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请问这个用基本不等式怎么证明?&
腐姐控控0095
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由二项式定理,（1+2/√n)^n=1+n*2/√n+n(n-1)/√n+……=1+（n+1)√n+……>n(n>=3,n∈N+),容易验证n=1,2时（1+2/√n)^n>n.对上式两边开n次方,得1+2/√n>n^(1/n),∴n^(1/n)-1
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基本不等式
作者： 教案来源：网络 点击数： &&&
基本不等式
文章来源莲山课件 w ww.5 Y K j.Co M 课题: §3.4基本不等式
【学习目标】
1．知识与技能：学会推导并掌握基本不等式，理解这个基本不等式的几何意义，并掌握定理中的不等号“≥”取等号的条件是：当且仅当这两个数相等；
2．过程与方法：通过实例探究抽象基本不等式；
3．情态与价值：通过本节的学习，体会数学来源于生活，提高学习数学的兴趣
【能力培养】
培养学生严谨、规范的学习能力，分析问题、解决问题的能力。
应用数形结合的思想理解不等式，并从不同角度探索不等式 的证明过程；及其在求最值时初步应用
基本不等式 等号成立条件
【教学过程】
一、课题导入
基本不等式 的几何背景：如图是在北京召开的第24界国际数学家大会的会标，教师引导学生从面积的关系去找不等关系。
二、讲授新课
1．问题探究――探究图形中的不等关系。
将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中右个全等的直角三角形。设直角三角形的两条直角边长为a,b那么正方形的边长为 。这样，4个直角三角形的面积的和是2ab，正方形的面积为 。由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积，我们就得到了一个不等式： 。
当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正方形EFGH缩为一个点，这时有 。
2.总结结论：一般的，如果
（结论的得出尽量发挥学生自主能动性，让学生总结，教师适时点拨引导）
3．思考证明：（让学生尝试给出它的证明）
4．特别的，如果a&0,b&0,我们用 分别代替a、b ，可得，
通常我们把上式写作：
&&①从不等式的性质推导基本不等式
用分析法证明：（略）
&&②理解基本不等式 的几何意义
探究：对课本第98页的“探究”（ 几何证明）
注:在数学中，我们称 为a、b的算术平均数，称 为a、b的几何平均数.本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
6、课时小结
本节课，我们学习了重要不等式a2＋b2≥2ab；两正数a、b的算术平均数（ ），几何平均数（ ）及它们的关系（ ≥ ）.它们成立的条件不同，前者只要求a、b都是实数，而后者要求a、b都是正数.它们既是不等式变形的基本工具，又是求函数最值的重要工具(下一节我们将进一步学习它们的应用).
课本第100页习题[A]组的第1、2题
板书 设 计
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&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&文章来源莲山课件 w ww.5 Y K j.Co M
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? ? ? ? ? ? ? ? ? ?第四讲：基本不等式与不等式证明；一、常用的基本不等式有以下这些：；（1）a、b?R,a?b?2ab,当且仅当a?b；?a?b?c（5）a、b、c?R，?3abc，当；法以及数学归纳法等；a?b例题1、若0?a?b?1,则a,a,aab；?b.；解：因为0；baab?a2?a,；b例题2、如果正数a，b，c，d满足a?b?cd；解：?a?b?4,a?b?2ab
第四讲：基本不等式与不等式证明 一、常用的基本不等式有以下这些： （1）a、b?R,a?b?2ab,当且仅当a?b时,取“?”号；?a?b（2）a、b?R，?222ab，当且仅当a?b时，取“?”号；（3）a、b?R，a?b??322?a?b?2332，当且仅当a?b时，取“?”号；（4）a、b、c?R，a?b?c?3abc，当且仅当a?b?c时，取“?”号； ?a?b?c（5）a、b、c?R，?3abc，当且仅当a?b?c时取“?”号。3推广到n:?a?a2???ana1,a2,?,an?R，1?nna1a2?an，当且仅当a1?a2???an时取“?”号。二、证明不等式常用的方法有比较法、公式法、综合法、分析法、放缩法、反证法、数形结合法以及数学归纳法等。 a?b例题1、若0?a?b?1,则a,a,aabab,a2中最小的数是ab?a?b2______. ?b. 解：因为0<a<b<1,所以由基本不等式可得a?xa?b又因为0<a<1,所以y?a为减函数,因此有a?a即给出的四个数中,a最小. baab?a2?a, b例题2、如果正数a，b，c，d满足a?b?cd?4，那么（
