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历届1-15希望杯数学竞赛初一[整理] 直接打印版
希望杯第一届（1990 年）初中一年级第一试试题 一、选择题（每题1分，共10分） 1．如果a，b都代表有理数，并且a＋b=0，那么 ( ) A．a，b都是0． B．a，b之一是0．C．a，b互为相反数．D．a，b互为倒数． 2．下面的说法中正确的是 ( ) A．单项式与单项式的和是单项式．B．单项式与单项式的和是多项式． C．多项式与多项式的和是多项式．D．整式与整式的和是整式
． 3．下面说法中不正确的是 ( ) A. 有最小的自然数． B．没有最小的正有理数． C．没有最大的负整数． D．没有最大的非 负数． 4．如果a，b代表有理数，并且a＋b的值大于a－b的值，那么 ( ) A．a，b同号． B．a，b异号．C．a＞0． D．b＞0． 5．大于－π 并且不是自然数的整数有 ( ) A．2个． B．3个 C．4个． D．无数个． 6．有四种说法： 甲．正数的平方不一定大于它本身；乙．正数的立方不一定大于它本身； 丙．负数的平方不一定大于它本身；丁．负数的立方不一定大于它本身． 这四种说法中，不正确的说法的个数是 ( ) A．0个． B．1个．C．2个． D．3个． 7．a代表有理数，那么，a和－a的大小关系是 ( ) A．a大于－a．B．a小于－a．C．a大于－a或a小于－a．D．a不一定大于－a． 8．在解方程的过程中，为了使得到的方程和原方程同解，可以在原方程的两边( ) A．乘以同一个数．B．乘以同一个整式．C．加上同一个代数式．D．都加上1． 9．杯子中有大半杯水，第二天较第一天减少了10%，第三天又较第二天增加了10%，那么，第三天杯中 的水量与第一天杯中的水量相比的结果是( ) A．一样多． B．多了．C．少了． D．多少都可能． 10．轮船往返于一条河的两码头之间，如果船本身在静水中的速度是固定的，那么，当这条河的水流速 度增大时，船往返一次所用的时间将( ) A．增多． B．减少．C．不变． D．增多、减少都有可能． 二、填空题（每题1分，共10分） 1 1 15 16 1. 0.0125 ? 3 ? ? (?87.5) ? ? ? (?22 ) ? 4 ? ______． 5 7 16 15 2．－=______． 3.(2 ? 1)(22 ? 1)(24 ? 1)(28 ? 1)(216 ? 1) =________. 232 ? 11? x x ? 2 ? ? 1 的解是_________. 4 8 5．1－2＋3－4+5－6+7－8+?+=______． 24 6.当x=时,代数式(3x3－5x2+6x－1)－(x3－2x2+x－2)+(－2x3+3x2+1)的值是____． 125 72 71 1 7．当a=－0.2，b=0.04时，代数式 (a 2 ? b) ? (b ? a ? 0.16) ? (a ? b) 的值是______. 73 72 4 8．含盐30%的盐水有60千克，放在秤上蒸发，当盐水变为含盐40%时，秤得盐水的重是______克．4. 关于x的方程9.制造一批零件,按计划18天可以完成它的 .如果工作4天后,工作效率提高了 ,那么完成这批零件的一3 511半，一共需要______天． 10．现在4点5分，再过______分钟，分针和时针第一次重合． 答案与提示 一、选择题 1．C 2．D 3．C 4．D 5．C 6．B 7．D 8．D 9．C 10．A 提示： 1．令a=2，b=－2，满足2+(－2)=0，由此2．x2，2x2，x3都是单项式．两个单项式x3，x2之和为x3+x2是多项式，排除A．两个单项式x2，2x2之和为3x2 是单项式，排除B．两个多项式x3+x2与x3－x2之和为2x3是个单项式，排除C，因此选D． 3．1是最小的自然数，A正确．可以找到正所以C“没有最大的负整数”的说法不正确．写出扩大自然数 列，0，1，2，3，?，n，?，易知无最大非负数，D正确．所以不正确的说法应选C．5．在数轴上容易看出：在－π 右边0的左边（包括0在内）的整数只有－3，－2，－1，0共4个．选C． 6．由12=1，13=1可知甲、乙两种说法是正确的．由(－1)3=－1，可知丁也是正确的说法．而负数的平方 均为正数，即负数的平方一定大于它本身，所以“负数平方不一定大于它本身”的说法不正确．即丙 不正确．在甲、乙、丙、丁四个说法中，只有丙1个说法不正确．所以选B． 7．令a=0，马上可以排除A、B、C，应选D． 8．对方程同解变形，要求方程两边同乘不等于0的数．所以排除A． 我们考察方程x－2=0，易知其根为x=2．若该方程两边同乘以一个整式x－1，得(x－1)(x－2)=0，其根 为x=1及x=2，不与原方程同解，排除B．若在方程x－2=0两边加上同一个代数式 去了原方程x=2的根．所以应排除C．事实上方程两边同 时加上一个常数，新方程与原方程同解，对D，这里所加常数为1，因此选D． 9．设杯中原有水量为a，依题意可得， 第二天杯中水量为a?(1－10%)=0.9a； 第三天杯中水量为(0.9a)?