您现在的位置：
>> 正文内容
至善至美的数学
立德树人的数学教育
——关于小学数学教育的一些思考[1]
文章来源：小学数学教师》2017年第7，8期合刊
发布时间：日
文章来源：《小学数学教师》2017年第7，8期合刊
推介理由：
庸俗地看，数学既无人文学科的浪漫，又无立竿见影的用处，这就注定了学科的悲情色彩。不是吗？在中小学课程体系里如果不是因为硬性规定，数学能广泛地受到教师和孩子的热烈追捧吗？读李大潜的《至善至美的数学 立德树人的数学教育》一文才明白，原来我们偏重的知识形态并不是数学课程的全部意义，甚至连主要意义都不算，也许它独有的至善至美的品格恐怕才是数学教育的根本。
推介人：陆小飞
至善至美的数学
立德树人的数学教育
——关于小学数学教育的一些思考[1]
小学教育，是整个基础教育的最初阶段，更是一个奠基的阶段。小学教师，是学生除自己的父母外，最早碰到的老师。为了准备这个报告，我最近认真读了一遍人民教育出版社出版的整个小学六个年级的数学课本,发现里面不仅有数学中关于数和形的一些最基本的知识,而且有如何定方位、看钟表之类大量的生活常识,还有关于长度、面积、体积以及质量的单位及其换算法则，已经涉及物理学的一些基本内容，再加上有涉及方方面面的各种应用题以及对学生素质培养方面的种种启发、引导，无异于一本小小的百科全书，给我留下了深刻的印象:小学数学教师不仅是孩子们知识方面的老师,而且是孩子们人生方面的老师，其责任实在很大,其作用绝不可低估。大家担负着这样光荣而辛苦的责任,一直认真坚持工作，在小学数学教师的岗位上默默地耕耘，并且结出了丰硕的成果。你们的劳动、你们的精神、你们的奉献，值得大家衷心地感谢和敬佩。我在这里首先要向大家表示由衷的敬意！
今天想在这里和大家谈一谈自己关于小学数学教育的一些思考。为了说明这一点，先说一下为什么学习数学,再讲一下怎样才算学好了数学，最后回到小学数学教育的具体问题，并谈一些自己当时的学习经历与体验。
为什么要学习数学
对绝大多数人来说，数学是一生中学得最多的一门课程:从小学到中学,从中学到大学,包括到了研究生的学习阶段,都在学习数学。为什么教师要花这么多时间来教数学？为什么学生要花这么多时间来学习数学？又为什么一定要求学生努力学好数学呢？
如果认为这种教与学只是为了执行学校的规定，只是为了帮助学生应付有关的考试并取得一个好的成绩，只是为了使学生将来能混得一张文凭从而找一个高收入的工作，或者只是为了给学生或多或少地灌输一些有关的数学知识，那么对数学的教和学必然采取一个被动和应付的态度,教与学的效果也必然会受到很大的影响。因此,这个问题看起来似乎很普通，其实很值得我们认真地想一想。
要搞清这一个问题，首先要认识数学这门学科本身的重要性。
世间的万事万物都有数与形两个侧面,数学作为研究现实世界中的数量关系和空间形式的科学,剔除了物质的其他特性,仅仅从数与形的角度来研究整个世界。以圆为例，天上的满月、竞技场上的铁饼,以及世上由任何材料构成的圆形物体,在数学上都可以用圆这个几何对象来概括。它关心的不是其组成材料的质地，而只是其几何形状。人们都说数学很抽象，这就是数学上的抽象。但这不仅没有限制其可能的应用，相反保证了数学应用的高度广泛性数学上关于圆的一切理论和性质都适用于任何材料构成的圆形物体，无一例外。
数学的作用和地位,现在看来，概括起来可以有以下几条。
1.数学是一类常青的知识
作为小学、中学到大学必修的重要课程，数学是人类必不可少的知识,这一点不会有质疑。纵观历史,人类的许多发现就像过眼烟云,很多学科是从推翻前人的结论而建立新的理论的，物理、化学、生物等都是如此;然而古往今来数学的发展，却不是后人摧毁前人的成果,而是每一代的数学家在原有建筑的基础上，再添加一层新的建筑，因而，数学的结论往往永恒的意义。欧几里得是二千多年前的古希腊数学家，然而，以他命名的欧几里得几何至今还发挥着重要的作用。大家都知道的勾股定理，不仅没有被人认为老掉牙而不屑一顾，相反还被人称为千古第一定理，一直被高度颂扬、反复应用，就充分说明了这一点。
