联立四个方程解方程组，用mathematica求方程组怎么做
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时间：2017-09-22 09:40
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MATHEMATICA中如何解方程组已知3个平面的公式为x+2y+3z=42x+3y+4z=5x+3y+5z=7如何用MATHEMATICA求出其交线的公式
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在新浪上有同一个问题,不知道是不是你问的,输入：Reduce[{x + 2 y + 3 z == 4,2 x + 3 y + 4 z == 5,x + 3 y + 5 z == 7},{x,y,z}]输出：Out[1]= y == -1 - 2 x && z == 2 + x做题时把双等号改成等号,&&换成大括号就行了.
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联立四个方程解方程组，用mathematica怎么做？
08-12-26 &
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类似以下格式，自己看吧，我估计你mathematica符号表达式用不来，建议借书看看，肯定有例题 Solve[{x*(0..21372*(1 - y*Exp[-2z]) - a) == 0.00137, x*(0..21372*(1 - y*Exp[-16z]) - a) == 0.00393, x*(0..21372*(1 - y*Exp[-109z]) - a) == 0.01332, x*(0..21372*(1 - y*Exp[-207z]) - a) == 0.01453}, {x, y, z, a}]
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Mathematica教程(中科大教案)
绪论0.1 符号计算系统简介# 数值计算与符号计算1946 年 世 界 上 第 一 台 计 算 机 ENIAC (The Electronic Numerical Integratorand Computer)是为数值积分服务的。 一提起计算机求解人们立刻想到的是数值求解，这是因为计算机的早期应用范围主 要是数值求解。其实数值求解是计算机求解的一个方面，计算机进行计算的另一方面即 对数学表示式的处理已形成一门新的科学分支，称为符号计算或计算机代数，它是一门 研究使用计算机进行数学公式推导的理论和方法，演算数学公式的理论和算法是它研究 的中心课题。 数值计算： 常量、变量、函数、运算符 --〉数值、字符、逻辑量 表达式一个值 多 一 近似计算 例：计算 y=sin10+ln10。其结果是 1.75856。 在高级语言中，算术表达式由常 量、变量、函数和运算符等组成，算术表达式的 值为某一精度范围内的数值。计算各类表达式的值是高级语言的主要工作。 符号计算(计算机代数): 常量、变量值、函数值 --〉数值、字符、逻辑量 表达式表达式 多 多 准确计算??x sinxdx＝-(-2+x )cosx+2xsinx2 2与数值计算相比，符号计算对计算机硬件和软件提出了更高的要求。#符号计算系统符号计算系统是一个表示数学知识和数学工具的系统， 一个集成化的计算机数学软件系统。 # # # # 数值计算、 符号计算、 图形演示 程序设计公式推导、数值计算和图形可视化操作一致性和连贯性。 符号计算系统的对象从初 等数学到高等数学，几乎涉及所有数学学科。包括各种数 学表达式的化简、多项式的四则运算、求最大公因式、因式分解(factor)、常微分方程 和偏微分方程的解函数。各种特殊函数的推导、函数的级数展开、矩阵和行列式的各种 运算和线性方程组的符号解等。 和数值计算一样，算法也是符号计算的核心。就算法而言，符号计算比数值计算能 继承更多的更丰富的数学遗产，古典数学家许多算法仍然是核心算法的成员，近代数学 的算法成果也在不断地充实到符号计算中。 符号计算已成功地应用于几乎所有的科学技术和工程领域，其中包括数学理论领 域。由于它和数值计算一样，能够正确地完成人在短时间内无法完成的公式推导计算， 使得不少研究领域的前沿向前推移。# 符号计算的应用?验证公式的工具 在十九世纪，法国文学家 CharlesDelaunay 计算月亮的位置作为时间函数。从 1847 年到 1867 年用了 20 年的时间，完成并发表了长达数百页的计算方面的文章，推导了 近 四万个公式。到 1970 年 MIT 的一个研究小组以 Drprit 为首用符号计算软件对于 Delaunay 的计算公式进行复算，只用了 20 小时的 CPU 便完成了。复算表明原先的计 算只有 3 个 错误，其中一个错误是某项的系数是 3 而不是 2，另外两个错误是由此而 引起的。这是 一个很有代表性的例子。 例如：一个七个自由度行走的机器人，从运动方程求解加速度时，包括大量的多维 转换公式推导，可以有上百项，甚至上千项。这时只能用符号计算系统才能迅速、准确 的求解，在推导有限元的刚度矩阵中，在计算行列式展开和合并中，都可以用任何一个 符号计算系统来完成公式演算。 用符号计算系统进行公式推导，简单、正确和快速。它帮助科研人员摆脱了理论推 导中繁琐的一面，将精力更多的放在创造性的思维中。 ?理论研究中的实验方法 在物理、化学和生物学等许多自然科学领域中，实验是科学研究的一个手段。符号 计算系统的出现为数学领域和一些理论研究领域提供了“实验”工具。部分高校的“数 学实验室”应运而生。数学的创造大多来自直觉，用符号计算系统对设想的定理结论直 接验证，将待研究的方程绘出图形以观察变化趋势，会给科研人员带来不同程度的灵感 和启发，甚至会得到意想不到的收获。再将结果进行理论深化并加以严格证明。如今数 学实验已被一些数学工作者所接受。数学实验课程已列入国家教委 21 世纪教学改革的 重点课程之一。# 符号计算系统软件简介符号计算已有几十个软件系统，一般有专用系统和通用系统两类。通用符号计算系 统都具有数值计算、符号计算和图形功能。都有适合于从工作站到微机使用的多种版本。 符号计算语言是这种算法在计算机上的工具。符号计算系统由符号计算语言和若干软件 包组成。目前，典型的通用符号计算系统有：(按字母顺序排列) Axiom Macsyma Maple Mathematica Reduce Derive 符号计算系统通常都有两种运行方式：一种是交互式，每发一个命令，就执行一种 相应的数学计算。 另一种方式是写一段程序，执行一系列的命令，就想用 Fortran 或 C 写程序一样。 每个符号计算系统都有自己的程序设计语言，这些语言与通用的高级语言大同小异。请 看 C 语言和 Mathematica 中的几个语句形式：2 C 语 言 if(表达式)语句 1 else 语句 2 while(表达式)语句 for(初值；终值条件；增量)语句Mathematica If [表达式,语句 1, 语句 2] While[表达式,语句] For[初值，终值条件，增量，语句]1.2 Mathematica 简介Mathematica 是 美 国 Wolfram 研 究 公 司 开 发 的 符 号 计 算 系 统 。 1988 年 发 布 Mathematica 系统的 1.0 版，因系统精致的结构和强大的计算能力而广为流传，经不断 扩充和修改后，在 1991 年和 1997 年推出了功能更加充实和完善的 Mathematica2.0 版和 Mathematica3.0 版，在 1999 年推出了 Mathematica4.0 版。 Mathematica 是最大的单应用程序之一，它内容丰富功能强大的函数覆盖了初等数 学、微积分和线性代数等众多的数学领域，它包含了数学多方向的新方法和新技术；它 包含的近百个作图函数是数据可视化的最好工具；它的编辑功能完备的工作平台 Notebooks 已成为许多报告和论文的通用标准；在给用户最大自由限度的集成环境和优 良的系统开放性前题下，吸引了各领域和各行各业的用户。 现在 Mathematica 在世界上拥有超过一百万的用户，已在工程领域、计算机科学、 生物医学、金融和经济、数学、物理、化学和社会科学等范围得到应用。尤其在科研院 所和高等院校流行。 目前，至少有 14 种语言写成的 200 多册书籍和几种专门介绍 Mathematica 的期刊。 在英国和日本都有大学将 Mathematica 作为理工科学生入校必修的计算机课程之一。它 也是“数学模型”和“数学实验”课程最好的工具之一。世界各地的大学和高等教育工 作者已开发基于 Mathematica 的多门课程。 Mathematica 是用 C 语言编写的，Mathematica1.2 版大约有 150,000 行长。它吸取 了不同类型的软件的特点。 ?具有 BASIC 语言的简单易学的交户式操作方式 ?具有 MathCAD,Matlab 那样强的数值计算功能 ?具有 Maccsyma,Maple,Reduce 和 SMP 那样的符号计算功能 ?具有 APL 和 LISP 那样的人工智能列表处理功能 ?像 C 与 PASCAL 那样的结构化程序设计语言 # Mathematica 的开发者 Stephen Wolfram 是 Mathematica 的 创 始 人 ， 并 公认 是 当 今 科 学 计 算 的 先 驱 。 Wolfram 1959 年生于伦敦。他在 Eton(伊顿公学)，Oxford(牛津大学)和 Caltech(加州理工 学院)受教育。他在 15 岁发表了第一篇科技论文，于 1979 年 20 岁时在加州理 工学院 获理论物理学博士学位。 从 1973 年开始使用计算机，1981 年主持开发了第一个计算机代数系统 SMP。 Wolfram 的研究范围包括了物理学、数学和计算机的许多领域。他早期的工作主要 在能物理、量子场论和宇宙学方面。由于他在物理和计算方面的成绩，1981 年成为最年 轻的麦克阿(MacArthur)奖学金获奖者。Wolfram 所做的元细胞自动机(cellularautomata)的计 算模型应用到数学和物理出现的复杂系统。Wolfram 关于元细胞自动机的工作已在3 许多不同的邻域得到广泛的应用，它导致生物学和物理学中图样生成的新模型，以及研 究混沌和随机性的新方法。Wolfram 发明了基于元细胞自动机的快速加密系统。1986 年， 他创办了杂志 Comliex Systems。担任过伊里诺大学复杂系统研究中心的主任，物理学、 数学和计算机科学教授。 从 Wolfram Research 公司创办开始，Stephen Wolfram 就担任公司的总裁并致力于 Mathematica 的发展，Wolfram 负责 Mathematica 的总体设计，他写了 Mathematica 大部 分的基本核心代码。 DanielR.Grayson 是伊里诺大学的数学教授。他于 1976 年在麻省理工获得数学博士 学位，曾在哥伦比亚大学和高等研究所工作。他写了 Mathematica 的数学部分的许多内 容，包括任意精度的算术运算、解方程、矩阵演算、幂级数和椭圆函数。Grayson 主要 的研究兴趣是代数 K 理论，这个数学分支把代数几何、线性代数和数论的概念结合在一 起。Grayson 广泛地使用计算机研究数论中的猜想。在参加 Mathematica 工作以前， Grayson 开发了一种用于数论研究的交互式计算机系统。 Roman E.Maeder 负责 Mathematica 的符号积分、多项式因式分解和其它多项式运 算。Maeder 于 1986 年在苏黎世高等工艺学院获得博士学位，其论文是关于程序设计语 言的数学理论。从 1983 年起，Maeder 的工作领域是计算机代数及其对数学教育的应用。 他给计算数学研究生开设了“数学实验室”课程。 StephenM.Omobundro 写了 Mathematica 的三维图形程序代码。Omobundro 于 1985 年在伯克力加州大学获数学物理学博士学位。1985 至 1986 年他曾在 Think Machines 公 司从事大规模并行计算的算法方面的工作。他是 Connection Machine 计算机用的 LISP 语言设计者之一。1.3 初识 MathematicaMathematica 是什么？ Mathematica 能做什么？ 希望 Mathematica 会成为你工作和学习中的好伙伴！# 进入 math4.0在“开始”菜单中的“程序”中单击，进入 Mathematica4.0之后，得到如下的 Notebook 窗口，并给 Notebook 暂时取名 Untitled-1，直到用户保存时 另命名为止。 假定用户已经掌握 windows 中下列常规操作： ?单击：单击鼠标左键；双击：快速地连续击两次鼠标左键； 拖放：按住鼠标左键拖动鼠标。 在文件菜单中保存、打开关闭文件等操作。图 0 -1 Mathematic 4.0 窗口4 # 退出 math4.0在“File”菜单中选择“Exit”命令或按“Alt+F4”。如果窗口中还有内容没有保存到 Notebook 中，这时会出现一个对话框，系统要问你是否保存 Notebook，单击对话框上的“否(N)” 按钮则关闭窗口；单击“是(Y)”按钮，则保存 Notebooks 后退出窗口。退出后返回到调 入 Mathematica 以前的状态。# 输入和计算表达式运行命令方式：按 Shift+Enter In[1]:= Out[1]= (* 像在用一个计算器*) 对 x ?12x ?145x+1716 因式分解； In[2]:= Factor[x^3-12x^2-145x+1716] Out[2]= (-13 + x) (-11 + x) (12 +x) In[3]:=Expand[(x-3)(y^2-x+6)] (* 展开多项式*) Out[3]= ?18 + 9 x ??x ??3 y + x y In[4]:=GCD[391,561,357] Out[4]=17 In[5]:=LCM[21,29,35] Out[5]=3045 解方程组 ??? (* 计算 21,29,35 的最小公倍数*)2 2 2 3 2计算 391,561,357 的最大公约数；?3x?2y?5 ?? x ??y ??5In[6]:=Solve[{3x-2y==5,x+y==5},{x,y}] Out[6]={{x-&3,y-&2}} 计算dx 2 sinx dx2In[7]:=D[x^2Sin[x],x] Out[7]=x Cos[x] + 2 xSin[x]计算不定积分??x sinxdx2 2In[8]:=Integrate[x^2Sin[x],x] Out[8]= -(-2 + x1.3)Cos[x] + 2 xSin[x]2计算定积分cosx??2 ??? sin xdx1.1In[9]:=Integrate[(Cos[x]+2)/Sin[x]^2,{x,1.1,1.3}]5 Out[9]=0.546958 定义矩阵 AA，AB，AC； In[10]:=AA={{1,2,3,4},{3,2,5,6},{1,2,-1,2},{0,2,5,7}}； AB={{7,6,5,4},{8,5,3,2},{9,6,1,8},{0,-3,-4,5}}； AC={{3,1,2,0},{4,5,0,8},{6,7,1,9},{7,8,2,3}} In[11]:=TableForm[AA.AB+AC] (* 矩阵运算如此简单 !*) In[12]:=Plot[x^5-3x+7,{x,-3,3}]15 12.5 10 7.5 5 2.5 -3 -2 -1 1 2 3图 0-3Out[12]=-Graphics(* 一个命令，一个图形呼之而出*) In[13]:= ParametricPlot[{Sin[0.99t]0.7*Cos[3.01t],Cos[1.01t]+0.1Sin[15.03t]},{t,-150,150}, PlotStyle -& RGBColor[0.2, 0.5,0.3],PlotPoints -& 300, Axes &None]画出马鞍面 z?? x ?? y ,?5?? x??5,?5?? y??52 2In[14]:=Plot3D[x^2-y^2,{x,-5,5},{y,-5,5}, BoxRatios -&{1,1,1}]6 画一副分形图。 In[15]:= f[x_,y_,lim_]:=Module[{z, ct =0}, z = x + I While[Abs[z] & 2.0 && ct &=lim, z = z^2 +Sin[ x]+ I ++ct];ct] DensityPlot[f[x,y,50],{x,-2,1},{y,-1.5,1.5}, PlotPoints -&200,Mesh -&False,ColorFunction-&Hue]打开与计算机相连的音响，运行下列命令后，你会听到 Sin 抑扬顿挫的声音和声 波的振幅数据图。In[16]:= Play[Sin[1599t ^3 - 75 Sin[59t]],{t,0,9}]7 0.4 获胜帮助# 获取函数和命令的帮助在 Windows 和 DOS 下都用？或？？可向系统简单而直接获取帮助信息。用？ 或？？可向系统查询运算符、函数和命令的定义和用法。 ? name 显示有关 name 的信息 ??name 显示有关 name 的详细信息 ? A* 显示以字母 A 为开头的一 切客体的名称例如, 向系统查询运算 符 :=的定义 In[1]:=?:= 向系统查询求和函数 Sum 的用法； In[2]:=?Sum 显示所有以 Plot 为开头的函数。 In[3]:=?Plot*# Mathmatica 6.0 帮助文档中心8 # Mathmatica 4.0 Help 菜单选项卡名称 Built - inFunction Add-ons MathematicaBook GettingStarted/Demos OtherInformation MasterIndex 说 明 内建函数按数值计算、代数计算、图形和编程分类存放 程序包(StandardPackages)，MathLinkLibrary 等内容 The 一本完整的 Mathematica 的使用手册 初学者首选处，有初学者入门指南和多种演示 菜单命令的快捷键，二维输入格式等 按字母顺序给出命令、函数和选项的索引表9 第 1 章 Mathematica 的基本量1.1 数与数的表示1.1.1 数值类型Mathematica 的简单数值类型有整数、有理数、实数和复数。 简单数值类型 类型 整数 有理数 实数 复数 例题：In[1]:=2^1000 In[2]= In[3]:=1+1/2+0.2 In[4]:=Sqrt[-9] In[5]:=Exp[3.+7I]描述 Integer Rational Real Complex例 43/.3 I特 征 说明 任意长度的精确整数 化简过的分数 任意精确度的近似实数 实部和虚部可为整数、有理数、实数 表 1 -11.1.2 数学常数在 Mathematica 中定义了一些数学常数.例如：表示圆周率的?，无穷大的?? 。 数学常数 Pi E Degree I Infinity 意义 ?=3.14159… 自然对数的底 e =2.71828...1o (1 度)，?/180 虚数单位 i = ?1?，无穷大表 1 -2 数学常数可以直接用在公式推导中，Mathematica 中的数学常数都是精确数；用在 数值计算中的数学常数可以取任意精确度。 In[1]:=2Pi+Pi^2 2 Out[1]= 2p + p (* 结果仍是准确值*) In[2]:=Pi+1.2 (*或 ?+1.2 *) Out[2]=4.34159 (* ??取值 3.14159*)10 1.1.3 有理数与实数的转换(* % 对 1/3 取 18 位有效数字 *)In[2]:=Rationalize[%] (* %表示上一个输出结果*) 有些 实数无法转换为有理数，这时要给出转换时允许的误差范围。 In[3]:=Rationalize[N[Pi]] Out[3]=3.14159 (* 找不到完全等于?? 的有理数，只能保存实数形式的? *) In[4]:= Rationalize[N[Pi],10^(-9)]In[1]:=N[1/3,18]数值转换函数 N[x] N[x,n] Rationalize[x] Rationalize[x,dx]说明 将 x 转变实数形式 将 x 转变为最多具有 n 个数字位精确度的近似实数 给出一个近似于 x 的有理数 给出一个误差在 dx 内近似于 x 的有理数 表 1 -31.1.4 数的输出形式数值输出函数 N [表达式] N [表达式, n] ScientificForm [表 达 式]说明 以实数形式输出表达式 以 n 位精度的实数形式表示表达式 科学记数法 表 1 -4观察 In[1]和 In[2]运算结果的区别 In[1]:=Sin[2/3] + Cos[1/3] + Pi - 3Sin[2/3] In[2]:=Sin[2./3] + Cos[1/3] + Pi - 3Sin[2/3] In[2]:=N[Pi,20] 要求运算结果共有 20 位有效数字， In[3]:=ScientificForm[%*12345]Out[3]//ScientificForm=3.In[4]:=ScientificForm[a+b]a 和 b 没有数值，输出？1.2 变量1.2.1 给变量取名在 Mathematica 中变量名以英文字母开头，后跟字母或数字，变量名字符的长度 不限。英文字母中大小写意义不同，因此 A 与 a 表示两个不同的变量。在 Mathematica 中变量即取即用，不需要先说明变量的类型再使用。在 Mathematica 中变量不仅可存放 一个整数或复数，还可存放一个多项式或复杂的图形。11 1.2.2 给变量赋值在 Mathematica 中，运算符“=”或“：=”起赋值作用，有关运算符“：=”的定 义请看第 7 章。运算符“=”的一般形式为： 变量 =表达式 变量 1= 变量 2= 表达式In[1]:= u = v =1 (* 与 C 语言类似，可给变量连续赋值*) Out[1]=1 In[2]:= f =x^2+x-3.2；f 表示一个多项式，输入命令后以分号结尾，则不输出运算结果。In[3]:= m =Table[i+j,{i,5},{j,5}]；m 表示一个 5 行 5 列的表，In[4]:= d = Plot[Sin[x],{x,-Pi,Pi}] In[5]:=Show[d](* d 表示一个图形*)屏幕再现变量 d 所保存的图形，图略。 在 In[1]中给 u 和 v 赋值 1，如果要给 u 和 v 赋以不同的值，可用两次定义赋值， 也可用形式：{u,v}={值 1, 值 2}。有了这种变量的赋值形式，交换两个或多个变量的 值也就有了{ u, v}= { v ,u}的形式。例如： In[1]:={x, y, z}= {11,22,33} Out[1]={11, 22,33}In[2]:= 3 x+2y Out[2]=77 In[3]:= {x, y}={y,x}Out[3]={22,1 1}In[4]:= 3 x+2y Out[4]=88 下列给变量赋值的常用形式： 赋值形式 x = value x = y = value {x, y} = {value1,value2} {x, y} = {y, x} x=. Clear[x]意 义 给 x 定义值 value 给 x 和 y 定义同一值 value 给 x 和 y 定义不同的值 交换 x 和 y 的值 清除变量 x 的值 清除变量 x 的定义和定义的值 表 1 -51.2.3 变量替换变量有两种获取值的方式，赋值是一种方式，变量替换是另一种方式。 变量替换的一般形式： expr /. lhs -& rhs 用 rhs 替换 expr 中的 lhs expr /. {lhs1 -& rhs1, lhs2 -& rhs2,…} 分别用 rhsi 替换 expr 中的 lhsi 定义中的 lhs 可为变量名、函数名等多种成分。 In[1]= f =x^2+1 In[2]:= f/.x-&1 (* 用 1 替换 f 中的 x *) In[3]:=f/.x-&2.5 In[4]:= g =x^2+y^2;12 g/.{x-&2,y-&1} (*在 g 中替换 x,y 两个变量*) 还能对 表达式中的函数名做替换，更复杂的替换规则，请看第 7 章。In[5]:=Sin[1-x]+ Sin[x]/.Sin -&Cos Out[5]=Cos[1-x]+Cos[x]1.3 表将一些有关联的数据元素组成一个整体，在 Mathematica 中，这样的数据结构称为表 (List)。用表可以表示数学中的集合、向量和矩阵，也可表示数据库中的一组记录。在 Mathematica 中，既可对整体数据表操作，也可对表的单个元素操作。 表在形式上是用花括号括起来的若干元素，元素之间用逗号分割。 表中的元素 可为任何数据类型。表的元素可为数值、表达式和表。表是一种嵌套 结构形式的定义。同一个表中的元素可为不同的数据类型。表中元素较少时，直接使 用形式： 变量={元素 1，元素 2，...}键入表中元素，即在给出表名的同时又建立了表中元 素。在学习建表命令前，先了解 Mathematica 中的循环描述。 循环描述形式：{ 循环变量，循环初值，循环终值，步长} 循环变量从循环初值开始，按步长逐步递增或递减(步长可为正值或负值)，一直 做到循环终值的界限终止。 循环变量、循环初值、循环终值和步长可为整数、有理数和实数。 表 1 - 6 列出几种常用的循环形式： 循环描述 {i, min, max,step} {i, min,max} {i,max} {max} {i, imin, imax},{j, jmin,jmax} {i,i0,i1,istep},{j,j0,j1,jstep} 说 明 i 从 min 到 max ，按步长 step 增加 同上。步长 step 为 1 时可省略不写 i 从 1 到 max 。初值 min 为 1 时可省略不写 重复 max 次 i 从 imin 到 imax，对每一个 i 值，j 从 jmin 到 jmax 同上。i 的步长 isep，j 的步长 jstep 表 1 -61.3.1 建表函数用建表命令 Table 能方便地构造既有表的大小范围，又有表的元素的表。用 Range 生成元素为数值的数列。本节面向一般的表，有关建立向量和矩阵的细则，请参阅第 4 章。建表命令的一般形式如下： Table[通项公式，{循环范围}，{循环范围}…] 按循环范围定义表的大小范围和层次，用通项公式的规则定义表的元素。 Range[初值，终值，步长] 生成值为{初值，初值+步长，….}的数值表，其中最后的值不超过终值。 下面给出建表函数常用形式和实例。 建 表 函数 说 明 Table [f, {i, min, max,step}] 定义 f 的数值表,i 从 min 变到 max，以 step 为步长 Table [f, {i, min,max}] 定义 f 的数值表，i 从 min 变到 max ，步长为 1 Table[f,{max}] 给出 max 个元素 f 的表13 Table [f,{i,imin,imax,},{j,jmin,jmax},...]生成一个多维表 TableForm[a] 以表列格式显示表 a Range [n] 生成一个 {1,2,...,n}的数列 Range [n1,n2,d] 生成 {n1,n1+d,n1+2d,...}的数列 表 1 -7 In[1]:=Range[3,10,2] In[2]:= a = Table[Random[],{3}] In[3]:= b =Table[i+j?1,{i,1,3},{j,1,3}] In[4]:=TableForm[%]Out[4]//TableForm=1 2 32 3 43 4 51.3.2 表的分量表示表的分量 t[[n]] 或 Part [t,n] t[[?n]] 或 Part [t,?n] First [list] Last [list] t[[{n1,n2,...}]]或 Part [t,{n1,n2,n3....}] t[[i,j]]In[1]:=s=Range[2,12,2]说明 t 中的第 n 个元素 t 的倒数第 n 个元素 list 中的第一个元素 list 中的最后一个元素 给出由 t 的第 n1,n2,n3....个元素组成的表 t 的第 i 个子表的第 j 个元素 表 1 -8In[2]:={Last[s], s[[1]], First[s], s[[?6]], Part[s,?1]} In[3]:= u =Table[10*m+n,{m,3},{n,3}]表 u 的第一个子表是矩阵的第一行元素。 