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奥数题解,题与解答
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题目：甲、乙两个小朋友各有一袋糖,每袋糖不到20粒.如果甲给乙一定数量的糖后,甲的糖粒数就是乙的糖粒数的2倍；如果乙给甲同样数量的糖后,甲的糖粒数就是乙的糖粒数的3倍.甲、乙两个小朋友共有糖多少粒?分析与这道题虽属差倍问题,但解答时很有难度.若能着眼全局,从整体上加以考察,抓住题中的不变量加以分析,就能使问题迎刃而解.因为不管甲给乙多少粒糖,还是乙给甲多少粒糖,甲、乙两个小朋友共有糖粒的总数始终没有变化.甲给乙一定数量的糖后,甲的糖粒数就是乙的糖粒数的2倍,说明这时乙的糖粒数是总数的 ；乙给甲同样数量的糖后,甲的糖粒数就是乙的糖粒数的3倍,说明这时乙的糖粒数是总数的 ,相差 .假设甲给乙1粒（至少为1粒）,那么甲还有（甲-1）粒,如果乙给甲同样多的粒数,则甲有（甲+1）粒,“甲+1”与“甲-1”相差数为2, （粒）.假设甲给乙2粒……那么“甲+2”与“甲-2”相差数为4, （粒）.已知每袋糖不到20粒,则两人糖的总数不到40粒,显然48粒不符合题意,那么就说明甲、乙两个小朋友共有糖24粒2.先比较再选择题目：希望小学要买50个足球,现有甲、乙、丙三家商店可以选择.三家商店足球的价格都是25元,但各个商店的优惠方法不同.甲店：买10个足球免费赠送2个,不足10个不赠送；乙店：每个足球优惠5元；丙店：购物满100元返回现金20元.为了节省费用,希望小学应该到哪家商店购买呢?分析与从问题出发,希望小学肯定应选择买50个足球所需费用最少的商店去购买,也就是要分别求出这三家商店优惠后的总价.已知甲店买10个足球免费赠送2个,那么买20个免费赠送4个,买30个免费赠送6个,买40个免费赠送8个.40个加上赠送的8个共计（40+8）48个,而希望小学一共要买50个,还差2个,这2个得自己掏钱买了,也就是说希望小学如果去甲店购买的话,只需买42个,按每个25元计算,共需（25×42）1050元.由于乙店每个足球优惠5元,也就是每个足球按20元的单价计算.所以,买50个足球共需（50×20）1000元.由于丙店购物满100元返回现金20元,而不满100元这个优惠是不能享受的.买50个足球,每个25元,共计（50×25）1250元.1250元里有12个100,从优惠方案中可知,可以优惠（12×20）240元.也就是说希望小学去丙店购买的话,共需（）1010元.从上可知,享受优惠后希望小学买50个足球的总价分别是：甲店需1050元,乙店需1000元,丙店需1010元.为了节省费用,希望小学当然要到花钱最少的商店去购买,即选择乙店,只需1000元.3.巧 妙 变 换数学练习课上,老师出了这样一道题目：“6.28×7.81＋37.2×0.781”,让同学们计算.大家都全神贯注用竖式计算,不一会儿,小林说：“我做好了.”“你怎么算得这么快?”随着老师的问话,同学们放下了手中的笔,投去了怀疑的目光.“我是这样算的.”说罢他到黑板上写出了计算过程： 老师佩服地对小林说：“你真行,你怎么想到这样算的?”小林说：“计算之前,我仔细观察了这道题中的数据,发现了”6.28×7.81”中的因数7.81与”37.2×0.781”中的因数0.781只是小数点的位置不同,根据积的变化规律可知,如果把”37.2×0.781”中两个因数的小数点移动一下,变换成”3.72×7.81”,积是不变的.变换之后就可以用乘法分配律进行简便计算了.”同学们受小林的启发,又想到了一种简便的算法.即： 看来在计算时,我们要注意观察算式中数据的特点,尽可能挖掘出隐藏着的简算因素,从而正确、迅速地进行计算4.运用规律 化难为易从一块正方形铁皮上剪下一个面积最大的圆,那么这个圆的面积与原来正方形的面积之比是多少?周长之比呢?设剪下的面积最大的圆的半径为r,则原正方形的边长就是2r.
