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来源链接是否正确？用户、话题或问题是否存在？三、图乘法
1.2.3 图乘法
图乘法是关于 的简化计算方法。在一定的应用条件下，图乘法可给出该积分的数值解，而且是精确解。
（一）图乘法的适用条件
（1）杆件为直杆；（2）EI为常数（等截面）；（3） 和 图中至少应有一个直线图形。
对于等截面直杆所构成的梁和刚架，都能同时满足以上三个条件，因而均可采用弯矩图图乘的方法，简称图乘法。
（二）图乘法计算位移的公式
　　　　　　　　　　　　　　　　　（1-15）式中为、图中某一图形的面积；为与该截面形心对应的另一个图形的竖标。这样，就将较为复杂的积分运算问题简化为求图形的面积、形心和标距等几何运算问题。
（三）几种常见图形的面积的形心位置
在图1-15中，给出了位移计算中几种常见图形的面积公式和形心位置。
【注意】在所示的各次抛物线图形中，抛物线“顶点”处的切线都是与基线平行的。这种图形可称为抛物线标准图形。应用图中有关公式时，应注意这个特点。
（四）图乘法计算位移必须注意的几个问题
（1）必须取自直线图形。
（2）与若在杆件同侧时，其乘积取正号；反之，取负号。
（3）如果两个图形都是直线图形，则可取自其中任何一个图形。
（4）如果图是曲线图形，图是折线图形，则应分段互乘，最后叠加。
（5）如果图形比较复杂（由不同类型的多个荷载作用绘出），其面积和形心位置不便确定时，则可利用“区段叠加法”的逆运算，将其分解为几个简单的标准图形，并将它们分别与另一个图形图乘，最后叠加。
（6）如果杆件EI分段变化时，可分段图乘，最后叠加。
（7）如果EI沿杆长连续变化或是曲杆和拱结构，则必须用积分计算位移。
（五）图乘法的计算步骤
（1）绘实际荷载作用下的图；
（2）根据所求位移，加相应单位力，绘图；
（3）代入式（1-15）求位移：
【注意】根据计算结果的正负号，判定位移的实际方向，并在计算值之后所加的圆括号中，标明其实际方向。6静定结构位移计算_结构力学_ppt_大学课件预览_高等教育资讯网
结构力学：6静定结构位移计算
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第 6章静定结构位移计算主要内容§ 6-3 力的虚设方法§ 6-2 支座移动产生的位移计算§ 6-1 概述§ 6-4 制造误差产生的位移计算§ 6-5 温度作用时的计算§ 6-7 图乘法§ 6-6 荷载作用下的位移计算§ 6-8 线性变形体系的互等定理§ 6-1 概述1）计算所采用的理论 ―― 虚功原理复习一下以下概念：▲ 虚功 ―― 力在由其它原因产生的位移上所做的功。其中,1 1 2PTF ―― 虚功▲ 虚功原理 刚体虚功原理变形体虚功原理Fp1 Fp21 2△ 11 △ 22A B△ 12§ 6-1 概述刚体虚功原理：所有外力所做的虚功等于零，即,0W?外虚功原理 虚力原理虚位移原理虚力原理 ―― 位移是真的，力是虚设的。用虚设力的办法来求真实的位移。虚位移原理 ―― 力是真的，位移是虚设的。用虚设位移的办法来求真实的力。变形体虚功原理：所有外力做的虚功 =所有内力做的虚功，即,WW?外 内§ 6-1 概述很显然求位移用的是虚功原理中的虚力原理 。显然支座移动产生的位移、制造误差产生的位移应该用刚体的虚力原理计算。荷载作用产生的位移、温度改变产生的位移应该用变形菜体的虚力原理计算。支座移动产生的位移 ―― 刚体位移制造误差产生的位移 ―― 刚体位移荷载作用产生的位移 ―― 变形体位 移温度改变产生的位移 ―― 变形体位移2）静定结构位移的类型§ 6-2 支座移动产生的位移计算支座移动产生的位移应采用刚体的虚力原理来计算。例：图示简支梁 B支座往下位移了?,求由此产生的 A点转角 。A?真实的位移状态虚设的力状态运用刚体的虚功原理，虚设的力状态上的所有外力在真实的位移状态上所做的虚功应该等于零，有：110A LA L?