∫ from x=a to ∞ (f(x)dx)收敛与(lim from x→+∞ f(x))=0的关系
一、主要结果1 .∫+∞a f( x) dx收敛一般不意味着 f( x)在 [a,+∞ )有界 ,如∫+∞1 xsinx4dx =∫+∞1sint22 dt=∫+∞1sinu4 udu由 Dirichlet判别法知 ,它收敛 ,但 f( x) =xsinx4在 [a,+∞ )无界 .2 .∫+∞a f ( x) dx收敛一般不意味着 limx→ +∞　 f ( x) =0 .如　　　　∫+∞0 sinx2 dx =∫+∞0sint2 tdt由 Dirichlet判别法知 ,它收敛 ,但 sinx2不趋于 0 ,当 x→ +∞时 .3.∫+∞a f ( x) dx收敛 ,并且 f ( x)≥ 0 ,仍不能判定 f( x)→ 0 (当 x→ +∞时 ) .如　　　f( x) =11 + x2 　　当 x≠整数1　　　　当 x=整数因为改变可数个点的值 ,积分结果不变 .所以∫+∞0 f ( x) dx =∫+∞011 + x2 dx...&
(本文共3页)
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非正常积分定义在判断非正常积分敛散性方面起着重要的作用。但如果我们仔细研读定义,就会发现在定义的处理方面还有失严谨。本文以文献[1]为例,谈一些看法。定义1设函数f定义在无穷区间[a,+∞),且在任何有限区间[a,A]上可积。如果存在极限A limA→+∞∫af=J,(1)则称此极限J为函数f在[a,+∞)上的无穷限非正常积分(或简称无穷限积分),记作J=∫a+∞f(x)dx或∫a+∞f,并称∫a+∞f收敛。如果极限(1)不存在,则称无穷限+∞积分∫af发散。[1]仔细阅读此定义,可以发现该定义有三处不妥。1“A”的取值范围对于定义中“在任何有限区间[a,A]上可积,A如果存在极限limA→+∞a∫f=J,”,若取A=a,则[a,A]浓缩为一点,∫aAf=0 limA→+∞a∫Af=0,根据定义,∫a+∞f收敛。这样的话,∫a+∞f只表示函数f在a这一点收敛,而不是在无穷区间[a,+∞)收敛。因此A的取值范围规定为Aa较佳。2定...&
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~~∴I'(p)-arctanp+c.另一方面∵p0时0≤I(p)≤0∫e-pxsinxxdx≤0∫e-pxdx=1p.∴limp→+∞I(p)=0=-π2+c∴c=π2又∵I(p)在p≥0时连续,∴limp→0+I(p)=I(0)=+∞0∫sinxxdx=limp→0+arctanp+π2=π2∴+∞0∫sinxxdx=π2.5利用积分号下取极限计算5.1用积分号下取极限定理1)若+∞a∫fn(x)dx关于n∈N一致收敛; fn(x)｝在[a,+∞)上内闭一致收敛于f(x);+∞a∫f(x)dx收敛.则limn→+∞+∞a∫fn(x)dx=+∞a∫limn→+∞fn(x)dx=+∞a∫f(x)dx.2)若f(x,y)在[a,+∞)×[c,d]上连续;I(y)=+∞a∫f(x,y)dx关于y在[c,d]上一致收敛.则limy→y0+∞a∫f(x,y)dx=+∞a∫limy→y0f(x,y)dxy0∈[c,d].5.2直接证明积分...&
