数学（25）
代数系统：由非空集合S与k个一元或二元运算f1,f2,...,fk组成的系统，记作&S,f1,f2,...,fk&。具有封闭性。
满足结合率的代数系统称半群
存在单位元e的半群称作独异点
任意元素存在逆元的半群称作群。
满足结合率
存在单位元，且单位元唯一
存在逆元，且逆元唯一，且逆元的逆元是本身
消去率：两边同乘逆元可证
若&G,×&满足交换律，则称之为交换群。
若&{e,a,a2,...,ar-1},×&构成群，那么称之为循环群，其中a是这个群的生成元。
若&G,×&为群且H?G，并且&H,×&构成群，那么称&H,×&是&G,×&的一个子群
若&H,×&是&G,×&的一个子群，则?a∈G，记Ha={ha:h∈H},aH={ah:h∈H}
分别称为H的右陪集、左陪集
定义元素的阶为o(a)=min{n∈N:n&0,an=e}
陪集的一些性质
设&H,×&是&G,×&的子群，aH和bH是任意两个左陪集。那么aH=bH或aH∩bH=?
证明：只需证明若aH∩bH≠?，则aH=bH即可。不妨设f∈aH∩bH。则有f=ah0=bh1，于是a=bh1h-10
那么?g∈aH，有g=ah3=bh1h-10h3。根据群的性质有h1h-10h3∈H。因此aH?bH，同理可证bH?aH，于是得aH=bH
设&H,×&是&G,×&的子群，那么?a∈G,|aH|=|H|。也就是说所有的陪集大小相等，都等于子集大小。
H→aH为单射：?h1,h2∈G,h1≠h2，有ah1≠ah2。
H→aH为满射是显然的。因为之所以某个元素存在于aH中是因为某个H中的元素生成了它。
因此H→aH为双射，原命题得证。
所有&H,×&的左陪集构成了G的一个划分。
先证?k∈GkH?G。由封闭性及H?G可得。
再证G??k∈GkH。由于e∈H，ek=k。故?k∈G,k∈kH。
最后根据上一条定理，原命题得证，且每个部分大小相等。
拉格朗日定理
设&H,×&是&G,×&的一个子群，设|H|=m，|G|=n则有m|n。
质数阶群没有非平凡子群
有限群&G,×&中，每个元素的阶必定是|G|的一个因子
证明：记这个元素为a，因为&{e,a,a2,...,ar-1},×&是&G,×&的一个子群，根据拉格朗日定理，原命题得证。
一个质数阶的群必定是循环群，且除单位元外每个元素都是这个群的生成元。
证明：考虑每一个元素的阶o(a)||G|
从群论的角度证明欧拉定理
欧拉定理：若(b,p)=1，则bφ(p)=1(modp)
b=1明显成立。
由于&{a1,a2,...,aφ(p)},×&构成一个群，每个元素的阶o(a)|φ(p)，故?b&1,(b,p)=1皆有bφ(p)=1。原命题得证。
我查阅了很久的资料，没怎么找到这个东西的定义。
英文版的名字大致上是叫Group&action
只能笼统地讲一下我对置换群作用的理解。
首先置换群是个群，它满足群的性质。
它的运算是一个元素到他自身的一一映射，称作置换。i1,i2,...,in分别是1,2,...,n的像，其中i1,i2,...,in是一个1到n的排列。
置换的作用可以形象地理解为把一个数组上的元素简单地调换了一下位置。原本在x位置上的元素调到了ix上。
以下的S不妨看为这个数组，x不妨看作是位置标号
注意置换和置换之间可以运算，相当于将两次置换后的结果看作是一次新的置换，而置换群就是若干个置换构成集合，置换作为运算的一个群。
轨道(orbit)
?x∈S，定义x的轨道为
Ox={gx|g∈G}
可以简单地理解为x这个位置被群中的任意一个置换调换一次后，可能到达新的位置的集合。
稳定化子(stabilizer)
?x∈S，定义x的稳定化子为
Zx={g|g∈G,gx=x}
也就是所有不调换x这个位置，或者说ix=x的置换构成的集合。
orbit-stabilizer&thoerm
这个听起来略高大上的定理形式很简单，但是理解起来我认为有点难度，首先给出内容。
?x∈S,|Ox|?|Zx|=|G|
也就是说任意一个位置它的轨道数与稳定化子数乘积为群的大小。
下面给出证明：
不妨设|Ox|=l，不失一般性，记Ox={a1=x,a2,...,al}。
?ai∈Ox,?pi∈G,x-→piai
不妨用pi代表ai来证明。
?li=1Zxpi?G是显然的，根据群的封闭性可得。
G??li=1Zxpi的证明
?p∈G,?ai∈Ox,x→pai
∵?p-1i,x→pai-→-p-1ix?x-→-pp-1ix
∴(p′=pp-1i)∈Zx,(p′pi=p(p-1ipi)=p)∈Zxpi
原命题得证。
综上我们有|G|=|?li=1Zxpi|
接下来只要证明Zxpi之间互不相交，我们就可以得到它是G的一个划分，证明也不难。
由于pi将x转移到ai， pj将x转移到aj， 其中ai≠aj。因此Zxpi∩Zxpj=?
∴∑li=1|Zxpi|=|G|，即|Zx|?|Ox|=|G|。
给出一个数组和置换群，我们将所有可以通过置换群相互得到的数组视为等价的，问有多少个本质不同的数组。
burnside引理给出
n=1|G|∑pi∈GC(pi)
其中n是本质不同的方案数，C(pi)表示pi这个置换的不动点数目。
记δ(g,x)表示x位置是否在g置换中为不动点。
∑pi∈GC(pi)=∑pi∈G∑x∈Sδ(g,x)=∑x∈S|Zx|
首先我们证明等价类中的所有方案，他们的Zx都是相同的。
显然两种方案等价当且仅当它们可以通过G中的置换进行转移。
假如x,y属于同一等价类。
?p,q,x→py,y→qx
下面证明|Zx|≤|Zy|
?pi∈Zx,y→qx-→pix→py?y-→-qpipy
∴qpip∈Zy
同理，|Zy|≤|Zx|
因此|Zx|=|Zy|
于是我们可以直接一整个等价类地计算原式
∑x∈S|Zx|=∑np=1|Zp||Op|
由于上面我们已经证明了|Zp||Op|=|G|，于是有
∑x∈S|Zx|=∑np=1|G|=n|G|
那么burnside引理就得证了。
Pólya定理
考虑染色计数问题。现在有m种颜色，若两种填色方案可以通过置换群的运算得到，则视为同一种。问有多少种不同的染色方案。
显然可以用burnside引理。
首先把所有的染色方案找出。共n=mp种，其中p是格子数。
然后套用burnside引理，对于每一种染色方案，考虑计算每一个置换的不动点数。不动点数可以O(p)算出。那么总的时间复杂度为O(np|G|)。
然而n的数量是十分巨大的，直接套用burnside显然是不现实的，我们不得不放弃枚举所有染色方案这种思路。
如何计算不动点的数目呢？
我们先引入一些概念。
循环：一种特殊的置换。循环(a1,a2,...,ak)表示将元素a1变成a2，a2变成a3，…，ak变成a1的一个置换。
那么每个置换都可以写成若干个互不相交的循环的乘积。
比如(1&2&3&4&5&63&5&6&4&2&1)可以表示为(1&3&6)(2&5)(4)
循环节数：一个置换写成循环乘积的形式以后循环的个数。
那么在染色以后，有可能成为不动点的必定是一个循环，并且这个循环必须要染上同一种颜色。
有了这个结论，Pólya定理也就呼之欲出了。
Pólya定理
n=1|G|∑p∈Gmc(p)
其中c(p)表示p这个置换的循环节数。
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你可能喜欢学习高等概率论的时候，会遇到条件期望这一概念，而且这一概念出现在鞅的定义之中，自然非常重要。但这一概念又比较难以理解（起码对于当年的我）。&p&让我们从头讲起。&/p&&p&首先，在初等概率论里，我们可以定义某个事件对另一个事件的条件概率，比如P(骰子点数是3或4|骰子点数是偶数)。其实就是把原先的样本空间&img src=&/equation?tex=%5COmega& alt=&\Omega& eeimg=&1&&限制到当做条件的事件上，做个归一化，当做一个新的概率空间。于是有Bayes公式&br&&/p&&img src=&/equation?tex=%5Cmathbb%7BP%7D%28A%7CB%29%3D%5Cmathbb%7BP%7D%28AB%29%2F%5Cmathbb%7BP%7D%28B%29& alt=&\mathbb{P}(A|B)=\mathbb{P}(AB)/\mathbb{P}(B)& eeimg=&1&&&br&&p&对于事件A，考虑其示性函数&img src=&/equation?tex=1_%7BA%7D& alt=&1_{A}& eeimg=&1&&。那么我们有&img src=&/equation?tex=%5Cmathbb%7BP%7D%28A%29%3D%5Cmathbb%7BE%7D%281_A%29& alt=&\mathbb{P}(A)=\mathbb{E}(1_A)& eeimg=&1&&. 同理我们有&img src=&/equation?tex=%5Cmathbb%7BP%7D%28A%7CB%29%3D%5Cmathbb%7BE%7D%281_A%7CB%29& alt=&\mathbb{P}(A|B)=\mathbb{E}(1_A|B)& eeimg=&1&&. 所以条件概率只是条件期望的一个特例，以下我们只考虑条件期望。&/p&&p&目前为止，条件期望只是把原先的变量限制在&img src=&/equation?tex=%5COmega& alt=&\Omega& eeimg=&1&&的一个子集上，把概率归一化了之后求期望，算出来是一个实数。&/p&&p&对于两个离散型随机变量X和Y，&img src=&/equation?tex=%5Cmathbb%7BE%7D%28X%7CY%3Dy%29& alt=&\mathbb{E}(X|Y=y)& eeimg=&1&&也是一样的道理，限制在子集&img src=&/equation?tex=%5C%7B%5Comega%3AY%28%5Comega%29%3Dy%5C%7D& alt=&\{\omega:Y(\omega)=y\}& eeimg=&1&&上求期望。但注意到这个值是&img src=&/equation?tex=Y& alt=&Y& eeimg=&1&&的取值，即&img src=&/equation?tex=y& alt=&y& eeimg=&1&&的函数，&img src=&/equation?tex=f%28y%29%3D& alt=&f(y)=& eeimg=&1&&&img src=&/equation?tex=%5Cmathbb%7BE%7D%28X%7CY%3Dy%29& alt=&\mathbb{E}(X|Y=y)& eeimg=&1&&。于是我们可以把&img src=&/equation?tex=%5Cmathbb%7BE%7D%28X%7CY%29& alt=&\mathbb{E}(X|Y)& eeimg=&1&&看做&img src=&/equation?tex=Y& alt=&Y& eeimg=&1&&的函数，一个随机变量&img src=&/equation?tex=f%28Y%29& alt=&f(Y)& eeimg=&1&&. &/p&&br&当X和Y有联合密度&img src=&/equation?tex=f%28x%2Cy%29& alt=&f(x,y)& eeimg=&1&&的时候，不难想象&img src=&/equation?tex=%5Cmathbb%7BP%7D%28X%3Dx%7CY%3Dy%29%3D%5Cfrac%7Bf%28x%2Cy%29%7D%7B%5Cint+f%28x%2Cy%29dx%7D& alt=&\mathbb{P}(X=x|Y=y)=\frac{f(x,y)}{\int f(x,y)dx}& eeimg=&1&&. 于是可以写出&img src=&/equation?tex=%5Cmathbb%7BE%7D%28g%28X%29%7CY%29%3Dh%28Y%29& alt=&\mathbb{E}(g(X)|Y)=h(Y)& eeimg=&1&&, 其中&img src=&/equation?tex=h%28y%29%3D%5Cfrac%7B%5Cint+g%28x%29f%28x%2Cy%29dx%7D%7B%5Cint+f%28x%2Cy%29dx%7D& alt=&h(y)=\frac{\int g(x)f(x,y)dx}{\int f(x,y)dx}& eeimg=&1&&.&p&现在我们已经能够接受条件期望作为&img src=&/equation?tex=%5Comega& alt=&\omega& eeimg=&1&&的一个函数，比如上面，按照&img src=&/equation?tex=Y%28%5Comega%29& alt=&Y(\omega)& eeimg=&1&&的不同取值，可以得到条件期望&img src=&/equation?tex=%5Cmathbb%7BE%7D%28g%28X%29%7CY%29& alt=&\mathbb{E}(g(X)|Y)& eeimg=&1&&的不同取值。&/p&&p&注意在上面的例子中，两个&img src=&/equation?tex=%5Comega& alt=&\omega& eeimg=&1&&是否对应相同的取值，只依赖于两个&img src=&/equation?tex=Y%28%5Comega%29& alt=&Y(\omega)& eeimg=&1&&是否取相同的值，而与这个值到底是多少没关系。于是我们试图剥离『Y的取值具体是什么』这个额外信息，只留下『Y的不同取值对&img src=&/equation?tex=%5COmega& alt=&\Omega& eeimg=&1&&的分划』这个信息。而能记录Y的不同取值而不记录取值具体是什么的，就是&img src=&/equation?tex=%5Csigma%28Y%29& alt=&\sigma(Y)& eeimg=&1&&，&img src=&/equation?tex=%5COmega& alt=&\Omega& eeimg=&1&&上使得Y可测的最小的&img src=&/equation?tex=%5Csigma& alt=&\sigma& eeimg=&1&&域。于是上面的&img src=&/equation?tex=%5Cmathbb%7BE%7D%28g%28X%29%7CY%29& alt=&\mathbb{E}(g(X)|Y)& eeimg=&1&&可以写成&img src=&/equation?tex=%5Cmathbb%7BE%7D%28g%28X%29%7C%5Csigma%28Y%29%29& alt=&\mathbb{E}(g(X)|\sigma(Y))& eeimg=&1&&. &/p&&p&既然我们只用了&img src=&/equation?tex=%5Csigma& alt=&\sigma& eeimg=&1&&域这个信息，那么其实我们不用管这个&img src=&/equation?tex=%5Csigma& alt=&\sigma& eeimg=&1&&域是哪个随机变量生成的，直接对&img src=&/equation?tex=%5Csigma& alt=&\sigma& eeimg=&1&&域定义条件期望就可以了。