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归纳推理,提升数学智慧
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归纳推理,提升数学智慧
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浅谈小学数学“探索规律”的内容设计李秀梅 的工作室浅谈小学数学探索规律内容设计
浅谈小学数学“探索规律”的内容设计全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》(以下简称《标准》)第一、二两个学段把“探索规律”规定为独立的学习内容之一,并且指出:“经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程,发展合情推理能力和初步的演绎推理能力。”这是本次课程改革的一次尝试。由于“探索规律”学习内容设计的弹性较大,给教材编制者和教师课程开发留有较为宽广的探索空间。重视这部分内容的设计与研究,是充分发挥其教育价值,提高课程实施质量的需要。
　　1.“探索规律”的教育价值审视　　数学中探索规律的过程,实际上是合情推理与演绎推理综合运用的过程。过去我们比较强调演绎推理,弱化了合情推理,影响到学生创造力的培养。合情推理是丰富多彩的,归纳推理、类比推理是两种用途最广的合情推理。数学家拉普拉斯说过:“甚至在数学里,发现真理的主要工具也是归纳和类比。”合情推理常常要借助于直觉。彭加勒曾经说:“逻辑用于论证,直觉用于发明。”因此,在探索数学规律的思维活动中,既要用合情推理发现数学规律,又要用演绎推理加以论证,以保证结论的正确性,两者缺一不可。这就好比人在迷雾中前行的眼睛与双腿,既要用眼睛观察方向、探寻道路,又要靠双腿循序渐进、达到目标。虽然合情推理的结论具有或然性,但在推理过程中,大胆的设想,超乎寻常的猜想,往往孕伏着发明创造的潜质。让学生在给定的事物中发现、探求隐含的规律或变化趋势,突出探究规律的过程,体验探究和发现规律的方法,可以培养学生观察、分析、综合、归纳和推理等思维能力,增强学生的探究意识和学习数学的兴趣。
　　2.现行教材设计特点的分析　　新课程实施以来,经过国家教材审定委员会审查通过的不同版本的小学数学实验教科书,都对“探索规律”的内容进行了合理选择和精心设计。但不同版本教科书的内容选取相差甚远,编排的方式也有所不同。下面是苏教版和人教版两种教科书中“探索规律”的单元设计:
　　可见,这两种教材关于“探索规律”的内容分别在两个学段中都以主题单元方式进行了独立设计,把探索规律的教学作为培养归纳、类比等合情推理能力的重要载体。综观各册教材进一步发现,在其他各个学习领域,还以分散渗透的方式穿插编排了有关数学规律的探索性内容,重视让学生经历知识的探索过程,把发现规律、探索规律渗透教学的全过程。但不同的教材在内容的选取上存在明显差异。
　　苏教版教材主题单元的设计,主要是让学生在现实的情境中探索事物的间隔排列、简单搭配以及简单周期现象中的规律,并通过平移的方法探索、发现简单图形覆盖现象中的规律。可以使学生经历自主探索和合作交流的过程,并从中体会列举、画图、计算和有序思考等解决问题的基本策略,培养学生发现和概括规律的能力,初步形成回顾与反思探索规律过程的意识,提高解决相应的简单实际问题的能力。
　　人教版教材以独立单元设计的“探索规律”的内容相对较多,并且分布在各个年级。选取的内容主要是图形变化规律、数列变化规律和操作活动变化规律。内容设计的活动性、探究性比较强,一些内容直接设计在“数学实践活动”之中。如三年级上册《数学广角》中“搭配的规律”;五年级上册《量一量找规律》中,通过操作实验探索规律等。并且注意针对各年级学生的特点,引导学生动手操作、独立思考、合作探究,发现数和形的变化规律,体会数学的价值和美丽。