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一般《数学分析》教科书都指出了两种非正常积分可以互化,有的书仅指出了经过适当的变换无穷限非正常积分一定能化为无界函数的非正常积分,但没有给出这个适当的变换;有的书指出经某变换无穷限非常积分一定能化为无界函数的非正常积分,但这个变扳并不颁用,有些无穷限非正常积分经此变换化为了定积分。而证明两种非正常积分可以互化很重要,因在讲非正常积分时都着重讲一类非正常积分的有关定理和性质,然后由可以互化,而得出另一类非正常积分的相应定理和性质、若不聪互化就不能如此类椎。l、任何无穷限非正常积分都可化为无界函数的非正常积分无穷限非正常积分是否一定能化为无界函数的非正常积分呢?华东师范大学数学系编《数学分析》上是这样叙述的;“无穷限非正常积分I八。。)*x一心。八。d。、。^a。。l．．．。。l’r－a．a、．la。aHpp《夕“————月巫OIJ辽JJ*J一IJ民——J人一白一二厂*“一!肉7了J之——Ja”“d”d”””d7””于是I八。}儿L...&
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1　引言 :本文作者在《数学分析》课程教学过程中 ,发现学生对教材 [1]中非正常积分这一节经常会有一些疑问 ,现列举两个如下 :①对于教材 [1]中第 330页的例 12 (1) :判别∫10ｌｎｘｘｄｘ的敛散性 ,教材的解答过程如下 :“取ｐ =340 )时的瑕积分的敛散性 ,因此教材中该例题的解题过程有问题 ,必须加以修正。但从另一方面考虑 ,我们能否针对判别方法加以改进 ?即试图改进柯西判别法极限形式 ,使其不受“函数非负”的限制。②对于教材 [1]中第 332页第 8题第 (4)小题∫10ｌｎｘ1-ｘｄｘ ,被积函数 ｌｎｘ1-ｘ在ｘ =1和ｘ =0处都无定义 ,学生经常难于判断该瑕积分的瑕点 ,ｘ =1和ｘ =0到底谁是瑕点 ?我们能否给出一个固定的、有效的、简便的判别瑕点的方法 ?以下便对上面两个问题给予讨论和解决。2　主要内容 :对于第一个问题 ,教材 [1]中 330页柯西差别法极限形式内容如下 :设正值函数ｆ...&
(本文共4页)
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1有关定义及定理定义1:设f(x,y)在区域R=[a,b]×[c,d)上有定义,若对x的某些值y=d为函数的瑕点,则称dc乙f(x,y)d①为含参变量x的无界反常积分,或简称含参量非正常积分。若对每一个x∈[a,b]积分①都收敛,则称积分值是x在[a,b]上取值的函数。定义2:对任意给的正数ε,总存在某正数δ0,存在某一正数δ0,当00,存在某一正数δ=δ(x)0,存在δ0,当△xδ时,有[f(x+△x△,y)x-f(x,y)]fx(x,y)d-εc成立。所以:I(x+△x)-I(x)△xdc乙fx(x,y)dy≤cd乙I(x+△△x)x-I(x)cd乙fx(x,y)dycd乙εd-c dy=ε。由ε的任意性:lim△x→0I(x+△x)-I(x)△x=dc乙fx(x,y)dy即:I'(x)=dc乙fx(x,y)dy这一结论说明:在定理条件下,求导运算和积分运算可以交换,即:ddxdc乙fx(x,y)dy=cd乙坠坠x fx(x...&
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传真：010-开始是偶然，是惟一，是1；
结束是必然，是闭合，是0；
∞是无限，是无限遥远的永远……
有多少人停驻在开始之后，结束之前？我来听一听《回忆之前，忘记之后》，一个男人的声音，他唱道：
突然我又想起你的脸
突然我又想起你当天的叮咛
明明灭灭星光的夜里
恍恍惚惚我又看见你的脸
点点滴滴往日的眷恋
寻寻觅觅又再回到我的身边
苦苦安顿抚平的回忆
骤然散落一如繁星的碎片