In[4]:= {First[u],Last[u]} In[5]:=u[[2,2]] (* 表 u 的第二个子表的第二个元素*) 而由表 u 的第二个子表和第三个子表的组合为： In[6]:=u[[{2,3}]] Mathematica 还提供了一些表操作的函数，例如：插入或删除表的单个元素或部分 元素。在函数中，用正数表示表的顺数元素的位置，用负数表示表的倒数元素的位置。 在操作中，要特别注意的是在执行插入或删除表的元素后，表本身有没有变化。例如： In[1]:=x={1,2,3,4} Out[1]={1,2,3,4} In[2]:=Insert[x,5,2] (*在表的第 2 个位置插入元素 5 *) Out[2]={1,5,2,3,4} In[3]:=x Out[3]={1,2,3,4} In[4]:=Append[x,6] Out[4]={1,2,3,4,6} In[5]:=x Out[5]={1,2,3,4} (* 表的元素没有变化*) In[6]:=AppendTo[x,6] Out[6]={1,2,3,4,6}In [7]:=x14 Out[7]={1,2,3,4,6}(* AppendTo 的插入效果*)下面列出有关表的操作函数： 表的编辑函数 Insert [list, expr, n] Insert [list, expr,?n] Prepend [list, expr] Append [list,expr] AppendTo [list,expr] Take [list, n] Take [list,?n] Take[list,{m,n}] Rest[list] Drop[list, n] Drop[list,?n] Drop[list, {m,n}] ReplacePart[list, expr,n] Length[list]说明 给出在表 list 的第 n 位置插入 expr 后的结果 给出在表 list 的倒数第 n 位置插入 expr 后的结果 给出在表 list 的首部插入元素 expr 后的结果 给出在表 list 的末尾插入元素 expr 的表 在表 list 的末尾插入元素 expr 取 list 中的前 n 个元素 取 list 的后 n 个元素 取从 m 到 n 的元素(包括 m,n 在内) 给出删掉 list 第一个元素之后的集合 给出删掉 list 前 n 个元素之后的集合 给出删掉 list 后 n 个元素之后的集合 给出删掉 list 第 m 到第 n 个元素的集合 用 expr 替换 list 中第 n 个元素 给出表 list 中元素的数目 表 1 -9In[1]:=s={a,b,c,d,e}； In[2]:={Take[s,2],Take[s,2],Take[s,{2,4}]}In[3]:=s=Insert[s,u,3] In[4]:=Drop[s,{2,3}] Out[4]={a,c,d,e} (*删掉第 2 和第 3 个元素之后的 s*) In[5]:=s (* s 并没有变化*) Out[5]={a, b, u, c, d,e}In[6]:=ReplacePart[s, M,2]In[7]:=ReplacePart[s,N,-2]1.3.3 表的结构运算当一个表与一个标量作四则运算时，标量与每个表元素作用一次，运算结果仍然 是表，当二个表进行加减运算时，要求两个表的大小结构相同。二个表进行乘除和其 它运算请看线性代数部分。下面给出有关表的运算函数和实例。 函 数 说明 Join [list1, list2,...] 把几个表连成一个表 Union [list1, list2,...] 合并几个表，去掉表中重复的元素，然后对元素排 序 Sort [list] 将表 list 的元素按照标准顺序排序 Union [list] 去掉重复的元素后对元素排序 Reverse [list] 将表 list 中元素的顺序倒过来 RotateLeft [list, n] 将表 list 中元素向左转 n 个位置 RotateRight [list, n] 将表 list 中元素向右转 n 个位置 Apply [Plus,list] 把 list 中的所有元素加在一起 Apply [Times,list] 把 list 中的所有元素乘在一起 表 1 -1015 函数 Apply 的一般形式： Apply [ f, expr ] 可以看成函数或算子 f 作用于表达式 expr。Apply 的用法简单灵 活，我们将多次用到不同的对象中。 In[1]:= a={5,8,5,7,2,6}； 将表 a 中所有的元素相加；In[2]:=Apply[Plus,a] Out[2]=33将表 a 中所有的元素相乘；In[3]:=Apply[Times,a] Out[3]=16800 In[4]:=b=Table[Random[Integer,{10,100}],{12}] Out[4]={56,93,88,20,42,90,65,29,17,67,26,47}将随机形成 10 至 100 以内的整数元素表 b 由小至大顺序排列；In[5]:=Sort[b] Out[5]={17,20,26,29,42,47,56,65,67,88,90,93}反转表 b，即表元素由大至小排列；In[6]:=Reverse[%] Out[6]={93,90,88,67,65,56,47,42,29,26,20,17}删除表中第一个元素；In[7]:=Rest[%] Out[7]={90,88,67,65,56,47,42,29,26,20,17}删除表中第三至第五个元素；In[8]:=Drop[%,{3,5}]在表的第 1 个位置上插入元素 99 ；In[9]:=Insert[%,99,1]计算表中元素的个数。In[10]:=Length[%]1.3.4 表的集合运算关数学集合运算的函数： 集合运算函数 Union [list1,list2,...] Intersection [list1,list2,...] Complement[un,list1,list2,...] 说明 给出表 list1, list2,..中不同元素的一个表 给出表 list1, list2,..中公共元素的一个表 给出在 un 中但不在表 list1,list2,..中的元素 表 1-11In[1]:=Union[{c,a,b},{d,a,c},{a,e}] Out[1]={a,b,c,d,e} In[2]:=Join[{c,a,b},{d,a,c},{a,e}] Out[2]={c,a,b,d,a,c,a,e} Out[3]={a,b}(* 只保存一个 a 元素*)(* 所有的 a 元素都保存*) (* 表{a,c,b}与{b,a,d,a}的相同元素*)In[3]:=Intersection[{a,c,b},{b,a,d,a}]16 In[4]:=Complement[{a,b,c,d},{a,d}] Out[4]={b,c}(* 给出在{a,b,c,d}中而不在{a,d}中的元素*)1.4 函数# 常用数值函数实变量的数值函数 Round [x] Floor [x] Ceiling [x] Abs[x] Sign [x] IntegerPart [x] FractionalPart [x] Max[x1,x2,...] 或 Max[s] Min [x1,x2,...] 或 Min[s] 说明 最接近 x 的整数 不大于 x 的最大整数 不小于 x 的最大整数 x 的绝对值 取符号函数。x&0 时为 1，x=0 时为 0, x&0 时为-1 取数 x 的整数部分 取数 x 的小数部分 取 x1,x2,...中的最大值。s 为一集合或数组 取 x1,x2,...中的最小值。s 为一集合或数组 表 1 -12 In[1]:={Round[9.7],Floor[9.7],Ceiling[9.7]} In[2]:= {Round[?9.7], Floor[?9.7],Ceiling[?9.7]} In[3]:=Min[1,9,7,5,2] (* 计算{1,9,7,5,2}中的最小元素*) 计算矩阵 b 的最大元素 In[4]:= b ={{1,2,3},{2,3,4},{3,4,5}};Max[b] In[5]:=Max[b[[1]]] (*计算 b 的第一行的最大元素*)在 Mathematica 中有复数的数值类型，也有相应的用复数运算的函数。计算复数 的 模(Abs)、复数的幅角(Arg)和取复数的虚部都是复数运算中的常规操作。当 z 是 实变量时，Abs[z]是 z 的绝对值 |z| ； 当z 是复变量时，Abs[z]是 z 的模 下面列出常用的复变量的数值函数和实例。 复变量的数值函数 Re [z] Im[z] Conjugate [z] Abs[z] Arg[z] (z=x+I y) 取复数的实部 取复数的虚部 共轭函数 复数的模 复数的幅角 表 1 -132 x2 ? y。In[6]:=z=3.?5I； In[7]:={Abs[z],Arg[z],Conjugate[z]}In[ 8]:= u=3?5I (* 请观察 z 与 u 的区别 *)In[9]:={Abs[u],Arg[u],Conjugate[u]}# 三角函数变量可为实数或复数的函数 Exp [z] 说明 指数函数, e .z17 Log [z] Log [b,z] Sin[z],Cos[z],Tan[z],Cot[z] Csc[z],Sec[z] ArcSin[z],ArcCos[z],ArcTan[z],ArcCot[z] ArcCsc[z],ArcSec[z] Sinh[z],Cosh[z],Tanh[z],Coth[z], Csch[z],Sech[z] ArcSinh[z],ArcCosh[z],ArcTanh[z], ArcCoth[z],ArcCsch[z], ArcSech[z]以 e 为底的对数函数，ln z 以 b 为底的对数函数，logbz 正弦、余弦、正切和余切函数 余割，正割 反三角函数 双曲函数 反双曲函数 表 1 - 14# 伪随机函数Random [ 数据类型，数据范围,n] 生成在“数据范围”内的 n 位精度“数据类型”限定的随机数。其中数据类型有： 整数、实数和复数。 伪随机函数 Random [] Random [Real, xmax, n] Random[Real,{xmin,xmax}] Random[Complex] Random[Complex,{zmin,zmax}] Random[Integer] Random[Integer,{imin,imax}] SeedRandom [] SeedRandom[s] 说明 0 到 1 之间的一个伪随机实数 0 到 xmax 之间的一个 n 位精度的伪随机实数 Xmin 到 xmax 之间的一个伪随机实数 单位正方形中的一个伪随机复数 由 zmin 和 zmax 确定的长方形中的一个伪随机复数 0 或 1 的随机数 Imin 到 imax 之间的一个伪随机整数 用当前时间作为伪随机数发生器的种子 用整数 s 作为种子 表 1 - 15# 整数和组合函数在 Mathematica 中，计算整数 m 与 n 相除的正余数用 Mod[m,n]，计算 n1,n2,..的 最 大公因子用 GCD [n1,n2,...]，计算 n1,n2,..的最小公倍数用 LCM [n1,n2,...]，要计算 5!+16!!，不必设计循环语句构造阶乘运算，直接使用阶乘符号“!”和双阶乘符号“!!”。下 面列出 Mathematica 中的部分整数和组合函数和实例： 函数 Mod [m,n] Quotient [m,n] GCD [n1,n2,...] LCM [n1,n2,...] Prime[k] PrimeQ[n] n! n!! Binomial[n,m] Permutations[list] Multinomial[n1,n2,...] BernoulliB[n] 说明 m 被 n 除的正余数 m/n 的整数部分 n1,n2,...的最大公因子 n1,n2,...的最小公倍数 第 k 个素数 当 n 为是素数时为 True，否则为 False 阶乘 n(n?1)(n?2)???1 双阶乘 n(n?2)(n?4)??? 二项式系数 Cn 列出 list 中元素的所有排列 多项式系数 伯努利系数 Bnm18 BernoulliB[n,x] EulerE[n] EulerE[n,x] PartitionsP[n] PartitionsQ[n]伯努利多项式 B n(x) 第 n 个欧拉数 En 欧拉多项式 E n(x) 整数 n 的自由划分数 p(n) n 的相异部分的划分数 q[n] 表 1-16计算 77, 91, 147 的最大公因子 In[1]:= GCD[77, 91,147] 计算 77, 91, 147 的最小公倍数 In[2]:=LCM[77,91,147] In[3]:={Prime[3],Prime[5],Prime[55]} In[4]:=9! In[5]:=9!! (* 9!! = 9*7*5*3*1 *) 2 In[6]:=Binomial[7,2] (*计算 C 7 *) In[7]:=Permutations[{1,2,5}] (* 列出 {1,2,5} 的所有排列*)1.5 表达式1.5.1 算术运算符和表达式算术表达式由常数、变量、函数、算术运算符和括号组成。常数和变量的类型有： 整型、有理数、实型、复数型、列表、向量和矩阵。函数包括系统定义的函数、用户定 义的函数和程序包中的函数。其中：方括号[]内放函数变量，花括号{}表示元素的分界符， 用圆括号()组织运算量之间的顺序。 下列 Mathematica 中的算术运算符： 符号 + ?? *(星号) /(斜杆) ^ %(百分号) %% 说明 加号 减号或负号 乘号 除号 乘方 上一个计算结果 上上个计算结果 例 a+b x?y,?u s*t 或 s t m/n 2^3表 1-17 在表达式中，乘号可用空格符号代替。在两个变量或数值之间放一个空格即表示 求这两个量的乘积。在不引起误解的情况下，乘号可以省略。例如：当数值与变量或 函数相乘时，2a,2*a,2 a 的意义是相同的。(a-b)(c+d)与(a-b)*(c+d)意义也是相同的。 算术运算的顺序遵守数学中的习惯，次序为^ ? * , / ? +, ?? 。 同级运 算符遵守从左到右的顺序。1.5.2 逻辑表达式和逻辑运算符关系表达式的一般形式：&表达式&&关系运算符&&表达式&19 其中表达式可为数值表达式、字符表达式和意义更广泛的表达式。例如一个图形 表达式。在实用中关系运算符两边常常挑着数值表达式或字符表达式。 关系运算符 == != & &= & &= 数学符号和意义 = 等于 ? 不等于 & 大于 ? 大于等于 & 小于 ? 小于等于 实例 3x==y-1 x!=y x&y,x&y&z x+y &=y/z u&v y/s &= z表 1-18 用一个关系表达式只能表示一个判定条件，要表示几个判定条件的组合必须用逻 辑运算符将关系表达式组在一起。我们称表示判定条件的表达式为逻辑表达式。 逻辑表达式的一般形式为： &关系表达式&&逻辑运算符&&关系表达式& 设 A，B，C 是关系表达式： 逻辑运算符 说明 ! 非。逻辑否，A 是真，则!A 是假；A 是假，则!A 是真。 && 与。逻辑乘，仅当 A 和 B 都是真时，A&&B 的值才是真。 || 或。逻辑加，当 A 或 B 是真时，A||B 的值是真。 XOR 异或，Xor[e1,e2,…]，如果 e1,e2,…中有偶数个值为 True， 其余为 False，则 Xor 给出 True，否则给出 False。 Implies 隐含，Implies[p,q]表示逻辑隐含关系 p??q。 表 1 -19 通常，我们已经习惯地认为逻辑表达式的值非真即假。在 Mathematica 中，逻辑表 达式的值有三个：真、假和非真非假。当判定条件成立时，逻辑表达式的值为 True(真)； 当判定条件不成立时，逻辑表达式的值为 False ；当判定条件无法判断时，逻辑表达 式的值非真非假。非真非假的逻辑表达式是什么值？它仍然是一个逻辑表达式。例如： In[1]:= x=3; x &y Out[1]= 3&y (* 因为没有给 y 赋值， Mathematica 也就无法判断 x 是否大于 y*) In[2]:= x&0 In[3]:= x &10 例：写出满足下列数学条件的 Mathematica 逻辑表达式： 1)m&s 和 m??t ，即 m??(s,t] 2)x & 10 或 x &-10，即 x ??[-10, 10] 3)x ??(-3, 6] 和 y ?? [-3,7] 4)有 3 个互不相交的圆， 圆心分别为(x1,y1), (x2, y2), (x3, y3)； 半径分别为 r1, r2, 和 r，给出点 D(x,y)的座标，判别点 D 是否在 3 个圆内之一。1.5.3 字符及其运算# 字符输入 在 Mathematica 中输入字符或字符串时，用双引号 &作为输入内容的分界符。如 果要输入双引号字符&，则输入\&。还有两个需要注意的的输入标记，\n 表示一个换行， 通常输入中的回车在输出时无效；\t 表示 4 个空格的跳格。20 In[1]:={&ABC&,&abc&,&ab In[2]:=&abcc&}def&In[3]:=&abc\ndef\tabc&#字符串运算符 字符串的运算符有连接(&&)和相等比较(==)。连接运算符(&&)将两个或多个字符串 组成新的字符串；= =运算符比较两个字符串是否相等。 In[5]:=a=&abcde&; b=&bcdef&; a && b &&a In[6]:={a == b, a &b} # 字符串编辑函数系统提供了在字符串中插入、替换、截取和删除部分字符的函数。 这些函数表示 被操作字符位置的方法与表格中表示元素位置完全相同。 字符串编辑函数 说明 StringInsert[s,new,n] 在 s 的第 n 位置处插入字符 new StringTake[s,n]/ StringTake[s,{n}] 截取 s 中前 n 个字符/第 n 个字符 StringTake[s,{n1,n2}] 截取 s 中第 n1 到第 n2 个字符 StringDrop[s,n]/StringDrop[s,{n}] 删除 s 中前 n 个字符/第 n 个字符 StringDrop[s,{n1,n2}] 删除 s 中第 n1 到第 n2 个字符 StringReplace[s,{s1-&p1,s2-&p2,…}] 用 pi 替换 si StringReplacePart[s,new,{{m1,n1},{m2,n2},…}] 用 new 替换 m1 到 n1,m2 到 n2,…的字符 StringPosition[s,sub] 给出 sub 的位置信息 表 1-20 In[7]:=x= &abc***ghabcdefg&;StringDrop[x,{4,6}]In[8]:=Str ingReplace[x,&abc&-&&$$$&]在字符串&aabbcc&的第 2，第 4 和倒数第 1 的位置处插入&***&。 In[9]:=StringInsert[&aabbcc&,&***&,{2,4,1}]In[10]:=ToCharacterCode[&a+b=?&]In[11]:=FromChara cterCode[{36,43,54,65,76,87,98}]In[12]:=ToUpperCase [&aAbB&] 字符串运算函数 说明 StringLength[s] 给出字符串 s 的字符个数 StringReverse[s] 给出字符串 s 的逆序 ToUpperCase[s] 将 s 的字符全部转换为大写字母 ToLowerCase[s] 将 s 的字符全部转换为小写字母 ToCharacterCode [&sty&] 给出字符串 s 的字符编码 FromCharacterCode[n] 给出整数 n 对应的字符 Characters[s] 给出字符串 s 的字符集合 StringJoin[list] 按字符集合构造字符串 表 1-2121 第 2 章初等代数运算2.1 多项式运算多项式加、减、乘、除(商、余数)因 式分解 多项式展开、有理式展开(只展开分子、只展开分母)同分 将表达式分解成部分分式之和替换多 项式的某元素2.1.1 多项式的化简下面列出表示多项式结构运算的常用函数： 函 数 说明 按幂次展开多项式 expr 对多项式 expr 因式分解 提出多项式 expr 各项中的公因子 把 expr 写成 x 的幂次之和 写成 x,y,...的幂次之和 把多项式 expr 写成最简形式 写成无平方幂次因式的乘积 展开多项式 expr 中所有的幂次项 表 2 -1 Expand[expr] Factor [expr] FactorTerms [expr] Collect [ expr, x] Collect[ expr,{x,y,...}] Simplify[expr] FactorSquareFree[expr] PowerExpand [expr] 例：展开(x+2y+1) , p =Expand[(x+2y+1)^2] 对 x ?y 因式分解6 6 2,2Factor[x^6 ????y^6] 按 y 的幂次排列 (x+2y+1) ， Collect[p,y]Length[p] s=Expand[(xy)^n+(x+y)^4]PowerExpand[%]22 2.1.2 取出多项式的部分元素表示多项式部分元素 Exponent [ poly,x] Coefficient [poly,exp] Coefficient [poly, exp,n] Coefficient [poly, exp,0] Coefficient[poly,{x1,x2,....}] poly[[n]] 或 Part[poly,n] CoefficientList[poly, {x1,x2,…}] 意 义多项式 poly 中 x 的最高次数 多项式中 exp 的系数 多项式中 exp 的系数 显示多项式 poly 中与 exp 无关的项 多项式 poly 中 x1,x2,...的系数串 多项式 poly 第 n 项 生成 poly 的变量 xi 的系数表 表 2 -2n例题： s =Expand[(x?1)(y^2?1)] Coefficient[s,y^2] (* 列出多项式 s 的 y 的系数 *)Coefficient[s,x,0] (*列出多项式 s 中的不含 x 项的系数 *)s[[2]] (*取 s 的第二项*) s[[3]]=7y; (* 给 s 的第三项赋值*) Coefficient [(x y)^n + (x + y)^4, (x +y)^4] 如果要查看表达式是否为多项式或计算多项式的总项数等属性。则用下列函数。 函 数 说明 判断 expr 是否为 x 的多项式 判断 expr 是否为{x1,x2,...}的多项式 列出多项式的变量表 给出多项式的总项数 表 2 -3 In[1]:= s=Expand[(x?1)(y^2?1)] Out[1]=1?x?y +xy In[2]:=PolynomialQ[s,x] (* s 是否为 x 的多项式 ？*) Out[2]=True (* s 是 x 的多项式*) In[3]:=Variables[s] (* 列出多项式 s 的变量表 *)Out[3]={x,y} (* 多项式 s 的变量是 x,y*)In[4]:=Length[s] (*多项式 s 共有多少项 ？ *)Out[4]=4 (*多项式 s 共有 4 项*)2 2 2PolynomialQ[expr,x] PolynomialQ[expr,{x1,x2,...}] Variables [ 多项式] Length [ 多项式]23 2.1.3 有理多项式有理多项式展开 ExpandNumerator[expr] ExpandDenominator[expr] Expand[expr] ExpandAll[expr] 说明 只展开有理式的分子 只展开有理式的分母 展开分子，每项除以分母 分子和分母完全展开 表 2 -4 In[1]:= t=(1+x)^2/(x(1-x))+(1-x)/(1+x)^2 In[2]:=ExpandNumerator[t] In[3]:=ExpandDenominator[t] In[4]:=Together[%] 下列常用的有理式化简的函数。 有理式的结构操作 Together[expr] Apart[expr] Cancel[expr] Factor[expr] 意 义 把所有项合成在一个公共分母上的分式 将表达式分解成部分分式之和 约去分子分母的公因式 完全分解 表 2 -5 (*只展开多项式 t 的分母*)2.1.4 多项式的代数运算多项式的代数运算有加法 (+) ，减法(?) ，乘法(*) 和除法(/) 。其中多项式的加法、减 法和乘法的运算符号与代数中运算符号的相同，做乘法时要用 Expand、Factor 或 Simplify 对计算结果提出具体要求。除号略有不同。如果用除号“/”做多项式除法，只能达到初中 学生的数学水平，最多约去明显分子分母的公因子。在做多项式除法时要用函数 PolynomialQuotient 或 PolynomialRemainder 才能得到得到商式或余式。 例题： t1= x^2?2x?3 ; t2 = x?3; t1+t2 (*做多项式的加法*) t1?t2 (*做多项式的减法 *)Expand[t1*t2] (*做多项式的乘法 *)t1/t2 (*做多项式的除法DD无效*) Cancel[t1/t2] (*约去分子分母的公因式才有收效*)24 给定两个多项式 p(x) 和 q(x)作除法，可以唯一地写出 a(x) 为多项式 p 和 q 相除的商式， 的阶。例题： p = 1 ?? x^6q =1?x^2 PolynomialQuotient[p,q,x] PolynomialRemainder[p,q,x] 函 数p(x) b(x) ，其中 ??a( x)?? q(x ) q (x )b(x) q (x )为多项式 p 和 q 相除的余式，b(x)的阶小于 q(x)(*计算 p/q 的商式*) (*计算余式*) 说明 计算关于 x 的多项式 p 和 g 相除的商式 计算多项式 p 和 g 相除的余式 计算多项式 p 和 m 余式 计算多项式 1, 多项式 2,...的最大公因子 计算多项式 1, 多项式 2,...的最小公倍式 计算两多项式的结式 给出关于 x 的 n 阶割圆多项式 Cn(x) 表 2-6PolynomialQuotient [p, q,x] PolynomialRemainder [p, q,x] PolynomialMod[poly,m] PolynomialGCD[多项式 1, 多项式 2,...] PolynomialLCM[多项式 1, 多项式 2,...] Resultant[多项式 1, 多项式 2,x] Cyclotomic [n,x] p=x2 2+xy?y?122q=x y+x z?y?z PolynomialGCD[p,q] PolynomialLCM[p,q](*计算 p 和 q 的公因式*)分解函数 Decompose，将多项式 Q (x )化为 q1(q 2 (L(x)L))复合形式。 Decompose [poly,x] 例题： 化简多项式为一列复合多项式。Decompose[1+x^3+x^6,x] q1[x_]=1-2x+x^3;q2[x_]=2x^23x^3;Expand[q1[q2[x]]] Decompose[%,x] q1[x_]=1-2x+x^3q2[x_] = 3 - x^2 -3x^3q3[x_] = 2 C xExpand[q1[q2[q3[x]x]]] Decompose[%,x]25 2.1.5 附加条件化简函数Mathematica 可对操作对象附加条件。在化简函数中附加条件，计算结果更具有针对 性。 Simplify[1/Sqrt[x]Sqrt[1/x]]Simplify[1/Sqrt[x] - Sqrt[1/x], x &0] Simplify[(x + y)/2 &= Sqrt[x y], x &= 0 && y &=0] 化简函数 Simplify [ expr, assum] FullSimplify[expr, assum] FunctionExpand[expr, assum] 说 明按条件 assum 成立化简表达式 expr。 与 Simplify 类似，但化简能力更强。 展开带有特殊条件的函数的表达式。 表 2-72.2 方程求根方程及其根的表示 求解方程或方程组 解不等式方程 解递归方程2.2.1 方程及其根的表示代数方程中的等号使用逻辑等号“＝＝”表示，例如：x^2-6x-5 ==0。