　　3.合理建构内容形式　　《标准》把“探索规律”置于突出的位置。一方面,在公式、法则、算法等规律性知识的教学中强调让学生经历发现、探索的过程;另一方面,将“探索规律”作为数与代数中的独立内容,以加强这方面知识的教学力度。因此,小学数学中“探索规律”的内容,主要是数、式、形的规律的探索,并宜采取集中与分散相结合的方法进行设计。即在不同阶段设置独立的单元以适当的主题进行“探索规律”的学习,同时以相关内容的学习为载体,以分散渗透的方式,引导学生经历知识的探索过程,发现给定的事物中隐含的规律与变化趋势,培养学生归纳、类比等合情推理的能力。
　　探索数的变化规律,主要是让学生观察并发现数与数之间的关系,并运用已经发现的规律进行推理。探索数的变化规律的形式可以是在数列中找规律、数表中找规律、数与形的结合中找规律等。在低年级可多以这样的形式出现,主要是让学生通过找规律更多地了解数的意义,渐渐形成良好的数感,培养学生的观察、归纳、推理能力,为第二学段探求给定事物中隐含的规律与变化趋势作准备。
　　探索形的变化规律,可从一、二年级开始,通过让学生观察简单的不同图形的排列,发现其排列规律,从而知道下一个是什么图形。这有利于学生观察图形的特征,初步感受找规律的思想方法。观察图形的变化规律,有时需要画图和操作,这不仅有利于培养学生的动手操作能力,而且通过手脑并用,能发展学生的形象思维能力并增强空间观念。
　　算式中找规律可通过一组或多组相似的式子,让学生从中发现式子与式子之间规律性的变化,然后根据找到的规律填算式或写出算式的答案。
　　如,《现代小学数学》一年级教材中:先计算,再说说你发现了什么。 　　10-3= 14-8= 16-6= 15-7= 　　11-4=
13-7= 15-6= 15-8= 　　12-5= 12-6= 14-6= 15-9=
　　思考与交流:(1)13-6与12-5的得数一样吗?(2)写出一些十几减几等于7的算式。
　　这里,减法算式中隐含着“被减数”、“减数”与“差”的变化规律。可通过先计算,再引导学生思考、交流,发现规律,应用规律,感受数学规律的应用价值。
　　用计算器探索规律是新课程提出的要求,一方面,小学数学教材中可以独立设置单元——用计算器探索规律。如苏教版教材中通过填表探索“积的变化”规律和“商不变”规律。另一方面,可分散设计一些用计算器探索规律的练习题。
　　“探索规律”内容的设计,应体现素材选取生活化、情境设置趣味化、呈现方式多样化等特点。也就是说,要从儿童身边的事例入手,设计现实的、有意义的内容,使数学学习更加生活化、社会化、趣味化;要从创设问题情境入手,提出具有开放性、挑战性的问题,如:“你是怎么想的?”“你发现了什么?”促进学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等;并且要以丰富多彩的形式呈现内容,如图形、漫画、表格、文字等。学生探索规律时需要从题干、表格、人物之间的对话等当中获取信息,有时信息多余,需要学生选择,有时信息不足,需要学生设法间接获取,让学生经历“现实题材——提出数学问题——建立数学模型——研究或运用数学方法——解决问题”的探索过程。
　　4.恰当把握内容设计的层次性和探索性　　低年级学生的思维主要是形象思维,此时的学习内容应该更多地反映简单图形的变化规律。同时,结合认数与计算进行数与式的排列规律的思维训练,以发展学生的数感、符号感。到了中高年级应更多地运用数学思想方法和已经掌握的数学工具来探索问题、解决问题。“探索规律”的学习应当从一年级开始并贯穿整个小学阶段,同时根据学生的年龄特征和数学知识发展的逻辑顺序,由浅入深、循序渐进地进行安排。
　　现行教材中“探索规律”的问题的答案往往是唯一的,发散性的题目不多,这样就限制了学生的思维。所以教材可以提供一些开放性的训练题,通过对呈现信息的选择与问题解决策略的多样性,来培养学生的发散性思维能力。探索规律的过程,必须蕴含一定的思维质量,体现解决问题的探索性。例如,下面的加法表:
　　表中第一行和第一列的数都是加数,其他格子中填写所在行列两个加数的和。那么每行、每列中的数如何填?它们有什么规律?虽然这里只用到20以内的加法,但由于填写时必须首先考察从哪格填起,如果选择不当,就会出现矛盾。这样的问题对一年级小学生来说,就具有相当的挑战性和探索性。
　　教材是为学生学习提供的基本材料,是实现课程目标的重要资源。“探索规律”这一学习内容的出现,必然涉及教材内容的选择和编制。我们应正确理解“探索规律”的教育价值,以《标准》为依据,根据学科特点和儿童的认识规律,科学选取素材,合理规划和精心组织教材内容。
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小学数学中的推理思想——学习笔记
10:34:02 | By: 15曹庆安 ]
小学数学中的推理思想
——学习笔记及心得
史宁中教授指出：“‘基本思想’主要是指演绎和归纳，这应当是整个数学教学的主线，是最上位的思想。”
数学思想：抽象、推理、模型
教学要点：感悟什么？如何感悟？（不是知识，不靠讲解靠感悟）
通过抽象：现实 → 数学
把研究对象、以及对象之间的关系形成概念，从现实世界到数学内部，数学具有一般性。
通过推理：数学 → 数学
从假设前提出发，通过推理得到数学的结果，数学内部的发展，数学具有逻辑性。
通过模型：数学 → 现实
解决现实世界中的与数量和图形有关的问题，从数学内部到现实世界，数学具有应用性。
一、推理思想的概念。
推理是从一个或几个已有的判断得出另一个新判断的思维形式。推理所根据的判断叫前提，根据前提所得到的判断叫结论。
推理分为两种形式：演绎推理和合情推理。
1、演绎推理。
演绎推理是根据一般性的真命题（或逻辑规则）推出特殊性命题的推理。演绎推理的特征是：当前提为真时，结论必然为真。
演绎推理在小学阶段用的不是很多，小学阶段几乎没有完整的演绎推理，相对来讲，演绎推理更为严格，或者叫严密，为较高层次的推理活动，主要有：三段论、选言推理、假言推理、关系推理等。但是，小学阶段演绎推理却常有使用，如等量的代换其本质就是演绎推理，如小明跑的路程比小强多，小华跑的路程又比小明多，那么小华跑的路程一定就比小强多。这就是演绎推理。
我在之前教学五年级梯形的面积计算中，也有与学生经历了一次完美的演绎推理。在简单回顾平行四边形和三角形面积计算公式的推导之后，我提出了问题：今天我们来学习梯形的面积计算，你准备怎样将它转化为我们学过的图形来探究？第一名学生站起来就说：“可以转化为三角形，你看作一条对角线就可以变成两个三角形了。”其他同学纷纷附和。严重出了我的预设，但生成有道理，于是我果断追问：“是的，这样就分成了两个三角形，但接下来怎样得到它的面积计算方法？”学生先是愣住了，但马上就有孩子发现有了想法：
1号三角形面积可以这样计算：下底x高÷2
2号三角形面积可以这样计算：上底x高÷2
梯形的面积=1号三角形面积+2号三角形面积=下底x高÷2+上底x高÷2=（上底+下底）x高÷2
我看到后大为惊讶，立即给予真诚的掌声，这不就是一个标准的演绎推理吗？
绎推理只能用来验证知识，不能用来发现知识。
2、合情推理。
合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推测某些结果。合情推理的常用形式有：归纳推理和类比推理。当前提为真时，合情推理所得的结论可能为真也可能为假。
归纳推理，是从特殊到一般的推理方法，即依据一类事物中部分对象的相同性质推出该类事物都具有这种性质的一般性结论的推理方法。归纳推理需要前提：经验或者想象
类比推理：是从特殊到特殊的推理方法，即依据两类事物的相似性，用一类事物的性质去推测另一类事物也具有该性质的推理方法。依据该方法得到的结论可能为真也可能为假，需要进一步证明结论的可靠性。