大家可能会问几千年下来，数学知识不断积累、愈来愈多，人们怎么学得过来呢？千万不用为此担数学的进步，一方面表现在新的发现和发明，即不断地在做加法;另一方面它又不断地在做减法，即不停地整理已有的发现使之变得愈来愈简明、清楚,并在此基础提升和发展。纖使得原来复杂的变简来困难的变容易了,原来需要长篇大论的，三言两语就可以搞定了,反过来又为新的发明奠定了牢固的基础,甚至起到催生的通俗地说，一方面在不断构建一些新的建筑，一方面又在不断地将一些老建筑拆迁、改造及重建，一座城市不仅不会变得太拥挤，而且会更加美观、舒适。数学的进步也是这样。这就是说，常青的知识，不是一成不变的知识，相反，在时代的进步中，它本身也要不断经历与时俱进的过程，因而总是生机勃勃的。
2.数学是一种科学的语言
伽利略曾说过：“大自然这本书是语言写成的。……除非你首先学懂了它的言,……，否则这本书是无法读懂的。”数学这种科学的语言是十分精确的,这是数学这门学科的特点。同时,这种语言又是世界通用的。加减乘除,乘方开方，指数对数，微分积分，数数π、e、i等，这些数学语言和符号一开始虽然可能五花八门、各有千秋，但早已统一固定的样式,世界各地通用,对我们的使用是十分方便的。
3.数学是一个有力的工具
数学在人们的日常生活及生产中随时随地发挥着重要的作用，已经是有目共睹。在现代，数学作为现代化建设的重要武器，在很重要的领域中更起着关键性、甚至决定性作用。我们国家在“两弹一星”研制中的出色成就，凝聚了不少优秀数学家的心血，就是一个突出的例子。
4.数学是一个共同的基础
不仅在自然科学、技术科学中，而且在经济科学、管理科学，甚至人文、社会科学中，为了准确和定量地考虑问题，得到有充分根据的规律性认识，数学都成了必备的重要基础。浩瀚无边的宇宙，对至小至微的基本粒子，人们无法身临其境，甚至也难以自由想象，对它们的研究，唯一能借助的，就是所建立的数学模型。可以毫不夸张地说，离开了数学的支撑,有关的科学已很难取得长足的进步，很多学科(特别是很多自然科学学科)近年来甚至已经出现了数学化的趋势。
数学是一门重要的科学
数学忽略了物质的具体形态和属性,纯粹从数量关系和空间形式的角度来研究现实世界，说“数理化、天地生”，将数学看成自然科学的一种，其实是不恰当的。数学和哲学类似，具有超越具体学科、普遍适用的特征，对所有的学科都有指导性的意义。现在的数学科学已构成包括纯粹数学及应用数学在内的众多分支学科和许多新兴交叉学科的庞大科学体系。大家千万不要认为，中小学所教的数学，甚至大学数学系所教的数学，就是数学的全部。其实，中小学里所教的数学，大体上属于初等数学的范畴,即使大学本科所教的高等数学，也是以牛顿、莱布尼茨在17I世纪创立的微积分为标志和起步的,到现在也已经有三百多年的历史了。数学远比我们已经看到的要丰富多彩，说数学的内涵博大精深,是一点也不过分的。但是,数学愈发展，不是使事情变得愈来愈复杂，相反，处理问题会变得更简单，人们认识世界与改造世界的能力也愈来愈得到提高，这会使我们愈学愈感到数学的魅力,愈学愈想学。过去小学六年级的算术课，“鸡兔同笼”是一个顶级的难题。现在这部分内容在小学四年级就出现了,看来也不是特别难于理解，说明时代的确是大大前进了。这个问题是说将一些鸡和兔放在一个笼子里,例如，已知头数=10，足数=28,问鸡多少只，兔多少只。由于鸡只有两只脚，而兔有四只脚,问题就复杂了，而且算术课的要求是一步写出答案来，那就难上加难。但到中学学了代数，只要设鸡为x只，兔为y只，根据题意列出一个二元一次联立方程组,一下子就可以求得问题的解答，这是多么容易啊！中学里学的平面几何，为了证明,常常要挖空心思添辅助线，实在是对智力的一个重大挑战与考验;但学习了解析几何，将代数与几何结合起来,过去绞尽脑汁才能求解的几何问题就一下子变得轻而易举了。真正好的数学，是愈来愈深人、愈来愈简明、愈来愈有用的。
数学是一门关键的技术
过去认为一支笔、一张纸就能搞定的数学，竟然可以成为一门技术，似乎匪夷所思。但是,数学的思想和方法与高度发展的计算技术的结合的确已经形成了技术，而且是一种关键性的、可实现的技术,称为“数学技术”。为什么称其为“数学技术”？因为在这种技术中起核心作用的部分是数学，拿走它就只剩下一堆废铜烂铁！我们在医院里看到的电子计算机断层扫描(ComputedTomography,以下简称CT)这一先进的技术就是一个突出的例子。它的本质,是利用X光从各个不同角度所拍摄的众多平面照片,恢复出体内物体(如肿瘤)的立体形状，这完全是一个数学问题。现有的小学数学教材中已经谈到一些简单物体的投影，这里的问题要复杂得多了，因为体内的肿瘤可以有很复杂的形状，而且事先是未知的。但是，数学上的拉东变换早已为这个问题提供了解答,并成了CT诊断的核心技术。这样，数学的内涵物化为计算机的软件及硬件，就成为技术的一个重要组成部分与关键,从而可以直接地转化为生产力。现在，“高技术本质上是一种数学技术”的说法已为愈来愈多的人所认同。因此，一门技术的数学含金量愈高,就愈有资格被称为高技术，数学在建设现代化强国的过程中是大有可为的。
