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微分中值定理的证明题微分中值定理
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微分中值定理的证明题
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* 洛必达法则 Rolle 定理 Lagrange 中值定理 常用的 泰勒公式 Cauchy 中值定理 Taylor 中值定理
Fermat定理 分析: 设 欲证: 使 只要证 亦即 证明
作辅助函数
验证 在 上 满足罗尔定理条件. 证明
反证法,由第1题! 若将第1题改为: 提示： 求证存在 使 2. 设
可导，且 在 连续， 证明： 因此至少存在 显然 在 上满足罗尔定理条件, 即 设辅助函数 使得 在 内可导, 且 证明至少存在一点 使 上连续, 在 证明
第2题的特殊情况:n
2! 证明 不妨设 设
证明对任意 有 3. 4. 设函数 f
在[0, 3] 上连续, 在 0, 3
内可导, 且
试证必存在
所给条件可写为 想到找一点 c , 使 证明: 因 f
在[0, 3]上连续,
所以在[0, 2]上连续, 且在 [0, 2]上有最大值 M 与最小值 m,
故 由介值定理, 至少存在一点
由罗尔定理知, 必存在
证明: 6. 试证至少存在一点 使 法1
在 [ 1 , e ] 上满足罗尔中值定理条件, 使 因此存在 7 试证至少存在一点 使 证:
用柯西中值定理 . 则 f
在 [ 1 , e ] 上满足柯西中值定理条件,
即 分析: 8. 且 试证存在 证明: 欲证 因 f
在 [ a , b ] 上满足L-中值定理条件, 故有 将①代入② , 化简得 故有 ① ② 即要证 证 例1 两式相减, 则有 例2 证明: 两式相减,得 令h→0,两边取极限,利用f 〃
的连续性得
有关中值问题的解题方法小结 利用逆向思维 , 设辅助函数 . 一般解题方法: 证明含一个中值的等式或根的存在 ,
若结论中涉及到含中值的两个不同函数 ,
若结论中含两个或两个以上的中值 , 可用原函数法找辅助函数 . 多用罗尔定理, 可考虑用 柯西中值定理 . 必须多次应用 中值定理 .
若已知条件中含高阶导数 , 多考虑用泰勒公式 ,
若结论为不等式 , 多半用Taylor和lagrange公式,要 注意适当放大
正在加载中，请稍后...2016考研数学：中值定理证明题答题技巧分析
来源：文都教育
2016考研真题及答案解析全程报道
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　　在考研数学中，有关中值定理的证明题型是一个重要考点，也是一个让很多同学感到比较困惑的考点，不少同学在读完题目后不知从何下手，不会分析证明，找不到思路，之所以会出现这样的情况，主要是因为这些同学对中值定理证明题型的特点缺乏清晰的认识，对其分析和证明方法没有完全理解和掌握，为了协助这样的同学克服这方面的困难，下面本文对这类题的特点和证明方法做些分析总结，供各位考生参考。
　　一、中值定理证明题的特点
　　中值定理证明题主要有以下一些特点：
　　1.中值定理证明题常常需要作辅助函数；
　　2.中值定理证明题经常在一个题中需要结合运用三个知识点，分别是：连续函数在闭区间上的性质（包括最大值和最小值定理、零点定理和介质定理），微分中值定理和积分中值定理；
　　3.中值定理证明题可能需要在一个问题的证明中反复运用同一个微分中值定理两次甚至三次，比如罗尔中值定理或拉格朗日中值定理；
　　4.从历年考研数学真题变化规律来看，证明中用得最多的主要是罗尔中值定理和拉格朗日中值定理，而泰勒中值定理和柯西中值定理则用得很少。
　　二、中值定理证明题的常用方法
　　中值定理证明题有不同的类型，对不同的类型需要运用不同的方法，主要的和常用的方法包括以下几种：
　　1.如果题目条件中出现关于函数值的等式，而函数是连续的，则可能需要运用连续函数在闭区间上的性质进行证明；对导数是连续的情况也可以对导函数运用连续函数的性质；
　　2.如果题目条件中出现关于定积分的等式，则可能需要运用积分中值定理；
　　3.对于以下这类问题一般使用罗尔中值定理进行证明：
　　6、如果是要证明两函数差值比的中值等式，或证明两函数导数比的中值等式，则可能需要利用柯西中值定理进行证明。
　　对于上面总结介绍的各种证明方法，在实际问题中要根据具体情况灵活运用，另外，对于需要作辅助函数的证明题，常常通过还原法分析找出需要的辅助函数，对于含积分等式的证明题，常常需要作变积分限的函数作为辅助函数，这种方法也是证明积分等式或不等式的主要方法之一，这些分析总结希望对大家提高中值定理证明题的解题能力有所帮助。最后预祝各位考研成功、金榜题名！
（实习编辑：刘佰万）
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考研数学微分中值定理证明题解题技巧
作者：网编整理&&来源：新东方论坛&&时间：
　　微分中值定理是微分学应用的理论基础。是研究函数的有力工具，其中最重要的内容是拉格朗日定理，可以说其他中值定理都是拉格朗日中值定理的特殊情况或推广。能熟练的应用中值定理确实是一件不易的事，尤其是辅助函数的引入，更是变化多样。下文给出微分中值定理在一些证明题中的巧用。
　　一、微分中值定理的主要应用
　　1. 证明等式；2. 证明恒等式；3. 证明不等式； 4. 讨论方程实根（或函数零点）的存在性。
　　二、掌握微分中值定理应用方法的关键
　　——在分析解题思路时，必须紧紧抓住 “定理”、“函数”、“区间”三要素
　　“定理” ——适用定理的选择
　　“函数” ——辅助函数的构造
　　“区间” ——讨论区间的确定。
　　三、运用中值定理证明关于两个中间点等式的方法
　　方法一：构造辅助函数，在两个不同区间上运用拉格朗日定理或柯西定理，再将定理结论作某种运算。
　　方法二：构造两个辅助函数，在同一个区间上运用拉格朗日定理或柯西定理，再将定理结论作某种运算。
　　方法三：构造两个辅助函数，在两个不同区间上运用拉格朗日定理或柯西定理，再将定理结论作某种运算。
　　微分中值定理证明试题范例
　　设函数f(x)在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=f(1)=0,f(1/2)=1.试证: (1)存在η∈(1/2,1),使f(η)=η; (2)对任意实数λ,必存在ξ∈(0,η),使得f'(ξ)-λ[f(ξ)-ξ]1 第二问最后少打了等号，应该是f'(ξ)-λ[f(ξ)-ξ]=1
　　(1)证明：由介值定理知，至少存在一点ζ∈(0, 1/2), 使f(ξ)=1/2再由介值定理知，至少存在一点η∈(ζ,1),即存在η∈(1/2,1),使f(η)=η
　　(2) 证明：构造函数F(x)=e^(-λx)[f(x)-x]则F(x)在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导F(η)=0, F(0)=0∴由罗尔定理知，必存在ξ∈(0,η), 使F'(ξ)=0即-λe^(-λξ)[f(ξ)-ξ]+e^(-λξ)[f'(ξ)-1]=0∴f'(ξ)-λ[f(ξ)-ξ]=1
　　（责任编辑：胡静平）
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