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lim(e^(x^2)-1)/(cosx-1) ,x→0的极限为什么是-2
sdytut00247
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用等价无穷小替换e^x²-1 ~ x²,cosx-1 ~ -x²/2,x->0∴原极限=limx²/(-x²/2)=-2,x->0
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求教一道利用等阶无穷小的性质求极限问题原题如下：
lin[ln(1-sin^2*x)/(1+cosx)(e^x^2-1)]给出计算过程和正确答案
inrtony9lw
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后边那个是(e^x)^2还是e^(x^2)?如果从题目来猜的话应该是后者.另外极限的趋向是多少?如果让我来猜,这次要用无穷小,应该是x趋向于0.lim我就不写了,先写几个本题用到的在x趋向于0时候的等价无穷小：sinx~x,[e^(x^2)-1]...
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利用等价无穷小量计算极限 1,x趋近于0时(cos2x-cos3x)/(√（1+x^2)-1)2,x趋近于0时（e^x-1)sinx/(1-cosx) 3,x趋近于无穷时x^2(1-cos(1/x)) 4,讨论函数f(x)=e^x(x＜0）；f(x)=4（x=0);f(x)=1+x(x＞0）在x=0及x=1处的连续性
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1、lim[x→0] (cos2x-cos3x)/[√(1+x²)-1]=lim[x→0] (cos2x-1+1-cos3x)/[√(1+x²)-1]=lim[x→0] (cos2x-1)/[√(1+x²)-1] + lim[x→0] (1-cos3x)/[√(1+x²)-1]cos2x-1等价于-(1/2)(2x)²=-2x²,1-cos3x等价于(1/2)(3x)²=(9/2)x²√(1+x²)-1=(1+x²)^(1/2)-1等价于(1/2)x²这样上式化为：原式=lim[x→0] -2x²/[(1/2)x²] + lim[x→0] (9/2)x²/[(1/2)x²]=-4+9=52、e^x-1等价于x,sinx等价于x,1-cosx等价于(1/2)x²原式=lim[x→0] x²/[(1/2)x²]=23、1-cos(1/x)等价于(1/2)(1/x²)原式=lim[x→∞] x²(1/2)(1/x²)=1/24、lim[x→0-] f(x)=lim[x→0-] e^x=1lim[x→0+] f(x)=lim[x→0+] (1+x)=1f(0)=4因此函数在x=0处不连续,是可去间断点.希望可以帮到你,如果解决了问题,请点下面的"选为满意回答"按钮.
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1.先利用和差化积即cos α-cos β=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]，将分子变为2sin（5x/2）sin（x/2）再将该式除以（5x/2）（x/2），再乘以（5x/2）（x/2），凑重要极限，这样分子就可以变为5x^2/2；接下来，又因为分母√（1+x^2)-1等价于x^2/2；所以当x趋近于0时，该函数极限是5.2.e^x-...