(1+10%)=0.9?1.1?a； 第三天杯中水量与第一天杯中水量之比为 所以第三天杯中水量比第一天杯中水量少了，选C． 10． 设两码头之间距离为s， 船在静水中速度为a， 水速为v0， 则往返一次所用时间为 设河水速度增大后为v，(v＞v0)则往返一次所用时间为由于v－v0＞0，a+v0＞a－v0，a+v＞a－v所以(a+v0)(a+v)＞(a－v0)(a －v)∴t0－t＜0，即t0＜t．因此河水速增大所用时间将增多，选A． 二、填空题提示：2．－ =(91989)?(891989) =(983979． 3．由于(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1) =(2－1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1) =(22－1)(22+1)(24+1)(28+1)(216+1) =(24－1)(24+1)(28+1)(216+1) =(28－1)(28+1)(216+1) =(216－1)(216+1)=232－1．2(1+x)－(x－2)=8,2+2x－x+2=8解得；x=4 5．1－2+3－4+5－6+7－8+?+ =(1－2)+(3－4)+(5－6)+(7－8)+?+() =－2500．6．(3x3－5x2+6x－1)－(x3－2x2+x－2)+(－2x3+3x2+1)=5x+27．注意到：当a=－0.2，b=0.04时，a2－b=(－0.2)2－0.04=0，b+a+0.16=0.04－0.2+0.16=0．8．食盐30%的盐水60千克中含盐60?30%（千克）设蒸发变成含盐为40%的水重x克，即0.001x千克，此 时，60?30%=(0.001x)?40%解得：x=45000（克）．10．在4时整，时针与分针针夹角为120°即希望杯第一届（1990 年）初中一年级第二试试题 一、选择题（每题1分，共5分） 1．某工厂去年的生产总值比前年增长a%，则前年比去年少的百分数是 ( ) a ?1 a A．a%． B．(1+a)%． C. D. 100 a 100 ? a 2．甲杯中盛有2m毫升红墨水，乙杯中盛有m毫升蓝墨水，从甲杯倒出a毫升到乙杯里, 0＜a＜m，搅匀后，又从乙杯倒出a毫升到甲杯里，则这时 ( ) A．甲杯中混入的蓝墨水比乙杯中混入的红墨水少． B．甲杯中混入的蓝墨水比乙杯中混入的红墨水多． C．甲杯中混入的蓝墨水和乙杯中混入的红墨水相同． D．甲杯中混入的蓝墨水与乙杯中混入的红墨水多少关系不定． 3.已知数x=100,则( ) A．x是完全平方数．B．(x－50)是完全平方数．C．(x－25)是完全平方数．D．(x+50)是完全平方数． 1 1 1 , 的大小关系是( 4．观察图1中的数轴：用字母a，b，c依次表示点A，B，C对应的数,则 , ) ab b ? a c1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ; B. & & ; C. & & ; D. & & . ab b ? a c c b ? a ab c ab b ? a b ? a ab c 5．x=9，y=－4是二元二次方程2x2+5xy+3y2=30的一组整数解，这个方程的不同的整数解共有 ( ) A．2组． B．6组．C．12组． D．16组． 二、填空题（每题1分，共5分） 1．方程|1990x－的根是______． 2．对于任意有理数x，y，定义一种运算*，规定x*y=ax+by－cxy，其中的a，b，c表示已知数，等式右 边是通常的加、减、乘运算．又知道1*2=3，2*3=4，x*m=x（m≠0），则m的数值是______． 3．新上任的宿舍管理员拿到20把钥匙去开20个房间的门，他知道每把钥匙只能开其中的一个门，但不 知道每把钥匙是开哪一个门的钥匙，现在要打开所有关闭着的20个房间，他最多要试开______次． 4．当m=______时，二元二次六项式6x2+mxy－4y2－x+17y－15可以分解为两个关于x，y的二元一次三项 式的乘积． 5．三个连续自然数的平方和（填“是”或“不是”或“可能是”）______某个自然数的平方． 三、解答题（写出推理、运算的过程及最后结果．每题5分，共15分） 1．两辆汽车从同一地点同时出发，沿同一方向同速直线行驶，每车最多只能带24桶汽油，途中不能用 别的油，每桶油可使一辆车前进60公里，两车都必须返回出发地点，但是可以不同时返回，两车相互 可借用对方的油．为了使其中一辆车尽可能地远离出发地点，另一辆车应当在离出发地点多少公里的 地方返回？离出发地点最远的那辆车一共行驶了多少公里？ 2．如图2，纸上画了四个大小一样的圆，圆心分别是A，B，C，D，直线m通过A，B，直线n通过C，D，用 S表示一个圆的面积，如果四个圆在纸上盖住的总面积是5(S－1)，直线m，n之间被圆盖住的面积是8，A.1 1 阴影部分的面积S1，S2，S3满足关系式S3= S1= S2,求S． 3 31 1 1 5 3.求方程 ? ? ? 的正整数解. x y z 6答案与提示 一、选择题 提示：1．D 2．C 3．C 4．