） Ａ．ab≤c?d，且等号成立时a，b，c，d的取值唯一 Ｂ．ab≥c?d，且等号成立时a，b，c，d的取值唯一 Ｃ．ab≤c?d，且等号成立时a，b，c，d的取值不唯一 Ｄ．ab≥c?d，且等号成立时a，b，c，d的取值不唯一 解：?a?b?4,a?b?2ab,?ab?4;又?cd?4,?c?d?2cd?4;?ab?c?d. y 选（A） 例题3、（1）已知x?R,求解：令t?2x?16x?4227的最小值。 4322x?4，则t?2，且x?t?4. o234x
22于是x?16?12?t?12，即t?23(?2)时成x2?t?4tt?212?43,等号当且仅当t?12t立。所以所求的最小值为43。 讨论：如果改成“已知x?R,求x2?5y?t?1的最小值”，还能用上面的x2?45t方法解吗？ 22解：令t?x2?4，则t?2，且x2?t2?4. o1222于是x?5x2?t?1?4t?t?1t, 当t?2时，y?t?1是单调增函数，所以t=2时取得最小值，为5t2 （2）函数y?a1?x(a?0，a?1)的图象恒过定点A，若点A在直线mx?ny?1?0(mn?0)上，则11m?n的最小值为
． 解：点A为（1，1）。代入直线方程得：m?n?1，?11n1m?n?m?mn?mn， 又?1?m?n?2mn,?mn?14.1mn?4，最小值为4。 （3）（09全国高考题） 若??4?x?2，则函数y?tan2xtan3x的最大值为
。 解:令tanx?t,??wwwk5uom4?x??2?t?1, 4?y?tan2xtan3x?2tanx2wk5uom1?tan2x?2t41?t2?1?2?2 t4?1t2(1t2?12)2?11??8ww4?4 例题4、已知a、b为两个正常数，x>0,y>0,且ax?by?1,求x+y的最小值. 解法一:x?y?x(a?b)?y(a?b)?a?b?xb?yxyxyyxa ?a?b?2ab?(a?b)2,当x?ayb,即x?a?ab,取\?\号 所以,x?y的最小值为?a?b?2. 解法二:三角换元
令ax?sin?,2by?cos?;则x?222asin?2?a(1?cot?),y?2bcos?2?b(1?tan?);2 x?y?a?b?acot??btan??a?b?2ab错误解法： ?1?ax?by?2abxy,?xy?2ab,?x?y?2xy?4ab. 例题5、某种汽车，（1）购买时费用为10万元，（2）每年交保险费、养路费、汽油费合计9千元；（3）汽车的维修费平均为第一年2千元，第二年4千元，第三年6千元，依次成等差数列，逐年递增，求这种汽车使用多少年报废最合算？ 解：设使x年，所花费用年平均值为y，则 y?10?0.9x?0.2?0.4???[0.2?(x?1)?0.2]x10x?10x?0.1x?1?3 当且仅当?0.1x，即x=10时，取“=”号，所以，这种汽车使用10年报废最合算。 1a?b?1b?c?na?c例题6、若对一切a>b>c,不等式恒成立,求n的最大值. n(x?y)xy2解:设a-b=x,b-c=y,则对一切x>0,y>0,不等式(x?y)xy21x?1y?x?y恒成立,即n?恒成立.易见?4.等号当且仅当2x?y时成立.?n的最大值为4. 例题7、求证：sin2??sin(sin2??1?sin??sin??sin?sin?，并指出等号成立的条件。 ??sin22??1)?(sin??sin??sin?sin?)2证明：?sin??sin??2sin?sin??sin?sin??1?sin??sin?2 ?(sin??sin?)?(1?sin?)(1?sin?)?0(?1?sin??1,?1?sin??1),故原不等式获证，且等号成立的条件是sin??sin??1,??2k???2,??2l??即?2,k?Z,l?Z. 证法二： 令sin??a,sin??b,c?1,则不等式可以写成
a?b?c?ab?bc?ca?2(a?b?c)?2(ab?bc?ca)?(a?b)?(b?c)?(c?a)?2ab?2bc?2ca利用特殊不等式同样可以证明该不等式成立。2222 例题8、已知：a1、a2、a3、b1、b2、b3均为正数，且a1b1?a2b2?a3b3，求证：
a1?a2b1?b2?a1?a2?a3b1?b2?b3.
