知识点梳理
函数的图像及变化：1、图像：一次函数对勾函数指数函数对数函数正弦函数余弦函数正切函数的图像余切函数的图像2、平移变化：&Ⅰ水平平移：函数y=f（x+a）的图像可以把函数y=f（x）的图像沿x轴方向向左（a＞0）或向右（a＜0）平移|a|个单位即可得到；&Ⅱ竖直平移：函数y=f（x+a）的图像可以把函数y=f（x）的图像沿x轴方向向上（a＞0）或向下（a＜0）平移|a|个单位即可得到．&3、对称变换：&Ⅰ函数y=f（-x）的图像可以将函数y=f（x）的图像关于y即可得到；&Ⅱ函数y=-f（x）的图像可以将函数y=f（x）的图像关于x轴对称即可得到；&Ⅲ函数y=-f（-x）的图像可以将函数y=f（x）的图像关于原点对称即可得到；&Ⅳ函数y=f-1（x）的图像可以将函数y=f（x）的图像关于直线y=x对称得到．
整理教师:&&
举一反三（巩固练习，成绩显著提升，去）
根据问他()知识点分析，
试题“已知函数f（x）=|log3x|，若0＜m＜n，且f（m）=...”，相似的试题还有：
已知函数f(x)=\left\{ \begin{array}{l} {2，x≥0}\\{-x+2，x＜0} \end{array} \right.则满足不等式f(3-x2)＜f(2x)的x的取值范围为()
A.（-3，-\sqrt{3}）
B.（-3，0）
C.[-3，0）
D.（-3，1）
已知函数f(x)=cos^{2}x+\sqrt{3}sinxcosx+2sinxcos(x+\frac{π}{6})，其中x∈[0，\frac{π}{2}](1)求函数f(x)的值域(2)若|f(x)-k|＜3对任意x∈[0，\frac{π}{2}]恒成立，求实数k的取值范围．
已知函数f(x)=\left\{ \begin{array}{l} {2^{x}&(x＜0)}\\{log_{2}x(x＞0)} \end{array} \right.，若直线y=m与函数f(x)的图象有两个不同的交点，则实数m的取值范围是_____．& 数学归纳法知识点 & “已知函数f（x）=ln（x+1）+mx，...”习题详情
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已知函数f（x）=ln（x+1）+mx，当x=0时，函数f（x）取得极大值．（1）求实数m的值；（2）已知结论：若函数f（x）=ln（x+1）+mx在区间（a，b）内导数都存在，且a＞-1，则存在x0∈（a，b），使得f′(x0)=f(b)-f(a)b-a．试用这个结论证明：若-1＜x1＜x2，函数g(x)=f(x1)-f(x2)x1-x2(x-x1)+f(x1)，则对任意x∈（x1，x2），都有f（x）＞g（x）；（3）已知正数λ1，λ2，…，λn，满足λ1+λ2+…+λn=1，求证：当n≥2，n∈N时，对任意大于-1，且互不相等的实数x1，x2，…，xn，都有f（λ1x1+λ2x2+…+λnxn）＞λ1f（x1）+λ2f（x2）+…+λnf（xn）．
本题难度：一般
题型：解答题&|&来源：2012-江西模拟
分析与解答
习题“已知函数f（x）=ln（x+1）+mx，当x=0时，函数f（x）取得极大值．（1）求实数m的值；（2）已知结论：若函数f（x）=ln（x+1）+mx在区间（a，b）内导数都存在，且a＞-1，则存在x0∈（a，b...”的分析与解答如下所示：