C 5．D1．设前年的生产总值是m，则去年的生产总值是前年比去年少这个产值差占去年的应选D．2．从甲杯倒出a毫升红墨水到乙杯中以后： 再从乙杯倒出a毫升混合墨水到甲杯中以后： 乙杯中含有的红墨水的数量是 乙杯中减少的蓝墨水的数量是 ② ① ∵①=②∴选C．∴x－25=(10n+2+5)2 可知应当选C． 4．由所给出的数轴表示（如图3）： 可以看出∴①＜②＜③，∴选C． 5．方程2x2+5xy+3y2=30可以变形为(2x+3y)(x+y)=1?2?3?5∵x，y是整数，∴2x+3y，x+y也是整数．由下面的表可以知道共有16个二元一次方程组，每组的解都是整数，所以有16组整数组，应选D． 二、填空题提示： 1．原方程可以变形为|x－1|=1，即x-1=1或-1，∴x=2或0． 2．由题设的等式x*y=ax+by-cxy及x*m=x(m≠0)得a?0+bm-c?0?m=0，∴bm=0．∵m≠0，∴b=0． ∴等式改为x*y=ax-cxy．∵1*2=3，2*3=4， 解得a=5，c=1． ∴题设的等式即x*y=5x-xy．在这个等式中，令x=1，y=m，得5-m=1，∴m=4． 3．∵打开所有关闭着的20个房间，∴最多要试开 4．利用“十字相乘法”分解二次三项式的知识，可以判定给出的二元二次六项式 6x2+mxy-4y2-x+17y-15中划波浪线的三项应当这样分解：3x-5 2x+3 2 现在要考虑y，只须先改写作 然后根据-4y ，17y这两项式，即可断定是： 2 2 由于(3x+4y-5)(2x-y+3)=6x +5xy-4y -x+17y-15就是原六项式，所以m=5． 5．设三个连续自然数是a-1，a，a+1，则它们的平方和是(a-1)2+a2+(a+1)2=3a2+2， 显然，这个和被3除时必得余数2．另一方面，自然数被3除时，余数只能是0或1或2，于是它们可以表示 成3b，3b+1，3b+2（b是自然数）中的一个，但是它们的平方(3b)2=9b2，(3b+1)2=9b2+6b+1， (3b+2)2=9b2+12b+4 =(9b2+12b+3)+1 被3除时，余数要么是0，要么是1，不能是2，所以三个连续自然数平方和不是某个自然数的平方． 三、解答题 1．设两辆汽车一为甲一为乙，并且甲用了x升汽油时即回返，留下返程需的x桶汽油，将多余的(24-2x) 桶汽油给乙．让乙继续前行，这时，乙有(24-2x)+(24-x)=48-3x桶汽油，依题意，应当有48-3x≤24， ∴x≥8．甲、乙分手后，乙继续前行的路程是这个结果中的代数式30(48-4x)表明，当x的值愈小时，代数式的值愈大，因为x≥8，所以当x=8时，得 最大值30(48-4?8)=480（公里），因此，乙车行驶的路程一共是2(60?8+480)=1920（公里）． 2．由题设可得 即2S-5S3=8??②∴x，y，z都＞1，因此，当1＜x≤y≤z时，解(x，y，z)共(2，4，12)，(2，6，6)， (3，3，6)，(3，4，4)四组．由于x，y，z在方程中地位平等．所以可得如下表所列的15组解．希望杯第二届（1991 年）初中一年级第一试试题 一、选择题（每题1分，共15分） 1．数1是 ( ) A．最小整数． B．最小正数． C．最小自然数． D．最小有理数． 2．若a＞b，则 ( ) 1 1 A. ? ; B．-a＜-b．C．|a|＞|b|． D．a2＞b2． a b 3．a为有理数，则一定成立的关系式是 ( ) A．7a＞a． B．7+a＞a．C．7+a＞7． D．|a|≥7． 4．图中表示阴影部分面积的代数式是( ) A．ad+bc．B．c(b-d)+d(a-c)．C．ad+c(b-d)．D．ab-cd． 5．以下的运算的结果中，最大的一个数是( ) 1 1 1 A．(-18; B.(-13579)+ ; C.(-13579)? ; D.(-13579)÷ 68 6．3.4+3.1416?(-5.5944)的值是 ( ) A．6.1632． B．6.2832．C．6.5132． D．5.3692． 1 7.如果四个数的和的 是8,其中三个数分别是-6,11,12,则笫四个数是( ) 4 A．16． B．15． C．14． D．13． 1 1 8.下列分数中,大于- 且小于- 的是( ) 3 4 11 4 3 6 A.; B.- ; C.- ; D.- . 20 13 16 17 3 9.方程甲: (x-4)=3x与方程乙:x-4=4x同解,其根据是( ) 4 4 A.甲方程的两边都加上了同一个整式x． B.甲方程的两边都乘以 3 4 3 C. 甲方程的两边都乘以 ; D. 甲方程的两边都乘以 . 3 4 10．如图: 大小关系是( )1 1 1 ，数轴上标出了有理数a，b，c的位置,其中O是原点,则 , , 的 a b c1 1 1 1 1 1 ? ? ; B. & & ; a b c b c a x 5 ? 11.方程 的根是( ) 22.2 3.7 A．27． B．28． C．29．A.C.1 1 1 & & ; b a cD.1 1 1 & & . c a bD．30． )12.当x=4x ? 2 y 1 ,y=-2时,代数式 的值是( xy 2A．