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设无穷级数Un收敛,则(-1)^nUn是否收敛,Un*U(n+1)是否收敛；(-1)^nUn/n是否收敛若不收敛,请说明原因
蛮小夜10285
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Un=(-1)^n/n,∑Un收敛,但∑(-1)^nUn=∑1/n发散.
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时间： 13:28:55
&&&&&&&&多元函数微分学&&&&在上册中，我们讨论的是一元函数微积分，但实际问题中常会遇到依赖于两个以上自变量的函数—多元函数，也提出了多元微积分问题。&&&&多元微积分的概念、理论、方法是一元微积分中相应概念、理论、方法的推广和发展，它们既有相似之处（概念及处理问题的思想方法）又有许多本质的不同，要善于进行比较，既要认识到它们的共同点和相互联系，更要注意它们的区别，研究新情况和新问题，深刻理解，融会贯通。&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&函数的微分法从一元函数发展到二元函数本质上要出现一些新东西，但从二元函数到二元以上函数则可以类推，因此这里基本上只讨论二元函数。&&&&&&&&重点&&&&多元函数基本概念，偏导数，全微分，复合函数求导，隐函数求导，偏导数的几何应用，多元函数极值。&&&&&&&&难点&&&&复合函数求导，多元函数极值。&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&一、多元函数的概念&&&&?设P0(x0,y0)是xoy平面上的一个点，是某?一正数，与点P0(x0,y0)距离小于的点P(x,y)?的全体，称为点P0的邻域，记为U(P0,?)，&&&&U(P0,?)&&&&&&&&（1）邻域&&&&&&&&P|PP0|(x,y)|(x?x0)2?(y?y0)2.&&&&&&&&?&&&&&&&&?&&&&&&&&?&&&&&&&&（2）区域&&&&&&&&P0&&&&&&&&设E是平面上的一个点集，是平面上的P一个点．如果存在点P的某一邻域U(P)?E，则称P为E的内点.营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&&&&&如果点集E的点都是内点，则称E为开集.&&&&?P&&&&&&&&例如，E?{(x,y)1?x2?y2?4}1即为开集．E如果点P的任一个邻域内既有属E的点，于&&&&&&&&也有不属于E的点（点P本身可以属于E，也可以不属于E），则称P为E的边界点．&&&&E的边界点的全体称为E的边界．&&&&&&&&?P&&&&&&&&设D是开集．如果对于D内任何两点，都可用折线连结起来，且该折线上的点都属于D，则称&&&&营口地区成人高等教育开集D是连通的．QQ群&&&&&&&&E&&&&&&&&&&&&&&&&y&&&&&&&&连通的开集称为区域或开区域．例如，x,y)|1?x?y?4}.{(&&&&22&&&&&&&&o&&&&y&&&&&&&&x&&&&&&&&开区域连同它的边界一起称为闭区域.&&&&&&&&{(例如，x,y)|1?x?y?4}.&&&&22&&&&&&&&o&&&&&&&&x&&&&&&&&对于点集E如果存在正数K，使一切点P?E与某一定点A间的距离AP不超过K，即AP?K对一切P?E成立，则称E为有界点集，否则称为无界点集．营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&&&&&{(x,y)|1?x?y?4}&&&&22&&&&&&&&y&&&&&&&&有界闭域；&&&&&&&&{(x,y)|x?y?0}无界开区域．&&&&&&&&o&&&&&&&&x&&&&&&&&（3）聚点&&&&设E是平面上的一个点集，P是平面上的一个点，如果点P的任何一个邻域内总有无限多个点属于点集E，则称P为E的聚点.&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&说明：&&&&?内点一定是聚点；?边界点可能是聚点；例&&&&&&&&{(x,y)|0?x2?y2?1}&&&&(0,0)既是边界点也是聚点．&&&&&&&&?点集E的聚点可以属于E，也可以不属于E．{(x,y)|0?x2?y2?1}例如,(0,0)是聚点但不属于集合．例如,&&&&&&&&{(x,y)|x2?y2?1}&&&&边界上的点都是聚点也都属于集合．&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&（4）n维空间&&&&n设n为取定的一个自然数，我们称元数组nn(x1,x2,?,xn)的全体为维空间，而每个元数n组(x1,x2,?,xn)称为维空间中的一个点，数xi称为该点的第个坐标.i&&&&说明：?n维空间的记号为Rn;?n维空间中两点间距离公式&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&设两点为&&&&&&&&P(x1,x2,?,xn),Q(y1,y2,?,yn),&&&&&&&&|PQ|?(y1?x1)2?(y2?x2)2?(yn?xn)2.&&&&特殊地当n?1,2,3时，便为数轴、平面、空间两点间的距离．?n维空间中邻域、区域等概念&&&&&&&&邻域：U(P0,?)?P|PP0|,P?Rn&&&&&&&&?&&&&&&&&?&&&&&&&&内点、边界点、区域、聚点等概念也可定义．&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&（5）二元函数的定义&&&&设D是平面上的一个点集，如果对于每个点变量z按照一定的法则总有确定的值P(x,y)?D，和它对应，则称z是变量x,y的二元函数，记为z?f(x,y)（或记为z?f(P)）.&&&&&&&&类似地可定义三元及三元以上函数．&&&&&&&&n当n?2时，元函数统称为多元函数.&&&&多元函数中同样有定义域、值域、自变量、因变量等概念.&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&arcsin(3?x?y)例1求f(x,y)?的定义域．2x?y&&&&22&&&&&&&&解&&&&&&&&?3?x2?y2?1?x?y2?0?&&&&22&&&&&&&&2?x?y?4&&&&&&&&?2?x?y&&&&&&&&所求定义域为&&&&&&&&D?{(x,y)|2?x?y?4,x?y}.&&&&222&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&（6）二元函数z?f(x,y)的图形&&&&D设函数z?f(x,y)的定义域为，对于任意取定的P(x,y)?D，对应的函数值为yxz?f(x,y)，这样，以为横坐标、为纵坐标、z为竖坐标在空间就确定一点M(x,y,z)，当x取遍D上一切点时，得一个空间点集{(x,y,z)|z?f(x,y),(x,y)?D}，这个点集称为二元函数的图形.&&&&（如右图）二元函数的图形通常是一张曲面.&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&二、多元函数的极限&&&&设函数z?f(x,y)的定义域为如果对于任意给定的正D,P0(x0,y0)是其聚点，数?，总存在正数?，使得对于适合不等式0?|PP0|?(x?x0)2?(y?y0)2的一切点，都有|f(x,y)?A|成立，则称A为函数z?f(x,y)当x?x0，y?y0时的极限，记为limf(x,y)?A定义1（或f(x,y)?A(0)这里|PP0|）.&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&x?x0y?y0&&&&&&&&&&&&说明：&&&&（1）定义中P?P0的方式可能是多种多样的，方向可能任意多，路径可以是千姿百态的，所谓极限存在是指当动点从四面八方以可能有的任何方式和任何路径趋于定点时，函数都趋于同一常数。——这是产生本质差异的根本原因。（2）二元函数的极限也叫二重极限limf(x,y);&&&&x?x0y?y0&&&&&&&&（3）二元函数的极限运算法则与一元函数类似&&&&&&&&如局部有界性、局部保号性、夹逼准则、无穷小、&&&&等价无穷小代换等，建议自行复习，写出有关结论营口地区成人高等教育QQ群以巩固和加深理解。&&&&&&&&&&&&1lim(x?y)sin2?0例2求证2x?0x?yy?0122?0证(x?y)sin22x?y122?x?y?sin2?x2?y22x?y&&&&22&&&&&&&&?0,,&&&&当0?(x?0)2?(y?0)2时，&&&&&&&&1(x?y)sin2?0原结论成立．2x?y&&&&22&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&sin(x2y)例3求极限lim22.x?0x?yy?0222sin(xy)?limsin(xy)?xy,解lim2x?02x2yx2?y2x?0x?yy?0&&&&y?0&&&&&&&&sinusin(x2y)u?x2ylim?1,其中lim2u?0ux?0xyy?0&&&&x2y1?x?x?0?0,22x?y2&&&&&&&&sin(x2y)?lim22?0.x?0x?yy?0&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&x3y例4证明lim62不存在．x?0x?yy?0&&&&证&&&&&&&&取&&&&&&&&y?kx,&&&&3&&&&&&&&x3ylim62x?0x?yy?0&&&&3&&&&&&&&x?kxk?lim626?,2x?0x?kx1?ky?kx3&&&&3&&&&&&&&其值随k的不同而变化，故极限不存在．&&&&&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&确定极限不存在的方法：&&&&（1）令P(x,y)沿y?kx趋向于P0(x0,y0)，若&&&&&&&&k极限值与有关，则可断言极限不存在；&&&&（2）找两种不同趋近方式，使limf(x,y)存在，&&&&x?x0y?y0&&&&&&&&但两者不相等，此时也可断言f(x,y)在点&&&&&&&&P0(x0,y0)处极限不存在．&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&利用点函数的形式有n元函数的极限定义2设n元函数f(P)的定义域为点集D,P0是其聚点，如果对于任意给定的正数?，总存在正数?，使得对于适合不等式0?|PP0|的一切点P?D，都有|f(P)?A|成立，则称A为n元函数f(P)&&&&当P?P0时的极限，记为limf(P)?A.&&&&P?P0&&&&&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&三、多元函数的连续性&&&&设n元函数f(P)的定义域为点集D,P0是其聚点且P0?D，如果limf(P)?f(P0)&&&&P?P0&&&&&&&&则称n元函数f(P)在点P0处连续.设P0是函数f(P)的定义域的聚点，如果f(P)在点P0处不连续，则称P0是函数f(P)的间断点.?x3?y3&&&&&&&&,(x,y)?(0,0)?22例5讨论函数f(x,y)x?y?0,(x,y)?(0,0)?&&&&在(0,0)处的连续性．&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&xcos?,ysin?(sin3cos3?)?2?f(x,y)?f(0,0)&&&&解取&&&&&&&&?0,?,当0?2&&&&&&&&?&&&&&&&&x?y时&&&&22&&&&&&&&f(x,y)?f(0,0)?2?&&&&(x,y)?(0,0)&&&&&&&&lim&&&&&&&&f(x,y)?f(0,0),&&&&&&&&故函数在(0,0)处连续.例6讨论函数&&&&&&&&?xy,x2?y2?0?x2?y2f(x,y)?0,x2?y2?0在(0,0)的连续性．?营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&&&&&取y?kx2xykkxlim2?2?lim222x?0x?yx?0x?kx1?k2y?0解&&&&y?kx&&&&&&&&极限不存在．其值随k的不同而变化，故函数在(0,0)处不连续．&&&&&&&&闭区域上连续函数的性质&&&&（1）最大值和最小值定理在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次．&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&（2）介值定理在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两值之间的任何值至少一次．多元初等函数：由多元多项式及基本初等函数经过有限次的四则运算和复合步骤所构成的可用一个式子所表示的多元函数叫多元初等函数一切多元初等函数在其定义区域内是连续的．定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域．&&&&&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&一般地，求limf(P)时，如果f(P)是初等函&&&&P?P0&&&&&&&&数，且P0是f(P)的定义域的内点，则f(P)在点P0处连续，于是limf(P)?f(P0).&&&&P?P0&&&&&&&&四、小结&&&&多元函数的定义多元函数极限的概念&&&&（注意趋近方式的任意性）&&&&&&&&多元函数连续的概念&&&&&&&&闭区域上连续函数的性质营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&&&&&思考题&&&&若点(x,y)沿着无数多条平面曲线趋向于点(x0,y0)时，函数f(x,y)都趋向于A，能否断定&&&&(x,y)?(x0,y0)&&&&&&&&lim&&&&&&&&f(x,y)?A？&&&&&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&思考题解答&&&&不能.例&&&&x3y2f(x,y)?242,(x,y)?(0,0)(x?y)322取y?kx,f(x,kx)?x?kx&&&&&&&&(x2?k4x4)2&&&&&&&&x0?0&&&&&&&&但是&&&&&&&&(x,y)?(0,0)&&&&&&&&lim&&&&&&&&f(x,y)不存在.&&&&&&&&y6y222原因为若取x?y,f(y,y)?442?1.(y?y)4&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&练习题&&&&一、填空题:&&&&x1、若f(x,y)?x?y?xytan,则f(tx,ty)=____.yx2?y22、若f(x,y)?,则f(2,?3)?__________;2xyyf(1,)?________________.xx2?y2y(y?0),则f(x)?________.3、若f()?xyyf(x?y,)?x2?y2,则f(x,y)?_________.4、若x4x?y2函数z?22的定义域是__________.ln(1?x?y)&&&&22&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&6、函数z?&&&&&&&&y的定义域是______________.yz?arcsin的定义域是_______________.7、函数xy2?2x8、函数z?2的间断点是________________.y?2x&&&&&&&&x?