得：LM=1ΔA B可以得出由支座移动引起的位移计算公式如下：Rc其中,R ― 由虚设力产生的在有支座位移处的支座反力c ― 真实的支座位移例：图示三铰刚架 A支座往下位移了 b,B支座往右位移了 a，求 C点的竖向位移,和 C点的相对转角 。 CVC（ 1）求 C点的竖向位移 CV?真实的位移状态 ab L/2 L/2LA BC§ 6-2 支座移动产生的位移计算12YAF?14XBF?在 C点作用一个竖向单位力，求出 和 。YAF XBF虚设的力状态11()2 4 2 4CVbaba（ 2）求 C点的相对转角C在 C点作用一对力矩，求出 和 。YAF XBFFp=1A BC§ 6-2 支座移动产生的位移计算虚设的力状态1XBF L1()CaaLL真实的位移状态0YAF?A BCLaL/2 L/2b A BC§ 6-2 支座移动产生的位移计算M=1§ 6-3 力的虚设方法力的大小 ― 一般虚设单位力 。力的位Z ― 作用在所求位移的点及方向上。力的方向 ― 随意假设，若求出的位移是正的，说明位移与假设的方向一致。若是负的，说明与假设的方向相反 。力的性质 ― 求线位移加单位集中力；求转角加单位力矩；求二点的相对水平或竖向位移加一对相反的单位集中力；求二点相对转角要加一对单位力矩。Fp=1求 C点竖向位移 求 B点水平位移Fp=1求 C点转角位移M=1Fp=1求 A,B两点相对竖向位移Fp=1 Fp=1Fp=1§ 6-3 力的虚设方法C B CAB求 A,B两点相对水平位移A BM=1求 C点相对转角位移 求 CD杆相对转角位移Fp=1/LFp=1/L§ 6-3 力的虚设方法C CD§ 6-4 制造误差产生的位移计算制造误差产生的位移采用刚体的虚力原理计算。例：图示桁架 AC杆比要求的短了 2cm,求由此产生的 C点水平位移 。解：在 C点作用一水平单位力，方向朝左，求出 AC杆的内力，令虚设的力到真实的位移上去做功，由虚功方程有,真实的位移状态虚设的力状态-2cm baA BC2Fp=1CBA1 2 2 0CH利用虚功方程 有：得,22CH cm例：图示悬臂梁 C点由于制造误差有一转角,求由此引起的 B点竖向位移 。BV?解：虚设一力状态：在 B点加一竖向单位力，求出 C点的弯矩，并把 C点的抗弯连系去掉，用弯矩表示。CMαb aBCA§ 6-4 制造误差产生的位移计算Mc=a Fp=1BCA利用虚功方程有,10B V CM得,B V CM由制造误差引起的位移计算公式如下：NQF M F其中：NF QFM― 虚设单位力作用下产生的轴力、剪力和弯矩。正负号规定：虚内力与变形方向一致为正，方向相反为负 。 ― 制造产生的轴向变形、弯曲变形和剪切变形。§ 6-4 制造误差产生的位移计算例：图示桁架 DC杆短了 2cm,FE杆短长了 3cm,求 C点的竖向位移。解：在 C点作用一竖向单位力，求出 DC杆,FE杆的轴力：14NDCF?516N FEF?运用位移计算公式有,1 5 7234 1 6 1 6CFp=1+3-24m3 4=12m×A BED FC A BED FC§ 6-4 制造误差产生的位移计算§ 6-5 温度作用时的计算温度作用产生的位移采用变形体的虚力原理计算 。计算公式推导：图示简支梁上下温度不一样,求由此起的 A点转角 。12tt?A?取出一微段，研究一下温度所引起的变形。微段发生的转角为：12t d s t d s td sdhhdθt2t1αt1 dsαt2dsA BLds+t2+t1h1hh2+t0 αt0ds微段发生的轴向变形为：0d t d s0t― 杆件轴线处的温度变化值其中：12t t t― 杆件上下边缘的温度差值温度变化不会产生剪切变形。真实的位移状态运用变形体的虚功原理，所有外力所做的虚功等于内力所做的虚功：虚设的力状态t2t1LA B§ 6-5 温度作用时的计算LM=1A B0NNtF d M d F t d s M d sh有：若是结构，则公式为：0NNtF d M d F t d s M d sh若温度沿杆长变化相同，且截面高度不变，则上式可写成：00 NMNttF t d s M d s thh其中：N?