数学是一种先进的文化
数学是人类文明的重要基础。它的产生和发展伴随着人类文明的进程，并在其中一直起着重要的推动作用，具有举足轻重的地位。
远在古希腊时代,著名的毕达哥拉斯学派的信条就是“万物皆数”(这里的数指的是正整数），他们是通过数来理解整个世界的。在数学史上，古希腊的数学是极为辉煌的，整个古希腊的文明是与其相伴、并以其为基础的。在古希腊，一个不懂得数学的人算不上是一个有文化、上档次的人，是被人轻视、难以进人大雅之堂的。柏拉图在雅典学院的门口大书“不懂几何学的人不得入内”，就充分体现了这一点。在当时，懂不懂数学是身份、品位和文明的象征,数学是作为一种高雅的文化得到人们的尊重的。这个传统一直延续下来，应该说，在西方，数学作为一种文化、作为一种文明的象征受到尊重，是有悠久历史的。
在我们国家，情形就有很大的不同。在过去，一个人懂得诗词歌赋，会得琴棋书画,甚至会写一点儿八股文，就被尊为文人,就被认为有文化、有知识、有品位,科举的大门为他们敞开,升官晋爵的机遇也主要向他们提供。而懂的数学，好的，大体上被视为一个能工巧匠，不好的，甚至被视为一个不食人间烟火的怪物。恐怕很少会有人把数学和文化沾边，觉得数学没什么文化内涵。这种情况现在有了一些转变，但要在内心深处承认数学是一种文化,而且是在推动历史进步、人类文明发展方面起重要作用的文化，是人类文明重要的支柱;要在内心深处承认数学根底不够不是一个可以炫耀的资本,而是一个严重的缺憾；凡此等等，无疑还需要做很多细致深入的工作，也还需要假以时日。
鉴于对数学是一种先进的文化这一点,现在认识到的人还不多，在我们国家也远没有引起足够的重视，下面举几个简单的例子来加以说明。
(1)记数与进位。大家知道，数学开始于数数。原始人只能区分1与多，碰到3就觉得多了,三人为“众”大概就是这样来的。后来有了十进制，用1,2,3,4,5,6,7,8,9和0这十个数字，再加上逢十进一(以及一个小数点），就可以表示世界上任何一个数。这是小学数学教学中的一个基本内容,也是现在的人们从小就知道的事实,似乎是天经地义的。然而，这却经历了一个漫长的历史进程，是数学给人类文明带来的一个不可磨灭的巨大贡献。没有了它，稍微大一些的数就会使人晕头转自，更谈不上庞大的天文数字或是极其微小的数了，现今金融行业或科学试验中种种复杂或高精度的数学运算根本不可能进行，我们还能有如此高度发达的文明社会吗？
(2)零。在人们的常识中，似乎0与1,2,3,4,5,6,7,8,9,—样是同时出现处于同等地位的。事实上，零的出现与使用,却要晚得多，它的作用也颇为特殊，相当值得玩味。中国是最早提出零这个概念的国家,在运算中出现零的地方，留下一个空格来表示，这就不至于引起混淆;而用“0”这一个符号来表示零，则是印度人的贡献。这是东方文明的一个划时代的成果。在欧洲,一直到文艺复兴时期，还不知道、不承佩—点,并将“0”作为一个异教的符号而一律加以排斥和打击。因此，直到那个时期,欧洲人很少能顺利地进行乘除法，更不用说开方运算了。我们常说祖冲之将圆周率精确到小数点后第七位，领先于欧洲一千年。其实，祖冲之计算圆周率的方法本质上还是公元前二世纪多阿基米提出的割圆术，在方法上并不比欧洲人领先。说祖冲之的结果领先一千年，应该是说中国人比欧洲早近—千年使用了“0”这个符号，从而更早掌握了乘除法及开方的艺术。零的出现和使用，无疑是数学对人类文明的一个石破天惊的巨大贡献。
这样的例子还可以举出很多。例如，欧几里得几何、对数、解析几何与微积分，等等。从这些例子足以看出，数学过去是、现在是、将来也必将是一种先进的文化，它带领着、推动着、影响着人类的文明进程，深刻地改变着世界的面貌,也改变着人类的思维能力和认识水平,改变着人类本身。人类充分享受着数学文化的恩惠，但往往浑然不觉、习以为常“身在福中不知福”。古人说“天不生仲尼,万古长如夜。”大家想一想,如果没有数学，没有数学的进步，人们可能还生活在愚昧之中,过着“长如夜”的生活，我们有什么理由不重视数学、不重视数学文化的引领和熏陶作用呢？