提示：这道题源于化学中的溶液浓度问题。证明:?a1、a2、a3、b1、b2、b3均为正数?a1?a2b1?b2?a1?a2?a3b1?b2?b3?(a1?a2)(b1?b2?b3)?(b1?b2)(a1?a2?a3) ?(a1?a2)(b1?b2)?(a1?a2)b3?(b1?b2)(a1?a2)?(b1?b2)a3?a1b3?a2b3?a3b1?a3b2?????(1) a3a2a3??,?,?a1b3?a3b1,a2b3?a3b2.b1b3b2b3a1将这两个不等式相加即得不等式(1),从而原不等式得证. 例题9、设0<a<1,0<b<1,0<c<1,证明:(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a不能都大于解：假设(1?a)b?14,(1?b)c?164.14,(1?c)a?14,14. ?(1?a)b(1?b)c(1?c)a??(1?a)b(1?b)c(1?c)a ?[a(1?a)][b(1?b)][c(1?c)]?(?a?1?a?b2)(2c?1?c212)(?1?a?0,1?b?0,1?c?0) 2(当且仅当a?b?c?时,取\?\号）两式相矛盾，假设不成立，故原命题成立。 例题10、设a>0,b>0,且a+b=1,求证:a?12?b?12?2. 1212证法一:?a?0,b?0,a?b?1,?1212a?12?b?1212?2?a?b?1?2(a?)(b?)?4 ?(a?)(b?)?1.由基本不等式,(a?)(b?)?[(a?)?(b?)]?1,所以原不等式成立. 证法二:令x?a?12,y?2b?12 2由第三个不等式(x?y)2?x?y?x?y?22(x?y) 22 4
?a?0,b?0,a?b?1 ?a?12?b?12?2[(a?12)?(b?12)]?2 1a1b?4. 例题11、已知命题：如果a、b?R?,且a?b?1，那么(1) 证明这个命题是真命题; ?(2) 根据已知条件还能得到什么新的不等式,试写出其中两个，并加以证明; (3) 如果a、b、c?R?,且a+b+c=1,推广上述已知命题能得到什么不等式,并加以证明. 解:(1)a?b?1?2ab,?ab?111,??22ab1ab?2ab?212?4 (当且仅当a=b时,等号成立); (2)?a+b?1?ab?a+b2?12,ab?14， 还有a?b?22?a?b?22?12,即a?b?2212； ?（3）?a?b?c?1?33abc，1a?1b?1c?331abc?313?9 （当且仅当a=b=c时，等号成立） 例12、（1）三个同学对问题“关于x的不等式x2＋25＋|x3－5x2|≥ax在[1，12]上恒成立，求实数a的取值范围”提出各自的解题思路． 甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”． 乙说：“把不等式变形为左边含变量x的函数，右边仅含常数，求函数的最值”． 丙说：“把不等式两边看成关于x的函数，作出函数图像”． 参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即a的取值范围是
． 25232?|x2?5x|， 解：由x＋25＋|x－5x|≥ax,1?x?12?a?x?x
而x?2525?2x??10，等号当且仅当x?5?[1,12]时成立；且|x2?5x|?0，等号当xx且仅当x?5?[1,12]时成立；
所以，a?[x?25?|x2?5x|]min?10，等号当且仅当x?5?[1,12]时成立；故a?(??,10]； x22（2）（09全国高考题） 已知AC、BD为圆O:x?y?4的两条相互垂直的弦，垂足为M1,?2,则四边形ABCD的面积的最大值为
。 ?解：设圆心O到AC、BD的距离分别为d1、d2,
则d12+d22?OM2?3.|AC|?4?(2d1),|BD|?224?(2d2) 22四边形ABCD的面积 S?12|AC|?|BD|?22yB12[4?(2d1)][4?(2d2)] MC?2(4?d1)(4-d2)?8?(d1?d2)?5 d1Od21Dx2
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