（0，+∞）上恒成立，求a的取值范围；（3）求证：ln2＜1n+1+1n+2+1n+3+…+13n＜ln3（n∈N*）
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试证明柯西积分判别法
设f（x)在x≥1上非负、连续且单调减，则级数∑n=1＋∞f（n)与广义积分∫1＋∞f（x)dx同敛散．
悬赏：0&答案豆
提问人：匿名网友
发布时间：
试证明柯西积分判别法&&设f(x)在x≥1上非负、连续且单调减，则级数∑n=1+∞f(n)与广义积分∫1+∞f(x)dx同敛散．
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1判定下列级数的敛散性请帮忙给出正确答案和分析，谢谢！2判定下列级数的敛散性请帮忙给出正确答案和分析，谢谢！3判定下列级数的敛散性请帮忙给出正确答案和分析，谢谢！4判定下列级数的敛散性请帮忙给出正确答案和分析，谢谢！
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函数y=f（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），且f（x）在（0，+∞）上是减函数，对任意非零实数m、n，都有f（mon）=f（m）+f（n）．（1）求证：f（1）=f（-1）=0；（2）若f（2）=1，解不等式f（x+3）+f（x-1）≤2．
xiaotu0004B
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（1）令m=n=1∵f（mon）=f（m）+f（n）．∴f（1）=2f（1）∴f（1）=0（2分）令m=-1，n=-1f（1）=f（-1）+f（-1）=0∴2f（-1）=0，f（-1）=0；（2分）∴f（1）=f（-1）=0；（2）∵f（x）在其定义域（0，+∞）上为减函数，f（2）=1，∴f（4）=2，&又∵f（mon）=f（m）+f（n）．∴不等式f（x+3）+f（x-1）≤2即 f[（x+3）（x-1）]≤f（4），因为f（-x）=f（-1）+f（x）=f（x），所以f（x）是偶函数，在（-∞，0）上是增函数∵（x+3）（x-1）=（x+1）2-4≥-4，∴当（x+3）（x-1）为负数时，有f[（x+3）（x-1）]≥f（-4）=2，不成立∴原不等式化为（x+3）（x-1）≥4，解之得x≤-1-2或x≥-1+2，因此，不等式的解集是 {x|x≤-1-2或x≥-1+2}．
为您推荐：
（1）根据抽象函数“凑”的原则，结f（mon）=f（m）+f（n）．分别令m=n=1，m=n=-1即可得到答案；（2）先利用条件求出f（4）=2，不等式转化为 f[（x+3）（x-1）]≤f（4），再利用函数的奇偶性和单调性来解，即可得到不等式的解集．
本题考点：
抽象函数及其应用．
考点点评：
本题考查的知识点是函数单调性的判断与证明及抽象函数值，抽象函数及其应用，利用题中的两个条件把不等式进行转化，再利用定义域及单调性来解．
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已知函数 f(x)=
（1）若a∈N * ，且函数f（x）在区间（2，+∞）上是减函数，求a的值；（2）若a∈R，且关于x的方程f（x）=-x有且只有一根落在区间（-2，-1）内，求a的取值范围；（3）在（1）的条件下，若对于区间[3，4]上的每一个x的值，不等式f（x）＞m-x -3 恒成立，求实数m的取值范围．
夏末秋凉丶侨
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（1） f(x)=
，由于函数在（2，+∞）上递减，所以2-a＞0，即a＜2，又a∈N * ，所以a=1；a=1时， f(x)=1+
---------------（4分）（2）令F（x）=f（x）+x=
， F(-2)=-1+
当 F(-2)oF(-1)=
＜0 时，即（a-2）（a-6）＜0，∴2＜a＜6时关于x的方程f（x）=-x有且只有一根落在区间（-2，-1）内．（若用根与系数的关系求解，参照给分）&&&&（9分）（3）由（1）a=1时， f(x)=1+
，不等式f（x）＞m-x -3 ，即F（x）= 1+
+x -3 ＞m对3≤x≤4恒成立，容易证明F（x）= 1+
+x -3 在区间[3，4]上是减函数，x=4时F（x）取最小值
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