8.数学是一类独特的美学
被一些人错误地认为枯燥无味的数学，实际上有其独特之美，是充满着无穷的魅力的。数学中不乏一些赏心悦目、千姿百态的内容，确实使人叹为观止。
例如，小学数学教材中讲到下面一些乘法结果：
111x111=12321
21的确显示了一种迷人的对称性。
又如，6这样的正整数，把它的各个正因数(除6本身)1，2及3相加，就得到它本身的数字：l+2+3=60
。这样的数称为完美数，当然可以给人带来一种美感。古希腊人认为它代表着吉祥，会带来幸福和美好;有的国家甚至把它作为美满婚姻的象征。大量文章和书籍中举出了不少像上面这样的例子，都是很有启发性的，也是颇有道理的。
但是，如果只是上面这样的特殊乘法结果能给人带来美感的话，那么像3x7=21这样通常用到的大量乘法式子有没有美感呢？如果没有美感，数学的美难道仅仅是昙花一现吗？整个数学是否美不就成了一个很大的问题了吗?对完美数也是如此。6作为一个完美数，固然有某种完美性，但这样的完美数实在太少了,在10000以下，只有6,28,496及8128这四个数是完美数！如果只有这几个数能给人带来美感的话，那么众多其他的整数就没有美感了吗？我们还能说整个数学很美吗?因此,要说明数学是一种美学，不能仅仅满足于在数学这个大花园中找到几朵美丽的花，更应该从它的一草一木中，从它的结构与布局中，在整体上来欣赏数学这个大花园的美景。
古人形容一个绝代美女时有这样的说法:增之一分则太肥，减之一分则太瘦。数学上任何一个等式也是这样,哪一边多了一点或少了一点，就要破坏等式两边的平衡，就不成为等式了。这体现了数学上结论的高度严密性，不仅会使人产生绝对的信任，也一定会给人带来高度的美感。除了数学上的结论,数学上的论证与推理方法，也会给人带来丝丝人扣、天衣无缝的美感。小学数学教材中对一些案例的分析，有先从好几个角度思考,通过比较和鉴别,最后归纳出一个最简明扼要、也最有效的解法。这个过程实际上也是对学生审美观的一种教育及训练。我的老师、著名数学家陈建功教授曾经说:“数学上最简单的证明就是最好的证明。”我是一直把它作为一个美学标准来要求自己的。数学上的论证与推理,固然容不得差错,有一点疏漏及瑕疵，走了一点弯路,都会大煞风景，也是要尽量避免的，这同样体现了美学方面的高度追求。此外，要解决很多重要的实际应用问题，数学往往在最需要它的关键处现身，并发挥出举足轻重的作用，数学应用的这种高度广泛性和有效性，难道不也是一种突出的美吗？
概括来说,数学作为一个整体,其结论的可靠性、推理的严密性以及应用的广泛性,充分体现了它的美，是我们特别应该引起重视的。这种美，可以在一些场合以光彩夺目、美不胜收的方式表现出来,但在大量的场合，却是以素面朝天、默默无闻的方式出现在大家面前。罗素说过数学，如果公正地看,包含的不仅是真理，也是无上的美——一种冷峭而严峻的美，恰像一尊雕像一样。”难道不是这样的吗？
综上所述，长期以来，在人们认识世界和改造世界的过程中，数学作为一种精确的语言和一个有力的工具，一直发挥着举足轻重的作用。尤其在当代，数学作为经济建设的重要武器,作为各门科学的重要基础，作为人类文明的重要支柱，在很多领域中已起着关键性、甚至决定性作用，数学技术已成为高技术的突出标志和不可或缺的组成部分，数学的影响和作用可以说是无处不在，其重要性也已为越来越多的人所认同，其美学的意义也逐渐被更多的人所认识。这样，不仅在中小学，而且在大学的很多系科中，数学都位列最重要的必修课程，就是理所当然的事了。
再谈为什么要学习数学
要搞清为什么要学习数学,还要认识学好数学对一个人培养与成长的重要作用。
如前所述，数学既然这么重要，那么学习数学的目的就仅仅在于得到一大堆定理、公式和结论，懂得各种各样的数学方法和技巧，会求解各种各样的习题甚至难题吗？否！
如果将数学的学习仅仅看成是接受一大堆数学知识,那么即使熟记了再多的定理和公式，数学可能仍免不了沦为一堆僵死的教条，难以发挥作用。数学是一门重思考与理解、重严格的训练、充满创造性的科学。只有掌握了数学的思想方法和精神实质,才能由不多的几个公式演绎出千变万化的生动结论，显示出无穷无尽的威力。复旦大学许多在实际工作中成功地应用了数学、取得相当突出成绩的校友都有这样的体会:在工作中真正需要用到的具体数学分支学科，具体的数学定理、公式和结论，其实并不一定很多;学校里学过的一大堆数学知识很多都似乎没有派上什么用处,有的甚至可能已经记不清楚，但他们所受的数学训练,所领会的数学思想和精神,所获得的数学素养，却无时无刻不在发挥着积极的作用，成为取得成功的最重要的因素。我认为,这是很值得教师和学生重视的经验之谈。