― 由虚设单位力产生的轴力图面积§ 6-5 温度作用时的计算M?― 由虚设单位力产生的弯矩图面积正负号的规定：虚力状态中的变形与温度改变产生的变形方向一致时，取正号，反之取负号。例：图示三铰刚架，室内温度比原来升高了 300，室外温度没有变化，求 C点的竖向位移,杆件的截面为矩形，高度 h为常数，材料的膨胀系数为 。CV?§ 6-5 温度作用时的计算10m5m 5mA BC+300002mNF解：（ 1）在 C点作用一竖向单位力画出 和 图。M（ 2）运用公式求 CV? 00 003 0 0 152t 0 0 03 0 0 3 0t1 5 0,5 1 0 2 0,3 8 5,3 8 23 0 1 0 9 6 00,2 0 8 2 2,0 8 5,3 8 2 1 1,22CVhh0.2080.50.50.208Fp=12.08 2.082.08 2.08Fp=10.50.38FN图A BCA BC§ 6-5 温度作用时的计算M1图荷载作用下的位移计算采用的是变形体的虚力原理。结构位移计算的一般公式推导：图示悬臂梁微段 发生了ds轴向变形 剪切变形 弯曲d? d?变形,求 B点的竖向位移。d?把微段的变形浓缩至 D点：1）积分法dθdλ§ 6-6 荷载作用下的位移计算A BC DdsDCdη dθdλdη DC虚设一力状态,B点的竖向位移为,NQBVd F d F d M d若整根梁上都由变形，则 B点的竖向变形为：C V C V NQd F d F d M d0NQF d s F d s M d s由材料力学可知,PMEI 0QPFkGANPFEA对结构则有：L L LQ NQP NPPo o ok F F FFMM d s d s d sE I G A E A①A BFP=1§ 6-6 荷载作用下的位移计算§ 6-6 荷载作用下的位移计算NPF其中,PM QPF― 荷载作用下结构产生的弯矩剪力、轴力NFM QF― 单位力作用下结构产生的弯矩剪力、轴力做题步骤,（ 1）写出结构在荷载作用下每根杆子的弯矩、剪力、轴力的方程；（ 2）写出结构在虚设单位力作用下每根杆子的弯矩、剪力、轴力的方程；（ 3）代入公式①计算。例：求图示简支梁中点 C的竖向位移 。CV?解：（ 1）取虚力状态如图：（ 2）写出 弯矩、剪力的方程：0 2Lx当 时12Mx?12QF?222PqqM L x x 12QPF q L q L（ 3）计算 CV?2220011 1,22 2 2 2 222LLCVq q q Lx L x x q Ld x d xE I G AFp =1C/CA BL/2 L/2§ 6-6 荷载作用下的位移计算q kN m4253 8 4 8q L q LE I G A2220011 1,22 2 2 2 222LLCVq q q Lx L x x q Ld x d xE I G A（ 4）比较弯曲变形与剪切变形的影响弯曲变形,45384MqLEI剪切变形,28QqLGA两者的比值,2211,52 2.5 6QME I hG A L L若高跨比为,110hL? 2,5 6 %QM则：§ 6-6 荷载作用下的位移计算结论,在计算受弯构件时，若截面的高度远小于杆件的长度的话，一般可以不考虑剪切变形及轴向变形的影响。例：计算图示刚架 C点的水平位移 CH? 和 C点的转角C，各杆的 EI为常数。解：（ 1）求 CH?写出杆件的 方程MPMBC杆,0M?212PM q x BA杆,Mx? 212PM q L§ 6-6 荷载作用下的位移计算LACBLEIEIqACBFP=1240124LCHqL x qLdxE I E I（ 2）求C写出杆件的 方程MPMBC杆,1M212PM q xBA杆,1M212PM q L22 30011 112223LLCq x q L qLdxE I E I E I?