这样， Mathematica 用一个逻辑表达式表示一个方程，它的意义是方程中等号两边的量是否相等。例如： In[1]:= x=1; x^2?6x?5==0 Out[2]=False In[3]:= Roots[x^2+x==6,x] Out[3]= x == ?3 ||x==22.2.2 一元方程# 解方程函数 Solve 和 NSolve 函数 Solve 主要解多项式方程。Solve 的目标是找出方程的精确解。Mathematica 总可26 以解出四阶或四阶以下多项式方程的精确解。对于三次或四次方程，结果可能相当复杂。在 解四次以上的多项式方程时，Mathematica 碰到数学理论上的障碍而不能给出精确解的表达 式，只能得到方程的数值解。但仍有两大类方程可以给出精确解。第一类可用因式分解法 (Factor)将方程写成低次多项式的方程。第二类是可用复合分解法 (Decompose) 写成低次多 项式组的方程。这样 Solve 也能解出许多高次多项式方程精确的代数解。 解方程函数的一般形式： Solve [ 方程或方程组，{变量表 列} ]NSolve [ 方程或方程组，{变量表 列}] 下列函数 Solve 和 NSolve 的常用形式： 函 数 确解 删除变量 zi 后解方程组 对变量{x1, x2,...}求解方程的近似数值 解 对 eqns 中所有的变量求数值解 表 2-8 说明 对变量{x1, x2,...} 解方程组 eqns 准Solve [eqns, {x1,x2,...}] Solve[eqns,{x1, x2,...},{z1,z2,…}] NSolve [eqns, {x1,x2,...}] NSolve[eqns] Solve[6x^25x+1==0,x]NSolve[6x^25x+1==0,x] Solve[x^5+9x+1==0,x] N[%] NSolve[x^5+9x+1==0,x] y=x/.% y[[3]] #(*找不到方程的精确解*) (*直接求数值解*)(*将方程的解组成一个表*) (*取出第 3 个解*)超越方程与 FindRoot 对于超越方程，例如：求解方程 Cos x = x 在 x =1 附近的根，可用函数 FindRoot 计算它的根。 In[1]:=FindRoot[Cos[x]?x==0,{x,1}] Out[1]= { x -& 0.739085} 求根函数的一般形式： FindRoot[方程，{变量，初值}] 例如：求方程 x Sin x ??0.5 = 0 的根 In [2]:= Plot[x Sin[x] ????0.5,{x,?10,10 }] (* 根的分布一目了然*)27 图 2-1 In[3]:=FindRoot[xSin[x]?0.5==0,{x,3}] Out[3]={x-&2.97259}2.2.3 线性方程组# Solve 与方程组本节只例举中学阶段能解出的方程组。有关怎样解高阶方程组的内容 分请看第 4 章线 性代数部分。 例: 解方程 1) ???3x?2y?5a ???x ??y ??5b?,2) ??? x2?y2?1 ???x ??y ??1In[1]:=Solve[{3x?2y==5a,x+y==5b},{x,y}] Out[1]={{x-&a+2b,y-&?a+3b}} In[2]:= Solve[{x^2+y^2==1,x+y==1},{x,y}] 解联立方程组时用花括号将方程组括起来，方程组在花括号中也有三种排列的方法。 Solve[{3x?2y,x+y}=={5a,5b},{x,y}]Solve[{ 3x?2y==5a &&x+y==5b},{x,y}] 下列联立方程的表示方式： Solve [{lhs1= =b1, lhs2= =b2, ...}, vars ]Solve [{lhs1= =b1&&lhs2= =b2&&...}, vars]Solve [{lhs1, lhs2,...}= ={b1,b2...}, vars ] vars 表示变量列表。 q1=3Sin[x]+Cos[x]==1;q2=Sin[x]^2+Cos[x]^2==1;Solve[{q1,q2},{Sin[x],Cos [x]}] # 函数 Reduce 函数 Solve 计算方程或方程组的一般解，Reduce 表明在什么条件下特定方程有解，尽量化简 方程并保留方程的所有解。例： Reduce[a x ==0,x]28 Reduce[ax+b==0,x]Reduce[a x^2+b x+c= =0,x] # 消去变量函数 Eliminate 下列消去变量的函数如下： Eliminate[eqns,elims] 消去变量 elims，重组方程组Solve[eqns,vars,elims] 例如：消去变量 elims 后对变量 vars 求解方程或方程组In[5]:= eqns ={x ==1+a/2, y==1+2x}; In[6]:= Eliminate[eqns,x] (* 用 Eliminate 也能达到解方程的目的*) Out[6]= a ==?3+y Eliminate[{a x^2+b x y+cy^2==0,x+y==1},x]2 2 2 Out[7]=-a+2ay -by -ay +by ==cy2.2.4 不等式方程和递归方程# 解不等式方程 函数 InequalitySolve 解不等式方程或不等式方程组。在有些 Mathematica 版本中可直 接调用 InequalitySolve ，有些版本中要从 Algebra 包中调入该函数。不等式方程中含有逻 辑运算符，计算后给出不等式方程的解集。 函数 InequalitySolve 的一般形式： InequalitySolve [ ineq, x] InequalitySolve [ {ineq1, ineq2}, {x, y} ] 解关于变量 x 的不等式方程 ineq 解关于变量{x, y}的不等式方程组例如，调入函数 InequalitiySolve，并解不等式方程 && Algebra`InequalitySolve`Inequali tySolve[Abs[x^2-3]&1,x] 不等式方程可以有两个变量或多个变量， InequalitySolve[Abs[x^2-3] &y,{x,y}] 解不等式方程组：??|x2 ??3|??1 ；?|x2?1|?y2 ??x ??5 ??1InequalitySolve[{Abs[x^2 - 1] & y, x^2 - 5 & 1},{x,y}]29 # 解递归方程函数 RSolve 求解递归方程的函数 RSolve 位于 DiscreteMath`RSolve`程序包中。 RSolve[eqn, a[n],n] 解递归方程 eqn,求 a[n]的表达式 RSolve[{eqn1, eqn2, …}, {a1, a2, …}, n] 求解一列递归方程 In[1]:=&&DiscreteMath`RSolve` (* 调入程序包*) In[2]:=RSolve[{a[n] == na[n-1],a[1]==1},a[n],n] Out[2]={{a[n] -&n!}} 再解一个我们熟悉的菲波拉契函数 In[3]:=RSolve[{a[n] == a[n-1]+a[n-2],a[0]==a[1]==1},a[n],n]2.3 和与积求和函数的一般形式：Sum [ f i ，循环范围] ?? f iNSum [ f i ，循环范围] 其中 f i 是和式的通项公式，可为各类初等函数和自定义函数(请看第 7 章)，它能计算 有限项或无限项的和，循环范围的一般形式是：{循环初值，循环终值，循环步长}。循环范 围可为一重、两重或多重循环。 Sum 与 NSum； 例如：计算 Solve 与 NSolve。n?x5 n ?0，10n!??1k3 5k ?1Sum[x^n/n!,{n,0,5}] Sum[1/k^3,{k,1,10}] N[%] (*近似数值*)(*? n!n ?0xn*)(* Sum 给出和的精确值*) (*计算Sum[1/i^3,{i,1,Infinity}]???? i ?11*)i3N[%] (*总能算出近似数值*) NSum[1/k^3,{k,1,10}] (*直接给出和式的数值和*) NSum[1/i^3,{i,1,Infinity}] 上列实例中求和式中的循环范围都是步长为 1 的一重循环。在 Sum 和 NSum 的循环范围中 步长可取整数、有理数和实数；循环可为两重循环或多重循环。例如： Sum[x^n,{n,1,5,2}] Sum[x+y,{x,1,9},{y,3,6}] (* 先做 y 循环再做 x 循环*) 乘积函数 Product、NProduct 的定义形式和使用方法与 Sum、NSum 类似，不再详细给 出。 Product[Sin[k],{k,1,5,2}]30 NProduct[Sin[k],{k,1,5,2}] Product[x+y,{x,1,3}] (*计算? ( x ??y)*)x?13Product[(u?6)(v+6+s),{u,1,3},{v,1,3}] 下列 Sum 和 Product 的常用形式。 和与积的函数 Sum [ f i ,{I, min,max}] Sum [ f i ,{I, min, max,di}] Sum[fi,j,{i,i0,i1},{j,j0,j1}] Product [ f i ,{i, min,max}] Product [ f i ,{i, min, max,di}] Product[fi,j,{i,i0,i1,is},{j,j0,j1,js}] 数学意义 计算和式：i?min??fmaxi以步长 di 计算和式计算两重和式：i?i0j??j0????fii1j1i,j计算乘积式：i?min??fmax以步长 di 计算 f i 的乘积计算两重乘积式：???fi?i0 j??j0i1j1i ,j表 2 -92.4 三角函数在 Mathematica 中任何三角函数都可看作有理指数函数，通常在进行代数运算中并不 做 Sin[2x]= 2Sin[x]Cos[x] 这样的三角函数变换。在设置 Trig -& True 后，才能进行半角与倍 角之间的变换。 Expand [expr, Trig-&True] sin2xTrigExpand[expr] Factor [expr, Trig-&True] TrigFactor[expr] 例题： Expand[Sin[x]^2+Sin[2x]^2]Expa nd[%, Trig &True]TrigExpand[Sin[x]^2+Sin[2 x]^2] 分解 expr 时将 sin2x 转换成 sin x2展开 expr 时将 sin x 转换成231 函数 TrigExpand [expr] TrigFactor [expr] TrigFactorList [expr] TrigReduce [expr] TrigToExp [expr] ExpToTrig [expr]说明 将三角表达式展开为和项形式 将三角表达式展开为乘积形式 用列表形式给出每一项及其指数 化简为多倍角表达式 将三角函数表示为指数形式 将指数表示为三角函数形式In[4]:=TrigExpand[Sin[2x]Cos[3x]]In[5]: =TrigFactor[%]In[6]:=TrigReduce[%]In[7] :=TrigFactorList[%]In[8]:=TrigToExp[Sin h[x]]In[9]:=ExpToTrig[%]表 2 -1032 第 3 章微积分3.1 求极限计算函数极限 lim f ( x) 的一般形式是：Limit [ f [x], x -& x0]x???x0下列计算函数极限的三种形式： Limit [expr, x -&x0] Limit [expr, x -& x0, Direction ?&1] Limit [expr, x -& x0, Direction ?&?1] 例如：计算 1) limx??0x -&x0 时函数 expr 的极限 x-&x 0 时函数 expr 的极限?? ??sinx x 1 xx -&x0 2) limx????时函数 expr 的极限2x ??14 x 2 ??7 x ??1 1 x3) limsinx??01 x4) limx ??0 ???5) limx ??0 ???6) limxg(x)x??17) limx??0例题：tan x ??xx 3Limit[Sin[x]/x,x-&0] Limit[(x^2-1)/(4x^2-7x +1),x-&Infinity] Limit[Sin[1/x], x-&0] Limit[1/x, x -&0, Direction -&1]Limit[1/x, x -& 0, Direction -&-1]Limit[x g[x], x-&1]Limit[E^x^x - E^x^(2 x),x-&Infinity]3.2 微商和微分3.2.1 微商(导数)微商函数 D[f,x] 功能 计算偏导数??? f ?x3 --133 D[f, x1,x2,....] D[f, {x,n}] D[f, x, NonConstants -&{v1,v2,....}]计算多重导数 计算 n 阶导数 计算?? f ?x2)?? ????...f ?x1?x2 ??n f ?xn其中 v1,v2,....依赖于 x例如：1) 计算 xxx的一阶导数?表 3-1?x ?y? zsin(x2y2)3) 计算 cx 的二阶导数 D[x^x^x,x] D[z Sin[x^2y^2],x,y] D[cx^n,{x,2}] D[z[1]^2+Sin[z[1]+z[2]],z[1]] (*以 z[1]为变量求导*) D[x^2+y^2, x, NonConstants-&{y}] (* y 是 x 的函数*)n3.2.2 全导数# 全微分函数 Dt 全微分函数 Dt Dt[f] Dt [f,x] Dt [f, x1,x2,...] Dt [f, x, Constants-&{c1,c2,...}] y/: Dt [y, x] =0 说明 全微分 df 全导数df dx d多重全导数d...f d(ci) =0) dxdx1dx2全导数，说明 ci 为常数(即 置dy =0 dx表 3 -2 2) 计算 d(x ?? y )22例如： 1) 计算 3) 全导数??( x ??y ) ?x2 2ddx(x2 ?? y2)4)d dx(x2 ?? y2 ??z2)D[x^2+y^2,x]D t[x^2+y^2] Dt[x^2+y^2,x]34 Dt[x^2+y^2+z^2,x]Dt[x^2+y^2+z^2,x,Constants ?&{z}] (* 说明 z 为常数，即 Dt[z,x]=0 *) 设 u ??ea ???cos(a lnr)，证明：??2 u?r 2??2 1 ??? u 1 ?u ?? ??? 0 2 r ???2 r?ru = Exp[a s]Cos[aLog[r]]; D[u,{r,2}]+1/r^2D[u,{s,2}]+1/rD[u,r]Simplif y[%] 令 F ( x )???e1x2costdt,计算 F'(x )F’[x] #抽象函数的导数表示在表达式中也能使用微积分中计算导数 的撇号标记。例如：f '[x] f ''' [x]f[x_]:=Sin[x^2] D[x g[2x],x]单变量函数的一阶导数 单变量函数的三阶微分 (*定义函数 f (x)= x2*)f[x]+f'[x]+f''[x]D[h[x,y],x,x,y](*计算?? ???h(3) (x, y)*) ?x2 ?y3.2.3 定义导数在 Mathematica 中 定 义 函 数 的 一 阶 导 数 的 方 式 就 像 定 义 函 数 一 样 ， 例 如 ： f '[x_]:=hf[x]x_ 表示 x 是函数变量，相当于函数定义中的形式参量，有关定义函数的详细描述 请看第 7 章。定义函数的高阶导数或多个参量的导数要用函数 Derivative。 下列定义导数的一般形式： f '[x]:=rhs Derivative [n][f][x]:=rhs Derivative [n1,n2,...][g][x1,x2,...]:=rhs 例如：In[1]:= f'[x_]:= h f[x]+gf[x] In[2]:=D[f[x^2],x]定义 f 的一阶导数 定义 f 的 n 阶导数 定义相对于 g 的多个参量的导数35 3.3 不定积分和定积分3.3.1 积分计算函数 Integrate [f, x] 计算不定积分??f ( x)dx ，输出结果中省略积分常数。Integrate 函数假定任何不显含积分变量的对象与积分变量无关，都当常数处理，因而 Integrate 很象微分 D 的逆。?? Integrate [f, x, y] 计算不定积分??dx?? f(x,y)dy Integrate [f, x, y,z] 计算不定积分??dx??dy?? f(x,y,z)dz 例如：计算 1)??3ax dx 2) ?? 3f '(x)f (x)dx 3) ??(3x ??2y)dxdy 4) ? tgx dxIntegrate [f,x] 计算不定积分 f(x)dx2 2 2Integrate[3a x^2, x]Integrate[3f’[x]f[x]^2,x ]Integrate[3x^2+2y, x, y]Integrate[Sqrt[Tan[x]],x] 积分Integrate[Sqrt[Cos[x]],x]Integrate[Si n[ax]/x,{x,0,Infinity}] 给出明确的附加条件 Im[a]为零，积分值也随之确定。 Integrate[Sin[a x]/x,{x,0,Infinity},Assumptions -& Im[a] ==0]??cosx dx 的结果是椭圆函数。3.3.2 不定积分的计算范围In[1]:=Integrate[Sin[Sin[x]],x] (*原函数不是初等函数 *)Out[1]=Integrate[Sin[Sin[x]],x] (*算不出结果按原输入命令输出*)有时 Mathematica 积出被积函数的一部分，将剩余部分用 Integrate[g,x] 表示。Mathematica 除了能计算简单积分外，还能计算一类如贝塞尔 BesselJ[n,z]、Gamma[z] 等二三十个数学物理特殊函数。这些特殊函数极大地扩充了 Mathematica 的积分范围。??例如：Gamma[z]函数定义的积分? ( z) ?? ?? ta?1e??tdt036 Beta [a,b]函数定义的积分B(a,b)=? ( a ) ?( b ) ?(a ??b)?? ?? ta?1(1??t)b?1dt01还可以通过定义函数或程序包来增强 Mathematica 积分的功能。3.3.3 定积分计算计算定积分和计算不定积分是同一个 Integrate 函数，在计算定积分时，除了要给出变量外 还要给出积分的上下限。当定积分算不出准确结果时，用 N[%]命令总能得到其数值解。 NIntegrate 也是计算定积分的函数，其使用方法和 Integrate 函数相同。Integrate 按牛顿-莱 布尼兹公式公式计算定积分得到的是近似数值解。计算多重积分时，按照从右至左的次序计算积分。 积分函数 Integrate [f, {x, a,b}] NIntegrate[f, {x, a,b}] Integrate [f, {x, a, b},{y, c,d}] NIntegrate[f,{x,a,b},{y,c,d} ] 说明b?bf (x)dx ???F (b) ??F (a) 计算定积分得到的是准确解，NIntegrate 用数值积分a? f(x )dx 的准确解 计算定积分 ? f(x )dx 的数值解 计算定积分 ?? dx f(x ,y )dy 的准确解 ? 计算定积分 ?? dx f(x ,y )dy 的数值解 ?计算定积分a b ba d a b a c d c表 3 -31例如：计算定积分??(cos02x ??sin3x)dxIntegrate[Cos[x]^2+Sin[x]^3,{x,0,1}] N[Integrate[Cos[x]^2+Sin[x]^3,{x,0.,1}],20] N[Integrate[Cos[x]^2+Sin[x]^3,{x,0,1}],20] NIntegrate[Cos[x]^2+Sin[x]^3, {x,0,1}]a x计算定积分 dx (x?? y)dyb 0?? ??Integrate[2x+2y,{x,0,a},{y,0,b}]3.4 幂级数3.4.1 幂级数展开幂级数展开函数 Series 的一般形式：37 Series [expr, {x, x0,n}] Series [expr, {x, x0, n},{y, y0, m}] Series[Sin[2x],{x,0,6}] Series[f[x],{x,0,3}] 在 x =??? 处展开expr 在 x=x0 点展开到 n 阶的幂级数 先对 y 展开到 m 阶再对 x 展开 n 阶幂级数Series[Exp[1/x],{x,Infinity,3}] 对有分数指数的函数展开。 Series[Exp[Sqrt[x]],{x,0,3}] Series 在处理多元函数幂级数时，同 Integrate 和 Sum 等一样，从最后一个变量到第一个 变量逐个展开。 Series[Cos[x]Cos[y],{x,0,3},{y,0,3}] 用求和函数 Sum 也能算出一些幂级数,例如: Sum[x^n/n!,{n,0,Infinity}]ex有些幂级数只能用特殊函数表示. Sum[x^n/(n!^2),{n,0,Infinity}] Sum[x^k/k!,{k,0,n}]3.4.2 幂级数的运算# 幂级数的简单运算 Mathematica 能对幂级数进行多种运算，当一个普通表达式和一个幂级数进行运算时， Mathematica 尽可能将表达式的各项并入幂级数中。Mathematica 保留幂级数的次数与初始幂 级数的次数基本一致，正如数学运算中保留实数精度的方式。函数 Normal [ 幂级数]，去掉 截断误差项 O[x] ，将幂级数转化为一般表达式。例如： t =Series[Log[x+1],{x,0,4}] %^2 D[%,x] Normal[%] SeriesCoefficient[%,2] (*给出 2 次项系数*)n# 幂级数的复合和反演对于已经展开的幂级数，如果要继续对它的每一项再做幂级数展开， 称为幂级数复合。 用“幂级数 1/.x?&幂级数 2”可完成幂级数复合运算。也可以直接对复合函数做幂级数展开。 下面 In[3] 的工作量与 In[1]和 In[2]的工作等价。38 设 y(x) = 1 ??x ??x234x x ??O[x]5，这时 y 是 x 的函数。如何计算反函数 x(y) ? ?? 2 6 24的表达式 ？请用函数 InverseSeries [幂级数, y]。下列幂 级数的复合和反演函数的一般形式和实例：幂级数 1 /. x ?&幂级数 2 幂级数复合 InverseSeries [幂级数,y] InverseSeries[幂级数] 例题： t=Series[Sin[x],{x,0,5}] %/. x -&Series[Sin[x],{x,0,5}] Series[Sin[Sin[x]],{x,0,5}]InverseS eries[t] % /. x -& tInverseSeries[t,y] 以变量 y 表示反演幂级数 用原变量表示反演幂级数3.4.3 残数计算Limit [expr, x -& x0 ]计算当 x 趋于 x0 表达式 expr 的极限值。当极限值为无穷大时，则 计算 expr 在 x 在 x0 处的残数(留数)。残数(residue)是表达式 expr 在 x0 处幂级数展开中( x ?? x0)?1 的系数。Residue 的一般形式： Residue [ expr, {x,x0}] 例，分别计算 计算表达式 expr 在 x0 处的残数cosx x3在 x=0 的残数和 x 趋于 0 的极限；In[1]:={Residue[Cos[x]/x^3,{x,0}],Limit[Cos[x]/x^3,x -&0]} Out[1]=1 {?? ,?} 2也可用幂级数展开计算残数。In[2]:=Series[Cos[x]/x^3,{x,0,3}](*函数在解析点处残数为 0*)In[3]:={Residue[Sin[x]/x,{x,0}],Limit[Sin[x]/x,x&0]}Out[3]={0,1}39 3.5 微分方程3.5.1 常微分方程DSolve 解线性与非线性的常微分方程，以及联立常微分方程组。在没有给定方程的初 值条件情况下，所得的解包括了待定的系数 C[1]，C[2]等。 用 DSolve 函数得到的是常微分方程的准确解。 NDSolve 求解常微分方程的数值解，这时要给出求解区间{x, xmin,xmax}。 一般形式： DSolve [eqns, y[x],x] DSolve [eqns, y,x] 解 y(x)的微分方程或方程组 eqns，x 为变量。 在纯函数的形式下求解，纯函数部分请看第 7 章。NDSolve [eqns, y[x], {x, xmin, xmax}] 在区间{xmin, xmax}上求解变量是 x 的常微分方程或联立常微分方程组 eqns。 例如：解微分方程 y ' (x)=ay(x)Out[1]={{y[x]???? Eax。In[1]:= DSolve[y’[x] = =ay[x],y[x],x]C[1]}}解微分方程y ' (x)= a y (x)，边界条件：y(0)=1。ss=DSolve[{y’[x]==ay[x],y[0]==1},y[x],x]Plot [y[x]/.ss,{x,-20,20} 解联立常微分方程组：??? x(t )??y '(t ) ??y(t)????x'(t)DSolve[{x[t]==-y'[t],y[t]==-x'[t]},{x[t],y[t]},t] 当用 DSolve 求 y[x]时，y[x]以替换规则形式：y[x] ?& expr,在含有微分的表达式中不能替换 y'[x] ；如果用 DSolve 求 y ，直接可替换 y'[x]等项。 DSolve[y'[x]==x+y[x],y[x],x] DSolve[y'[x]==x+y[x],y,x] y''[x]+y[x] /.%DSolve[y''''[x] ==y[x],y[x],x] DSolve 解出 Bernoulli 方程, In[7]:=DSolve[y'[x] - x y[x]^2 - y[x] ==0,y[x],x]40 3.5.2 偏微分方程DSolve 不仅能解单变量的常微分方程，也能解多个变量的偏微分方程。 DSolve [{eqn1,eqn2,…}, y [x1, x2,…], {x1,x2,…} ] 计算偏微分方程组的准确解 DSolve [eqn, y [x1, x2,…], {x1,x2,…}] 解偏微分方程 y [x1,x2,…] DSolve [eqn, y,{x1,x2,…}] 解偏微分方程的纯函数 y NDSolve [{eqn1,eqn2,…}, y [x1, x2,…], {x1,x2,…} ] 计算偏微分方程组的数值解 计算有两个独立变量的偏微分方程?y ( x 1 , x 2 ) ?y ( x 1 , x 2 ) 1 ?? ? ?x1 ?x2 x1x2DSolve[D[y[x1,x2],x1]+D[y[x1,x2],x2]==1/(x1x2),y[x1,x2],{x1,x2}] 计算 x1 ?y(x1 , x2 ) ??x 2 ?y ( x1,x 2)?e x1 x2?x1?x2由于 y 和它的微分满足一个线性方程，所以它的通解是存在的。 DSolve[x1 D[y[x1, x2], x1] + x2 D[y[x1, x2],x2] == Exp[x1 x2], y[x1, x2], {x1, x2}] 下面的非线性偏微分方程存在一个通解。 DSolve[D[y[x1,x2],x1]+D[y[x1,x2],x2] ==Exp[y[x1,x2]],y[x1,x2],{x1,x2}]3.5.3 矢量运算在工程计算中，常需要对矢量作运算。矢量运算函数放在 Calculus 的子 VectorAnalysis 程序包中， 运算前用运算符“&&”调入该程序包。表 3 - 4 列出部分矢量运算函数及其使用说明。 