-6． B．-2． C．2． D．6． 13．在-4，-1，-2.5，-0.01与-15这五个数中，最大的数与绝对值最大的那个数的乘积是( A．225． B．0.15．C．0.0001． D．1． x x x x 14.不等式 1 ? ? ? ? ? x 的解集是( ) 2 4 8 16 1 A．x＜16． B．x＞16．C．x＜1． D.x&- . 16 15．浓度为p%的盐水m公斤与浓度为q%的盐水n公斤混合后的溶液浓度是 ( ) A.p?q %; 2)B. (mp ? nq)% ;C.(mp ? nq ) %; p?qD.( mp ? nq ) %. m?n二、填空题（每题1分，共15分） 1． 计算：(-1)+(-1)-(-1)?(-1)÷(-1)=______． 1 2． 计算：-32÷6? =_______. 6 ( ?63) ? 36 3． 计算： =__________. 162 4． 求值：(-1991)-|3-|-31||=______． 1 1 1 1 1 1 5． 计算: ? ? ? ? ? =_________. 2 6 12 20 30 42 6．n为正整数，的末四位数字由千位、百位、十位、个位、依次排列组成的四位数是8009．则 n的最小值等于______．? 191919 ? ? 1919 ? 7. 计算： ? ? ???? ? =_______. ? 919191 ? ? 9191 ?1 8. 计算： [(-1989)+(-1990)+(-1991)+(-1992)+(-1993)]=________. 5? 1? ? 1? 9.在(-2)5,(-3)5, ? ? ? , ? ? ? 中,最大的那个数是________. ? 2? ? 3?10．不超过(-1.7)2的最大整数是______． 2 x ? 1 10 x ? 1 2 x ? 1 ? ? ? 1, x ? _____ . 11.解方程 3 12 455355 ? 355 ? ?? ?? ? 113 ? 113 ? 12.求值: =_________. ? 355 ? ?? ? ? 113 ?13．一个质数是两位数，它的个位数字与十位数字的差是7，则这个质数是______． 1 14.一个数的相反数的负倒数是 ,则这个数是_______. 19 15．如图11，a，b，c，d，e，f均为有理数．图中各行，各列、两条对角线上三个数之和都相等,则ab ? cd ? ef =____. a?b?c?d ?e? f答案与提示 一、选择题 1．C 2．B 3．B 4．C 5．C 6．B 7．B 8．B 9．C 10．B 11．D 12．A 13．B 1 4．A 15．D 提示： 1．整数无最小数，排除A；正数无最小数，排除B；有理数无最小数，排除D．1是最小自然数．选C． 有|2|＜|-3|，排除C；若2＞-3有22＜(-3)2，排除D；事实上， a＞b必有-a＜-b．选B． 3．若a=0，7?0=0排除A；7+0=7排除C|0|＜7排除D，事实上因为7＞0，必有7+a＞0+a=a．选B． 4．把图形补成一个大矩形，则阴影部分面积等于 ab-(a-c)(b-d)=ab-[ab-ad-c(b-d)]=ab-ab+ad+c(b-d)=ad+c(b-d)．选C． 5．运算结果对负数来说绝对值越小其值越大。6．3.4+3.1416?(-5.5944) =3.4-5..2．选B．为32．第四个数数=32-(-6+11+12)=15．选B．新方程x-4=4x与原方程同解．选C．13．-4，-1，-2.5，-0.01与-15中最大的数是-0.01，绝对值最大的数是-15，(-0.01)?(-15)=0.15．选 B．15．设混合溶液浓度为x，则m?p%+n?q%=(m+n)x． 二、填空题 提示： 1．(-1)+(-1)-(-1)?(-1)÷(-1)=(-2)-(-1)=-1．4．(-1991)-|3-|-31||=-19．6．1990n的末四位数字应为的末四位数字．即为0000，即1990n末位至少要4个0，所以n的最小 值为4．(-1993)]=-1991．10．(-1.7)2=2.89，不超过2.89的最大整数为2．去分母得 4(2x-1)-(10x+1)=3(2x+1)-12． 8x-4-10x-1=6x+3-12． 8x-10x-6x=3-12+4+1．13．十位数比个位数大7的两位数有70，81，92，个位数比十位数大7的两位数有18，29，其中只有29是 质数．b+d+7=-1+3+7=9，所以各行各列两条对角线上三个数之和等于9．易求得a=4，e=1，c=5，f=0．希望杯第二届（1991 年）初中一年级第二试试题 一、 选择题（每题1分，共10分） 1．设a，b为正整数（a＞b）．p是a，b的最大公约数，q是a，b的最小公倍数．则p，q，a，b的大小关 系是 ( ) A．p≥q≥a＞b． B．q≥a＞b≥p． C．q≥p≥a＞b． D．p≥a＞b≥q． 6 2． 一个分数的分子与分母都是正整数， 且分子比分母小1,若分子和分母都减去1,则所得分数为小于 的 7 正数,则满足上述条件的分数共有( ) A．