扫描下载二维码导读：○数学教学与研究2009年第40期（上卷）周刊等价无穷小量代换求函数极限的应用任，摘要：从等价无穷小量定义和极限的运算性质，可推出等价无穷小量代换求函数极限的一些主要结论，本文扩大了等价无穷小量代换的范围，使之能够更广泛地应用于求解函数极限，同时通过对典型求函数极限问题的探讨，使读者更深刻体会等价无穷小量代换在求函数极限中的广泛应用，关键词：等价无穷小量代换函数极限等价无穷小量代换是指在极限运○数学教学与研究2009年第40期（上卷）周刊等价无穷小量代换求函数极限的应用任全红（绵阳师范学院数学与计算机科学学院，四川绵阳摘要：从等价无穷小量定义和极限的运算性质，可推出等价无穷小量代换求函数极限的一些主要结论。本文扩大了等价无穷小量代换的范围，使之能够更广泛地应用于求解函数极限。同时通过对典型求函数极限问题的探讨，使读者更深刻体会等价无穷小量代换在求函数极限中的广泛应用。关键词：等价无穷小量代换函数极限等价无穷小量代换是指在极限运算过程中，将一些无穷小量用与其等价的无穷小量来替代，从而达到简化计算的目的。文献［1］、［2］中给出的利用等价无穷小量求极限，只对所求极限式中相乘或相除的因式才能用等价无穷小量来代替，而对极限式中的相加或相减部分则说明不能随意替代。这里关，共谋良策。不同思想的交锋，不同观点的争论，不同方法的碰撞，极大地提升了行为参与、认知参与和情感参与的质量，丰富了全面参与的色彩。在“初等数学研究”课程的教学中，正是由于采用了小组合作学习的形式，才使得学生全面参与的数学教学活动开展得有声有色。它不仅营造了学生全面参与的良好氛围，而且培养了学生的合作意识和团队意识。4.课堂交流是学生全面参与数学教学过程的生动体现这里的课堂交流指的是学生在课堂上把本小组的研究成果展示出来并回答师生的质疑、接受师生的评价的过程。这个过程也就是在数学教学过程中学生课中参与的过程。它把讲台交给了学生，真真切切体现了学生是学习的主体。在“初等数学研究”课程的教学中，笔者要求每个学生都要走上讲台，把自己（小组）的研究成果展示出来。台上的学生通过讲述，成功感油然而生，同时又获得一次训练口头表达能力的宝贵机会。台下的学生则得到形形色色、林林总总不同风格、不同方法、不同思想的启迪。师生的评价和质疑，更使得生生互动、师生互动高潮迭起，学生参与热情一浪高过一浪。课堂交流把学生全面参与数学教学过程推向了高潮。5.课后作业及撰写小论文是学生全面参与数学教学过程的承续和延伸课后学习对任何一门课程来说都是需要的，因此课后参与是学生全面参与数学教学过程不可或缺的一环。“初等数学研究”课程教学的课后参与指的是学生在课堂上交流研究成果之后，还应根据师生的评价和质疑，取长补短，集思广益，进一步研究相关的习题，探求解法的合理性和多样性，经过整理形成书面作业。此外，笔者还要求学生选择其中最具创新意义的部分，根据自己对本课程的理解，撰写一篇小论文，使学生对所学课程的认识更上一层楼。事实上，学生整理书面作业和撰写小论文的过程，是他们继续全面参与数学教学过程，重组、提升对所学课程内容的认识，构建自己的知识网络的过程。特别是撰写小论文，学生对此非常关注，非常投入。在笔者的指导下，大多数学生的小论文都写得有模有样，为他们撰写毕业论文打下一个良好的基础。可以说，学生对数学教学过程的课后参与，使学生全面参与数学教学过程变得更完美了。6.多种形式的考核方式，较为客观反映学生全面参与数学教学过程的学习成绩由于参与式教学设计了学生全面参与数学教学过程的多个环节，对于学生全面参与数学教学过程的学习成绩，教师可按参与式教学过程所设计和实施的各个环节中学生参与的行为表现621000）自然就有一个疑问，不能随意替代是不是有些情况下可以替代？那么在什么情况下可以代换呢？还有对复合函数的内函数，以及求未定式极限1，∞，0各位置上的无穷小量等情况，求极限时能否用无穷小量代换？文献［1］、［2］并未作详细论述。笔者拟对此问题作进一步探析，说明其在具体求函数极限中的应用。1.等价无穷小量代换定理利用等价无穷小量定义和极限的运算性质，可推证等价无穷小量代换求函数极限的重要结论，下面给出文献［1］、［2］中的结论，称之为等价无穷小量代换定理。定理［1］：设函数f，g，h在U（x0）内有定义，且有f（x）~g（x）（x→x0）。（包括口头的和书面的）和撰写小论文等情况综合评定。在“初等数学研究”课程的教学中，对于学生的课中参与，即学生上台讲述研究成果，可以根据学生的研究情况、口头表述情况、答疑表现等评定一个分数；学生的课后作业分代数、几何各评定一个分数；学生撰写的小论文评定一个分数；期末考查评定一个分数，最后把这五个分数进行综合，给出学生学习“初等数学研究”这门课程的最终成绩，从而比较客观地反映了学生对“初等数学研究”课程的学习状况。从这个项目的问卷调查结果显示，学生对自己所获得的综合评定的成绩是满意的。7.高层次思考能力的发展需要学生在数学教学过程中的全面参与数学教学改革的目标之一是要培养学生的创新精神和发展学生的高层次思考能力。研究表明，学生在教学过程中全面参与，是高层次思考能力发展的基本条件。