§ 6-6 荷载作用下的位移计算ACB M=1各种静定结构位移的计算公式如下,（ 1）梁、刚架 ―― 只考虑弯曲变形L PoMM dsEI（ 2）桁架 ―― 只有轴向变形NNPFF LEA（ 3）组合结构 ―― 受弯构件只考虑弯曲变形L NNPPoFFMM d s LE I E A§ 6-6 荷载作用下的位移计算（ 4）三铰拱 ― 曲杆要考虑弯曲变形和轴向变形,拉杆只有轴向变形 。1LL NNNP NPPooF F F FMM ds ds LEI EA EA曲杆的积分计算可用数值计算代替,1NNNP NPP F F F FMM S S LEI EA EA、、、、、PM M NPF NFEI EA S?其中,都取 段上中点的值。§ 6-6 荷载作用下的位移计算例：求图示半径为 R的圆弧形曲梁 B点的竖向位移,BV?已知 EI为常数。解：取虚力状态如下所示：为求PM M取 kB隔离体如下：PM P R S in1M R S in20BVP R S in R S in R dEI34PREIpBOθkFQkNkMkdθ§ 6-6 荷载作用下的位移计算θdsORABFpkORABF =1p§ 6-7 图乘法受弯构件的位移计算公式,L PoMM dsEI若 EI是常数就可提到积分号的外面,上式就变为,1 LPo M M d sEIPM M若 和 中有一个是直线图,如图所示,M tg x 代入上式有,1 LPo M tg x d xEItg? 是常数,可提到积分号的外面 x0yoC形心xy0dωdxA BM 图AMP图BxM§ 6-7 图乘法x0yoC形心dωdxxy0A BM 图AMP图BxMPM 0x是 图对 Y轴的面积矩,可写成,0LPM x d xPM其中,--是 图的面积0x PM--是图的形心到 Y轴的距离有,01 tg xEI令,00tg x y01 yEI得：0y PM--是图形心位置所对应M 图中的竖标的图乘法应用的前提：▲ 杆件的 EI是常数；▲ 杆件是直杆；PM M 的图形至少有一个是直线图形。▲两个直线图形的图乘公式：( 2 2 )6 L a c b d a d b cEI上述公式的适用所有直线图形的情况。w2w1§ 6-7 图乘法bac dy2y1A BL上述图乘公式的适用所有直线图形的情况,例：× ×｛｛× ×｛ ｛§ 6-7 图乘法×｛23hll/2 l/2h2hla bhl+b/3l+a/3顶点hl/43l/43l/8 5l/82 3?hl?123?hl?h顶点2l/5 3l/5l/54l/52 4hl134?hl?§ 6-7 图乘法2?hl?h2l/3 l/3l几种图形的面积及形心复杂图形的处理：+=× × ×+= ×× ×§ 6-7 图乘法例：求 A点的转角和 C点的竖向位移。解,（ 1）求 A点的转角3 0 0 6 1 1 3 0 023A?（ 2）求 C点的竖向位移3 0 0 6 2622326 4 5 3 6 6 6 03CVCA B20kN10kN/m6m 6m6 Fp=1MC图1M=1MA图§ 6-7 图乘法30045MP图例：求图示三铰刚架 C点的相对转角。解：荷载作用下的弯矩图和虚设力作用下的弯矩图如图所示。 B20kN/m§ 6-7 图乘法AC ED8mα6m2mAEDBAEDB120 12040403/4 3/41MC图Mp图M=11 1 2 0 6 2 6 2 0 62 2 1 2 0 1 2 0 1 22 3 8 6 81 2 2 0 1 6 72 0 23 8 8CE I E IEI§ 6-7 图乘法3/4 3/41AEDB120 1204040Mp图AEDBMC图M=1§ 6-8 线性变形体系的互等定理本节介绍线性变形体系的四个互等定理,其中最基本的是功的互等定理,其它三个定理均可由此推导出来 。1) 功的互等定理设有两组外力 FP1和 FP2分别作用于同一线弹性结构上,如图所示,(a),(b)分别称为结构的第一状态和第二状态 。