& 相似三角形的判定与性质知识点 & “如图，∠C=90&，点A、B在∠...”习题详情
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如图，∠C=90&，点A、B在∠C的两边上，CA=30，CB=20，连接AB．点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿BC方向运动，到点C停止．当点P与B、C两点不重合时，作PD丄BC交AB于D，作DE丄AC于E，F为射线CB上一点，且∠CEF=∠ABC．设点P的运动时间为x（秒）．（1）用含有x的代数式表示CE的长．（2）求点F与点B重合时x的值．（3）当点F在线段CB上时，设四边形DECP与四边形DEFB重叠部分图形的面积为y（平方单位）．求y与x之间的函数关系式．（4）当x为某个值时，沿PD将以D、E、F、B为顶点的四边形剪开，得到两个图形，用这两个图形拼成不重叠且无缝隙的图形恰好是三角形．请直接写出所有符合上述条件的x值．&
本题难度：一般
题型：解答题&|&来源：2011-吉林省长春市中考数学试卷
分析与解答
习题“如图，∠C=90&，点A、B在∠C的两边上，CA=30，CB=20，连接AB．点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿BC方向运动，到点C停止．当点P与B、C两点不重合时，作PD丄BC交AB于D，作D...”的分析与解答如下所示：
（1）∵PD⊥BC，DE⊥AC，且∠C=90&，∴四边形DECP为矩形，∴DE=PC，DP=EC，又∵∠CEF=∠ABC，∴△ABC∽△DBP∽△FEC，∴，∵CA=30，CB=20，BP=4x，∴，∴FC=9x，DP=EC=6x．（2）当点F与点B重合时，FC=BC，∴FC=BC，∴9x=20，解得：x=，（3）当点F与点P重合时，4x+9x=20，解得x=，∵FP=BC-FC-PB=20-9x-4x=20-13x，∵DE=PC=BC-PB=20-4x，∴S=（DE+FP）oDPo0.5=（20-4x+20-13x）o6x&0.5=3x（40-17x）=120x-51x2；当＜x≤时，矩形DECP中DP∥EC，∴∠DOE=∠FEC，∴Rt△DOE∽Rt△CEF，∴，∴，∴DO=（20-4x），∴S=DOoDE=&（20-4x）（20-4x）=（5-x）2；（4）①如图③，当PD=PF时，6x=20-13x，解得：x=；△B′DE为拼成的三角形；②如图④当点F与点P重合时，4x+9x=20，解得：x=；△BDC为拼成的三角形；③如图⑤，当DE=PB，20-4x=4x，解得：x=，△DPF为拼成的三角形．
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如图，∠C=90&，点A、B在∠C的两边上，CA=30，CB=20，连接AB．点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿BC方向运动，到点C停止．当点P与B、C两点不重合时，作PD丄BC交AB...
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等考点的理解。
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相似三角形的判定与性质
（1）相似三角形相似多边形的特殊情形，它沿袭相似多边形的定义，从对应边的比相等和对应角相等两方面下定义；反过来，两个三角形相似也有对应角相等，对应边的比相等．（2）三角形相似的判定一直是中考考查的热点之一，在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形；或依据基本图形对图形进行分解、组合；或作辅助线构造相似三角形，判定三角形相似的方法有事可单独使用，有时需要综合运用，无论是单独使用还是综合运用，都要具备应有的条件方可．
与“如图，∠C=90&，点A、B在∠C的两边上，CA=30，CB=20，连接AB．点P从点B出发，以每秒4个单位长度的速度沿BC方向运动，到点C停止．当点P与B、C两点不重合时，作PD丄BC交AB于D，作D...”相似的题目：
[2014o重庆o中考]如图，△ABC∽△DEF，相似比为1：2．若BC=1，则EF的长是（　　）1234
[2014o宁波o中考]如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠ACD=90°，AB=2，DC=3，则△ABC与△DCA的面积比为（　　）2：32：54：9√2：√3
[2014o随州o中考]如图，在△ABC中，两条中线BE、CD相交于点O，则S△DOE：S△COB=（　　）1：42：31：31：2
“如图，∠C=90&，点A、B在∠...”的最新评论
该知识点好题
1（2010o嘉兴）如图，已知C是线段AB上的任意一点（端点除外），分别以AC、BC为斜边并且在AB的同一侧作等腰直角△ACD和△BCE，连接AE交CD于点M，连接BD交CE于点N，给出以下三个结论：①MN∥AB；②1MN=1AC+1BC；③MN≤14AB，其中正确结论的个数是（　　）
2如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=6，E、F是BC的三等分点，过点C、E、F分别作AB的垂线，垂足分别为D、G、H，连接AE、AF，分别交CD、EG于M、N，记△CME的面积为S1，△ENF的面积为S2，△FHB的面积为S3，则1S1+1S2+1S3的值是&&&&．
3如图，小明同学在夜晚由路灯AB走向路灯CD，当他走到点E时，发现身后他头顶部F的影子刚好接触到路灯AB的底部A处，当他向前再步行18m到达G点时，发现身前他头顶部H的影子刚好接触到路灯CD的底部C处，已知小明同学的身高是1.6m，两个路灯的高度相等，两个路灯之间的距离AC=30m．则路灯的高度是&&&&&m．
该知识点易错题
1（2010o衡阳）如图，在?ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG=4√2，则△CEF的周长为（　　）
2如果一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形边长分别是3和4及x，那么x的值（　　）
3（2014o沙坪坝区一模）如图，已知函数y=43x与反比例函数y=kx（x＞0）的图象交于点A．将y=43x的图象向下平移6个单位后与双曲线y=kx交于点B，与x轴交于点C．若OACB=2，则k的值是&&&&．
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绪论一、研究对象理论力学――研究物体机械运动一般规律的科学。机械运动――物体在空间的位置随时间的改变，是人们生活、生产中最常见的一种运动，是物质各种运动形式中最简单的一种。本课程研究速度远小于光速的宏观物体的机械运动，以枷利略和牛顿总结的基本定律(牛顿三定律)为基础，属古典力学的范畴，理论力学研究的是这种运动中最一般、最普遍的规律，是各门力学分支的基础。二、研究内容1、静力学――研究物体在力系作用下平衡的规律。2、运动学――从几何角度研究物体的运动。（如轨迹、速度、加速度等，不涉及作用于物体上的力）3、动力学――研究受力物体的运动与作用力之间的关系。三、研究方法1、通过观察和实验，分析、归纳总结出力学最基本的规律。2、经过抽象化建立力学模型，形成概念。3、经过逻辑推理和数学演绎，建立理论体系。4、将理论用于实践，又在实践中验证和发展理论。四、学习目的1、为解决工程问题打下一定基础。工程专业一般都要接触机械运动问题。2、为后续课程打下基础。（例：材料力学、机械原理、机械设计等）3、理论力学的研究方法有助于培养正确的分析、解决问题的能力。静力学静力学――研究物体在力系作用下平衡条件的科学。静力学研究的物体只限于刚体，又称刚体静力学。刚体――物体在力的作用下，其内部任意两点之间的距离始终保持不变。它是一个理想化的力学模型。实际物体在力的作用下，都会产生程度不同的变形。但是，这些微小的变形，对研究物体的平衡问题不起主要作用，可以略去不计，这样可使问题的研究大为简化。力――物体间相互的机械作用，这种作用使物体的机械运动状态发生改变。实践表明，力对物体的作用效果决定于三个要素。力的三要素：1、力的大小，2、力的方向，3、力的作用点。可用一个矢量表示力的三要素：矢量的模――力的大小矢量的方向――力的方向F矢量的始端（或终端）――力的作用点常用黑体字母F表示力的矢量，普通字母F表示力的F0大小。力的单位：N，kNA力系――作用于物体上的一群力。平衡――物体相对于惯性参考系（如地面）保持静止或作匀速直线运动。如：桥梁、房屋、机床床身、匀速直线飞行的飞机等。静力学的研究内容：1、物体的受力分析。分析某个物体共受几个力，以及每个力的作用位置和方向。2、力系的简化。用一个简单力系等效替换一个复杂力系。3、建立各种力系的平衡条件，求解平衡问题。第一章静力学公理和物体的受力分析教学要求：1、掌握静力学公理及其推理。2、熟悉常见几种约束的性质，掌握约束力的方向。3、对简单物体系统能熟练地取分离体，画出受力图。§1-1静力学公理公理――是人们在生活和生产实践中长期积累的经验总结，又经实践反复检验，被确认是符合客观实际的最普遍、最一般的规律。公理1――力的平行四边形法则AFF2OF2ROF21作用在物体上同一点的两个力，可以合成为一个合力。合力的作用点也在该点，合力的大小和方向，由这两个力为边构成的平行四边形的对角线确定。合力矢等于这两个分力矢的矢量和。即FR=F1+F2合力也可用力的三角形确定，两分力首尾相接，合力沿反方向构成封闭边。这个公理表明了最简单力系的简化规律，它是复杂力系简化的基础。公理2――二力平衡条件作用在刚体上的两个力，使刚体保持平衡的必要和充分条件是这两个力的大小相等，方向相反，且在同一直线上。即：F1=-F2这个公理表明了作用于刚体上的最简单的力系平衡时所