由此可得：在一个正方形中剪下一个面积最大的圆,那么这个圆与原来正方形的面积之比、周长之比都是 .运用这个规律,我们可以使一些题目的解答变得更加简便,更加容易.例1. 从一块面积是36平方厘米的正方形铁皮上剪下一个面积最大的圆,这个圆形铁皮的面积是多少平方厘米?分析与因为, 所以,这块圆形铁皮的面积＝原来正方形的面积 即 （平方厘米）例2. 从一块正方形铁皮上剪下一个面积最大的圆,已知这个圆的面积是25.12平方厘米,原来正方形铁皮的面积是多少平方厘米?分析与因为, 所以,原来正方形的面积＝最大圆的面积 即 （平方厘米）例3. 从一个周长是36厘米的正方形铁皮上剪下一个面积最大的圆,这块圆形铁皮的周长是多少厘米?分析与因为, 所以,这块圆形铁皮的周长＝原来正方形铁皮的周长 即 （厘米）例4. 从一块正方形铁皮上剪下一个面积最大的圆,已知这个圆的周长是25.12厘米,原来正方形铁皮的周长是多少厘米?分析与因为, 所以,原来正方形的周长＝最大圆的周长÷ 即 （厘米）想一想：从一块正方形铁皮上剪下一个面积最大的圆,剩下的铁皮面积占原来正方形面积的几分之几?没有告诉我们具体的数据,应该怎样解答呢5.巧求“总和”妙解难题数学竞赛中,有些题目初看不知从何处下手,但若能巧妙求出“总和”,问题就会迎刃而解.例1. 三张卡片上分别写着三个互不相等的自然数.甲、乙、丙三人按以下规则做游戏：每人每次从袋里各拿出一张卡片,并走与卡片上的数相同的步数,然后一起把卡片放回袋里,开始第二个回合.在进行了n个这样的回合后,甲走了20步,乙走了10步,丙走了9步.如果在最后一个回合中,乙拿到的是写有最大数的那张卡片,这三个自然数分别是（ ）、（ ）和（ ）.（第一届“九章杯”中国小学生数学竞赛决赛试题第15题）分析与先求出甲、乙、丙三人所走步数的总和,根据条件可知,这个总和为20＋10＋9＝39（步）,然后再求他们进行了几个回合,因为每个回合他们三人步数的和都相等,因39＝1×39＝3×13,所以他们不可能进行了1个、13个或39个回合,所以他们只能是进行了3个回合,每个回合他们三人步数之和为13.又因为乙在最后一个回合拿到的是写有最大数的那张卡片,而他走了10步,所以这三个自然数中最大的一个是8,且至少也为8,否则甲不可能达到20步.因此,这三个自然数只能是8、4、1或8、3、2.经试验,甲：8＋8＋4＝20,乙：1＋1＋8＝10,丙：4＋4＋1＝9,这三个自然数是8、4、1.例2. 甲盒中有99个白球和100个黑球,乙盒中有足够多的黑球.现在每次从甲盒中任意取出两个球放在外面.如果两个球同色,则从乙盒中取出1个黑球放入甲盒；如果两个球异色,仍将其中的白球放回甲盒中.这样经过197次取放之后,甲盒中剩几个球?各是什么颜色?请说明理由.分析与先求出经过197次取放后,甲盒中球数减少的“总和”.根据取放规则,取同色2球,放回1黑球,甲盒中每次少1个球.取异色球,放回1白球,甲盒中仍是每次少1个球.即甲盒中的球每取放1次减少1个,所以甲盒中球减少的“总和”是197个,则甲盒中只剩下99＋100－197＝2（个）球.又因为甲盒中的白球只有在取出的2个球都是白色时才会减少,且白球总是成对减少,即甲盒中的白球始终保持奇数个.因此,取放197次后,甲盒中只有一黑一白两个球.6.运用比的基本性质巧解题同学们已经学过有关比的知识了,知道两个数相除又叫做两个数的比.比的前项和后项都乘以或除以相同的数（零除外）,比值不变.如a：b＝2a：2b,还有a：b＝（a÷2）：（b÷2）.也许同学们对比的基本性质已有所了解,但是否能运用比的基本性质解决一些实际问题呢?下面我们应用比的基本性质解两道应用题.例1. 某次考试,甲、乙两同学的得分之比为5：4,如果甲少得22.5分,乙多得22.5分,则他们的得分之比就是5：7,问：甲、乙两同学实际各得多少分?