&br&&/p&&p&（对&img src=&/equation?tex=%5Csigma& alt=&\sigma& eeimg=&1&&域的）条件期望的定义如下：考虑一个测度空间&img src=&/equation?tex=%28%5COmega%2C%5Cmathcal%7BF%7D_0%2C%5Cmathbb%7BP%7D%29& alt=&(\Omega,\mathcal{F}_0,\mathbb{P})& eeimg=&1&&上的一个随机变量&img src=&/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&&，满足&img src=&/equation?tex=%5Cmathbb%7BE%7D%7CX%7C%3C%5Cinfty& alt=&\mathbb{E}|X|&\infty& eeimg=&1&&。考虑一个子&img src=&/equation?tex=%5Csigma& alt=&\sigma& eeimg=&1&&域&img src=&/equation?tex=%5Cmathcal%7BF%7D%5Csubset%5Cmathcal%7BF%7D_0& alt=&\mathcal{F}\subset\mathcal{F}_0& eeimg=&1&&。&img src=&/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&&对&img src=&/equation?tex=%5Cmathcal%7BF%7D& alt=&\mathcal{F}& eeimg=&1&&的条件期望&img src=&/equation?tex=%5Cmathbb%7BE%7D%28X%7C%5Cmathcal%7BF%7D%29& alt=&\mathbb{E}(X|\mathcal{F})& eeimg=&1&&是一个随机变量&img src=&/equation?tex=Y& alt=&Y& eeimg=&1&&，满足&/p&&p&（i）&img src=&/equation?tex=Y& alt=&Y& eeimg=&1&&对&img src=&/equation?tex=%5Cmathcal%7BF%7D& alt=&\mathcal{F}& eeimg=&1&&可测.&/p&&p&（ii）对于任意&img src=&/equation?tex=A%5Cin%5Cmathcal%7BF%7D& alt=&A\in\mathcal{F}& eeimg=&1&&，有&img src=&/equation?tex=%5Cint_A+Xd%5Cmathbb%7BP%7D%3D%5Cint_A+Yd%5Cmathbb%7BP%7D& alt=&\int_A Xd\mathbb{P}=\int_A Yd\mathbb{P}& eeimg=&1&&.&/p&&p&条件期望不唯一，但任两个『版本』的条件期望只在一个零测集上不一样。&/p&&p&有兴趣的读者可以按照上述定义验证&img src=&/equation?tex=%5Cmathbb%7BE%7D%28g%28X%29%7C%5Csigma%28Y%29%29%3Dh%28Y%28%5Comega%29%29& alt=&\mathbb{E}(g(X)|\sigma(Y))=h(Y(\omega))& eeimg=&1&&, 其中&img src=&/equation?tex=h%28y%29%3D%5Cfrac%7B%5Cint+g%28x%29f%28x%2Cy%29dx%7D%7B%5Cint+f%28x%2Cy%29dx%7D& alt=&h(y)=\frac{\int g(x)f(x,y)dx}{\int f(x,y)dx}& eeimg=&1&&.&/p&&p&某种意义下，条件期望是把一个局部瞎jb取值的随机变量通过局部取均值打磨得光滑一些，于是就对更小的&img src=&/equation?tex=%5Csigma& alt=&\sigma& eeimg=&1&&域可测了。由于是局部取均值，这个变换是保积分的。&/p&&br&&p&条件期望的存在性需要用到Radon-Nikodym定理：&/p&&p&令&img src=&/equation?tex=%5Cmu& alt=&\mu& eeimg=&1&&和&img src=&/equation?tex=%5Cnu& alt=&\nu& eeimg=&1&&是&img src=&/equation?tex=%28%5COmega%2C%5Cmathcal%7BF%7D%29& alt=&(\Omega,\mathcal{F})& eeimg=&1&&上的两个&img src=&/equation?tex=%5Csigma& alt=&\sigma& eeimg=&1&&有限的测度。如果&img src=&/equation?tex=%5Cnu%5Cll%5Cmu& alt=&\nu\ll\mu& eeimg=&1&&，则存在对&img src=&/equation?tex=%5Cmathcal%7BF%7D& alt=&\mathcal{F}& eeimg=&1&&可测的函数&img src=&/equation?tex=f& alt=&f& eeimg=&1&&，对于任意&img src=&/equation?tex=A%5Cin%5Cmathcal%7BF%7D& alt=&A\in\mathcal{F}& eeimg=&1&&，有&img src=&/equation?tex=%5Cint_Afd%5Cmu%3D%5Cnu%28A%29& alt=&\int_Afd\mu=\nu(A)& eeimg=&1&&. &img src=&/equation?tex=f& alt=&f& eeimg=&1&&一般记作&img src=&/equation?tex=d%5Cnu%2Fd%5Cmu& alt=&d\nu/d\mu& eeimg=&1&&，叫做Radon-Nikodym导数。&/p&&p&（&img src=&/equation?tex=%5Cnu%5Cll%5Cmu& alt=&\nu\ll\mu& eeimg=&1&&，即&img src=&/equation?tex=%5Cnu& alt=&\nu& eeimg=&1&&对&img src=&/equation?tex=%5Cmu& alt=&\mu& eeimg=&1&&绝对连续，如果对&img src=&/equation?tex=A%5Cin%5Cmathcal%7BF%7D& alt=&A\in\mathcal{F}& eeimg=&1&&有&img src=&/equation?tex=%5Cmu%28A%29%3D0& alt=&\mu(A)=0& eeimg=&1&&,则&img src=&/equation?tex=%5Cnu%28A%29%3D0& alt=&\nu(A)=0& eeimg=&1&&.）&/p&&p&回到条件期望的存在性：先假设&img src=&/equation?tex=X%5Cge0& alt=&X\ge0& eeimg=&1&&. 令&img src=&/equation?tex=%5Cmu%3D%5Cmathbb%7BP%7D& alt=&\mu=\mathbb{P}& eeimg=&1&&, &img src=&/equation?tex=%5Cnu%28A%29%3D%5Cint_AXd%5Cmathbb%7BP%7D%2C+%5Cforall+A%5Cin%5Cmathcal%7BF%7D& alt=&\nu(A)=\int_AXd\mathbb{P}, \forall A\in\mathcal{F}& eeimg=&1&&，不难证明&img src=&/equation?tex=%5Cnu& alt=&\nu& eeimg=&1&&是一个&img src=&/equation?tex=%5Csigma& alt=&\sigma& eeimg=&1&&有限的测度，并且有&img src=&/equation?tex=%5Cnu%5Cll%5Cmu& alt=&\nu\ll\mu& eeimg=&1&&。那么由上述定理可得，存在Radon-Nikodym导数&img src=&/equation?tex=d%5Cnu%2Fd%5Cmu& alt=&d\nu/d\mu& eeimg=&1&&，使得&img src=&/equation?tex=%5Cint_AXd%5Cmathbb%7BP%7D%3D%5Cnu%28A%29%3D%5Cint_A%5Cfrac%7Bd%5Cnu%7D%7Bd%5Cmu%7Dd%5Cmathbb%7BP%7D& alt=&\int_AXd\mathbb{P}=\nu(A)=\int_A\frac{d\nu}{d\mu}d\mathbb{P}& eeimg=&1&&. 不难验证Radon-Nikodym导数&img src=&/equation?tex=d%5Cnu%2Fd%5Cmu& alt=&d\nu/d\mu& eeimg=&1&&就是我们要的条件期望。对于一般的&img src=&/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&&,取其正部和负部分别处理即可。&/p&&br&&br&&p&条件期望的存在性有一个泛函分析的证明，非常直观。&/p&&br&&br&&img src=&/equation?tex=L%5E2%28%5COmega%2C%5Cmathcal%7BF%7D_0%2C%5Cmathbb%7BP%7D%29& alt=&L^2(\Omega,\mathcal{F}_0,\mathbb{P})& eeimg=&1&&, 即&img src=&/equation?tex=%28%5COmega%2C%5Cmathcal%7BF%7D_0%2C%5Cmathbb%7BP%7D%29& alt=&(\Omega,\mathcal{F}_0,\mathbb{P})& eeimg=&1&&上的&img src=&/equation?tex=L%5E2& alt=&L^2& eeimg=&1&&（平方可积）函数，是一个希尔伯特空间，&img src=&/equation?tex=%28%5COmega%2C%5Cmathcal%7BF%7D%2C%5Cmathbb%7BP%7D%29& alt=&(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})& eeimg=&1&&上的&img src=&/equation?tex=L%5E2& alt=&L^2& eeimg=&1&&函数是其子空间。考虑一个&img src=&/equation?tex=L%5E2& alt=&L^2& eeimg=&1&&的随机变量&img src=&/equation?tex=X& alt=&X& eeimg=&1&&，其相对于&img src=&/equation?tex=%5Cmathcal%7BF%7D& alt=&\mathcal{F}& eeimg=&1&&的条件期望就是其在&img src=&/equation?tex=L%5E2%28%5COmega%2C%5Cmathcal%7BF%7D%2C%5Cmathbb%7BP%7D%29& alt=&L^2(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})& eeimg=&1&&这一子空间上的正交投影。&p&记投影为&img src=&/equation?tex=X%27& alt=&X'& eeimg=&1&&, &img src=&/equation?tex=X-X%27%3DZ& alt=&X-X'=Z& eeimg=&1&&. 注意&img src=&/equation?tex=Z& alt=&Z& eeimg=&1&&和&img src=&/equation?tex=L%5E2%28%5COmega%2C%5Cmathcal%7BF%7D%2C%5Cmathbb%7BP%7D%29& alt=&L^2(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})& eeimg=&1&&正交，所以&img src=&/equation?tex=%5Cforall+A%5Cin%5Cmathcal%7BF%7D& alt=&\forall A\in\mathcal{F}& eeimg=&1&&, &img src=&/equation?tex=%5Clangle+1_A%2CZ%5Crangle+%3D%5Cint_%5COmega+1_A+Zd%5Cmathbb%7BP%7D%3D0& alt=&\langle 1_A,Z\rangle =\int_\Omega 1_A Zd\mathbb{P}=0& eeimg=&1&&. 于是&img src=&/equation?tex=%5Cint_A+%28X-X%27%29d%5Cmathbb%7BP%7D%3D%5Cint_A+Zd%5Cmathbb%7BP%7D%3D%5Cint_%5COmega+1_A+Zd%5Cmathbb%7BP%7D%3D0& alt=&\int_A (X-X')d\mathbb{P}=\int_A Zd\mathbb{P}=\int_\Omega 1_A Zd\mathbb{P}=0& eeimg=&1&&, 所以&img src=&/equation?tex=X%27& alt=&X'& eeimg=&1&&确实是条件期望。对于&img src=&/equation?tex=L%5E1& alt=&L^1& eeimg=&1&&的变量，可以通过&img src=&/equation?tex=L%5E2& alt=&L^2& eeimg=&1&&的变量逼近获得。&/p&&br&&p&参考文献主要是Durrett的《概率论》，还有Bobrowski的《概率论与随机过程中的泛函分析》。&/p&&br&&p&最后写个笑话，笑点和&a href=&/p/& class=&internal&&&span class=&invisible&&https://&/span&&span class=&visible&&/p/23&/span&&span class=&invisible&&393355&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&/a&最后的笑话一样。&br&&/p&&p&我点了个椰子鸡，为啥上来个栗子鸡？&/p&&p&因为coconut就是nut。&/p&&p&谁告诉你nut是自反(reflexive)的？&/p&&br&&br&&p&之后要闭关干活，半个月内估计没空写东西了。&/p&
学习高等概率论的时候，会遇到条件期望这一概念，而且这一概念出现在鞅的定义之中，自然非常重要。但这一概念又比较难以理解（起码对于当年的我）。让我们从头讲起。首先，在初等概率论里，我们可以定义某个事件对另一个事件的条件概率，比如P(骰子点数是3…