必须满足的条件。对变形体是必要条件，并非充分条件。例：链条或绳索，受拉平衡，受压不平衡。PFCCABB由公理这类构件称二力构件。例：三铰拱桥，受力如图，各拱自重不计，拱BC为二力构件。二力平衡与作用力和反作用力的区分（加）公理3――加减平衡力系公理在已知力系上加上或减去任意的平衡力系，并不改变原力系对刚体的作用。这个公理是研究力系等效变换的重要依据。根据上述公理可以导出下列推理：推理1――力的可传性作用于刚体上某点的力，可以沿着它的作用线移到刚体内任意一点，并不改变该力对刚体的作用。证明：图中，F2=-F1=FFF1F2F2可见，作用于刚体上的力可以沿着作用线移动，这种矢量称为滑动矢量。作用在刚体上的力的三要素是：力的大小、方向、作用线。（力的三要素是，力的大小，方向，作用点）推理2――三力平衡汇交定理作用于刚体上三个相互平衡的力，若其中两个力的作用线汇交于一点，则此三力必在同一平面内，且第三个力的作用线通过汇交点。证明：已知刚体上三个相互平衡的力F1、FF2、F3，力F1、F2汇交于O。先将F1、F2移至汇交于O，合成得合力F1F12，则F3应与F12平衡，这两个力必共线，12F2F2、F3必共面，所以三力F1、并汇交于点O。32公理4――作用和反作用定律作用力和反作用力总是同时存在，两力的大小相等、方向相反，沿着同一直线，分别作用在两个相互作用的物体上。这个公理概括了物体间相互作用的关系，表明作用力和反作用力总是成对出现的。例如：放在讲台上的书，受重力P和讲台的约束力FN作用，书对讲台也有压力F’N作用，两者是作用和反作用关系，作用力和反作用力用同一字母表示，但其中之一，在字母的右上方加“’”。必须注意，作用力和反作用力分别作用在两个物体上，因此，不能认为作用力与反作用力相互平衡。公理5――刚化原理变形体在某一力系作用下处于平衡，如将此变形体刚化为刚体，其平衡状态保持不变。这个公理提供了把变形体看作刚体模型的条件。静力学全部理论都可以由上述五个公理推证得到。§1-2约束和约束力一、基本概念自由体――位移不受限制的物体。如：飞机、小鸟等。非自由体――位移受限制的物体。如：火车、电机转子、挂在钢索上的重物。约束――对非自由体的某些位移起限制作用的周围物体。如：铁轨对于火车，轴承对于电机转子，钢索对于重物等。既然约束阻碍着物体的位移，也就是约束能改变物体的运动状态，所以约束对物体的作用，实际上就是力。约束力――约束对物体的作用，方向必与该约束所能阻碍的位移方向相反。静力学问题中约束力和物体受的其他已知力（称主动力）组成平衡力系，因此可用平衡条件求出未知的约束力。主动力――使物体运动或有运动趋势的力。二、几种常见约束1、具有光滑接触表面的约束例：支持物体的固定面、啮合齿轮的齿面、机床中的导轨等，当摩擦不计时，都属于这类约束。NBFNCFNEA这类约束不能限制物体沿约束表面切线的位移，只能阻碍物体沿接触表面法线并向约束内部的位移。约束力：作用在接触点处，方向沿接触表面的公法线，并指向被约束的物体，称为法向约束力，通常以FN表示。2、柔软的绳索、链条、胶带等这类约束本身只能承受拉力。约束力：作用在接触点，方向沿绳索背离物体，常用F或FT表示。FT1PF’AFFT2F’T2F’T1FAFAyFAxAy3、光滑铰链这类约束有向心轴承、圆柱形铰链和固定铰链支座等。轴可在孔内任意转动，也可沿孔的中心线移动，但轴承阻碍着轴沿径向向外的位移，轴承对轴的约束力FA作用在接触点A，且沿公法线指向轴心。但随轴所受主动力的变化，接触点位置也随之不同，约束力方向也随之变化，但无论约束力朝向何方，它的作用线必垂直于轴线并过轴心。AFAx(1)向心轴承(径向轴承)约束力：方向随主动力改变，作用线必垂直于轴线并过轴心。常用过轴心的两个正交分力FAx、FAy表示。(2)圆柱铰链和固定铰链支座图示拱形桥，立体结构图见书P11，由两个拱形构件通过圆柱铰链C及两个固定铰链支座A、B连接而成，圆柱铰链简称铰链，固定铰链支座简称固定铰支。铰链和固定铰支与轴承具有同样的约束性质。约束力：方向不能预先定出，作用线垂直轴线并过铰链中心。常用大小未知的正交分力表示。CFCyFCxF’C(含销)CxFC1yFC2x)C1xF’CyAAxBFByFAyBxAxF’C1xC(销钉)C1yF’C2yC2yF’C2xByC(孔)C(孔)FAyAB4FBxN(1)滚动支座在铰链与光滑支承面间，装有几个滚轴。在桥梁、屋架结构中常见，滚动支座可沿支承面移动，允许由于温度变化而引起结构跨度的自由伸长或缩短。约束力：垂直于支承面，且过铰链中心，常用FN表示。(2)球铰链通过圆球和球壳将两个构件连接在一起的约束。FAzFAxFAy约束力：过接触点与球心，但方向不能预先确定。常用三个正交分力表示。(3)止推轴承FAzFAxAy止推轴承、角接触球轴承、圆锥辊子轴承等与向心轴承不同，它除了能限制轴的径向位移外，还能限制轴向位移。约束力：有三个正交分量。§1-3物体的受力分析和受力图在工程实际中，为了求出未知的约束力，需要根据已知力，应用平衡条件求解。为此，首先要确定构件受了几个力，每个力的作用位置和方向。这种分析过程称为物体的受力分析。受力分析的结果要用图形简明地表示，这种图形称受力图。一、物体的受力分析确定物体受了几个力，每个力的作用位置和方向。作用于物体上的力可分为两类：主动力，例重力、风力等，一般已知；未知的约束力。二、画受力图的步骤1、取研究对象（即取分离体）――把要研究的物体从周围物体中分离出来，单独画出简图。2、画主动力。3、画约束力。例1.1画出碾子的受力图。用力F拉动碾子以压平路面，重为P的碾子受到一石块的阻碍。解：(1)取碾子为研究对象，画出简图。FF(2)画上主动力F和P。(3)画上约束力FNA、FNB。AFNAPFNBA、B处的约束，如不计摩擦，均为光滑接触面约束，约束力作用在接触点处，沿公法线指向受力物体。例1.2画出屋架的受力图。屋架A处为固定铰链支座，B处为滚动支座，搁在光滑的水平面上。已知屋架自重P，在屋架的AC边上承受了垂直于它的风力，单位长度上承受的力为q。qPCFAyAqFAxFNBBP解：(1)取屋架为研究对象，画出简图。(2)画上主动力P和q。(3)画上约束力。例1.3如不计杆CD的自重，试分别画出杆CD和梁AB（包括电机）的受力图。水平梁AB用斜杆CD支撑，A、C、D三处均为光滑铰链连接均质梁重P1其上放置一重为P2的电动机。BD1FCP2FDDFAyAxP1F’DD2解：(1)、首先分析CD杆，CD杆是二力杆。杆CD自重不计，只在两点受力，所以C、D点约束力必等值、反向、共线，当约束力指向不能事先判定时，可先假定受拉或受压。(2)、分析AB梁受力。梁在D点受杆CD的约束力，该力与FD是作用与反作用关系。例1.4试分别画出拱AC和CB的受力图。如图三铰拱桥，由左、右两拱铰接而成。设各拱自重不计，在拱AC上作用有载荷P。PFCCFABFBAxPCFACC解：(1)首先分析拱BC的受力，拱BC是二力构件。(2)分析AC的受力。由于自重不计，因此主动力只有载荷P。在铰链C处受到拱BC的约束力作用，根据作用反作用定律，FC=F’C，在A处受到固定铰支给它的约束力作用，可用两个正交分力表示，进一步分析可知，AC在三个力作用下平衡，根据三力平衡汇交定理，可确定A处的约束力方向。例1.5试画出绳子DE、AB、AC及梯子整个系统的受力图。梯子的两部分AB和AC在点A铰接，又在D、E两点用水平绳连接。梯子放在光滑的水平面上，若其自重不计，但在AB的中点H处作用一铅直载荷P。FAyAF’AxPPAxPF’AyHFEDCCFBFBEDCDF’EBB画受力图小结：1、明确研究对象，画出简图。可以取单个物体为研究对象，也可以取几个物体组成的系统为研究对象。2、正确确定受力数目。不能多画、漏画。一般先画主动力，再画约束力，每一个力都应明确其施力物。3、正确画出约束力。在研究对象与外界接触处，都应根据约束性质画上相应的约束力。4、分析两个物体间的受力时，注意作用与反作用关系。5、画系统受力图时，只画外力不画内力。6、要能正确判断二力构件约束力的作用线方向。第二章平面汇交力系与平面力偶系教学要求：1、掌握平面汇交力系合成与平衡的几何法及解析法，能熟练计算力的投影。2、掌握平面力对点之矩的概念和计算，掌握平面力偶的基本特征及平面力偶系的合成与平衡。平面汇交力系与平面力偶系是两种简单力系，是研究复杂力系的基础。本章介绍这两种力系的合成与平衡问题。§2-1平面汇交力系合成与平衡的几何法平面汇交力系是指各力的作用线都在同一平面内且汇交于一点的力系。F1F2FAF4R1F3F1F4R2FRaF4F3F3FFF1一、平面汇交力系合成的几何法、力多边形法则根据刚体内部力的可传性，将各力移至汇交点。先将F1、F2合成得FR1，再将FR1与F3合成得FR2，最后合成FR2与F4得合力FR。FR=FR2+F4=FR1+F3+F4=F1+F2+F3+F4若平面汇交力系中有更多的力，可类似进行依次合成。结论：平面汇交力系可简化为一合力，合力等于各分力的矢量和，合力的作用线通过汇交点。即：FR=F1+F2+…+Fn=∑Fi力多边形法则：平面汇交力系合成时，各分力沿同一方向首尾相接，合力沿反方向构成封闭边。根据矢量相加的交换律，任意变换各分力的作图次序，可得到形状不同的力多边形，但其合力矢不变。二、平面汇交力系平衡的几何条件由于平面汇交力系可用合力来代替，因此，平面汇交力系平衡的充要条件：该力系的合力等于零。平面汇交力系平衡的几何条件：该力系各分力组成的力多边形自行封闭。例2.1已知AC=CB，P=10kN，求铰链A的约束力和杆DC所受的力。支架的横梁AB与斜杆DC以铰链C相连，并以铰链A、D连接于铅直墙上。杆DC与水平线成45°角，梁和杆的重量忽略不计。解：(1)取AB为研究对象，受力分析，所受的三个力应组成一封闭的力三角形。B处受载荷P，C处受DC给它的约束力Fc，因DC为二力杆，故约束力沿DC连线方向，根据三力平衡汇交定理，A处约束力FA与FC和P汇交于一点。根据平面汇交力系平衡的几何条件，这三个力应组成一封闭的力多边形。(2)选取比例尺，作封闭的力三角形。先作已知力P，再从力的始端和末端作力FA、FC，构成封闭的力三角形，由这个封闭的力三角形可确定出FA、FC的指向。PAFF’CFCCC45FAP45CPFABF’DCP(3)从图上量得长度(或按几何关系计算)，按比例换算得：FA=22.4kN，FC=28.3kN，由作用反作用关系知，DC杆受压，压力大小为28.3kN。§2-2平面汇交力系合成与平衡的解析法解析法是通过力矢在坐标轴上的投影来分析力系的合成及其平衡条件。一、力在正交坐标轴系的投影与力的解析表达式1、力F在x、y轴上的投影：yFx=FcosαFyFyFy=Fcosβ=FsinαjiAFxFxx力在某轴上的投影，等于力的模乘以力与投影轴正向间夹角的余弦。力在轴上的投影为代数量。2、力F的解析表达式：F=Fx+Fy=Fxi+FyjF1xF3Rx二、合力投影定理合力在某一轴上的投影，等于各分力在同一轴上投影的代数和。即：FRx=Fx1+Fx2+…+Fxn=∑Fxi三、平面汇交力系合成的解析法合力在x、y轴上的投影：FRx=∑Fxi，FRy=∑Fyixiyi合力的大小和方向余弦：FR=cos（FR，i）=FRx/FR，cos（FR，j）=FRy/FR例2.2求平面汇交力系的合力yy解：1、投影2112.3FRx=∑Fxi=F1cos30°-F2cos60°-F3cos45°FRF1+F4cos45°=129.3N60x+F2cos30°-F3cos45°°xFRy=∑Fyi=F1cos60°45O129.3-F4cos45°=112.3N100N3F4250N2、合力22FRx?FRy???F????F?22FR==171.3Ncos（FR，i）=FRx/FR=129.3/171.3=0.754，α=41°cos（FR，j）=FRy/FR=112.3/171.3=0.6556，β=49°四、平面汇交力系的平衡方程平面汇交力系平衡的充要条件：该力系的合力FR等于零。xiyi=0即应有：FR=要使上式成立，必须：∑Fxi=0，∑Fyi=022FRx?FRy?129.32?112.32??F????F?22上式称平面汇交力系平衡的解析条件(平衡方程)，这是两个独立的平衡方程，可以求解两个未知量。例2.3压榨机自重不计，AB=BC，F=3kN，h=200mm，l=1500mm。求压块C对工件与地面的压力。yFFDBACFBAFCByCFCxxCyBCF’BABCCBFBCAF1、取研究，受力分析如图，列平衡方程。