在小学阶段，合情推理的应用比较广泛，比如，我们教学多边形的内角和的计算时，就是合情推理，学生由四边形、五边形、六边形内角和的计算中等，合理出多边形内角和的一般计算方法，而且，我们的对此知识的学习是没有办法严格证明的，只能借助几个例子加以验证。同样，研究圆的周长时，圆的周长到底是它直径的几倍，也是由几个例子加以合情推理得到的，是三倍多一些。
在解决问题的过程中，合情推理有助于探索解决问题的思路，发现结论；但结论的准确性需要用演绎推理来桌面，演绎推理用于证明结论的正确性”。
小学数学中推理思想的应用如下表。
不完全归纳法
找数列和图形的规律
四则计算法则的总结
加法交换律：
加法结合律：
乘法交换律：b
乘法结合律：ab)a
乘法分配律：
商不变的规律
分数的基本性质
长方形面积公式的推导
长方体体积公式的推导
圆柱体积公式的推导
圆锥体积公式的推导
完全归纳法
三角形内角和的推导
整数读写法
亿以内及亿以上的数的读写，与万以内数的读写相类比
整数的运算
四则计算的法则：多位数加减法与两位数加减法相类比，多位数乘多位数与多位数乘一位数相类比，除数是多位数的除法与除数是一位数的除法相类比
小数的运算
整数的运算法则、顺序和定律推广到小数
分数的运算
整数的运算顺序和运算定律推广到分数
除法、分数和比
除法商不变的规律、分数的基本性质和比的基本性质进行类比
与平行四边形面积公式的推导方法相类比，三角形、梯形面积公式的推导，也用转化的方法，把它们转化成平行四边形推导面积公式。
长度、面积、体积
线、面、体之间的类比：线段有长短，用长度单位来计量；平面图形有大小，用面积单位来计量；立体图形占的空间有大小，用体积单位来计量
数量关系相近的实际问题的类比，如分数实际问题与百分数实际问题的类比
不同素材的鸡兔同笼问题的类比
不同素材的抽屉原理问题的类比
多边形内角和的推导
正方形面积公式的推导
平行四边形面积公式的推导
三角形面积公式的推导
梯形面积公式的推导
圆面积公式的推导
正方体体积公式的推导
类似于人教版二年级上册数学广角中的“猜一猜”
根据概念、性质等进行判断的一些问题
大小比较、恒等变形、等量代换等等
根据课程标准关于推理思想的理念和要求，在小学数学教学中要注意把握以下几点。
第一，推理是重要的思想方法之一，是数学的基本思维方式，要贯穿于数学教学的始终。
第二，合情推理和演绎推理二者不可偏废。二者没有优劣之分。
第三，推理能力的培养与四大内容领域的教学要有机地结合。数学基本思想的教学需要有载体，四大领域内容就是它们的载体。
第四，把握好推理思想教学的层次性和差异性。要承认不同孩子的认知发展差异，其差异在数学基本思想的感悟上会特别突出。
备注：这是课题开始之初我的一篇学习材料及心得体会，其中大量搜集了史宁中教授和其他专家的理论与研究成果，包括小学数学中推理思想的应用表，感觉特别适用，故特意借用过来。
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重视培养学生归纳推理，让归纳和演绎比翼双飞
广东东莞市长安镇实验小学（523841）　李　峤什么是“数学的基本思想”？史宁中教授认为：数学思想不仅包括学习数学知识所涉及的思想，比如，等量代换、数形结合、递归、转换等，还包括解数学题所涉及的合并同类项、配方法、换元法等。“基本思想”主要是指演绎和归纳，在具体的问题中，会涉及数学抽象、数学模型、等量代换、数形结合等数学思想，但最上位的思想还是演绎和归纳。演绎推理是根据概念、定理等按照规则进行的推理，是一种由一般到特殊的推理，它的主要功能在于验证结论。归纳推理正好与演绎推理相反，它是一种从特殊到一般的推理，包括枚举、归纳、类比、统计推断、因果分析以及观察实验、比较分类、综合分析等，它的主要功能在于发现新的真理。从笔者长期处于教学第一线的体会来看，教师往往更注重演绎推理的渗透，而忽略归纳推理（也叫合情推理）能力的培养。