实际上，通过认真的数学学习和严格的数学训练，可以使学生具备一些特有的素质和能力。这些素质和能力是其他课程的学习和其他方面的实践，包括听几个报告和讲座，所无法替代或难以达到的。而且，即使所学的数学知识随着时间的推移已经淡忘，这些素质及能力作为一个人的数学素养仍不会消失,将伴随终身，始终发挥积极的作用。其中，与数学的学习与内容密切而且直接相关的，正像全国的“数学课程标准”中所说的，这些素质与能力有数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力、模型思想以及应用意识与创新意识等方面。这些重要的素质和能力，主要限于数学的范围,本质上是就数学学习本身而言的。但是，从对一个人的全面成长这样更广的范围考虑，更应该看到，通过认真而严格的数学学习及训练，还可以培养和促进学生形成一些重要而基本的素质和能力，而这可能是更具深远影响和作用的这些素质和能力举例来说有——
自觉的数量观念。使人会认真注意事物的数量方面及其变化规律，而不是“胸中无数”，简单地凭感觉、“拍脑袋”做决定、办亊情。
严密的逻辑思维能力。使人能保持思路清晰，条理分明、有条不紊地处理头绪纷繁的各项工作。
高度的抽象思维能力。使人面对错综复杂的现象时，能分清主次，抓住主要矛盾，突出事物的本质，按部就班地、有效地解决问题，而不会无所适从、一筹莫展，或是眉毛胡子—把抓。
数学上的推导要求对每一个正负号、每一个小数点都不能含糊敷衍，有助于培养认真细致、一丝不苟的作风和习惯。
数学上追求的是最有用（广泛）的结论、最少的条件(代价）以及最简单的证明，通过严格的数学训练，会逐步形成精益求精、力求尽善尽美的习惯和风格。
关注数学道数学的来龙去脉，知道数学概念、方法和理论的产生与发展的渊源和过程，会提高建立数学模型、运用数学知识处理现实世界中各种复杂问题的意识、信念和能力。
作为一种思想的体操和竞赛，数学会使人增强拼搏精神和应变能力，通过不断地分析矛盾，从困难局面中理出头绪，最终解决问题。
数学的学习和思考，会为学生打开自由创造的广阔天地，激发他们的探索精神、创新意识及创新能力，使他们更加灵活和主动，聪明才智得到充分的表现和发挥,等等。
由此可见，数学教育看起来只是一种知识教育,但本质上是一种素质教育。这种素质教育不是从外界强加进来的，而是数学教育本身所固有的。以传授与学习数学知识为载体，通过严格认真的数学学习和训练,就可以由不自觉到自觉地将上述这些方面的素质和能力，通过耳濡目染，身体力行，铭刻于心，形成习惯，逐步变成自己的数学素养。真正学好了数学，不管将来从事哪行哪业,都会让人变得更加聪明，更有智慧,更有竞争力，终身受用不尽。对我们广大的学生来说，这也应该是他们将来最值得回忆的、数学学习给他们带来最大恩惠的地方，也会是他们将来最感恩于他们的老师、包括你们这些启蒙老师的地方。
数学学得好”
广大学生都希望自己能学好数学，但对于怎样才算“数学学得好”，首先应该有一个明确的标准和定位。现在学生中一个相当普遍的看法是：谁题目解得多、解得快，谁就是数学好。更有一种“刷题”的说法，不少中学生甚至以每天刷了多少题为荣。如果广大学生都以此作为“数学学得好”的唯一标准，那就大错特错了，也必然会对数学学习的效果造成极大的负面影响。
为什么这么说呢？数学是一门重思考与|理解的学科，数学学习的好坏要看是否理解深入、运作熟练及表达明晰这三个方面，这里所说的运作泛指运算及推理等环节，而三者中的关键是要深入地理解。只有深入地理解，对数学的概念、方法及结论，不仅知其然,而且知其所以然，才能掌握数学的精神实质和思想方法,才能实现运作熟练和表达明晰这样一些外在层面上的表现。相反，如果只满足于会解题，而不知道为什么这样做，即使题刷得再多、再快，充其量只能成为一个熟练的解题工匠，是谈不上和数学真正结缘的,是不可能培养自己的创新精神和创新能力的。再说，现在学生平时做的题(特别是考试中做的题），很多是选择题或填空题，简单地写上一个答案就可以了。尽管答案是对的，但如果要求从头到尾将证明或过程写清楚，就会暴露出不少的问题，就会发现要使表达简明清晰实在是一件很困难的事情。别人三言二语就能搞定的，自己却啰啰唆唆地写了一大堆，颠三倒四，不得要领，这样算是学好了数学吗？