∑Fx=0，FBAcosα-FBCcosα=0∑Fy=0，-F+FBAsinα+FBCsinα=022sinα=h/h?l解得：FBA=FBC=F/2sinα=11.35kN2、取压块C研究，受力分析如图。由BC杆平衡，知FCB=FBC。列平衡方程。∑Fx=0，FCBcosα-FCx=0∑Fy=0，-FCBsinα+FCy=0解得：FCx=11.25kN，FCy=1.5kN压块C对地面的压力为1.5kN，向下；压块C对工件的压力为11.25kN，向右。§2-3平面力对点之矩的概念及计算力能使刚体的运动状态发生改变（包括移动与转动），移动效应可用力矢来度量，转动效应可用力对点之矩来度量。一、力对点之矩(力矩)MOBAF平面上作用一力F，对同平面内任一点O取矩。O――矩心h――力臂点O到力的作用线的垂直距离。MO（F）=±Fh=±2A△OAB平面力对点之矩是代数量，逆为正，顺为负。单位：N?m，或kN?m若以矢量表示：MO（F）=r×F力矩大小：MO（F）=rFsinθ=2A△OAB力矩方向：垂直平面，按右手法则，逆向上，为正，顺向下，为负。二、合力矩定理定理：平面汇交力系的合力对平面内任一点之矩等于所有各分力对于该点之矩的代数和。证：FR=F1+F2+…+Fn∴r×FR=r×F1+r×F2+…+r×Fn∴MO(FR)=∑MO(Fi)证毕。上式适用于任何有合力存在的力系。顺便指出：当平面汇交力系平衡时，FR=0，MO(FR)=∑MO(Fi)=0，可用力矩方程∑MO(Fi)=0代替投影方程求解平衡问题。例2.4图示踏板，各杆自重不计，已知：F、α、l、B点坐标(xB、yB)。求(1)力F对A点之矩；(2)平衡时杆CD的拉F力。yF解：(1)求力F对A点之矩x(xB,MA(F)=MA(Fx)+MA(Fy)=Fcosα?yB-Fsinα?xBFCD(2)求杆CD的拉力
AAx取ACB研究，受力分析如图。列平衡方程。∑MA(Fi)=0，MA(FA)+MA(FCD)+MA(F)=00-FCD?l+Fcosα?yB-Fsinα?xB=0解得：FCD=(Fcosα?yB-Fsinα?xB)/l例2.5水平梁受按三角形分布的载荷作用，载荷的最大值为q，梁长l，求合力作用线的位置。PAdxqBR11FR2R2FF’同向平行力系可合成为一合力，合力的大小等于各分力大小之和。方向与原力系平行。解：(2)合力作用线位置。由合力矩定理qx2qlql2?Ph???qxdx?x?????h??00l3，得：h=2l/3MA(P)=∑MA(Fi)，，∴2ll§2-4平面力偶一、力偶与力偶矩实例：汽车司机用双手转动驾驶盘；钳工用丝锥攻螺纹。FdFF’力偶臂d――两力之间的垂直距离。力偶作用面――力偶所在的平面。力偶矩：M=±Fd=±2A△ABC，代数量，逆为正，顺为负。单位：N?m，或kN?m力偶不能合成为一个力，或用一个力来等效替换；力偶也不能用一个力来平衡。力和力偶是静力学的两个基本要素。二、同平面内力偶的等效定理定理：在同平面内的两个力偶，如果力偶矩相等，则两力偶彼此等效。证：若M(F0，F’0)=M(F，F’)F0先将F0，F’0移至A、B点，分解得：F1、F2，F’1、F’2，F’0FCM(F0，F’0)=-2A△ACB，M(F2，F’2)=-2A△ADBF1∵A△ACB=A△ADB，∴M(F0，F’0)=M(F2，F’2)∴M(F2，F’2)=M(F，F’)1FF’由图：力偶(F2，F’2)和(F，F’)有相等的力偶臂和相同的0F’2=F，F’2=F’，所以力偶(F2，F’2)和(F，F’)等效，因(F2，F’2)与(F0，F’0)等效，所以(F，F’)与(F0，F’0)等效。证毕。推论：1、任一力偶可以在其作用面内任意移转，而不改变它对刚体的作用。2、只要保持力偶矩不变，可同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短，而不改变力偶对刚体的作用。力偶矩是力偶作用的唯一度量，力偶的臂和力的大小都不是力偶的特征量。dM力偶常表示为：三、平面力偶系的合成和平衡条件1、合成F211d2FdF’3F’F’4两力偶(F1，F’1)与(F2，F’2)，M1=F1d1，M2=-F2d2取力臂d，变换两力偶，M1=F3d，M2=-F4d合成得(F，F’)，F=F’=F3-F4合理偶矩：M=Fd=(F3-F4)d=M1+M2同平面内的任意个力偶可合成为一合力偶：M=∑Mi2、平面力偶系的平衡条件因为平面力偶系可合成为一合力偶，力偶系平衡时，其合力偶矩等于零。平面力偶系平衡的充要条件是：所有各分力偶矩的代数和等于零。平面力偶系的平衡条件(平衡方程)即：∑Mi=0例2.6M1=M2=10N?m，M3=20N?m，l=200mm。求：固定螺柱A、B处的约束力。在工件上同时加工三个孔，工件上作用有三力偶。MFA2M3解：(1)取工件研究，受力分析如图。工件在水平面内受三个力偶和A、B螺柱的约束力作用，根据力偶系的合成定理，三个力偶合成为一合力偶，该力偶与A、B处约束力构成的力偶平衡。FA=FB(2)列平衡方程∑M=0，FBl-M1-M2-M3=0得：FB=FA=200N例2.7四杆机构平衡，M1=1N?m，O1A=0.4m，AB2FO2O2BAF’BABAFAB1FO1M1BMO211O2B=0.6m，求M2解：(1)取O1A研究，受力分析如图，列方程：∑M=0，-M1+FABO1Asin30°=0得：FAB=5N(2)取O2B研究，受力分析如图，列方程。由二力杆AB平衡，知FBA=FAB。∑M=0，M2-FBAO2B=0得：M2=3N?m第三章平面任意力系教学要求：1、了解平面任意力系向一点简化的方法，掌握平面任意力系平衡方程的各种形式。2、熟练掌握在平面任意力系作用下，物体或简单物体系平衡问题的计算方法。3、掌握平面平行力系平衡方程及解题方法。工程中经常遇到平面任意力系的问题，即作用在物体上的力的作用线都分布在同一平面内，并呈任意分布。当物体所受的力都对称于某一平面，可将它视作平面任意力系问题。例：行驶中的汽车，受重力，地面对轮子的支承力、摩擦力等作用，所受力对称于纵向对称面，作用线任意分布。§3-1平面任意力系向作用面内一点简化力系向一点简化是一种较为简便并具有普遍性的力系简化方法。此方法的理论基础是力的平移定理。一、力的平移定理定理：可以把作用在刚体上点A的力F平移到任一点B，但必须同时附加一力偶，该力偶的矩等于原来的力F对新作用点B点的矩。FAF’’BAFBMA证：图中F’=F’’=F，M=MB(F)反过来，根据力的平移定理，也可以将平面内的一个力和一个力偶用作用在平面内另一点的力来等效替换。力的平移定理可解释一些实际问题，例：攻丝时，要求两手握扳手，而且用力要相等，不允许用一只手扳动扳手。因为作用在扳手一端的力F与作用在中点的力F’和力偶矩为M的力偶等效，这个力偶使丝锥转动，这个力F’往往使攻丝不正，甚至折断丝FM锥。二、平面任意力系向作用面内一点简化?主矢和主矩有一平面任意力系：F1、F2、F3，向作用面内任一简化中心O点简化。先将各力平移至点O，得：F’1、F’2、F’3、M1、M2、M3，F1OF3223MOF’1M3M1=MO(F1)，M2=MO(F2)，M3=MO(F3)合成得主矢：F’R=F’1+F’2+F’3=F1+F2+F3=∑Fi主矩：MO=M1+M2+M3=∑MO(Fi)一般情况下，平面任意力系向作用面内任一点简化，可得一个主矢和一个主矩，主矢等于各力的矢量和，它与简化中心的选择无关；主矩等于各力对简化中心之矩的矩的代数和，它与简化中心的位置有关。主矢的解析表达式：F’R=F’Rx+F’Ry=∑Fxi+∑Fyjxy主矢的大小和方向余弦：F’R=cos(F’R，i)=∑Fx/F’R，cos(F’R，j)=∑Fy/F’R三、固定端约束力?F??F22固定端：一个物体的一端完全固定在另一物体上。例：车刀夹持在刀架上，工件夹持在卡盘上固定不动等。固定端约束对物体的作用，是在接触面上作用了一群约束力。在平面问题中，这些力为一平面任意力系。将这群力向作用面内A点简化得到一个力和一个力偶，一般这个力的大小和方向均为未知量，可用两个未知正交分力代替。因此，在平面力系情况下，固定端A处的约束作用力可简化为两个约束力FAx、FAy和一个矩为MA的约束力偶。MAAAFAFAyAFAxMA四、平面任意力系的简化结果分析1、简化为一个力偶F’R=0，MO≠0，因力偶对平面内任一点的矩相同，故主矩与简化中心的选择无关2、简化为一合力(1)F’R≠0，MO=0，F’R即为合力，过简化中心O。ORF’’RdROdFR(2)F’R≠0，MO≠0，合力FR=F’R，作用线到O点的距离d=MO/FR，根据主矢和主矩的方向确定合力的作用线在O点的哪一侧。∵MO=∑MO(Fi)，MO(FR)=FRd=MO∴MO(FR)=∑MO(Fi)平面任意力系的合力矩定理：平面任意力系的合力对作用面内任一点的矩等于力系中各力对同一点的矩的代数和。3、平衡F’R=0，MO=0例3.1一平面力系：F1=200N，F2=100N，F3=40N，M=300N?m，求(1)力系向C点简化的结果；(2)力系的合力。y1MOF20.5m31.5myM
F’RFR解：1、向C点简化主矢投影：∑Fx=-F1?3/5+F3=-200×3/5+40=-80N∑Fy=-F1?4/5-F2=-=-260N主矢大小和方向余弦：F’R==272Ncos(F’R，i)=∑Fx/F’R=-80/272=-0.294，α=-107.1°主矩：MO=∑MO(Fi)=F1×3/5×2-F2×4-F3×1.5-M=-520N?m2、力系的合力：FR=F’R，位于O点的右侧，距O点的距离：d=MO/FR=520/272=1.91m，OC=d/cos(α-90°)=d/cos17.1°=2m?F??F2xy2?2?2602§3-2平面任意力系的平衡条件和平衡方程一、平面任意力系的平衡条件充要条件：F’R=0，MO=0x应有：F’R=MO=∑MO(Fi)=0二、平衡方程1、一般式∑Fx=0∑Fy=0∑MO(F)=02、二矩式?F??F2y2=0三个方程，可求解三个未知量。一般式中的力矩方程矩心的选择是任意的，当矩心不同时可列出不同的力矩方程，但这些投影和力矩方程中，只有三个是独立的，任何第四个方程只是前三个方程的线性组合。∑MA(F)=0∑MB(F)=0∑Fx=0x轴不得垂直于A、B两点的连线。3、三矩式∑MA(F)=0∑MB(F)=0A、B、C三点不得共线。∑MC(F)=0上述三组方程都可用来解决平面任意力系的平衡问题，究竟选用哪一组方程，须根据具体条件确定。选择适当的坐标轴和矩心，可减少平衡方程中的未知量的数目，以简化解题。对平面任意力系，坐标轴应与较多未知力相垂直，矩心取在两个未知力的交点上。例3.2已知：q=2kN/m，P=1kN，M=4kN?m。求：支座A、B处的约束力。解：1、取刚架研究，受力分析如图。2、列平衡方程3q∑Fx=0P+FAx=0-3q+FAy+FNB=0∑Fy=02mP∑MA(F)=0-P×2-3q×1.5-M+FNB×3=04m3、解方程FAy2mFAx=-P=-1kN(向左)AxFBFNB=5kN3mFAy=1kN4、校核。可用另一平衡方程校核，例∑MB(Fi)=0P1AP2③AF1F2F3P2O2例3.3已知：P1=20kN，P2=40kN，求：杆①、②、③所受的力。解：1、取梁ABC研究，受力分析如图。