人生无常，世事无常，有太多的不得以、太多的必须，让什么成为0，最终的决定是由人做出的，还是由无常做出的？
就已开始、未结束的状态，从开始到结束可以是0~1间的任何数：0.1、0.01、0.001、0.0001、0.00001……发生过就是发生过，尽管它微不足道，没有人可以否定它的存在，哪怕它几近于无。
一粒麦乳精被丢进一搪瓷缸水里，总有那吝啬的主妇悄悄往里注水，味道是越来越淡了。我们能从心底埋怨主妇么？那时艰难啊！或者一开始，这粒麦乳精同其它麦乳精一道被紧紧攥在小孩子的手心里，终被挤落掉于阴沟，孩子趴在阴沟盖上，透过条条细铁栏，朝它叹惋了许久……我们忍心责怪他么？那时年轻啊！让麦乳精的溶度变为0.1、0.01、0.001、0.0001、0.00001……的是什么？不是境况，不是年少，是时间的河流。
就已开始、未结束的状态，从开始到结束还可以是1.0~∞间的任何数：1.0、10.0、100.0、1000.0、10000.0……对于趴在阴沟盖上的孩子，在他的心目中，是否丢掉的那粒麦乳精才是最甜美的呢？那粒麦乳精陡然间便胜过了其它。一个女孩到法国求学十年，法国的街巷、地铁、图书馆会记住无数碌碌身影中的这个她么？不会，但法国对于她的意义却是∞，孤苦、挣扎、悲喜这些专属于其个人历程的记忆，不但使之在离开法国后存在，还将在结束之后放大绵延。
我不由得比较这组数字：
0.1、0.01、0.001、0.0001、0.00001……∞
1.0、10.0、100.0、1000.0、10000.0……∞
是什么让它们“背道而驰”向两极？
1是惟一，无数个结束的缘由是无数个的0，时间是那个神奇的小数点，时间所处的位置决定了结果，拨弄时间这个小数点往左或是往右的――是人！
PS：接受悄无声息地消亡、抛物线式地落体，还是臆想瞬间价值的放大，做后期的附加涂抹得些许心理慰藉？一切的一切，意义为何啊！索然……
楼主邀你扫码
参与上面帖子讨论
发表于：09-08-17 10:15
昨天做了一场梦，他来到我的城市，我们沿着小秦淮河慢慢走、慢慢聊，交换了彼此境况，坦陈一些些的关心，不带任何色彩，没有一丝波澜，恬淡……
发表于：09-08-17 10:30
这文很哲啊。。。我颇心折。。。。
另：对于楼上的梦，柳下惠有不在场的证明。
戴花要戴大红花，骑马要骑千里马。　
唱歌要唱国际歌，听话要听党的话。
发表于：09-08-17 11:35
这文不是一般的哲
哲的我跟在后面边哼歌边计算
然后看到柳下惠躲在秦淮树边
上天给你什么，就享受什么
千万不要去听难堪的话，一定不去见难看的人
或者是做难做的事情，爱上不应爱的人
世界如此长久，在你转身之后。
最初的梦想：http://b780407.xici.net
发表于：09-08-17 13:26
我只是来看风景的
我那帅的一米的造型
成为了风景
发表于：09-08-17 13:41
我一路向南
谁又知道，我终究要到达的是北方
我改变不了整个世界的环境
但我可以改变你的眼睛
让生命充满你的眼睛
是我的追求
我的个人版版
http://b1110251.xici.net
发表于：09-08-17 14:53
以下是引用 第4楼 九度安静 的话：
这文不是一般的哲哲的我跟在后面边哼歌边计算然后看到柳下惠躲在秦淮树边 ...
以下是引用 第6楼 笑水寒 的话：
我一路向南谁又知道，我终究要到达的是北方 ...
互相依靠，彼此温暖
发表于：09-08-17 18:35
之所以与你
还是保持了
0.公分的距离
那是因为我
二得可以。。。。。。
堂下何人？奴婢不敢。
抬起头来！奴婢不敢。
为何不敢？奴婢太丑。
发表于：09-08-17 23:15
雷锋& 你妈喊你回家吃饭
为什么你们都没有情调?