（1）求导函数，利用当x=0时，函数f（x）取得极大值，即可求得实数m的值；（2）令h(x)=f(x)-g(x)=f(x)-f(x1)-f(x2)x1-x2(x-x1)-f(x1)，则h′(x)=f′(x)-f(x1)-f(x2)x1-x2，根据函数f（x）在x∈（x1，x2）上可导，可得存在x0∈（x1，x2），使得f′(x0)=f(x1)-f(x2)x1-x2，从而h′(x)=f′(x)-f′(x0)=1x+1-1x0+1=x0-x(x+1)(x0+1)，进而可得h（x）＞0；（3）用数学归纳法证明，先证明当n=2时，结论成立；再证明假设当n=k（k≥2）时结论成立，利用归纳假设证明当n=k+1时，结论也成立．
（1）解：求导函数f′(x)=1x+1+m．∵当x=0时，函数f（x）取得极大值∴f'（0）=0，得m=-1，此时f′(x)=-xx+1．当x∈（-1，0）时，f'（x）＞0，函数f（x）在区间（-1，0）上单调递增；当x∈（0，+∞）时，f'（x）＜0，函数f（x）在区间（0，+∞）上单调递减．∴函数f（x）在x=0处取得极大值，故m=-1．…（3分）（2）证明：令h(x)=f(x)-g(x)=f(x)-f(x1)-f(x2)x1-x2(x-x1)-f(x1)，…（4分）则h′(x)=f′(x)-f(x1)-f(x2)x1-x2．∵函数f（x）在x∈（x1，x2）上可导，∴存在x0∈（x1，x2），使得f′(x0)=f(x1)-f(x2)x1-x2．∵f′(x)=1x+1-1，∴h′(x)=f′(x)-f′(x0)=1x+1-1x0+1=x0-x(x+1)(x0+1)∵当x∈（x1，x0）时，h'（x）＞0，h（x）单调递增，∴h（x）＞h（x1）=0；∵当x∈（x0，x2）时，h'（x）＜0，h（x）单调递减，∴h（x）＞h（x2）=0；故对任意x∈（x1，x2），都有f（x）＞g（x）．…（8分）（3）证明：用数学归纳法证明．①当n=2时，∵λ1+λ2=1，且λ1＞0，λ2＞0，∴λ1x1+λ2x2∈（x1，x2），∴由（Ⅱ）得f（x）＞g（x），即f(λ1x1+λ2x2)＞f(x1)-f(x2)x1-x2(λ1x1+λ2x2-x1)+f(x1)=λ1f(x1)+λ2f(x2)，∴当n=2时，结论成立．…（9分）②假设当n=k（k≥2）时结论成立，即当λ1+λ2+…+λk=1时，f（λ1x1+λ2x2+…+λkxk）＞λ1f（x1）+λ2f（x2）+…+λkf（xk）．当n=k+1时，设正数λ1，λ2，…，λk+1满足λ1+λ2+…+λk+1=1，令m=λ1+λ2+…+λk，μ1=λ1m，μ2=λ2m，…，μk=λkm，则m+λk+1n=1，且μ1+μ2+…+μk=1．f（λ1x1+λ2x2+…+λkxk+λk+1xk+1）=f[m（μ1x1+…+μkxk）+λk+1xk+1]＞mf（μ1x1+…+μkxk）+λk+1f（xk+1）＞mμ1f（x1）+…+mμkf（xk）+λk+1f（xk+1）=λ1f（x1）+…+λkf（xk）+λk+1f（xk+1）…（13分）∴当n=k+1时，结论也成立．综上由①②，对任意n≥2，n∈N，结论恒成立．…（14分）
本题考查导数知识的运用，考查数学归纳法证明不等式，解题的关键是利用函数的极值点处导数为0，利用数学归纳法的证题步骤进行证明，综合性强．
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已知函数f（x）=ln（x+1）+mx，当x=0时，函数f（x）取得极大值．（1）求实数m的值；（2）已知结论：若函数f（x）=ln（x+1）+mx在区间（a，b）内导数都存在，且a＞-1，则存在x0...