假设各杆受拉。2、列方程∑MO1(F)=0，-P2sin30°×2-P2cos30°×4-F3×6=0∑MO2(F)=0，F1×6√2+P1×6+P2sin30°×4+P2cos30°×2=0-F1cos45°+F2cos45°-P2sin30°=0∑Fx=0，3、解方程得：F1=-31.7kN，F2=-3.4kN，F3=-29.8kN。负号表明，三杆均受压。4、校核。可用平衡方程：∑Fy=0校核。三、平面平行力系的平衡方程平面平行力系是平面任意力系的一种特殊情形。yF132Ox若取x轴⊥各力，则∑Fx≡0平衡方程：∑Fy=0∑MO(F)=0二矩式：∑MA(F)=0，∑MB(F)=0A、B连线不平行于各力。§3-3物体系的平衡?静定和超静定问题一、静定和静不定工程中，由几个物体组成的系统是很常见的，当物体系平衡时，组成该系统的每个物体都处于平衡状态，对每个受平面任意力系作用的物体，均可列出三个平衡方程。如物体系由n个物体组成，则共有3n个独立方程。如系统中有的物体受平面汇交力系或平面平行力系作用，则系统的平衡方程数相应减少。静定问题――未知量数=独立平衡方程数，所有未知力都能由平衡方程求出。工程问题中，有时为了提高结构的刚度和坚固性，常增加多余约束，使未知量数＞独立平衡方程数，未知量不能全部由平衡方程求出。超静定(或静不定)问题――未知量数＞独立平衡方程数。在静力学中只讨论静定问题，对静不定问题，须考虑物体因受力而产生的变形，加列补充方程，使方程数等于未知量数。须在材料力学和结构力学中研究。MAFAyAFAxFF2MAFAyAFAxF2BPP二、物体系的平衡问题在求解静定的物体系的平衡问题时，可以选每个物体为研究对象，列出全部平衡方程，然后求解；也可先取整个系统研究，列出平衡方程，因方程中不包含内力，式中未知量较少，解出部分未知量，再从系统中选取某些物体研究（可为单个物体，或部分物体组成的系统），列出另外的平衡方程，直至求出所有未知量。在选择研究对象和列平衡方程时，应使每个平衡方程中的未知量个数尽可能少，以简化解题。B为滚动支座。例3.4组合梁由AC和CD在C处铰接而成。梁的A端插入墙内，已知：F=20kN，q=10kN/m，M=20kN?m，l=1m。求：A、B处的约束力。AFqB°FFCyqFCx60°BF解：1、取整体研究，受力分析如图，列平衡方程。∑Fx=0，FAx-FBcos60°-Fsin30°=0∑Fy=0，FAy-2ql+FBsin60°-Fcos30°=0∑MA(F)=0，MA-M-2ql×2l+FBsin60°×3l-Fcos30°×4l=02、取CBD研究，受力分析如图，列方程。∑MC(F)=0，-ql×l/2+FBsin60°×l-Fcos30°×2l=03、联立方程求解。FB=45.77kN，FAx=32.89kN，FAy=-2.32kN，MA=10.37kN?m本题也可选择物体系的每个物体研究，即分别取CBD、和AC研究，列出6个方程，也可求解。但引入了C处的约束力两个中间未知量，增加了解题的复杂度。例3.5齿轮传动机构，齿轮Ⅰ的半径为r，自重P1，齿轮Ⅱ的半径为R=2r，其上固结一半径为r的塔轮Ⅲ，轮Ⅱ与Ⅲ共重P2=2P1。齿轮压力角α=20°，被提升的物体重为P=20P1。求(1)保持物C匀速上升时，作用于轮Ⅰ上力偶的矩M；(2)光滑轴承A、B的约束力。KP2PP1PFBBx2KFP1FAyM解：1、取轮Ⅱ、Ⅲ及重物研究，受力如图，列方程。∑Fx=0，FBx-Fsin20°=0-P-P2+FBy-Fcos20°=0∑Fy=0，∑MB(Fi)=0，Pr-Fcos20°R=0解得：F=10.64P1，FBx=3.64P1，FBy=32P12、取轮Ⅰ研究，受力如图，列方程。∑Fx=0，FAx+F’sin20°=0-P1+F’cos20°+FAy-=0∑Fy=0，∑MA(F)=0，-F’cos20°r+M=0解得：M=10P1r，FAx=-3.64P1，FAy=-9P1§3-4平面简单桁架的内力计算工程中，起重机、油田井架、电视塔等结构物常用桁架结构。一、桁架桁架――由杆件彼此在两端用铰链连接而成的结构。如桁架所有杆件都在同一平面内，这种桁架称为平面桁架。桁架中杆件的铰链接头称节点。为简化桁架计算，工程中采用以下假设：1、桁架的杆件都是直的；2、杆件用光滑的铰链连接；3、桁架所受力都作用在节点上，且在桁架平面内；4、桁架杆件自重不计，或分配在两端节点上。这样的桁架称为理想桁架，实际桁架与上述假设会有差别，但工程实际中，上述假设能简化计算，且所得结果能符合工程实际需要。根据上述假设，桁架的杆件都可看成二力杆，各杆受力沿杆件方向，只受拉力或压力。二、平面简单桁架平面简单桁架――以三角形框架为基础，每增加一个节点需增加两根杆件。可以证明，平面简单桁架是静定的，如增加杆件，将变成静不定桁架。求桁架内力的方法――节点法、截面法。节点法――逐个取节点研究，求出全部未知力。截面法――适当选取一截面，假想地将桁架截开，由任一部分平衡，求出被截杆内力。例3.6已知：P1=4kN，P2=1kN。求④、⑤、⑥杆的内力。P1FAyFNBa③P2E⑥9FF7F’8FNBBFF’92F4F5F6FP2FNB解：1、求支座约束力取整体研究，受力分析如图，列方程。FAx+P2=0∑Fx=0，∑Fy=0，FAy-P1+FNB=0∑MA(F)=0，-P1a+P2a+FNB×3a=0解得：FAx=-1kN，FAy=3kN，FNB=1kN。2、用节点法求④、⑤、⑥杆的内力(1)取节点B研究，受力如图，列方程。∑Fx=0，-F8-F9cos45°=0∑Fy=0，FNB-F9sin45°=0得：F8=-1kN，F9=(2)取节点D研究，受力如图，列方程。∑Fx=0，F’8-F4=0∑Fy=0，-F7=0得：F4=-1kN，F7=0⑶取节点F研究，受力如图，列方程。∑Fx=0，-F6-F5cos45°+F’9cos45°+P2=0∑Fy=0，F5sin45°+F’7+F’9sin45°=0得：F5=-kN2kN，F6=3kN∴④杆内力为1kN受压，⑤杆内力为kN受压，⑥杆内力为3kN受拉。3、用截面法求④、⑤、⑥杆的内力用一假想面将④、⑤、⑥杆截开，取右侧研究，受力如图，列方程。∑Fx=0，-F4-F5cos45°-F6+P2=0∑Fy=0，F5sin45°+FNB=0∑MF(F)=0，-F4a-FNB×a=0解得：F4=-1kN，F5=-kN，F6=3kN第四章空间力系教学要求：1、了解空间力系的平衡方程及其应用，能计算力对轴的矩。2、能通过查表求组合形体的重心问题。工程中常见物体所受各力的作用线并不都在同一平面内，而是空间分布的，例如：车床主轴、起重设备等结构。与平面力系一样，空间力系可分为空间汇交力系、空间力偶系和空间任意力系来研究。§4-1空间汇交力系一、力在直角坐标轴上的投影投影：Fx=Fcos(F，i)=FsinγcosφzFy=Fcos(F，j)=FsinγsinφFzFz=Fcos(F，k)=Fcosγ当力F与坐标轴x、y间的夹角不易确定时，可先把力F投iy影到Oxy平面，得到力Fxy，再进一步投影到x、y轴。xy二、空间汇交力系的合成与平衡条件x1、合成：空间汇交力系的合力等于各分力的矢量和，合力的作用线过汇交点。FR=∑FiFR=∑Fxi+∑Fyj+∑Fzkxyz合力FR的大小和方向余弦：FR=cos(FR，i)=∑Fx/FR，cos(FR，j)=∑Fy/FR，cos(FR，k)=∑Fz/FR2、平衡的充要条件：合力FR=0平衡方程：∑Fx=0，∑Fy=0，∑Fz=0?F??F??F222例4.1用起重杆吊起重物，起重杆的A端用球铰固定在地面上，B端用绳CB、DB拉住，两绳分别系在墙上的点C和D，连线CD平行于x轴，α=30°，CDB平面与水平面间的夹角∠EBF=30°，P=10kN。如起重杆的自重不计，求起重杆所受的压力和绳子的拉力。解：1、取起重杆AB和重物研究，受力如图。2、列平衡方程。z∑Fx=0，F1cos45°-F2cos45°=0EF2-F1cos45°cos30°-F2cos45°cos30°=0∑Fy=0，FAsin30°B+F1cos45°sin30°+F2cos45°sin30°-P=0C∑Fz=0，FAcos30°13、解方程得：AyF1=F2=3.54kNAFAx§4-2力对点的矩和力对轴的矩一、力对点的矩z(xF对于平面力系，用代数量表示力对点的矩足以概括它的全部要素。但在空间情况下，不仅要考虑力矩的大小、转向，还要考虑力与矩心所组成平面的方位。这三个因素可以用力矩矢来表示。yMO(F)=r×F大小：MO(F)=rFsinθ=Fh=2A△OAB方位：⊥力F与矩心组成的平面指向：按右手螺旋法则确定。反映力矩转向F=Fxi+Fyj+Fzk，r=xi+yj+zkixFMO(F)=r×F=x=(yFz-zFy)i+(zFx-xFz)j+(xFy-yFx)kMO(F)在直角坐标轴上的投影：[MO(F)]x=yFz-zFy，[MO(F)]y=zFx-xFz，[MO(F)]z=xFy-yFx二、力对轴的矩zxyxzFxFxFFyxyy工程中，经常遇到刚体绕定轴转动的情形，为度量力对绕定轴转动刚体的作用效果，必须了解力对轴的矩的概念。例，门上作用有一力F使其绕固定轴z转动。由经验知，jkyzFyFzFz不能使门转动，只有垂直于z轴分力才能使静止的门转动。现计算作用在斜齿轮上的力F对z轴的矩,将力F分解成平行于z轴的分力Fz和垂直于z轴的分力Fxy,Mz(F)=MC(Fxy),一般可先将力投影到垂直于z轴的平面得力Fxy,再将力Fxy对平面与轴的交点O取矩.Mz(F)=MO(Fxy)=MO(Fx)+MO(Fy)=-Fxy+Fyx同样可得力F对x、y轴之矩。Mx(F)=yFz-zFy，My(F)=zFx-xFz，Mz(F)=xFy-yFx力对轴的矩定义如下：力对轴的矩等于该力在垂直于该轴平面上的投影对该投影面与该轴交点的矩，是代数量，按右手螺旋法则，拇指指向与轴的正向一致为正，反之为负。三、力对点的矩与力对通过该点的轴的矩的关系由上面分析可知：[MO(F)]x=Mx(F)，[MO(F)]y=My(F)，[MO(F)]z=Mz(F)力对点的矩矢在通过该点的某轴上的投影，等于力对该轴的矩。力对O点之矩的大小和方向余弦为：|MO(F)|=cos(MO,i)=Mx(F)/|MO(F)|cos(MO,j)=，My(F)/|MO(F)|，cos(MO,k)=Mz(F)/|MO(F)|bza例4.2已知手柄在水平内，BC∥y，AB∥x，力F在平行于Oxy的平面内。求：力F对x、y、z轴之矩。y解：Mx(F)=-Fcosα(l+b)FMy(F)=-FcosαaMz(F)=-Fsinα(l+b)MxF2?MyF2?MzF2§4-3空间力偶一、力偶矩以矢量表示由平面力偶理论知，只要保持力偶矩不变，力偶可在其作用面内任意移转，也可同时改变力偶中力的大小和力偶臂的长短。由实践经验知：空间力偶的作用面可以平移，而不改变力偶对刚体的作用。例如：用螺丝刀拧螺钉时，只要力偶矩的大小和力偶的转向不变，长螺丝刀或短螺丝刀的效果是一样的；提水的绞车，绞柄FF’F1F’位置的改变不会改变其作用效果。反之，如果两力偶的作用面不相互平行，则即使它们的力偶矩相等，这两个力偶对物体的作用效果不同。F’1右图中，力偶的矩相等。F空间力偶三要素：力偶矩的大小；力偶作用面的方位；力偶的转向。