5个． B．6个． C．7个． D．8个． a 3.下列四个等式: =0,ab=0,a2=0,a2+b2=0中，可以断定a必等于0的式子共有 ( ) b A．3个． B．2个． C．1个． D．0个． 4．a为有理数．下列说法中正确的是( ) 2 2 A．(a+1) 的值是正数．B．a +1的值是正数．C．-(a+1)2的值是负数．D．-a2+1的值小于1． 5.如果1&x&2,则代数式x ? 2 x ?1 x ? ? 的值是( x ? 2 x ?1 x)A．-1． B．1． C．2． D．3． 6．a，b，c均为有理数．在下列 甲：若a＞b，则ac2＞bc2．乙：若ac2＞bc2，则a＞b．两个结论中， ( ) A．甲、乙都真． B．甲真，乙不真．C．甲不真，乙真． D．甲、乙都不真． 7．有理数a，b，c在数轴上的位置如图所示,式子|a|+|b|+|a+b|+|b-c|化简结果为 ( A．2a+3b-c． B．3b-c．C．b+c． D．c-b．)8．①若a=0，b≠0，方程ax=b无解．②若a=0，b≠0，不等式ax＞b无解．③若a≠0,则方程ax=b有唯一 b b 解x= ;④若a≠0,则不等式ax&b的解为x& .则( ) a a A．①、②、③、④都正确． B．①、③正确，②、④不正确． C．①、③不正确，②、④正确． D．①、②、③、④都不正确． a b c ? ? 9.若abc=1,则 的值是( ) ab ? a ? 1 bc ? b ? 1 ca ? c ? 1 A．1． B．0． C．-1． D．-2． 10．有一份选择题试卷共六道小题．其得分标准是：一道小题答对得8分，答错得0分，不答得2分．某 同学共得了20分，则他( ) A．至多答对一道小题． B．至少答对三道小题． C．至少有三道小题没答． D．答错两道小题． 二、填空题（每题1分，共10分） 1．绝对值大于13并且小于15.9的所有整数的乘积等于______．m m ?900 ? 21 3 2．单项式 xy 2 z 11 与 3xy 2 z 7 ?17 是同类项,则m=________. 4190091 =_________.
1 4．现在弟弟的年龄是哥哥年龄的 ,而9年前弟弟的年龄只是哥哥的 ,则哥哥现在的年趟龄是_____. 2 5 5．某同学上学时步行，放学回家乘车往返全程共用了1.5小时，若他上学、下学都乘车．则只需0.5小 时．若他上学、下学都步行，则往返全程要用______小时． 19 6．四个连续正整数的倒数之和是 ,则这四个正整数两两乘积之和等于______． 20 7．1.52+2.469?0.7655=______．3．化简:2..8.在计算一个正整数乘以 3.5 7 的运算时,某同学误将 3.5 7 错写为3.57,结果与正确答案相差14,则正确的 乘积是_______.2 1 去参加歌咏比赛, 全班学生的 去玩乒乓球,而其 9 4 余学生都去看电影,则看电影的学生有________人. 10．游泳者在河中逆流而上．于桥A下面将水壶遗失被水冲走．继续前游20分钟后他发现水壶遗失，于 是立即返回追寻水壶．在桥A下游距桥A 2公里的桥B下面追到了水壶．那么该河水流的速度是每小时 ______公里． 三、解答题（每题5分，共10分，要求：写出完整的推理、计算过程，语言力求简明，字迹与绘图力求 清晰、工整） 1.有一百名小运动员所穿运动服的号码恰是从1到100这一百个自然数，问从这100名运动员中至少要选 出多少人，才能使在被选出的人中必有两人，他们运动服的号码数相差9？请说明你的理由． 2．少年科技组制成一台单项功能计算器，对任意两个整数只能完成求差后再取绝对值的运算，其运算 过程是：输入第一个整数x1，只显示不运算，接着再输入整数x2后则显示|x1-x2|的结果，此后每输入 一个整数都是与前次显示的结果进行求差取绝对值的运算，现小明将从1到1991这一千九百九十一个 整数随意地一个一个地输入，全部输入完毕之后显示的最后结果设为p．试求出p的最大值，并说明理 由．9．某班学生人数不超过50人．元旦上午全班学生的答案与提示 一、选择题 1．B 2．A 3．A 4．B 5．B 6．C 7．C 8．B 9．A 10．D 提示： 1．两个自然数的最小公倍数一定不小于两数中较大者．两个自然数的最大公约数一定不大于两数中较 小者．所以q≥a＞b≥p．选B．，也有a必为0．所以a必为0的式子共有3个．选A． 4．a=-1时(a+1)2=0，A不真；a=-1时-(a+1)2=0，C也不真；a=0时-a2+1=1，D不真；只有对任意有理数a， a2+1＞0成立．选B． 5．当1＜x＜2时，x＞0，x-1＞0，x-2＜0． ∴|x|=x，|x-1|=x-1，|x-2|=2-x．=-1-(-1)+1=1．选B． 6．若c=0，甲不正确．对于乙，若ac2＞bc2，可推出c≠0，∴c2＞0，进而推出a＞b，乙正确．选C．c-b&0，|b-c|=c-b．∴|a|+|b|+|a+b|+|b-c|=-a+b+a+b+c-b=b+c．选C． 8．若a=0，b=-1，0x＞-1，可见②无解不 9．abc=1，则a，b，c均不为0．选A．10．