函数 &&Calculus`VectorAnalysis` SetCoordinates[system[names]] Div[f] Curl[f] Grad[f] Laplacian[f] Biharmonic[f] Div[f,coordsys],Curl[f,coordsys],… 说明 载入向量运算包 设定坐标系(Cartesian,Cylindrical,Spherical 等) 计算矢量场 f 在缺省坐标系下的散度??? f 计算矢量场 f 在缺省坐标系下的旋度???? f 计算标量 f 在缺省坐标系下的梯度?f 计算标量 f 在缺省坐标系下的? f2计算标量 f 在缺省坐标系下的? f2按给定的坐标系计算散度、旋度… 表 3 -441 调入向量运算程序包，In[1]:=&&Calculus`VectorAnalysis`设定球面坐标系，In[2]:= SetCoordinates[Spherical[r, theta,phi]] Out[2]= Spherical[r, theta,phi]计算梯度，In[3]:= Grad[r^2Sin[theta]] Out[3]= {2 r Sin[theta], r Cos[theta],0}计算散度，In[4]:=Div[{x^2y, y, z}, Cartesian[x, y,z]] Out[4]=2 + 2 xy计算拉普拉斯算子。In[5]:=Laplacian[x + y^3, Cartesian[x, y,z]]3.6 积分变换3.6.1 Laplace 变换? ?st函数 f(t)的 Laplace 变换为?f( t ) edt 。函数 F(s)的 Laplace 反变换为0Laplace 的数学形式与 Fourier 变换非常相似，但变换结果差别很大。因为它对原函数 f(t)的要求 相对比较弱，而对于某些问题 Laplace 变换比 Fourier 变换适应面更广。 下列 Laplace 变换函数常用形式： LaplaceTransform[expr, t,s] InverseLaplaceTransform[expr, s,t ] 例如对 t cost 做 Laplace 变换，得到In[1]:=LaplaceTransform[t^3Cos[t],t,s]3?? 2?i ??1???i??i??F( s)e ds。stexpr 的 Laplace(拉普拉斯)变换 expr 的 Laplace 反变换再做 Laplace 反变换，则In[2]:=InverseLaplaceTransform[%,s,t]甚至一些简单的变换也常会包含特殊的函数。In[3]:=LaplaceTransform[1/(1 +t^2),t,s]Laplace 变换能将积分和微分运算转化为基本代 数运算。也可做高维 Laplace 变换或反变换。 LaplaceTransform [expr, {t1,t2,…},{s1,s2,…}] expr 的高维 Laplace 变换 InverseLaplaceTransform [ expr, {s1,s2,…},{t1,t2,…}] expr 的高维 Laplace 反变换42 3.6.2 Fourier 变换 1在 Mathematica 中，函数 f(t)的 Fourier 变换为 为? iwt2?? ???f(t )edt ，函数 F(t)的 Fourier 反变换1 2?????F (w)e?iwtdw。???下列 Laplace 变换函数常用形式： FourierTransform [expr, t, w] InverseFourierTransform [expr, w, t]expr 的 Fourier 变换 expr 的 Fourier 反变换FourierTransform[1/(1+t^4),t,?]InverseFouri erTransform[%, ?,t] 在不同的应用领域对 Fourier 变换有不同的定义形式，用选项 FourierParameters 可以指定其中一 种。 Fourier 变换形式 FourierSinTransform[expr, t,w] FourierCosTransform[expr, t,w] InverseFourierSinTransform[expr, w,t] InverseFourierCosTransform[expr, w,t] 说明 Fourier 正弦变换 Fourier 余弦变换 Fourier 正弦反变换 Fourier 余弦反变换 表 3 -53.6.3Z 变换函数 f(n)的 Z 变换为的??f(n)zn ?0???n。Z 变换后常得到复变量 Z 的函数，因此称为 Z 变换。它是一种有效的离散的拉普拉斯形式。主要应用数字信号处理、控制论和解微分方程等离散系统 分析中。可以认为它产生某种类似于组合数学和数论中常用的生成函数。 F(z)的逆 Z 变换为 常用形式： ZTransform[expr,n,z] InverseZTransform[expr,z,n] 例题： expr 的 Z 变换 expr 的逆 Z 变换2?i ??F( z) z1n? 1dz。ZTransform[1/n!,n,z]InverseZTransform[%,z,n]43 第 4 章线性代数4.1 矩阵的定义Table [ f , 循环范围] 一重循环范围的一般形式为： {循环变量名，循环初值，循环终值，循环步长} Array [ 向量元素名，n, first] 定义有 n 个元素的向量，first 表示向量的起始下标，当 first 是 1 时可省略。 Array [ 矩阵元素名，{m, n}，{m0,n0}] 定义 m 行 n 列的矩阵，m0,n0 表示行和列起始下标，当 m0,n0 是 1 时可省略。 Table[ic,{i,1,3,1}] Table[a[i,j],{i,2},{j,2}] Array[a,{2,2}]Array[m,4,? 1] Table[i+j-1,{i,3},{j,3}] Table[u[k,j],{k,0,1},{j,0,1}] 定义下三角矩阵， Table[If[i &= j,i+j?1,0],{i,4},{j,4}] Table[a[i,j],{i,1,5,2},{j,2,6,2}]//MatrixForm 在 Mathematica 的 LinearAlgebra`MatrixManipulation`程序包中有一些创建特殊矩 阵 的函数。矩阵与矩阵分量例如：A = Array[a,{3},{3}]或 A = Table[a[i,j], {i,3}, {j,3}]。 矩阵大名[[行号，列号 ]]；、 元素小名 [行号，列号] 矩阵的小名即矩阵元素名 矩阵名 [[ k]] 表示矩阵的第 k 行， 矩阵名 [[ All, k ]] 或 Transpose [矩阵名] [ k ] 表示矩阵的第 k 列。 矩阵的分量表示 A[[i, j]] 或 a[i,j] A[[i]] A[[All, j]] Transpose[A][[j]] A[[{i1,i2,..ip},{j1,j2,...jq}]] 说明 A = Array[a,{m, n}] 的第 i 行第 j 列元素 A 的第 i 行的 n 个元素 A 的第 j 列的 m 个元素(*4.0) A 的第 j 列的 m 个元素 由行为{i1,i2,..ip}和列为{j1,j2,...jq}组成的子矩阵44 A[[Range[{i0,i1}],Range[{j0,j1}]] Take [ A, { i0, i1}, {j0, j1} ] Tr [ A, List]由 A 的 i0 到 i1 行和 j0 到 j1 列组成的子矩阵 由 A 的 i0 到 i1 行和 j0 到 j1 列组成的子矩阵 按列表给出矩阵 A 的对角线元素 表 4 -4有了矩阵行和列的表示方式，很容易对矩阵做各种初等变换。 B={{1,2,2}, {3,-3,5},{4,5,6}}; B[[2]]=3B[[1]]+B[[2]]B[[3]]=2B[[3]];B4.2 矩阵基本运算矩阵的加法、减法和乘法矩阵基本运算 A+c A+B cA A.B U.V Outer[Times, U,V] Cross[U,V] 说明 A 为矩阵，c 为标量，c 与 A 中的每个元素相加 A，B 为同阶向量或矩阵，A 与 B 的对应元素相加 A 为矩阵，c 为标量，c 与 A 中的每个元素相乘 矩阵 A 与矩阵 B 相乘，要求 A 的列数等于 B 的行数 向量 U 与 V 的内积(行向量乘列向量) 列向量 U 乘行向量 V 向量 U 与向量 V 的外积 表 4-7 V={1,2,1};V .V {a,b}.{c,d} (*计算向量的内积 *) Outer[Times,{a,b},{c,d}] v1 = {a,b,c} ; v2={d,e,f}; Cross[v1,v2] (* 计算向量的外积*)45 矩阵的转置和逆矩阵矩阵运算函数说明Det[A] Transpose [A] Inverse[A] Minor [A,k] Tr [ A] Sum[A[[i,i]],{i,Length[M]}] MatrixPower [m,n]计算矩阵 A 行列式的值 A 的转置矩阵(AT 或 A') 计算矩阵 M 的逆矩阵(A ) A 的 k 阶子式组成的表 计算矩阵 A 的迹(*4.0) 计算矩阵 A 的迹(矩阵对角元素和) 计算矩阵 m 的 n 次方?1M={{1,3,1},{-1,2,1},{1,1,0}}; Det[M]Inve rse[M] Tr[M] (*或用 Sum [M[[i, i]],{i, Lenth[M]}]*) 在 Mathematica 的 LinearAlgebra`MatrixManipulation`程序包中还提供了计算向量和矩 阵范数 和条件数等函数。 向量和矩阵范数 VectorNorm [vec,p] VectorNorm[vec] MatrixNorm [mat,p] MatrixNorm[mat] InverseMatrixNorm [mat,p] InverseMatrixNorm[mat] MatrixConditionNorm [mat,p] MatrixConditionNorm[mat] 计算 向量 vec 的 p 范数，1??p???? 向量 vec 的??范数 矩阵 mat 的 p 范数，p 为 1、2 和?? 矩阵 mat 的??范数 mat 逆矩阵的 p 范数，p 为 1、2 和?? mat 逆矩阵的?? 范数 按 p 范数计算矩阵 mat 的条件数 按??范数计算矩阵 mat 的条件数46 4.3.正交化运算(Orthogonalization)在 LinearAlgebra`Orthogonalization`程序包中有对向量单位化和对一组向量正交化的函 数。 Orthogonalization 程序包函数 Normalize[v] Normalize [v, InnerProduct -&func] GramSchmidt[v1,v2,…] GramSchmidt[{v1,v2,…},InnerProduct -&func] GramSchmidt[{v1,v2,…}, Normalized -&False] Projection[v1,v2] Projection[{v1,v2}, InnerProduct -& func] 说明 对向量 v 单位化 按内积定义 func 对向量 v 单位化 将向量组 v1,v2,…化为单位正交向量 按内积定义 func 将 v1,v2,…单位正交化 对向量组 v1,v2,…正交化而不单位化 给出向量 v1 在向量 v2 上的投影 按内积定义 func 计算 v1 在 v2 上的投影&&LinearAlgebra`Orthogonalization`N ormalize[{1,2,-2}] 对向量组{{1,1,1}, {-1,0,1},{-1,1,0}}做施密特单位正交化运算； u={{1,1,1}, {-1,0,1},{-1,1,0}}; {w1,w2,w3}=GramSchmidt[u] 用内积运算验证 GramSchmidt 函数。 { w1.w2,w2.w3,w1.w3,w1.w1,w2.w2,w3.w3} 对 u 做非单位化的正交化。 GramSchmidt[u,Normalized-&False]1定义内积为??1# dx 即可做出正交多项式，#1 和#2 表示两个变量。 1#2In[6]:=GramSchmidt[{1, x, x^2,x^3}, InnerProduct -& (Integrate[#1 #2,{x,-1,1}]&)]//Simplify4.4 方程组求解解方程组函数 说明47 RowReduce [A] LinearSolve [A,B] NullSpace [A] LUDecomposition[A] QRDecomposition[A]作行的线性组合化简 A，A 为 m 行 n 列的矩阵 求解满足方程组 AX=B 的一个解，A 为 m 行 n 列的矩阵 求解方程组 AX=0 的基础解系，A 为 m 行 n 列的矩阵 做 LU 分解后解方程组，详情见矩阵分解 做 QR 分解后解方程组，详情见矩阵分解例 1：已知 A??? ??1 ? ? 1 ??3?? ?31 1 1?? ?? 0 ?11?? ?1 3?? 1 ?? 2 1 3??计算 A 的秩，计算 AX=0 的基础解系。A=={{1,1,1,1},{1,0,?1,1},{3,1,?1,3},{3,2,1,3}}; RowReduce[A] NullSpace[A] (* 得到 A 的两个线性无关解*)???x1 ??3x2 ??x3 ??x4 ??1 ?? 例 2：解方程组?3x1 ?x2 ?3x3 ?4 x 4 ?4 ?? x ?5 x ?9 x ?8 x ?6 ? 1 2 3 4M={{1,-3,-1,1},{3,-1,-3,4},{1,5,-9,-8}}; B={1,4,6}; LinearSolve[M,B] (*方程组 MX=B 的一个特解*) NullSpace[M] (*解向量组成一个矩阵*) x = c%[[1]]+%% (* x 为 MX=B 的全部解*) 在 LinearAlgebra 程序包还有高斯消去法 (在 GaussianElimination 程序包中)， Cholesky 分解和解三对角方程方法的函数。4.5.特征值和特征向量特征值(向量)函数 Eigenvalues[A] Eigenvectors[A] Eigensystem[A] Eigenvalues[N[A]] Eigenvectors[N[A]] 说明 计算矩阵 A 的(准确形式的)特征值表 计算矩阵 A 的(准确形式的)特征向量表 计算所有的{{特征值}，{特征向量}} 用数值解计算矩阵 A 的特征值表 用 数值解计算矩阵 A 的特征向量表A={{1,2,1},{-1,2,1},{0,4,2}}; Eigenvalues[A]E igenvectors[A] {U, V} =Eigensystem[A] Det[A-xIdentityMatrix[3]] (* 计算 A 的特征多项式*)48 第 5 章数值计算5.1 插值# 插值多项式函数 InterpolatingPolynomial InterpolatingPolynomial [data,var] 构造以 data 为插值点数据，以 var 为变量名的插值多项式。 例 1：给出函数表 X 1.0 2.0 4.0 88.0 5.0 0.0 Y 16.0 46.0 构造插值多项式并计算 f(2.3)In[1]:=data={{1.,16},{2,46},{4,88},{5,0}}; In[2]:=f[x_]=InterpolatingPolynomial[data,x]In[3]: =f[2.3]下列几种数据的表示方式。 数据的表示方式 {x0,f0},{x1,f1},..{xn,fn}} {f0,f1,…fn} {x0,{f0,df0,ddf0,…}},…} {x0,y0,z0},{x1,y1,z1}…} 表 5-1 # 构造插值对象函数 Interpolation 说明 xi 为 x 轴坐标值 fi 为 y 轴坐标值 当 xi = i 时，可省略 xi 给出 xi 点的函数值 fi，一阶导数值 dfi、二阶导数值 ddfi，… 给出三维空间点列Interpolation [data,InterpolationOrder-&n] 构造以 data 为插值点数据，按 InterpolationOrder 设定多项式的次数的插值多项式。 对二维或多维数据 data 进行插值运算，数据表示范围和方式如表 5-1 所示；用 InterpolationOrder 设置插值多项式的次数 n，缺省值为 3，Interpolation 生成一个插值函 数和插值范围，如 Out[2]中“InterpolatingFunction[{1，5}，&&]”所示，由{1,5}表明 插值范围，用户只能计算在插值范围的近似的函数值，即只能做内插计算不能做外插 计算。 In[1]:=data=Table[{{1,16},{2,12},{4,8},{5,9}}]； 用 Interpolation 命令构造插值函数 g(x).In[2]:= g=Interpolation[data,InterpolationOrder-&3]In[3]:=g[1.2] (* 计算 x=1.2 处函数的近似值 *)In[4]:=g=Interpolation[data,InterpolationOrder-&4] Interpolation::inhr: Request order has been reduced to 3. 给定 4 个插值点，构造的插值多项式函数的次数至多为 3 次.49 In[5]:= g=Interpolation[data,InterpolationOrder-&2] In[6]:=g[1.2]例： 已知插值条件， f (0)=0, f (1)=2, f ' (0)=1, f '(1)=1， 求三次插值多项式并计算 f(0.2).In[7]:= d={{0,{0,1}},{1,{2,1.}}};h=Interpolation[d] In[8]:=%[0.23] In[9]:=h[0.23]InterpolatingFunction 对象也能作为微分方程的近似解。例如；In[10]:=sol=y/.First[NDSolve[{y''[x]==y[x],y[0]==1,y'[0]==0},y,{x,0,10}]] In[11]:=sol[2.7] # 由数组构造插值函数 ListInterpolation 当插值数据是按点列形式给出时，一般用 Interpolation 函数，当插值数据是用数组 形式给出时，一般用 ListInterpolation 函数。下列 ListInterpolation 函数的常用形式： ListInterpolation[array] 由数组中的数值构造近似插值函数。 ListInterpolation [array, {{xmin, xmax},{ymin,ymax}}] 在定义的网格域内，由数组中的数值构造近似插值函数。 例：由三维数据拟合函数 In[1]:=ListInterpolation[Table[1.2/(x^3+y^2),{x,10},{y,15}]] In[2]:=%[3.2,4.3] In[3]:=int3 =ListInterpolation[Table[{x,y,z,{z Cos[xy]}}, {x,-2.,2.},{y,-2.,2.},{z,0.,1.}],InterpolationOrder-&{3,3,1}] In[4]:={0.2Cos[1.0 1.1], int3[1.0, 1.1,0.2]} # 构造逼近函数 FunctionInterpolation 在计算一些复杂函数时，用函数 FunctionInterpolation 可对复杂函数构造相对简单的逼 近函数简化计算。 FunctionInterpolation 的常用形式为： FunctionInterpolation [ expr , {x, xmin, xmax }] 在区间[xmin,xmax]上构造 expr 的逼近函数 FunctionInterpolation [ expr , {x, xmin, xmax }, {y, ymin, ymax}, …] 在区间[xmin,xmax]，[ymin,ymax]…上构造 expr 的高维逼近函数逼近函数 In[5]:=FunctionInterpolation[Cos[x]+Sin[x^2],{x,0,1}]In[6]:=%[0 .37]In[7]:=h=FunctionInterpolation[int3[x,y,x^3+y^3],{x,0,0.5},{y,0,.5}]I n[8]:={0.25^3 + 0.25^3,h[0.25,0.25]}请观察原函数和近似函数之间的误差图形。In[9]:=Plot3D[x^3+y^3-h[x,y],{x,0,0.5},{y,0,0.5}]50 0. 0. 0.1 0.2 0.3 0.4 0 0.5 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1图 5-15.2 曲线拟合给定一组数据，Mathematica 按最小二乘法的原理对这组数据进行线性拟合或 n 次 多项式等曲线拟合。例如：设某次实验数据如下： X 1.36 1.49 1.73 1.81 1.95 2.16 19.95 Y 14.09 15.09 16.84 17.38 18.44 试按最小二乘法用一次多项式、二次多项式拟合以上数据。In[1]:=f={{1.36,14.09},{1.49,15.09},{1.73,16.84},{1.81,17.38},{1.95,18.44},{2.16,19.95}}; In[2]:=Fit[f,{1,x},x]Out[2]=4.62x In[3]:=Fit[f,{1,x,x^2},x]Out[3]=3.24x-0.133012x 拟合函数 Fit 的一般形式：2Fit[data,funs,vars] 用数据 data，以 vars 为变量，按拟合函数的基函数 funs 的形式构造拟合函数。数 据的表示方法同插值函数中相同，都是使用点列形式。 下列几种常用的一维拟合函数形式： 拟 合 函数 Fit [data,{1,x},x] Fit [data,{1,x,x^2},x] Fit [data,Table[x^i,{i,0,n}], x ] Exp [Fit [Log [data],{1,x}, x]] 说明 用数据 data 作线性拟合函数：a+bx 构造二次拟合函数：a??bx??cx 做 n 次多项式拟合 拟合曲线为 ea ?bx 2表 5-2In[4]:= g=Table[Prime[x],{x,20}];Fit[g,{1,x},x] In[6]:= Fit[g,{1,x,x^2},x]Fit 函数也能构造其它形式的多维拟合函数,多项式是拟合函数的一种常用形式，例如: Fit [{{x1,y1,f1},…},{1, x, y},{x,y}] 构造双线性拟合函数 a+ bx +cy. 例如：取函数 z=1-3x+5xy 的部分数值构造以{1,x,y,xy}为基的拟合函数。 In[7]:=Flatten[Table[{x,y,1-3x+5xy},{x,0,1,0.4},{y,0,1,0.4}],1]；51 In[8]:=Fit[%,{1,x,y,xy},{x,y}] In[9]:=Chop[%]#多项式拟合函数(PolynomialFit) Mathematica 在程序包 NumericalMath 中提供了多项式拟合函数 PolynomialFit。 PolynomialFit 的一般形式： PolynomialFit[data,n] 它按最小二乘原理构造 n 次多项式函数拟合数据 data。例如，调入多项式拟合函 数,构造 3 次多项式函数拟合数据 f(x)=x .In[1]:=&&NumericalMath`PolynomialFit` In[2]:=p =PolynomialFit[{1,4,9,16,25,36,49},3] Out[2]=FittingPolynomial[&&,3]In[3]:=2p[10]Out[3]=100.(*计算 f(10)的近似值*)In[4]:=Expand[p[x]] (* 可以看到多项式拟合函数的效果*)#样条函数(SplineFit) 功能强大应用广泛的样条函数： SplineFit[points ,type] 由点列 points 按类型 type 生成 SplineFunction 对象。 其中选 项的类型有 Cubic，Bezier 和 CompositeBezier。1 按选项 cubic 构造分段三次多项式，它是 C 连续,首尾的二阶导数为零。In[1]:=&&NumericalMath`SplineFit`In[2]:=pts={{0,0},{1,2},{-1,3},{0,2},{3,0}}; spline=SplineFit[pts,Cubic] In[3]:={spine[1.0],spline[1.2]}In[4]:= spa=SplineFit[pts,Bezier]In[5]:={spa[ 1.0],spa[1.2]}5.3 数值积分5.3.1 数值积分函数 NIntegrate在第 3 章计算定积分中我们用过函数 Integrate 和 NIntegrate，看起来象一对函数。 前者是用准确的公式推导计算问题的精确解，即符号计算；后者是用近似的数值解求 解，即数值计算。在 Mathematica 中还有一系列这样的函数。例如： 精确解函数 Sum Product Limit 数值解函数 NSum NProduct NLimit 计算 和 积 极限52 D Integrate Series Solve DSolveND NIntegrate NSeries NSolve NDSolve导数 积分 级数 求解方程组 求解微分方程组 表 5-3例：?1??11 |x|dx ，0 是奇点。In[1]:=NIntegrate[1/Sqrt[Abs[x]],{x,-1,0,1}]例如：计算复平面上的线积分，积分曲线从-1 起到-I，1，I 再回到-1 的闭曲线。 In[2]:= NIntegrate[1/x, {x, -1,-I,1,I,-1}]Out[2]=1.1102210?16+6.28319I(* 由柯西公式准确解是 2?i*)5.3.2 高斯积分高斯积分函数放在程序包 NumericalMath`GaussianQuadrature`中，用 GaussianQuadratureWeights 函数直接计算 xi 和 wi 的数值。高斯积分函数也有多种类 型，GaussianQuadrature 中 GaussianQuadratureWeights 函数计算 Gauss-Legendre 求积 公式的组合系数。 高斯积分函数(GaussianQuadrature) 间)GaussianQuadratureWeights[n,a,b] GaussianQuadratureError[n,f,a,b] GaussianQuadratureWeights[n,a,b,prec] GaussianQuadratureError[n,f,a,b,prec] 说明 (在 [a,b] 区 按机器精度给出 n 点的横轴值和权值(xi,wi) 按机器精度给出积分误差 按精度 prec 给出 n 点的横轴值和权值(xi,wi) 按精度 prec 给出积分误差 表 5 -5In[1]:=&&NumericalMath`GaussianQuadrature`按机器精度给出在区间[-1，1]上，2 个点的横轴值和权值(xi,wi)。In[2]:=xw=GaussianQuadratureWeights[2, -1,1] Out[2]={{-0.57735, 1.}, {0.57735,1.}}1x xdx 的结果， 比较下列两种计算积分 sin 可以看到取 4 个点的高斯积分误差已经很小了。??1In[3]:=Integrate[x Sin[x],{x,-1,1}]//N Out[3]=0.602337 In[4]:=f[x_]:= xSin[x]NSum[xw[[k,2]]f[xw[[k,1]]],{k,1,Length[xw]}]Out[4]=0.630242 In[5]:=xw=GaussianQuadratureWeights[4, -1,1]；NSum[xw[[k, 2]]f[xw[[k, 1]]], {k, 1,Length[xw]}]Out[5]=0.60234也可用函数 GaussianQuadratureError 直接计算误差。53 In[6]:=GaussianQuadratureError[3, f, -1,1] Out[6]=-0. (6 Cos[#1] - Sin[#1] #1&) In[7]:=GaussianQuadratureError[4, f, -1,1] In[8]:=GaussianQuadratureError[3, g, -1,1] Out[8]=-0.g(6)计算在区间[-3，7]的高斯积分系数In[9]:=GaussianQuadratureWeights[5, -3,7] Out[9]={{-2.63},{-0..39314},{2,2.84444},{4.614}, {6.63}}5.4 方程求根5.4.1 求根函}