［1］以学生参与为基础的数学教学，需要正确理解和发挥学生在教学过程中的作用。其中很重要的一个方面就是让学生积极参与到教学中去。如果忽视学生的主体参与，不可能真正培养学生的创新精神和高层次数学思考能力。在“初等数学研究”课程教学中实施参与式教学法的结果进一步说明，只有全面的学生参与，才能形成学生高层次的数学素质。因此，教师应该把激发学生的主动参与作为教学的基础之一。教师应通过促进学生参与，逐渐形成一种以体现学生内在动力的有效学习机制，建立良性的学习循环，促进学生素质的不断提高和可持续的发展。综上所述，教学内容和课程的恰当选择，教学过程的精心设计，组织形式的巧妙安排，活动方式的灵活运用，考核方法的多样处理，是在“初等数学研究”课程中实施参与式教学法，促进学生全面参与数学教学过程所得到的有益启示。参考文献：［1］孔企平.数学教学过程中的学生参与［M］.上海：华东师范大学出版社，9.［2］吴新华.参与式教学法刍议［J］.教育研究，1993（3）：0∞0056-58.［3］刘兼，孙晓天.全日制义务教育数学课程标准（实验稿）解读［M］.北京：北京师范大学出版社，2002：44.基金项目：河池学院应用数学重点学科（院科研［2007］2号）；河池学院2007年度教改课题（编号：）。80周刊2009年第40期（上卷）（1）若limf（x）h（x）=A，则limg（x）h（x）=A；（2）若limx→x0x→x0x→x0○数学教学与研究1lnf（x）h（x）=f（x）f（x）~g（x），若满足f（x），g（x）＞0则在同一极限过程中有~1。lng（x）B，则limx→x0h（x）=B。g（x）注：这是文献中给出的一个结论（证明略），说明对所求极限式中相乘或相除的因式可用等价无穷小量来替代。2.等价无穷小量代换定理的推广2.1在极限式中有加减运算的等价无穷小量代换探究f（x）±g（x）的等价无穷小量，分析f（x）、g（x）两无穷小量关系，则有下面两个结论：定理1：设f（x），g（x）是在同一极限过程中的无穷小量，且g（x）=o（f（x）），则f（x）±g（x）~f（x）g（x）g（x）±f（x）证明：因为g（x）=o（f（x）），所以lim=0，则limf（x）f（x）g（x）g（x））=1±lim=lim（1±=1f（x）f（x）注:两无穷小量代数和与较低阶无穷小量等价。可将此结果扩展为多个无穷小量，如果多个无穷小量都是较其中一个无穷小量高阶的无穷小量，则他们的代数和与其中这个无穷小量等价。推论:设f1（x），f2（x）…，fk（x）是在同一极限过程中的有限个无穷小量，且都有f1（x）=o（f（x）），…，fk（x）=o（f（x）），则f1（x）±证明：因为limlnf（x）=∞，limlng（x）=∞，所以limlnf（x）=0，g（x）1ln+lnf（x）lng（x）f（x）lnf（x）limlng（x）=0。因为lim=lim=lim1lnf（x）lnf（x）lng（x）11。=0+1=1，所以~lnf（x）lng（x）推论：设f（x），g（x）是同一极限过程中的无穷小量，且f（x）~g（x），则在同一极限过程中有ln（1+f（x））~ln（1+g（x））。2.3求不定式极限的等价无穷小量代换2.3.1探究不定式1，∞，0的极限。对不定式极限的计算，我们也可用等价无穷小量代换。有时直接应用等价无穷小量代换求极限比用罗必达法则要简便许多。探究不定式1，∞，∞0∞000的极限，我们可联想幂指函数的极限，再利用前述等价无穷小量代换定理，可对此三种不定式1，∞，0极限的等价无穷小量代换作一探讨。定理4：设f（x），g（x）均为同一极限过程中的无穷小量，且∞000f2（x）±…±fk（x）~f（x）。下面找到一些特殊且容易满足的条件，使等价无穷小量代换可以适合于极限的加减运算。定理2：设f（x），g（x）是在同一极限过程中的无穷小量，若g（x）f（x），g（x）为同阶无穷小，且f（x）~f′（x），g（x）~g′（x），当limf（x）≠-1，则f（x）+g（x）~f′（x）+g′（x）。g（x）证明：设lim=c≠-1，因为f（x）+g（x）~f′（x）+g′（x），所f（x）g′（x）g′（x）g（x）?1+1+f（x）g（x）f（x）1+cf′（x）+g′（x）以lim=lim=lim==1。