空间力偶的矢量表示：M矢的长度――力偶矩的大小M=Fd；矢的方位――垂直于力偶作用面；Fd矢的指向――与力偶的转向间服从右手螺旋法则。力偶可以在同平面内任意移转，并可搬移到平行平面内。力偶矩矢是自由矢量。二、两力偶等效的条件两力偶的力偶矩矢相等三、空间力偶的合成与平衡条件1、合成：空间力偶系可合成为一合力偶，合力偶矩矢等于各分力偶矩矢的矢量和。M=∑Mi空间力偶矢是自由矢量，可先将各力偶平移汇交于一点，依次合成。由合矢量投影定理，合力偶矩矢M的大小和方向余弦。xyzM=cos(M，i)=∑Mx/M，cos(M，j)=∑My/M，cos(M，k)=∑Mz/M2、平衡条件空间力偶系平衡的充要条件是：M=∑Mi=0平衡方程：∑Mx=0，∑My=0，∑Mz=0?M??M??M222§4-4空间任意力系向一点的简化?主矢和主矩一、空间任意力系向一点的简化先将各力平移至简化中心，同时附加一相应力偶。将空间汇交力系合成为一力――主矢，将空间力偶系合成为一力偶――主矩。zF1xF2OF3xM233zM12xMOzF’RO主矢：F’R=F’1+F’2+F’3=F1+F2+F3=∑Fi主矩：MO=∑Mi=∑MO(Fi)主矢的大小和方向余弦为：F’R=cos(F’R，i)=∑Fx/F’R，cos(F’R，j)=∑Fy/F’R，cos(F’R，k)=∑Fz/F’R主矩大小和方向余弦：MO=cos(MO，i)=∑Mx(F)/MO，cos(MO，j)=∑My(F)/MO，cos(MO，k)=∑Mz(F)/MO二、空间力系的简化结果分析1、简化为一合力偶F’R=0，MO≠0，这时主矩与简化中心的位置无关。2、简化为一合力(1)F’R≠0，MO=0，合力作用线过简化中心。(2)F’R≠0，MO≠0，F’R⊥MO，图中F’R=FR，d=|MO|/FRMOOF’’RO’?F??F??F22xyz22xy2?M?F???M?F???M?F?z2F’RRO’R3、简化为力螺旋(1)F’R≠0，MO≠0，F’R∥MO―这种结果称为力螺旋，有右螺旋或左螺旋。即由一力和一力偶组成的力系，其中的力垂直于力偶作用面。例钻孔时的钻头对工件的作用等。MOOROF’RF’ROR(2)F’R≠0，MO≠04、平衡的情形F’R=0，MO=0可先将MO分解成平行于F’R的分量和垂直于F’R的分量，进一步可合成为力螺旋。§4-5空间任意力系的平衡方程一、平衡条件空间任意力系平衡的充要条件：这力系的主矢和对任一点的主矩均等于零。即：F’R=0，MO=0应有：F’R=MO=?F??F??F=0?M?F???M?F???M?F?222xyz22xyz2=0二、平衡方程∑Fx=0，∑Fy=0，∑Fz=0，∑Mx(F)=0，∑My(F)=0，∑Mz(F)=0三、空间平行力系的平衡方程如z轴与各力平行，则：z13∑Fx≡0，∑Fy≡0，∑Mz(F)≡0平衡方程：∑Fz=0，∑Mx(F)=0，∑My(F)=0y四、空间约束类型举例x见书第88页。例4.3已知一传动轴，齿轮Ⅰ为直齿轮，节圆直径dⅠ=54mm，压力角α=20°，齿轮Ⅱ为斜齿轮，节圆直径dⅡ=162.5mm，Pt=630N，Pr=240N，Pa=750N。求：P1，A、B处约束力。z450FAxP1xFPaPrPt400FBzFBxy解：1、取整体研究，受力分析如图，2、列方程∑Fx=0，-P1sin20°+FAx-Pr+FBx=0∑Fy=0，Pa-FBy=0∑Fz=0，P1cos20°+FAz-Pt+FBz=0∑Mx(F)=0，-P1cos20°×450-Pt×350+FBz×750=0∑My(F)=0，-P1cos20°×54/2+Pt×162.5/2=0∑Mz(F)=0，-P1sin20°×450+Pa×162.5/2+Pr×350-FBx×750=03、解方程得：FBy=750N，P1=2017.5N，FBx=-220.7N，FAx=1150.8N，FBz=1431.5N，FAz=-2697.3N§4-6重心一、重心概念及其坐标公式地球附近的物体都受到地球引力，对一般物体，这是一个空间平行力系。一般所谓的重力就是这个空间平行力系的合力。不变形的物体在地表无论怎样放置，重力的作用线都通过一个确定的点，这一点称为重心。重心在工程实际中具有重要意义。如重心的位置会影响物体的平衡和稳定，对高速转动的转子，如果转轴不通过重心，将会引起强烈的振动，甚至引起破坏。zPiiicPcCy根据合力矩定理，向x轴取矩有：-Pyc=∑-Piyi得：yc=∑Piyi/P同样向y轴取矩得：xc=∑Pixi/P将物体连同坐标系顺转90°，再向x轴取矩得：zc=∑Pizi/P即：重心坐标公式为：xc=∑Pixi/P，yc=∑Piyi/P，zc=∑Pizi/P∵P=mg，Pi=mig，∴xc=∑mixi/m，yc=∑miyi/m，zc=∑mizi/m可见，质点系的重心与质心重合。如果物体是均质的，单位体积的重量γ=常数，则：P=γV，Pi=γVi，代入上式得：xCVx??iiVxdV??VV，yCVy??iiV??VydVV，zCVz??ViizdV??VV均质物体的重心就是几何中心，即形心。对均质等厚薄板：A，二、确定物体重心的方法1、简单几何形状物体的重心2、用组合法求重心dC1cC2a30ObC330xyxCAx??iiAxdA??AyCAy??iiA??AydAA，zCAz??AiizdA??AA如均质物体有对称面，或对称轴，或对称中心，则重心在这个对称面，对称轴，或对称中心上。简单形状物体的重心可查工程手册。对型钢(如工字钢、槽钢、角钢等)的截面形心，可查型钢表。(1)分割法例4.4求Z形截面重心的位置，图中长度单位mm解：首先分割图形，例沿ab、cd将图形分割成三个矩形：x1=-15mm，y1=45mm，A1=300mm2；x2=5mm，y2=30mm，A2=400mm2；x3=15mm，y3=5mm，A3=300mm2。xc=(x1A1+x2A2+x3A3)/(A1+A2+A3)=2mmyc=(y1A1+y2A2+y3A3)/(A1+A2+A3)=27mm(2)负面积法(负体积法)例4.5求振动沉桩器中偏心块的重心，y已知：R=100mm，r=17mm，b=13mm。解：将图形看成两个半圆，切去一个小圆。因图形相对y轴对称，故xc=0；o大半圆：y1=4R/3π=400/3πmm；小半圆：y2=-4(r+b)/3π=-40/πmm；小圆：y3=0mm。yc=(y1A1+y2A2+y3A3)/(A1+A2+A3)=[400/3π×πR2/2-40/π×π(b+r)2/2-0×πr2]/[πR2/2+π(b+r)2/2-πr2]=/mm3、用实验法测定重心的位置工程中一些外形复杂或质量分布不均的物体很难用计算方法求其重心，此时可用实验方法测定重心位置。下面介绍两种方法。(1)悬挂法CPP如果需求一薄板的重心,可先将板挂于任一点A，根据二力平衡条件，重心必在过悬挂点的铅直线上，可在板上画出此线。然后将板悬挂于另一点，同样画出另一直线，两线交点就是重心。(2)称重法以汽车为例简述测定重心的方法，首先称出汽车的重量P，测出前后轮距离l，车轮半径r，为测定xc，将一轮放在地面上，一轮放在磅秤上，如磅秤读数为F。由汽车平衡，∑MA(F)=0，Pxc-Fl=0得：xc=Fl/P欲求汽车沿高度方向的重心位置，参看教材第99页。FP第五章摩擦教学要求：1、理解滑动摩擦的概念和摩擦力的特征；2、能求解考虑滑动摩擦时物体的平衡问题；3、了解滚动摩阻概念。在前几章中，我们忽略了摩擦的影响，把物体之间的接触表面都看作是光滑的。但实际生活和生产中，摩擦有时会起到重要的作用，必须计入。摩擦可分为滑动摩擦和滚动摩阻，根据物体之间是否有良好的润滑剂，滑动摩擦有可分为干摩擦和湿摩擦，本章只研究干摩擦。摩擦是一种复杂的物理力学现象，目前有专门的摩擦学来研究其机理，本章仅介绍工程中常用的简单近似理论。§5-1滑动摩擦一、滑动摩擦力――两个表面粗糙的物体，当接触面间有相对滑动趋势或相对滑动时，彼此作用有阻碍相对滑动的阻力。作用位置：相互接触处。方向：与相对滑动趋势或相对滑动方向相反。大小：随主动力不同，分以下三种情况。二、静滑动摩擦力FS简称静摩擦力，当绳中拉力F较小时，物体保N持静止。FFSP支承面对物体除法向约束力外，还有切向约束力，即静滑动摩擦力，其方向与物体相对滑动趋势相反，大小由平衡条件确定。由∑Fx=0，FS=F三、最大静滑动摩擦力Fmax静摩擦力与一般约束力不同，它并不随力F的增大而无限度地增大。当力F的大小增大到一定数值时，物体处于将要滑动、但尚未开始滑动的临界平衡状态，这时，只要力F再增加一点，物块即开始滑动。简称最大静摩擦力，物块处于平衡的临界状态，静摩擦力达到最大。0≤FS≤Fmax实验证明：Fmax=fsFN―静摩擦定律(又称库仑摩擦定律)，是工程中常用的近似理论fs――静摩擦因数，无量纲，由实验测定书P110，可查工程手册。它与接触物体的材料和表面情况有关，与接触面的大小无关。例：汽车一般用后轮发动，因为后轮压力大于前轮，这样可以允许产生较大的向前推动的摩擦力。例：火车在下雪后行驶时，要在铁轨上洒细沙，以增大摩擦系数，避免打滑。四、动滑动摩擦力F当滑动摩擦力已达到最大，若主动力F再继续加大，接触面之间将出现相对滑动，此时，接触面间仍作用有相对滑动的阻力，这种阻力称动滑动摩擦力。简称动摩擦力，物体间有相对滑动。实验表明：F=fFNf――动摩擦因数，一般f&fs动摩擦系数与接触物体的材料和表面情况有关，多数情况下，动摩擦系数随相对滑动的速度的增大而稍减少，但当相对速度变化不大时，动摩擦系数可近似认为常数。在机器中，往往用降低接触表面的粗糙度或加入润滑剂等方法，使动摩擦系数降低，以减小摩擦与磨损。§5-2摩擦角和自锁现象一、摩擦角全约束力：FRA=FN+FS摩擦角――全约束力与法线间的夹角α的最大值?。当有摩擦时，支承面对平衡物体的约束力包含两个分量：法向约束力FN和切向约束力FS(即静摩擦力)，这两个分力的矢量和称为全约束力，它的作用线与接触面的公法线成一偏角α，当物块处于临界平衡状态时，静摩擦力达到最大值，偏角α也达到最大值?f。?f由图：tan?f=Fmax/FN=fsFN/FN=fs即：摩擦角的正切等于静摩擦因数。当物块的滑动趋势方向改变时，全约束力作用线的方位也随之改变，在临界状态下全约束力的作用线将画出一个以接触点为顶点的锥面，称为N――摩擦锥。二、自锁现象物块平衡时，0≤FS≤Fmax，0≤α≤?f，即全约束力必在摩擦角之内。由此可知：1、如作用于物块全部主动力的合力作用线在摩擦角之内，则无论这个力多大，物块必保持静止，这种现象称为――自锁现象。FS因为在这种情况下，主动力的合力与法线间的夹角小于摩擦角，因此主动力的合力和全约束力必能满足二力平衡条件。2、如全部主动力的合力作用线在摩擦角之外，则无论这个力多小，物块一定滑动。因为在这种情况下，主动力的合力与法线间的夹角大于摩擦角，因此主动力的合力和全约束力不能满足二力平衡条件。例5.1螺旋千斤顶，采用的是矩形螺纹，其螺杆与螺母间的静摩擦系数fs=0.1。求：千斤顶的螺旋升角。解：求千斤顶的螺旋升角，实质是求斜面的自锁条件――无论物块有多重，置于斜面的物块均保持静止的条件。F静止时：全约束力FRA和主动力P共线自锁条件：α≤?fFRA对千斤顶，fs=0.1，∵tan?f=fs∴?f=5°43′为保证千斤顶可靠自锁，一般取螺旋升角α=4°~4°30′例5.2靠在粗糙墙面和地面上的梯子，接触面的摩擦角均为RB?f=15°。