设选对x题，不选的有z题，选错的有y题．依题意有x+y+z=6，8x+2z=20(x≥0，y≥0，z≥0，且都 为整数）．解之得x=2，y=2，z=2，选D． 二、填空题 1．绝对值大于13而小于15.9的所有整数是-15，-14，14，15，其乘积为(-14)(-15)(14)(15)=44100．3．令n=，n-1=901991=n+1． 则分母01991=(n+1)2-(n-1)(n+1)=2(n+1)．5．设步行速度为x，乘车速度为y，学校到家路程为s，则6．设所求的四个连续整数分别为a，a+1，∴a=2不合题设条件．和为3?4+3?5+3?6+4?5+4?6+5?6=119． 7．令x=1.2345，y=0.7655，则2xy=2.469?0.52+0.? 0.7655=(x+y)2=(1.5)2=22=49．显然全班人数被9整除，也被4整除，所以被4和9的最小公倍36整除，但全班人数小于50，可见全班 总计36人，看电影的同学为36-8-9=19． 10．设该河水速每小时x公里．游泳者每小时解得x=3．即该河水速每小时3公里． 三、解答题 1．若选出54个人，他们的号码是1，2，?，8，9，19，20，?，26，27，37，38?，44，45，55，56，?， 62，63，73，74，?，80，81，91，92?，98，99．的时候，任两个人号码数之差均不等于9． 可见，所选的人数必≥55才有可能． 我们证明，至少要选出55人时一定存在两个运动员号码之差恰是9． 被选出的55人有55个不同号码数，由于55=6?9+1，所以其中必有7个号码数被9除余数是相同的．但由1 ―100这一百个自然数中，被9除余数相同的数最多为12个数．因此7个数中一定有两个是“大小相邻” 的，它们的差等于9． 所以至少要选出55名小运动员，才能使其中必有两人运动服的号码数相差9． 2．由于输入的数都是非负数．当x1≥0，x2≥0时，|x1-x2|不超过x1，x2中最大的数．对x1≥0，x2≥0，x3 ≥0，则||x1-x2|-x3|不超过x1，x2，x3中最大的数．小明输入这1991个数设次序是x1，x2，?，x1991，相当于计算：||?||x1-x2|-x3|??-x1990|-x1991|=P．因此P的值≤1991． 另外从运算奇偶性分析，x1，x2为整数． |x1-x2|与x1+x2奇偶性相同．因此P与x1+x2+?+x1991的奇偶性相同． 但x1+x2+?+x+?1991=偶数．于是断定P≤1990．我们证明P可以取到1990． 对1，2，3，4，按如下次序|||1-3|-4|-2|=0． |||(4k+1)-(4k+3)|(4k+4)|-(4k+2)=|0，对k=0，1，2，?均成立．因此，1-1988可按上述办法依次输 入最后显示结果为0．而后|||-． 所以P的最大值为1990． 希望杯第三届（1992 年）初中一年级第一试试题 一、选择题（每题1分，共10分） 1.有理数- 一定不是(a 1)A．正整数． B．负整数．C．负分数． D．0． 2．下面给出的四对单项式中，是同类项的一对是 ( ) 1 1 3 2 1 A. x2y与-3x2z; B.3.22m2n3与 C.0.2a2b与0.2ab2; D.11abc与 ab. 3 11 1992 3．(x-1)-(1-x)+(x+1)等于 ( ) A．3x-3． B．x-1．C．3x-1． D．x-3． 4．两个10次多项式的和是 ( ) A．20次多项式．B．10次多项式．C．100次多项式．D．不高于10次的多项式． 5．若a+1＜0，则在下列每组四个数中，按从小到大的顺序排列的一组是 ( ) A．a，-1，1，-a．B．-a，-1，1，a．C．-1，-a，a，1．D．-1，a，1，-a． 6．a=-123.4-(-123.5)，b=123.4-123.5，c=123.4-(-123.5)，则 ( ) A．c＞b＞a． B．c＞a＞b．C．a＞b＞c． D．b＞c＞a． 7．若a＜0，b＞0，且|a|＜|b|，那么下列式子中结果是正数的是 ( ) A．(a-b)(ab+a)． B．(a+b)(a-b)．C．(a+b)(ab+a)． D．(ab-b)(a+b)． 8．从2a+5b减去4a-4b的一半，应当得到( ) A．4a-b． B．b-a．C．a-9b． D．7b． 9．a，b，c，m都是有理数，并且a+2b+3c=m，a+b+2c=m，那么b与c ( ) A．互为相反数． B．互为倒数． C．互为负倒数． D．相等． 10．张梅写出了五个有理数，前三个有理数的平均值为15，后两个有理数的平均值是10，那么张梅写出 的五个有理数的平均值是 ( ) 1 1 A.5; B.8 ; C.12 ; D.13. 3 2 二、填空题（每题1分，共10分） 1．2+(-3)+(-4)+5+6+(-7)+(-8)+9+10+(-11)+(-12)+13+14+15=______． 2．(?2) ? 5 ? (?8) ? (?12) =_________________. (?3) ? 4 ? (?15)1 19 92 3 22 3. [(?1) ? (?1) ? (?1) ? (?1) ] =_________________. 