&&&&&&&&二、求下列各极限:2?xy?41、lim；x?0xyy?0sinxy2、lim；x?0xy?0&&&&1?cos(x2?y2)3、lim.x?0(x2?y2)x2y2y?0&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&三、证明：lim&&&&&&&&xyx?y&&&&22&&&&&&&&x?0y?0&&&&&&&&?0.&&&&&&&&四、证明极限lim&&&&&&&&x?0y?0&&&&&&&&xy?1?1不存在.x?y&&&&&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&练习题答案&&&&一、1、3、&&&&13tf(x,y)；2、?,f(x,y)；121?x221?y；4、x；x1?y(x,y)0?x2?y2?1,y2?4x；(x,y)x?0,y?0,x2?y；&&&&2&&&&&&&&?6、?7、?(x,y)x?0,?x?y?x?(x,y)x?0,x?yx?；28、?(x,y)y?2x?0?.1二、1、?4；2、0；3、.&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&5、?&&&&&&&&?&&&&&&&&&&&&复合函数求导法则&&&&先回忆一下一元复合函数的微分法则&&&&&&&&若y?f(u)而u(x)可导则复合函数&&&&dydydu的导数为dxdudx这一节我们将把这一求导法则推广到多元函数的情形，主要介绍多元复合函数的微分法和隐函数的微分法。我们知道，求偏导数与求一元函数的导数本质上并没有区别，对一元函数适用的微分法包括复合函数的微分法在内，在多元函数微分法中仍然适用，那么为什么还要介绍多元&&&&y?f[?(x)]对x&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&复合函数的微分法和隐函数的微分法呢？这主要是对于没有具体给出式子的所谓抽象函数&&&&&&&&如z?f(x2?y2,xy)它是由z?f(u,v)&&&&&&&&及u?x?y,v?xy复合而成的&&&&22&&&&&&&&由于f&&&&&&&&没有具体给出&&&&&&&&?z?z在求,时?x?y&&&&&&&&一元复合函数的微分法则就无能为力了，为此还要介绍多元复合函数的微分法和隐函数的微分法。&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&一、链式法则&&&&t定理如果函数u(t)及v(t)都在点可导，函数z?f(u,v)在对应点(u,v)具有连续偏t导数，则复合函数z?f[?(t),?(t)]在对应点可导，且其导数可用下列公式计算：&&&&&&&&dz?zdu?zdv．dt?udt?vdt&&&&&&&&证&&&&&&&&设t获得增量?t，则?u(tt)(t),?v(tt)(t);&&&&由于函数z?f(u,v)在点(u,v)有连续偏导数&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&?z?z?zuv1?u2?v,?u?v当?u?0，?v?0时，?1?0，?2?0&&&&&&&&?z?z?u?z?v?u?v12?t?u?t?v?t?t?t&&&&当?t?0时，?u?0，?v?0&&&&&&&&?udu?,?tdt&&&&&&&&?vdv?,?tdt&&&&&&&&dz?z?zdu?zdv?lim.dt?t?0?t?udt?vdt&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.&&&&如&&&&&&&&dz?zdu?zdv?zdw?dt?udt?vdt?wdt&&&&&&&&z&&&&&&&&uvw&&&&&&&&t&&&&&&&&dz以上公式中的导数称为全导数.dt上定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情况：z?f[?(x,y),?(x,y)].&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&(如果u(x,y)及v(x,y)都在点x,y)&&&&具有对x和y的偏导数，且函数z?f(u,v)在对应点(u,v)具有连续偏导数，则复合函数&&&&&&&&z?f[?(x,y),?(x,y)]在对应点(x,y)的两个偏&&&&导数存在，且可用下列公式计算&&&&&&&&?z?z?u?z?v?z?z?u?z?v，.?x?u?x?v?x?y?u?y?v?y&&&&链式法则如图示&&&&&&&&u&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&x&&&&y&&&&&&&&z&&&&&&&&v&&&&&&&&&&&&?zx?zy&&&&&&&&?z?u?z?v,u?x?v?x?z?u?z?v?.?u?y?v?y&&&&&&&&称为标准法则或2?2法则这个公式的特征：⑴函数z?f[u(x,y),v(x,y)]有两个自变量x和y故法则中包含?z?z&&&&&&&&?x?y&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&,&&&&&&&&两个公式；&&&&&&&&&&&&⑵由于在复合过程中有两个中间变量u和v&&&&故法则中每一个公式都是两项之和，这两项分别含有?z?z&&&&&&&&?u?v&&&&⑶每一项的构成与一元复合函数的链导法则类似，即“函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数”多元复合函数的求导法则简言之即：&&&&&&&&,&&&&&&&&“分道相加，连线相乘”&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&类似地再推广，设u(x,y)、v(x,y)、&&&&&&&&xyw?w(x,y)都在点(x,y)具有对和的偏导数，复合&&&&&&&&(函数z?f[?(x,y),?(x,y),w(x,y)]在对应点x,y)的&&&&两个偏导数存在，且可用下列公式计算&&&&&&&&?z?z?u?z?v?z?w?,?x?u?x?v?x?w?x?z?z?u?z?v?z?w?.?y?u?y?v?y?w?y&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&z&&&&&&&&uvw&&&&&&&&x&&&&y&&&&&&&&&&&&特殊地z?f(u,x,y)其中u(x,y)即z?f[?(x,y),x,y],令v?&&&&&&&&x,w?y,&&&&区别类似&&&&&&&&?v?v?w?w?0,?1,?0,?1.?y?y?x?x&&&&?z?f?u?f?,?x?u?x?x&&&&&&&&?z?f?u?f?.?y?u?y?y&&&&&&&&两者的区别&&&&&&&&把z?f(u,x,y)&&&&&&&&把复合函数z?f[?(x,y),x,y]中的u及y看作不中的y看作不变而对x的偏导数变而对x的偏导数&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&注&&&&如&&&&&&&&此公式可以推广到任意多个中间变量和任意多个自变量的情形&&&&&&&&z?f(u1,u2,?,um)ui?ui(x1,x2,?,xn)&&&&m?z?z?ui?,(j?1,2,?,n)?xji?1?ui?xj&&&&&&&&则&&&&&&&&从以上推广中我们可以得出：所有公式中两两乘积的项数等于中间变量的个数，而与自变量的个数无关&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&)m,?,2,1?i(&&&&&&&&&&&&关于多元复合函数求偏导问题&&&&这是一项基本技能，要求熟练掌握，尤其是求二阶偏导数，既是重点又是难点。对求导公式不求强记，而要切实做到彻底理解。注意以下几点将会有助于领会和理解公式，在解题时自如地运用公式①用图示法表示出函数的复合关系&&&&&&&&②函数对某个自变量的偏导数的结构&&&&（项数及项的构成）&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&③弄清fu(u,v),fv(u,v)的结构是求抽象的复合函数的二阶偏导数的关键&&&&&&&&fu(u,v),fv(u,v)仍是复合函数&&&&且复合结构与原来的f(u,v)完全相同即仍是以u,v为中间变量，以x,y为自变量的复合函数因此求它们关于x,y的偏导数时必须使链式法则&&&&&&&&?z?fu(u,v)?u&&&&&&&&u&&&&&&&&v&&&&&&&&u?v[fu(u,v)]?fuu?fuv?x?x?xy?[f(u,v)]?f?u?f?vvvuvv?x?x?x营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&x&&&&&&&&&&&&在具体计算中最容易出错的地方是对&&&&&&&&fu(u,v)再求偏导数这一步&&&&原因就是不注意是与f(u,v)具有相同结构的复合函数易被误认为仅是u的函数，从而导致漏掉fuv这一项&&&&④求抽象函数的偏导数时，一定要设中间变量⑤注意引用这些公式的条件外层函数可微（偏导数连续）内层函数可导⑥&&&&uv&&&&&&&&的合并问题视题设条件&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&)v,u(uf&&&&&&&&f,vuf&&&&&&&&&&&&例1设z?eusinv，而u?xy，v?x?y，&&&&&&&&?z?z求和.?x?y解?z?z?u?z?v?x?u?x?v?xuu?eu(ysinv?cosv),?esinv?y?ecosv?1&&&&&&&&?z?z?u?z?v?y?u?y?v?y?eusinv?x?eucosv?1?eu(xsinv?cosv).例2设z?uv?sint，而u?et，v?cost，dz求全导数.营口地区成人高等教育QQ群dt&&&&&&&&&&&&解&&&&&&&&dz?zdu?zdv?z?dt?udt?vdt?tttt?ve?usint?cost?ecost?esint?cost&&&&?e(cost?sint)?cost.&&&&t&&&&&&&&例3设w?f(u,v),u?u(x,y),v?v(x,y),x?x(r,?),y?y(r,?)?w?w,均满足复合函数求偏导数的条件计算?r（两重复合问题）&&&&&&&&解&&&&&&&&由链式法则&&&&&&&&x&&&&y&&&&&&&&r&&&&?&&&&&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&v&&&&&&&&u&&&&&&&&w&&&&&&&&&&&&?w?w?u?w?v?r?u?r?v?r&&&&&&&&?u?u?x?u?y?r?x?r?y?r&&&&&&&&?v?v?x?v?y?r?x?r?y?r&&&&故&&&&&&&&?w?w?u?x?u?y?w?v?x?v?y?(?)?(?)?r?u?x?r?y?r?v?x?r?y?r&&&&同理可得&&&&&&&&?w?w?u?x?u?y?w?v?x?v?y?(?)?(?)?u?x营口地区成人高等教育QQ群?x?y?y?v&&&&&&&&&&&&&&&&例4&&&&&&&&设w?f(x?y?z,xyz)，f具有二阶&&&&&&&&解&&&&&&&&令u?x?y?z,&&&&记同理有&&&&&&&&?w?2w连续偏导数，求和.?x?x?z&&&&&&&&v?&&&&&&&&?f(u,v)f1,?u&&&&&&&&?2f(u,v)f12?,?u?v&&&&f22.&&&&&&&&f2?,&&&&&&&&f11,&&&&&&&&?w?f?u?f?v?f1yzf2?;?x?u?x?v?x&&&&?2wyzf2?)f1yf2yz?f2?;(f1?x?z?z营口地区成人高等教育?zQQ群?z&&&&&&&&&&&&&&&&?f1f1u?f1v?f11?xyf12;?z?u?z?v?z?f2u?f2v?f??f2?2122?u?z?v?z?z2?w?f11?xyf12?yf2yz(f21?xyf22)于是?x?z&&&&?f11?y(x?z)f12?xy2zf22?yf2?.&&&&&&&&二、全微分形式不变性&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&?z?zdz?du?当u(x,y)、v(x,y)?u?v?z?zdx?dy.时，有dzx?y&&&&&&&&设函数z?f(u,v)具有连续偏导数，则有全微分&&&&&&&&全微分形式不变形的实质：&&&&无论z是自变量u、v的函数或中间变量u、v的函数，它的全微分形式是一样的.&&&&&&&&?z?zdz?dx?dy?x?yz?u?z?v?z?u?z?v?dxdy?x??QQ群u?x?v营口地区成人高等教育?u?y?v?y?&&&&&&&&&&&&?zu?uzv?v?dx?dy?dx?dyux?yvx?yz?z?du?dv.?v?u&&&&利用全微分形式不变性，在逐步作微分运算的过程中，不论变量间的关系如何错综复杂，都可以不加辨认和区分，而一律作为自变量来处理且作微分运算的结果对自变量的微分&&&&&&&&dx,dy,dz,来说是线性的&&&&从而为解题带来很多方便，而且也不易出错&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&例5设&&&&&&&&u?f(x,y,z),y(x,t),t(x,z)&&&&求?u&&&&&&&&各函数满足求导条件&&&&&&&&解一变量间的关系如下图所示xx&&&&&&&&?x&&&&&&&&u&&&&&&&&y&&&&t&&&&&&&&x&&&&&&&&z?u?f?f?y?f?zx?x?y?x?z?x&&&&&&&&?yx?x?t?x?u?f?f?fx?x?y?x?y?t?x&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&z&&&&&&&&&&&&解二这里变量间的关系比较混乱&&&&用全微分来解由全微分定理&&&&&&&&?f?f?fdu?dx?dy?dz?x?y?z?f?f?f?dx?[dx?dt]?dz?x?y?x?t?z?f?f?f?dx?[dx?(dx?dz)]?dz?x?y?x?t?x?z?z&&&&注意到&&&&&&&&x,z是独立自变量&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&故&&&&&&&&?f?f?f?f?fdu?()dx?(?)dz?x?y?x?y?t?x?y?t?z?z&&&&由全微分定义&&&&&&&&?u?f?f?fx?x?y?x?y?t?x?u?f?f?z?y?t?z?z&&&&&&&&注&&&&&&&&解法二在实际计算中显得十分灵便且不易出错&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&三、小结&&&&1、链式法则（分三种情况）&&&&（特别要注意课中所讲的特殊情况）&&&&&&&&2、全微分形式不变性&&&&（理解其实质）&&&&&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&思考题&&&&设z?f(u,v,x)，而u(x)，v(x)，&&&&&&&&dz?fdu?fdv?f?，则dx?udx?vdx?xdz?f试问与是否相同？为什么？dx?x&&&&&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&思考题解答&&&&不相同.&&&&&&&&x等式左端的z是作为一个自变量的函数，&&&&而等式右端最后一项f是作为u,v,x的三元函数，&&&&&&&&写出来为&&&&&&&&dzdx&&&&&&&&x&&&&&&&&?fu&&&&&&&&du?f(u,v,x)?x?dx?v&&&&&&&&dv?f(u,v,x)?x?dx?x&&&&&&&&(u,v,x)&&&&&&&&.