&p&群论不简单么？一个集合和一个二元运算，并且满足群论四大公理。黑纸白字，没有一个符号、一个汉字是我不认识的。经过这么多年的数学训练，加上刷题，那是想证明就证明、想计算就计算，砍瓜切菜、手起刀落、猛虎下山、势如破竹。&/p&&p&但是！我很不爽，这种感觉好比有人叫你去砍人，你也不问问为什么，一言不合就出手把人砍翻在地，或者被人砍翻在地，这种行为我们一般把它成为脑残，你的身份就是别人的小弟。&/p&&p&我们不要做数学的小弟，刷题不能给我们自由，唯有思考可以。&/p&&p&下面就讲一下我对群论的一些思考。&/p&&p&&strong&1 集合&/strong&&/p&&p&讲群论先从集合讲起，集合简单来说就是把一堆东西放在一起（暂时就别提罗素悖论了）：&img src=&/v2-c7ab0c02df10e0bde75846e_b.png& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&/v2-c7ab0c02df10e0bde75846e_r.png&&&/p&&p&可是这用处不大啊，东西之间得有相互作用才能更好的描述世界啊：&img src=&/v2-de1bf6e41108b6fae01ecad_b.png& data-rawwidth=&701& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&701& data-original=&/v2-de1bf6e41108b6fae01ecad_r.png&&&/p&&p&东西我们把它称之为对象，对象之间的互相作用我们称之为操作或者运算。&/p&&p&自然数 &img src=&///equation?tex=N& alt=&N& eeimg=&1&& 是一个集合，我们从自然数 &img src=&///equation?tex=N& alt=&N& eeimg=&1&& 这个集合出发，通过运算可以创造越来越大的集合( &img src=&///equation?tex=N& alt=&N& eeimg=&1&& 、 &img src=&///equation?tex=Z& alt=&Z& eeimg=&1&& 、 &img src=&///equation?tex=Q& alt=&Q& eeimg=&1&& 、 &img src=&///equation?tex=R& alt=&R& eeimg=&1&& 、 &img src=&///equation?tex=C& alt=&C& eeimg=&1&& 分别是自然数、整数、有理数、实数、复数)：&img src=&/v2-4a587f2776eac5a7fb10_b.png& data-rawwidth=&868& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&868& data-original=&/v2-4a587f2776eac5a7fb10_r.png&&&/p&&p&运算不止加减乘除，数学学到后面就多了很多抽象运算。甚至从集合和运算的角度来看，学数学的过程很多时候就是在不断的扩大对集合和运算的认知。理解的集合和运算越多，相关领域的数学基本上也就理解了。&/p&&p&其中有种特殊的&b&集合+运算&/b&就是群。&/p&&p&&strong&2 群&/strong&&/p&&p&简单来说，群的作用是描述对称。&/p&&p&&strong&2.1 什么叫对称？&/strong&&/p&&p&我们来看看：&/p&&ul&&li&&p&正方形对称吗?&/p&&/li&&li&&p&物理定律对称吗？&/p&&/li&&li&&p&多项式的根对称吗？&/p&&/li&&/ul&&p&上面的问题的答案都是：对称！&/p&&p&对称就是：&b&“某种操作下的不变性”&/b&，关键字是两个：&b&“操作”和“不变性”&/b&，要说明这点让我们通过上面的三个问题来理解。&/p&&p&&strong&2.1.1 正方形是否对称？&/strong&&/p&&p&先看看正方形，其实它对称是蛮明显的，符合我们日常的语义，可是我们也要把它放到数学的语境里来分析一下：&img src=&/v2-dec02ff2e20b841b8ccd51_b.png& data-rawwidth=&768& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&768& data-original=&/v2-dec02ff2e20b841b8ccd51_r.png&&&/p&&p&围绕中心点旋转这个&b&操作&/b&，正方形所具有的&b&不变性&/b&就是对称。&/p&&p&我们换一种操作，正方形也可以对称：&img src=&/v2-fedebd3ed0_b.png& data-rawwidth=&768& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&768& data-original=&/v2-fedebd3ed0_r.png&&&/p&&p&围绕中垂线这个&b&操作&/b&，正方形也具有&b&不变性&/b&，也是一种对称。但是因为操作变了，所以这种对称和上面的那种对称不是同一种对称，之后我会再说到这个问题。&/p&&p&假如刚才的正方形只是桌子的桌面，继续围绕中垂线翻转这个操作就不对称了：&img src=&/v2-58b48ff8d8a3feb456c2fbe_b.png& data-rawwidth=&920& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&920& data-original=&/v2-58b48ff8d8a3feb456c2fbe_r.png&&&/p&&p&&strong&2.1.2 物理定律是否对称？&/strong&&/p&&p&这个听起来就有点奇怪了，但是从不变性的角度出发，相对于时间流逝这个操作，物理定律保持不变，我们可以说物理定律相对时间对称。相对于空间改变这个操作，物理定律保持不变，我们可以说物理定律相对空间对称：&img src=&/v2-91c8cb6ebb0fb0e27e9474890cfe22dd_b.png& data-rawwidth=&838& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&838& data-original=&/v2-91c8cb6ebb0fb0e27e9474890cfe22dd_r.png&&&/p&&p&这听起来蛮哲学的，不是说数学学到后面都是哲学吗？&/p&&p&物理我属于民科水平，大家可以参看 &a href=&///?target=https%3A//zh.wikipedia.org/wiki/%25E5%25AF%25B9%25E7%25A7%25B0%25E6%_%28%25E7%%25E7%E5%25AD%25A6%29& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&对称性----维基百科&i class=&icon-external&&&/i&&/a& 。&/p&&p&&strong&2.1.3 多项式的根是否对称？&/strong&&/p&&p&说明下，多项式方程指的是形如 &img src=&///equation?tex=x%5E+n%2Ba_1x%5E%7Bn-1%7D%2B%5Ccdots+%2Ba_+n%3D0& alt=&x^ n+a_1x^{n-1}+\cdots +a_ n=0& eeimg=&1&& 这样的方程。&/p&&p&群论就是从解多项式的根开始发展起来的，所以自然要谈一下为什么多项式的根具有对称性。&/p&&p&首先要从简单的一元二次方程说起：&img src=&/v2-1687fbe78ee6cc64749a44_b.png& data-rawwidth=&1133& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1133& data-original=&/v2-1687fbe78ee6cc64749a44_r.png&&&/p&&p&从上图中来看，相对于 &img src=&///equation?tex=%2B%5Ctimes+& alt=&+\times & eeimg=&1&& 运算，多项式的根互换之后结果不变，针对这个运算它们是对称的。对于 &img src=&///equation?tex=-%5Cdiv+& alt=&-\div & eeimg=&1&& 运算就没有对称性。&/p&&p&这个对称性有什么用？根据 &a href=&///?target=https%3A//zh.wikipedia.org/wiki/%25E9%259F%25A6%25E8%25BE%25BE%25E5%25AE%259A%25E7%& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&韦达定理&i class=&icon-external&&&/i&&/a& ，一元二次方程 &img src=&///equation?tex=x%5E2%2Bax%2Bb%3D0& alt=&x^2+ax+b=0& eeimg=&1&& ，其中&img src=&///equation?tex=a%3D-%28x_1%2Bx_2%29%2Cb%3Dx_1x_2& alt=&a=-(x_1+x_2),b=x_1x_2& eeimg=&1&& ，系数是已知的，实际上我可以联立这样的二元方程组求得方程的根。&/p&&p&所以顺便说一下，群论的发展过程是这样的：&img src=&/v2-eb8aee04f3f6_b.png& data-rawwidth=&1059& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1059& data-original=&/v2-eb8aee04f3f6_r.png&&&/p&&p&关于伽罗瓦与一元五次方程的问题，与群紧密相关，但是又涉及到更多别的知识，本文就不继续推下去了。&/p&&p&&strong&2.2 对称如何用数学表示？&/strong&&/p&&p&让我们从正方形开始解读如何来表示对称.&/p&&p&之前说过，对称最重要的是在&b&“某种操作下的不变性”&/b&，所以我们先讨论正方形围绕中心点旋转，总共有4种对称操作：&img src=&/v2-ead5217cdc2700_b.png& data-rawwidth=&444& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&444& data-original=&/v2-ead5217cdc2700_r.png&&&/p&&p&或许你觉得应该不止4种操作，比如转两圈，这可以等价于“保持不动”，而转45°，这会导致不对称（因为你会明显发现变化）。&/p&&p&起始点是完全不用关心的：&img src=&/v2-ecd573c3ca5e16baeb87_b.png& data-rawwidth=&906& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&906& data-original=&/v2-ecd573c3ca5e16baeb87_r.png&&&/p&&p&甚至是不是正方形也不重要：&img src=&/v2-5baba0a0e1f5d6bc2f699_b.png& data-rawwidth=&875& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&875& data-original=&/v2-5baba0a0e1f5d6bc2f699_r.png&&&/p&&p&是的，群只关心对称最本质、最抽象的性质。所以我们只关心操作，只需要把操作放到集合里。&/p&&p&要放进去我们必须要把操作给数学化，也就是符号化，我们起码有两种符号化的选择，类比于加法或者乘法：&img src=&/v2-3e11fc2d2e_b.png& data-rawwidth=&1059& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1059& data-original=&/v2-3e11fc2d2e_r.png&&&/p&&p&稍微解释一下，什么叫做类比于加法？比如我们通过类比于加法得到 &img src=&///equation?tex=%5C%7B+0%2Cr%2C2r%2C3r%5C%7D+& alt=&\{ 0,r,2r,3r\} & eeimg=&1&& ，“保持不变”映射为了0，“旋转90°”映射为了 &img src=&///equation?tex=r& alt=&r& eeimg=&1&& ，而两个操作的依次进行映射为加法。所以“保持不变” + “旋转90°” ＝ &img src=&///equation?tex=0%2Br%3Dr& alt=&0+r=r& eeimg=&1&& ＝ “旋转90°”，是合理。而“旋转90°” + “旋转90°” ＝ &img src=&///equation?tex=r%2Br%3D2r& alt=&r+r=2r& eeimg=&1&& ＝ “旋转180°”，也是合理的。注意，运算不需要符合交换律。&/p&&p&还要说明的一点是，这里的加法和乘法是模加法、模乘法，类似于钟表，按照12小时制算， &img src=&///equation?tex=3%2B11%3D2& alt=&3+11=2& eeimg=&1&& ， &img src=&///equation?tex=3%5Ctimes+6%3D6& alt=&3\times 6=6& eeimg=&1&& 。&/p&&p&这样我们就得到了两个群，一个是 &img src=&///equation?tex=%28G%2C%2B%29%3D%28%5C%7B+0%2Cr%2C2r%2C3r%5C%7D+%2C%2B%29& alt=&(G,+)=(\{ 0,r,2r,3r\} ,+)& eeimg=&1&& ，一个是&img src=&///equation?tex=%28G%2C%5Ctimes+%29%3D%28%5C%7B+1%2Cr%2Cr%5E2%2Cr%5E3%5C%7D+%2C%5Ctimes+%29& alt=&(G,\times )=(\{ 1,r,r^2,r^3\} ,\times )& eeimg=&1&& 。但是我们明明知道它们应该是一样的啊，只是符号不一样，运算不一样，所以我们可以称之为&b&同构&/b&，就是结构相同的意思。&/p&&p&这里先用到群的解析式了，下面就要解释一下。&/p&&p&&strong&2.3 群的定义&/strong&&/p&&p&先祭出大杀器，群的标准定义：&/p&&blockquote&&b&群是一个集合 &img src=&///equation?tex=G& alt=&G& eeimg=&1&& ，连同一个运算& &img src=&///equation?tex=%5Ccdot+& alt=&\cdot & eeimg=&1&& &，它结合任何两个元素 &img src=&///equation?tex=a& alt=&a& eeimg=&1&& 和 &img src=&///equation?tex=b& alt=&b& eeimg=&1&& 而形成另一个元素，记为 &img src=&///equation?tex=a%5Ccdot+b& alt=&a\cdot b& eeimg=&1&& 。