试求人能上升的高度h。解：临界平衡时，两处全约束力的方向与法线间的夹角均为RA摩擦角?f。hP§5-3考虑摩擦时物体的平衡问题特点：1、分析受力时需考虑摩擦力FS，通常增加了未知量。2、需列与摩擦力数相等的补充方程，即FS≤fsFN，临界平衡时有Fmax=fsFN。3、一般先在临界状态计算，再讨论解的范围。例5.3已知：物块重P，置于倾角为α的斜面上，它与斜面间的静摩擦系数为fs，现用水平推力Q推重物。求：物块平衡时Q的大小。yQPPxQminSFNQmaxFSPNyx解：1、求Qmin，当Q较小时，物块有向下滑动的趋势。临界平衡时，取物块研究，受力分析如图，列平衡方程：∑Fx=0，FS-Psinα+Qmincosα=0∑Fy=0，FN-Pcosα-Qminsinα=0列补充方程：FS=Fmax=fsFN联立方程求解得Qmin=P(tgα-fs)/(1+fstgα)2、求Qmax，当Q较大时，物块有向上滑动的趋势。临界平衡时，取物块研究，受力分析如图，列平衡方程：∑Fx=0，-FS-Psinα+Qmaxcosα=0∑Fy=0，FN-Pcosα-Qmaxsinα=0列补充方程：FS=Fmax=fsFN联立方程求解得Qmax=P(tgα+fs)/(1-fstgα)∴物块平衡时Q的大小为：P(tgα-fs)/(1+fstgα)≤Q≤P(tgα+fs)/(1-fstgα)例5.4凸轮机构，已知推杆(不计自重)与滑道间的摩擦因数为fs，滑道宽度为b。设凸轮与推杆接触处的摩擦不计。问a为多大，推杆才不致被卡住。解：1、取推杆研究，受力如图。因推杆有向bFNBFAFBFFNA上的滑动趋势，摩擦力的方向向下。2、列平衡方程∑Fx=0，FNA-FNB=0∑Fy=0，-FA-FB+F=0∑MD(F)=0，Fa-FNBb-FBd/2+FAd/2=03、列补充方程临界平衡时：FA=fsFNA，FB=fsFNB4、求解FNA=FNB，FA=FB=fsFNB，F=2FB=2fsFNB，F=FNBb/a，∴若保持F、b不变，当a减小时，FNA=FNB也减小，最大静摩擦力减小，推杆不会被卡住。a极限bBa极限?b2fsfCF5、用摩擦角及全约束反力求解A、B处的全约束力FRA、FRB必在摩擦角之内，两力汇交点只能在C点或C点右侧(阴影部分内)。根据三力平衡汇交定理，只有三力F、FRA、FRB汇交于一点，推杆才能平衡。bba极限??2tan?f2fsa＜a极限时，三力不可能汇交，即推杆不能被卡住；a≥a极限时，三力将汇交于一点而平衡，此时无论F多大也不能推动推杆，推杆将被卡住(自锁)。§5-4滚动摩阻的概念由实践知，使滚子滚动PPPP比使它滑动省力。所以工程FFFF中，常用滚动代替滑动。当R物体滚动时，存在什么阻fffFS力？A设在水平面上有一滚子，重FNFN为P，在其中心作用一水平力F，当力F不大时，滚子仍保持静止。分析滚子受力知：水平面给滚子有法向约束力FN，它与重力P等值反向，静滑动摩擦力FS与力F组成一力偶，力偶矩为Mf的滚动摩阻力偶，它与(F，FS)平衡，转向与滚动趋向相反。滚子和平面实际上并不是刚体，它们在力的作用下都会发生变形，在接触面上，物体受分布力的作用，向A点简化得一个力FR和一个力偶矩为Mf的力偶，力分解为静摩擦力FS和法向约束力FN。与静滑动摩擦力相似，滚动摩阻力偶矩随主动力偶矩的增大而增大，当主动力偶矩增大到某个值时，滚子处PP于将滚未滚的临界平衡状态，滚动摩阻力偶矩达到最大，F称为最大滚动摩阻力偶矩，用Mmax表示。若F再大一点，d轮子就会滚动，滚动过程中，摩阻力偶矩近似等于Mmax。FSFSA0≤Mf≤MmaxF’NFNMmax=δFN――滚动摩阻定律δ――滚动摩阻系数，单位常用mm。由实验测定，与滚子和支承面的材料的硬度和湿度等有关，与滚子半径无关。材料硬一些，变形就小一些，火车车轮与钢轨都采用较硬的材料，目的是为了增加硬度，以减小滚动摩阻系数。d=Mmax/FN，∴δ=d使轮子滚动的水平拉力：由∑MA(Fi)=0，得F滚=δFN/R=δP/R使轮子滑动的水平拉力：由∑Fx=0，得F滑=Fmax=fsFN=fsP一般情况下有：δ/R&&fs，因此使滚子滚动比滑动省力得多。QminFh1yOFSAF1xA2yOFSBF2xBNBPFNAFNAFNB例5.4已知：拖车重P，车轮半径R，滚动摩阻系数δ，尺寸b，h，轮重不计。求：牵引力Qmin。1、解：取拖车研究，受力分析如图，列平衡方程。∑Fx=0，Qmin-FSB-FSA=0FNB+FNA-P=0∑Fy=0，∑MA(F)=0，MA+MB-FNBb-Qminh=02、列补充方程：MA=δFNA，MB=δFNB3、取两轮研究，受力如图，列方程。轮1：∑MO1(F)=0，MA-FSAR=0轮2：∑MO2(F)=0，MB-FSBR=04、联立方程求解得：Qmin=FSA+FSB=(MA+MB)/R=(FNA+FNB)δ/R=Pδ/R注：本题中，车轮滚动时没有发生滑动，故FS＜fsFN，即FS≠fsFN。运动学静力学研究物体在力系作用下的平衡条件，当作用在物体上的力系不平衡时，物体的运动状态将发生变化。物体在力的作用下的运动规律是一个比较复杂的问题，我们先单独研究物体运动的几何性质(如轨迹、运动方程、速度、加速度等)。运动学――研究物体运动的几何性质的学科。学习目的：1、为动力学打下基础；2、为分析机构运动打好基础。基本内容：1、点的运动学(点的简单运动)；2、刚体的简单运动；3、点的合成运动；4、刚体的平面运动。参考体――研究一个物体的机械运动，必须选取另一个物体作为参考，这个参考的物体称为参考体。物体相对于不同参考体的运动是不同的。如行驶的汽车车厢中的椅子，及车轮相对地面和车厢的运动是不同的。参考系――与参考体固连的坐标系。第六章点的运动学教学要求：1、掌握描述点的运动的矢量法、直角坐标法和自然法。2、能求平面运动点的运动方程、运动轨迹、速度和加速度。当物体的几何尺寸和形状在运动过程中不起主要作用时，物体的运动可简化为点的运动，如空中飞行的飞机，当研究其飞行轨迹时，可将其简化为点的运动。当物体内各点的运动情况完全相同时，只需分析其中某一点的运动就够了，这样的物体也可简化为点的运动。研究点的运动具有独立的应用意义，也是研究一般物体运动的基础。本章研究点的简单运动，研究点相对某一个参考系的几何位置随时间的变化规律，包括点的运动方程、运动轨迹、速度和加速度等。§6-1矢量法矢径r――自参考系坐标原点O向动点M所作矢量MrO矢径r随时间变化的函数。运动方程――r=r(t)以矢量表示的形式运动轨迹：矢径r的矢端曲线矢径r对时间的一阶导数。动点的速速度――v=dr/dt度矢沿轨迹的切线，并与点的运动方向一致。单位m/s矢加速度――a=dv/dt=d2r/dt2速度对时间的一阶导数，2径r对时间的二阶导数。单位m/s§6-2直角坐标法建立一个直角坐标系，动点任意瞬时在空间的位置可用矢径表示，还可用三个直角坐标表示。运动方程：x=f1(t)，y=f2(t)，z=f3(t)轨迹方程：消去运动方程中的时间t。∵r=xi+yj+zk∴速度：v=dr/dt=dx/dti+dy/dtj+dz/dtk=vxi+vyj+vzk，dxdydzvx?vy?vz?dt，dt，dt，zkzy速度的大小和方向余弦：v=cos(v，i)=vx/v，cos(v，j)=vy/v，cos(v，k)=vz/v22vx?vy?vz2xdvyd2ydvxd2xdvzd2zax??2ay??2az??2dtdt，dtdt，dtdt加速度：a=axi+ayj+azk，加速度的大小和方向余弦：a=cos(a，i)=ax/a，cos(a，j)=ay/a，cos(a，k)=az/a例6.1已知椭圆规机构，OC=AC=BC=l，MC=a，?=ωt。求：动点M的运动方程、轨迹、速度与加速度。解：1、动点――My坐标系――oxyB2、运动方程：x=(l+a)cos?=(l+a)cosωty=(l-a)sin?=(l-a)sinωtω3、轨迹方程：消去运动方程中的时间t得：?x??y???????1l?al?a????――椭圆4、速度：vx=dx/dt=-(l+a)ωsinωt，vy=dy/dt=(l-a)ωcosωt，AO2222ax?ay?az2速度的大小和方向余弦：v=vy?l?a?cos?tvx??l?a?sin?t??v2?a2?2alcos2?tl2?a2?2alcos2?t，cos(v，j)=vcos(v，i)=5、加速度ax=dvx/dt=d2x/dt2=-(l+a)ω2cosωtay=dvy/dt=d2y/dt2=-(l-a)ω2sinωt加速度的大小和方向余弦：a=ayax??l?a?cos?t??l?a?sin?t??22a?a?2alcos2?t，cos(a，j)=al2?a2?2alcos2?tcos(a，i)=22ax?ay??22?a2?2alcos2?t22vx?vy??l2?a2?2alcos2?t§6-3自然法自然法――利用点的运动轨迹建立弧坐标及自然轴系来描述和分析点的运动。一、弧坐标s(+)在轨迹上任取一点为参考点，设点的一侧为正，另一侧为负，动点M在轨迹上的位置可由弧坐标确定。(-)O运动方程：s=f(t)二、自然轴系切线单位矢τ―沿切线，指向与弧坐标正向一致密切面―M1无限接近动点M，将M1点的切线单n11切线1法平面密切面主法线位矢τ1移至M点，与M点的切线单位矢τ确定的平面。法平面―与M点的切线垂直的平面主法线―密切面与法平面的交线主法线单位矢n―沿主法线，指向曲线内凹一侧。副法线―过动点垂直于切线与主法线的直线副法线单位矢b――b＝τ×n三、点的速度srv?lim?r?sds?lim??t?0?t?t?0?tdt速度的大小等于动点的弧坐标对时间的一阶导数的绝对值。dsdsdt是代数量，以v表示：v=dtdsdt&0时，则s值随时间增加而增大，点沿轨迹正向运动；dsdt&0时，点沿轨迹负向运动。绝对值表示速度的大小，正负号表示点沿轨迹运动的方向。ds∴v=vτ=dtτ四、点的切向和法向加速度dvdvdτa???vdtdtdt上式右端两项都是矢量，第一项反映速度大小的变化，第二项反映速度方向的变化。dv1、aτ=dtτ――切向加速度，反映速度大小的变化显然aτ沿轨迹的切向，因此称切向加速度。dvdv当dt≥0时，aτ指向轨迹正向，当dt＜0时，aτ指向轨迹负向。2、an=(v2/ρ)n――法向加速度，反映速度方向的变化dτv△san=dt――它反映了速度方向τ的变化。M’dτdsdτv?v2’dsan=dsdtτ’当△s→0时，△?→0，△τ与τ垂直，△τ在密切面内，指向轨迹内凹的一侧，即沿主法线的正向。|△τ|≈△?dτ?τ??1?lim?limn?n?s?0?s?s?0?s?∴dsρ――曲率半径v2∴an=?n，大小：an=(v2/ρ)，方向：沿主法线，指向曲线内凹的一侧3、全加速度：a=aτ+an=aττ+annaτ=dv/dt，an=v2/ρ，ab=0由于切向与法向加速度均在密切面内，所以全加速度也在密切面内，加速度沿副法线方向的分量为零。aτanana全加速度的大小：方向，与法线间夹角的正切：tgθ=aτ/ana?a?2?an2当aτ=恒量，动点作曲线匀变速运动当aτ=0，动点作曲线匀速运动。例6.2已知：R，?=ωt，t=0时?