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经过分析，习题“已知函数f（x）=ln（x+1）+mx，当x=0时，函数f（x）取得极大值．（1）求实数m的值；（2）已知结论：若函数f（x）=ln（x+1）+mx在区间（a，b）内导数都存在，且a＞-1，则存在x0∈（a，b...”主要考察你对“数学归纳法”
等考点的理解。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
数学归纳法
数学归纳法若不等式1n+1+1n+2+L+13n+1＞a24对一切正整数n都成立，猜想正整数a的最大值，并用归纳法证明结论．
与“已知函数f（x）=ln（x+1）+mx，当x=0时，函数f（x）取得极大值．（1）求实数m的值；（2）已知结论：若函数f（x）=ln（x+1）+mx在区间（a，b）内导数都存在，且a＞-1，则存在x0∈（a，b...”相似的题目：
用数学归纳法证明，则当n=k+1时左端应在n=k的基础上增加&&&&k2+1（k+1）2（k2+1）+（k2+2）+（k2+3）+…+（k+1）2
用数学归纳法证明凸n边形的对角线条数：f（n）=n（n-3），（n≥3，n∈N）&&&&
设数列{an}的前n项和为Sn，已知（n∈N*）．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设，数列{bn}的前n项和为Bn，若存在整数m，使对任意n∈N*且n≥2，都有成立，求m的最大值；（3）令，数列{cn}的前n项和为Tn，求证：当n∈N*且n≥2时，．&&&&
“已知函数f（x）=ln（x+1）+mx，...”的最新评论
该知识点好题
1证明1+12+13+14+…+12n-1＞n2（n∈N*），假设n=k时成立，当n=k+1时，左端增加的项数是（　　）
2用数学归纳法说明：1+12+13+…+12n-1＜n(n＞1)，在第二步证明从n=k到n=k+1成立时，左边增加的项数是&&&&项．
3已知函数f（x）=2bxax-1(a≠0)，满足f（1）=1，且使f（x）=2x成立的实数x只有一个，（1）求函数f（x）的表达式；（2）若数列{an}满足a1=23，an+1=f（an）（n∈N+），（ⅰ）试求a2，a3，a4，并由此猜想数列{an}的通项公式an；（ⅱ）用数学归纳法加证明你的猜想．
该知识点易错题
欢迎来到乐乐题库，查看习题“已知函数f（x）=ln（x+1）+mx，当x=0时，函数f（x）取得极大值．（1）求实数m的值；（2）已知结论：若函数f（x）=ln（x+1）+mx在区间（a，b）内导数都存在，且a＞-1，则存在x0∈（a，b），使得f′(x0)=f(b)-f(a)/b-a．试用这个结论证明：若-1＜x1＜x2，函数g(x)=f(x1)-f(x2)/x1-x2(x-x1)+f(x1)，则对任意x∈（x1，x2），都有f（x）＞g（x）；（3）已知正数λ1，λ2，…，λn，满足λ1+λ2+…+λn=1，求证：当n≥2，n∈N时，对任意大于-1，且互不相等的实数x1，x2，…，xn，都有f（λ1x1+λ2x2+…+λnxn）＞λ1f（x1）+λ2f（x2）+…+λnf（xn）．”的答案、考点梳理，并查找与习题“已知函数f（x）=ln（x+1）+mx，当x=0时，函数f（x）取得极大值．（1）求实数m的值；（2）已知结论：若函数f（x）=ln（x+1）+mx在区间（a，b）内导数都存在，且a＞-1，则存在x0∈（a，b），使得f′(x0)=f(b)-f(a)/b-a．试用这个结论证明：若-1＜x1＜x2，函数g(x)=f(x1)-f(x2)/x1-x2(x-x1)+f(x1)，则对任意x∈（x1，x2），都有f（x）＞g（x）；（3）已知正数λ1，λ2，…，λn，满足λ1+λ2+…+λn=1，求证：当n≥2，n∈N时，对任意大于-1，且互不相等的实数x1，x2，…，xn，都有f（λ1x1+λ2x2+…+λnxn）＞λ1f（x1）+λ2f（x2）+…+λnf（xn）．”相似的习题。当前位置：
＞＞＞已知向量m=（-1，cosωx+sinωx），n=（f（x），cosωx），其中ω＞0，且m⊥n..