发表于：09-08-18 10:28
太文雅的东西不适合我~~
灵魂每个人都有
不同的人的灵魂
会有着不同的颜
色但是却有着同
样的重量２１克
发表于：09-08-18 22:01
一切的一切，意义为何啊！索然……
入世识诡话
出尘听天音
发表于：09-08-21 08:14
宁哲不弯～
汗，跟个帖子咋那么难呢，脑细胞都累S好多了～
九度，俺喜欢你的图，绿衣黑裙咋那么好看捏～
猴子，企图掩饰你是男主角这件事，又失败袅
&&&&&&&&&&&我喜欢两个人的世界&
即使老了&也要和爱的人牵手走在大街上&炫耀我的幸福&
我的BLOG:http://hanning08.
发表于：09-09-02 19:26
哎，最近总做梦。有笑醒的，有吓醒的。谁有周公说梦？借来看看？
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我已阅读并同意、中的全部内容！Since the Lap lace transform in effect analyses a signal into both oscillatory and non-oscillatory functions which expand and contract with time, it allows the signal f (t) to be less restricted than in the case of the Fourier integral. On the other hand, there are still restrictions the real part ? of the variable mus 的翻译是：因为圈花边变换实际上振动性与非振动功能的膨胀和收缩时间分析一个信号，它允许将限制更少比在傅里叶积分的情况下的信号 f (t)。另一方面，仍有限制实际变量的一部分 ? 必须始终足以提供收敛。例如 f (t) 包含越来越多的指数组件 e7t，如果积分仅将会聚如果任期 e-?t 至少抵消其增长，这意味着该 ? 必须至少 7。但反映等于中的术语，例如，exp(t?) 必须占据主导地位的价值，无论 t e 足够大值，因此拉普拉斯变换计数不能使用。其他限制，已经提到，是圈花边变换无法应付信号并扩大到有限的过去，并在区间为 0 中只计算积分 & t & ∞。，这是其中的值确保收敛区间为 0 &l 中文翻译英文意思，翻译英语
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Since the Lap lace transform in effect analyses a signal into both oscillatory and non-oscillatory functions which expand and contract with time, it allows the signal f (t) to be less restricted than in the case of the Fourier integral. On the other hand, there are still restrictions the real part ? of the variable mus
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由于一圈花边改造效果分析信号振荡和非振荡的功能扩展，并随着时间的推移合同，它允许信号f（t）要小于傅立叶积分的情况下限制。另一方面，仍然有限制变量的实部?必须始终提供足够的衔接。例如，如果F（T）包含一个增长的指数组件e7t，积分只会收敛，如果长期E -?吨至少抵消其增长，这意味着?必须至少有7。但等于一个任期在F（T），例如，EXP（T ?），必须主宰发送足够的T值，无论价值，并因此拉普拉斯变换计算不能使用。其他限制，前面提到的，是一圈花边变换无法应付信号扩展到有限的过去，和积分仅在间隔评估0 &T &∞。这样做的原因是，值，其中确保在收敛区间0 &T&∞不也给它在间
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因为圈花边变换实际上振动性与非振动功能的膨胀和收缩时间分析一个信号，它允许将限制更少比在傅里叶积分的情况下的信号 f (t)。另一方面，仍有限制实际变量的一部分 ? 必须始终足以提供收敛。例如 f (t) 包含越来越多的指数组件 e7t，如果积分仅将会聚如果任期 e-?t 至少抵消其增长，这意味着该 ? 必须至少 7。但反映等于中的术语，例如，exp(t?) 必须占据主导地位的价值，无论 t e 足够大值，因此拉普拉斯变换计数不能使用。其他限制，已经提到，是圈花边变换无法应付信号并扩大到有限的过去，并在区间为 0 中只计算积分 & t & ∞。，这是其中的值确保收敛区间为 0 &l
自该圈花边转变成一个信号在分析两此外和非此外,扩大职能和合同与时间,这使信号f(t),是较少受到限制的情况比傅立叶不可分割。 在另一方面,仍有限制的实质部分的?变量必须总是足以提供衔接。