=0。试用自然法写出M点的运动方程，并求速度和加速度。解：取动点M的起点为弧坐标原点。v运动方程：s=2?R=2ωtR=2Rωt速度大小：v=ds/dt=2Rωs?方向：沿轨迹切线，斜向上。加速度：O切向：aτ=dv/dt=0法向：an=v2/ρ=4R2ω2/R=4Rω2指向大圆中心全加速度：a=aτ+an=an，大小：4Rω2，指向大圆中心。第七章刚体的简单运动教学要求1、掌握刚体平移的定义及其运动特性，理解平移刚体可以简化为点的运动来研究；2、掌握刚体定轴转动的转动方程、角速度和角加速度的概念及匀速、匀变速转动的计算；3、熟练掌握定轴转动刚体上任一点的速度和加速度公式，会计算转动刚体上任一点的速度和加速度。刚体是由无数点组成的，在点的运动学的基础上可研究刚体的运动，研究刚体整体的运动及其与刚体上各点运动之间的关系。本章将研究刚体的两种简单运动――平移和定轴转动，这是工程中最常见的运动，也是研究复杂运动的基础。§7-1刚体的平行移动一、刚体的平行移动简称平移――如果在物体内任取一直线段，在运动过程中这条直线段始终与其最初位置平行。例：汽缸内活塞的运动、车床上刀架的运动、荡木的运动等。二、平移刚体上各点轨迹、速度、加速度间的关系任取刚体内一线段AB，∵刚体作平移，∴AB为恒z2矢量，AB、A1B1、A2B2…平行相等，折线AA1A2…B与BB1B2…形状相同，当△t→0时，A、B的轨迹形r状相同12如图：rB=rA+AB上式两边对时间t求导得：drB/dt=drA/dt∴vB=vA上式两边再对时间t求导得：aB=aA结论：平移刚体上各点的轨迹形状相同；在每一瞬时，各点的速度、加速度也相同。因此，研究刚体的平移，可归结为研究刚体内任一点的运动。例7.1荡木用两条平行钢索平行吊起。钢索长l，当荡木摆动时，钢索的摆动规律为?=?0sin(π/4)t。试求当t=1s时，荡木中点M的速度和加速度。解：因为荡木作平移，荡木各点运动相同，所以研究2M点的运动只需研究A点的运动。O1A点轨迹为圆弧，以最低点为起点，向右为正。ll?anA点运动方程：s=l?=l?0sin(π/4)tanaA点速度：v=ds/dt=(π/4)l?0cos(π/4)tBA点切向加速度：aτ=dv/dt=-(π2/16)l?0sin(π/4)t（A点法向加速度：an=v2/l=(π2/16)l?02cos2(π/4)t当t=1s时，A点，也即M点的速度和加速度为：v=(π/4)l?0cos(π/4)，aτ=-(π2/16)l?0sin(π/4)，an=(π2/16)l?02cos2(π/4)§7-2刚体绕定轴的转动一、刚体绕定轴的转动简称刚体的转动――刚体在运动时，其上或其扩展部分有两点保持不动。转轴――通过这两个固定点的不动的直线称为刚体的转轴或轴线，简称轴。例：机床主轴、轴上齿轮、电机转子等。二、运动方程、角速度、角加速度z为确定转动刚体的位置，过转轴作一固定的参考面、作一与刚体固结的动平面，两平面间的夹角，称为转角。刚体位置：转角?，用弧度(rad)表示运动方程：?=f(t)角速度：ω=d?/dt，单位：rad/s角加速度：α=dω/dt=d2?/dt2，单位：rad/s2?、ω和α均为代数量，按右手螺旋法则，拇指指向z轴正向为正，反之为负。ω与α同号，加速转动；异号，减速转动。讨论两种特殊情况：(1)匀速转动，ω=常量?=?0+ωt，?0为t=0时的转角。(2)匀变速转动，α=常量ω=ω0+αt，?=?0+ω0t+αt2/2，?0、ω0为t=0时的转角和角速度。§7-3转动刚体内各点的速度和加速度当刚体绕定轴转动时，刚体内任意一点都作圆周运动，圆心在轴线上，圆周所在的平面与轴线垂直，圆周的半径等于该点到轴线的垂直距离，因此，宜采用自然法研究各点的运动。(+)sωvv一、速度设刚体由定平面A绕定轴O转动任一角?，到达B位置。其上任一点O’，运动到M。以O’为弧坐标的原点，规定正方向。则：As=R?上式对t求导得速度：v=Rω，⊥OM，指向转动的一方转动刚体上任一点的速度大小等于刚体的角速度与该点到轴线垂直距离的乘积，方向沿圆周切线指向转动的一方。a二、加速度切向：大小：aτ=dv/dt=Rdω/dt=Rαα方向：沿轨迹切线，即⊥OM，指向与α一致法向：大小：an=v2/ρ=(Rω)2/R=Rω2方向：沿MO指向点O。全加速度：大小：a=2a?a?2?an?R2??4nvManω方向：tgθ=aτ/an=α/ω2例7.2直径为d的轮子作匀速转动，每分钟转数为n。求轮缘各点的速度和加速度。解：v=Rω=(d/2)(2πn/60)=πdn/60aτ=Rα=0an=Rω2=(d/2)(2πn/60)2=π2n2d/18007-4轮系的传动比工程中，常利用轮系传动提高或降低机械的转速，例齿轮系、带轮系。ω1ⅠBABⅡω1ω22ⅡB一、齿轮传动两齿轮啮合圆的接触点，没有相对滑动。vA=vB，∴R1ω1=R2ω2，传动比：i12=ω1/ω2=R2/R1=Z2/Z1上式也适用于圆锥齿轮传动、摩擦轮传动等。若考虑转向：i12=ω1/ω2=±R2/R1=±Z2/Z1，内啮合为正号，外啮合为负号。二、带轮传动v'如不考虑胶带的厚度，并假定胶带与BBA’带轮间无相对滑动。vB1则：vA=v’A=v’B=vBⅡ∴R1ω1=R2ω2∴i12=ω1/ω2=R2/R1例7.3减速箱由四个齿轮构成，齿轮Ⅱ、Ⅲ安装在同一轴上，与轴一起转动。各齿轮的齿数分别为：Z1=36、Z2=112、Z3=32和Z4=128。n1=1450r/min，求从动轮Ⅳ的转速n4。nn3n1Ⅲn4Ⅳi14?解：∵齿轮Ⅱ、Ⅲ安装在同一轴上，∴ω2=ω3??????ZZi14?1?1?2?3?1?3?2?4?4?2?3?4?2?4Z1Z3∴?112128??12.43632?1?1?2?3????4?2?3?4i14?∴Ⅳ轮与Ⅰ轮的转向相同。n1nn4?1??117n4i12.414，∴r/min第八章点的合成运动教学要求1、掌握运动合成与分解的基本概念和方法；2、能应用点的速度合成定理和加速度合成定理求解平面问题。前两章分析的点或刚体相对一个定参考系的运动，可称为简单运动。物体相对不同参考系的运动是不相同的。研究物体相对于不同参考系的运动，分析物体相对于不同参考系运动之间的关系，可称为复杂运动或合成运动。§8-1相对运动?牵连运动?绝对运动物体相对不同参考系的运动是不相同的，例沿直线轨道滚动的车轮，其轮缘上点M的运动，相对车身其轨迹是一个圆，相对地面其轨迹是旋轮线。通过观察可以发现，物体对一个参考系的运动可以由几个运动组合而成。yOx一、运动的合成与分解点M相对地面的旋轮线运动(分解)→←(合成)点M相对车厢的圆周运动+车厢相对地面的平移二、基本概念两个参考系：定参考系oxy―一般固连于地面动参考系o’x’y’―固连在相对地球运动的参考体上三种运动：绝对运动―动点相对定系的运动相对运动―动点相对动系的运动牵连运动―动系相对定系的运动三种速度、加速度：绝对：速度va；加速度aa，相对：速度vr；加速度ar，牵连：速度ve；加速度ae牵连速度和牵连加速度是指动系上与动点重合的那一点的速度和加速度。例8.1已知AB杆的ω、α，试分析点M的三种运动、速度、加速度。τ解：1、动点―小圆环Mvaaavear定系―固连于地面nMαa动系―固连于AB杆vrτ2、运动分析an绝对运动―M沿大圆环的圆周运动相对运动―M沿AB杆的直线运动牵连运动―杆AB绕A点的转动3、速度：va、vr、ve如图4、加速度aa=aaτ+aan；ar；ae=aeτ+aen如图三、运动方程和轨迹动点―M，定系―oxy，动系―o’x’y’绝对运动方程：x=x(t)，y=y(t)，消去t得绝对运动轨迹y相对运动方程：yx’=x’(t)，y’=y’(t)，消去t得相对运动轨迹x’牵连运动方程(动系相对定系)：yo'xo'=xo'(t)，yo'=yo'(t)，?=?(t)三者间的关系：Oxxo'x=xo'+x’cos?-y’sin?y=yo'+x’sin?+y’cos?例8.2车削工件端面，oxy为定系，工件以等角速度ω转动，刀尖M沿x轴往复运动，运动方程为x=bsinωt。求车刀在工件端面上切出的痕迹。解：动点―M，动系o’x’y’―固定在工件上y由图：x’=xcosωt，y’=-xsinωt∵x=bsinωt∴x’=bsinωtcosωt=(b/2)sin2ωtty’=-bsinωtsinωt=-(b/2)(1-cos2ωt)上式中消去时间t得刀尖的相对轨迹方程：(x’)2+(y’+b/2)2=b2/4――车刀在工件端面上切出的痕迹是一个半径为b/2，圆心在Oy’轴上，圆周过工件中心O。§8-2点的速度合成定理一、定理动点在某瞬时的绝对速度等于它在该瞬时的牵连速度与相对速度的矢量和。即：va=ve+vr1在金属丝AB上套一小圆环MM1动点―M，动系―AB，定系―地面瞬时t：动系在AB处1经过极短的时间间隔△t后：1)动系运动到A1B1，动点M运动到M1动系上与动点重合的牵连点M’运动到M’1弧MM1、MM1’、M’1M1分别为绝对轨迹、牵连轨迹、相对轨迹。矢量MM1、MM1’、M’1M1分别为绝对位移、牵连位移和相对位移。由图：MM1=MM’1+M’1M1MM1MMMMlimlim∴?t?0?t=?t?0?t+?t?0?t∴va=ve+vr证毕。绝对速度是牵连速度和相对速度构成的平行四边形的对角线。二、点的速度分析步骤：1、确定动点、定系、动系。lim动点相对动系、定系都要有运动，相对运动轨迹要易于确定，以利问题的求解。????????'1????'11常见情况的动点动系的选择：(1)两运动的物体，甲物体上始终有一点与乙物体接触且在乙物体上运动。动点：甲物体上的接触点；动系：固连于乙物体。(2)一个单独的点(动点)在另一个运动的物体(动系)上运动。见例8.1。(3)两个互不相关的点，求二者的相对速度，选其中一点为动点，另一点固连平移的动参考系。2、三种运动分析3、根据速度合成定理：va=ve+vr，作速度矢量图，求解未知量。绝对速度是牵连速度和相对速度构成的平行四边形的对角线。例8.3已知OA以匀角速度ω绕轴O转动，OA=r，OO1=l。求当OA在水平位置时摇杆O1B的角速度ω1。刨床急回机构，曲柄OA的一端A与滑块用铰链连接。解：1、动点―OA上的A点，动系―固定于O1B2、运动分析a绝对运动是以O为圆心，以OA为半径的圆周运动vr相对运动是沿O1B的直线运动O牵连运动是O1B绕O1的摆动3、速度分析，画速度矢量图，求解。va=ve+vr1大小：ωr？？O1方向：⊥OA向上⊥O1A沿O1Bva为由ve和vr为边构成平行四边形的对角线。由图：ve=vasin?=ωr(r/O1A)=ωr2/O1A∵ve=ω1O1A，∴ω1=ωr2/O1A2=ωr2/(r2+l2)转向：逆例8.4已知凸轮半径R，偏心距为e，以匀角速度ω绕O轴转动，杆AB能在滑槽中上下平移，杆的端点A始终与凸轮接触，且OAB成一直线。求图示位置杆AB的速度。解：因AB杆作平移，各点速度相同。1、动点―AB的端点A，动系―固定于凸轮a2、运动分析vr绝对运动是沿AB的直线运动e相对运动是沿凸轮圆周的曲线运动R牵连运动是凸轮绕O的转动OC3、速度分析，画速度矢量图，求解。ωva=ve+vr大小：？ωOA？方向：沿AB⊥OA向右沿凸轮圆周切线由图：ve/va=tgθ=OA/e，∴va=vee/OA=ωOAe/OA=ωe向上。