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联立四个方程解方程组，用mathematica怎么做？
08-12-26 &
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类似以下格式，自己看吧，我估计你mathematica符号表达式用不来，建议借书看看，肯定有例题 Solve[{x*(0..21372*(1 - y*Exp[-2z]) - a) == 0.00137, x*(0..21372*(1 - y*Exp[-16z]) - a) == 0.00393, x*(0..21372*(1 - y*Exp[-109z]) - a) == 0.01332, x*(0..21372*(1 - y*Exp[-207z]) - a) == 0.01453}, {x, y, z, a}]
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Mathematica教程(中科大教案)
绪论0.1 符号计算系统简介# 数值计算与符号计算1946 年 世 界 上 第 一 台 计 算 机 ENIAC (The Electronic Numerical Integratorand Computer)是为数值积分服务的。 一提起计算机求解人们立刻想到的是数值求解，这是因为计算机的早期应用范围主 要是数值求解。其实数值求解是计算机求解的一个方面，计算机进行计算的另一方面即 对数学表示式的处理已形成一门新的科学分支，称为符号计算或计算机代数，它是一门 研究使用计算机进行数学公式推导的理论和方法，演算数学公式的理论和算法是它研究 的中心课题。 数值计算： 常量、变量、函数、运算符 --〉数值、字符、逻辑量 表达式一个值 多 一 近似计算 例：计算 y=sin10+ln10。其结果是 1.75856。 在高级语言中，算术表达式由常 量、变量、函数和运算符等组成，算术表达式的 值为某一精度范围内的数值。计算各类表达式的值是高级语言的主要工作。 符号计算(计算机代数): 常量、变量值、函数值 --〉数值、字符、逻辑量 表达式表达式 多 多 准确计算??x sinxdx＝-(-2+x )cosx+2xsinx2 2与数值计算相比，符号计算对计算机硬件和软件提出了更高的要求。#符号计算系统符号计算系统是一个表示数学知识和数学工具的系统， 一个集成化的计算机数学软件系统。 # # # # 数值计算、 符号计算、 图形演示 程序设计公式推导、数值计算和图形可视化操作一致性和连贯性。 符号计算系统的对象从初 等数学到高等数学，几乎涉及所有数学学科。包括各种数 学表达式的化简、多项式的四则运算、求最大公因式、因式分解(factor)、常微分方程 和偏微分方程的解函数。各种特殊函数的推导、函数的级数展开、矩阵和行列式的各种 运算和线性方程组的符号解等。 和数值计算一样，算法也是符号计算的核心。就算法而言，符号计算比数值计算能 继承更多的更丰富的数学遗产，古典数学家许多算法仍然是核心算法的成员，近代数学 的算法成果也在不断地充实到符号计算中。 符号计算已成功地应用于几乎所有的科学技术和工程领域，其中包括数学理论领 域。由于它和数值计算一样，能够正确地完成人在短时间内无法完成的公式推导计算， 使得不少研究领域的前沿向前推移。# 符号计算的应用?验证公式的工具 在十九世纪，法国文学家 CharlesDelaunay 计算月亮的位置作为时间函数。从 1847 年到 1867 年用了 20 年的时间，完成并发表了长达数百页的计算方面的文章，推导了 近 四万个公式。到 1970 年 MIT 的一个研究小组以 Drprit 为首用符号计算软件对于 Delaunay 的计算公式进行复算，只用了 20 小时的 CPU 便完成了。复算表明原先的计 算只有 3 个 错误，其中一个错误是某项的系数是 3 而不是 2，另外两个错误是由此而 引起的。这是 一个很有代表性的例子。 例如：一个七个自由度行走的机器人，从运动方程求解加速度时，包括大量的多维 转换公式推导，可以有上百项，甚至上千项。这时只能用符号计算系统才能迅速、准确 的求解，在推导有限元的刚度矩阵中，在计算行列式展开和合并中，都可以用任何一个 符号计算系统来完成公式演算。 用符号计算系统进行公式推导，简单、正确和快速。它帮助科研人员摆脱了理论推 导中繁琐的一面，将精力更多的放在创造性的思维中。 ?理论研究中的实验方法 在物理、化学和生物学等许多自然科学领域中，实验是科学研究的一个手段。符号 计算系统的出现为数学领域和一些理论研究领域提供了“实验”工具。部分高校的“数 学实验室”应运而生。数学的创造大多来自直觉，用符号计算系统对设想的定理结论直 接验证，将待研究的方程绘出图形以观察变化趋势，会给科研人员带来不同程度的灵感 和启发，甚至会得到意想不到的收获。再将结果进行理论深化并加以严格证明。如今数 学实验已被一些数学工作者所接受。数学实验课程已列入国家教委 21 世纪教学改革的 重点课程之一。# 符号计算系统软件简介符号计算已有几十个软件系统，一般有专用系统和通用系统两类。通用符号计算系 统都具有数值计算、符号计算和图形功能。都有适合于从工作站到微机使用的多种版本。 符号计算语言是这种算法在计算机上的工具。符号计算系统由符号计算语言和若干软件 包组成。目前，典型的通用符号计算系统有：(按字母顺序排列) Axiom Macsyma Maple Mathematica Reduce Derive 符号计算系统通常都有两种运行方式：一种是交互式，每发一个命令，就执行一种 相应的数学计算。 另一种方式是写一段程序，执行一系列的命令，就想用 Fortran 或 C 写程序一样。 每个符号计算系统都有自己的程序设计语言，这些语言与通用的高级语言大同小异。请 看 C 语言和 Mathematica 中的几个语句形式：2 C 语 言 if(表达式)语句 1 else 语句 2 while(表达式)语句 for(初值；终值条件；增量)语句Mathematica If [表达式,语句 1, 语句 2] While[表达式,语句] For[初值，终值条件，增量，语句]1.2 Mathematica 简介Mathematica 是 美 国 Wolfram 研 究 公 司 开 发 的 符 号 计 算 系 统 。 1988 年 发 布 Mathematica 系统的 1.0 版，因系统精致的结构和强大的计算能力而广为流传，经不断 扩充和修改后，在 1991 年和 1997 年推出了功能更加充实和完善的 Mathematica2.0 版和 Mathematica3.0 版，在 1999 年推出了 Mathematica4.0 版。 Mathematica 是最大的单应用程序之一，它内容丰富功能强大的函数覆盖了初等数 学、微积分和线性代数等众多的数学领域，它包含了数学多方向的新方法和新技术；它 包含的近百个作图函数是数据可视化的最好工具；它的编辑功能完备的工作平台 Notebooks 已成为许多报告和论文的通用标准；在给用户最大自由限度的集成环境和优 良的系统开放性前题下，吸引了各领域和各行各业的用户。 现在 Mathematica 在世界上拥有超过一百万的用户，已在工程领域、计算机科学、 生物医学、金融和经济、数学、物理、化学和社会科学等范围得到应用。尤其在科研院 所和高等院校流行。 目前，至少有 14 种语言写成的 200 多册书籍和几种专门介绍 Mathematica 的期刊。 在英国和日本都有大学将 Mathematica 作为理工科学生入校必修的计算机课程之一。它 也是“数学模型”和“数学实验”课程最好的工具之一。世界各地的大学和高等教育工 作者已开发基于 Mathematica 的多门课程。 Mathematica 是用 C 语言编写的，Mathematica1.2 版大约有 150,000 行长。它吸取 了不同类型的软件的特点。 ?具有 BASIC 语言的简单易学的交户式操作方式 ?具有 MathCAD,Matlab 那样强的数值计算功能 ?具有 Maccsyma,Maple,Reduce 和 SMP 那样的符号计算功能 ?具有 APL 和 LISP 那样的人工智能列表处理功能 ?像 C 与 PASCAL 那样的结构化程序设计语言 # Mathematica 的开发者 Stephen Wolfram 是 Mathematica 的 创 始 人 ， 并 公认 是 当 今 科 学 计 算 的 先 驱 。 Wolfram 1959 年生于伦敦。他在 Eton(伊顿公学)，Oxford(牛津大学)和 Caltech(加州理工 学院)受教育。他在 15 岁发表了第一篇科技论文，于 1979 年 20 岁时在加州理 工学院 获理论物理学博士学位。 从 1973 年开始使用计算机，1981 年主持开发了第一个计算机代数系统 SMP。 Wolfram 的研究范围包括了物理学、数学和计算机的许多领域。他早期的工作主要 在能物理、量子场论和宇宙学方面。由于他在物理和计算方面的成绩，1981 年成为最年 轻的麦克阿(MacArthur)奖学金获奖者。Wolfram 所做的元细胞自动机(cellularautomata)的计 算模型应用到数学和物理出现的复杂系统。Wolfram 关于元细胞自动机的工作已在3 许多不同的邻域得到广泛的应用，它导致生物学和物理学中图样生成的新模型，以及研 究混沌和随机性的新方法。Wolfram 发明了基于元细胞自动机的快速加密系统。1986 年， 他创办了杂志 Comliex Systems。担任过伊里诺大学复杂系统研究中心的主任，物理学、 数学和计算机科学教授。 从 Wolfram Research 公司创办开始，Stephen Wolfram 就担任公司的总裁并致力于 Mathematica 的发展，Wolfram 负责 Mathematica 的总体设计，他写了 Mathematica 大部 分的基本核心代码。 DanielR.Grayson 是伊里诺大学的数学教授。他于 1976 年在麻省理工获得数学博士 学位，曾在哥伦比亚大学和高等研究所工作。他写了 Mathematica 的数学部分的许多内 容，包括任意精度的算术运算、解方程、矩阵演算、幂级数和椭圆函数。Grayson 主要 的研究兴趣是代数 K 理论，这个数学分支把代数几何、线性代数和数论的概念结合在一 起。Grayson 广泛地使用计算机研究数论中的猜想。在参加 Mathematica 工作以前， Grayson 开发了一种用于数论研究的交互式计算机系统。 Roman E.Maeder 负责 Mathematica 的符号积分、多项式因式分解和其它多项式运 算。Maeder 于 1986 年在苏黎世高等工艺学院获得博士学位，其论文是关于程序设计语 言的数学理论。从 1983 年起，Maeder 的工作领域是计算机代数及其对数学教育的应用。 他给计算数学研究生开设了“数学实验室”课程。 StephenM.Omobundro 写了 Mathematica 的三维图形程序代码。Omobundro 于 1985 年在伯克力加州大学获数学物理学博士学位。1985 至 1986 年他曾在 Think Machines 公 司从事大规模并行计算的算法方面的工作。他是 Connection Machine 计算机用的 LISP 语言设计者之一。1.3 初识 MathematicaMathematica 是什么？ Mathematica 能做什么？ 希望 Mathematica 会成为你工作和学习中的好伙伴！# 进入 math4.0在“开始”菜单中的“程序”中单击，进入 Mathematica4.0之后，得到如下的 Notebook 窗口，并给 Notebook 暂时取名 Untitled-1，直到用户保存时 另命名为止。 假定用户已经掌握 windows 中下列常规操作： ?单击：单击鼠标左键；双击：快速地连续击两次鼠标左键； 拖放：按住鼠标左键拖动鼠标。 在文件菜单中保存、打开关闭文件等操作。图 0 -1 Mathematic 4.0 窗口4 # 退出 math4.0在“File”菜单中选择“Exit”命令或按“Alt+F4”。如果窗口中还有内容没有保存到 Notebook 中，这时会出现一个对话框，系统要问你是否保存 Notebook，单击对话框上的“否(N)” 按钮则关闭窗口；单击“是(Y)”按钮，则保存 Notebooks 后退出窗口。退出后返回到调 入 Mathematica 以前的状态。# 输入和计算表达式运行命令方式：按 Shift+Enter In[1]:= Out[1]= (* 像在用一个计算器*) 对 x ?12x ?145x+1716 因式分解； In[2]:= Factor[x^3-12x^2-145x+1716] Out[2]= (-13 + x) (-11 + x) (12 +x) In[3]:=Expand[(x-3)(y^2-x+6)] (* 展开多项式*) Out[3]= ?18 + 9 x ??x ??3 y + x y In[4]:=GCD[391,561,357] Out[4]=17 In[5]:=LCM[21,29,35] Out[5]=3045 解方程组 ??? (* 计算 21,29,35 的最小公倍数*)2 2 2 3 2计算 391,561,357 的最大公约数；?3x?2y?5 ?? x ??y ??5In[6]:=Solve[{3x-2y==5,x+y==5},{x,y}] Out[6]={{x-&3,y-&2}} 计算dx 2 sinx dx2In[7]:=D[x^2Sin[x],x] Out[7]=x Cos[x] + 2 xSin[x]计算不定积分??x sinxdx2 2In[8]:=Integrate[x^2Sin[x],x] Out[8]= -(-2 + x1.3)Cos[x] + 2 xSin[x]2计算定积分cosx??2 ??? sin xdx1.1In[9]:=Integrate[(Cos[x]+2)/Sin[x]^2,{x,1.1,1.3}]5 Out[9]=0.546958 定义矩阵 AA，AB，AC； In[10]:=AA={{1,2,3,4},{3,2,5,6},{1,2,-1,2},{0,2,5,7}}； AB={{7,6,5,4},{8,5,3,2},{9,6,1,8},{0,-3,-4,5}}； AC={{3,1,2,0},{4,5,0,8},{6,7,1,9},{7,8,2,3}} In[11]:=TableForm[AA.AB+AC] (* 矩阵运算如此简单 !*) In[12]:=Plot[x^5-3x+7,{x,-3,3}]15 12.5 10 7.5 5 2.5 -3 -2 -1 1 2 3图 0-3Out[12]=-Graphics(* 一个命令，一个图形呼之而出*) In[13]:= ParametricPlot[{Sin[0.99t]0.7*Cos[3.01t],Cos[1.01t]+0.1Sin[15.03t]},{t,-150,150}, PlotStyle -& RGBColor[0.2, 0.5,0.3],PlotPoints -& 300, Axes &None]画出马鞍面 z?? x ?? y ,?5?? x??5,?5?? y??52 2In[14]:=Plot3D[x^2-y^2,{x,-5,5},{y,-5,5}, BoxRatios -&{1,1,1}]6 画一副分形图。 In[15]:= f[x_,y_,lim_]:=Module[{z, ct =0}, z = x + I While[Abs[z] & 2.0 && ct &=lim, z = z^2 +Sin[ x]+ I ++ct];ct] DensityPlot[f[x,y,50],{x,-2,1},{y,-1.5,1.5}, PlotPoints -&200,Mesh -&False,ColorFunction-&Hue]打开与计算机相连的音响，运行下列命令后，你会听到 Sin 抑扬顿挫的声音和声 波的振幅数据图。In[16]:= Play[Sin[1599t ^3 - 75 Sin[59t]],{t,0,9}]7 0.4 获胜帮助# 获取函数和命令的帮助在 Windows 和 DOS 下都用？或？？可向系统简单而直接获取帮助信息。用？ 或？？可向系统查询运算符、函数和命令的定义和用法。 ? name 显示有关 name 的信息 ??name 显示有关 name 的详细信息 ? A* 显示以字母 A 为开头的一 切客体的名称例如, 向系统查询运算 符 :=的定义 In[1]:=?:= 向系统查询求和函数 Sum 的用法； In[2]:=?Sum 显示所有以 Plot 为开头的函数。 In[3]:=?Plot*# Mathmatica 6.0 帮助文档中心8 # Mathmatica 4.0 Help 菜单选项卡名称 Built - inFunction Add-ons MathematicaBook GettingStarted/Demos OtherInformation MasterIndex 说 明 内建函数按数值计算、代数计算、图形和编程分类存放 程序包(StandardPackages)，MathLinkLibrary 等内容 The 一本完整的 Mathematica 的使用手册 初学者首选处，有初学者入门指南和多种演示 菜单命令的快捷键，二维输入格式等 按字母顺序给出命令、函数和选项的索引表9 第 1 章 Mathematica 的基本量1.1 数与数的表示1.1.1 数值类型Mathematica 的简单数值类型有整数、有理数、实数和复数。 简单数值类型 类型 整数 有理数 实数 复数 例题：In[1]:=2^1000 In[2]= In[3]:=1+1/2+0.2 In[4]:=Sqrt[-9] In[5]:=Exp[3.+7I]描述 Integer Rational Real Complex例 43/.3 I特 征 说明 任意长度的精确整数 化简过的分数 任意精确度的近似实数 实部和虚部可为整数、有理数、实数 表 1 -11.1.2 数学常数在 Mathematica 中定义了一些数学常数.例如：表示圆周率的?，无穷大的?? 。 数学常数 Pi E Degree I Infinity 意义 ?=3.14159… 自然对数的底 e =2.71828...1o (1 度)，?/180 虚数单位 i = ?1?，无穷大表 1 -2 数学常数可以直接用在公式推导中，Mathematica 中的数学常数都是精确数；用在 数值计算中的数学常数可以取任意精确度。 In[1]:=2Pi+Pi^2 2 Out[1]= 2p + p (* 结果仍是准确值*) In[2]:=Pi+1.2 (*或 ?+1.2 *) Out[2]=4.34159 (* ??取值 3.14159*)10 1.1.3 有理数与实数的转换(* % 对 1/3 取 18 位有效数字 *)In[2]:=Rationalize[%] (* %表示上一个输出结果*) 有些 实数无法转换为有理数，这时要给出转换时允许的误差范围。 In[3]:=Rationalize[N[Pi]] Out[3]=3.14159 (* 找不到完全等于?? 的有理数，只能保存实数形式的? *) In[4]:= Rationalize[N[Pi],10^(-9)]In[1]:=N[1/3,18]数值转换函数 N[x] N[x,n] Rationalize[x] Rationalize[x,dx]说明 将 x 转变实数形式 将 x 转变为最多具有 n 个数字位精确度的近似实数 给出一个近似于 x 的有理数 给出一个误差在 dx 内近似于 x 的有理数 表 1 -31.1.4 数的输出形式数值输出函数 N [表达式] N [表达式, n] ScientificForm [表 达 式]说明 以实数形式输出表达式 以 n 位精度的实数形式表示表达式 科学记数法 表 1 -4观察 In[1]和 In[2]运算结果的区别 In[1]:=Sin[2/3] + Cos[1/3] + Pi - 3Sin[2/3] In[2]:=Sin[2./3] + Cos[1/3] + Pi - 3Sin[2/3] In[2]:=N[Pi,20] 要求运算结果共有 20 位有效数字， In[3]:=ScientificForm[%*12345]Out[3]//ScientificForm=3.In[4]:=ScientificForm[a+b]a 和 b 没有数值，输出？1.2 变量1.2.1 给变量取名在 Mathematica 中变量名以英文字母开头，后跟字母或数字，变量名字符的长度 不限。英文字母中大小写意义不同，因此 A 与 a 表示两个不同的变量。在 Mathematica 中变量即取即用，不需要先说明变量的类型再使用。在 Mathematica 中变量不仅可存放 一个整数或复数，还可存放一个多项式或复杂的图形。11 1.2.2 给变量赋值在 Mathematica 中，运算符“=”或“：=”起赋值作用，有关运算符“：=”的定 义请看第 7 章。运算符“=”的一般形式为： 变量 =表达式 变量 1= 变量 2= 表达式In[1]:= u = v =1 (* 与 C 语言类似，可给变量连续赋值*) Out[1]=1 In[2]:= f =x^2+x-3.2；f 表示一个多项式，输入命令后以分号结尾，则不输出运算结果。In[3]:= m =Table[i+j,{i,5},{j,5}]；m 表示一个 5 行 5 列的表，In[4]:= d = Plot[Sin[x],{x,-Pi,Pi}] In[5]:=Show[d](* d 表示一个图形*)屏幕再现变量 d 所保存的图形，图略。 在 In[1]中给 u 和 v 赋值 1，如果要给 u 和 v 赋以不同的值，可用两次定义赋值， 也可用形式：{u,v}={值 1, 值 2}。有了这种变量的赋值形式，交换两个或多个变量的 值也就有了{ u, v}= { v ,u}的形式。例如： In[1]:={x, y, z}= {11,22,33} Out[1]={11, 22,33}In[2]:= 3 x+2y Out[2]=77 In[3]:= {x, y}={y,x}Out[3]={22,1 1}In[4]:= 3 x+2y Out[4]=88 下列给变量赋值的常用形式： 赋值形式 x = value x = y = value {x, y} = {value1,value2} {x, y} = {y, x} x=. Clear[x]意 义 给 x 定义值 value 给 x 和 y 定义同一值 value 给 x 和 y 定义不同的值 交换 x 和 y 的值 清除变量 x 的值 清除变量 x 的定义和定义的值 表 1 -51.2.3 变量替换变量有两种获取值的方式，赋值是一种方式，变量替换是另一种方式。 变量替换的一般形式： expr /. lhs -& rhs 用 rhs 替换 expr 中的 lhs expr /. {lhs1 -& rhs1, lhs2 -& rhs2,…} 分别用 rhsi 替换 expr 中的 lhsi 定义中的 lhs 可为变量名、函数名等多种成分。 In[1]= f =x^2+1 In[2]:= f/.x-&1 (* 用 1 替换 f 中的 x *) In[3]:=f/.x-&2.5 In[4]:= g =x^2+y^2;12 g/.{x-&2,y-&1} (*在 g 中替换 x,y 两个变量*) 还能对 表达式中的函数名做替换，更复杂的替换规则，请看第 7 章。In[5]:=Sin[1-x]+ Sin[x]/.Sin -&Cos Out[5]=Cos[1-x]+Cos[x]1.3 表将一些有关联的数据元素组成一个整体，在 Mathematica 中，这样的数据结构称为表 (List)。用表可以表示数学中的集合、向量和矩阵，也可表示数据库中的一组记录。在 Mathematica 中，既可对整体数据表操作，也可对表的单个元素操作。 表在形式上是用花括号括起来的若干元素，元素之间用逗号分割。 表中的元素 可为任何数据类型。表的元素可为数值、表达式和表。表是一种嵌套 结构形式的定义。同一个表中的元素可为不同的数据类型。表中元素较少时，直接使 用形式： 变量={元素 1，元素 2，...}键入表中元素，即在给出表名的同时又建立了表中元 素。在学习建表命令前，先了解 Mathematica 中的循环描述。 循环描述形式：{ 循环变量，循环初值，循环终值，步长} 循环变量从循环初值开始，按步长逐步递增或递减(步长可为正值或负值)，一直 做到循环终值的界限终止。 循环变量、循环初值、循环终值和步长可为整数、有理数和实数。 表 1 - 6 列出几种常用的循环形式： 循环描述 {i, min, max,step} {i, min,max} {i,max} {max} {i, imin, imax},{j, jmin,jmax} {i,i0,i1,istep},{j,j0,j1,jstep} 说 明 i 从 min 到 max ，按步长 step 增加 同上。步长 step 为 1 时可省略不写 i 从 1 到 max 。初值 min 为 1 时可省略不写 重复 max 次 i 从 imin 到 imax，对每一个 i 值，j 从 jmin 到 jmax 同上。i 的步长 isep，j 的步长 jstep 表 1 -61.3.1 建表函数用建表命令 Table 能方便地构造既有表的大小范围，又有表的元素的表。用 Range 生成元素为数值的数列。本节面向一般的表，有关建立向量和矩阵的细则，请参阅第 4 章。建表命令的一般形式如下： Table[通项公式，{循环范围}，{循环范围}…] 按循环范围定义表的大小范围和层次，用通项公式的规则定义表的元素。 Range[初值，终值，步长] 生成值为{初值，初值+步长，….}的数值表，其中最后的值不超过终值。 下面给出建表函数常用形式和实例。 建 表 函数 说 明 Table [f, {i, min, max,step}] 定义 f 的数值表,i 从 min 变到 max，以 step 为步长 Table [f, {i, min,max}] 定义 f 的数值表，i 从 min 变到 max ，步长为 1 Table[f,{max}] 给出 max 个元素 f 的表13 Table [f,{i,imin,imax,},{j,jmin,jmax},...]生成一个多维表 TableForm[a] 以表列格式显示表 a Range [n] 生成一个 {1,2,...,n}的数列 Range [n1,n2,d] 生成 {n1,n1+d,n1+2d,...}的数列 表 1 -7 In[1]:=Range[3,10,2] In[2]:= a = Table[Random[],{3}] In[3]:= b =Table[i+j?1,{i,1,3},{j,1,3}] In[4]:=TableForm[%]Out[4]//TableForm=1 2 32 3 43 4 51.3.2 表的分量表示表的分量 t[[n]] 或 Part [t,n] t[[?n]] 或 Part [t,?n] First [list] Last [list] t[[{n1,n2,...}]]或 Part [t,{n1,n2,n3....}] t[[i,j]]In[1]:=s=Range[2,12,2]说明 t 中的第 n 个元素 t 的倒数第 n 个元素 list 中的第一个元素 list 中的最后一个元素 给出由 t 的第 n1,n2,n3....个元素组成的表 t 的第 i 个子表的第 j 个元素 表 1 -8In[2]:={Last[s], s[[1]], First[s], s[[?6]], Part[s,?1]} In[3]:= u =Table[10*m+n,{m,3},{n,3}]表 u 的第一个子表是矩阵的第一行元素。 In[4]:= {First[u],Last[u]} In[5]:=u[[2,2]] (* 表 u 的第二个子表的第二个元素*) 而由表 u 的第二个子表和第三个子表的组合为： In[6]:=u[[{2,3}]] Mathematica 还提供了一些表操作的函数，例如：插入或删除表的单个元素或部分 元素。在函数中，用正数表示表的顺数元素的位置，用负数表示表的倒数元素的位置。 