2 4.若P=a2+3ab+b2，Q=a2-3ab+b2，则代入到代数式P-[Q-2P-(-P-Q)]中，化简后，是______． 5.-90(90]}=_______________.6.六个单项式15a2,xy,2 2 3 3a 2 b a b ,0.11m3,-abc,的数字系数之和等于_____________. 3 47．小华写出四个有理数，其中每三数之和分别为2，17，-1，-3，那么小华写出的四个有理数的乘积等 于______． 8．一种小麦磨成面粉后，重量要减少15%，为了得到4250公斤面粉，至少需要______公斤的小麦． 2 ? x 2x ? 1 ? 9.满足 的x值中,绝对值不超过11的那些整数之和等于______． 2 3 10．在下图所示的每个小方格中都填入一个整数：并且任意三个相邻格子中所填数之和都等于5,则x? y?z =__________. xyz答案与提示 一、选择题 1．D 2．B 3．C 4．D 5．A 提示： 6．B 7．A 8．D 9．A 10．D故选D． 2．依同类项的定义，选B． 3．(x-1)-(1-x)+(x+1) =x-1-1+x+x+1=3x-1，选C． 4．多项式x10+x与-x10+x2之和为x2+x是个次数低于10次的多项式，因此排除了A、B、C，选D． 5．由a+1＜0，知a＜-1，所以-a＞1．于是由小到大的排列次序应是a＜-1＜1＜-a，选A． 6．易见a=-123.4+123.5=0.1，b=123.4-123.5＜0，c=123.4-(-123.5)＞123.4＞a，所以b＜a＜c，选B． 7．因为a＜0，b＞0．所以|a|=-a，|b|=b．由于|a|＜|b|得-a＜b，因此a+b＞0，a-b＜0．ab+a＜0，ab-b ＜0．所以应有(a-b)(ab+a)＞0成立，选A． =2a+5b-2a+2b=7b，选D． 9．因为a+2b+3c=m=a+b+2c，所以b+c=0，即b，c互为相反数，选A． 10．前三个数之和=15?3， 后两个数之和=10?2． 所以五个有理数的平均数为二、填空题提示： 1．前12个数，每四个一组，每组之和都是0．所以总和为14+15=29．4．因为P-[Q-2P-(-P-Q)] =P-Q+2P+(-P-Q) =P-Q+2P-P-Q =2P-2Q=2(P-Q) 以P=a2+3ab+b2，Q=a2-3ab+b2代入， 原式=2(P-Q)=2[(a2+3ab+b2)-(a2-3ab+b2)] =2(6ab)=12ab．6．六个单项式的系数依次为：7．小华写四个有理数之和为分别减去每三数之和后可得这四个有理数依次为3，-12，6，8．所以，这四个有理数的乘积=3?(-12) ?6?8=-1728． 8．设需要x公斤小麦，根据题意，得解方程，得x=5000． 答：需要5000公斤小麦．去分母，得3(2+x)≥2(2x-1) 去括号，得6+3x≥4x-2 移项，得3x-4x≥-2-6 合并同类项-x≥-8于是x≤8． 其中绝对值不超过11的整数之和为(-9)+(-10)+(-11)=-30． 10．容易断定与x相邻的两个数分别为9与2，即因为9+x+2=5，则x=-6，依任意三个相邻格子中所填数之和都等于5，分别确定出每个格子中所填之数如 下：断定y=-6，z=9．所以希望杯第三届（1992 年）初中一年级第二试试题 一、选择题（每题1分，共10分） 1．若8.119823，则0.80473等于 ( ) A．0.．B．52.．C．823．D．0.23． 2．若一个数的立方小于这个数的相反数，那么这个数是 ( ) A．正数． B．负数．C．奇数． D．偶数． 3．若a＞0，b＜0且a＜|b|，则下列关系式中正确的是 ( ) A．-b＞a＞-a＞b． B．b＞a＞-b＞-a．C．-b＞a＞b＞-a． D．a＞b＞-a＞-b． 4．在1992个自然数：1，2，3，?，的每一个数前面任意添上“+”号或“-”号，则其代数 和一定是 ( ) A．奇数． B．偶数．C．负整数． D．非负整数． 5．某同学求出1991个有理数的平均数后，粗心地把这个平均数和原来的1991个有理数混在一起，成为 1992个有理数，而忘掉哪个是平均数了．如果这1992个有理数的平均数恰为1992．则原来的1991个有 理数的平均数是 ( ) A．1991.5． B．1991．C．1992． D．1992.5． 6．四个互不相等的正数a，b，c，d中，a最大,d最小,且,则a+d与b+c的大小关系是( ) A．a+d＜b+c． B．a+d＞b+c．C．a+d=b+c． D．不确定的．? x ? 1992 y ? p 7.已知p为偶数,q为奇数,方程组 ? 的解是整数,那么( ?1993x ? 3 y ? q)A.x是奇数，y是偶数．B．x是偶数，y是奇数． C．x是偶数，y是偶数．D．x是奇数，y是奇数． 8．若x-y=2，x2+y2=4，则x的值是 ( ) 2