已知向量m=（-1，cosωx+sinωx），n=（f（x），cosωx），其中ω＞0，且m⊥n，又函数f（x）的图象任意两相邻对称轴间距为π，（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）设α是第一象限角，且，求的值。
题型：解答题难度：中档来源：专项题
解：（Ⅰ）由题意，得m·n=0，所以，根据题意知，函数f（x）的最小正周期为3π，又ω＞0，所以；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，所以，解得，因为α是第一象限角，故，所以，。
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据魔方格专家权威分析，试题“已知向量m=（-1，cosωx+sinωx），n=（f（x），cosωx），其中ω＞0，且m⊥n..”主要考查你对&&函数y=Asin（wx+φ）的图象与性质，两角和与差的三角函数及三角恒等变换，用坐标表示向量的数量积&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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函数y=Asin（wx+φ）的图象与性质两角和与差的三角函数及三角恒等变换用坐标表示向量的数量积
函数的图象：
1、振幅、周期、频率、相位、初相：函数，表示一个振动量时，A表示这个振动的振幅，往返一次所需的时间T=，称为这个振动的周期，单位时间内往返振动的次数称为振动的频率，称为相位，x＝0时的相位叫初相。 2、用“五点法”作函数的简图主要通过变量代换，设X＝由X取0，来找出相应的x的值，通过列表，计算得出五点的坐标，描点后得出图象。 3、函数＋K的图象与y=sinx的图象的关系： 把y=sinx的图象纵坐标不变，横坐标向左（φ＞0）或向右（φ＜0），y=sin（x+φ） 把y=sin（x+φ）的图象纵坐标不变，横坐标变为原来的，y=sin（ωx+φ） 把y=sin（ωx+φ）的图象横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍，y=Asin（x+φ）把y=Asin（x+φ）的图象横坐标不变，纵坐标向上（k＞0）或向下（k＜0），y=Asin（x+φ）+K； 若由y=sin（ωx）得到y=sin（ωx+φ）的图象，则向左或向右平移个单位。 函数y=Asin（x+φ）的性质：
1、y=Asin（x+φ）的周期为； 2、y=Asin（x+φ）的的对称轴方程是，对称中心（kπ，0）。两角和与差的公式：
倍角公式：
半角公式：
万能公式：
三角函数的积化和差与和差化积：
三角恒等变换：
寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择可以联系它们的适当公式，这是三角恒等变换的特点。三角函数式化简要遵循的"三看"原则:
(1)一看"角".这是最重要的一点,通过角之间的关系,把角进行合理拆分与拼凑,从而正确使用公式.(2)二看"函数名称".看函数名称之间的差异,从而确定使用的公式.(3)三看"结构特征".分析结构特征,可以帮助我们找到变形得方向,常见的有"遇到分式要通分"等.
(1)解决给值求值问题的一般思路:①先化简需求值得式子;②观察已知条件与所求值的式子之间的联系(从三角函数名及角入手);③将已知条件代入所求式子,化简求值.(2)解决给值求角问题的一般步骤:①求出角的某一个三角函数值;②确定角的范围;③根据角的范围确定所求的角.两个向量的数量积的坐标运算:
非零向量，那么，即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积。 向量的数量积的推广1：
设a=(x,y)，则|a|=x2+y2 ，或|a|=
向量的数量积的推广2：
向量的数量积的坐标表示的证明：
发现相似题
与“已知向量m=（-1，cosωx+sinωx），n=（f（x），cosωx），其中ω＞0，且m⊥n..”考查相似的试题有：
287477257589273510565431267703411778扫二维码下载作业帮
2亿+学生的选择
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2亿+学生的选择
已知函数f(x)=x2+mx+nlnx(x>0,实数m,n为常数).（1）若n+3m2=0(m>0),且函数f(x)在x属于[1,+无穷大)上的最小值为0,求m值；（2）若对于任意的实数a属于[1,2],b-a=1,函数f(x)在区间(a,b)上总是减函数,对每个给定的n,求m的最大值h(n).