在操作中，要特别注意的是在执行插入或删除表的元素后，表本身有没有变化。例如： In[1]:=x={1,2,3,4} Out[1]={1,2,3,4} In[2]:=Insert[x,5,2] (*在表的第 2 个位置插入元素 5 *) Out[2]={1,5,2,3,4} In[3]:=x Out[3]={1,2,3,4} In[4]:=Append[x,6] Out[4]={1,2,3,4,6} In[5]:=x Out[5]={1,2,3,4} (* 表的元素没有变化*) In[6]:=AppendTo[x,6] Out[6]={1,2,3,4,6}In [7]:=x14 Out[7]={1,2,3,4,6}(* AppendTo 的插入效果*)下面列出有关表的操作函数： 表的编辑函数 Insert [list, expr, n] Insert [list, expr,?n] Prepend [list, expr] Append [list,expr] AppendTo [list,expr] Take [list, n] Take [list,?n] Take[list,{m,n}] Rest[list] Drop[list, n] Drop[list,?n] Drop[list, {m,n}] ReplacePart[list, expr,n] Length[list]说明 给出在表 list 的第 n 位置插入 expr 后的结果 给出在表 list 的倒数第 n 位置插入 expr 后的结果 给出在表 list 的首部插入元素 expr 后的结果 给出在表 list 的末尾插入元素 expr 的表 在表 list 的末尾插入元素 expr 取 list 中的前 n 个元素 取 list 的后 n 个元素 取从 m 到 n 的元素(包括 m,n 在内) 给出删掉 list 第一个元素之后的集合 给出删掉 list 前 n 个元素之后的集合 给出删掉 list 后 n 个元素之后的集合 给出删掉 list 第 m 到第 n 个元素的集合 用 expr 替换 list 中第 n 个元素 给出表 list 中元素的数目 表 1 -9In[1]:=s={a,b,c,d,e}； In[2]:={Take[s,2],Take[s,2],Take[s,{2,4}]}In[3]:=s=Insert[s,u,3] In[4]:=Drop[s,{2,3}] Out[4]={a,c,d,e} (*删掉第 2 和第 3 个元素之后的 s*) In[5]:=s (* s 并没有变化*) Out[5]={a, b, u, c, d,e}In[6]:=ReplacePart[s, M,2]In[7]:=ReplacePart[s,N,-2]1.3.3 表的结构运算当一个表与一个标量作四则运算时，标量与每个表元素作用一次，运算结果仍然 是表，当二个表进行加减运算时，要求两个表的大小结构相同。二个表进行乘除和其 它运算请看线性代数部分。下面给出有关表的运算函数和实例。 函 数 说明 Join [list1, list2,...] 把几个表连成一个表 Union [list1, list2,...] 合并几个表，去掉表中重复的元素，然后对元素排 序 Sort [list] 将表 list 的元素按照标准顺序排序 Union [list] 去掉重复的元素后对元素排序 Reverse [list] 将表 list 中元素的顺序倒过来 RotateLeft [list, n] 将表 list 中元素向左转 n 个位置 RotateRight [list, n] 将表 list 中元素向右转 n 个位置 Apply [Plus,list] 把 list 中的所有元素加在一起 Apply [Times,list] 把 list 中的所有元素乘在一起 表 1 -1015 函数 Apply 的一般形式： Apply [ f, expr ] 可以看成函数或算子 f 作用于表达式 expr。Apply 的用法简单灵 活，我们将多次用到不同的对象中。 In[1]:= a={5,8,5,7,2,6}； 将表 a 中所有的元素相加；In[2]:=Apply[Plus,a] Out[2]=33将表 a 中所有的元素相乘；In[3]:=Apply[Times,a] Out[3]=16800 In[4]:=b=Table[Random[Integer,{10,100}],{12}] Out[4]={56,93,88,20,42,90,65,29,17,67,26,47}将随机形成 10 至 100 以内的整数元素表 b 由小至大顺序排列；In[5]:=Sort[b] Out[5]={17,20,26,29,42,47,56,65,67,88,90,93}反转表 b，即表元素由大至小排列；In[6]:=Reverse[%] Out[6]={93,90,88,67,65,56,47,42,29,26,20,17}删除表中第一个元素；In[7]:=Rest[%] Out[7]={90,88,67,65,56,47,42,29,26,20,17}删除表中第三至第五个元素；In[8]:=Drop[%,{3,5}]在表的第 1 个位置上插入元素 99 ；In[9]:=Insert[%,99,1]计算表中元素的个数。In[10]:=Length[%]1.3.4 表的集合运算关数学集合运算的函数： 集合运算函数 Union [list1,list2,...] Intersection [list1,list2,...] Complement[un,list1,list2,...] 说明 给出表 list1, list2,..中不同元素的一个表 给出表 list1, list2,..中公共元素的一个表 给出在 un 中但不在表 list1,list2,..中的元素 表 1-11In[1]:=Union[{c,a,b},{d,a,c},{a,e}] Out[1]={a,b,c,d,e} In[2]:=Join[{c,a,b},{d,a,c},{a,e}] Out[2]={c,a,b,d,a,c,a,e} Out[3]={a,b}(* 只保存一个 a 元素*)(* 所有的 a 元素都保存*) (* 表{a,c,b}与{b,a,d,a}的相同元素*)In[3]:=Intersection[{a,c,b},{b,a,d,a}]16 In[4]:=Complement[{a,b,c,d},{a,d}] Out[4]={b,c}(* 给出在{a,b,c,d}中而不在{a,d}中的元素*)1.4 函数# 常用数值函数实变量的数值函数 Round [x] Floor [x] Ceiling [x] Abs[x] Sign [x] IntegerPart [x] FractionalPart [x] Max[x1,x2,...] 或 Max[s] Min [x1,x2,...] 或 Min[s] 说明 最接近 x 的整数 不大于 x 的最大整数 不小于 x 的最大整数 x 的绝对值 取符号函数。x&0 时为 1，x=0 时为 0, x&0 时为-1 取数 x 的整数部分 取数 x 的小数部分 取 x1,x2,...中的最大值。s 为一集合或数组 取 x1,x2,...中的最小值。s 为一集合或数组 表 1 -12 In[1]:={Round[9.7],Floor[9.7],Ceiling[9.7]} In[2]:= {Round[?9.7], Floor[?9.7],Ceiling[?9.7]} In[3]:=Min[1,9,7,5,2] (* 计算{1,9,7,5,2}中的最小元素*) 计算矩阵 b 的最大元素 In[4]:= b ={{1,2,3},{2,3,4},{3,4,5}};Max[b] In[5]:=Max[b[[1]]] (*计算 b 的第一行的最大元素*)在 Mathematica 中有复数的数值类型，也有相应的用复数运算的函数。计算复数 的 模(Abs)、复数的幅角(Arg)和取复数的虚部都是复数运算中的常规操作。当 z 是 实变量时，Abs[z]是 z 的绝对值 |z| ； 当z 是复变量时，Abs[z]是 z 的模 下面列出常用的复变量的数值函数和实例。 复变量的数值函数 Re [z] Im[z] Conjugate [z] Abs[z] Arg[z] (z=x+I y) 取复数的实部 取复数的虚部 共轭函数 复数的模 复数的幅角 表 1 -132 x2 ? y。In[6]:=z=3.?5I； In[7]:={Abs[z],Arg[z],Conjugate[z]}In[ 8]:= u=3?5I (* 请观察 z 与 u 的区别 *)In[9]:={Abs[u],Arg[u],Conjugate[u]}# 三角函数变量可为实数或复数的函数 Exp [z] 说明 指数函数, e .z17 Log [z] Log [b,z] Sin[z],Cos[z],Tan[z],Cot[z] Csc[z],Sec[z] ArcSin[z],ArcCos[z],ArcTan[z],ArcCot[z] ArcCsc[z],ArcSec[z] Sinh[z],Cosh[z],Tanh[z],Coth[z], Csch[z],Sech[z] ArcSinh[z],ArcCosh[z],ArcTanh[z], ArcCoth[z],ArcCsch[z], ArcSech[z]以 e 为底的对数函数，ln z 以 b 为底的对数函数，logbz 正弦、余弦、正切和余切函数 余割，正割 反三角函数 双曲函数 反双曲函数 表 1 - 14# 伪随机函数Random [ 数据类型，数据范围,n] 生成在“数据范围”内的 n 位精度“数据类型”限定的随机数。其中数据类型有： 整数、实数和复数。 伪随机函数 Random [] Random [Real, xmax, n] Random[Real,{xmin,xmax}] Random[Complex] Random[Complex,{zmin,zmax}] Random[Integer] Random[Integer,{imin,imax}] SeedRandom [] SeedRandom[s] 说明 0 到 1 之间的一个伪随机实数 0 到 xmax 之间的一个 n 位精度的伪随机实数 Xmin 到 xmax 之间的一个伪随机实数 单位正方形中的一个伪随机复数 由 zmin 和 zmax 确定的长方形中的一个伪随机复数 0 或 1 的随机数 Imin 到 imax 之间的一个伪随机整数 用当前时间作为伪随机数发生器的种子 用整数 s 作为种子 表 1 - 15# 整数和组合函数在 Mathematica 中，计算整数 m 与 n 相除的正余数用 Mod[m,n]，计算 n1,n2,..的 最 大公因子用 GCD [n1,n2,...]，计算 n1,n2,..的最小公倍数用 LCM [n1,n2,...]，要计算 5!+16!!，不必设计循环语句构造阶乘运算，直接使用阶乘符号“!”和双阶乘符号“!!”。下 面列出 Mathematica 中的部分整数和组合函数和实例： 函数 Mod [m,n] Quotient [m,n] GCD [n1,n2,...] LCM [n1,n2,...] Prime[k] PrimeQ[n] n! n!! Binomial[n,m] Permutations[list] Multinomial[n1,n2,...] BernoulliB[n] 说明 m 被 n 除的正余数 m/n 的整数部分 n1,n2,...的最大公因子 n1,n2,...的最小公倍数 第 k 个素数 当 n 为是素数时为 True，否则为 False 阶乘 n(n?1)(n?2)???1 双阶乘 n(n?2)(n?4)??? 二项式系数 Cn 列出 list 中元素的所有排列 多项式系数 伯努利系数 Bnm18 BernoulliB[n,x] EulerE[n] EulerE[n,x] PartitionsP[n] PartitionsQ[n]伯努利多项式 B n(x) 第 n 个欧拉数 En 欧拉多项式 E n(x) 整数 n 的自由划分数 p(n) n 的相异部分的划分数 q[n] 表 1-16计算 77, 91, 147 的最大公因子 In[1]:= GCD[77, 91,147] 计算 77, 91, 147 的最小公倍数 In[2]:=LCM[77,91,147] In[3]:={Prime[3],Prime[5],Prime[55]} In[4]:=9! In[5]:=9!! (* 9!! = 9*7*5*3*1 *) 2 In[6]:=Binomial[7,2] (*计算 C 7 *) In[7]:=Permutations[{1,2,5}] (* 列出 {1,2,5} 的所有排列*)1.5 表达式1.5.1 算术运算符和表达式算术表达式由常数、变量、函数、算术运算符和括号组成。常数和变量的类型有： 整型、有理数、实型、复数型、列表、向量和矩阵。函数包括系统定义的函数、用户定 义的函数和程序包中的函数。其中：方括号[]内放函数变量，花括号{}表示元素的分界符， 用圆括号()组织运算量之间的顺序。 下列 Mathematica 中的算术运算符： 符号 + ?? *(星号) /(斜杆) ^ %(百分号) %% 说明 加号 减号或负号 乘号 除号 乘方 上一个计算结果 上上个计算结果 例 a+b x?y,?u s*t 或 s t m/n 2^3表 1-17 在表达式中，乘号可用空格符号代替。在两个变量或数值之间放一个空格即表示 求这两个量的乘积。在不引起误解的情况下，乘号可以省略。例如：当数值与变量或 函数相乘时，2a,2*a,2 a 的意义是相同的。(a-b)(c+d)与(a-b)*(c+d)意义也是相同的。 算术运算的顺序遵守数学中的习惯，次序为^ ? * , / ? +, ?? 。 同级运 算符遵守从左到右的顺序。1.5.2 逻辑表达式和逻辑运算符关系表达式的一般形式：&表达式&&关系运算符&&表达式&19 其中表达式可为数值表达式、字符表达式和意义更广泛的表达式。例如一个图形 表达式。在实用中关系运算符两边常常挑着数值表达式或字符表达式。 关系运算符 == != & &= & &= 数学符号和意义 = 等于 ? 不等于 & 大于 ? 大于等于 & 小于 ? 小于等于 实例 3x==y-1 x!=y x&y,x&y&z x+y &=y/z u&v y/s &= z表 1-18 用一个关系表达式只能表示一个判定条件，要表示几个判定条件的组合必须用逻 辑运算符将关系表达式组在一起。我们称表示判定条件的表达式为逻辑表达式。 逻辑表达式的一般形式为： &关系表达式&&逻辑运算符&&关系表达式& 设 A，B，C 是关系表达式： 逻辑运算符 说明 ! 非。逻辑否，A 是真，则!A 是假；A 是假，则!A 是真。 && 与。逻辑乘，仅当 A 和 B 都是真时，A&&B 的值才是真。 || 或。逻辑加，当 A 或 B 是真时，A||B 的值是真。 XOR 异或，Xor[e1,e2,…]，如果 e1,e2,…中有偶数个值为 True， 其余为 False，则 Xor 给出 True，否则给出 False。 Implies 隐含，Implies[p,q]表示逻辑隐含关系 p??q。 表 1 -19 通常，我们已经习惯地认为逻辑表达式的值非真即假。在 Mathematica 中，逻辑表 达式的值有三个：真、假和非真非假。当判定条件成立时，逻辑表达式的值为 True(真)； 当判定条件不成立时，逻辑表达式的值为 False ；当判定条件无法判断时，逻辑表达 式的值非真非假。非真非假的逻辑表达式是什么值？它仍然是一个逻辑表达式。例如： In[1]:= x=3; x &y Out[1]= 3&y (* 因为没有给 y 赋值， Mathematica 也就无法判断 x 是否大于 y*) In[2]:= x&0 In[3]:= x &10 例：写出满足下列数学条件的 Mathematica 逻辑表达式： 1)m&s 和 m??t ，即 m??(s,t] 2)x & 10 或 x &-10，即 x ??[-10, 10] 3)x ??(-3, 6] 和 y ?? [-3,7] 4)有 3 个互不相交的圆， 圆心分别为(x1,y1), (x2, y2), (x3, y3)； 半径分别为 r1, r2, 和 r，给出点 D(x,y)的座标，判别点 D 是否在 3 个圆内之一。1.5.3 字符及其运算# 字符输入 在 Mathematica 中输入字符或字符串时，用双引号 &作为输入内容的分界符。如 果要输入双引号字符&，则输入\&。还有两个需要注意的的输入标记，\n 表示一个换行， 通常输入中的回车在输出时无效；\t 表示 4 个空格的跳格。20 In[1]:={&ABC&,&abc&,&ab In[2]:=&abcc&}def&In[3]:=&abc\ndef\tabc&#字符串运算符 字符串的运算符有连接(&&)和相等比较(==)。连接运算符(&&)将两个或多个字符串 组成新的字符串；= =运算符比较两个字符串是否相等。 In[5]:=a=&abcde&; b=&bcdef&; a && b &&a In[6]:={a == b, a &b} # 字符串编辑函数系统提供了在字符串中插入、替换、截取和删除部分字符的函数。 这些函数表示 被操作字符位置的方法与表格中表示元素位置完全相同。 字符串编辑函数 说明 StringInsert[s,new,n] 在 s 的第 n 位置处插入字符 new StringTake[s,n]/ StringTake[s,{n}] 截取 s 中前 n 个字符/第 n 个字符 StringTake[s,{n1,n2}] 截取 s 中第 n1 到第 n2 个字符 StringDrop[s,n]/StringDrop[s,{n}] 删除 s 中前 n 个字符/第 n 个字符 StringDrop[s,{n1,n2}] 删除 s 中第 n1 到第 n2 个字符 StringReplace[s,{s1-&p1,s2-&p2,…}] 用 pi 替换 si StringReplacePart[s,new,{{m1,n1},{m2,n2},…}] 用 new 替换 m1 到 n1,m2 到 n2,…的字符 StringPosition[s,sub] 给出 sub 的位置信息 表 1-20 In[7]:=x= &abc***ghabcdefg&;StringDrop[x,{4,6}]In[8]:=Str ingReplace[x,&abc&-&&$$$&]在字符串&aabbcc&的第 2，第 4 和倒数第 1 的位置处插入&***&。 In[9]:=StringInsert[&aabbcc&,&***&,{2,4,1}]In[10]:=ToCharacterCode[&a+b=?&]In[11]:=FromChara cterCode[{36,43,54,65,76,87,98}]In[12]:=ToUpperCase [&aAbB&] 字符串运算函数 说明 StringLength[s] 给出字符串 s 的字符个数 StringReverse[s] 给出字符串 s 的逆序 ToUpperCase[s] 将 s 的字符全部转换为大写字母 ToLowerCase[s] 将 s 的字符全部转换为小写字母 ToCharacterCode [&sty&] 给出字符串 s 的字符编码 FromCharacterCode[n] 给出整数 n 对应的字符 Characters[s] 给出字符串 s 的字符集合 StringJoin[list] 按字符集合构造字符串 表 1-2121 第 2 章初等代数运算2.1 多项式运算多项式加、减、乘、除(商、余数)因 式分解 多项式展开、有理式展开(只展开分子、只展开分母)同分 将表达式分解成部分分式之和替换多 项式的某元素2.1.1 多项式的化简下面列出表示多项式结构运算的常用函数： 函 数 说明 按幂次展开多项式 expr 对多项式 expr 因式分解 提出多项式 expr 各项中的公因子 把 expr 写成 x 的幂次之和 写成 x,y,...的幂次之和 把多项式 expr 写成最简形式 写成无平方幂次因式的乘积 展开多项式 expr 中所有的幂次项 表 2 -1 Expand[expr] Factor [expr] FactorTerms [expr] Collect [ expr, x] Collect[ expr,{x,y,...}] Simplify[expr] FactorSquareFree[expr] PowerExpand [expr] 例：展开(x+2y+1) , p =Expand[(x+2y+1)^2] 对 x ?y 因式分解6 6 2,2Factor[x^6 ????y^6] 按 y 的幂次排列 (x+2y+1) ， Collect[p,y]Length[p] s=Expand[(xy)^n+(x+y)^4]PowerExpand[%]22 2.1.2 取出多项式的部分元素表示多项式部分元素 Exponent [ poly,x] Coefficient [poly,exp] Coefficient [poly, exp,n] Coefficient [poly, exp,0] Coefficient[poly,{x1,x2,....}] poly[[n]] 或 Part[poly,n] CoefficientList[poly, {x1,x2,…}] 意 义多项式 poly 中 x 的最高次数 多项式中 exp 的系数 多项式中 exp 的系数 显示多项式 poly 中与 exp 无关的项 多项式 poly 中 x1,x2,...的系数串 多项式 poly 第 n 项 生成 poly 的变量 xi 的系数表 表 2 -2n例题： s =Expand[(x?1)(y^2?1)] Coefficient[s,y^2] (* 列出多项式 s 的 y 的系数 *)Coefficient[s,x,0] (*列出多项式 s 中的不含 x 项的系数 *)s[[2]] (*取 s 的第二项*) s[[3]]=7y; (* 给 s 的第三项赋值*) Coefficient [(x y)^n + (x + y)^4, (x +y)^4] 如果要查看表达式是否为多项式或计算多项式的总项数等属性。则用下列函数。 函 数 说明 判断 expr 是否为 x 的多项式 判断 expr 是否为{x1,x2,...}的多项式 列出多项式的变量表 给出多项式的总项数 表 2 -3 In[1]:= s=Expand[(x?1)(y^2?1)] Out[1]=1?x?y +xy In[2]:=PolynomialQ[s,x] (* s 是否为 x 的多项式 ？*) Out[2]=True (* s 是 x 的多项式*) In[3]:=Variables[s] (* 列出多项式 s 的变量表 *)Out[3]={x,y} (* 多项式 s 的变量是 x,y*)In[4]:=Length[s] (*多项式 s 共有多少项 ？ *)Out[4]=4 (*多项式 s 共有 4 项*)2 2 2PolynomialQ[expr,x] PolynomialQ[expr,{x1,x2,...}] Variables [ 多项式] Length [ 多项式]23 2.1.3 有理多项式有理多项式展开 ExpandNumerator[expr] ExpandDenominator[expr] Expand[expr] ExpandAll[expr] 说明 只展开有理式的分子 只展开有理式的分母 展开分子，每项除以分母 分子和分母完全展开 表 2 -4 In[1]:= t=(1+x)^2/(x(1-x))+(1-x)/(1+x)^2 In[2]:=ExpandNumerator[t] In[3]:=ExpandDenominator[t] In[4]:=Together[%] 下列常用的有理式化简的函数。 有理式的结构操作 Together[expr] Apart[expr] Cancel[expr] Factor[expr] 意 义 把所有项合成在一个公共分母上的分式 将表达式分解成部分分式之和 约去分子分母的公因式 完全分解 表 2 -5 (*只展开多项式 t 的分母*)2.1.4 多项式的代数运算多项式的代数运算有加法 (+) ，减法(?) ，乘法(*) 和除法(/) 。其中多项式的加法、减 法和乘法的运算符号与代数中运算符号的相同，做乘法时要用 Expand、Factor 或 Simplify 对计算结果提出具体要求。除号略有不同。如果用除号“/”做多项式除法，只能达到初中 学生的数学水平，最多约去明显分子分母的公因子。在做多项式除法时要用函数 PolynomialQuotient 或 PolynomialRemainder 才能得到得到商式或余式。 例题： t1= x^2?2x?3 ; t2 = x?3; t1+t2 (*做多项式的加法*) t1?t2 (*做多项式的减法 *)Expand[t1*t2] (*做多项式的乘法 *)t1/t2 (*做多项式的除法DD无效*) Cancel[t1/t2] (*约去分子分母的公因式才有收效*)24 给定两个多项式 p(x) 和 q(x)作除法，可以唯一地写出 a(x) 为多项式 p 和 q 相除的商式， 的阶。例题： p = 1 ?? x^6q =1?x^2 PolynomialQuotient[p,q,x] PolynomialRemainder[p,q,x] 函 数p(x) b(x) ，其中 ??a( x)?? q(x ) q (x )b(x) q (x )为多项式 p 和 q 相除的余式，b(x)的阶小于 q(x)(*计算 p/q 的商式*) (*计算余式*) 说明 计算关于 x 的多项式 p 和 g 相除的商式 计算多项式 p 和 g 相除的余式 计算多项式 p 和 m 余式 计算多项式 1, 多项式 2,...的最大公因子 计算多项式 1, 多项式 2,...的最小公倍式 计算两多项式的结式 给出关于 x 的 n 阶割圆多项式 Cn(x) 表 2-6PolynomialQuotient [p, q,x] PolynomialRemainder [p, q,x] PolynomialMod[poly,m] PolynomialGCD[多项式 1, 多项式 2,...] PolynomialLCM[多项式 1, 多项式 2,...] Resultant[多项式 1, 多项式 2,x] Cyclotomic [n,x] p=x2 2+xy?y?122q=x y+x z?y?z PolynomialGCD[p,q] PolynomialLCM[p,q](*计算 p 和 q 的公因式*)分解函数 Decompose，将多项式 Q (x )化为 q1(q 2 (L(x)L))复合形式。 Decompose [poly,x] 例题： 化简多项式为一列复合多项式。Decompose[1+x^3+x^6,x] q1[x_]=1-2x+x^3;q2[x_]=2x^23x^3;Expand[q1[q2[x]]] Decompose[%,x] q1[x_]=1-2x+x^3q2[x_] = 3 - x^2 -3x^3q3[x_] = 2 C xExpand[q1[q2[q3[x]x]]] Decompose[%,x]25 2.1.5 附加条件化简函数Mathematica 可对操作对象附加条件。在化简函数中附加条件，计算结果更具有针对 性。 Simplify[1/Sqrt[x]Sqrt[1/x]]Simplify[1/Sqrt[x] - Sqrt[1/x], x &0] Simplify[(x + y)/2 &= Sqrt[x y], x &= 0 && y &=0] 化简函数 Simplify [ expr, assum] FullSimplify[expr, assum] FunctionExpand[expr, assum] 说 明按条件 assum 成立化简表达式 expr。 与 Simplify 类似，但化简能力更强。 展开带有特殊条件的函数的表达式。 表 2-72.2 方程求根方程及其根的表示 求解方程或方程组 解不等式方程 解递归方程2.2.1 方程及其根的表示代数方程中的等号使用逻辑等号“＝＝”表示，例如：x^2-6x-5 ==0。这样， Mathematica 用一个逻辑表达式表示一个方程，它的意义是方程中等号两边的量是否相等。例如： In[1]:= x=1; x^2?6x?5==0 Out[2]=False In[3]:= Roots[x^2+x==6,x] Out[3]= x == ?3 ||x==22.2.2 一元方程# 解方程函数 Solve 和 NSolve 函数 Solve 主要解多项式方程。Solve 的目标是找出方程的精确解。