分析与由题意可知,甲、乙两人的分数之和没有变化.所以可以将甲、乙两人实际得分总和看作5＋4＝9（份）,变化后甲、乙两人得分看作5＋7＝12（份）,份数之和发生了变化,这正是解题的障碍所在.若将9份与12份统一加以变化,这道题就迎刃而解了.因为9与12的最小公倍数是36,所以我们可以将甲、乙实际得分的比例和变化后甲、乙得分的比例按总份数为36份来变化.5：4＝（5×4）：（4×4）＝20：16……总份数为20＋16＝36（份）5：7＝（5×3）：（7×3）＝15：21……总份数为15＋21＝36（份）这时它们的总份数相同,都是36份.由此可见,甲少得的22.5份,相当于甲少了20－15＝5（份）；乙多得的22.5分,相当于乙多了21－16＝5（份）.则原来甲得了（22.5÷5）×20＝90（分）；乙得了（22.5÷5）×16＝72（分）.例2. A、B两种商品的价格之比是7：3,如果它们的价格分别上涨70元,则它们的价格之比是7：4.问：这两种商品原来的价格是多少元?分析与因为A、B两种商品价格上涨的幅度相同,所以涨价前后两种商品价格之差仍保持不变.从7：3来看,两种商品的价格差为7－3＝4（份）；从7：4来看,它们的价格差为7－4＝3（份）.根据比的基本性质可得下列两个式子：7：3＝（7×3）：（3×3）＝21：9……相差份数为21－9＝12（份）7：4＝（7×4）：（4×4）＝28：16……相差份数为28－16＝12（份）这时它们相差的份数相同,都是12份.由此可见,A商品的价格是从21份涨到了28份,也就是28－21＝7（份）,相当于70元,所以A商品原来的价格是70÷7×21＝210（元）,B商品原来的价格是70÷7×9＝90（元）.7.巧妙“割补”化难为易在计算平面图形的面积时,经常会遇到一些比较复杂的组合图形,若能巧妙地将这些图形进行割补转化,往往能化难为易.例1. 如下图,大、小正方形的边长之和为20厘米,面积之差为40平方厘米,求大、小正方形的边长各是多少厘米? 分析与根据题意,对上图进行分割（如图1）,由已知条件可得A、B、C三块阴影部分的面积之和是40平方厘米,再将图1转化为图2,则可求得阴影部分长方形的宽为40÷20＝2（厘米）. 图1 图2所以,小正方形的边长为（20－2）÷2＝9（厘米）；大正方形的边长为9＋2＝11（厘米）.例2. 一个正方形,如果一条边增加6厘米,另一条边增加2厘米,所得的长方形的面积就比原正方形的面积多92平方厘米,求原正方形的边长. 分析与根据题意可作出上图.正方形边长变化后,增加的部分可分成A、B、C三个部分,其中C的面积是6×2＝12（平方厘米）,则A、B的面积之和为92－12＝80（平方厘米）,A和B各有一条边长正好是原正方形的边长,因而A和B可以拼成一个宽为2＋6＝8（厘米）的长方形（如下图）.因这个长方形的面积为80平方厘米,宽为8厘米,所以可得原正方形的边长为（92－6×2）÷（6＋2）＝80÷8＝10（厘米）. 例3. 一个正方形的一条边增加6厘米,另一条边减少2厘米,所得长方形的面积比原正方形的面积多68平方厘米,求原正方形的边长.分析与根据题意可作出下图. 图中阴影部分B为增加的面积,阴影部分A为减少的面积,由已知条件可得B的面积比A的多68平方厘米.补上面积C,C的面积为6×2＝12（平方厘米）,则B和C的面积之和比A的面积多68＋12＝80（平方厘米）.因B和C所组成的长方形的长是原正方形的边长,A所在长方形的长也是原正方形的边长,所以通过拼割可以作出下图. 从上图中可以看出,80平方厘米是以原正方形边长为长,以6－2＝4（厘米）为宽的长方形的面积.从而可求出原正方形边长为：（68＋6×2）÷（6－2）＝80÷4＝20（厘米）综上所述,可知在解答这类图形题时,应紧紧抓住图形的特点,从题中所给的已知条件出发,割拼结合,巧妙拼补,这样才能清晰地凸现它们之间的关系,达到化难为易、化繁为简的解题目的.8.