1+cf（x）+g（x）g（x）g（x）f（x）~g（x）（某一极限过程），若极限limh（x）=limh（x）g（x）g（x）存在，则limh（x）f（x）。f（x）证明：因为limh（x）limf（x）lnh（x）limg（x）lnh（x）=elimf（x）lnh（x），由等价无穷小量代换定f（x）g（x）理有e，所以limh（x）=limh（x）。=e利用定理3、4可证得如下三个推论：推论1：设f（x），f′（x），g（x），g′（x）是同一极限过程中的无穷小量，且f（x）~f′（x），g（x）~g′（x），若limf′（x）g′（x）=A，则limf（x）g（x）=limf′（x）1+f（x）1+f（x）推论1：设f（x），g（x）是在同一极限过程中的无穷小量，若f（x），g（x）为同阶无穷小，且f（x）~f′（x），g（x）~g′（x），当lim=g（x）≠1，则f（x）-g（x）~f′（x）-g′（x）。f（x）推论2：设fi（x），gi（x）（i=1，2，…，n）是在同一极限过程中的无穷小量，若=A。推论2：设f（x），f′（x），g（x），g′（x）是同一极限过程中的无g′（x）1穷小量，且f（x）~f′（x），g（x）~g′（x），若lim（）=A，则f′（x）g′（x）1g（x）1）=lim（）=A。lim（f（x）f′（x）推论3：设f（x），f′（x），g（x），g′（x）是同一极限过程中的无1g′（x）穷小量，且f（x）~f′（x），g（x）~g′（x），若极限lim（1+f′（x））11g′（x）=A，∑f（x）与f（x）同阶无穷小，且f（x）~g（x），当i=1ikiik则lim（1+f（x））g（x）=lim（1+f′（x））∞0g′（x）0=A。∑f（x）≠-1，则f（x）+g（x）~f′（x）+g′（x）。fk（x）推论3：设fi（x），gi（x）（i=1，2，…，n）是同一极限过程中的无穷小量，记gk（x）（1＜k＜n）是gi（x）中最低阶无穷小，不妨g（x）设g1（x），g2（x）…gk（x）是gk（k）的同阶无穷小，记limi=ai（aigk（x）≠0，i=1，2，…，k）。而gk+1（x），gk+2（x），…，gn（x）都是gk（x）的高阶g（x）无穷小，即limi=0（i=k+1，k+2，…，n），若fi（x）~gi（x）（i=1，gk（x）lim2，…，n），且∑fi（x）=0，则有∑fi（x）~∑gi（x）。i=1i=1i=1knni=1ik结论：在求不定式1，∞，0极限过程中，均能直接对指数、底数中的无穷小量进行代换，使得求极限过程简明易解。而对其他类型的不定式极限的等价无穷小量代换，我们也可结合等价无穷小量的代换定理做类似的探究，扩大代换的范围，使等价无穷小量代换更广范的用于函数极限的计算。2.3.2探究含有变上下限积分函数的不定式极限。在求解不定式极限时，我们会遇到一种含有变上下限积分函数的不定式极限，通常是不定式0∞型或型，这时我们0∞可用洛必达法则及变限积分函数的性质去掉积分号，将问题转化为一般函数的极限问题。定理：在自变量x的某一变化过程中，u（x）→g0，v（x）→g0，2.2求复合函数极限的等价无穷小量代换在利用等价无穷小量代换定理求极限过程中，我们常会碰到一类对复合函数内函数实施等价无穷小代换问题，现对其作进一步的探究。定理3：设f（x），g（x）是同一极限过程中的无穷小量，且蘩（）f（t）dtu（x）-v（x）存在，f（x）连续，则limvxg（x）→0，若lim=g（x）g（x）u（x）-v（x）?limlimf（ξ（x））。其中ξ（x）∈［u（x），v（x）］。g（x）证明：由积分中值定理，对于任意给定的x∈U（0，δ），δ＞0，f（x）在区间［u（x），v（x）］上连续，则存在ξ（x）∈［u（x），0u（x）v（x）］，使得蘩v（x）f（t）dt=f（ξ（x））［u（x）-v（x）］。由于在x的某一变化81u（x）○数学教学与研究2009年第40期（上卷）周刊例谈运用数学思想方法调控思维王喜荣（秦安县五中，甘肃秦安新课程以培养学生的创新精神和实践能力为重点，而创新思维是创新能力的核心，它以发散思维为重要标志。在数学教学中如何培养学生的创新思维能力呢？我认为不仅要加强基本知识和基本能力的培养，而且必须重视数学思想方法的渗透，突出数学思想方法的指导性。数学思想方法是数学的灵魂和精髓，在解题过程中，已知和未知的沟通，解法的正确选取，离不开数学思想方法的引导。