如果我们的教师也成了这种判定标准的奴隶，一味地要求学生反复操练大量同一类型的习题，竭力使学生达到一种“条件反射”的熟练程度；或者只教给学生应付解题及考试的方法：“对怎样类型的题，就怎么样去做”，而不讲凊来龙去脉，不讲凊数学上的原理和根据，也不严格要求和切实纠正学生的表达方式和习惯，即使学生的考试成绩再好，也绝不能学到数学的精髓。学生如果习惯了这一套，误以为不求甚解、拼命刷题就是正确的数学学习方法，即使将来升人高一级的学校，也很难适应那里的学习生活，恐怕就会输在“起跑线”上了。
关于小学数学教育的一些思考
以上所说的，原则上对小学、初中、高中乃至大学的数学教育都是适用的。但是,对于这些各不相同的数学教育阶段,其具体的要求与定位应该有所不同，决不能一刀切。在小学这一个基础教育的最初阶段，学生对数学知识的学习刚刚处于人门状态，学生所学的数与形方面的知识也是最初步和基础的，更要注意其特殊性，简单、高调地套用课程标准中关于数学教学所提出的总目标，是不切合实际的,也是不可能取得良好效果的。因此,对小学阶段数学的教与学进行比较准确的要求与定位，就显得格外重要。
小学数学课程中所讲授的有关数与形的一些知识,是今后进一步学习数学的基础，是需要认真学好的，对这些内容的教和学不应采取含糊敷衍的态度,应该有一个严格的要求。但是,对小学阶段学生的学习成绩与表现，不应该看得很重,更不要看得很绝对。学校中学得最好的学生，将来的成就不一定最大;对小学阶段的学习成绩和表现，更应该如此看待。华罗庚先生及苏步青先生在小学里的成绩就很不理想:华罗庚先生是勉强及格，而苏步青先生曾经背过“红榜”——最后一名，但他们最终都成了大家所熟悉的大数学家。这样的事实应该给我们以深刻的启示:作为教师,应该给小学生以严格的要求和热情的帮助,但绝不要刻意对学生提出那些超过他们年龄阶段认识能力和心理承受能力的学习要求和目标，绝不要把他们刻意训练成一个解题机器,甚至要求他们解题可以达到“一看就做、一做就对”那种“条件反射”的熟练和精确程度——也根本不需要那种“大运动量”的训练方式。说到底，使小学生掌握了基本的内容和知识，就可以说已经达到了教学的基本要求,很多进一步的要求将来他们成长后自然会掌握和达到的。前面我们说学数学要重在理解，对小学生也要有一个恰当的要求，要掌握好一个度。有些在现阶段可以要求他们做较深人的理解，有些可能要留待今后再达到深人的理解，不必苛求，更不要将有关内容过度地加以解读。
关于这一点，我在这里想举数学上的一些规定来作一个说明。先说一个实际发生的故事。在改革开放初期，世界银行为了给中国基础教育贷款,曾到西部一个小学去调研,听了那里的数学课。在课上，教师对学生说大家记住了，先加减、后乘除。”然后领着学生反复念:“先加减、后乘除。”下课后，人家对这位教师说，你讲错了，应该是“先乘除、后加减”。第二节课一上课，那位教师就说“刚刚我讲错了。上级规定:是先乘除、后加减”。然后,领着学生反复念先乘除、后加减。”这个故雜往会引起一阵哄堂大笑，但据说世界银行因此给了他们贷款,因为其教育质量实在是太需要提高了。
数学上的一些规定，大都是有充分的道理和根据的。例如，小学教材中规定1不是质数，就有深刻的道理。为什么呢？任何一个整数都可以分解为其质因子的乘积。例如，60=2x2x3x5。这称为算术基本定理，是非常重要的。这里,因为规定1不是质数，1不算60的1个质因子。但如果1算质数，要将60分解为其质因子的乘积，就可以写为
60=1x2x2x3x5
60=1x1x2x2x3x5,
等等，算术基本定理就有无穷多种写法了，数学家是绝不会这样自找麻烦的。规定1不是质数，算术基本定理就只有唯一的一种表达方式，这就带来了极大的便利，何乐而不为呢？当然，有些规定的深刻含义，在当时就可以大体说清楚;而有的一时可能说不清楚,那就不一定非要当时说清楚，等待今后再说明也不迟。