&&&&&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&练习题&&&&一、填空题:?zxcosy1、设z?,则?________________；?xycosx?z?________________.?y?zx2ln(3x?2y)2、设z?,则?_______________；2?xy?z?________________.?ydzsint?2t33、设z?e,则?________________.dt&&&&?z?z二、设z?ue,而u?x?y,v?xy，求,?x?y&&&&vu&&&&&&&&2&&&&&&&&2&&&&&&&&.&&&&&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&dz三、设z?arctan(xy),而y?ex,求.dx&&&&&&&&四、设z?f(x2?y2,exy),(其中f具有一阶连续偏导&&&&?z?z数),求,.?x?y五、设u?f(x?xy?xyz),(其中f具有一阶连续偏导?u?u?u数),求,,.?x?y?zx六、设z?f(x,),(其中f具有二阶连续偏导数),求y?2z?2z?2z,,2.2?x?x?y?y&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&y,其中为可导函数,七、设z?22f(x?y)1?z1?zz2.验证:x?xy?yy八、设z[x(x?y),y],其中?,?具有二阶导数,求?2z?2z,2.2?x?y&&&&&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&练习题答案&&&&一、1、&&&&cosy(cosx?xsinx)xcosx(ysiny?cosy),?；222ycosxycosx2x3x2,2、2ln(3x?2y)?2y(3x?2y)y2x22x2?3ln(3x?2y)?；2y(3x?2y)y3(1?4t2).3、321?(3t?4t)&&&&2xy&&&&&&&&?z2xyx2?y2]e,二、?[2x?y?222?x(x?y)y?z2yx(x2?y2)?[2y?x?2]e.2?y(x?y)&&&&2xy&&&&&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&dzex(1?x)三、?.22xdx1?xe?z?z?2xf1yexyf2?,2yf1xexyf2?.四、?x?y?u?u?u?(1?y?yz),?(x?xz),?f?xyf?.五、?f?x?y?z?2z21?f12?2f22,六、2?f11y?xy?2zx112(f12?f22)?2f2?,?x?yyyy?2z2xx2?3f24f22.2?yyy&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&?2z八、211(1?)21?,?x?2z11().?y2&&&&&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&偏导数&&&&我们已经知道一元函数的导数是一个很重要的概念，是研究函数的有力工具，它反映了该点处函数随自变量变化的快慢程度。对于多元函数同样需要讨论它的变化率问题。虽然多元函数的自变量不止一个，但实际问题常常要求在其它自变量不变的条件下，只考虑函数对其中一个自变量的变化率，因此这种变化率依然是一元函数的变化率问题，这就是偏导数概念，对此给出如下定义。&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&一、偏导数的定义及其计算法&&&&定义设函数z?f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义，当y固定在y0而x在x0处有增量?x时，相应地函数有增量f(x0x,y0)?f(x0,y0)，&&&&&&&&f(x0x,y0)?f(x0,y0)如果lim存在，则称?x?0?x此极限为函数z?f(x,y)在点(x0,y0)处对x的&&&&偏导数，记为&&&&&&&&?z?f，，zx?xx?x0?xx?x0yyyy&&&&00&&&&&&&&x?x0或y?y0&&&&&&&&fx(x0,y0).&&&&&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&y同理可定义函数z?f(x,y)在点(x0,y0)处对的偏导数，为&&&&f(x0,y0y)?f(x0,y0)lim?y?0?y?z?f记为，，zyx?x0或fy(x0,y0).y?y0?yx?x0?yx?x0yyyy&&&&00&&&&&&&&如果函数z?f(x,y)在区域D内任一点(x,y)处对x的偏导数都存在，那么这个偏导数就是x、y的函数，它就称为函数z?f(x,y)对自变量x的偏导数，&&&&&&&&?z?f记作，，zx或fx(x,y)QQ群.营口地区成人高等教育?x?x&&&&&&&&&&&&f(x?h,y)?f(x,y)fx(x,y)?limh?0h&&&&同理可以定义函数z?f(x,y)对自变量y的偏&&&&&&&&?z?f导数，记作，，zy或fy(x,y).?y?y&&&&&&&&f(x,y?h)?f(x,y)fy(x,y)?limh?0h&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&偏导数的求法&&&&&&&&由偏导数的定义可知，求二元函数的偏导数并不需要新的方法&&&&&&&&?f时把求?x&&&&&&&&y&&&&&&&&视为常数而对x求导&&&&&&&&?f求?y&&&&&&&&时把x视为常数而对y求导&&&&&&&&这仍然是一元函数求导问题&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&偏导数的概念可以推广到二元以上函数&&&&如&&&&&&&&u?f(x,y,z)在(x,y,z)处&&&&&&&&f(xx,y,z)?f(x,y,z)fx(x,y,z)?lim,?x?0?xf(x,yy,z)?f(x,y,z)fy(x,y,z)?lim,?y?0?yf(x,y,zz)?f(x,y,z)fz(x,y,z)?lim.?z?0?z&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&一般地&&&&&&&&设&&&&&&&&w?f(x1,x2,?,xn)&&&&?wf(x1,?,xixi,?,xn)?f(x1,?,xi,?,xn)?lim?xi?xi?0?xi&&&&(i?1,2,,n)&&&&&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&例1&&&&&&&&求z?x2?3xy?y2在点(1,2)处的偏导数．?z?z解2x?3y;3x?2y.?x?y?z?x?1?2?1?3?2?8,?xy?2&&&&&&&&?z?y&&&&例2&&&&&&&&x?1y?2&&&&&&&&?&&&&&&&&3?1?2?2?7.&&&&&&&&设z?xy(x?0,x?1)，&&&&&&&&证&&&&&&&&x?z1?z2z.求证y?xlnx?y?z?zy?1?yx,?xylnx,?x?y营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&&&&&x?z1?zxy?11yyx?xlnxy?xlnx?yylnx&&&&&&&&?x?x&&&&y&&&&&&&&y&&&&&&&&?2z.&&&&&&&&原结论成立．&&&&&&&&x?z?z例3设z?arcsin，求，.22?x?yx?y?1x解?z?2?x2?y2?xxx1?2x?y2222x?yy(y2?|y|)223|y|(x?y)&&&&|y|?2.2x?y&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&?zy&&&&&&&&1x1?2x?y2&&&&22&&&&&&&&2&&&&&&&&?x?x2?y2y&&&&&&&&x1x?y(?xy)2sgn2223x?yy|y|(x?y)?z(y?0)不存在．x?0?yy?0&&&&&&&&例4&&&&&&&&已知理想气体的状态方程pV?RT&&&&&&&&?p?V?T1.（R为常数），求证：?V?T?p&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&证&&&&&&&&RTpV&&&&&&&&?pRT2;?VV&&&&&&&&?VRRT?;V?Tpp?TVpV?;T?pRR?p?V?TRTRV2pR?V?T?pVRT1.pV&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&有关偏导数的几点说明：&&&&?u１、偏导数是一个整体记号，不能拆分;?x&&&&２、求分界点、不连续点处的偏导数要用定义求；&&&&&&&&3、&&&&&&&&计算fx(x0,y0)时可先将y=y0代入f(x,y)再对x求导然后代入x=x0&&&&&&&&计算fy(x0,y0)&&&&&&&&时同理&&&&&&&&例如,设z?f(x,y)?&&&&解&&&&&&&&xy,求fx(0,0),fy(0,0).&&&&&&&&|x?0|?0?0?f(0,0).fx(0,0)?lim营口地区成人高等教育QQ群yx?0x&&&&&&&&&&&&4、偏导数的实质仍是一元函数求导问题，具体&&&&求导时要弄清是对哪个变量求导，其余均视为常量，但由于变量较多，易产生混乱-——重要的是区分清函数的类型——这是出错的主要原因。&&&&&&&&5、若f(x,y)=f(y,x)&&&&则称f(x,y)关于x,y具有轮换对称性&&&&&&&&?u?2u,2时在求?y?y&&&&&&&&只需将所求的&&&&&&&&?u?2u,互换即可2中的x,y?x?x营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&&&&&6、偏导数存在与连续的关系&&&&一元函数中在某点可导连续，&&&&&&&&?xy?x2?y2,例如,函数f(x,y)?0,?&&&&&&&&多元函数中在某点偏导数存在&&&&&&&&连续，&&&&&&&&x2?y2?0&&&&,&&&&&&&&x?y?0&&&&22&&&&&&&&依定义知在(0,0)处，fx(0,0)?fy(0,0)?0.&&&&&&&&但函数在该点处并不连续.偏导数存在&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&连续.&&&&&&&&&&&&7、偏导数的几何意义&&&&&&&&设M0(x0,y0,f(x0,y0))为曲面z?f(x,y)上一点,&&&&如图&&&&&&&&几何意义:&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&偏导数fx(x0,y0)就是曲面被平面y?y0所截得的曲线在点M0处的切线M0Tx对x轴的斜率.偏导数fy(x0,y0)就是曲面被平面x?x0&&&&所截得的曲线在点M0处的切线M0Ty对y轴的斜率.&&&&&&&&二、高阶偏导数&&&&函数z?f(x,y)的二阶偏导数为&&&&?z2z?zz?2?fyy(x,y)?2?fxx(x,y),?yyy?xxx纯偏导&&&&2&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&?z2z?zz?fyx(x,y)fxy(x,y),yxx?y?xyy?x混合偏导定义：二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.&&&&2&&&&&&&&例5设z?x3y2?3xy3?xy?1，&&&&&&&&?z?z?z?z?z求2、、、2及3.?x?y?x?x?y?y?x&&&&2&&&&&&&&2&&&&&&&&2&&&&&&&&2&&&&&&&&3&&&&&&&&?z?z?z2232?6xy,3?6y,2?2x?18?x?x?y22?z?z22?6x2y?9y2?1.?6xy?9y?1,?x?y?y?x&&&&23&&&&&&&&2&&&&&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&观察上例中原函数、偏导函数与二阶混合偏导函数图象间的关系：&&&&原函数图形偏导函数图形&&&&&&&&偏导函数图形&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&导二函阶数混图合形偏&&&&&&&&&&&&例6设u?eaxcosby，求二阶偏导数.&&&&&&&&解&&&&&&&&?u?uax?aecosby,?x?y2?2u?u2ax2axbecosby,?aecosby,22?y?x?2u?2uabeaxsinby,abeaxsinby.?x?y?y?x&&&&&&&&问题：&&&&混合偏导数都相等吗？具备怎样的条件才相等？&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&定理如果函数z?f(x,y)的两个二阶混合偏导数&&&&&&&&?2z?2z及在区域D内连续，那末在该区域内这?y?x?x?y&&&&两个二阶混合偏导数必相等．&&&&&&&&例7验证函数u(x,y)?lnx2?y2满足拉普拉斯方程&&&&解?lnx2?y2?1ln(x2?y2),2?uy?ux?2,2,2?yx?y?xx?y2&&&&?2u(x2?y2)?x?2xy2?x2?22,22222?x(x营口地区成人高等教育QQ群?y)?y)(x&&&&&&&&&&&&&&&&?2u(x2?y2)?y?2yx2?y22.222222?y(x?y)(x?y)?2u?2uy2?x2x2?y2?0.?2?2?2?222?x?y(x?y)(x?y2)2&&&&&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&三、小结&&&&偏导数的定义（偏增量比的极限）偏导数的计算、偏导数的几何意义纯偏导混合偏导（相等的条件）&&&&&&&&高阶偏导数&&&&&&&&思考题&&&&若函数f(x,y)在点P0(x0,y0)连续，能否断定f(x,y)在点P0(x0,y0)的偏导数必定存在？&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&思考题解答&&&&不能.&&&&例如,&&&&f(x,y)?x2?y2,&&&&&&&&在(0,0)处连续,&&&&但&&&&&&&&fx(0,0)?fy(0,0)不存在.&&&&&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&练习题&&&&一、填空题:&&&&?zx?z1、设z?lntan,则?________;?_________.?xy?y?z?zxy?_______;?________.2、设z?e(x?y),则?x?yy?u?uzu?x,则?__________;?__________;3、设?x?y?u?____________.?z?2z?2zy4、设z?arctan,则2?________;2?_______;?x?yx?2z?____________.?x?y&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&xz?2u?__________.5、设u?(),则y?z?y二、求下列函数的偏导数:1、z?(1?xy)y；2、u?arctan(x?y)z.?x2?y2?z?x三、曲线?,在点(2,4,5)处的切线与正向4?y?4?轴所成的倾角是多少2z?2z?2zx.四、设z?y,求2,2和?x?y?x?y?3z?3z五、设z?xln(xy),求2和2.?x?y?x?y&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&六、验证:&&&&?z?z?y2?2z；?x?yr?x2?y2?z2满足2、?2r?2r?2rz?2?2?.2r?x?y?z七、设yx?22?xarctan?yarctan,xy?0xyf(x,y)?0,xy?0?