Mathematica 总可26 以解出四阶或四阶以下多项式方程的精确解。对于三次或四次方程，结果可能相当复杂。在 解四次以上的多项式方程时，Mathematica 碰到数学理论上的障碍而不能给出精确解的表达 式，只能得到方程的数值解。但仍有两大类方程可以给出精确解。第一类可用因式分解法 (Factor)将方程写成低次多项式的方程。第二类是可用复合分解法 (Decompose) 写成低次多 项式组的方程。这样 Solve 也能解出许多高次多项式方程精确的代数解。 解方程函数的一般形式： Solve [ 方程或方程组，{变量表 列} ]NSolve [ 方程或方程组，{变量表 列}] 下列函数 Solve 和 NSolve 的常用形式： 函 数 确解 删除变量 zi 后解方程组 对变量{x1, x2,...}求解方程的近似数值 解 对 eqns 中所有的变量求数值解 表 2-8 说明 对变量{x1, x2,...} 解方程组 eqns 准Solve [eqns, {x1,x2,...}] Solve[eqns,{x1, x2,...},{z1,z2,…}] NSolve [eqns, {x1,x2,...}] NSolve[eqns] Solve[6x^25x+1==0,x]NSolve[6x^25x+1==0,x] Solve[x^5+9x+1==0,x] N[%] NSolve[x^5+9x+1==0,x] y=x/.% y[[3]] #(*找不到方程的精确解*) (*直接求数值解*)(*将方程的解组成一个表*) (*取出第 3 个解*)超越方程与 FindRoot 对于超越方程，例如：求解方程 Cos x = x 在 x =1 附近的根，可用函数 FindRoot 计算它的根。 In[1]:=FindRoot[Cos[x]?x==0,{x,1}] Out[1]= { x -& 0.739085} 求根函数的一般形式： FindRoot[方程，{变量，初值}] 例如：求方程 x Sin x ??0.5 = 0 的根 In [2]:= Plot[x Sin[x] ????0.5,{x,?10,10 }] (* 根的分布一目了然*)27 图 2-1 In[3]:=FindRoot[xSin[x]?0.5==0,{x,3}] Out[3]={x-&2.97259}2.2.3 线性方程组# Solve 与方程组本节只例举中学阶段能解出的方程组。有关怎样解高阶方程组的内容 分请看第 4 章线 性代数部分。 例: 解方程 1) ???3x?2y?5a ???x ??y ??5b?,2) ??? x2?y2?1 ???x ??y ??1In[1]:=Solve[{3x?2y==5a,x+y==5b},{x,y}] Out[1]={{x-&a+2b,y-&?a+3b}} In[2]:= Solve[{x^2+y^2==1,x+y==1},{x,y}] 解联立方程组时用花括号将方程组括起来，方程组在花括号中也有三种排列的方法。 Solve[{3x?2y,x+y}=={5a,5b},{x,y}]Solve[{ 3x?2y==5a &&x+y==5b},{x,y}] 下列联立方程的表示方式： Solve [{lhs1= =b1, lhs2= =b2, ...}, vars ]Solve [{lhs1= =b1&&lhs2= =b2&&...}, vars]Solve [{lhs1, lhs2,...}= ={b1,b2...}, vars ] vars 表示变量列表。 q1=3Sin[x]+Cos[x]==1;q2=Sin[x]^2+Cos[x]^2==1;Solve[{q1,q2},{Sin[x],Cos [x]}] # 函数 Reduce 函数 Solve 计算方程或方程组的一般解，Reduce 表明在什么条件下特定方程有解，尽量化简 方程并保留方程的所有解。例： Reduce[a x ==0,x]28 Reduce[ax+b==0,x]Reduce[a x^2+b x+c= =0,x] # 消去变量函数 Eliminate 下列消去变量的函数如下： Eliminate[eqns,elims] 消去变量 elims，重组方程组Solve[eqns,vars,elims] 例如：消去变量 elims 后对变量 vars 求解方程或方程组In[5]:= eqns ={x ==1+a/2, y==1+2x}; In[6]:= Eliminate[eqns,x] (* 用 Eliminate 也能达到解方程的目的*) Out[6]= a ==?3+y Eliminate[{a x^2+b x y+cy^2==0,x+y==1},x]2 2 2 Out[7]=-a+2ay -by -ay +by ==cy2.2.4 不等式方程和递归方程# 解不等式方程 函数 InequalitySolve 解不等式方程或不等式方程组。在有些 Mathematica 版本中可直 接调用 InequalitySolve ，有些版本中要从 Algebra 包中调入该函数。不等式方程中含有逻 辑运算符，计算后给出不等式方程的解集。 函数 InequalitySolve 的一般形式： InequalitySolve [ ineq, x] InequalitySolve [ {ineq1, ineq2}, {x, y} ] 解关于变量 x 的不等式方程 ineq 解关于变量{x, y}的不等式方程组例如，调入函数 InequalitiySolve，并解不等式方程 && Algebra`InequalitySolve`Inequali tySolve[Abs[x^2-3]&1,x] 不等式方程可以有两个变量或多个变量， InequalitySolve[Abs[x^2-3] &y,{x,y}] 解不等式方程组：??|x2 ??3|??1 ；?|x2?1|?y2 ??x ??5 ??1InequalitySolve[{Abs[x^2 - 1] & y, x^2 - 5 & 1},{x,y}]29 # 解递归方程函数 RSolve 求解递归方程的函数 RSolve 位于 DiscreteMath`RSolve`程序包中。 RSolve[eqn, a[n],n] 解递归方程 eqn,求 a[n]的表达式 RSolve[{eqn1, eqn2, …}, {a1, a2, …}, n] 求解一列递归方程 In[1]:=&&DiscreteMath`RSolve` (* 调入程序包*) In[2]:=RSolve[{a[n] == na[n-1],a[1]==1},a[n],n] Out[2]={{a[n] -&n!}} 再解一个我们熟悉的菲波拉契函数 In[3]:=RSolve[{a[n] == a[n-1]+a[n-2],a[0]==a[1]==1},a[n],n]2.3 和与积求和函数的一般形式：Sum [ f i ，循环范围] ?? f iNSum [ f i ，循环范围] 其中 f i 是和式的通项公式，可为各类初等函数和自定义函数(请看第 7 章)，它能计算 有限项或无限项的和，循环范围的一般形式是：{循环初值，循环终值，循环步长}。循环范 围可为一重、两重或多重循环。 Sum 与 NSum； 例如：计算 Solve 与 NSolve。n?x5 n ?0，10n!??1k3 5k ?1Sum[x^n/n!,{n,0,5}] Sum[1/k^3,{k,1,10}] N[%] (*近似数值*)(*? n!n ?0xn*)(* Sum 给出和的精确值*) (*计算Sum[1/i^3,{i,1,Infinity}]???? i ?11*)i3N[%] (*总能算出近似数值*) NSum[1/k^3,{k,1,10}] (*直接给出和式的数值和*) NSum[1/i^3,{i,1,Infinity}] 上列实例中求和式中的循环范围都是步长为 1 的一重循环。在 Sum 和 NSum 的循环范围中 步长可取整数、有理数和实数；循环可为两重循环或多重循环。例如： Sum[x^n,{n,1,5,2}] Sum[x+y,{x,1,9},{y,3,6}] (* 先做 y 循环再做 x 循环*) 乘积函数 Product、NProduct 的定义形式和使用方法与 Sum、NSum 类似，不再详细给 出。 Product[Sin[k],{k,1,5,2}]30 NProduct[Sin[k],{k,1,5,2}] Product[x+y,{x,1,3}] (*计算? ( x ??y)*)x?13Product[(u?6)(v+6+s),{u,1,3},{v,1,3}] 下列 Sum 和 Product 的常用形式。 和与积的函数 Sum [ f i ,{I, min,max}] Sum [ f i ,{I, min, max,di}] Sum[fi,j,{i,i0,i1},{j,j0,j1}] Product [ f i ,{i, min,max}] Product [ f i ,{i, min, max,di}] Product[fi,j,{i,i0,i1,is},{j,j0,j1,js}] 数学意义 计算和式：i?min??fmaxi以步长 di 计算和式计算两重和式：i?i0j??j0????fii1j1i,j计算乘积式：i?min??fmax以步长 di 计算 f i 的乘积计算两重乘积式：???fi?i0 j??j0i1j1i ,j表 2 -92.4 三角函数在 Mathematica 中任何三角函数都可看作有理指数函数，通常在进行代数运算中并不 做 Sin[2x]= 2Sin[x]Cos[x] 这样的三角函数变换。在设置 Trig -& True 后，才能进行半角与倍 角之间的变换。 Expand [expr, Trig-&True] sin2xTrigExpand[expr] Factor [expr, Trig-&True] TrigFactor[expr] 例题： Expand[Sin[x]^2+Sin[2x]^2]Expa nd[%, Trig &True]TrigExpand[Sin[x]^2+Sin[2 x]^2] 分解 expr 时将 sin2x 转换成 sin x2展开 expr 时将 sin x 转换成231 函数 TrigExpand [expr] TrigFactor [expr] TrigFactorList [expr] TrigReduce [expr] TrigToExp [expr] ExpToTrig [expr]说明 将三角表达式展开为和项形式 将三角表达式展开为乘积形式 用列表形式给出每一项及其指数 化简为多倍角表达式 将三角函数表示为指数形式 将指数表示为三角函数形式In[4]:=TrigExpand[Sin[2x]Cos[3x]]In[5]: =TrigFactor[%]In[6]:=TrigReduce[%]In[7] :=TrigFactorList[%]In[8]:=TrigToExp[Sin h[x]]In[9]:=ExpToTrig[%]表 2 -1032 第 3 章微积分3.1 求极限计算函数极限 lim f ( x) 的一般形式是：Limit [ f [x], x -& x0]x???x0下列计算函数极限的三种形式： Limit [expr, x -&x0] Limit [expr, x -& x0, Direction ?&1] Limit [expr, x -& x0, Direction ?&?1] 例如：计算 1) limx??0x -&x0 时函数 expr 的极限 x-&x 0 时函数 expr 的极限?? ??sinx x 1 xx -&x0 2) limx????时函数 expr 的极限2x ??14 x 2 ??7 x ??1 1 x3) limsinx??01 x4) limx ??0 ???5) limx ??0 ???6) limxg(x)x??17) limx??0例题：tan x ??xx 3Limit[Sin[x]/x,x-&0] Limit[(x^2-1)/(4x^2-7x +1),x-&Infinity] Limit[Sin[1/x], x-&0] Limit[1/x, x -&0, Direction -&1]Limit[1/x, x -& 0, Direction -&-1]Limit[x g[x], x-&1]Limit[E^x^x - E^x^(2 x),x-&Infinity]3.2 微商和微分3.2.1 微商(导数)微商函数 D[f,x] 功能 计算偏导数??? f ?x3 --133 D[f, x1,x2,....] D[f, {x,n}] D[f, x, NonConstants -&{v1,v2,....}]计算多重导数 计算 n 阶导数 计算?? f ?x2)?? ????...f ?x1?x2 ??n f ?xn其中 v1,v2,....依赖于 x例如：1) 计算 xxx的一阶导数?表 3-1?x ?y? zsin(x2y2)3) 计算 cx 的二阶导数 D[x^x^x,x] D[z Sin[x^2y^2],x,y] D[cx^n,{x,2}] D[z[1]^2+Sin[z[1]+z[2]],z[1]] (*以 z[1]为变量求导*) D[x^2+y^2, x, NonConstants-&{y}] (* y 是 x 的函数*)n3.2.2 全导数# 全微分函数 Dt 全微分函数 Dt Dt[f] Dt [f,x] Dt [f, x1,x2,...] Dt [f, x, Constants-&{c1,c2,...}] y/: Dt [y, x] =0 说明 全微分 df 全导数df dx d多重全导数d...f d(ci) =0) dxdx1dx2全导数，说明 ci 为常数(即 置dy =0 dx表 3 -2 2) 计算 d(x ?? y )22例如： 1) 计算 3) 全导数??( x ??y ) ?x2 2ddx(x2 ?? y2)4)d dx(x2 ?? y2 ??z2)D[x^2+y^2,x]D t[x^2+y^2] Dt[x^2+y^2,x]34 Dt[x^2+y^2+z^2,x]Dt[x^2+y^2+z^2,x,Constants ?&{z}] (* 说明 z 为常数，即 Dt[z,x]=0 *) 设 u ??ea ???cos(a lnr)，证明：??2 u?r 2??2 1 ??? u 1 ?u ?? ??? 0 2 r ???2 r?ru = Exp[a s]Cos[aLog[r]]; D[u,{r,2}]+1/r^2D[u,{s,2}]+1/rD[u,r]Simplif y[%] 令 F ( x )???e1x2costdt,计算 F'(x )F’[x] #抽象函数的导数表示在表达式中也能使用微积分中计算导数 的撇号标记。例如：f '[x] f ''' [x]f[x_]:=Sin[x^2] D[x g[2x],x]单变量函数的一阶导数 单变量函数的三阶微分 (*定义函数 f (x)= x2*)f[x]+f'[x]+f''[x]D[h[x,y],x,x,y](*计算?? ???h(3) (x, y)*) ?x2 ?y3.2.3 定义导数在 Mathematica 中 定 义 函 数 的 一 阶 导 数 的 方 式 就 像 定 义 函 数 一 样 ， 例 如 ： f '[x_]:=hf[x]x_ 表示 x 是函数变量，相当于函数定义中的形式参量，有关定义函数的详细描述 请看第 7 章。定义函数的高阶导数或多个参量的导数要用函数 Derivative。 下列定义导数的一般形式： f '[x]:=rhs Derivative [n][f][x]:=rhs Derivative [n1,n2,...][g][x1,x2,...]:=rhs 例如：In[1]:= f'[x_]:= h f[x]+gf[x] In[2]:=D[f[x^2],x]定义 f 的一阶导数 定义 f 的 n 阶导数 定义相对于 g 的多个参量的导数35 3.3 不定积分和定积分3.3.1 积分计算函数 Integrate [f, x] 计算不定积分??f ( x)dx ，输出结果中省略积分常数。Integrate 函数假定任何不显含积分变量的对象与积分变量无关，都当常数处理，因而 Integrate 很象微分 D 的逆。?? Integrate [f, x, y] 计算不定积分??dx?? f(x,y)dy Integrate [f, x, y,z] 计算不定积分??dx??dy?? f(x,y,z)dz 例如：计算 1)??3ax dx 2) ?? 3f '(x)f (x)dx 3) ??(3x ??2y)dxdy 4) ? tgx dxIntegrate [f,x] 计算不定积分 f(x)dx2 2 2Integrate[3a x^2, x]Integrate[3f’[x]f[x]^2,x ]Integrate[3x^2+2y, x, y]Integrate[Sqrt[Tan[x]],x] 积分Integrate[Sqrt[Cos[x]],x]Integrate[Si n[ax]/x,{x,0,Infinity}] 给出明确的附加条件 Im[a]为零，积分值也随之确定。 Integrate[Sin[a x]/x,{x,0,Infinity},Assumptions -& Im[a] ==0]??cosx dx 的结果是椭圆函数。3.3.2 不定积分的计算范围In[1]:=Integrate[Sin[Sin[x]],x] (*原函数不是初等函数 *)Out[1]=Integrate[Sin[Sin[x]],x] (*算不出结果按原输入命令输出*)有时 Mathematica 积出被积函数的一部分，将剩余部分用 Integrate[g,x] 表示。Mathematica 除了能计算简单积分外，还能计算一类如贝塞尔 BesselJ[n,z]、Gamma[z] 等二三十个数学物理特殊函数。这些特殊函数极大地扩充了 Mathematica 的积分范围。??例如：Gamma[z]函数定义的积分? ( z) ?? ?? ta?1e??tdt036 Beta [a,b]函数定义的积分B(a,b)=? ( a ) ?( b ) ?(a ??b)?? ?? ta?1(1??t)b?1dt01还可以通过定义函数或程序包来增强 Mathematica 积分的功能。3.3.3 定积分计算计算定积分和计算不定积分是同一个 Integrate 函数，在计算定积分时，除了要给出变量外 还要给出积分的上下限。当定积分算不出准确结果时，用 N[%]命令总能得到其数值解。 NIntegrate 也是计算定积分的函数，其使用方法和 Integrate 函数相同。Integrate 按牛顿-莱 布尼兹公式公式计算定积分得到的是近似数值解。计算多重积分时，按照从右至左的次序计算积分。 积分函数 Integrate [f, {x, a,b}] NIntegrate[f, {x, a,b}] Integrate [f, {x, a, b},{y, c,d}] NIntegrate[f,{x,a,b},{y,c,d} ] 说明b?bf (x)dx ???F (b) ??F (a) 计算定积分得到的是准确解，NIntegrate 用数值积分a? f(x )dx 的准确解 计算定积分 ? f(x )dx 的数值解 计算定积分 ?? dx f(x ,y )dy 的准确解 ? 计算定积分 ?? dx f(x ,y )dy 的数值解 ?计算定积分a b ba d a b a c d c表 3 -31例如：计算定积分??(cos02x ??sin3x)dxIntegrate[Cos[x]^2+Sin[x]^3,{x,0,1}] N[Integrate[Cos[x]^2+Sin[x]^3,{x,0.,1}],20] N[Integrate[Cos[x]^2+Sin[x]^3,{x,0,1}],20] NIntegrate[Cos[x]^2+Sin[x]^3, {x,0,1}]a x计算定积分 dx (x?? y)dyb 0?? ??Integrate[2x+2y,{x,0,a},{y,0,b}]3.4 幂级数3.4.1 幂级数展开幂级数展开函数 Series 的一般形式：37 Series [expr, {x, x0,n}] Series [expr, {x, x0, n},{y, y0, m}] Series[Sin[2x],{x,0,6}] Series[f[x],{x,0,3}] 在 x =??? 处展开expr 在 x=x0 点展开到 n 阶的幂级数 先对 y 展开到 m 阶再对 x 展开 n 阶幂级数Series[Exp[1/x],{x,Infinity,3}] 对有分数指数的函数展开。 Series[Exp[Sqrt[x]],{x,0,3}] Series 在处理多元函数幂级数时，同 Integrate 和 Sum 等一样，从最后一个变量到第一个 变量逐个展开。 Series[Cos[x]Cos[y],{x,0,3},{y,0,3}] 用求和函数 Sum 也能算出一些幂级数,例如: Sum[x^n/n!,{n,0,Infinity}]ex有些幂级数只能用特殊函数表示. Sum[x^n/(n!^2),{n,0,Infinity}] Sum[x^k/k!,{k,0,n}]3.4.2 幂级数的运算# 幂级数的简单运算 Mathematica 能对幂级数进行多种运算，当一个普通表达式和一个幂级数进行运算时， Mathematica 尽可能将表达式的各项并入幂级数中。Mathematica 保留幂级数的次数与初始幂 级数的次数基本一致，正如数学运算中保留实数精度的方式。函数 Normal [ 幂级数]，去掉 截断误差项 O[x] ，将幂级数转化为一般表达式。例如： t =Series[Log[x+1],{x,0,4}] %^2 D[%,x] Normal[%] SeriesCoefficient[%,2] (*给出 2 次项系数*)n# 幂级数的复合和反演对于已经展开的幂级数，如果要继续对它的每一项再做幂级数展开， 称为幂级数复合。 用“幂级数 1/.x?&幂级数 2”可完成幂级数复合运算。也可以直接对复合函数做幂级数展开。 下面 In[3] 的工作量与 In[1]和 In[2]的工作等价。38 设 y(x) = 1 ??x ??x234x x ??O[x]5，这时 y 是 x 的函数。如何计算反函数 x(y) ? ?? 2 6 24的表达式 ？请用函数 InverseSeries [幂级数, y]。下列幂 级数的复合和反演函数的一般形式和实例：幂级数 1 /. x ?&幂级数 2 幂级数复合 InverseSeries [幂级数,y] InverseSeries[幂级数] 例题： t=Series[Sin[x],{x,0,5}] %/. x -&Series[Sin[x],{x,0,5}] Series[Sin[Sin[x]],{x,0,5}]InverseS eries[t] % /. x -& tInverseSeries[t,y] 以变量 y 表示反演幂级数 用原变量表示反演幂级数3.4.3 残数计算Limit [expr, x -& x0 ]计算当 x 趋于 x0 表达式 expr 的极限值。当极限值为无穷大时，则 计算 expr 在 x 在 x0 处的残数(留数)。残数(residue)是表达式 expr 在 x0 处幂级数展开中( x ?? x0)?1 的系数。Residue 的一般形式： Residue [ expr, {x,x0}] 例，分别计算 计算表达式 expr 在 x0 处的残数cosx x3在 x=0 的残数和 x 趋于 0 的极限；In[1]:={Residue[Cos[x]/x^3,{x,0}],Limit[Cos[x]/x^3,x -&0]} Out[1]=1 {?? ,?} 2也可用幂级数展开计算残数。In[2]:=Series[Cos[x]/x^3,{x,0,3}](*函数在解析点处残数为 0*)In[3]:={Residue[Sin[x]/x,{x,0}],Limit[Sin[x]/x,x&0]}Out[3]={0,1}39 3.5 微分方程3.5.1 常微分方程DSolve 解线性与非线性的常微分方程，以及联立常微分方程组。在没有给定方程的初 值条件情况下，所得的解包括了待定的系数 C[1]，C[2]等。 用 DSolve 函数得到的是常微分方程的准确解。 NDSolve 求解常微分方程的数值解，这时要给出求解区间{x, xmin,xmax}。 一般形式： DSolve [eqns, y[x],x] DSolve [eqns, y,x] 解 y(x)的微分方程或方程组 eqns，x 为变量。 在纯函数的形式下求解，纯函数部分请看第 7 章。NDSolve [eqns, y[x], {x, xmin, xmax}] 在区间{xmin, xmax}上求解变量是 x 的常微分方程或联立常微分方程组 eqns。 例如：解微分方程 y ' (x)=ay(x)Out[1]={{y[x]???? Eax。In[1]:= DSolve[y’[x] = =ay[x],y[x],x]C[1]}}解微分方程y ' (x)= a y (x)，边界条件：y(0)=1。ss=DSolve[{y’[x]==ay[x],y[0]==1},y[x],x]Plot [y[x]/.ss,{x,-20,20} 解联立常微分方程组：??? x(t )??y '(t ) ??y(t)????x'(t)DSolve[{x[t]==-y'[t],y[t]==-x'[t]},{x[t],y[t]},t] 当用 DSolve 求 y[x]时，y[x]以替换规则形式：y[x] ?& expr,在含有微分的表达式中不能替换 y'[x] ；如果用 DSolve 求 y ，直接可替换 y'[x]等项。 DSolve[y'[x]==x+y[x],y[x],x] DSolve[y'[x]==x+y[x],y,x] y''[x]+y[x] /.%DSolve[y''''[x] ==y[x],y[x],x] DSolve 解出 Bernoulli 方程, In[7]:=DSolve[y'[x] - x y[x]^2 - y[x] ==0,y[x],x]40 3.5.2 偏微分方程DSolve 不仅能解单变量的常微分方程，也能解多个变量的偏微分方程。 DSolve [{eqn1,eqn2,…}, y [x1, x2,…], {x1,x2,…} ] 计算偏微分方程组的准确解 DSolve [eqn, y [x1, x2,…], {x1,x2,…}] 解偏微分方程 y [x1,x2,…] DSolve [eqn, y,{x1,x2,…}] 解偏微分方程的纯函数 y NDSolve [{eqn1,eqn2,…}, y [x1, x2,…], {x1,x2,…} ] 计算偏微分方程组的数值解 计算有两个独立变量的偏微分方程?y ( x 1 , x 2 ) ?y ( x 1 , x 2 ) 1 ?? ? ?x1 ?x2 x1x2DSolve[D[y[x1,x2],x1]+D[y[x1,x2],x2]==1/(x1x2),y[x1,x2],{x1,x2}] 计算 x1 ?y(x1 , x2 ) ??x 2 ?y ( x1,x 2)?e x1 x2?x1?x2由于 y 和它的微分满足一个线性方程，所以它的通解是存在的。 DSolve[x1 D[y[x1, x2], x1] + x2 D[y[x1, x2],x2] == Exp[x1 x2], y[x1, x2], {x1, x2}] 下面的非线性偏微分方程存在一个通解。 DSolve[D[y[x1,x2],x1]+D[y[x1,x2],x2] ==Exp[y[x1,x2]],y[x1,x2],{x1,x2}]3.5.3 矢量运算在工程计算中，常需要对矢量作运算。矢量运算函数放在 Calculus 的子 VectorAnalysis 程序包中， 运算前用运算符“&&”调入该程序包。表 3 - 4 列出部分矢量运算函数及其使用说明。 函数 &&Calculus`VectorAnalysis` SetCoordinates[system[names]] Div[f] Curl[f] Grad[f] Laplacian[f] Biharmonic[f] Div[f,coordsys],Curl[f,coordsys],… 说明 载入向量运算包 设定坐标系(Cartesian,Cylindrical,Spherical 等) 计算矢量场 f 在缺省坐标系下的散度??? f 计算矢量场 f 在缺省坐标系下的旋度???? f 计算标量 f 在缺省坐标系下的梯度?f 计算标量 f 在缺省坐标系下的? f2计算标量 f 在缺省坐标系下的? f2按给定的坐标系计算散度、旋度… 表 3 -441 调入向量运算程序包，In[1]:=&&Calculus`VectorAnalysis`设定球面坐标系，In[2]:= SetCoordinates[Spherical[r, theta,phi]] Out[2]= Spherical[r, theta,phi]计算梯度，In[3]:= Grad[r^2Sin[theta]] Out[3]= {2 r Sin[theta], r Cos[theta],0}计算散度，In[4]:=Div[{x^2y, y, z}, Cartesian[x, y,z]] Out[4]=2 + 2 xy计算拉普拉斯算子。