符号& &img src=&///equation?tex=%5Ccdot+& alt=&\cdot & eeimg=&1&& &是对具体给出的运算，比如整数加法的一般占位符。要具备成为群的资格，这个集合和运算 &img src=&///equation?tex=%28G%2C%5Ccdot+%29& alt=&(G,\cdot )& eeimg=&1&& 必须满足叫做群公理的四个要求：&ul&&li&&p&封闭性：对于所有 &img src=&///equation?tex=G& alt=&G& eeimg=&1&& 中 &img src=&///equation?tex=a%2Cb& alt=&a,b& eeimg=&1&& ，运算 &img src=&///equation?tex=a%5Ccdot+b& alt=&a\cdot b& eeimg=&1&& 的结果也在 &img src=&///equation?tex=G& alt=&G& eeimg=&1&& 中。&/p&&/li&&li&&p&结合性：对于所有 &img src=&///equation?tex=G& alt=&G& eeimg=&1&& 中的 &img src=&///equation?tex=a%2Cb& alt=&a,b& eeimg=&1&& 和 &img src=&///equation?tex=c& alt=&c& eeimg=&1&& ，等式 &img src=&///equation?tex=%28a%5Ccdot+b%29%5Ccdot+c%3Da%5Ccdot+%28b%5Ccdot+c%29& alt=&(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)& eeimg=&1&& 成立。&/p&&/li&&li&&p&单位元：存在 &img src=&///equation?tex=G& alt=&G& eeimg=&1&& 中的一个元素 &img src=&///equation?tex=e& alt=&e& eeimg=&1&& ，使得对于所有 &img src=&///equation?tex=G& alt=&G& eeimg=&1&& 中的元素 &img src=&///equation?tex=a& alt=&a& eeimg=&1&& ，等式&img src=&///equation?tex=e%5Ccdot+a%3Da%5Ccdot+e%3Da& alt=&e\cdot a=a\cdot e=a& eeimg=&1&& 成立。&/p&&/li&&li&&p&逆元：对于每个 &img src=&///equation?tex=G& alt=&G& eeimg=&1&& 中的 &img src=&///equation?tex=a& alt=&a& eeimg=&1&& ，存在 &img src=&///equation?tex=G& alt=&G& eeimg=&1&& 中的一个元素 &img src=&///equation?tex=b& alt=&b& eeimg=&1&& 使得 &img src=&///equation?tex=a%5Ccdot+b%3Db%5Ccdot+a%3De& alt=&a\cdot b=b\cdot a=e& eeimg=&1&& ，这里的 &img src=&///equation?tex=e& alt=&e& eeimg=&1&& 是单位元。&/p&&/li&&/ul&&/b&&p&维基百科&/p&&/blockquote&&p&数学是自然科学的语言，和日常的说话相比最大的优点是精确没有歧义，缺点就是晦涩不好理解。群的定义也是这样，下面我们用人话来解释群。&/p&&p&套用正方形的例子来解读群的定义，选 &img src=&///equation?tex=%28G%2C%2B%29%3D%28%5C%7B+0%2Cr%2C2r%2C3r%5C%7D+%2C%2B%29& alt=&(G,+)=(\{ 0,r,2r,3r\} ,+)& eeimg=&1&& 这个群吧：&/p&&ul&&li&&p&集合里的对象：所有保证对称性的操作。&/p&&/li&&li&&p&二元运算：模加法。&/p&&/li&&li&&p&封闭性：操作相加还是在集合内，比如 &img src=&///equation?tex=r%2B2r%3D3r& alt=&r+2r=3r& eeimg=&1&& 。&/p&&/li&&li&&p&结合性： &img src=&///equation?tex=r%2B3r%2B2r%3Dr%2B%283r%2B2r%29& alt=&r+3r+2r=r+(3r+2r)& eeimg=&1&& 。&/p&&/li&&li&&p&单位元：保持不动就是单位元，映射为0，所以 &img src=&///equation?tex=0%2Br%3Dr& alt=&0+r=r& eeimg=&1&& 。&/p&&/li&&li&&p&逆元：首先旋转正方形的操作是可逆的，所以 &img src=&///equation?tex=r%2B%28-r%29%3D0& alt=&r+(-r)=0& eeimg=&1&& ，同时这还是一个循环的运算， &img src=&///equation?tex=r%2B3r%3D0& alt=&r+3r=0& eeimg=&1&& ，都可以说是 &img src=&///equation?tex=r& alt=&r& eeimg=&1&& 的逆元。&/p&&/li&&/ul&&p&其实吧，我可以再抽象一点， &img src=&///equation?tex=%28G%2C%2B%29%3D%28%5C%7B+0%2Cr%2C2r%2C3r%5C%7D+%2C%2B%29%3D%28%5C%7B+0%2C1%2C2%2C3%5C%7D+%2C%2B%29& alt=&(G,+)=(\{ 0,r,2r,3r\} ,+)=(\{ 0,1,2,3\} ,+)& eeimg=&1&& ，这个群基本上已经没有原来正方形旋转的影子了。群比我们之前学的数学的抽象性更近了一步，要不怎么放在抽象代数课程里面呢？本文只是想稍微让群具体一点。&/p&&p&&strong&2.4 群的结构与同构&/strong&&/p&&p&之前说过，正方形围绕中垂线翻转是不一样的对称&img src=&/v2-c04e7f532aad020c5e9a04ae_b.png& data-rawwidth=&495& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&495& data-original=&/v2-c04e7f532aad020c5e9a04ae_r.png&&&/p&&p&上图我把运算直接表示为& &img src=&///equation?tex=%5Ccdot+& alt=&\cdot & eeimg=&1&& &。这个群很明显和正方形围绕中心点旋转的群不一样，所以对称也就不一样，用群的术语来说就是，这两种群结构不一样。&/p&&p&现实中，还有各种各样的对称，比如正方形和圆：&img src=&/v2-388a596cfeded89a6d9c41_b.png& data-rawwidth=&1059& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1059& data-original=&/v2-388a596cfeded89a6d9c41_r.png&&&/p&&p&这两种对称的结构也不同，对应的群也不一样。群论就是对各种群的研究。&/p&&p&&strong&2.5 进一步的思考&/strong&&/p&&p&关于同构，这里再进一步思考，圆是有无数种对称操作的，之前提到的相对于时间对称的物理定律，也是有无数种对称操作的（因为时间是可以无限流逝的），从某种意义上讲，两者是不是同一种对称，也就是同构？如果是同构，那么我只要研究一个群就可以研究两者了。&/p&&p&思考，才是数学最大的乐趣所在。&/p&&p&最后推荐一本书，Visual Group Theory &a class=& wrap external& href=&///?target=https%3A///search/Nathan%2520Carter& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Nathan Carter&i class=&icon-external&&&/i&&/a&，谢谢 &a data-hash=&f3b41fa8bb0f7c& href=&///people/f3b41fa8bb0f7c& class=&member_mention& data-hovercard=&p$b$f3b41fa8bb0f7c&&@金凯&/a&。这书我以前看过，挺好的，就是没有中文版，贵。&/p&
群论不简单么？一个集合和一个二元运算，并且满足群论四大公理。黑纸白字，没有一个符号、一个汉字是我不认识的。经过这么多年的数学训练，加上刷题，那是想证明就证明、想计算就计算，砍瓜切菜、手起刀落、猛虎下山、势如破竹。但是！我很不爽，这种感觉好…
&b&更新中&/b&&br&本来点进来是想学点数学去做家教的，然而发现这俨然是一个装13的战场。&br&&img src=&/116ae99eaf5d7fadba4e17c9e7085b50_b.jpg& data-rawwidth=&656& data-rawheight=&431& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&656& data-original=&/116ae99eaf5d7fadba4e17c9e7085b50_r.jpg&&各位前辈承认了，我将献上小生平生所学。&br&&img src=&/4d1efea4fe_b.jpg& data-rawwidth=&111& data-rawheight=&121& class=&content_image& width=&111&&上帝说快开始吧，然后就开始了。~&br&&b&（1）万能求积公式&/b&（辛普森万能体积公式）&b&：&/b&&br&&img src=&///equation?tex=V+%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7D+h%28S_%7Bbottom%7D+%2B4S_%7Bmiddle%7D%2BS_%7Bupper%7D%29& alt=&V = \frac{1}{6} h(S_{bottom} +4S_{middle}+S_{upper})& eeimg=&1&&&br&（&img src=&///equation?tex=S_%7Bmiddle%7D& alt=&S_{middle}& eeimg=&1&&指的是中截面面积）&br&⑴总是忘记球体积公式？&img src=&///equation?tex=V_%7Bsphere%7D+%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7D+%282r%29%280%2B4%2Ar%5E2%5Cpi+%2B0%29%3D%5Cfrac%7B4%7D%7B3%7D+r%5E3%5Cpi+& alt=&V_{sphere} = \frac{1}{6} (2r)(0+4*r^2\pi +0)=\frac{4}{3} r^3\pi & eeimg=&1&&&br&⑵想知道椭球体积公式？&br&①竖着放：&img src=&///equation?tex=V_%7Bellipsoid%7D+%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7D+%282a%29%280%2B4%2Ab%5E2%5Cpi%2B0%29+%3D+%5Cfrac%7B4%7D%7B3%7D+ab%5E2%5Cpi& alt=&V_{ellipsoid} = \frac{1}{6} (2a)(0+4*b^2\pi+0) = \frac{4}{3} ab^2\pi& eeimg=&1&&&br&②横着放：&img src=&///equation?tex=V_%7Bellipsoid%7D+%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7D+%282b%29%280%2B4%2A%5Cpi+ab%2B0%29+%3D+%5Cfrac%7B4%7D%7B3%7D+ab%5E2%5Cpi& alt=&V_{ellipsoid} = \frac{1}{6} (2b)(0+4*\pi ab+0) = \frac{4}{3} ab^2\pi& eeimg=&1&&&br&⑶圆台、棱台、圆锥体积可以自己算&br&⑷高考一般考楔形体积，常规做法是补体积&br&&img src=&/24e48fe2d4428fca316ceaa4dd90cc2e_b.jpg& data-rawwidth=&140& data-rawheight=&174& class=&content_image& width=&140&&俨然还是可以用万能求积公式&br&⑷上高数要求旋转抛物体体积？&br&&img src=&/00c1f5aef4e7d4bf7f0327_b.jpg& data-rawwidth=&204& data-rawheight=&119& class=&content_image& width=&204&&抛物线&img src=&///equation?tex=y+%3D+%5Cfrac%7Bh%7D%7BR%5E2%7D+x%5E2& alt=&y = \frac{h}{R^2} x^2& eeimg=&1&&，取y = 0.5h得&img src=&///equation?tex=x%5E2+%3D+%5Cfrac%7BR%5E2%7D%7B2%7D+& alt=&x^2 = \frac{R^2}{2} & eeimg=&1&&,&img src=&///equation?tex=S_%7Bmiddle%7D+%3D%5Cfrac%7BR%5E2%7D%7B2%7D+%5Cpi+& alt=&S_{middle} =\frac{R^2}{2} \pi & eeimg=&1&&&br&&img src=&///equation?tex=V_%7Bparabola%7D+%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7D+h%280+%2B+4%2A%5Cfrac%7BR%5E2%7D%7B2%7D+%2BR%5E2+%5Cpi%29%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B2%7D+hR%5E2%5Cpi+& alt=&V_{parabola} = \frac{1}{6} h(0 + 4*\frac{R^2}{2} +R^2 \pi)=\frac{1}{2} hR^2\pi & eeimg=&1&&&br&恰好等于半径为R高h圆柱体积的一半，拉格朗日说他应该生在牛顿之前，看完这个大家是不是觉得应该生在阿基米德之前。