求fx,fxy.&&&&&&&&1、z?e&&&&&&&&11?(?)xy&&&&&&&&,满足x2&&&&&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&练习题答案&&&&22x2x2x一、1、csc,?2csc；yyyy2、exy(xy?y2?1),exy(xy?x2?1)；yyyyz?11zyz3、x,xlnx,?2xlnx；zzz2xy2xyy2?x2,?2,24、2；222222(x?y)(x?y)(x?y)xz1zx5、?()(?ln).yyyy二、1、?zxy?2y?1?zyy(1?xy),?(1?xy)?ln(1?xy);?x?y1?xy&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&?三、.4&&&&&&&&?uz(x?y)z?1?u?z(x?y)z?1?,2、?,2z2z?x1?(x?y)?y1?(x?y)?u(x?y)ln(x?y)?.2z?z1?(x?y)&&&&&&&&?2z?2zx2x?2四、2?ylny,2?x(x?1)y,?x?y?2z?yx?1(xlny?1).?x?y?3z?3z1?0,2.五、2?x?y?x?y2y&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&y2xarctanx?y,xy?0?七、fx?y,x?0,y?0,?0,x?y?0;x?0,y?01,x?0?2x?y2?fxy2,xy?0.2?x?y?1,x?0,y?0?&&&&&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&全微分&&&&&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&一、全微分的定义&&&&由一元函数微分学中增量与微分的关系得&&&&&&&&f(xx,y)?f(x,y)?fx(x,y)?x&&&&&&&&f(x,yy)?f(x,y)?fy(x,y)?y&&&&二元函数对x和对y的偏增量&&&&&&&&二元函数对x和对y的偏微分&&&&&&&&全增量的概念&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&f(xx,yy)?f(x,y)?为函数在点P对应于自变量增量?x,?y的全增量，记为z，即?z=f(xx,yy)?f(x,y)?一般来讲，全增量z与?x,?y的相依关系是比较复杂的，因此我们希望能象一元函数的微分那样，用?x,?y的线性函数A?x?B?y来近似表&&&&示，并给出误差估计。由此引出如下定义：&&&&&&&&如果函数z?f(x,y)在点(x,y)的某邻域内有定义，并设P?(xx,yy)为这邻域内的任意一点，则称这两点的函数值之差&&&&&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&全微分的定义&&&&如果函数z?f(x,y)在点(x,y)的全增量?z?f(xx,yy)?f(x,y)可以表示为?z?A?x?B?y?o(?)，其中A,B不依赖于&&&&&&&&?x,?y而仅与x,y有关，(?x)2?(?y)2，则称函数z?f(x,y)在点(x,y)可微分，A?x?B?y称为函数z?f(x,y)在点(x,y)的全微分，记为dz，即dz=A?x?B?y.&&&&函数若在某区域D内各点处处可微分，则称这函数在D内可微分.&&&&如果函数z?f(x,y)在点(x,y)可微分,则函数在该点连续.营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&&&&&事实上&&&&?z?A?x?B?y?o(?),&&&&?x?0?y?0&&&&&&&&lim?z?0,&&&&0&&&&&&&&limf(xx,yy)&&&&0&&&&&&&&?lim[f(x,y)z]&&&&&&&&?f(x,y)&&&&故函数z?f(x,y)在点(x,y)处连续.&&&&&&&&二、可微的条件&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&定理1（必要条件）如果函数z?f(x,y)在点&&&&&&&&?z(x,y)可微分，则该函数在点(x,y)的偏导数、?x?z必存在，且函数z?f(x,y)在点(x,y)的全微分?y&&&&?z?zdzxy．?x?y证如果函数z?f(x,y)在点P(x,y)可微分,&&&&&&&&为&&&&&&&&P?(xx,yy)?P的某个邻域&&&&&&&&?z?A?x?B?y?o(?)&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&总成立,&&&&&&&&&&&&当?y?0时，上式仍成立，此时|?x|,f(xx,y)?f(x,y)?Ax?o(|?x|),&&&&f(xx,y)?f(x,y)?zlim?A?,?x?0?x?x&&&&?zB?.同理可得?y一元函数在某点的导数存在&&&&&&&&微分存在．&&&&&&&&多元函数的各偏导数存在全微分存在．?xyx2?y2?0?2例如x?y2f(x,y).?营口地区成人高等教育x2?y2?0?QQ群&&&&&&&&&&&&在点(0,0)处有&&&&&&&&fx(0,0)?fy(0,0)?0&&&&?z?[fx(0,0)x?fy(0,0)y]&&&&?xy?,22(?x)?(?y)&&&&&&&&(如果考虑点P?(?x,?y)沿着直线y?x趋近于0,0)，&&&&则&&&&&&&&?xy(?x)2?(?y)2?&&&&&&&&?&&&&&&&&1?xx?,222(?x)?(?x)&&&&&&&&说明它不能随着0而趋于0,当0时&&&&&&&&?z?[fx(0,0)x?fy(0,0)y]?o(?),&&&&函数在点(0,0)处不可微.营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&&&&&说明：多元函数的各偏导数存在并不能保证全微分存在，定理２（充分条件）如果函数z?f(x,y)的偏&&&&&&&&?z?z(导数、在点(x,y)连续，则该函数在点x,y)?x?y&&&&可微分．&&&&&&&&证?z?f(xx,yy)?f(x,y)&&&&&&&&?[f(xx,yy)?f(x,yy)]&&&&?[f(x,yy)?f(x,y)],&&&&&&&&在第一个方括号内，应用拉格朗日中值定理&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&f(xx,yy)?f(x,yy)&&&&&&&&?fx(x1?x,yy)?x&&&&其中?1为?x,?y的函数,&&&&&&&&(01?1)&&&&&&&&?fx(x,y)?x1?x（依偏导数的连续性）&&&&且当?x?0,?y?0时，?1?0.&&&&&&&&同理&&&&&&&&f(x,yy)?f(x,y)&&&&&&&&?fy(x,y)?y2?y,当?y?0时，?2?0,?z?fx(x,y)?x1?x?fy(x,y)?y2?y&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&?1?x2?y012?0,?故函数z?f(x,y)在点(x,y)处可微.&&&&习惯上，记全微分为dzzdxzdy.?x?y通常我们把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这件事称为二元函数的微分符合叠加原理．全微分的定义可推广到三元及三元以上函数?u?u?udu?dx?dy?dz.?x?y?z叠加原理也适用于二元以上函数的情况．营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&&&&&?z?zxy解?xexy,?ye,?y?x?z?z22?e,?2e,?x(2,1)?y(2,1)&&&&所求全微分&&&&&&&&例1计算函数z?exy在点(2,1)处的全微分.&&&&&&&&dz?e2dx?2e2dy.&&&&&&&&?例2求函数z?ycos(x?2y)，当x?，y，4&&&&&&&&?dx?，dy时的全微分.4营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&&&&&解&&&&&&&&?z?cos(x?2y)?2ysin(x?2y),?y2?z?z?(4?7?).dz(?,?)?dx?dy?8?x(?,?)?y(?,?)4&&&&44&&&&&&&&?zysin(x?2y),?x&&&&&&&&y例3计算函数u?x?sin?eyz的全微分.2?u?u1y?uyzyz解?ye,?cos?ze,?1,?z?x?y22&&&&&&&&1y所求全微分du?dx?(cos?zeyz)dy?yeyzdz.22营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&&&&&例4&&&&&&&&试证函数&&&&&&&&1?,(x,y)?(0,0)?xysin22x?y在f(x,y)?0,(x,y)?(0,0)?&&&&点(0,0)连续且偏导数存在，但偏导数在点(0,0)不连续，而f在点(0,0)可微.&&&&&&&&思路：按有关定义讨论；对于偏导数需分&&&&&&&&(x,y)?(0,0)，(x,y)?(0,0)讨论.&&&&证令&&&&xcos?,ysin?,&&&&&&&&则&&&&&&&&1limxysin2(x,y)?(0,0)营口地区成人高等教育QQ群x?y2&&&&&&&&&&&&&&&&?lim?sin?cossin&&&&2&&&&&&&&1&&&&&&&&?0?f(0,0),故函数在点(0,0)连续,&&&&&&&&0&&&&&&&&?&&&&&&&&f(?x,0)?f(0,0)0?0limfx(0,0)x?0?lim?0,?x?x?0?x&&&&同理&&&&&&&&fy(0,0)?0.&&&&&&&&当(x,y)?(0,0)时，&&&&&&&&1x2y1fx(x,y)?ysin?cos2,222232x?y(x?y)x?y&&&&&&&&(当点P(x,y)沿直线y?x趋于0,0)时,营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&&&&&(x,x)?(0,0)&&&&&&&&lim&&&&&&&&fx(x,y)&&&&3&&&&&&&&?1x1lim?xsin?cos?,不存在.3x?02|x|22|x|2|x|所以fx(x,y)在(0,0)不连续.&&&&同理可证fy(x,y)在(0,0)不连续.&&&&&&&&?f?f(?x,?y)?f(0,0)1xy?sin22(?x)?(?y)&&&&&&&&?o((?x)2?(?y)2)&&&&故f(x,y)在点(0,0)可微&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&多元函数连续、可导、可微的关系函数连续函数可导&&&&&&&&函数可微偏导数连续&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&三、小结&&&&１、多元函数全微分的概念；２、多元函数全微分的求法；&&&&&&&&３、多元函数连续、可导、可微的关系．&&&&（注意：与一元函数有很大区别）&&&&&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&思考题&&&&函数z?f(x,y)在点(x0,y0)处可微的充分条件是:（1）f(x,y)在点(x0,y0)处连续；（2）fx(x,y)、fy(x,y)在点(x0,y0)的某邻域存在；（3）?z?fx(x,y)?x?fy(x,y)?y，当(?x)?(?y)?0时是无穷小量；&&&&22&&&&&&&&?&&&&&&&&?&&&&&&&&?&&&&&&&&?&&&&&&&&（4）&&&&&&&&?z?fx(x,y)?x?fy(x,y)?y&&&&22&&&&&&&&?&&&&&&&&?&&&&&&&&(?x)?(?y)22当(?x)?(?y)?0时是无穷小量.营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&,&&&&&&&&&&&&一、填空题:1、设z?e,则&&&&yx&&&&&&&&练习题&&&&?z?_____________；?x&&&&&&&&?zdz?____________；?____________.?y2222、若u?ln(x?y?z),则du?_____________________________.y3、若函数z?,当x?2,y?1,?x?0.1,?y0.2时,xdz函数的全增量?z?_______;全微分?________.xz对x4、若函数z?xy?,则的偏增量y?xz?___________;lim?xz?______________.?x?0?x&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&二、求函数z?ln(1?x2?y2)当x?1,y?2时的全微分.33三、计算(1.02)?(1.97)的近似值.四、设有一无盖园柱形容器,容器的壁与底的厚度均为0.1cm，内高为20cm,内半径为cm,求容器外壳体4积的近似值.五、测得一块三角形土地的两边边长分别为63?0.1m和78?0.1m60?10.试求三角形面积,这两边的夹角为的近似值,并求其绝对误差和相对误差.六、利用全微分证明:乘积的相对误差等于各因子的相对误差之和;商的相对误差等于被除数及除数的相对误差之和.&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&七、求函数1?2(x?y2)sin,x2?y2?0x2?y2f(x,y)?0,x2?y2?0的偏导数,并研究在点(0,0)处偏导数的连续性及函数f(x,y)的可微性.&&&&&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&练习题答案&&&&yx1x1xy一、1、?2e,e,?e(dx?dy)；xxxx2(xdx?ydy?zdz)2、；3、-0.119,-0.125；222x?y?z114、(y?)?x,y?.yy.二、dx?dy.三、2.95.四、,27.6m2,1.30%.五、七、fx?(x,y),fy?(x,y)在(0,0)处均不连续,f(x,y)在点(0,0)处可微.&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&yyy&&&&&&&&&&&&隐函数的求导法则&&&&一、一个方程的情形&&&&1.F(x,y)?0&&&&隐函数存在定理1设函数F(x,y)在点P(x0,y0)的某一邻域内具有连续的偏导数，且F(x0,y0)?0，Fy(x0,y0)?0，则方程F(x,y)?0在点P(x0,y0)的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数y?f(x)，它满足条件y0?f(x0)，并有&&&&&&&&dyFx.dxFy&&&&&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&例１验证方程x2?y2?1?0在点(0,1)的某邻域内能唯一确定一个单值可导、且x?0时y?1的隐函数y?f(x)，并求这函数的一阶和二阶导数在x?0的值.解令F(x,y)?x2?y2?1&&&&&&&&则Fx?2x,F?2y,y&&&&F(0,1)?0,&&&&22&&&&&&&&Fy(0,1)?2?0,&&&&&&&&依定理知方程x?y?1?0在点(0,1)的某邻域内能唯一确定一个单值可导、且x?0时y?1的函数y?f(x)．