ice繁华Hs403
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2亿+学生的选择
（1）因为n+3m2=0时,f（x）=x²+mx-3m²lnx．则：f'（x）=(2x²+mx-3m²）/x=（2x+3m)(x-m)/x令f'（x）=0,得：x=m,x=-3m/2因为：x>0,m>0所以 x=-3m/2舍去,即：x=m．①当m＞1时,f（x）在（1,m）上单调递减,在（m,+∞）上单调递增∴当x=m时,fmin（x）=2m²-3m²lnm．令2m²-3m²lnm=0,得：m=e^2/3．②当0＜m≤1时,f'（x）≥0在x∈[1,+∞）上恒成立,f（x）在x∈[1,+∞）上为增函数,当x=1时,fmin（x）=1+m．令m+1=0,得m=-1（舍）．综上所述,所求m为e^2/3．（2）不好意思,!
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扫描下载二维码设函数f(x)=a?b.其中向量a=(2cosx.1).b=(cosx. sin2x).x∈R. (Ⅰ)若f(x)=1-且x∈[-.].求x, (Ⅱ)若函数y=2sin2x的图象按向量c=(m.n)(|m|&)平移后得到函数y=f(x)的图象.求实数m.n的值. 题目和参考答案——精英家教网——
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& 题目详情
设函数f(x)=a?b，其中向量a=(2cosx，1)，b=(cosx， sin2x)，x∈R. （Ⅰ）若f(x)=1－且x∈[－，]，求x； （Ⅱ）若函数y=2sin2x的图象按向量c=(m，n)(|m|&)平移后得到函数y=f(x)的图象，求实数m、n的值.
解：（Ⅰ）依题设，f(x)=2cos2x+sin2x=1+2sin(2x+). 由1+2sin(2x+)=1－，得sin(2x+)=－. ∵－≤x≤，∴－≤2x+≤，∴2x+=－， 即x=－. （Ⅱ）函数y=2sin2x的图象按向量c=(m，n)平移后得到函数y=2sin2(x－m)+n的图象，即函数y=f(x)的图象. 由（Ⅰ）得 f(x)=2sin2(x+)+1.&&& ∵|m|&，∴m=－，n=1.
科目：高中数学
设函数，其中向量=（m，cos2x），=（1+sin2x，1），x∈R，且y=f（x）的图象经过点．（1）求实数m的值；（2）求f（x）的最小正周期．
科目：高中数学
设函数f(x)=a-22x+1，（1）求证：不论a为何实数f（x）总为增函数；（2）确定a的值，使f（x）为奇函数；（3）若不等式f（x）+a＞0恒成立，求实数a的取值范围．
科目：高中数学
设函数f(x)=(a-2)x，(x≥2)(12)x&-1，(x＜2)，an=f(n)，若数列{an}是单调递减数列，则实数a的取值范围为（　　）A．（-∞，2）B．（-∞，138]C．（-∞，74）D．[138，2)
科目：高中数学
已知向量a=(2，-2)，b=(sin(π4+2x)，cos2x)（x∈R）．设函数f(x)=a•b（1）求f(-π4)的值；&&&&&（2）求函数f（x）在区间[0，π2]上的值域．
科目：高中数学
已知a=(53cosx，cosx)，b=(sinx，2cosx)，其中x∈[π6，π2]，设函数f(x)=a•b+|b|2+32．（1）求函数f（x）的值域；&&&&&&&&（2）若f（x）=5，求x的值．
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