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& a或者在培训后12月内未获得的证书的人员，必须进行补习培训。至少，补习培训应该包括产品、色斑配置、操作及标准化、专门的操作程序、适用技巧、解释和评估NDT结果、安全、以及适用的法典、标准及规范。每个主题的教学深度由负责的3级人员确定。 Or certificate personnel who in December has not obtained after training, must carry on enrolls in supplementary lessons training.At least, enrolls in supplementary lessons training to be supposed to include the product, the color spot disposition, the operation and the standardization, the special
& a工作日期 Work date & a企业的明天 Enterprise's tomorrow & a搅拌机 Mixer & adiscontinued activities 被中断的活动 & a即使这工作可能要花掉我六个星期的时间，我仍决心要完成这份工作 Even if this work possibly must spend my for six weeks the time, I still was determined must complete this work & alaght at yoursrlf laght在yoursrlf & a那个小女孩画画的真好 That little girl paints pictures really well & a你对你孩子太苛刻了 You too were harsh to your child & aGrow some raspberries for some lost skunks while they find their way home 当他们寻找他们的道路家庭时，种植有些莓为一些失去的臭鼬 & a通过正规渠道 Through regular channel & aher love for him is 她的对他的爱是 & aJobs is gone, and left the US unemployed 工作去和左美国失业者 & acum_on_sutra_big cum_on_sutra_big & aJust remember to leave a little 请记住留下一点 & aweighting factor is 1. This issue of structural zeros has already been considered in log-multiplicative models in the literature. 衡量要素是1。 结构零的这个问题在日志乘模型在文学已经被考虑了。 & aThe Last Fuck Goodbye 最后交往再见 & aThanks for the email, I will respond as soon as I can. x 当我能，感谢电子邮件，我将反应。 x & a让Sue明天晚上七点在你家看电视。 Will let Sue tomorrow evening seven watch the television in your family. & a我的purse My purse & a少的 Few & aIs the cause of her husband. 是她的丈夫的起因。 & adont know how to fly when someday it is set free 当某天设置它自由时，不要会飞行 & atravel journal 旅行学报 & aHowever, the opening up of banking markets can also entail large risks since domestic bank need to undertake huge investments to become competitive against foreign bank. 正在翻译，请等待... & a本公司是一家管理一流，技术一流，服务一流，员工一流的集团公司。 This company is one manages first-class, technology first-class, service first-class, staff's first-class group company. & aWhat's this in English? 这是什么用英语？ & a也就是日 Also is on November 5, 2011 & a人们关心老年人的安全和健康 The people care about senior citizen's safety and the health & a喵喵喵喵喵； Meow & a马来巴东牛肉 Malaya Badong beef & aA little better. 一少许更好。 & a但自从08年全球经济危机之后 But since 08 year global economic crises & a减少客户流失，提升客户忠诚度 Reduced customer outflow, promotion customer loyalty & aI have learned their lessons than ever before 我学到了他们的教训 & a让我看到你心中的寂寞… Let me see in your heart lonely…