&&&&&&&&函数的一阶和二阶导数为&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&dy?0,dxx?0?x?y?x?2dyy?xy?y?1,?2322ydxyy2dy1.2dxx?0&&&&dyFxdxFy&&&&dyy例2已知lnx?y?arctan，求.xdx&&&&22&&&&&&&&x,y&&&&&&&&解&&&&&&&&令&&&&&&&&yF(x,y)?lnx?y?arctan,x营口地区成人高等教育QQ群&&&&22&&&&&&&&&&&&&&&&则Fx(x,y)?x?y2,F(x,y)?y?x,yx2?yx2?y2dyFxx?y.dxFyy?x&&&&&&&&2.F(x,y,z)?0&&&&&&&&隐函数存在定理2设函数F(x,y,z)在点P(x0,y0,z0)的某一邻域内有连续的偏导数，且F(x0,y0,z0)?0，Fz(x0,y0,z0)?0，则方程F(x,y,z)?0在点P(x0,y0,z0)的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数z?f(x,y)，它满足条件z0?f(x0,y0)，并有&&&&&&&&Fy?zFx?z营口地区成人高等教育QQ群.，?xFz?yFz&&&&&&&&&&&&u?F(r,s),r?x,s?y(x)&&&&u?F(x,y,z),z?z(x,y)&&&&&&&&r&&&&u&&&&x&&&&&&&&s&&&&x&&&&&&&&u&&&&&&&&y&&&&&&&&x&&&&y&&&&&&&&z&&&&?z例3设x?y?z?4z?0，求2.?x&&&&2&&&&&&&&2&&&&&&&&2&&&&&&&&2&&&&&&&&解&&&&&&&&令&&&&&&&&F(x,y,z)?x?y?z?4z,&&&&222&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&则Fx?2x,Fz?2z?4,&&&&&&&&?2z?x2&&&&&&&&?zx(2?z)?x(2?z)?xx?2?z?2(2?z)2(2?z)&&&&(2?z)2?x2?.3(2?z)&&&&&&&&?zFxx?,?xFz2?z&&&&&&&&?z?x?y例4设z?f(x?y?z,xyz)，求，，.?x?y?z思路：?z把z看成x,y的函数对x求偏导数得，?x?x把x看成z,y的函数对y求偏导数得，?y?y营口地区成人高等教育QQ群把y看成x,z的函数对z求偏导数得.?z&&&&&&&&&&&&解令u?x?y?z,则&&&&&&&&v?xyz,&&&&&&&&z?f(u,v),&&&&&&&&把z看成x,y的函数对x求偏导数得&&&&&&&&?z?z?f?(yz?xy?z),?fu?(1?)v?x?x?x?zfu?yzfv?,整理得?x1?fu?xyfv&&&&&&&&把x看成z,y的函数对y求偏导数得&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&?x?x0?fu?(?1)?fv?(xz?yz),?y?y整理得?xfu?xzfv,?yfu?yzfv&&&&&&&&z把y看成x,z的函数对求偏导数得?y?y1?fu?(?1)?fv?(xy?xz),?z?z?y1?fu?xyfv?.整理得?zfu?xzfv&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&二、方程组的情形&&&&1、对于方程组&&&&怎样求偏导数&&&&&&&&?&&&&&&&&F(x,y,z)?0?(x,y,z)?0&&&&&&&&首先应明确这个方程组确定了几个几元隐函数当x给定以后相当于解含关于y,z的方程组如果有解且唯一则对于不同的x就完全确定了y,z故方程组确定了两个一元隐函数y=y(x),z=z(x)&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&怎样求&&&&&&&&dydz,dxdx&&&&&&&&F(x,y,z)?0两边对x求导&&&&&&&&注意左边是复合函数（三个中间变量），&&&&&&&&dydzFx?FyFz0dxdx&&&&&&&&同理&&&&&&&&dydz?xy?z0dxdxFyFz若则J0?y?z&&&&&&&&dz1FyFxdy1FxFz,dxdxJ?x?z营口地区成人高等教育QQ群J?y?x&&&&&&&&&&&&&&&&2、&&&&&&&&?F(x,y,u,v)?0G(x,y,u,v)?0&&&&&&&&隐函数存在定理3设F(x,y,u,v)、G(x,y,u,v)在点P(x0,y0,u0,v0)的某一邻域内有对各个变量的连续偏导数，且F(x0,y0,u0,v0)?0,G(x0,y0,u0,v0)?0，且偏导数所组成的函数行列式（或称雅可比式）&&&&&&&&?F?(F,G)?uJ?(u,v)?G?u&&&&&&&&?F?v?G?v&&&&&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&在点P(x0,y0,u0,v0)不等于零，则方程组F(x,y,u,v)?0、G(x,y,u,v)?0在点P(x0,y0,u0,v0)的某一邻域内恒能唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数的函数u?u(x,y)，v?v(x,y)，它们满足条件u0?u(x0,y0),v0?v(x0,y0)，并有&&&&FxGx?u1?(F,G)Fu?xJ?(x,v)GuFvGv,FvGv&&&&&&&&FuFx?v1?(F,G)GuGx?xJ?(u,x)&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&Fu&&&&&&&&Fv&&&&&&&&GuGv&&&&&&&&&&&&Fy?u1?(F,G)Gy?yJ?(y,v)&&&&&&&&FvGv&&&&&&&&FuGu&&&&&&&&Fv,Gv&&&&&&&&Fu?v1?(F,G)Gu?yJ?(u,y)&&&&例5&&&&&&&&FyGy&&&&&&&&FuGu&&&&&&&&Fv.Gv&&&&&&&&设xu?yv?0，yu?xv?1，&&&&&&&&?u?u?v?v求，，和.?x?y?x?y&&&&直接代入公式；&&&&&&&&解1&&&&&&&&解2运用公式推导的方法，将所给方程的两边对x求导并移项&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&u?x?x?y?u?x&&&&&&&&?vyu?x,?vxv?x&&&&&&&&J?&&&&&&&&x?yyx&&&&&&&&?x?y,&&&&22&&&&&&&&在J?0的条件下，&&&&&&&&?u?y&&&&&&&&?u?vxxu?yv?vy?v?x?yx2?y2,?x?x?y?xyxyx&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&x?u&&&&&&&&yu?xv?22,x?y&&&&&&&&&&&&将所给方程的两边对y求导，用同样方法得&&&&&&&&?uxv?yu?22,?yx?y&&&&&&&&?vxu?yv22.?yx?y&&&&&&&&注&&&&&&&&这组公式不太好记，具体做题时应用的是其基本思想&&&&&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&关于隐函数求二阶偏导数&&&&以F(x,y,z)?0为例，主要有三种方法：&&&&&&&&①公式法&&&&&&&&13[FxxFz2?2FxzFxFz?FzzFx2]Fz&&&&?2z?2z类似地可求得,2?x?y?y②直接法方程两边连续求导两次&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&(Fx)Fz?Fx(Fz)?2z?xx2Fz2&&&&&&&&?zFx,?xFz&&&&&&&&&&&&?zFx?Fz0?x&&&&&&&&?z?z2?zFxx?2FxzFzz()?Fz2?0?x?x?x&&&&2&&&&&&&&1z?3[FxxFz2?2FxzFxFz?FzzFx2]解得：2Fzx?&&&&2&&&&&&&&两种方法相比，法二较简便，因为可避免商的求导运算，尤其是在求指定点的二阶偏导数时，毋须解出一阶偏导数而是将其具体数值代入即可求得二阶偏导数，使运算大为简化。`&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&③全微分法&&&&利用全微分形式不变性，在所给的方程两边直接求全微分&&&&&&&&dz?Adx?Bdy则&&&&&&&&?z?zA?,Bx?y&&&&&&&&这样一次就可求得全部的一阶偏导数。&&&&&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&三、小结&&&&隐函数的求导法则（分以下几种情况）&&&&&&&&(1)F(x,y)?0&&&&(2)F(x,y,z)?0&&&&&&&&?F(x,y,z)?0(3)?(x,y,z)?0&&&&?F(x,y,u,v)?0(4)G(x,y,u,v)?0&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&思考题&&&&xy已知()，其中?为可微函数，zz?z?z求x?y?x?y&&&&&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&思考题解答&&&&xy记F(x,y,z)?(),zz&&&&y1Fy()?,zz&&&&&&&&?xy(?y)Fz?2?()?2,zzz&&&&&&&&?zFxz?,?xFzx?y(y)z&&&&&&&&?z?z于是x?y?z.?x?y&&&&&&&&y?z()Fy?zz,yFzx?y(y)z&&&&&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&练习题&&&&一、填空题:&&&&y1、设lnx2?y2?arctan,则xdy?___________________________.dxxz2、设z?y,则?z?___________________________,?x?z?___________________________.?y2sin(x?2y?3z)?x?2y?3z,二、设?z?z?1.证明：x?y&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&t三、如果函数f(x,y,z)对任何恒满足关系式f(tx,ty,tz)?tkf(x,y,z),则称函数f(x,y,z)为k次齐次函数,试证:k次齐次函数满足方程?f?f?fx?y?z?kf(x,y,z).?x?y?z?2z.四、设z3?3xyz?a3,求?x?y五、求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数:?z?x2?y2dydz1、设?2,求,.22dxdx?x?2y?3z?20?u?f(ux,v?y)?u?v2、设?，求,.2?x?x?v?g(u?x,vy)f,g（其中具有一阶连续偏导数）&&&&&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&?u?f(x,y)?六、设函数u(x)由方程组?g(x,y,z)?0所确定,?h(x,z)?0g?hdu?0,?0,求.(f,g,h均可微)且?y?zdxt七、设y?f(x,t),而是由方程F(x,y,t)?0所确定的x,y的函数,求dy.dxxzz?z(x,y)八、设由方程F(x?,y?)=0所确定,yx?z?z证明:x?y?z?xy.?x?y&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&练习题答案&&&&?zxlnzx?y一、1、；2、x?1；zx?yxz?ylnyzyz?13、x?1.zxz?ylny?2zz(z4?2xyz2?x2y2)?四、.23?x?y(z?xy)dy?x(6z?1)dzx,?五、1、?；dx2y(3z?1)dx3z?1uf1?(2yvg1)?f2g1?u22、?,x(xf11)(2yvg1)?f2g12?g1(xf1uf11)?v?.x(xf11)(2yvg1)?f2g12&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&dufxg?xfygh?zx?fx?六、?dxg?yg?y?hzfx?g?yhz?fx?g?xhz?fy?g?h?zx?.?g?yhz&&&&dyFtfxFxft?七、?.dxFtFyft?&&&&&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&多元函数极值&&&&一、多元函数的极值和最值&&&&观察二元函数zxye&&&&x2?y2&&&&&&&&的图形&&&&&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&1、二元函数极值的定义&&&&设函数z?f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内有定义，对于该邻域内异于(x0,y0)的点(x,y)：若满足不等式f(x,y)?f(x0,y0)，则称函数在(x0,y0)有极大值；若满足不等式f(x,y)?f(x0,y0)，则称函数在(x0,y0)有极小值；极大值、极小值统称为极值.使函数取得极值的点称为极值点.&&&&函数z?3x2?4y2在(0,0)处有极小值．&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&(1)&&&&&&&&&&&&函数zx?y&&&&2&&&&&&&&2&&&&&&&&(2)&&&&&&&&在(0,0)处有极大值．&&&&&&&&函数z?xy在(0,0)处无极值．&&&&(3)&&&&&&&&2、多元函数取得极值的条件&&&&定理1（必要条件）设函数z?f(x,y)在点(x0,y0)具有偏导数，且在点(x0,y0)处有极值，则它在该点的偏导数必,y0)?0，f然为零：fx(x0营口地区成人高等教育QQ群y(x0,y0)?0.&&&&&&&&&&&&&&&&证不妨设z?f(x,y)在点(x0,y0)处有极大值,&&&&则对于(x0,y0)的某邻域内任意(x,y)?(x0,y0)都有f(x,y)?f(x0,y0),&&&&故当y?y0，x?x0时，有f(x,y0)?f(x0,y0),&&&&说明一元函数f(x,y0)在x?x0处有极大值,&&&&必有&&&&&&&&fx(x0,y0)?0;&&&&&&&&类似地可证&&&&&&&&fy(x0,y0)?0.&&&&&&&&推广如果三元函数u?f(x,y,z)在点P(x0,y0,z0)具有偏导数，则它在P(x0,y0,z0)有极值的必要条件为fx(x0,y0,z0)?0，fy(x0,y0,z0)?0，营口地区成人高等教育fz(x0,y0,z0)?0.QQ群&&&&&&&&&&&&仿照一元函数，凡能使一阶偏导数同时为零的点，均称为函数的驻点.注意：驻点极值点&&&&&&&&例如,点(0,0)是函数z?xy的驻点，但不是极值点.&&&&问题：如何判定一个驻点是否为极值点？&&&&&&&&定理2（充分条件）设函数z?f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域内连续，有一阶及二阶连续偏导数，fy(x0,y0)?0，又fx(x0,y0)?0,令fxx(x0,y0)?A，fxy(x0,y0)?B，&&&&&&&&fyy(x0,y0)?C，&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&则f(x,y)在点(x0,y0)处是否取得极值的条件如下：（1）AC?B2?0时具有极值，当A?0时有极大值，当A?0时有极小值；&&&&&&&&AC?B2?0时没有极值；（2）&&&&2（3）AC?B?0时可能有极值,也可能没有极值，&&&&&&&&还需另作讨论．