还有一些数学上的规定只是约定俗成的习惯，相反的规定实际上也是可以的,并没有什么道理可说。例如，行人及车辆一律靠右行驶，就是一种人为的规定。规定一律靠左行驶也是可以的，在英国及曾经是英属的一些国家和地区(如我国香港地区），就都是靠左行驶。又如，钟表转动的顺时针方向，市场上的钟表都是如此运行的，但如果一开始就规定了相反的方向，而且所造的钟表占领了市场，现在的顺时针方向都要反过来,地球也绝不会因此而停止转动。据说，在意大利就曾发现一个古代的时钟，它的运转方向是相反的，但这样的产品当时并没有占领市场,很快就被淘汰了。数学上先乘除、后加减的规定，大体上也处于相似的状况。现在规定先乘除、后加减，有它一定的道理;但是，如果规定先加减、后乘除，同样也可以讲出它的一些道理来。说到底，“先乘除、后加减”也不过是一个“上级”的规定，西部地区的那一位小学教师在这一点上其实并没有说错。对这些规定，不需要理解，只要照章办事、坚决执行就可以了。
还有一些规定，在小学阶段其实以不讲为宜，讲了反而可能画蛇添足。例如，在讲了奇数和偶数以后,又特别规定0是偶数,就是如此。有些学校的教师甚至还启发一年级的小学生讨论:零到底是奇数还是偶数？这样过度地解读，反而要造成思想混乱了。
在小学数学阶段,相比于对数学知识的学习，更为重要的应该是以下这两方面。
一是要不断培养学生学习数学的兴趣，努力增强他们学好数学的自信心。这是学生今后能够持续、良性地学好数学的很重要的条件和保证。有时，教师对学生在知识学习上一些过苛的要求——如要求学生在规定时间内做100道题，做得不够好,就要学生再做同类的100道题，不达目的,决不罢休——虽然动机可能是好的,但不仅加重了学生的负担,而且成了一种变相的体罚，使学生对学数学从内心深处产生抵触、视为畏途，严重的甚至会自卑地认为自己不是学数学的材料，恰恰挫伤了学生学习数学的积极性和自信心，是非常不明智的做法。前面所说的华罗庚、苏步青二位先生，在他们学习数学中乏善可陈的时候，他们的老师恰恰看到了他们身上学好数学的潜质,对他们耐心地教育鼓励，促进了他们的成才。这对我们广大的教师应该说树立了光辉的榜样，是值得效法、学习的.
二是要努力培养学生养成良好的数学学习习惯。这也是学生今后能良性地学的很重要的条件和保证。良好的学习习惯包含多方面的内容，要有的放矢地针对每个学生的特点加以认真培养。有的学生不用心、贪玩，很容易分散学习精力;有的学生粗枝大叶，解题时经常出现一些低级的错误;有的学生作业草草了事，不善于、不重视清晰的表达;有的学生逻辑思维混乱,颠三倒四;有的学生习惯于死记硬背、照章办事，不会发现问题和提出问题，不善于思考;等等。这些不良的学习态度及习惯，教师在小学阶段就要细心地帮助学生自觉地加以纠正，尽量将其消灭在萌芽状态,为学生今后的学习和发展奠定一个坚实的基础。
做到了这两方面，即使表面上看数学的成绩并不出类拔萃，我们教师仍然可以毫无愧色地将自己的学生高一级的学校学习，而且相信他们一定可以胜任新的学习环境,做得愈来愈好。人民教育出版社的小学课本中，期末的自我评价页所包括的一些条目及指标，实际上都环绕着这两方面展开，并没有涉及学习成绩方面的内容,我觉得是很值得赞赏和提倡的。
当然，要做到上面所说的这两点，是离不开学习有关数学知识这一载体的，是应该在学习数学知识的过程中逐步实现的。离开了对数学知识的认真的教与学,空谈提高学习数学的积极性以及培养学习数学的良好习惯，只能是纸上谈兵、画饼充饥，是毫无用处的。
为达到这个目的，我们教师不仅要言传，更要身教。小学生模仿意识强，教师是怎样对待数学和数学教学的，对学生必然会有潜移默化的深刻影响;学生的数学学习习惯也往往是教师数学思维习惯的一面镜子。教师只有自己从内心深处真正热爱数学，才能点燃学生学习数学的兴趣与激情。教师只有自己树立了良好的数学学习和思维的习惯,才能不仅给学生树立一个良好的榜样,而且能敏锐而有效地发现和纠正学生的不良学习习惯。更重要地，教师只有将自己从事的数学教学工作看成自己毕生从事的一个事业，而不仅仅是一个职业、即谋生的手段，才能真正认识自己工作的意义，全心全意地热爱自己的学生;才能根据素质教育的要求，不为种种不切实际的评估指标所左右，整天驱使天真无邪的小学生做沉重的作业，不满意时甚至恶语相向。苏联有一位叫马卡连柯的教育家，做的是当时社会上不少流浪儿童的教育工作。这是一项很困难的工作,但他出于对孩子发自内心的热爱,将这批流浪儿童出色地培养成才。正因为他的爱，使表面上看起来枯燥无味的教育变成了诗,充满了诗情画意。他写的一本书，题目就叫做“教育诗”，的确很让人感动。希望我们广大的小学数学老师真正热爱自己的学生,为培养自己学生学习数学的兴趣及养成良好的数学学习习惯，甚至为学生正确价值观的形成，做好示范作用，努力谱写好自己的光辉教育诗篇!