数形结合 巧解难题题目 上体育课时,同学们站好队,一至二报数,然后让报一的学生退出队列；再一至二报数,同样也让报一的学生退出队列；但从第三次开始,每次报数后,一律让报二的学生退出队列,……直到最后剩下一个人为止,问最后剩下的一个人最初排在队列的第几位?分析与初看这道题,感觉很复杂,没有思路,但只要运用数形结合的方法,就很容易得出答案.方法如下：用圆圈代表学生（不妨以19人为例）,第一次报数后出现的情况如图1所示,第二次报数后出现的情况如图2所示,第三次报数后出现的情况如图3所示,第四次报数后出现的情况如图4所示. 至此,就得到了答案：最后剩下的一个人最初排在队列的第4位（值得注意的是：从纯数学的角度考虑,本题应再加一个条件“上课的学生人数不少于4人”,但联系实际情况,无此条件也是可以的）.进一步研究就会发现：只要总人数不少于4人,最后剩下的一个人最初都是排在第4位.为什么会有这样的规律呢?与哪些条件有关呢?我试着把条件“让报一的学生退出队列”的次数改为3次,其余条件不变,结果就发生了变化,最后剩下的一个人最初排在队列的第8位.换了假定的人数,结果依然相同.我又一次调整这一条件出现的次数,让它出现4次,其余条件还是不变,则最后剩下的那一个人最初排在队列的第16位.最后我得出的结论是：已知条件“让报一的学生退出队列”出现的次数与问题“最后剩下的一个人最初排在队列的第几位?”关系密切.假如把已知条件“让报一的学生退出队列”出现的次数设为n,那么最后剩下的一个人最初就排在队列的第2n位.本题中这一条件出现2次,则剩下的一个人最初排在队列的第22＝4（位）；出现3次,剩下的一个人最初就应排在队列的第23＝8（位）.下面,请你也来试一试：当报一的这一条件出现5次,其余条件不变时,最后剩下的一个人最初应排在队列的第几位呢?9.挖掘题目内涵 拓宽解题思路有些应用题,通过挖掘题目内涵,就能拓宽解题思路,寻求多解,并有利于提高学生的思维水平和解题能力.〔题目〕某通讯员骑摩托车从甲地往乙地发送文件,到达乙地后立即返回,往返共用去2小时.已知去时每小时行45千米,返回时每小时行30千米,求甲、乙两地相距多少千米.〔分析与解〕此题可用八种策略策略一：等价变换此题的已知条件与问题很难直接建立数量关系,若将已知条件进行等价变换,问题就容易解决了.已知条件可等价变换为：去时行1千米要用 小时,返回时行1千米要用 小时.据此,往返各行1千米一共要用 （小时）,又因为这位通讯员往返共用去2小时,由此就可求出甲、乙两地的路程为： （千米）.策略二：引量过渡对问题提出假设性答案,为解题“搭桥”.假设两地的路程为90千米（45和30的最小公倍数）,则去时要用90÷45＝2（小时）,返回时要用90÷30＝3（小时）,往返共用5小时.而题目中告诉我们往返共用去了2小时,即5小时的 ,所以甲、乙两地的实际路程是90千米的 ,即 （千米）.策略三：增设参数将某个未知数量用字母表示,直接参与计算.如用字母“t”表示去时所用的时间,则甲、乙两地的路程可表示为45t,返回时所用的时间可表示为 .由通讯员往返一次所行的总路程45t×2＝90t与所用的总时间 ,可求得通讯员往返的平均速度为： ,进而可求出甲、乙两地相距的路程为：36×2÷2＝36（千米）.策略四：横向联系通过横向联系,从“比和按比例分配”的角度入手.根据“去时和返回时的速度之比为45∶30＝3∶2”,可知“行同样的路程,去时和返回时所用的时间之比为2∶3”,用按比例分配的方法即可求出去时所用的时间为： （小时）,进而可求出甲、乙两地的路程为：45×0.8＝36（千米）.策略五：确定单位把题目中涉及到的某个数量设为单位“1”,根据数量关系可进一步分析求解.如把返回时所用的时间设为单位“1”,则甲、乙两地的路程为30×1＝30,去时所用的时间为 ,由此可求出返回时所用的时间为 （小时）,进而可求出甲、乙两地相距的路程为：30×1.2＝36（千米）.