In[5]:=Laplacian[x + y^3, Cartesian[x, y,z]]3.6 积分变换3.6.1 Laplace 变换? ?st函数 f(t)的 Laplace 变换为?f( t ) edt 。函数 F(s)的 Laplace 反变换为0Laplace 的数学形式与 Fourier 变换非常相似，但变换结果差别很大。因为它对原函数 f(t)的要求 相对比较弱，而对于某些问题 Laplace 变换比 Fourier 变换适应面更广。 下列 Laplace 变换函数常用形式： LaplaceTransform[expr, t,s] InverseLaplaceTransform[expr, s,t ] 例如对 t cost 做 Laplace 变换，得到In[1]:=LaplaceTransform[t^3Cos[t],t,s]3?? 2?i ??1???i??i??F( s)e ds。stexpr 的 Laplace(拉普拉斯)变换 expr 的 Laplace 反变换再做 Laplace 反变换，则In[2]:=InverseLaplaceTransform[%,s,t]甚至一些简单的变换也常会包含特殊的函数。In[3]:=LaplaceTransform[1/(1 +t^2),t,s]Laplace 变换能将积分和微分运算转化为基本代 数运算。也可做高维 Laplace 变换或反变换。 LaplaceTransform [expr, {t1,t2,…},{s1,s2,…}] expr 的高维 Laplace 变换 InverseLaplaceTransform [ expr, {s1,s2,…},{t1,t2,…}] expr 的高维 Laplace 反变换42 3.6.2 Fourier 变换 1在 Mathematica 中，函数 f(t)的 Fourier 变换为 为? iwt2?? ???f(t )edt ，函数 F(t)的 Fourier 反变换1 2?????F (w)e?iwtdw。???下列 Laplace 变换函数常用形式： FourierTransform [expr, t, w] InverseFourierTransform [expr, w, t]expr 的 Fourier 变换 expr 的 Fourier 反变换FourierTransform[1/(1+t^4),t,?]InverseFouri erTransform[%, ?,t] 在不同的应用领域对 Fourier 变换有不同的定义形式，用选项 FourierParameters 可以指定其中一 种。 Fourier 变换形式 FourierSinTransform[expr, t,w] FourierCosTransform[expr, t,w] InverseFourierSinTransform[expr, w,t] InverseFourierCosTransform[expr, w,t] 说明 Fourier 正弦变换 Fourier 余弦变换 Fourier 正弦反变换 Fourier 余弦反变换 表 3 -53.6.3Z 变换函数 f(n)的 Z 变换为的??f(n)zn ?0???n。Z 变换后常得到复变量 Z 的函数，因此称为 Z 变换。它是一种有效的离散的拉普拉斯形式。主要应用数字信号处理、控制论和解微分方程等离散系统 分析中。可以认为它产生某种类似于组合数学和数论中常用的生成函数。 F(z)的逆 Z 变换为 常用形式： ZTransform[expr,n,z] InverseZTransform[expr,z,n] 例题： expr 的 Z 变换 expr 的逆 Z 变换2?i ??F( z) z1n? 1dz。ZTransform[1/n!,n,z]InverseZTransform[%,z,n]43 第 4 章线性代数4.1 矩阵的定义Table [ f , 循环范围] 一重循环范围的一般形式为： {循环变量名，循环初值，循环终值，循环步长} Array [ 向量元素名，n, first] 定义有 n 个元素的向量，first 表示向量的起始下标，当 first 是 1 时可省略。 Array [ 矩阵元素名，{m, n}，{m0,n0}] 定义 m 行 n 列的矩阵，m0,n0 表示行和列起始下标，当 m0,n0 是 1 时可省略。 Table[ic,{i,1,3,1}] Table[a[i,j],{i,2},{j,2}] Array[a,{2,2}]Array[m,4,? 1] Table[i+j-1,{i,3},{j,3}] Table[u[k,j],{k,0,1},{j,0,1}] 定义下三角矩阵， Table[If[i &= j,i+j?1,0],{i,4},{j,4}] Table[a[i,j],{i,1,5,2},{j,2,6,2}]//MatrixForm 在 Mathematica 的 LinearAlgebra`MatrixManipulation`程序包中有一些创建特殊矩 阵 的函数。矩阵与矩阵分量例如：A = Array[a,{3},{3}]或 A = Table[a[i,j], {i,3}, {j,3}]。 矩阵大名[[行号，列号 ]]；、 元素小名 [行号，列号] 矩阵的小名即矩阵元素名 矩阵名 [[ k]] 表示矩阵的第 k 行， 矩阵名 [[ All, k ]] 或 Transpose [矩阵名] [ k ] 表示矩阵的第 k 列。 矩阵的分量表示 A[[i, j]] 或 a[i,j] A[[i]] A[[All, j]] Transpose[A][[j]] A[[{i1,i2,..ip},{j1,j2,...jq}]] 说明 A = Array[a,{m, n}] 的第 i 行第 j 列元素 A 的第 i 行的 n 个元素 A 的第 j 列的 m 个元素(*4.0) A 的第 j 列的 m 个元素 由行为{i1,i2,..ip}和列为{j1,j2,...jq}组成的子矩阵44 A[[Range[{i0,i1}],Range[{j0,j1}]] Take [ A, { i0, i1}, {j0, j1} ] Tr [ A, List]由 A 的 i0 到 i1 行和 j0 到 j1 列组成的子矩阵 由 A 的 i0 到 i1 行和 j0 到 j1 列组成的子矩阵 按列表给出矩阵 A 的对角线元素 表 4 -4有了矩阵行和列的表示方式，很容易对矩阵做各种初等变换。 B={{1,2,2}, {3,-3,5},{4,5,6}}; B[[2]]=3B[[1]]+B[[2]]B[[3]]=2B[[3]];B4.2 矩阵基本运算矩阵的加法、减法和乘法矩阵基本运算 A+c A+B cA A.B U.V Outer[Times, U,V] Cross[U,V] 说明 A 为矩阵，c 为标量，c 与 A 中的每个元素相加 A，B 为同阶向量或矩阵，A 与 B 的对应元素相加 A 为矩阵，c 为标量，c 与 A 中的每个元素相乘 矩阵 A 与矩阵 B 相乘，要求 A 的列数等于 B 的行数 向量 U 与 V 的内积(行向量乘列向量) 列向量 U 乘行向量 V 向量 U 与向量 V 的外积 表 4-7 V={1,2,1};V .V {a,b}.{c,d} (*计算向量的内积 *) Outer[Times,{a,b},{c,d}] v1 = {a,b,c} ; v2={d,e,f}; Cross[v1,v2] (* 计算向量的外积*)45 矩阵的转置和逆矩阵矩阵运算函数说明Det[A] Transpose [A] Inverse[A] Minor [A,k] Tr [ A] Sum[A[[i,i]],{i,Length[M]}] MatrixPower [m,n]计算矩阵 A 行列式的值 A 的转置矩阵(AT 或 A') 计算矩阵 M 的逆矩阵(A ) A 的 k 阶子式组成的表 计算矩阵 A 的迹(*4.0) 计算矩阵 A 的迹(矩阵对角元素和) 计算矩阵 m 的 n 次方?1M={{1,3,1},{-1,2,1},{1,1,0}}; Det[M]Inve rse[M] Tr[M] (*或用 Sum [M[[i, i]],{i, Lenth[M]}]*) 在 Mathematica 的 LinearAlgebra`MatrixManipulation`程序包中还提供了计算向量和矩 阵范数 和条件数等函数。 向量和矩阵范数 VectorNorm [vec,p] VectorNorm[vec] MatrixNorm [mat,p] MatrixNorm[mat] InverseMatrixNorm [mat,p] InverseMatrixNorm[mat] MatrixConditionNorm [mat,p] MatrixConditionNorm[mat] 计算 向量 vec 的 p 范数，1??p???? 向量 vec 的??范数 矩阵 mat 的 p 范数，p 为 1、2 和?? 矩阵 mat 的??范数 mat 逆矩阵的 p 范数，p 为 1、2 和?? mat 逆矩阵的?? 范数 按 p 范数计算矩阵 mat 的条件数 按??范数计算矩阵 mat 的条件数46 4.3.正交化运算(Orthogonalization)在 LinearAlgebra`Orthogonalization`程序包中有对向量单位化和对一组向量正交化的函 数。 Orthogonalization 程序包函数 Normalize[v] Normalize [v, InnerProduct -&func] GramSchmidt[v1,v2,…] GramSchmidt[{v1,v2,…},InnerProduct -&func] GramSchmidt[{v1,v2,…}, Normalized -&False] Projection[v1,v2] Projection[{v1,v2}, InnerProduct -& func] 说明 对向量 v 单位化 按内积定义 func 对向量 v 单位化 将向量组 v1,v2,…化为单位正交向量 按内积定义 func 将 v1,v2,…单位正交化 对向量组 v1,v2,…正交化而不单位化 给出向量 v1 在向量 v2 上的投影 按内积定义 func 计算 v1 在 v2 上的投影&&LinearAlgebra`Orthogonalization`N ormalize[{1,2,-2}] 对向量组{{1,1,1}, {-1,0,1},{-1,1,0}}做施密特单位正交化运算； u={{1,1,1}, {-1,0,1},{-1,1,0}}; {w1,w2,w3}=GramSchmidt[u] 用内积运算验证 GramSchmidt 函数。 { w1.w2,w2.w3,w1.w3,w1.w1,w2.w2,w3.w3} 对 u 做非单位化的正交化。 GramSchmidt[u,Normalized-&False]1定义内积为??1# dx 即可做出正交多项式，#1 和#2 表示两个变量。 1#2In[6]:=GramSchmidt[{1, x, x^2,x^3}, InnerProduct -& (Integrate[#1 #2,{x,-1,1}]&)]//Simplify4.4 方程组求解解方程组函数 说明47 RowReduce [A] LinearSolve [A,B] NullSpace [A] LUDecomposition[A] QRDecomposition[A]作行的线性组合化简 A，A 为 m 行 n 列的矩阵 求解满足方程组 AX=B 的一个解，A 为 m 行 n 列的矩阵 求解方程组 AX=0 的基础解系，A 为 m 行 n 列的矩阵 做 LU 分解后解方程组，详情见矩阵分解 做 QR 分解后解方程组，详情见矩阵分解例 1：已知 A??? ??1 ? ? 1 ??3?? ?31 1 1?? ?? 0 ?11?? ?1 3?? 1 ?? 2 1 3??计算 A 的秩，计算 AX=0 的基础解系。A=={{1,1,1,1},{1,0,?1,1},{3,1,?1,3},{3,2,1,3}}; RowReduce[A] NullSpace[A] (* 得到 A 的两个线性无关解*)???x1 ??3x2 ??x3 ??x4 ??1 ?? 例 2：解方程组?3x1 ?x2 ?3x3 ?4 x 4 ?4 ?? x ?5 x ?9 x ?8 x ?6 ? 1 2 3 4M={{1,-3,-1,1},{3,-1,-3,4},{1,5,-9,-8}}; B={1,4,6}; LinearSolve[M,B] (*方程组 MX=B 的一个特解*) NullSpace[M] (*解向量组成一个矩阵*) x = c%[[1]]+%% (* x 为 MX=B 的全部解*) 在 LinearAlgebra 程序包还有高斯消去法 (在 GaussianElimination 程序包中)， Cholesky 分解和解三对角方程方法的函数。4.5.特征值和特征向量特征值(向量)函数 Eigenvalues[A] Eigenvectors[A] Eigensystem[A] Eigenvalues[N[A]] Eigenvectors[N[A]] 说明 计算矩阵 A 的(准确形式的)特征值表 计算矩阵 A 的(准确形式的)特征向量表 计算所有的{{特征值}，{特征向量}} 用数值解计算矩阵 A 的特征值表 用 数值解计算矩阵 A 的特征向量表A={{1,2,1},{-1,2,1},{0,4,2}}; Eigenvalues[A]E igenvectors[A] {U, V} =Eigensystem[A] Det[A-xIdentityMatrix[3]] (* 计算 A 的特征多项式*)48 第 5 章数值计算5.1 插值# 插值多项式函数 InterpolatingPolynomial InterpolatingPolynomial [data,var] 构造以 data 为插值点数据，以 var 为变量名的插值多项式。 例 1：给出函数表 X 1.0 2.0 4.0 88.0 5.0 0.0 Y 16.0 46.0 构造插值多项式并计算 f(2.3)In[1]:=data={{1.,16},{2,46},{4,88},{5,0}}; In[2]:=f[x_]=InterpolatingPolynomial[data,x]In[3]: =f[2.3]下列几种数据的表示方式。 数据的表示方式 {x0,f0},{x1,f1},..{xn,fn}} {f0,f1,…fn} {x0,{f0,df0,ddf0,…}},…} {x0,y0,z0},{x1,y1,z1}…} 表 5-1 # 构造插值对象函数 Interpolation 说明 xi 为 x 轴坐标值 fi 为 y 轴坐标值 当 xi = i 时，可省略 xi 给出 xi 点的函数值 fi，一阶导数值 dfi、二阶导数值 ddfi，… 给出三维空间点列Interpolation [data,InterpolationOrder-&n] 构造以 data 为插值点数据，按 InterpolationOrder 设定多项式的次数的插值多项式。 对二维或多维数据 data 进行插值运算，数据表示范围和方式如表 5-1 所示；用 InterpolationOrder 设置插值多项式的次数 n，缺省值为 3，Interpolation 生成一个插值函 数和插值范围，如 Out[2]中“InterpolatingFunction[{1，5}，&&]”所示，由{1,5}表明 插值范围，用户只能计算在插值范围的近似的函数值，即只能做内插计算不能做外插 计算。 In[1]:=data=Table[{{1,16},{2,12},{4,8},{5,9}}]； 用 Interpolation 命令构造插值函数 g(x).In[2]:= g=Interpolation[data,InterpolationOrder-&3]In[3]:=g[1.2] (* 计算 x=1.2 处函数的近似值 *)In[4]:=g=Interpolation[data,InterpolationOrder-&4] Interpolation::inhr: Request order has been reduced to 3. 给定 4 个插值点，构造的插值多项式函数的次数至多为 3 次.49 In[5]:= g=Interpolation[data,InterpolationOrder-&2] In[6]:=g[1.2]例： 已知插值条件， f (0)=0, f (1)=2, f ' (0)=1, f '(1)=1， 求三次插值多项式并计算 f(0.2).In[7]:= d={{0,{0,1}},{1,{2,1.}}};h=Interpolation[d] In[8]:=%[0.23] In[9]:=h[0.23]InterpolatingFunction 对象也能作为微分方程的近似解。例如；In[10]:=sol=y/.First[NDSolve[{y''[x]==y[x],y[0]==1,y'[0]==0},y,{x,0,10}]] In[11]:=sol[2.7] # 由数组构造插值函数 ListInterpolation 当插值数据是按点列形式给出时，一般用 Interpolation 函数，当插值数据是用数组 形式给出时，一般用 ListInterpolation 函数。下列 ListInterpolation 函数的常用形式： ListInterpolation[array] 由数组中的数值构造近似插值函数。 ListInterpolation [array, {{xmin, xmax},{ymin,ymax}}] 在定义的网格域内，由数组中的数值构造近似插值函数。 例：由三维数据拟合函数 In[1]:=ListInterpolation[Table[1.2/(x^3+y^2),{x,10},{y,15}]] In[2]:=%[3.2,4.3] In[3]:=int3 =ListInterpolation[Table[{x,y,z,{z Cos[xy]}}, {x,-2.,2.},{y,-2.,2.},{z,0.,1.}],InterpolationOrder-&{3,3,1}] In[4]:={0.2Cos[1.0 1.1], int3[1.0, 1.1,0.2]} # 构造逼近函数 FunctionInterpolation 在计算一些复杂函数时，用函数 FunctionInterpolation 可对复杂函数构造相对简单的逼 近函数简化计算。 FunctionInterpolation 的常用形式为： FunctionInterpolation [ expr , {x, xmin, xmax }] 在区间[xmin,xmax]上构造 expr 的逼近函数 FunctionInterpolation [ expr , {x, xmin, xmax }, {y, ymin, ymax}, …] 在区间[xmin,xmax]，[ymin,ymax]…上构造 expr 的高维逼近函数逼近函数 In[5]:=FunctionInterpolation[Cos[x]+Sin[x^2],{x,0,1}]In[6]:=%[0 .37]In[7]:=h=FunctionInterpolation[int3[x,y,x^3+y^3],{x,0,0.5},{y,0,.5}]I n[8]:={0.25^3 + 0.25^3,h[0.25,0.25]}请观察原函数和近似函数之间的误差图形。In[9]:=Plot3D[x^3+y^3-h[x,y],{x,0,0.5},{y,0,0.5}]50 0. 0. 0.1 0.2 0.3 0.4 0 0.5 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1图 5-15.2 曲线拟合给定一组数据，Mathematica 按最小二乘法的原理对这组数据进行线性拟合或 n 次 多项式等曲线拟合。例如：设某次实验数据如下： X 1.36 1.49 1.73 1.81 1.95 2.16 19.95 Y 14.09 15.09 16.84 17.38 18.44 试按最小二乘法用一次多项式、二次多项式拟合以上数据。In[1]:=f={{1.36,14.09},{1.49,15.09},{1.73,16.84},{1.81,17.38},{1.95,18.44},{2.16,19.95}}; In[2]:=Fit[f,{1,x},x]Out[2]=4.62x In[3]:=Fit[f,{1,x,x^2},x]Out[3]=3.24x-0.133012x 拟合函数 Fit 的一般形式：2Fit[data,funs,vars] 用数据 data，以 vars 为变量，按拟合函数的基函数 funs 的形式构造拟合函数。数 据的表示方法同插值函数中相同，都是使用点列形式。 下列几种常用的一维拟合函数形式： 拟 合 函数 Fit [data,{1,x},x] Fit [data,{1,x,x^2},x] Fit [data,Table[x^i,{i,0,n}], x ] Exp [Fit [Log [data],{1,x}, x]] 说明 用数据 data 作线性拟合函数：a+bx 构造二次拟合函数：a??bx??cx 做 n 次多项式拟合 拟合曲线为 ea ?bx 2表 5-2In[4]:= g=Table[Prime[x],{x,20}];Fit[g,{1,x},x] In[6]:= Fit[g,{1,x,x^2},x]Fit 函数也能构造其它形式的多维拟合函数,多项式是拟合函数的一种常用形式，例如: Fit [{{x1,y1,f1},…},{1, x, y},{x,y}] 构造双线性拟合函数 a+ bx +cy. 例如：取函数 z=1-3x+5xy 的部分数值构造以{1,x,y,xy}为基的拟合函数。 In[7]:=Flatten[Table[{x,y,1-3x+5xy},{x,0,1,0.4},{y,0,1,0.4}],1]；51 In[8]:=Fit[%,{1,x,y,xy},{x,y}] In[9]:=Chop[%]#多项式拟合函数(PolynomialFit) Mathematica 在程序包 NumericalMath 中提供了多项式拟合函数 PolynomialFit。 PolynomialFit 的一般形式： PolynomialFit[data,n] 它按最小二乘原理构造 n 次多项式函数拟合数据 data。例如，调入多项式拟合函 数,构造 3 次多项式函数拟合数据 f(x)=x .In[1]:=&&NumericalMath`PolynomialFit` In[2]:=p =PolynomialFit[{1,4,9,16,25,36,49},3] Out[2]=FittingPolynomial[&&,3]In[3]:=2p[10]Out[3]=100.(*计算 f(10)的近似值*)In[4]:=Expand[p[x]] (* 可以看到多项式拟合函数的效果*)#样条函数(SplineFit) 功能强大应用广泛的样条函数： SplineFit[points ,type] 由点列 points 按类型 type 生成 SplineFunction 对象。 其中选 项的类型有 Cubic，Bezier 和 CompositeBezier。1 按选项 cubic 构造分段三次多项式，它是 C 连续,首尾的二阶导数为零。In[1]:=&&NumericalMath`SplineFit`In[2]:=pts={{0,0},{1,2},{-1,3},{0,2},{3,0}}; spline=SplineFit[pts,Cubic] In[3]:={spine[1.0],spline[1.2]}In[4]:= spa=SplineFit[pts,Bezier]In[5]:={spa[ 1.0],spa[1.2]}5.3 数值积分5.3.1 数值积分函数 NIntegrate在第 3 章计算定积分中我们用过函数 Integrate 和 NIntegrate，看起来象一对函数。 前者是用准确的公式推导计算问题的精确解，即符号计算；后者是用近似的数值解求 解，即数值计算。在 Mathematica 中还有一系列这样的函数。例如： 精确解函数 Sum Product Limit 数值解函数 NSum NProduct NLimit 计算 和 积 极限52 D Integrate Series Solve DSolveND NIntegrate NSeries NSolve NDSolve导数 积分 级数 求解方程组 求解微分方程组 表 5-3例：?1??11 |x|dx ，0 是奇点。In[1]:=NIntegrate[1/Sqrt[Abs[x]],{x,-1,0,1}]例如：计算复平面上的线积分，积分曲线从-1 起到-I，1，I 再回到-1 的闭曲线。 In[2]:= NIntegrate[1/x, {x, -1,-I,1,I,-1}]Out[2]=1.1102210?16+6.28319I(* 由柯西公式准确解是 2?i*)5.3.2 高斯积分高斯积分函数放在程序包 NumericalMath`GaussianQuadrature`中，用 GaussianQuadratureWeights 函数直接计算 xi 和 wi 的数值。高斯积分函数也有多种类 型，GaussianQuadrature 中 GaussianQuadratureWeights 函数计算 Gauss-Legendre 求积 公式的组合系数。 高斯积分函数(GaussianQuadrature) 间)GaussianQuadratureWeights[n,a,b] GaussianQuadratureError[n,f,a,b] GaussianQuadratureWeights[n,a,b,prec] GaussianQuadratureError[n,f,a,b,prec] 说明 (在 [a,b] 区 按机器精度给出 n 点的横轴值和权值(xi,wi) 按机器精度给出积分误差 按精度 prec 给出 n 点的横轴值和权值(xi,wi) 按精度 prec 给出积分误差 表 5 -5In[1]:=&&NumericalMath`GaussianQuadrature`按机器精度给出在区间[-1，1]上，2 个点的横轴值和权值(xi,wi)。In[2]:=xw=GaussianQuadratureWeights[2, -1,1] Out[2]={{-0.57735, 1.}, {0.57735,1.}}1x xdx 的结果， 比较下列两种计算积分 sin 可以看到取 4 个点的高斯积分误差已经很小了。??1In[3]:=Integrate[x Sin[x],{x,-1,1}]//N Out[3]=0.602337 In[4]:=f[x_]:= xSin[x]NSum[xw[[k,2]]f[xw[[k,1]]],{k,1,Length[xw]}]Out[4]=0.630242 In[5]:=xw=GaussianQuadratureWeights[4, -1,1]；NSum[xw[[k, 2]]f[xw[[k, 1]]], {k, 1,Length[xw]}]Out[5]=0.60234也可用函数 GaussianQuadratureError 直接计算误差。53 In[6]:=GaussianQuadratureError[3, f, -1,1] Out[6]=-0. (6 Cos[#1] - Sin[#1] #1&) In[7]:=GaussianQuadratureError[4, f, -1,1] In[8]:=GaussianQuadratureError[3, g, -1,1] Out[8]=-0.g(6)计算在区间[-3，7]的高斯积分系数In[9]:=GaussianQuadratureWeights[5, -3,7] Out[9]={{-2.63},{-0..39314},{2,2.84444},{4.614}, {6.63}}5.4 方程求根5.4.1 求根函}
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