（见谅我这个凡夫俗子）&br&~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~&br&注：关于成立条件可参考这个回答下&br&&a data-hash=&60cdd8d5ddba060ef35a8a& href=&///people/60cdd8d5ddba060ef35a8a& class=&member_mention& data-editable=&true& data-title=&@灵剑& data-hovercard=&p$b$60cdd8d5ddba060ef35a8a&&@灵剑&/a& 的评论：&img src=&/c8f24e63e729aa7733a1d_b.jpg& data-rawwidth=&980& data-rawheight=&566& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&980& data-original=&/c8f24e63e729aa7733a1d_r.jpg&&&br&&b&（2）三面角的余弦定理（二面角杀器）&/b&&br&&img src=&/dd7d5ac39c0d04265b6efcb_b.jpg& data-rawwidth=&501& data-rawheight=&251& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&501& data-original=&/dd7d5ac39c0d04265b6efcb_r.jpg&&&br&&img src=&/d154c2f4f0cc4dccc1c4_b.jpg& data-rawwidth=&403& data-rawheight=&467& class=&content_image& width=&403&&图片截自：&a href=&///?target=http%3A///link%3Furl%3D1O1N2lAcc9GbiZ3ZNW_LSOlE-iBsjNXCTOiU55bhROiyeEJRtX9qhb3UHM3pDMjTQhweEI2Sq2kYtbY66-3ngYeJe2hTmUKVLyzXYFKq-ii& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&用三面角公式求二面角的度数&i class=&icon-external&&&/i&&/a&（详情看这里）&br&&b&（3）圆锥曲线硬解定理&/b&&br&（用电脑看会很清楚，用手机请点原链接）&br&&img src=&/eb9b6ee86b34b6539aa7d_b.jpg& data-rawwidth=&731& data-rawheight=&421& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&731& data-original=&/eb9b6ee86b34b6539aa7d_r.jpg&&&br&&img src=&/4b4ebbd8ff_b.jpg& data-rawwidth=&685& data-rawheight=&173& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&685& data-original=&/4b4ebbd8ff_r.jpg&&&br&&br&&img src=&/b058cdff2cf6d0d_b.jpg& data-rawwidth=&793& data-rawheight=&433& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&793& data-original=&/b058cdff2cf6d0d_r.jpg&&&img src=&/8b0fcd7d3ba8_b.jpg& data-rawwidth=&733& data-rawheight=&252& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&733& data-original=&/8b0fcd7d3ba8_r.jpg&&图片截自：&a href=&///?target=http%3A///link%3Furl%3DwGHqRb-k1qEgRljzmbNcVpaiBOgUOgAl1B9q4IMPXos7PNbSE2z9LUV480uDbAf1InGFr5FYDkhmQJH_JaanTa& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&圆锥曲线硬解定理&i class=&icon-external&&&/i&&/a&（详情看这里）&br&------------------------------------&br&&b&（4）这里介绍一个旋转体体积公式&/b&&br&求一个圆环的体积为例&br&&img src=&/60bbd4be448_b.jpg& data-rawwidth=&250& data-rawheight=&187& class=&content_image& width=&250&&&br&设圆环断面半径为R，断面的重心（也即是圆心）到旋转轴的距离为d，&br&&br&则由&b&旋转体积公式&/b&：&img src=&///equation?tex=V_%7Brotate%7D+%3D+2d%5Cpi+%5Ctimes+S& alt=&V_{rotate} = 2d\pi \times S& eeimg=&1&&
①&br&（d为断面重心到旋转轴的距离，S为断面面积。）&br&&br&得到:&img src=&///equation?tex=V_%7Bring%7D+%3D+2dR%5E2%5Cpi%5E2& alt=&V_{ring} = 2dR^2\pi^2& eeimg=&1&&&br&我们尝试用（1）万能体积公式解这个题：&br&&img src=&///equation?tex=V_%7Bring%7D+%3D+%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7D+%282R%29+++++%5Cleft%5C%7B+0%2B4%5Ctimes%5B+%28d%2BR%29%5E2-%28d-R%29%5E2+%5D%5Cpi+%2B0%5Cright%5C%7D+%0A& alt=&V_{ring} = \frac{1}{6} (2R)
\left\{ 0+4\times[ (d+R)^2-(d-R)^2 ]\pi +0\right\}
& eeimg=&1&&&br&&img src=&///equation?tex=%3D%5Cfrac%7B16%7D%7B3%7D+dR%5E2%5Cpi%5Capprox+1.7dR%5E2%5Cpi%5E2& alt=&=\frac{16}{3} dR^2\pi\approx 1.7dR^2\pi^2& eeimg=&1&&&br&显然，万能公式并不万能，有时只是近似公式，这点需要注意。&br&公式①的证明略，该公式可以推广到截面为任意图形的情形，其关键在于如何求出重心坐标。这里给出半圆的重心到圆心的距离为&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7B4r%7D%7B3%5Cpi%7D+& alt=&\frac{4r}{3\pi} & eeimg=&1&&,半球重心到球心距离为&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7B3r%7D%7B8%7D+& alt=&\frac{3r}{8} & eeimg=&1&&。&br&多边形重心坐标：&br&&img src=&/ab3b6e134ecb65d9cf118ac_b.jpg& data-rawwidth=&160& data-rawheight=&156& class=&content_image& width=&160&&更一般的重心坐标公式：&br&&img src=&/54e079d80b37e8b060f6c_b.jpg& data-rawwidth=&420& data-rawheight=&229& class=&content_image& width=&420&&再给出一般旋转体的体积公式&br&&br&&img src=&/918f60feec8ea37f1500be1dcc1a3988_b.png& data-rawwidth=&362& data-rawheight=&155& class=&content_image& width=&362&&绕x轴：&img src=&///equation?tex=V_%7Bx%7D+%3D+%5Cpi%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7D+f%28x%29%5E2dx+%0A& alt=&V_{x} = \pi\int_{a}^{b} f(x)^2dx
& eeimg=&1&&&br&绕y轴：&img src=&///equation?tex=V_%7By%7D+%3D2%5Cpi%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7D+xf%28x%29dx& alt=&V_{y} =2\pi\int_{a}^{b} xf(x)dx& eeimg=&1&&&br&值得指出的是：&img src=&///equation?tex=2%5Cpi%5Cint_%7Ba%7D%5E%7Bb%7D+xf%28x%29dx& alt=&2\pi\int_{a}^{b} xf(x)dx& eeimg=&1&& 是公式①&img src=&///equation?tex=V_%7Brotate%7D+%3D+2d%5Cpi+%5Ctimes+S& alt=&V_{rotate} = 2d\pi \times S& eeimg=&1&&的微元积分情形&br&（&img src=&///equation?tex=%5Csum_%7B%7D%5E%7B%7D%7BV%7D++%3D+%5Csum_%7B%7D%5E%7B%7D%7B2x%5Cpi%5Ctimes+%5Bf%28x%29dx%5D%7D+& alt=&\sum_{}^{}{V}
= \sum_{}^{}{2x\pi\times [f(x)dx]} & eeimg=&1&&）&br&&b&（5）Waiting for updates...&/b&&br&&b&拉格朗日中值定理&/b&&br&&b&&b&琴生不等式&/b&&/b&&br&&b&&b&&b&&b&高考解题实用技巧&br&&/b&&/b&&/b&error：404 NOT FOUND &/b&your 赞.&br&-------------------------------------------------------&br&&b&物有本末，事有终始，知所先后，则近道已。&/b&&br&------------------------------------------------------&br&&b&其他回答：&/b&&br&&a href=&/question//answer/?from=profile_answer_card& class=&internal&&经济学入门必读书籍有哪些值得推荐？ &/a&&b&（收藏）&/b&&br&&a href=&/question//answer/?from=profile_answer_card& class=&internal&&MATLAB 有什么奇技淫巧？&/a&（技巧）&br&&a href=&/question//answer/?group_id=340544& class=&internal&&想用别人的实验来算东西，没数据，只有文献里的图线怎么办？&/a&（实用）&br&&a href=&/question//answer/& class=&internal&&生动形象解粒子群算法&/a&（代码）
更新中 本来点进来是想学点数学去做家教的，然而发现这俨然是一个装13的战场。 各位前辈承认了，我将献上小生平生所学。 上帝说快开始吧，然后就开始了。~ （1）万能求积公式（辛普森万能体积公式）： V = \frac{1}{6} h(S_{bottom} +4S_{middle}+S_{upper}…
&p&微分和导数，我在初学的时候感觉概念虽然不复杂，但是始终有点模糊，比如以下一些问题就觉得模棱两可：&/p&&ul&&li&&p&对于导数的链式法则， &img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%3D%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdu%7D%5Cfrac%7Bdu%7D%7Bdx%7D& alt=&\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}& eeimg=&1&& ，可以理解为 &img src=&///equation?tex=du& alt=&du& eeimg=&1&& 可以约去，所以两者相等。但假如有 &img src=&///equation?tex=F%28x%2Cy%29& alt=&F(x,y)& eeimg=&1&& ， &img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D+%3D+-%5Cfrac%7B%5Cpartial+F%2F%5Cpartial+x%7D%7B%5Cpartial+F%2F%5Cpartial+y%7D& alt=&\frac{dy}{dx} = -\frac{\partial F/\partial x}{\partial F/\partial y}& eeimg=&1&& ，通过消去我们是否可以推出 &img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%3D-%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D& alt=&\frac{dy}{dx}=-\frac{dy}{dx}& eeimg=&1&& ？&/p&&/li&&li&&p&&img src=&///equation?tex=%5Cint+_+a%5E+b+%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7Ddx%5Cimplies+%5Cint+_+a%5E+b+dy%5Cimplies+y%5Crvert+_+a%5E+b& alt=&\int _ a^ b \frac{dy}{dx}dx\implies \int _ a^ b dy\implies y\rvert _ a^ b& eeimg=&1&& ，这里好像实实在在的消去了 &img src=&///equation?tex=dx& alt=&dx& eeimg=&1&& 。