例8.5A、B两船，在静水中沿夹角为θ的两直线航行，已知A船速度vA，船B在船A的右侧，AB⊥vA。求：B船速度及B船相对于A船的速度。解：1、动点―B，动系―固定于A上的平移参考系2、运动分析y'绝对运动是B沿斜直线运动vave相对运动是B水平向右运动v牵连运动是o’x’y’的平移Avr3、速度分析，画速度矢量图，求解。va=ve+vrθvA大小：？？方向：沿OB∥OA向右由图：vacosθ=ve=vA，∴va=vA/cosθ，方向如图vr/ve=tgθ，∴vr=vetgθ=vAtgθ，方向向右§8-3点的加速度合成定理一、定理动点在某瞬时的绝对加速度等于该瞬时它的牵连加速度、相对加速度与科氏加速度的矢量和。即：aa=ae+ar+ac，ac=2ωe×vr当牵连运动为任意运动形式时，上式都成立，它是点的加速度合成定理的普遍形式。证明见书P117。ωe―将动系的转动角速度按右手螺旋法则以矢量表示。ac的大小：2ωevrsinθvr方向⊥ωe和vr，指向按右手法则确定。c当ωe∥vr时(θ=0°或180°)，ac=0ωe当ωe⊥vr时(θ=90°)，ac=2ωevr当牵连运动为平移时，ωe=0，因此ac=0，∴aa=ae+ar牵连运动为平移时点的加速度合成定理：当牵连运动为平移时，动点在某瞬时的绝对加速度等于该瞬时它的牵连加速度与相对加速度的矢量和。二、特例说明半径为r的圆盘绕中心O以匀角速度ω逆时针转动。圆盘边缘有一动点M，ωeωe以相对速度vr=ωr沿边缘作圆周运动。试分析点M的速度与加速度。1、动点―M，动系―固定于圆盘2、运动分析：绝对运动―匀速圆周运动；相对运动―匀速圆周运动；牵连运动―匀速转动3、速度分析，画速度矢量图，求解速度vvava=ve+vreaear大小：？ωrωr方向：？向左向左aOe∴va=ve+vr=2ωr，向左，匀速圆周运动4、加速度分析aa大小：aa=va2/r=4ω2r，方向指向圆心Oae大小：ae=rω2，方向指向圆心Oar大小：ar=vr2/r=rω2，方向指向圆心Oac大小：ac=2ωevrsinθ=2ω2r，方向指向圆心O，(ωe⊥圆盘向外。)可见：aa=ae+ar+ac例8.6曲柄OA绕固定轴O转动，丁字形杆BC沿水平方向往复平移。铰接在曲柄端A的滑块，可在丁字形杆的铅直槽DE内滑动。设曲柄以角速度ω作匀速转动，OA=r，试求杆BC的加速度。解：因BC杆作平移，其上各点加速度相同。如将动系固定于BC，则牵连加速度即为BC杆的加速度。1、动点―曲柄端点A，动系―固定于BC杆D2、运动分析e绝对运动：以O为圆心的圆周运动Ar相对运动：沿DE滑槽的运动C牵连运动：BC沿水平方向的平移因牵连运动为平移，ac=0故aa=ae+ar3、加速度分析，画加速度矢量图，求解Eaa=ae+ar大小：rω2？？方向：沿AO指向O水平沿DE由图：ae=aacosφ=rω2cosφaBC=ae=rω2cosφ，方向：水平向左。注：因曲柄作匀速转动，所以A点的绝对加速度只有法向分量。例8.7凸块水平向右加速运动，已知：R、v、a，求θ=60°时，从动杆AB的速度与加速度。解：因AB作平移，所以AB杆的速度与加速度等于A点的速度与加速avr度。e
e1、动点―杆AB的端点A，动A系―固定与凸块2、运动分析：绝对运动：沿AB的直线运动相对运动：沿凸块边缘的曲线运动牵连运动：凸块向右的平移(因牵连运动为平移，ac=0故aa=ae+ar)3、速度分析，画速度矢量图，求解速度va=ve+vr大小：？方向：沿ABv向右？与凸块圆周相切由图：ve/va=tgθ，∴vAB=vA=va=vectgθ=vctg60°=(/3)v，向上vr=2va=(2/3)v，与凸块边缘相切，斜向上4、加速度分析，画加速度矢量图，求解加速度因牵连运动为平移，故由加速度的合成定理：aa=ae+arτ+arnavr2/R大小：？？方向：沿AB水平向右与凸块边缘相切指向O将以上矢量方程向n方向投影得：矢量方程左边各项在某轴上的投影等于右边各项在同一轴上的投影。-aasinθ=-aecosθ+arn∴aAB=aA=aa=(aecosθ-arn)/sinθ=(acos60°-vr2/R)/sin60°=(a/2-4v2/3R)(2/3)=3(3Ra-8v2)/9R，向上例8.8已知OA以匀角速度ω=2rad/s绕轴O转动，OA=r=15cm，OO1=l=20cm。求当OA在水平位置时摇杆O1B的角速度和角加速度。解：1、动点―OA上的A点，动系―固定于O1Bη2、运动分析er绝对运动是以O为圆心的圆周运动O相对运动是沿O1B的直线运动en牵连运动是O1B绕O1的转动a3、速度分析，画速度矢量图，求解速度。O1BO1eva=ve+vrr大小：ωr？？方向：⊥OA向上⊥O1A沿O1B由图：ve=vasin?=ωr(3/5)=2×0.15×(3/5)=0.18m/sωO1B=ωe=ve/O1A=0.18/0.25=0.72rad/s，逆转vr=vacos?=ωr(4/5)=2×0.15×(4/5)=0.24m/s，4、加速度分析，画加速度矢量图，求解加速度。aa=aeτ+aen+ar+ac大小：ω2r？O1Aωe2?2ωevr方向：沿AO指向O⊥O1B沿AO1指向O1沿O1B⊥O1B向上将加速度矢量方程向η轴投影得：aacos?=aeτ+acτ∴ae=aacos?-ac=ω2r(4/5)-2ωevr=4×0.15×(4/5)-2×0.72×0.24=0.1344m/s2∵aeτ=αO1BO1A，∴αO1B=aeτ/O1A=0.=0.54rad/s2，逆第九章刚体的平面运动教学要求：1、理解刚体平面运动的特征；2、能用基点法、速度投影法和瞬心法求平面图形上各点的速度，能对常见的平面机构进行速度分析；3、能用基点法求平面图形上各点的加速度。第七章讨论的刚体平移与定轴转动是最常见、简单的刚体运动。刚体还可以有更复杂的运动形式，刚体的平面运动是机械工程中较为常见的一种刚体运动；它可以看作平移与转动的合成，也可以看作绕不断运动的轴的转动。本章将分析刚体平面运动的分解、平面运动刚体的角速度、角加速度，以及刚体上各点的速度和加速度。§9-1刚体平面运动的概述和运动分解一、平面运动在运动中，刚体上的任意一点与某一固定平面始终保持相等的距离。平面运动刚体上的各点都在平行于某一固定平面的平面内运动。例：沿直线轨道滚动的车轮，平面曲柄连杆机构中AB的运动，平面四杆机构中连杆AB的运动。二、刚体平面运动的简化vBA如图一作平面运动的刚体，用一平行于固定面的平面截割刚体得一平面图形，该平面图形内任一点始终在该平面内运动。过图形上任一点作垂直于图形的直线，则当刚体作平面运动时，该直线作平移。因此，平面图形上的点与直线上各点的运动相同。因此平面图形上各点的运动可以代表刚体内所有点的运动。刚体的平面运动可简化为平面图形S在其自身平面内的运动。三、平面运动的分解yMOx'平面图形在其平面上的位置完全可由图形内任意线段的位置来确定，而要确定此线段在平面内的位置，只需确定线段上任意一点的位置及线段与x轴夹角即可。1、平面图形的运动方程：xo’=f1(t)，yo'=f2(t)，?=f3(t)2、平面运动的分解运动方程分两部分：一部分是按O’点运动方程的平移，没有转动；另一部分是绕O’点的转动。基点―平面图形上任取一点O’，其上安上平移参考系o’x’y’，一般o’x’y’与定坐标系oxy各轴平行。平面图形的平面运动可看成为随基点的平移和绕基点转动这两部分运动的合成。y’y’x’例沿直线轨道滚动的车轮：可取车厢为动参考体，以轮心为原点建立动参考系。车轮的平面运动=车厢的平移+车轮绕O’的转动单独的轮子作平面运动时，可在轮心固连平移参考系，同样可把轮子的平面运动分解为平移和转动的合成。O’3、基点选择不同，对运动分解的影响y'’Ay'’x'’y'图中连杆AB作平面运动，可取点A或B为基点,点A作圆周运动，点B作水平直线运动，因此，平面图形上基点选择不同，其动参考系的平移是不同的，其速度和加速度是不相同的。由图，AB连线绕A点和绕B点的转角，任一时刻相同，因此其角速度、角加速度也必然相同。x'’y'结论：平面运动可取任意基点分解为平移和转x'动，其中平移的速度和加速度与基点的选择有关，而平面图形绕基点转动的角速度和角加速度与基点的选择无关。§9-2求平面图形内各点速度的基点法一、基点法由前分析可知，任何平面图形的运动可分解为：牵连运动―随基点的平移；相对运动―绕基点的转动。于是，平面图形内任一点M的运动，可分解为：牵连运动―随基点的平移；相对运动―以基点为圆心的圆周运动。因此可用速度的合成定理来求M点的速度，这种方法称为基点法。1、动点―M，动系―固定于基点o’的平移参vMO’OvO’MvO’x’考系o’x’y’2、运动分析绝对运动：点M的平面曲线运动相对运动：点M绕基点o’的圆周运动牵连运动：o’x’y’随基点o’的平移3、速度分析，画速度矢量图va=ve+vr，即：vM=vo’+vMo’vMo’的大小：vMo’=O’Mω，方向⊥O’M，与ω一致。结论：平面图形内任一点的速度等于基点的速度与该点随图形绕基点转动速度的矢量和。二、速度投影定理定理――同一平面图形上任意两点的速度在这两点连线上的投影相等。证：上图中，O’、M是图形内任意两点vM=vo’+vMo’将上式在O’M连线上投影，则：[vM]o’M=[vo’]o’M+[vMo’]o’M∵[vMo’]o’M=0∴[vM]o’M=[vo’]o’M，证毕。例9.1椭圆规尺的A端以速度vA沿x轴的负向运动，AB=l。求B端的速度及尺AB的角速度。y解：AB作平面运动，取点A为基点，分析B点vBvBA速度，画速度矢量图，求解vB=vA+vBAvAvA大小：？？AB方向：垂直水平向左⊥AB由图：vA/vB=tg?，∴vB=vActg?，向上AOvBAsin?=vA，∴vBA=vA/sin?，⊥AB，斜向上ωAB=vBA/l=vA/lsin?，顺转。例9.2平面四杆机构，OA=r=0.2m，AB=2r，ω=4rad/s，AB与水平方向夹角30°，∠ABC=90°。求此瞬时B点速度，AB、CB杆的角速度。解：杆AB作平面运动，取A为基点，分析B点的vBAvB速度，画速度矢量图，求解。AωABvB=vA+vBA大小：？ωr？AvAωBC方向：⊥CB水平向右⊥AB由图：vB=vAcos30°=ωrcos30°=0.69m/s60CvBA=vAsin30°=ωrsin30°=0.4m/sωAB=vBA/AB=1rad/s，逆转vB?vB?1.5ωCB=CB2r60?rad/s，顺转例9.3平面机构，曲柄OA=0.1m，以匀加速度ω=2rad/s转动。连杆AB带动摇杆CD，并拖动轮E沿水平面滚动。已知CD=3CB，图示位置时A、B、E三点恰在一水平线上，且CD⊥ED。试求此瞬时点E的速度。解：vA=ωOA=0.2m/svD由速度投影定理，平面运动杆件AB上，A、B点速度在AB连线上的投影相等，有DvA=vBcos30°B得：vB=0.23m/svA摇杆CD绕C点转动，有EωvD=ωCDCD=(vB/BC)CD=3vB=0.69m/s由速度投影定理，平面运动杆件ED上，E、D点速度在ED连线上的投影相等，有vEcos30°=vD，得vE=0.8m/s§9-3求平面图形内各点速度的瞬心法研究平面图形上各点的速度，还可以采用瞬心法。求解问题时，瞬心法形象性更好，有时更为方便。一、定理：一般情况下，每一瞬时，平面图}