& a我不禁想念她 就如你一样 我不禁想念她就如你一样 & a\不要太伤心了，你的宠物狗 可能是迷路了 \ did not must too be sad, your pet dog possibly became lost & alengths 长度 & aSince the Lap lace transform in effect analyses a signal into both oscillatory and non-oscillatory functions which expand and contract with time, it allows the signal f (t) to be less restricted than in the case of the Fourier integral. On the other hand, there are still restrictions the real part ? of the variable mus 正在翻译，请等待... &图论在实际生活中的应用_百度文库
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图论在实际生活中的应用
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你可能喜欢0.999……等于1么？这个问题有什么意义？
这周我(原文作者，下同)在IO9发了一篇问答，其中一个问题是：无限循环数如何相加才能得到一个有限数的和？
这是芝诺悖论后又一个困扰着诸多数学家们的难题。在芝诺悖论中，一个人如果要过街，他首先走完总程的1/2，接着走完剩下1/2的1/2，以此类推，无穷尽也。几个月前有一个视频认为：
1 + 2 + 3 + ….的和为-1/12，一时间被疯狂转载，网络上顿时掀起热烈讨论。()
不过说到无穷数谜，大多数人第一次遇到的就是：0.999……无限重复下去，最后会等于1么？
从魔兽世界游戏中的留言板到安·德兰论坛，大家对这个问题的争论非常火爆。对于芝诺悖论，大多数人都觉得题中人最后会到达街对过。可同样的情形放到循环小数里，直觉就会告诉你0.999……怎么也不会等于1啊。光是看就知道0.999……比1小，但是差的却不多……大家都认为0.999……这个数只是不断接近目标，却永远也不会达到。
不过，他们的老师(包括我在内)，会说：错，0.999……就是1。
想要说服人们站到我这边，我就要用下面的方法：
众所周知， 0.33333……=1/3
两边同时乘以3得到0.999… = 3 / 3 = 1
如果这还不足以让你动摇，试试把0.999…乘上10，也就是将小数点向右挪了一位，所以我们得到了
10 x (0.999…) = 9.999…
现在把两边的烦人小数都去掉，我们在等式两边同时减去0.999……
10 x (0.999…) - 1 x (0.999…) = 9.999… - 0.999…..
得到了9 x (0.999…) = 9.
什么数乘以9会等于9？自然是1。
对于大部分人，这种证明方法就足够了。但是老实说，这套证明体系缺了点什么，也没有真正解决0.999……=1的不确定。事实上这种手段只是用了些代数上的小把戏，你不会真的以为1/3=0.333……吧？
比起相信1/3=0.333……，其实还有更可怕的：
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …?
省略号在这里的意思是相加过程会永远持续下去，每次相加的数字大小都是上一次的两倍。这么大的和毋庸置疑应该是无穷大了。但是你试试乘以2，会发生什么？
2 x (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ….) = 2 + 4 + 8 + 16 + …
好像和原来的和差不多，只是(1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …)前面多了个1，所以(2 + 4 + 8 + 16 + …)比(1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …)小1，换句话说：
2 x (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …) - 1 x (1 + 2 + 4 + 8 + 16 + …) = -1
相减得到：
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + … = -1
将越来越大的数字相加无限次，结果却等于-1？
更疯狂了来了，求下列无穷和：
1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + …
有人会这样理解：
(1-1) + (1-1) + (1-1) + … = 0 + 0 + 0 + …