&/p&&/li&&li&&p&&img src=&///equation?tex=d%28uv%29%3D%28u%2Bdu%29%28v%2Bdv%29-uv%3Dudv%2Bvdu%2Bdudv& alt=&d(uv)=(u+du)(v+dv)-uv=udv+vdu+dudv& eeimg=&1&& ，然后说 &img src=&///equation?tex=dudv& alt=&dudv& eeimg=&1&& 太小了，所以忽略，得到了微分的乘法法则， &img src=&///equation?tex=d%28uv%29%3Dudv%2Bvdu& alt=&d(uv)=udv+vdu& eeimg=&1&& ，难道 &img src=&///equation?tex=udv& alt=&udv& eeimg=&1&& 和 &img src=&///equation?tex=vdu& alt=&vdu& eeimg=&1&& 不小！！&/p&&/li&&/ul&&p&我当时脑袋一片混乱，到底 &img src=&///equation?tex=dx& alt=&dx& eeimg=&1&& 或者说 &img src=&///equation?tex=du& alt=&du& eeimg=&1&& 、 &img src=&///equation?tex=dv& alt=&dv& eeimg=&1&& 是什么东西？为什么有的地方可以消去，有的地方不可以？&/p&&p&其实导数和微分的定义在各个历史时期是不一样的，要想解答上面的疑问，还得从微积分的发展历史上去寻找答案。&/p&&p&我尝试讲一下微积分发展的历史和数学思想，主要针对 &img src=&///equation?tex=y%3Df%28x%29& alt=&y=f(x)& eeimg=&1&& 这样的一元函数。&/p&&p&&strong&1 牛顿、莱布尼兹开始的古典微积分&/strong&&/p&&p&牛顿和莱布尼兹各自独立发明了微积分，下面我采取莱布尼兹的微积分符号进行说明（要了解各种微积分符号，可以参看 &a href=&///?target=https%3A//zh.wikipedia.org/wiki/%25E5%25AF%25BC%25E6%& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&----维基百科&i class=&icon-external&&&/i&&/a& ）。&/p&&p&&strong&1.1 导数为什么出现？&/strong&&/p&&p&导数的出现不是牛顿和莱布尼兹发明的，之前数学家已经在对曲线的切线进行研究了，但是牛顿和莱布尼兹在解决曲面下面积的时候把导数的定义确定下来了。&/p&&p&曲线下的面积在微积分出现之前是一个很复杂的问题，微积分求解的主要思想是把曲线下的面积划分成了无数个矩形面积之和：&img src=&/7a309c5ac7dfc252bd3176a6_b.png& data-rawwidth=&769& data-rawheight=&497& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&769& data-original=&/7a309c5ac7dfc252bd3176a6_r.png&&&/p&&p&直觉告诉我们，如果 &img src=&///equation?tex=n& alt=&n& eeimg=&1&& 越大，则这个近似越准确：&img src=&/5396faefd2ffaf98600d0_b.png& data-rawwidth=&769& data-rawheight=&497& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&769& data-original=&/5396faefd2ffaf98600d0_r.png&&&/p&&p&无穷小量就在这里出现了，无穷小量是建立微积分的基础，莱布尼兹介绍微积分的论文就叫做《论深度隐藏的几何学及无穷小与无穷大的分析》。在当时的观点下，无穷小量到底是什么也是有争论的，当时有数学家打比喻：“无穷小量就好比山上的灰尘，去掉和增加都没有什么影响”，很显然有人认为这是真实存在的。&/p&&p&在具体计算曲面下面积，即我们现在所说的定积分的时候，必然会遇到导数的问题，所以很自然的开始了对导数的定义和讨论。&/p&&p&&strong&1.2 导数的古典定义&/strong&&/p&&p&在曲线上取两点，连接起来，就称为曲线的割线：&img src=&/c628daac6d6219eadca6ebe_b.png& data-rawwidth=&769& data-rawheight=&571& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&769& data-original=&/c628daac6d6219eadca6ebe_r.png&&&/p&&p&割线可以反应曲线的平均变化率，也就是说这一段大概总的趋势是上升还是下降，上升了多少，但是并不精确。&img src=&/88c4a488ae041a39da5c1e_b.png& data-rawwidth=&769& data-rawheight=&571& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&769& data-original=&/88c4a488ae041a39da5c1e_r.png&&&/p&&p&有了切线之后我们进一步去定义导数：&img src=&/3c7eb49815dddb9a6d51_b.png& data-rawwidth=&769& data-rawheight=&579& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&769& data-original=&/3c7eb49815dddb9a6d51_r.png&&&/p&&p&从这张图得出导数的定义 &img src=&///equation?tex=f%27%28x%29%3D%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D& alt=&f'(x)=\frac{dy}{dx}& eeimg=&1&& ，而 &img src=&///equation?tex=dx& alt=&dx& eeimg=&1&& 和 &img src=&///equation?tex=dy& alt=&dy& eeimg=&1&& 被称为 &img src=&///equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&& 和 &img src=&///equation?tex=y& alt=&y& eeimg=&1&& 的微分，都为无穷小量，所以导数也被莱布尼兹称为微商（微分之商)。&/p&&p&&strong&1.3 无穷小量导致的麻烦&/strong&&/p&&p&上一节的图实际上是有矛盾的：&img src=&/61ecf4ae56111a5aecefc_b.png& data-rawwidth=&769& data-rawheight=&579& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&769& data-original=&/61ecf4ae56111a5aecefc_r.png&&&/p&&p&所以就切线的定义而言，微积分的基础就是不牢固的。&/p&&p&无穷小量的麻烦还远远不止这一些， &img src=&///equation?tex=x%5E2& alt=&x^2& eeimg=&1&& 的导数是这样计算的：&/p&&img src=&///equation?tex=%5Cbegin%7Balign%7D++%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdx%7D%28x%5E2%29+%26++%3D+%5Cfrac%7Bf%28x%2Bdx%29-f%28x%29%7D%7Bdx%7D+%5C%5C+%26++%3D+%5Cfrac%7B%28x%2Bdx%29%5E2-x%5E2%7D%7Bdx%7D+%5C%5C+%26++%3D+%5Cfrac%7Bx%5E2%2B2xdx%2Bdx%5E2-x%5E2%7D%7Bdx%7D+%5C%5C+%26++%3D+%5Cfrac%7B2xdx%2Bdx%5E2%7D%7Bdx%7D+%5C%5C+%26++%3D+2x%2Bdx+%5C%5C+%26++%3D+2x+%5Cend%7Balign%7D& alt=&\begin{align}
\frac{d}{dx}(x^2) &
= \frac{f(x+dx)-f(x)}{dx} \\ &
= \frac{(x+dx)^2-x^2}{dx} \\ &
= \frac{x^2+2xdx+dx^2-x^2}{dx} \\ &
= \frac{2xdx+dx^2}{dx} \\ &
= 2x+dx \\ &
= 2x \end{align}& eeimg=&1&&&p&仔细看看运算过程， &img src=&///equation?tex=dx& alt=&dx& eeimg=&1&& 先是在约分中被约掉，然后又在加法中被忽略，就是说，先被当作了非0的量，又被当作了0，这就是大主教贝克莱（就是在高中政治书被嘲笑的唯心主义的代表）所攻击的像幽灵一样的数，一会是0一会又不是0。&/p&&p&无穷小量和无穷小量相除为什么可以得到不一样的值？难道不应该都是1？&/p&&p&无穷小量还违反了 &a href=&///?target=https%3A//zh.wikipedia.org/wiki/%25E9%2598%25BF%25E5%259F%25BA%25E7%25B1%25B3%25E5%25BE%25B7%25E5%2585%25AC%25E7%& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&阿基米德公理&i class=&icon-external&&&/i&&/a& ，这个才是更严重的缺陷，康托尔证明过，如果阿基米德公理被违背的话会出大问题。&/p&&p&一边是看起来没有错的微积分，一边是有严重缺陷的无穷小量，这就是第二次数学危机。数学的严格性受到了挑战，“对于数学，严格性不是一切，但是没有了严格性就没有了一切”。&/p&&p&&strong&1.4 对于古典微积分的总结&/strong&&/p&&ul&&li&切线：通过无穷小量定义了切线&br&&/li&&li&导数：导数就是切线的斜率&br&&/li&&li&微分：微分是微小的增量，即无穷小量&br&&/li&&/ul&&p&&strong&2 基于极限重建微积分&/strong&&/p&&p&莱布尼兹、欧拉等都认识到了无穷小量导致的麻烦，一直拼命想要修补，但是这个问题要等到200年后，19世纪极限概念的清晰之后才得到解决。&/p&&p&解决办法是，完全摈弃无穷小量，基于极限的概念，重新建立了微积分。&/p&&p&&strong&2.1 极限&/strong&&/p&&p&现在都是用 &img src=&///equation?tex=%5Cepsilon+-%5Cdelta+& alt=&\epsilon -\delta & eeimg=&1&& 语言来描述极限：&img src=&/0afe3d0aafdf90f085a07_b.png& data-rawwidth=&871& data-rawheight=&582& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&871& data-original=&/0afe3d0aafdf90f085a07_r.png&&&/p&&p&可以看到，极限的描述并没有用到什么无穷小量。&/p&&p&&strong&2.2 导数的极限定义&/strong&&/p&&blockquote&&img src=&///equation?tex=%5Cbegin%7Balign%7D++%5Cdisplaystyle+f%27%28x_0%29%26+%3D%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%5C%5C+%26+%3D%5Clim+_%7B%5CDelta+x+%5Cto+0%7D%5Cfrac%7B%5CDelta+y%7D%7B%5CDelta+x%7D%5C%5C+%26+%3D%5Clim+_%7B%5CDelta+x+%5Cto+0%7D%5Cfrac%7Bf%28x_0%2B%5CDelta+x%29-f%28x_0%29%7D%7B%5CDelta+x%7D+%5Cend%7Balign%7D& alt=&\begin{align}
\displaystyle f'(x_0)& =\frac{dy}{dx}\\ & =\lim _{\Delta x \to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}\\ & =\lim _{\Delta x \to 0}\frac{f(x_0+\Delta x)-f(x_0)}{\Delta x} \end{align}& eeimg=&1&&&p&维基百科&/p&&/blockquote&&p&用极限重新严格定义了导数，已经脱离了微商的概念，此时，导数应该被看成一个整体。&/p&&p&不过我们仍然可以去定义什么是微分，说到这里，真是有点剧情反转，原来是先定义了微分再有的导数，现在却是先定义了导数再有的微分。&/p&&img src=&///equation?tex=%5Cbegin%7Balign%7D++%5Cdisplaystyle+%5Clim+_%7B%5CDelta+x%5Cto+0%7D%5Cfrac%7B%5CDelta+y%7D%7B%5CDelta+x%7D%3Df%27%28x_0%29+%26+%5Cimplies+%5Clim+_%7B%5CDelta+x%5Cto+0%7D%5Cfrac%7B%5CDelta+y%7D%7B%5CDelta+x%7D-f%27%28x_0%29%3D0%5C%5C+%26+%5Cimplies+%5Cfrac%7B%5CDelta+y%7D%7B%5CDelta+x%7D-f%27%28x_0%29%3Da%2C%5Clim+_%7B%5CDelta+x+%5Cto+0%7Da%3D0%5C%5C+%26+%5Cimplies+%5CDelta+y%3Df%27%28x_0%29%5CDelta+x%2Ba%5CDelta+x+%5Cend%7Balign%7D& alt=&\begin{align}