策略六：变式转换根据“返回时所用的时间＝2小时－去时所用的时间”可以列出等式：45×去时所用的时间＝30×（2－去时所用的时间）,然后通过去括号、移项可得：45×去时所用的时间＋30×去时所用的时间＝30×2,由此可以求出去时所用的时间为：30×2÷（45＋30）＝0.8（小时）,进而可求出两地的路程为：45×0.8＝36（千米）.策略七：据理估算由“去时的速度是返回时速度的45÷30＝ 倍”可知,去时所用的时间小于1小时,返回时所用的时间大于1小时,所以可将去时所用的时间估算为0.9小时,返回时所用的时间估算为1.1小时,则去时的速度是返回时速度的 倍,这说明我们估算的去时所用的时间偏大了,返回时所用的时间偏小了,可试着调整为：去时所用的时间为0.8小时,返回时所用的时间为1.2小时,则去时的速度是返回时速度的 倍,符合题目条件,故调整后的估算正确,因此,甲、乙两地相距的路程为：45×0.8＝36（千米）,或30×1.2＝36（千米）.策略八：特殊假设假设去时用2小时,返回时用0小时,则可推出“去时路程－返回路程＝45×2－30×0＝90千米”,为什么会有路程差呢?这是因为去时路程被看成“45×2”,多了“45×返回时所用的时间”；而“返回路程”被看成“30×0”,少了“30×返回时所用的时间”,也就是说,被减数多了“45×返回时所用的时间”,减数少了“30×返回时所用的时间”,差就多了90千米,所以,45×返回时所用的时间＋30×返回时所用的时间＝90千米,由上式即可求出返回时所用的时间为：90÷（45＋30）＝1.2（小时）,进而可求出甲、乙两地的路程为：30×1.2＝36（千米）.10.先估算 再确定三个连续正整数,如果中间一个是完全平方数,那么这样的三个连续正整数的积被称为“美妙数”.问所有小于2008的“美妙数”的最大公约数是多少?（全国第九届“华罗庚金杯”赛暨南通市“华杯”赛六年级试题）〔一般解法〕根据题意,符合条件的三个连续正整数的积要小于2008,我们不妨先估算这三个连续正整数的范围.因为“美妙数”要求三个连续正整数中间的一个数是完全平方数,所以由8×9×10＝720和15×16×17＝4080可知中间一个数的完全平方数肯定不大于9,也就是说符合条件 三个连续正整数只有3、4、5和8、9、10两组.综合以上分析,小于2008的“美妙数”为3×4×5＝60和8×9×10＝720.因60与720的最大公约数为60,所以所有小于2008的“美妙数”的最大公约数是60.〔巧妙解法〕根据题意,很容易找出最小的“美妙数”为3×4×5＝60,所以符合条件的三个连续正整数中必定有一个数是3的倍数,其中也必定有一个是偶数,且这个偶数也一定是4的倍数.又因为三个连续正整数中间一个要求是完全平方数,所以完全平方数的末位数字只可能是0、1、4、5、6、9,末位数字是0和5的数字又一定是5的倍数,与末位数字为1、4、6、9相邻的正整数中,一定有一个正整数是5的倍数,因此,“美妙数”一定是3、4、5的公倍数,即“美妙数”一定是3×4×5＝60的倍数.而最小的“美妙数”是60,因此这些“美妙数”的最大公约数也一定是60.11. 拆拆合合,神机妙算小朋友,下面几道题我一会儿就做了出来,你一定认为我用了计算器才算得那么快的.其实不是这样的,看,我拆拆合合,就可以神机妙算.（1）7227÷73我是这样想的：少了1个73,而7300里有100个73,所以7227里就有99个73. （2）99×99＋199我是这样想的：先从199里拿1个99出来,与99×99合起来就有100个99相加了.再加上剩下的100,实际上就是100个100相加. （3）8÷2÷5÷8我是这样想的：把80000缩小125倍,再缩小8倍,实际上是缩小了1000倍,接着又缩小2倍,缩小5倍,即又缩小了10倍.
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