&&&&例1求由方程x2?y2?z2?2x?2y&&&&&&&&?4z?10?0确定的函数z?f(x,y)的极值&&&&&&&&解将方程两边分别对x,y求偏导&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&?2x?2z?z2?4z0xx2y?2z?z?y?2?4z?y?0&&&&由函数取极值的必要条件知,&&&&&&&&驻点为P(1,?1),&&&&&&&&将上方程组再分别对x,y求偏导数,将P(1,?1)代入原方程,&&&&&&&&1A?z|P?,xx2?z&&&&2&&&&&&&&1?0(z?2),故B?AC2(2?z)有z12,z2?6,将P(1,?1)代入原方程,1当z12时，A0,4营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&1?B?z|P?0,C?z?yy|P?,xy2?z&&&&&&&&&&&&所以z?f(1,?1)2为极小值；&&&&&&&&1当z2?6时，A?0,所以z?f(1,?1)?6为极大值.4&&&&求函数z?f(x,y)极值的一般步骤：&&&&第一步解方程组&&&&&&&&fx(x,y)?0,&&&&&&&&fy(x,y)?0&&&&&&&&求出实数解，得驻点.第二步对于每一个驻点(x0,y0)，&&&&求出二阶偏导数的值A、B、C.&&&&第三步定出AC?B的符号，再判定是否是极值.&&&&2&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&3、多元函数的最值&&&&与一元函数相类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值.&&&&&&&&求最值的一般方法&&&&设f(x,y)在D上连续，D内可微且在D内至多有有限个驻点,这时若f(x,y)在D内取得最值,则这个最值也一定是极值故一般方法是将函数在D内的所有驻点处的函数值及在D的边界上的最大值和最小值相互比较，其中最大者即为最大值，最小者即为最小值.营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&&&&&在实际问题中，往往根据问题的性质就可以断定函数在区域内部确有最大值（最小值），这时如果函数在区域内只有一个驻点，则可以断定该点处的函数值就是函数在区域上的最大值（最小值）2例2求二元函数z?f(x,y)?xy(4?x?y)y在直线x?y?6，x轴和轴所围成的闭区域D上的最大值与最小值.解如图,&&&&y&&&&&&&&先求函数在D内的驻点，&&&&x?y?6&&&&&&&&D&&&&营口地区成人高等教育QQ群x&&&&&&&&D&&&&o&&&&&&&&&&&&解方程组?fx(x,y)?2xy(4?x?y)?x2y?0?&&&&&&&&(x,y)?x2(4?x?y)?x2y?0?fy得区域D内唯一驻点(2,1),且f(2,1)?4,&&&&D再求f(x,y)在边界上的最值，&&&&在边界x?0和y?0上f(x,y)?0,&&&&y&&&&&&&&在边界x?y?6上，即y?6?x&&&&o&&&&&&&&x?y?6&&&&x&&&&&&&&2?于是f(x,y)?x(6?x)(?2)由fx?4x(x?6)?2x?0,,&&&&2&&&&&&&&得x1?0,x2?4?y?6?x|x?4?2,f(4,2)64,&&&&比较后可知f(2,1)?4为最大值,f(4,2)64为最小值.&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&x?y例3求z?2的最大值和最小值.2x?y?1&&&&解&&&&由zx?&&&&(x?y?1)?2x(x?y)?0,222(x?y?1)&&&&2222&&&&&&&&(x?y?1)?2y(x?y)zy0,222(x?y?1)&&&&&&&&1111,)和(?,?),得驻点(2222x?y?0因为lim22xx?y?1y&&&&即边界上的值为零.&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&111z(,)?,222&&&&&&&&111z(?,?),222&&&&&&&&11所以最大值为，最小值为?.22&&&&&&&&无条件极值：对自变量除了限制在定义域内&&&&外，并无其他条件.&&&&&&&&二、条件极值与拉格朗日乘数法&&&&条件极值：对自变量有附加条件的极值．&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&拉格朗日乘数法要找函数z?f(x,y)在条件?(x,y)?0下的可能极值点，先构造函数F(x,y)?f(x,y)?(x,y)，其中?为某一常数，可由&&&&&&&&?fx(x,y)?x(x,y)?0,fy(x,y)?y(x,y)?0,(x,y)?0.?解出x,y,?，其中x,y就是可能的极值点的坐标.&&&&&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&一些较简单的条件极值问题可以把它转化为无条件极值来求解——降元法，但这种方法需要经过解方程和代入的手续，对于较复杂的方程就不容易作到，有时甚至是不可能的&&&&解决条件极值问题的一般方法是Lagrange乘数法——升元法求z=f(x,y)在条件?(x,y)?0下的极值其几何意义是&&&&&&&&在曲线L:?(x,y)?0上求一点(x0,y0)&&&&&&&&使&&&&&&&&f(x,y)?f(x0,y0)或&&&&&&&&&&&&f(x,y)?f(x0,y0)&&&&&&&&其中点(x,y营口地区成人高等教育QQ群)在曲线L上&&&&&&&&&&&&假定点P(x0,y0)为条件极值点&&&&在(x0,y0)的某个邻域内&&&&&&&&f(x,y)可微&&&&&&&&?x,?y连续且不同时为0不妨设?y?0&&&&于是?(x,y)?0确定了一个隐函数y=y(x)&&&&故z=f[x,y(x)]在P(x0,y0)处取得极值&&&&故&&&&&&&&dz即P?0dxfx(x0,y0)?fy(x,y0)y?(x0)?0&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&又由隐函数的微分法知&&&&&&&&dy?x(x0,y0)Pdx?y(x0,y0)&&&&&&&&&&&&代入上式&&&&&&&&fy(x0,y0)fx(xo,yo)x(x0,y0)?0?y(x0,y0)fy(x0,y0)令?得?y(x0,y0)&&&&P(x0,y0)为条件极值点的必要条件为&&&&&&&&fx(x0,y0)?x(x0,y0)?0fy(x0,y0)?y(x0,y0)?0&&&&&&&&?(x0,y0)?0&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&z&&&&&&&&z=f(x,y)&&&&&&&&o&&&&&&&&..&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&y&&&&L&&&&&&&&x&&&&&&&&P条件极值点&&&&&&&&M无条件极值点&&&&&&&&&&&&拉格朗日乘数法可推广到自变量多于两个的情况：要找函数u?f(x,y,z,t)在条件?(x,y,z,t)?0，?(x,y,z,t)?0下的极值，先构造函数F(x,y,z,t)?f(x,y,z,t)1?(x,y,z,t)2?(x,y,z,t)其中?1,?2均为常数，可由偏导数为零及条件解出x,y,z,t，即得极值点的坐标.&&&&&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&例4&&&&&&&&xyz求内接于椭球2?2?2?1abc&&&&&&&&2&&&&&&&&2&&&&&&&&2&&&&&&&&的最大长方体的体积,长方体的各面平行于坐标面&&&&&&&&解一设内接于椭球且各面平行于坐标面的长方体在第一卦限的顶点的坐标为(x,y,z)则长方体的体积为V=8xyz&&&&&&&&xyz令F?xyz(?1)222abc&&&&2xFx?yz2?0a2zFz?xy2?0c&&&&&&&&2&&&&&&&&2&&&&&&&&2&&&&&&&&2yFy?xz2?0bx2y2z22?2?2?1abc营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&&&&&三式相加得3xyz2?&&&&&&&&abc解得x?,y?,z?3332x2y或yz?2xz?2ab22222xzybxxy两式相除?2?2?2同理2?2xayabac&&&&即&&&&&&&&x2y2z22?2?2abc&&&&&&&&abc,y?,z?代入解得x?333&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&解二&&&&&&&&任意固定z0(0z0c)&&&&&&&&先在所有高为2z0的长方体中求体积最大者&&&&&&&&因为高是固定的，故当底面积最大时体积最大&&&&今上底面为内接于椭圆&&&&&&&&x&&&&&&&&22&&&&&&&&边平行于x,y轴的长方形当长方形的边长分别为&&&&222z02z02?a1?2,2?营口地区成人高等教育QQ群b1?2（一元函数极值问题）22cc&&&&&&&&2?z0a1?2?cz?z0&&&&&&&&?&&&&&&&&y&&&&&&&&22&&&&&&&&2?z0b1?2?c&&&&&&&&?1&&&&&&&&&&&&长方形面积最大&&&&得到高为2z0的长方体中最大体积为22z0z0V(z0)?4ab(1?2)z0V?(z0)?4ab(1?32)cccz0?V(z0)最大3abc这时长方体在第一卦限的顶点的坐标为(,,)&&&&xyz作变换X?,Y?,Z?abc222问题变成在X?Y?Z?1下求XYZ的最大值1易知为立方体?X?Y?Z?abc3?x?,y?营口地区成人高等教育QQ群,z?&&&&&&&&3&&&&&&&&3&&&&&&&&3&&&&&&&&解三&&&&&&&&&&&&解四即求x?y?z的最大值222&&&&&&&&2&&&&&&&&2&&&&&&&&2&&&&&&&&a&&&&&&&&bc&&&&&&&&而此三个正数的和一定（=1）&&&&&&&&x2y2z21abc当2?2?2?积最大?x?,y?,z?333abc3&&&&x2y2z2例5在第一卦限内作椭球面2?2?2?1的abc&&&&切平面，使切平面与三个坐标面所围成的四面体体积最小，求切点坐标.&&&&&&&&解设P(x0,y0,z0)为椭球面上一点,&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&xyz令F(x,y,z)?2?2?2?1,abc&&&&&&&&2&&&&&&&&2&&&&&&&&2&&&&&&&&2y02z02x0则Fx|P?2，Fy|P?2，Fz?|P?2abc&&&&&&&&过P(x0,y0,z0)的切平面方程为y0z0x0(x?x0)?2(y?y0)?2(z?z0)?0,2cab&&&&该切平面在三个轴上的截距各为222&&&&&&&&x?x0y?y0z?z0化简为?2?2?1,2abc&&&&&&&&bcax?，y?，z?,z0y0x01a2b2c2所围四面体的体积V?xyz?,营口地区成人高等教育QQ群x0y0z0&&&&&&&&&&&&xyz?1下求V的最小值,在条件abc&&&&令u?lnx0?lny0?lnz0,&&&&&&&&202&&&&&&&&202&&&&&&&&202&&&&&&&&G(x0,y0,z0)&&&&222x0y0z0?lnx0?lny0?lnz0(2?2?2?1),abc&&&&&&&&G0,G0,Gz?0xy?222,由?xy0y00?2?2?2?1?0?abc&&&&000&&&&&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&?12?x0a?x?a2?0x0?0?3?1?2?y0?0b，?y可得y0?b2?03?即c?1?2?z0?0z0?2?z03c?222x0y0z0当切点坐标为?2?1?0?a2b2c?abc(，，)时,333&&&&四面体的体积最小Vmin&&&&&&&&3?abc.2&&&&&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&例6将给定的正数m分成三个非负数x,y,z之和&&&&使xaybzc最大&&&&abc&&&&&&&&其中a,b,c为给定的正数&&&&&&&&解令D为平面x+y+z=m在第一卦限的部分&&&&&&&&u?xyz(x,y,z)?D&&&&由于在D的边界上，总有u=0而在D内有u0且u在D上连续，故必存在最大值，且一定在D内取得另一方面由于u和lnu在D内有相同的极值点故问题转化为求lnu在条件x+y+z=m下的极值。&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&令&&&&&&&&F?lnu(x?y?z?m)&&&&&&&&?alnx?blny?clnz(x?y?z?m)则Fx?a?0xbFy0与x+y+z=m联立解得ycFz0z&&&&&&&&ambmcmx?,y?,z?a?b?ca?b?ca?b?c&&&&aabbccma?b?c?umax?(a?b?c)a?b?c&&&&&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&注&&&&&&&&一般情形&&&&在区间I上严格单调增&&&&&&&&若一元函数f(u)&&&&&&&&多元函数g(P)在区域D上有定义&&&&&&&&g(P)?I则f(u)与复合函数f[g(P)]有相同的极值点&&&&利用这一结论可将求f[g(P)]的驻点转化为f(u)的驻点或相反地将求f(u)的驻点转化为求f[g(P)]的驻点使问题简化——转移大法&&&&&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&时D?P当且&&&&&&&&&&&&四、小结&&&&多元函数的极值&&&&（取得极值的必要条件、充分条件）&&&&&&&&多元函数的最值拉格朗日乘数法&&&&&&&&思考题&&&&若f(x0,y)及f(x,y0)在(x0,y0)点均取得极值，f(x,y)在点(x0,y0)是否也取得极值？则&&&&&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&思考题解答&&&&不是.&&&&例如f(x,y)?x?y,&&&&22&&&&&&&&2(当x?0时，f(0,y)y在0,0)取极大值;&&&&&&&&(当y?0时，f(x,0)?x在0,0)取极小值;&&&&2&&&&&&&&(但f(x,y)?x?y在0,0)不取极值.&&&&22&&&&&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&练习题&&&&一、填空题:1、函数f(x,y)?(6x?x2)(4y?y2)在_______点取得极_________值为___________.2、函数z?xy在附加条件x?y?1下的极______值为_____________.x2?y2?z2?2x?4y?6z?2?0所确定的3、方程函数z?f(x,y)的极大值是___________,极小值是_____________.二、在平面xoy上求一点,使它到x?0,y?0及x?2y?16?0三直线的距离平方之和为最小.三、求内接于半径为a的球且有最大体积的长方体.&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&四、在第一卦限内作球面x2?y2?z2?1的切平面,使得切平面与三坐标面所围的四面体的体积最小,求切点的坐标.&&&&&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&练习题答案&&&&1一、1、(3,2),大,36；2、大,；3、7,-1.4816二、(,).552a三、当长,宽,高都是时,可得最大的体积.3111,).