的确，在教学面积、体积公式的推导，运算定律，比的基本性质，等等内容时，教师可能都会让学生尝试先猜测再验证。有些教师就认为这已经是向学生渗透猜测验证的思想方法，但是，从根本上讲，归纳推理作为与演绎推理同等重要的基本数学思想，也仅仅是在学习新课的过程中给学生渗透而已，而一旦新课讲完，开始练习，归纳推理就基本“拜拜”了。也就是说，不管是教学，还是作业考试，其实根本上还是清一色的演绎推理。因此笔者针对此现象做了思考与教学实践。一、学生与生俱来的归纳推理的“火苗”不应该被扼杀【案例１】数学兴趣小组一共有１５名同学，其中男生有９名，女生有多少名？学生列式“９＋６＝１５”，然后给出答案：女生有６名。面对这样的算式，很多教师往往是粗暴地判错了事。笔者认为，我们应该充分肯定和保护学生这样的想法甚至书写方法。我们有时为了追求一些外在的东西，而用格式、规定等去扼杀了很多有创意的东西，其实这样写又有何不可呢？从思维上讲，是考虑９名男生和几名女生才能凑成１５人，这是多好的代数思想的萌芽呀！学生在头脑中可能经历了９＋４、９＋５等过程，这又何尝不可呢？有人要问：“１５－９＝６要不要教？”要教，但是两者并不矛盾，因为这是两种不同的想法和解题方法。二、在练习中培养学生归纳推理的能力有的教师注意在新课环节渗透归纳思想，但是一旦新课学完，练习就成为对知识点的反复巩固，最后的落脚点仍然在知识点上。笔者认为这样是不够的，事实上学生从练习中汲取的营养甚至会多过新课环节。练习时，学生经历比较独立的读题审题、思考尝试的过程，对于这个过程中所经历的东西会有更深刻的理解和感悟。所以，教师应该在这个环节提供给他们感受归纳推理的平台。１．重视归纳的过程而非结果在小学阶段，很多练习题中可以总结归纳出一些规律性的东西，教师会引导学生去归纳，但更多的是让学生去记忆这些结论性的东西，以应对考试。实际上死记硬背既费力且没什么效果，如果不能理解，就算背得好都不会用，而要想理解得更好，就应该在归纳的过程下更多工夫。例如人教版五年级上册Ｐ２４第３题和Ｐ２５第８题：这两题很显然都是要让学生总结并发现规律，教师肯定也是这样做的。但这里要强调的是，应该给予学生足够的时间，并在方法上指导他们，让他们自己去尝试归纳总结出规律，而不是教师迅速地抛出规律，让学生去记忆，然后不停地使用规律去练习。这样的例子在人教版的教材中非常多见。２．突出归纳推理的优点教材中有些内容可用多种方法呈现，这时教师就可以从多方面制定教学目标，譬如选择某些内容为载体，有意识地、刻意地突出和体现重要的归纳推理的思想方法。例如人教版六年级上册数学广角的“鸡兔同笼”，教材呈现了表格法、假设法、代数法（“你知道吗”还介绍了“抬脚法”），那么教师在教学时就可以根据自己的教学目标去进行取舍。经过教学实践的检验，假设法是解决这类问题比较巧妙的方法，但是假设法有它的局限性，并且学生不易理解，学过之后就忘了，最后就只剩下列方程的一般代数法。代数法具有很强的一般性，但是作为数学广角的内容，如果简单地用代数法去处理，教材的编写者把它放到用方程解决问题单元岂不是更好？这显然就和“数学广角”的设计思想不符。到底是什么方法更有一般性，适用范围更广泛，更能体现数学的基本思想？基于这样的思考和教学实践，教师应该让学生通过列举的方法进行尝试，在尝试的过程中不断猜测并发现规律，从而优化探索的过程。这种尝试、列举、验证的方法就是解决很多问题经常采用的方法，是数学中最朴素并且广泛应用的方法，也渗透了最基本的数学思想。因此归纳推理成为这堂课学生最需要感受的思想。于是笔者引导学生先随意猜测鸡和兔的只数，然后验算出此时鸡和兔的脚数，再与实际的脚数进行对比。学生会发现，脚数少了就应该增加兔的只数，脚数多了就应该增加鸡的只数，从而调整他们的猜测。这个层次的内容，从笔者近四年的教学实际情况来看，几乎１００％的学生都能掌握运用。而有部分思维好的学生，会进一步发现：可以把第一次猜测的脚数与实际脚数进行比较，用相差的总脚数去除以一只鸡和一只兔相差的２只脚，从而一次性找到应该如何调整鸡和兔的只数的方法。