数学思想方法是思维导航的“指南针”，只有正确熟练地运用数学思想方法调控思维，才有可能使思维流畅、变通、独创，从而开辟解决问题中“柳岸花明又一村”的新局面，培养学生的创新能力。741600）一、整体思想的调控在教学中教师指导学生对某些问题把握全局，通盘考虑整体筹划，用整体思想看问题，着眼于问题的全过程，可克服“只见树木，不见森林”的思维定势，促使问题的解决。例1：计算99…9×99…9+199…9解：设99…9=A则A+1=10姨姨nn姨nn原式=A+（A+1）+A=（A+1）=10例2：一只小船顺流航行从甲码头到乙码头需a小时，逆流解：当x→0时，arcsinx~x，ln（1+x）~x，tan3x~3x。3344姨n222n过程中，u（x）→g0，v（x）→g0，相应的ξ（x）→g0，则lim蘩v（x）f（t）dtg（x）u（x）=limu（x）-v（x）?limf（ξ（x））ξ（x）→gg（x）0∴姨cosx-1=姨1+cosx-1-1~34%%%112（cosx-1）~x。24显然，arcsinx与ln（1+x）均为比2x高阶的无穷小量，而姨cosx-1为比tan3x高阶的无穷小量，由定理1易知x→0由上述定理，我们可利用等价无穷小量代换得到推论。推论：若u（x），v（x），u′（x），v′（x）是同一极限过程中的无穷小量，且u（x）~u′（x），v（x）~v′（x），3.应用举例例1（1996）极限limx［sinln（1+x→∞lim2x+arcsinx-ln（1+x）31）-sinln（1+）］=%%%%%xx%。2x2=。%x→03x3姨cosx-1+tan3x12+cosxx例4：（2004）求极限lim［（）-1］。3x→03x=limxln2+cosx334（注明年份的例题为该年的全国研究生入学考试数学试题）解法1：当x→∞时sinln（1+333）~ln（1+）~，则xxx解法1：原式=limx→0ex3ln=limx→02+cosx3x2=limx→0ln2+cosx-ln3x2x→∞limxsinln（1+33）=x?=3。xx11同理，limxsinln（1+）=x?=1所以原函数极限为2。x→∞xx解法2：利用三角函数和差化积。31+xln113ln（1+）（1+）1+xxx原式=lim2xsincosx→∞221=lim2xsin=2。x→∞x+1tanx1?（-sinx）1sinx2+cosx11?=lim=-lim=-。x→02x2x→02+cosxx62+cosx2+cosxxlnln3e-13解法2：原式=lim=lim32x→0x→0xxcos-1）ln（1+3cosx-11。=lim=lim=-22x→0x→06x3x注：比较此题的两种解法，解法2两次利用等价无穷小代换来求带幂指函数的极限，解法更简单清晰。通过以上例子的解法，我们可看出如果在解题过程中注意使用等价无穷小量代换求极限，则可以减少一些繁琐的计算，提高解题效率。参考文献：［1］同济大学应用数学系主编.高等数学（上）五版［M］.北京：高等教育出版社，2004.［2］华东师范大学数学系主编.数学分析（上）三版［M］.北京：高等教育出版社，2004.［4］M.菲赫金哥尔茨.微积分教程第二卷第一分册［M］.北京：人民教育出版社，1956.［5］刘后.曾育蓝.新编高等数学全真试卷精解［M］.湖南：科学技术出版社，2000.9.［6］龚冬保.高等数学典型题解法［M］.西安：西安交通大学出版社，2000.1.例2：（1997）设x→0时，e为%%%%%%。解：limx→0-e与x是同阶无穷小，则n=limx→0xne-ex32tanxx=limx→0e（extanx-x3-1）e-ex=3tanxx=limx→0secx-13x22=x1limx→0cosx3x22（1-cosx）=limx→0（1-cosx）（1+cosx）3x21。3注：本题主要考查无穷小的阶的比较，而无穷小阶的比较，本质上还是求极限，等价无穷小代换是求函数极限经常用到的一种方法。例3：计算limx→02x+arcsinx-ln（1+x）姨cosx-1+tan3x%34。82包含总结汇报、IT计算机、人文社科、文档下载、资格考试、考试资料、旅游景点、经管营销、教学研究以及等价无穷小量代换求函数极限的应用_任全红等内容。
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