四、(,333&&&&&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&二重积分的概念和性质&&&&在一元函数积分学中，我们已经知道，定积分是定义在某一区间上的一元函数的某种特定形式的和式的极限，由于科学技术和生产实践的发展，需要计算空间形体的体积、曲面的面积、空间物体的质量、重心、转动惯量等，定积分已经不能解决这类问题，另一方面，从数学逻辑思维的规律出发，必然会考虑定积分概念的推广，从而提出了多元函数的积分学问题。&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&当人们把定积分解决问题的基本思想——“分割、近似代替、求和、取极限”用于解决这类问题时发现是完全可行的。把解决的基本方法抽象概括出来，就得到多元函数积分学。&&&&具体地说就是推广到：定义在平面区域上的二元函数、定义在空间区域上的三元函数、定义在一段平面曲线弧上的二元函数、定义在空间一段曲线弧上的三元函数、定义在空间曲面上的三元函数，从而得到二重积分、三重积分、曲线积分和曲面积分。这就是多元函数积分学的内容。本章将讨论重积分，包括二重积分、三重积分的概念、性质、计算和应用。&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&重点：重积分的计算方法，交换累次积分次序。难点：选择坐标系，确定积分次序，定积分限。&&&&基本要求&&&&①理解重积分概念，了解其基本性质&&&&&&&&②熟练掌握重积分的计算方法&&&&③掌握累次积分的换序法&&&&&&&&④掌握各种坐标系及坐标系下的面积元、体积元&&&&⑤理解重积分的实际背景，能用重积分解决立体体积、曲面面积、重心、转动惯量等实际问题。&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&一、问题的提出&&&&１．曲顶柱体的体积柱体体积=底面积×高特点：平顶.&&&&z?f(x,y)&&&&&&&&柱体体积=？特点：曲顶.&&&&&&&&D&&&&&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．&&&&&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&步骤如下：&&&&先分割曲顶柱体的底z，并取典型小区域，&&&&z?f(x,y)&&&&&&&&用若干个小平顶柱体体积之和近似表示曲顶柱体的体积，x&&&&&&&&o&&&&D&&&&n&&&&?&&&&&&&&y&&&&(?i,?i)&&&&i&&&&&&&&曲顶柱体的体积V?lim?f(?i,?i)i.0&&&&i?1&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&２．求平面薄片的质量&&&&设有一平面薄片，占有xoy面上的闭区域D，在点(x,y)处的面密度为?(x,y)，假定?(x,y)在D上连续，平面薄片的质量为多少？&&&&&&&&将薄片分割成若干小块，y取典型小块，将其近似&&&&&&&&(?i,?i)&&&&i&&&&&&&&看作均匀薄片，&&&&所有小块质量之和近似等于薄片总质量&&&&&&&&oxnM?lim(?i,?i)i.&&&&0&&&&i?1&&&&&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&二、二重积分的概念&&&&定义&&&&D设f(x,y)是有界闭区域上的有界函&&&&n数，将闭区域D任意分成个小闭区域1，&&&&i2,?，n，其中i表示第个小闭区域，也表示它的面积，在每个i上任取一点&&&&&&&&(?i,?i)，&&&&作乘积并作和&&&&&&&&f(?i,?i)i，&&&&&&&&(i?1,2,?,n)，&&&&&&&&?f(?i,?i)i，&&&&i?1&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&n&&&&&&&&&&&&?如果当各小闭区域的直径中的最大值趋近于零时，这和式的极限存在，则称此极限为函数f(x,y)在闭区域D上的二重积分，记为f(x,y)d?，&&&&D&&&&&&&&即f(x,y)dlim?f(?i,?i)i.&&&&D&&&&&&&&n&&&&&&&&0i?1&&&&&&&&积分区域&&&&&&&&被积函数&&&&&&&&积分变量&&&&&&&&被面积积积表元分达素和式&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&对二重积分定义的说明：(1)在二重积分的定义中，对闭区域的划分是任意的.(2)当f(x,y)在闭区域上连续时，定义中和式的极限必存在，即二重积分必存在.二重积分的几何意义当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积．当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的负值．由二重积分的定义可知&&&&n&&&&&&&&若二重积分&&&&&&&&f(x,y)dlim?f(?i,?i)i存在oi?1D&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&则其值与区域的分法和小区域上点的取法无关，故可采用一种便于计算的划分方式在直角坐标系下，用平行于坐标轴的直线族把D分成一些小区域，这些小区域中除去靠D的边界的一些不规则小区域外，绝大部分都是小矩形，&&&&&&&&紧靠D的边界的小区域的面积itijL&&&&j&&&&&&&&y&&&&&&&&D&&&&ox&&&&&&&&其中L为D的围长&&&&?&&&&&&&&?f(?j,?j)j?M?j?ML0,(0)jj&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&则面积元素为&&&&&&&&ddxdy&&&&&&&&&&&&故二重积分可写为&&&&&&&&f(x,y)df(x,y)dxdyDD&&&&三、二重积分的性质&&&&（二重积分与定积分有类似的性质）性质１性质２&&&&&&&&kf(x,y)dkf(x,y)d?.&&&&DD&&&&&&&&[f(x,y)?g(x,y)]d?&&&&D&&&&&&&&?f(x,y)dg(x,y)d?.&&&&DD&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&性质３&&&&&&&&f(x,y)df(x,y)df(x,y)d?.&&&&对区域具有可加性&&&&DD1&&&&&&&&(D?D1?D2)&&&&DD&&&&&&&&D2&&&&&&&&?性质４若?为D的面积，?1?dd?.&&&&性质５若在D上f(x,y)?g(x,y),则有f(x,y)dg(x,y)d?.&&&&DD&&&&&&&&特殊地&&&&&&&&f(x,y)df(x,y)d?.&&&&DD&&&&&&&&性质６设M、分别是f(x,y)在闭区域D上的m最大值和最小值，?为D的面积，则&&&&&&&&mf(x,y)dM?（二重积分估值不等式）&&&&D&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&性质７设函数f(x,y)在闭区域D上连续，?为D的面积，则在D上至少存在一点(?,?)使得&&&&例1不作计算，估计I?e&&&&D&&&&&&&&f(x,y)dD&&&&&&&&f(?,?)（二重积分中值定理）&&&&(x2?y2)&&&&&&&&d?的值，&&&&(0?b?a).&&&&&&&&x2y2其中D是椭圆闭区域：2?2?1ab&&&&&&&&解&&&&&&&&?区域D的面积?ab?,在D上&&&&&&&&?0?x2?y2?a2,&&&&&&&&?1?e?e&&&&0&&&&&&&&x2?y2&&&&&&&&?e,&&&&a2&&&&&&&&由性质6知&&&&&&&&e&&&&2&&&&&&&&(x2?y2)&&&&&&&&de,&&&&a2&&&&&&&&abe&&&&D&&&&&&&&(x?y)&&&&2&&&&&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&dab?e.&&&&a2&&&&&&&&D&&&&&&&&&&&&d?例2估计I?的值，22x?y?2xy?16D其中D：0?x?1,0?y?2.&&&&&&&&解?f(x,y)?&&&&&&&&411f(x,y)的最小值m(x?1,y?2)故?I0.4?I?0.5.54&&&&例3判断&&&&r?x?y?1营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&1,区域面积2,(x?y)2?161在D上f(x,y)的最大值M?(x?y?0)&&&&&&&&ln(x&&&&&&&&2&&&&&&&&?y)dxdy的符号.&&&&2&&&&&&&&&&&&0?x2?y2?(x?y)2?1,解当r?x?y?1时,&&&&故&&&&&&&&ln(x2?y2)?0;&&&&ln(x?y)?0,&&&&22&&&&&&&&又当x?y?1时,&&&&&&&&于是&&&&&&&&r?x?y?1&&&&&&&&ln(x2?y2)dxdy?0.&&&&&&&&例4比较积分ln(x?y)d?与[ln(x?y)]2d?&&&&DD&&&&&&&&的大小,其中D是三角形闭区域,三顶点各为(1,0),(1,1),(2,0).&&&&解三角形斜边方程&&&&&&&&x?y?2&&&&&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&y&&&&&&&&在D内有1?x?y?2?e,&&&&&&&&1&&&&D&&&&&&&&故ln(x?y)?1,&&&&o&&&&&&&&于是ln(x?y)ln(x?y)?,&&&&2&&&&&&&&1&&&&&&&&2&&&&&&&&x&&&&&&&&ln(x?y)d[ln(x?y)]2d?.因此&&&&DD&&&&&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&求曲顶柱体的体积采用“分割、求和、取极限”的方法，如下动画演示．&&&&&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&四、小结&&&&二重积分的定义（和式的极限）二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积）二重积分的性质（与定积分类似）&&&&&&&&思考题&&&&将二重积分定义与定积分定义进行比较，找出它们的相同之处与不同之处.&&&&&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&思考题解答&&&&定积分与二重积分都表示某个和式的极限值，且此值只与被积函数及积分区域有关．不同的是定积分的积分区域为区间，被积函数为定义在区间上的一元函数，而二重积分的积分区域为平面区域，被积函数为定义在平面区域上的二元函数．&&&&&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&练习题&&&&一、填空题:1、当函数f(x,y)在闭区域D上______________时,则其在D上的二重积分必定存在.2、二重积分f(x,y)d?的几何意义是&&&&D&&&&&&&&___________________________________.3、若f(x,y)在有界闭区域D上可积,且D?D1?D2,当f(x,y)?0时,则f(x,y)d?__________f(x,y)d?;当f(x,y)?0时,则f(x,y)d?__________f(x,y)d?.&&&&D1D2D1D2&&&&&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&?4、sin(x2?y2)d?__________,其中?是圆域&&&&D&&&&&&&&x2?y2?42的面积,16?.&&&&&&&&二、利用二重积分定义证明:kf(x,y)dkf(x,y)d?.(其中k为常数)&&&&三、比较下列积分的大小:1、(x2?y2)d?与(x?y)3d?,其中D是由圆&&&&(x?2)2?(y?1)?2所围成.22、ln(x?y)d?与[ln(x?y)]d?,其中D是矩形&&&&DD2&&&&&&&&D&&&&&&&&D&&&&&&&&闭区域:3?x?5,0?y?1.&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&D&&&&&&&&&&&&四、估计积分I?&&&&&&&&(x2?4y2?9)d?的值,其中D是圆&&&&D2&&&&&&&&形区域:x2?y?4.&&&&&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&二重积分的计算法(1)&&&&一、利用直角坐标系计算二重积分&&&&如果积分区域为：a?x?b,&&&&&&&&?1(x)?y2(x).&&&&y2(x)&&&&&&&&〔X－型〕&&&&y2(x)&&&&&&&&D&&&&y1(x)&&&&a&&&&b&&&&&&&&D&&&&y1(x)&&&&a&&&&b&&&&&&&&其中函数?1(x)、2(x)在区间[a,b]上连续.?&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&?f(x,y)d?的值等于以D为底，以曲面z?&&&&D&&&&&&&&f(x,y)为曲顶的柱体的体积．&&&&&&&&应用计算“平行截面面积为已知的立体求体积”的方法,&&&&y&&&&&&&&z&&&&&&&&z?f(x,y)&&&&&&&&A(x0)&&&&a&&&&?2(x)&&&&0&&&&&&&&y2(x)&&&&得&&&&&&&&x&&&&&&&&b&&&&&&&&x&&&&&&&&f(x,y)d?dx?&&&&baD&&&&&&&&y1(x)&&&&&&&&?1(x)&&&&&&&&f(x,y)dy.&&&&&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&如果积分区域为：c?y?d,?1(y)?x2(y).〔Y－型〕&&&&d&&&&&&&&d&&&&&&&&x1(y)&&&&&&&&x1(y)&&&&&&&&D&&&&&&&&x2(y)&&&&&&&&D&&&&&&&&c&&&&&&&&c&&&&&&&&x2(y)&&&&&&&&f(x,y)d?&&&&D&&&&&&&&d&&&&&&&&c&&&&&&&&dy?&&&&&&&&?2(y)&&&&&&&&?1(y)&&&&&&&&f(x,y)dx.&&&&&&&&X型区域的特点：穿过区域且平行于y轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.&&&&Y型区域的特点：穿过区域且平行于x轴的直线与区域边界相交不多于两个交点.营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&&&&&若区域如图，则必须分割.在分割后的三个区域上分别使用积分公式?.&&&&DD1D2D3&&&&&&&&D3&&&&D1&&&&D2&&&&&&&&注ⅰ）二重积分化累次积分的步骤&&&&①画域，②选序，③定限ⅱ）累次积分中积分的上限不小于下限ⅲ）二重积分化累次积分定限是关键，积分限要根据积分区域的形状来确定，这首先要画好区域的草图，——画好围成D的几条边界线，&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&若是X—型，就先y后x若是Y—型，就先x后y&&&&&&&&，&&&&&&&&注意内层积分限是外层积分变量的函数，外层积分限是常数。&&&&例1改变积分?dx?