这样的教学过程，强烈地改变了学生的认知，拓宽了他们解决问题的方法。笔者是在六年级接手一个班的教学，刚开始的时候学生一遇到问题，只会想如何去列式计算，而经过这个内容的教学，至少有超过一半的学生对于归纳推理有了更深刻的认识，并能恰当地去应用。例如：画一个周长为３２ｃｍ，长和宽的比是３∶５的长方形。以前学生只会按部就班地用按比分配的方法去求出长方形的长和宽，然后再画图。现在很多学生会从３∶５这个条件出发，（３＋５）×２＝１６，（６＋１０）×２＝３２，从而找到答案。这种认识上的进步是令人欣慰的。例如：（１）画一个面积为４８ｃｍ，长和宽的比是３∶４的长方形。（２）做一个底面积为３６平方厘米、高为５厘米的长方体框架需要多少厘米的铁丝？这样的题目以前是学习的难点，而现在学生自然就会想到用合情推理的方法去解决问题，这些问题也就成为绝大多数学生都能够解决的问题。这应该就是归纳推理发挥作用的体现吧！３．鼓励学生用归纳推理的方式去解决问题有了教师的引导和鼓励，学生的思维也打开了，他们做题时不再局限于演绎推理的方法，作业中大量地出现归纳推理的思想方法。例如：1.中国农历中的“夏至”是一年中白昼最长、黑夜最短的一天。这一天，北京的白昼时间与黑夜时间的比是5∶3，白昼和黑夜分别为多少小时？5∶3=10∶6=15∶9，5+3=8，10+6=16，15+9=24。答：白昼有15个小时，黑夜有9个小时。2.做一个底面积是36cm2，高为4.5cm的长方体框架，至少需要多少厘米长的铁丝？1+36=37，2+18=20，3+12=15，4+9=13，6+6=12。因为12最小，所以（6+6+4.5）×4=66（cm）。答：至少需要66cm。3.一个正方体的容器中（如下图所示）恰好能装入一个侧面积是12.56dm2的圆柱，这个容器的容积有多大？12.56÷3.14=4（dm2），2×2=4，4×2=8（dm3）。答：容积为8dm3。4.东莞市某加工厂的甲、乙两个生产组承租了2010年广州亚运会吉祥物——“祥和如意乐洋洋”的一部分加工任务。甲组每天可加工200套，乙组每天可加工250套。甲组先加工了400套后，乙组才开始加工，乙组加工多少天后与甲组加工的同样多？答：乙组加工8天后与甲组加工的同样多。这些解题的方法，貌似离经叛道、不合规矩，但笔者不这样认为。作为与演绎推理同等重要的归纳推理，作为能培养创造性思维的重要思想方法，它值得起教师去“纵容和提倡”。更何况，这样去解决问题有理有据，思维过程清晰，答案准确，有什么理由去否定它们呢？三、归纳与演绎并重更能促进学生思维的发展归纳推理的核心，区别于演绎推理的最明显地方，就是要大胆地做出一些猜测和尝试，从错误中去分析推理，进而找到正确的结果或得出正确的结论。通过观察发现，女生回答问题，往往是确定或者至少自己认为是正确的才会举手发言，而有相当部分男生，想到什么就敢于表达什么。做题也是一样，从整体上看，男生更敢于动笔去尝试一些方法，因此涂涂改改也比较多；而女生更喜欢想清楚了再动笔，卷面清爽整洁。这里不谈其他，就从敢于尝试，从失败中得到启示这个角度去看，确实男生性格上的特点决定了男生在归纳推理方面能力更强，所以在创造性方面，很显然男生是领先于女生的。当然，这只是笔者就自己短短十来年教学过程中的观察而得出的思考，缺乏科学性，但归纳与演绎并重更能促进学生思维的发展应该是一个比较显而易见的结论。小学都已全面使用新教材了。新教材是在２０１１版课程标准的基础上编排的，必将更有利于教师完成从“双基”到“四基”的转变。笔者特别希望的是，教师能够从观念上、从根本上更加重视与演绎推理同等重要的归纳推理，并且在学生的学习过程中去全方位地渗透，让学生能够有足够的机会感受归纳推理的“魅力”，会恰当地使用归纳推理去解决问题。（责编　金　铃）
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