除了上面这种和为0的观点，还有一种理念认为应该这样看待算式：
1 - (1 - 1) - (1 - 1) - (1 - 1) - … = 1 – 0 – 0 – 0 …
结果和为1，到底是0还是1？还是“一半时间是0，一半时间是1？”最后的值是多少取决于你停在那里，但是无穷和是不会停的！
先不要着急下结论，我们先假设T是这个神秘的和：
T = 1 – 1 + 1 – 1 + 1 – 1 + …
两边同时取负
-T = -1 + 1 - 1 + 1 - …
我们注意到右边刚好是T-1，也就是说：
-T = -1 + 1 - 1 + 1 - … = T - 1
所以 -T = T - 1,这个方程只有当T=1/2时才有解。一个由许多整数相加的无穷和到最后竟然神奇地出现了分数解？
你是不是还是觉得没有道理？但是包括意大利数学家格兰迪在内的一些人表示1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + …最后会出现分数解，许多时候，人们将1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + …称为格兰迪级数。在1703年发表的一份文章中，格兰迪认为这个发散级数的和应为1/2，这个不可思议的结论也代表了宇宙从无到有的造物过程，许多当时的著名数学家，包括莱布尼茨和欧拉都赞同格兰迪的计算，不过不包括他的证明过程。
实际上，0.999……之谜的答案还需要更深入的探索。你无须勉强同意我的代数解法，你完全可以坚持认为0.999…不等于1，而等于1减去一个无穷小的数。既然说到这里，0.333……同样不等于1/3，同样差无穷小的那么一点点。要证明这点需要一点力气，不过也不是做不到。在数学领域，非标准分析这门学科就是专门研究这种数字问题的。非标准分析理论由亚伯拉罕·罗宾逊在20世纪中期创立，也正是非标准分析的出现，人们才终于搞清楚了无穷数的概念。要研究无穷数，你不仅要研究无穷小数，还要研究无穷大数。
好吧，回到我们的问题上来，0.999… 到底是什么？是1么？还是比1小无穷小的数？
现在揭晓正确答案：0.999……可以表达为：
0.9 + 0.09 + 0.009 + 0.0009 + …
这又是什么意思？其实看着让人厌烦的省略号才是真正的问题所在。如果我们有100堆东西，我们还是可以数得出具体数量。但是无穷多我们要怎么办？问题变得不一样了。真实世界绝不可能出现无穷多的“堆”。那么无穷和的数学值又是什么？答案是——除非我们给于一个值，否则不存在这样一个值。法国数学家柯西提出了这个伟大创新理念，他在19世纪20年代将极限这个概念引入了微积分。
伟大数学家哈代在《发散级数》一书中很好的解释了这个问题：
“除非符号分配被定义，现代数学家从来不会认为数学符号有‘意义’，即便是18世纪最伟大的数学家也不觉得定义符号是件琐碎的事情。现在的数学家们都没有定义的习惯：他们觉得写上“我们将X定义为Y”这么许多字相当不自然。”在柯西之前，大多数数学家都会问“1 - 1 + 1 - 1 +…等于几？”，他们不会问“如何去定义1 - 1 + 1 - 1 +…？”这种思维习惯让这些数学家陷入不必要的困惑和争论中。
随着你0.9 + 0.09 + 0.009 + …不断相加下去，最后的值会越来越接近1。最后这个无穷和会随着无穷的相加，最终到达1，并且永远留在1的位置。哈代则认为，这个无穷数应该被简单地定义为1，他也花了一番功夫证明这样定义不会造成其它地方出现什么大矛盾。
对于格兰迪级数1 - 1 + 1 - 1 + …，柯西的理论不管用了。用Lindsay Lohan的名言说就是：极限不存在！
崇尚柯西解法的挪威数学家Niels Henrik Abel在1828年写道：“发散级数是恶魔发明出的东西， 任何基于发散级数的证明都是自取其辱。”而哈代的观点(也是我们今天的观点)更为宽容。对于某些发散级数，我们可以赋值，对于另一些发散级数，我们则不应该赋值。现代数学家会说如果要对格兰迪级数赋予一个值，那么就应该是1/2，因为在所有关于无穷和的理论中，但凡能够引起一些注意的，要么认为这个级数的值为1/2，要么像柯西一样拒绝赋值。1+2+3+4……这个级数的情况也很相似，这是一个发散级数，柯西会说这个级数没有值。但是如果真的要给这个级数一个值的话，-1/12可能是最好的选择。
0.999…这个问题之所以能引起如此大的争论，因为它与我们的直觉不符。我们希望任何一个无穷级数都恰好能够符合运算操作，所以好像0.999……需要等于1。另一方面，我们希望每个数字都有一串唯一的小数位数表示，这就与同样一个数既可以用1表示，也可以用0.999…表示相矛盾。两种愿望无法共存，所以必须舍弃其中一个。柯西用独一无二的十进制展开打开了一扇解决这个问题的窗户，在提出后的2个世纪里，这种解法的价值得到了充分证明。
虽然英语有时候使用两种不同字母串(例如，两个单词)来表示世界中一样相同东西的两种同义词，但是我们并没有因此产生任何困扰。同样的，两种不同的数字串表示同一个数字也不是什么天塌下来的事情。
0.999……等于1么？没错，0.999……确实等于1。前提是我们大家一致同意这个不断重复的无穷小数的意思就是1。
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