&&&&101?x0&&&&&&&&f(x,y)dy的次序.&&&&y?1?x&&&&&&&&解&&&&&&&&积分区域如图&&&&&&&&原式dy?&&&&10&&&&&&&&1?y&&&&&&&&0&&&&&&&&f(x,y)dx.&&&&&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&例2改变积分&&&&&&&&?0dx?0&&&&1&&&&&&&&2x?x2&&&&&&&&f(x,y)dy1dx?0&&&&2&&&&&&&&2?x&&&&&&&&f(x,y)dy的次序.&&&&y?2?x&&&&&&&&解积分区域如图&&&&原式0dy?1?&&&&12?y1?y&&&&2&&&&&&&&y?2x?x2&&&&&&&&f(x,y)dx.&&&&&&&&例3计算&&&&&&&&xydxdyD&&&&2&&&&&&&&D&&&&&&&&y?x,y?x&&&&&&&&2&&&&&&&&?x2?y?x解一D：?X—型?1?0?x营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&&&&&xy2dxdydx?y2dy&&&&D10x2&&&&&&&&1&&&&&&&&x&&&&&&&&1136x(x?x)dx?3040&&&&&&&&解二D&&&&&&&&?y?x?y0?y?1Y—型y1112122Idy?xydxy(y?y)dy?20400y&&&&2&&&&&&&&D&&&&&&&&y例4计算2dxdy,D:y?x,y?2,xy?1xD&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&?1x?yY—型解D?y?1?y?2?&&&&&&&&21&&&&&&&&I=&&&&&&&&?dy1?1&&&&&&&&2&&&&&&&&y&&&&&&&&y2dxx&&&&&&&&2&&&&&&&&y&&&&&&&&?&&&&&&&&?1&&&&&&&&2&&&&&&&&9y(y?y)dy?4&&&&23&&&&&&&&12&&&&&&&&1&&&&&&&&2&&&&&&&&若先y后x由于D的下边界曲线在x的不同范围内有不同的表达式，须分片积分，计算较麻烦。&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&由以上两例可见，为了使二重积分的计算较为方便，究竟选用哪一种积分次序主要由积分区域的特点来确定，在积分区域的表达式中选取比较简单的一组，从而确定相应的公式，同时还要兼顾被积函数的特点，看被积函数对哪一个变量较容易积分，总之要兼顾积分区域和被积函数的特点。&&&&&&&&例5计算解&&&&&&&&yeD&&&&&&&&xy&&&&&&&&dxdy,D:x?1,x?2,y?2,xy?1&&&&&&&&D是X—型区域&&&&&&&&Idx?yexydy&&&&11x&&&&&&&&2&&&&&&&&2&&&&&&&&要分部积分，不易计算&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&若先x后y则须分片&&&&&&&&Idy?yedxdy?yedx&&&&xyxy01y11&&&&&&&&1&&&&&&&&2&&&&&&&&2&&&&&&&&2&&&&&&&&D&&&&&&&&易见尽管须分片积分，但由于被积函数的特点，积分相对而言也较方便。&&&&&&&&例6改变积分?0dx?的次序.&&&&解&&&&&&&&2a&&&&&&&&2ax2ax?x&&&&2&&&&&&&&f(x,y)dy(a?0)&&&&&&&&y?2ax&&&&2&&&&&&&&y?2ax?x2&&&&2&&&&&&&&?x?a?a?y&&&&&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&原式&&&&&&&&=?0dy?y&&&&a&&&&2a&&&&&&&&a&&&&&&&&a?a2?y2&&&&2&&&&&&&&f(x,y)dx&&&&f(x,y)dx&&&&&&&&2a&&&&&&&&2a&&&&&&&&0dy?a?&&&&a&&&&&&&&2aa2?y2&&&&&&&&a&&&&a&&&&&&&&dy?y2f(x,y)dx.&&&&2a&&&&&&&&2a&&&&&&&&2a&&&&&&&&例7求(x?y)dxdy，其中D是由抛物线&&&&2&&&&&&&&y?x和x?y所围平面闭区域.&&&&22&&&&&&&&D&&&&&&&&解两曲线的交点?y?x2?(0,0),(1,1),?2?x?y营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&x?y2&&&&&&&&y?x2&&&&&&&&&&&&(x?y)dxdy?dx2(x2?y)dy?0?x&&&&2&&&&&&&&1&&&&&&&&x&&&&&&&&D&&&&&&&&1334[x(x?x)?(x?x)]dx?.02140&&&&122&&&&&&&&例8求xe&&&&D&&&&&&&&2?y2&&&&&&&&dxdy，其中D是以(0,0),(1,1),&&&&&&&&(0,1)为顶点的三角形.&&&&解e&&&&?y2&&&&&&&&dy无法用初等函数表示&&&&dy?xe&&&&1y00&&&&2&&&&&&&&?积分时必须考虑次序&&&&&&&&x&&&&D&&&&&&&&2?y2&&&&&&&&e&&&&&&&&dxdy&&&&&&&&2?y2&&&&&&&&dx&&&&&&&&e&&&&10&&&&&&&&?y&&&&&&&&2&&&&&&&&1y3y22?1(1?2).?dye?y?dy6e036营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&&&&&例9计算积分Idy?edxdy?edx.&&&&y1y&&&&&&&&12&&&&&&&&yx&&&&&&&&yx&&&&&&&&解&&&&&&&&edx不能用初等函数表示&&&&&&&&yx&&&&&&&&14&&&&&&&&12&&&&&&&&12&&&&&&&&y&&&&&&&&?先改变积分次序.&&&&原式?I?1dx&&&&2&&&&&&&&y?x&&&&&&&&&&&&1&&&&&&&&x&&&&2&&&&&&&&x&&&&&&&&edy&&&&&&&&yx&&&&&&&&y?x2&&&&&&&&x(e?ex)dx&&&&1&&&&12&&&&&&&&31?e?e.82&&&&&&&&例10求由下列曲面所围成的立体体积，z?x?y，z?xy，x?y?1，x?0，y?0.&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&解曲面围成的立体如图.&&&&所围立体在xoy面上的投影是&&&&&&&&?0?x?y?1,?x?y?xy,&&&&所求体积V?(x?y?xy)d?dx?&&&&011?x0&&&&&&&&(x?y?xy)dy&&&&&&&&D&&&&&&&&7130[x(1?x)?(1?x)]dx?.242&&&&1&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&ysin(x?1)2例12计算dxdy,D:y?x,y?x?2x?1D&&&&解根据积分区域的特点&&&&y?2&&&&&&&&应先对x后对y积分&&&&&&&&2&&&&&&&&ysin(x?1)Idy?dxx?1?1y2sin(x?1)但由于x?1&&&&2&&&&&&&&1&&&&&&&&4&&&&&&&&-1&&&&&&&&对x的积分求不出，无法计算，须改变积分次序。&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&先x后y有4x1xysin(x?1)?dxysin(x?1)dyIdx?dyx?1x?11x?20?x奇函数412sin(x?1)?0[x?(x?2)]dx2x?11&&&&&&&&1sin(x?1)2(?x?5x?4)dx21x?1&&&&4&&&&&&&&1(4?x)sin(x?1)dx211?(3?sin3)2营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&4&&&&&&&&&&&&以上各例说明&&&&化二重积分为累次积分时选择积分次序的重要性，有些题目两种积分次序在计算上难易程度差别不大，有些题目在计算上差别很大，甚至有些题目对一种次序能积出来，而对另一种次序却积不出来另外交换累次积分的次序：先由累次积分找出二重积分的积分区域，画出积分区域，交换积分次序，写出另一种次序下的累次积分。&&&&&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&二、小结&&&&二重积分在直角坐标下的计算公式b?(x)f(x,y)d?adx(x)f(x,y)dy.〔X－型〕&&&&2&&&&&&&&D&&&&&&&&1&&&&&&&&f(x,y)d?&&&&D&&&&&&&&d&&&&&&&&c&&&&&&&&dy?&&&&&&&&?2(y)&&&&&&&&?1(y)&&&&&&&&f(x,y)dx.〔Y－型〕&&&&&&&&（在积分中要正确选择积分次序）&&&&&&&&思考题&&&&设f(x)在[0,1]上连续，并设?f(x)dx?A，&&&&10&&&&&&&&求?0dx?xf(x)f(y)dy.&&&&11&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&思考题解答&&&&?&&&&&&&&?&&&&&&&&1&&&&&&&&x&&&&&&&&f(y)dy不能直接积出,?改变积分次序.&&&&110x&&&&&&&&f(x)f(y)dy,则原式dy?f(x)f(y)dxf(x)dx?&&&&令I?dx&&&&1y&&&&&&&&1&&&&&&&&x&&&&&&&&0&&&&&&&&0&&&&&&&&0&&&&&&&&0&&&&&&&&f(y)dy,&&&&&&&&故2I?&&&&&&&&?f(x)dx?&&&&10&&&&&&&&1&&&&&&&&x&&&&&&&&f(y)dy&&&&&&&&f(x)dx[(?&&&&10&&&&&&&&x&&&&&&&&f(x)dx?f(y)dy?A.&&&&200&&&&&&&&1&&&&&&&&0&&&&&&&&1&&&&&&&&)f(y)dy]&&&&1x&&&&&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&一、填空题:1、(x3?3x2y?y3)d________________.其中&&&&D:0?x?1,0?y?1.&&&&D&&&&&&&&练习题&&&&&&&&2、xcos(x?y)d_______________.其中D是顶点分别为(0,0)，(?,0)，(?,?)的三角形闭区域.&&&&D&&&&&&&&x3、将二重积分f(x,y)d?,其中D是由轴及半圆周&&&&x?y?r(y?0)所围成的闭区域,化为先对y后对x的二次积分,应为_____________________.&&&&222&&&&D&&&&&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&4、将二重积分f(x,y)d?,其中D是由直线&&&&D&&&&&&&&1(x?0)所围成的闭区xxy域,化为先对后对的二次积分,应为__________________________.&&&&y?x,x?2及双曲线y?&&&&&&&&5、将二次积分?1dx?2?x&&&&2&&&&&&&&2x?x2&&&&&&&&f(x,y)dy改换积分次序,&&&&&&&&应为_________________________.6、将二次积分?dx?&&&&0&&&&&&&&?&&&&&&&&sinx&&&&&&&&x?sin2&&&&&&&&f(x,y)dy改换积分次序,&&&&&&&&应为_________________________.&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&7、将二次积分?e?2dylnyf(x,y)dx&&&&12&&&&&&&&&&&&&&&&1?2&&&&&&&&1&&&&&&&&dy?&&&&&&&&2&&&&&&&&(y?1)2&&&&&&&&f(x,y)dx改换积分次序,&&&&&&&&应为__________________________.&&&&&&&&二、画出积分区域,并计算下列二重积分:1、ex?yd?,其中D是由x?y?1所确定的闭区域.2、(x2?y2?x)d?其中D是由直线&&&&y?2,y?x及y?2x所围成的闭区域.&&&&D&&&&D&&&&&&&&3、&&&&&&&&f(x,y)d?&&&&D&&&&&&&&?(?x)(x?y)2营口地区成人高等教育QQ群&&&&0&&&&&&&&&&&&?20&&&&&&&&dx?&&&&&&&&x&&&&&&&&cosy&&&&&&&&dy&&&&&&&&。&&&&&&&&&&&&4、&&&&D&&&&&&&&y?x2dxdy,其中D:?1?x?1,0?y?2.&&&&&&&&三、设平面薄片所占的闭区域D由直线x?y?2,y?x和x轴所围成,它的面密度?(x,y)?x2?y2,求该薄片的质量.2222四、求由曲面z?x?2y及z?6?2x?y,所围成的立体的体积.&&&&&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&练习题答案&&&&3?一、1、1；2、?；2&&&&3、?dx?&&&&r?r1&&&&2&&&&&&&&r2?x2&&&&&&&&4、?1dy?1f(x,y)dx1dy?yf(x,y)dx；&&&&22y&&&&&&&&02&&&&&&&&f(x,y)dy；&&&&&&&&5、?0dy?2?y&&&&1&&&&0&&&&&&&&1?1?y2&&&&&&&&f(x,y)dx；&&&&1&&&&&&&&6、1dy2arcsinyf(x,y)dx0dy?arcsiny7、?0dx?e?x&&&&2&&&&11?x2&&&&&&&&?&&&&&&&&arcsiny&&&&&&&&f(x,y)dx；&&&&&&&&f(x,y)dy.&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&135二、1、e?e；2、；3、；4、?.6324三、.3四、6?.&&&&?1&&&&&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&&&&&二重积分的计算法（2）&&&&一、利用极坐标系计算二重积分&&&&112r?rr2i?(riri)?i?ri?iii22r?ri1?(2riri)?ri?i2ri?(riri)ri?i2?riri?i,o&&&&营口地区成人高等教育QQ群&&&&&&&&?i?i&&&&i&&&&D&&&&&&&&?i&&&&&&&&A&&&&&&&&f(x,y)dxdy?f(rcos?,rsin?)rdrd?.&&&&DD&&&&&&&&&&&&二重积分化为二次积分的公式（１）&&&&区域特征如图极点在区域之外?,?1(?)?r2(?).&&&&?2(?)&&&&&&&&r1(?)&&&&&&&&r2(?)&&&&&&&&D&&&&&&&&?&&&&o&&&&&&&&?&&&&A&&&&&&&&f(rcos?,rsin?)rdrd?&&&&df(rcos?,rsin?)rdr.1(?)r1(?)区域特征如图?,?1(?)?r2(?).&&&&D?&&&&&&&&D&&&&&&&&r2(?)&&&&&&&&f(rcos?,rsin?)rdrd?&&&&D&&&&&&&&?&&&&&&&&d&&&&?&&&&&&&&?&&&&&&&&?2(?)&&&&&&&&?1(?)&&&&&&&&o营口地区成人高等教育QQ群f(rcos?,r)rdr.sin?&&&&&&&&?&&&&&&&&A&&&&&&&&&&&&二重积分化为二次积分的公式（２）}