\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}=f'(x_0) & \implies \lim _{\Delta x\to 0}\frac{\Delta y}{\Delta x}-f'(x_0)=0\\ & \implies \frac{\Delta y}{\Delta x}-f'(x_0)=a,\lim _{\Delta x \to 0}a=0\\ & \implies \Delta y=f'(x_0)\Delta x+a\Delta x \end{align}& eeimg=&1&&&p&&img src=&///equation?tex=%5CDelta+y%3Df%27%28x_0%29%5CDelta+x%2Ba%5CDelta+x& alt=&\Delta y=f'(x_0)\Delta x+a\Delta x& eeimg=&1&& 可以得出， &img src=&///equation?tex=%5CDelta+y& alt=&\Delta y& eeimg=&1&& 由两部分组成，通过图来观察一下几何意义：&img src=&/38aaa6cecba6_b.png& data-rawwidth=&769& data-rawheight=&579& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&769& data-original=&/38aaa6cecba6_r.png&&&/p&&p&&img src=&///equation?tex=dy%3Df%27%28x%29%5CDelta+x& alt=&dy=f'(x)\Delta x& eeimg=&1&& ，这是 &img src=&///equation?tex=dy& alt=&dy& eeimg=&1&& 的定义。&/p&&p&我们令 &img src=&///equation?tex=y%3Dx%5Cimplies+dy%3D1%5CDelta+x%5Cimplies+dx%3D%5CDelta+x& alt=&y=x\implies dy=1\Delta x\implies dx=\Delta x& eeimg=&1&& ，这个 &img src=&///equation?tex=dx& alt=&dx& eeimg=&1&& 的定义。&/p&&p&最后我们可以得到 &img src=&///equation?tex=dy%3Df%27%28x%29dx%5Cimplies+%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%3Df%27%28x%29& alt=&dy=f'(x)dx\implies \frac{dy}{dx}=f'(x)& eeimg=&1&& ：&img src=&/05fd17484_b.png& data-rawwidth=&769& data-rawheight=&579& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&769& data-original=&/05fd17484_r.png&&&/p&&p&&strong&2.3 对于极限微积分的总结&/strong&&/p&&ul&&li&导数：被定义为一个极限，其意义就是变化率&br&&/li&&li&微分：是一个线性函数，其意义就是变化的具体数值&br&&/li&&li&切线：有了导数之后就可以被确定下来了&br&&/li&&/ul&&p&&strong&3 疑问的解答&/strong&&/p&&p&微积分实际上被发明了两次，古典微积分和极限微积分可以说是两个东西。我们再来比较一下古典微积分和极限微积分。&/p&&p&&strong&3.1 古典微积分与极限微积分的对比&/strong&&/p&&ul&&li&古典微积分是先定义微分再定义导数，极限微积分是先定义导数再定义微分。&br&&/li&&li&古典微积分的导数是基于无穷小量定义的，极限微积分的导数是基于极限定义的。&br&&/li&&li&古典微积分的微分是无穷小量，极限微积分的微分是一个线性函数。&br&&/li&&li&古典微积分的定积分是求无穷小矩形面积的和，极限微积分的定积分是求黎曼和。&br&&/li&&li&古典微积分的切线是可以画出来的，极限微积分的切线是算出来的。&br&&/li&&li&古典微积分的建立过程很直观，极限微积分的建立过程更抽象。&br&&/li&&/ul&&p&古典微积分最大的好处就是很直观，不过也是因为太直观了，所以我们一直都无法忘记它带来的印象，也对我们理解极限微积分造成了障碍。也让我们在实际应用中造成了错误的理解。&/p&&p&&strong&3.2 疑问的解答&/strong&&/p&&p&之前的疑惑主要是由于古典微积分带来的。&/p&&ul&&li&&img src=&///equation?tex=%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7D%3D%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdu%7D%5Cfrac%7Bdu%7D%7Bdx%7D& alt=&\frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx}& eeimg=&1&& ，在古典微积分中可以理解为消去，但是在极限微积分中我们应该认识到，这两个 &img src=&///equation?tex=du& alt=&du& eeimg=&1&& 实际上是不同的函数。&br&&/li&&li&&img src=&///equation?tex=%5Cint+_+a%5E+b+%5Cfrac%7Bdy%7D%7Bdx%7Ddx& alt=&\int _ a^ b \frac{dy}{dx}dx& eeimg=&1&& 古典微积分中， &img src=&///equation?tex=dx& alt=&dx& eeimg=&1&& 确实表明是无穷多个矩形的底边，消去也是合理的，而极限微积分中， &img src=&///equation?tex=%5Cint+_+a%5E+b+dx& alt=&\int _ a^ b dx& eeimg=&1&& 是求黎曼和，我们可以把 &img src=&///equation?tex=%5Cint+_+a%5E+b& alt=&\int _ a^ b& eeimg=&1&& 当作左括号， &img src=&///equation?tex=dx& alt=&dx& eeimg=&1&& 当作右括号，就好比 &img src=&///equation?tex=%282%2B6%29%3D8& alt=&(2+6)=8& eeimg=&1&& ，计算完毕之后，括号自然就消失了。&br&&/li&&li&&img src=&///equation?tex=d%28uv%29%3D%28u%2Bdu%29%28v%2Bdv%29-uv%3Dudv%2Bvdu%2Bdudv& alt=&d(uv)=(u+du)(v+dv)-uv=udv+vdu+dudv& eeimg=&1&& 在古典微积分中这么计算没有错误，只是 &img src=&///equation?tex=dudv& alt=&dudv& eeimg=&1&& 的消去也是不严谨的，而极限微积分中应该重新用极限的方法进行证明，这里不再列出。&br&&/li&&/ul&&p&古典微积分其实已经被摒弃了，我们应该知道这一点，重新从极限的角度去认识微积分。&/p&&p&&strong&3.3 古典微积分的用处&/strong&&/p&&p&我们应该从古典微积分，以直代曲、化整为零的数学思想出发去开始认识微积分。&/p&&p&并且，莱布尼兹一直认为数学符号应该具有启发性，他设计的微积分符号确实很符合直觉，我们可以继续借用他的符号来描述微积分。&/p&&p&&strong&4 无穷小量的逆袭&/strong&&/p&&p&有的数学家还是对无穷小量念念不忘，最后真的发明了既可以兼容无穷小量又不会出现问题的实数， &a href=&///?target=https%3A//zh.wikipedia.org/wiki/%25E8%25B6%%25AE%259E%25E6%_%28%25E9%259D%259E%25E6%25A0%%E5%E6%259E%2590%29& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&超实数&i class=&icon-external&&&/i&&/a& 。&/p&&p&基于超实数，数学家又重新定义了微积分，这次定义的微积分又很像莱布尼兹时代的微积分。这门学科被称为非标准分析（对应的，基于我们没有无穷小量的实数体系的微积分，就是标准分析）。我对于超实数并不了解，大家感兴趣可以去学习非标准分析课程。&/p&
微分和导数，我在初学的时候感觉概念虽然不复杂，但是始终有点模糊，比如以下一些问题就觉得模棱两可：对于导数的链式法则， \frac{dy}{dx}=\frac{dy}{du}\frac{du}{dx} ，可以理解为 du 可以约去，所以两者相等。但假如有 F(x,y) ， \frac{dy}{dx} = -\fra…
×××××11月22日已更新×××××&br&&br&隐马尔可夫（HMM）好讲，简单易懂不好讲。我认为 &a data-hash=&cd5aebd240bfd& href=&///people/cd5aebd240bfd& class=&member_mention& data-editable=&true& data-title=&@者也& data-tip=&p$b$cd5aebd240bfd& data-hovercard=&p$b$cd5aebd240bfd&&@者也&/a&的回答没什么错误，不过我想说个更通俗易懂的例子。我希望我的读者不是专家，而是对这个问题感兴趣的入门者，所以我会多阐述数学思想，少写公式。霍金曾经说过，你多写一个公式，就会少一半的读者。所以时间简史这本关于物理的书和麦当娜关于性的书卖的一样好。我会效仿这一做法，写最通俗易懂的答案。&br&&br&还是用最经典的例子，掷骰子。假设我手里有三个不同的骰子。第一个骰子是我们平常见的骰子（称这个骰子为D6），6个面，每个面（1，2，3，4，5，6）出现的概率是1/6。第二个骰子是个四面体（称这个骰子为D4），每个面（1，2，3，4）出现的概率是1/4。第三个骰子有八个面（称这个骰子为D8），每个面（1，2，3，4，5，6，7，8）出现的概率是1/8。&br&&br&&img src=&/435fb8d2d675dc0be95aedf27feb6b67_b.jpg& data-rawwidth=&1351& data-rawheight=&825& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1351& data-original=&/435fb8d2d675dc0be95aedf27feb6b67_r.jpg&&&br&假设我们开始掷骰子，我们先从三个骰子里挑一个，挑到每一个骰子的概率都是1/3。然后我们掷骰子，得到一个数字，1，2，3，4，5，6，7，8中的一个。不停的重复上述过程，我们会得到一串数字，每个数字都是1，2，3，4，5，6，7，8中的一个。例如我们可能得到这么一串数字（掷骰子10次）：1 6 3 5 2 7 3 5 2 4&br&&br&这串数字叫做可见状态链。但是在隐马尔可夫模型中，我们不仅仅有这么一串可见状态链，还有一串隐含状态链。在这个例子里，这串隐含状态链就是你用的骰子的序列。比如，隐含状态链有可能是：D6 D8 D8 D6 D4 D8 D6 D6 D4 D8&br&&br&一般来说，HMM中说到的马尔可夫链其实是指隐含状态链，因为隐含状态（骰子）之间存在转换概率（transition probability）。在我们这个例子里，D6的下一个状态是D4，D6，D8的概率都是1/3。D4，D8的下一个状态是D4，D6，D8的转换概率也都一样是1/3。这样设定是为了最开始容易说清楚，但是我们其实是可以随意设定转换概率的。比如，我们可以这样定义，D6后面不能接D4，D6后面是D6的概率是0.9，是D8的概率是0.1。这样就是一个新的HMM。&br&&br&同样的，尽管可见状态之间没有转换概率，但是隐含状态和可见状态之间有一个概率叫做输出概率（emission probability）。就我们的例子来说，六面骰（D6）产生1的输出概率是1/6。产生2，3，4，5，6的概率也都是1/6。我们同样可以对输出概率进行其他定义。比如，我有一个被赌场动过手脚的六面骰子，掷出来是1的概率更大，是1/2，掷出来是2，3，4，5，6的概率是1/10。&br&&br&&img src=&/95ba126e02e370c595000_b.jpg& data-rawwidth=&1508& data-rawheight=&781& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1508& data-original=&/95ba126e02e370c595000_r.jpg&&&br&&img src=&/ae8a9d756089_b.jpg& data-rawwidth=&1384& data-rawheight=&731& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1384& data-original=&/ae8a9d756089_r.jpg&&&br&其实对于HMM来说，如果提前知道所有隐含状态之间的转换概率和所有隐含状态到所有可见状态之间的输出概率，做模拟是相当容易的。但是应用HMM模型时候呢，往往是缺失了一部分信息的，有时候你知道骰子有几种，每种骰子是什么，但是不知道掷出来的骰子序列；有时候你只是看到了很多次掷骰子的结果，剩下的什么都不知道。如果应用算法去估计这些缺失的信息，就成了一个很重要的问题。这些算法我会在下面详细讲。&br&&br&×××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××&br&如果你只想看一个简单易懂的例子，就不需要往下看了。&br&×××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××&br&说两句废话，答主认为呢，要了解一个算法，要做到以下两点：会其意，知其形。答主回答的，其实主要是第一点。但是这一点呢，恰恰是最重要，而且很多书上不会讲的。正如你在追一个姑娘，姑娘对你说“你什么都没做错！”你要是只看姑娘的表达形式呢，认为自己什么都没做错，显然就理解错了。你要理会姑娘的意思，“你赶紧给我道歉！”这样当你看到对应的表达形式呢，赶紧认错，跪地求饶就对了。数学也是一样，你要是不理解意思，光看公式，往往一头雾水。不过呢，数学的表达顶多也就是晦涩了点，姑娘的表达呢，有的时候就完全和本意相反。所以答主一直认为理解姑娘比理解数学难多了。&br&&br&回到正题，和HMM模型相关的算法主要分为三类，分别解决三种问题：&br&&br&&b&1）知道骰子有几种（隐含状态数量），每种骰子是什么（转换概率），根据掷骰子掷出的结果（可见状态链），我想知道每次掷出来的都是哪种骰子（隐含状态链）。&/b&&br&这个问题呢，在语音识别领域呢，叫做解码问题。这个问题其实有两种解法，会给出两个不同的答案。