复变函数积分方法的思考总结；钱学森11陈海琪；摘要：函数的积分问题是复变函数轮的主要内容，也是；例1、计算积分??x?y?ix2?dz，积分路径；解：y?x?0?x?1?为从点0到点1?i的直线；??x?y?ix?dz；??x?y?ix?d?x?iy?；1?i；??x?x?ix?d?x?ix?；20；??1?i?i?xdx??；1?i3；
复变函数积分方法的思考总结
摘要：函数的积分问题是复变函数轮的主要内容，也是其基础部分，因此有必要总结归纳求积分的各种方法。其主要方法有：利用柯西积分定理，柯西积分公式和用留数定理求积分等方法,现将这些方法逐一介绍。 关键词：积分，解析，函数，曲线 1.利用定义求积分
例1、计算积分??x?y?ix2?dz，积分路径C是连接由0到1?i的直线段.
解：y?x?0?x?1?为从点0到点1?i的直线方程，于是
??x?y?ix?dz
??x?y?ix?d?x?iy?
??x?x?ix?d?x?ix?
??1?i?i?xdx ??
2.利用柯西积分定理求积分
柯西积分定理：设f?z?在单连通区域D内解析，C为D内任一条周线，则
柯西积分定理的等价形式：设C是一条周线，D为C之内部，f?z?在闭域
D?D?C上解析，则?f?z?dz?0.
，其中C为圆周z?3i?1，
解：圆周C为z???3z??1，被积函数的奇点为?i，在C的外部，
在以C为边界的闭圆z?3i?1上解析，
故由柯西积分定理的等价形式得?
如果D为多连通区域，有如下定理：
设D是由复周线C?C0?C1??C2???Cn?所构成的有界多连通区域，f?z?在D内解析，在D?D?C上连续，则?f?z?dz?0.
3.利用柯西积分公式求积分
设区域D的边界是周线或复周线C，函数f?z?在D内解析，在D?D?C上连续，则有f?z??
?z?D?，即?
d??2?if?z?.
例3. 求积分?
?，其中C为圆周??2.
另外,若a为周线C内部一点，则?
（n?1，且n为整数）.
4.应用留数定理求复积分
f?z?在复周线或周线C所围的区域D内，除a1,a2,?an外解析，在闭域
D?D?C上除a1,a2,?an外连续，则?f?z?dz?2?i?Resf?z?.
设a为f?z?的n阶极点，f?z??
，其中??z?在点a解析，??a??0，则
例4.计算积分?
解：被积函数f?z??
5z?2z?z?1?
在圆周z?2的内部只有一阶极点z?0及z?1，
Resf?z????|z?1?2|z?1?2 z?1z?z?
因此，由留数定理可得
?2?i??2?2??0.
5.用留数定理计算实积分
某些实的定积分可应用留数定理进行计算，尤其是对原函数不易直接求得的定积分和反常积分，常是一个有效的办法，其要点是将它划归为复变函数的周线积分.
5.1计算?R?cos?,sin??d?型积分
令z?e，则cos??
此时有?例5.?
?z?z?1z?z?1
,R?cos?,sin??d???R??z?122i?
解：令z?ei?，则cos??
??z????z???
，其中???a?a2?1，???a?a2?1，
???1,?1,??1，
应用留数定理得I?
若R?cos?,sin??为?的偶函数，则?R?cos?,sin??d?之值亦可用上述方法求之，
因为此时?R?cos?,sin??d??
R?cos?,sin??d?，仍然令z?ei?.
例6.计算?tan???ia?d? （a为实数且a?0）
分析：因为tan???ia??
2i???ai2i??ai
直接令e2i???ai??z，则dz?e2i???ai?2id?，
于是tan???ia??
应用留数定理，当a?0时，I?i?
当a?0时，I??i?. 5.2计算?
解：函数f?z??
在上半平面内只有z?
i一个四阶极点，
i?a ，z?a?t
?z?a??z?a?
a?4at?6at?4at?t
3t16a?32a?24at?8at?t
? ?44????2??3t?168a32a?
即Ref?z???
6.级数法计算积分
连续性逐项积分定理:设???? ?? 在曲线C上连续(n=1,2,3…)， ??=1???? ?? 在C上
一致收敛于f?z?,则f?z?在曲线C上连续，并且沿C可逐项积分：
+∞ ?? ?? dz。将函数展成泰勒级数或洛朗级数就解决了该类复积 ??=1???? ?? ????= ????
分的有关问题。
??例8.计算积分 ( ∞??????,C:|z|=. ??=?1??2
解：在|z|&
?? ∞??=+??=?1
∞?? (??????= （+）dz=2π??+0=2π??
??=?1??????1?z
7.拉普拉斯变换法
计算复积分时，可先运用拉普拉斯变换的基本运算法则（线性关系、相似定理、位移定理、像函数微分法、本函数微分法、本函数积分法、延迟定理、卷积定理等)，将该类复积分化为F(s)的形式，再参照拉普拉斯变换表，得出相应的复积分结果。
总之，复变函数的积分理论是实变量函数积分理论的推广，但比实积分理论的内容要丰富和复杂得多。因而在学习时应着重理解复变函数积分理论与高等数学中积分理论的联系，同时又要注意到二者的不同，这对学生掌握复变函数整个课程内容大有裨益。
[参考文献]
[1] 黄隽：复变函数积分计算方法的探讨. 常州工学院学报,2008年8月第21
[2]王绵森.复变函数学习辅导与习题选解［M］。北京:高等教育出版社，2003。[3]王燕.复变函数积分的解法分析［J］。数学学习与研究，-91。
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