最后，作为对上面一般性议论的一个说明和注释，再简单谈一谈我自己在小学阶段的一些学习经历和感受。
现在人们常称我是数学家、甚至是著名数学家,但是我有足够的自知之明：自己并不是一个天生的数学家。为什么这么说呢？自己在小学时学习虽然一直很顺利，成绩总是名列前茅，但并没有在数学上显露出异于寻常的特别天分。在一开始做加法进位的习题时，为了避免出错,就曾经借助于自己的手指。后来我常常自嘲地说，自己的五个手指是自己最早使用过的计算机。这不仅没有达到“条件反射”的熟练程度，恐怕还是相当笨拙的。我念完小学五年级后跳级考入初中，小学六年级的算术根本没有学过。为了应付升学考试，家里特别请了一个老师来帮我临时抱佛脚进行补课，才知道算术中有鸡兔同笼这一个困难的问题,但始终没有得到要领。后来到初中学了代数，已经知道如何用代数方法干净利落地解决这个问题了，但对如何用算术方法一步到位地给出问题的解答，则始终未再涉及。一直到高中时给一些亲戚家的小孩课余辅导算术,才又一次回到这个问题,也才真正弄懂了这个解法。这当然是一种后知后觉，是并不光彩的。至于代数上为什么“负负得正”，一开始总也想不明白，只得勉强承认下来，实在使人扫兴。
由此可见，我在小学阶段的实际表现，应该说是并不尽如人意的。但由于一直很顺利，却养成了一个不好的习气,考试时总想在众目睽睽之下交一个头卷，大出一下风头。跳级进人初中后过了差不多一个月，就碰到了第一次算术测验。我没有学过六年级的算术，基础本来就是欠缺的,但自我感觉仍然很好,照例急急忙忙地抢交了头卷，结果只得了18分。按照数学老师的规定，以60分及格为标准,缺一分就要用戒尺打一下手心，这样我就要被打42下手心,这把我当场吓哭了。这对曾经一帆风顺的我自然是奇耻大辱。当时仍在六年级读书的我的一些小学同学,对我跳级升入初中本来就不大服气,还专门编了一首歌谣：“李大潜，中学生，算术考了个18分!”在我家的窗前吟唱，更使我无地自容。这是进人初中后给我上的最初一课，向我好出风头的浮躁心态泼了一大盆冷水，使我在感到羞愧的同时，慢慢地清醒起来，认识到做任何事情，特别是做学问，绝不能粗心大意、急于求成，而应该踏踏实实、一步一个脚印。以后的任何考试，包括后来自觉已有十足把握的考试,我也总要反复采用多种方法校核后才交卷。就是平常写文章或材料，也总是反复推敲，改了一遍又一遍，尽可能做到尽善尽美。这已经成了我的一个习惯，也极大地提高了我的工作效率。更使我终身受益的是，这件事给我的浮躁作风以当头棒喝，造就了我平和的心态，使我深切地认识到在科学上没有捷径，只有通过持续认真地努力，才能取得应有的成绩;只有不断地追求,不懈地努力，才能真正有所作为。初中的这一课，使“志存高远，心逐平和”成了我的座右铭，影响|和造就了我的一生，是我一辈子格感于心的。
我当时的这位数学老筹，他有时对学生严格得近乎苛刻,但其实頗具宽容和爱怜之心。在我算术测验只有18分、理应領受42大板的时候，他破例没有对我进行体罚，在使我得到极大警示的同时，又頋全了我的体面，没有从根本上动摇我学习上的自信。我在跌倒后迅速站立起来，不仅在下一次算术测验中考得了98分，而且对学好数学仍然保持了足够的信心和勇气。可以说,正是这位老师的博大胸怀和拳拳爱心，使我能一步步地成长起来,并一直走到现在。在我最困难的日子里，我小学五年级的班主任和语文老师仍时时关心着我，好几次在昏暗的油灯下，用给学生批改作业的紫色墨水给我写信。她的亲切教诲与热情鼓励,让我得到莫大的鼓舞和慰藉,迅速地振作起来。她当年信中的原话已经记不清了,但每当夜深人静、独处自省的时候,我的眼前常会闪过那一片紫色的墨迹，使我不敢丝毫懈怠，总愿奋力向前。我的这两位启蒙老师的师恩师德，给我以刻骨铭心的感受，相信也会给在座的各位老师带来深深的启迪。
上一篇：[ 10-30 ]
下一篇：[ 11-13 ]}