(a) 第一状态FP11 2Δ11 Δ21(b) 第二状态FP21 2Δ12 Δ221 1 11 1 12 2 221122P P PW F F F这两组力按不同次序先后作用于同一结构上时所作的总功分别为：(1)先加 FP1后加 FP2，外力的总功(2)先加 FP2后加 FP1,外力的总功2 2 22 2 21 1 111122P P PW F F F(a) 第一状态FP11 2Δ11 Δ21(b) 第二状态FP21 2Δ12 Δ22§ 6-8 线性变形体系的互等定理功的互等定理,即第一状态的外力在第二状态的位移上所作的虚功，等于第二状态的外力在第一状态的位移上所作的虚功。1 1 2 2 2 1 ( a )PPFF∵ 外力所作总功与加载次序无关，即,W1 = W2∴ 由 1,2可得：§ 6-8 线性变形体系的互等定理2) 位移互等定理在功的互等定理中,令,FP1 =FP2 =1由功的互等定理式（ a）则有：1 2 2 111 1 2 2 1 ( b )即：(a) 第一状态FP1＝ 11 2 δ21(b) 第二状态FP2＝ 11 2δ12§ 6-8 线性变形体系的互等定理位移互等定理,即第二个单位力所引起的第一个单位力作用点沿其方向上的位移，等于第一个单位力所引起的第二个单位力作用点沿其方向上的位移。在位移互等定理中：单位力 ―― 广义力（单位力偶、单位集中力）；位 移 ―― 广义位移（线位移、角位移）。§ 6-8 线性变形体系的互等定理左图分别表示二种状态,即支座 1发生单位位移 Δ1＝ 1时,使支座 2产生的反力 r21；另一种即为支座 2发生单位位移 Δ2＝ 1时,使支座 1产生的反力 r12。3）反力互等定理反力互等定理也是功的互等定理的一个特例。(a) 第一状态r21Δ1＝ 112(b) 第二状态Δ2＝ 1r12§ 6-8 线性变形体系的互等定理左图分别表示二种状态,即支座 1发生单位位移 Δ1＝ 1时,使支座 2产生的反力 r21；另一种即为支座 2发生单位位移 Δ2＝ 1时,使支座 1产生的反力 r12。3）反力互等定理反力互等定理也是功的互等定理的一个特例。Δ1＝ 112(a) 第一状态r21(b) 第二状态Δ2＝ 1r12§ 6-8 线性变形体系的互等定理2 1 2 1 2 1rr 2 1 1 2 r r ( c )?根据功的互等定理有：反力互等定理,即支座 1发生单位位移所引起支座 2的反力，等于支座 2发生单位位移所引起的支座 1的反力。(b) 第二状态Δ2＝ 1r12(a) 第一状态r21§ 6-8 线性变形体系的互等定理注意,该定理对结构上任何两支座都适用,但应注意反力与位移在作功的关系上应相对应,即力对应线位移；力偶对应角位移 。由反力互等定理，则有：r12 = r21 即反力偶 r12等于反力 r21（数值上相等，量纲不同）(a) 第一状态 r2112φ1＝ 1(b) 第二状态Δ2＝ 1r121 2§ 6-8 线性变形体系的互等定理4) 反力位移互等定理这个定理同样是功的互等定理的一种特殊情况 。1 2 1 2 2 1PrF由两个状态应用功的互等定理，则有∵ 主功力与反力的功相反∴ 相差一负号(b) 第二状态（由 φ1=1引起 δ21 ）δ2112φ1＝ 1（ a） 第一状态（由 FP2 =1引起 r12）FP2＝ 1r121 2§ 6-8 线性变形体系的互等定理211 2 2 11( d )PFr单位载荷引起某支座的反力，等于因该支座发生单位位移时所引起的单位载荷作用处相应的位移，但符号相反―― 反力位移互等定理§ 6-8 线性变形体系的互等定理
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用图乘法可求得各种结构在荷载作用下的位移对吗?
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不对.静定结构在荷载作用下的位移计算包括弯曲变形、轴向变形、剪切变形对位移的影响.图乘法一般是用来计算弯曲变形对位移的计算.应用图乘法时,结构的各杆段要符合3个条件：1、杆轴为直线；2、EI=常数；3、M和Mp两个弯矩图中至少有一个是直线图形.
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