每个答案都对，只不过这些答案的意义不一样。第一种解法求最大似然状态路径，说通俗点呢，就是我求一串骰子序列，这串骰子序列产生观测结果的概率最大。第二种解法呢，就不是求一组骰子序列了，而是求每次掷出的骰子分别是某种骰子的概率。比如说我看到结果后，我可以求得第一次掷骰子是D4的概率是0.5，D6的概率是0.3，D8的概率是0.2.第一种解法我会在下面说到，但是第二种解法我就不写在这里了，如果大家有兴趣，我们另开一个问题继续写吧。&br&&br&&b&2）还是知道骰子有几种&/b&&b&（隐含状态数量）&/b&&b&，每种骰子是什么&/b&&b&（转换概率）&/b&&b&，根据掷骰子掷出的结果&/b&&b&（可见状态链）&/b&&b&，我想知道掷出这个结果的概率。&/b&&br&看似这个问题意义不大，因为你掷出来的结果很多时候都对应了一个比较大的概率。问这个问题的目的呢，其实是检测观察到的结果和已知的模型是否吻合。如果很多次结果都对应了比较小的概率，那么就说明我们已知的模型很有可能是错的，有人偷偷把我们的骰子給换了。&br&&br&&b&3）知道骰子有几种&/b&&b&（隐含状态数量）&/b&&b&，不知道每种骰子是什么&/b&&b&（转换概率）&/b&&b&，观测到很多次掷骰子的结果&/b&&b&（可见状态链）&/b&&b&，我想反推出每种骰子是什么&/b&&b&（转换概率）&/b&&b&。&/b&&br&这个问题很重要，因为这是最常见的情况。很多时候我们只有可见结果，不知道HMM模型里的参数，我们需要从可见结果估计出这些参数，这是建模的一个必要步骤。&br&&br&问题阐述完了，下面就开始说解法。（0号问题在上面没有提，只是作为解决上述问题的一个辅助）&br&&br&0.一个简单问题&br&其实这个问题实用价值不高。由于对下面较难的问题有帮助，所以先在这里提一下。&br&&br&知道骰子有几种，每种骰子是什么，每次掷的都是什么骰子，根据掷骰子掷出的结果，求产生这个结果的概率。&br&&img src=&/2ca5e20b49d2ad91a9e0_b.jpg& data-rawwidth=&364& data-rawheight=&237& class=&content_image& width=&364&&解法无非就是概率相乘：&br&&img src=&///equation?tex=P%3DP%28D6%29%2AP%28D6%5Crightarrow+1%29%2AP%28D6%5Crightarrow+D8%29%2AP%28D8%5Crightarrow+6%29%2AP%28D8%5Crightarrow+D8%29%2AP%28D8%5Crightarrow+3%29& alt=&P=P(D6)*P(D6\rightarrow 1)*P(D6\rightarrow D8)*P(D8\rightarrow 6)*P(D8\rightarrow D8)*P(D8\rightarrow 3)& eeimg=&1&&&br&&img src=&///equation?tex=%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D+%2A%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7D+%2A%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D+%2A%5Cfrac%7B1%7D%7B8%7D+%2A%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D+%2A%5Cfrac%7B1%7D%7B8%7D+& alt=&=\frac{1}{3} *\frac{1}{6} *\frac{1}{3} *\frac{1}{8} *\frac{1}{3} *\frac{1}{8} & eeimg=&1&&&br&&br&&b&1.看见不可见的，破解骰子序列&/b&&br&这里我说的是第一种解法，解最大似然路径问题。&br&举例来说，我知道我有三个骰子，六面骰，四面骰，八面骰。我也知道我掷了十次的结果（1 6 3 5 2 7 3 5 2 4），我不知道每次用了那种骰子，我想知道最有可能的骰子序列。&br&&br&其实最简单而暴力的方法就是穷举所有可能的骰子序列，然后依照第零个问题的解法把每个序列对应的概率算出来。然后我们从里面把对应最大概率的序列挑出来就行了。如果马尔可夫链不长，当然可行。如果长的话，穷举的数量太大，就很难完成了。&br&&br&另外一种很有名的算法叫做Viterbi algorithm. 要理解这个算法，我们先看几个简单的列子。&br&&br&首先，如果我们只掷一次骰子：&br&&img src=&/cd4edec33cd3921ac64bfeb_b.jpg& data-rawwidth=&1477& data-rawheight=&275& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1477& data-original=&/cd4edec33cd3921ac64bfeb_r.jpg&&&br&看到结果为1.对应的最大概率骰子序列就是D4，因为D4产生1的概率是1/4，高于1/6和1/8.&br&&br&把这个情况拓展，我们掷两次骰子：&br&&img src=&/549e1f2a8dae1abcde44_b.jpg& data-rawwidth=&1477& data-rawheight=&275& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1477& data-original=&/549e1f2a8dae1abcde44_r.jpg&&&br&结果为1，6.这时问题变得复杂起来，我们要计算三个值，分别是第二个骰子是D6，D4，D8的最大概率。显然，要取到最大概率，第一个骰子必须为D4。这时，第二个骰子取到D6的最大概率是&br&&img src=&///equation?tex=P2%28D6%29%3DP%28D4%29%2AP%28D4%5Crightarrow+1%29%2AP%28D4%5Crightarrow+D6%29%2AP%28D6%5Crightarrow+6%29& alt=&P2(D6)=P(D4)*P(D4\rightarrow 1)*P(D4\rightarrow D6)*P(D6\rightarrow 6)& eeimg=&1&&&br&&img src=&///equation?tex=%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D+%2A%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D+%2A%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D+%2A%5Cfrac%7B1%7D%7B6%7D& alt=&=\frac{1}{3} *\frac{1}{4} *\frac{1}{3} *\frac{1}{6}& eeimg=&1&&&br&同样的，我们可以计算第二个骰子是D4或D8时的最大概率。我们发现，第二个骰子取到D6的概率最大。而使这个概率最大时，第一个骰子为D4。所以最大概率骰子序列就是D4 D6。&br&&br&继续拓展，我们掷三次骰子：&br&&img src=&/ebb5f0bbca544063_b.jpg& data-rawwidth=&1477& data-rawheight=&275& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1477& data-original=&/ebb5f0bbca544063_r.jpg&&&br&同样，我们计算第三个骰子分别是D6，D4，D8的最大概率。我们再次发现，要取到最大概率，第二个骰子必须为D6。这时，第三个骰子取到D4的最大概率是&img src=&///equation?tex=P3%28D4%29%3DP2%28D6%29%2AP%28D6%5Crightarrow+D4%29%2AP%28D4%5Crightarrow+3%29& alt=&P3(D4)=P2(D6)*P(D6\rightarrow D4)*P(D4\rightarrow 3)& eeimg=&1&&&br&&img src=&///equation?tex=%3D%5Cfrac%7B1%7D%7B216%7D+%2A%5Cfrac%7B1%7D%7B3%7D+%2A%5Cfrac%7B1%7D%7B4%7D& alt=&=\frac{1}{216} *\frac{1}{3} *\frac{1}{4}& eeimg=&1&&&br&同上，我们可以计算第三个骰子是D6或D8时的最大概率。我们发现，第三个骰子取到D4的概率最大。而使这个概率最大时，第二个骰子为D6，第一个骰子为D4。所以最大概率骰子序列就是D4 D6 D4。&br&&br&写到这里，大家应该看出点规律了。既然掷骰子一二三次可以算，掷多少次都可以以此类推。我们发现，我们要求最大概率骰子序列时要做这么几件事情。首先，不管序列多长，要从序列长度为1算起，算序列长度为1时取到每个骰子的最大概率。然后，逐渐增加长度，每增加一次长度，重新算一遍在这个长度下最后一个位置取到每个骰子的最大概率。因为上一个长度下的取到每个骰子的最大概率都算过了，重新计算的话其实不难。当我们算到最后一位时，就知道最后一位是哪个骰子的概率最大了。然后，我们要把对应这个最大概率的序列从后往前推出来。&br&&br&&b&2.谁动了我的骰子？&/b&&br&比如说你怀疑自己的六面骰被赌场动过手脚了，有可能被换成另一种六面骰，这种六面骰掷出来是1的概率更大，是1/2，掷出来是2，3，4，5，6的概率是1/10。你怎么办么？答案很简单，算一算正常的三个骰子掷出一段序列的概率，再算一算不正常的六面骰和另外两个正常骰子掷出这段序列的概率。如果前者比后者小，你就要小心了。&br&&br&比如说掷骰子的结果是：&br&&img src=&/ebb5f0bbca544063_b.jpg& data-rawwidth=&1477& data-rawheight=&275& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1477& data-original=&/ebb5f0bbca544063_r.jpg&&&br&要算用正常的三个骰子掷出这个结果的概率，其实就是将所有可能情况的概率进行加和计算。同样，简单而暴力的方法就是把穷举所有的骰子序列，还是计算每个骰子序列对应的概率，但是这回，我们不挑最大值了，而是把所有算出来的概率相加，得到的总概率就是我们要求的结果。这个方法依然不能应用于太长的骰子序列（马尔可夫链）。&br&&br&我们会应用一个和前一个问题类似的解法，只不过前一个问题关心的是概率最大值，这个问题关心的是概率之和。解决这个问题的算法叫做前向算法（forward algorithm）。&br&&br&首先，如果我们只掷一次骰子：&br&&img src=&/cd4edec33cd3921ac64bfeb_b.jpg& data-rawwidth=&1477& data-rawheight=&275& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1477& data-original=&/cd4edec33cd3921ac64bfeb_r.jpg&&&br&看到结果为1.产生这个结果的总概率可以按照如下计算，总概率为0.18：&br&&img src=&/9b76649fefc_b.jpg& data-rawwidth=&1496& data-rawheight=&440& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1496& data-original=&/9b76649fefc_r.jpg&&&br&把这个情况拓展，我们掷两次骰子：&br&&img src=&/549e1f2a8dae1abcde44_b.jpg& data-rawwidth=&1477& data-rawheight=&275& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1477& data-original=&/549e1f2a8dae1abcde44_r.jpg&&&br&看到结果为1，6.产生这个结果的总概率可以按照如下计算，总概率为0.05：&br&&img src=&/a6e932a53753acdf67085_b.jpg& data-rawwidth=&1496& data-rawheight=&440& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1496& data-original=&/a6e932a53753acdf67085_r.jpg&&&br&&br&继续拓展，我们掷三次骰子：&br&&img src=&/ebb5f0bbca544063_b.jpg& data-rawwidth=&1477& data-rawheight=&275& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1477& data-original=&/ebb5f0bbca544063_r.jpg&&&br&看到结果为1，6，3.产生这个结果的总概率可以按照如下计算，总概率为0.03：&br&&img src=&/ea53d42a8a_b.jpg& data-rawwidth=&1496& data-rawheight=&440& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1496& data-original=&/ea53d42a8a_r.jpg&&&br&&br&同样的，我们一步一步的算，有多长算多长，再长的马尔可夫链总能算出来的。用同样的方法，也可以算出不正常的六面骰和另外两个正常骰子掷出这段序列的概率，然后我们比较一下这两个概率大小，就能知道你的骰子是不是被人换了。&br&&br&&b&3.掷一串骰子出来，让我猜猜你是谁&/b&&br&&b&（答主很懒，还没写，会写一下EM这个号称算法的方法）&br&&/b&&br&上述算法呢，其实用到了递归，逆向推导，循环这些方法，我只不过用很直白的语言写出来了。如果你们去看专业书籍呢，会发现更加严谨和专业的描述。毕竟，我只做了会其意，要知其形，还是要看书的。
×××××11月22日已更新××××× 隐马尔可夫（HMM）好讲，简单易懂不好讲。我认为 的回答没什么错误，不过我想说个更通俗易懂的例子。我希望我的读者不是专家，而是对这个问题感兴趣的入门者，所以我会多阐述数学思想，少写公式。霍金曾经说过，你…
首先说点估计。点估计就是用一个数据（data）的函数（通常称为估计统计量，estimator）来给出一个未知参数的估计值。&br&&br&即使是固定的参数真值（虽然我们不知道这个值），由于数据的随机性，不同的数}