A．4． B．1992 ．C．2 ． D．4 ． 9．如果x， y只能取0， 2，3， 5， 7，8， 1， 4， 6， 9中的数，并且3x-2y=1，那么代数式10x+y可以取到( ) 不同的值． A．1个． B．2个．C．3个． D．多于3个的． 10．某中学科技楼窗户设计如图15所示．如果每个符号（窗户形状）代表一个阿拉伯数码，每横行三个 符号自左至右看成一个三位数．这四层组成四个三位数，它们是837，571，206，439．则按照图15中 所示的规律写出1992应是图16中的( )二、填空题（每题1分，共10分） 1.a,b,c,d,e,f是六个有理数,关且a 1 b 1 c 1 d 1 e 1 f ? , ? , ? , ? , ? , 则 =_____. b 2 c 3 d 4 e 5 f 6 a2．若三个连续偶数的和等于1992．则这三个偶数中最大的一个与最小的一个的平方差等于______． 3．若x3+y3=1000，且x2y-xy2=-496，则(x3-y3)+(4xy2-2x2y)-2(xy2-y3)=______． b 4．三个互不相等的有理数，既可表示为1，a+b,a的形式,又可表示为0, ,b, 的形式,则 a a=________. 2 5．海滩上有一堆核桃．第一天猴子吃掉了这堆核桃的个数的 ,又扔掉4个到大海中去,第二天吃掉的核 5 5 桃数再加上3个就是第一天所剩核桃数的 ,那么这堆核桃至少剩下____个. 8 6．已知不等式3x-a≤0的正整数解恰是1，2，3．那么a的取值范围是______． 7． b， a， c是三个不同的自然数， 两两互质． 已知它们任意两个之和都能被第三个整除． 3+b3+c3=______． 则a 2 2 2 8．若a=1990，b=1991，c=1992，则a +b +c -ab-bc-ca=______． 9．将2，3，4，5，6，7，8，9，10，11这个10个自然数填 到图17中10个格子里，每 个格子中只填一个数，使得田字形的4个格子中所填数字 之和都等于p．则p的最大 值是______． 10．购买五种教学用具A1，A2，A3，A4，A5的件数和用钱总数 列成下表：那么，购买每种教具各一件共需______元． 三、解答题（每题5分，共10分） 1．将分别写有数码1，2，3，4，5，6，7，8，9的九张正方形卡片排成一排，发现恰是一个能被11整除 的最大的九位数．请你写出这九张卡片的排列顺序，并简述推理过程． 2．一个自然数a，若将其数字重新排列可得一个新的自然数b．如果a恰是b的3倍，我们称a是一个“希 望数”． (1)请你举例说明：“希望数”一定存在． (2)请你证明：如果a，b都是“希望数”，则ab一定是729的倍数． 答案与提示 一、选择题 1．A 2．B 3．A 提示： 4．B 5．C 6．B 7．B 8．C 9．C 10．D所以将8.119823的小数点向前移三位得0.，即为0.80473的值，选A． 2．设该数为a，由题意-a为a的相反数，且有a3＜-a， ∴a3+a＜0，a(a2+1)＜0， 因为a2+1＞0，所以a＜0,即该数一定是负数，选B． 3．已知a＞0，b＜0，a＜|b|．在数轴上直观表示出来，b到原点的距离大于a到原点的距离，如图18所 示．所以-b＞a＞-a＞b，选A． 4．由于两个整数a，b前面任意添加“+”号或“-”号，其代数和的奇偶性不变．这个性质对n个整数也 是正确的．因此， 1，2，3?，，的每一个数前面任意添上“+”号或“-”号，其代数和的奇偶性与 (-1)+2-3+4-5+6-7+8-?-6的奇偶性相同，是偶数，所以选B． 5．原来1991个数的平均数为m，则这个1991个数总和为m?1991．当m混入以后，那1992个数之和为m? 1991+m,其平均数是1992， ∴m=1992，选C． 6．在四个互不相等的正数a，b，c，d中，a最大，d最小，因此有a＞b，a＞c，a＞d，b＞d，c＞d．所以a+b＞b+c，成立，选B． 7．由方程组以及p为偶数，q为奇数，其解x，y又是整数． 由①可知x为偶数，由②可知y是奇数，选B． 8．由x-y=2 ① 平方得x2-2xy+y2=4 ② 又已知x2+y2=4 ③所以x，y中至少有一个为0，但x2+y2=4．因此，x，y中只能有一个为0，另一个为2或-2．无论哪种情况， 都有 1992 x +y+(±2)，选C． 9．设10x+y=a，又3x-2y=1，代入前式得由于x，y取0―9的整数，10x+y=a的a值取非负整数．由(*)式知，要a为非负整数，23x必为奇数，从而x 必取奇数1，3，5，7，9．三个奇数值，y相应地取1，4，7这三个值．这时，a=10x+y可以取到三个不同的值11，34和57，选C．二、填空题提示：与666，所以最大的一个偶数与最小的一个偶数的平方差等于 =(666+662)(666-662)=2． 3．由于x3+y3=1000，且x2y-xy2=-496，因此要把(x3-y3)+(4xy2-2x2y)-2(xy2-y3)分组、凑项表示为含x3+y3 及x2y-xy2的形式，以便代入求值，为此有 (x3-y3)+(4xy2-2x2y)-2(xy2-y3)=x3+y3+2xy2-2x2y=(x3+y3)-2(x2y-xy2)=6)=1992． 4．由于三个互不相等的有理数，既可表示为1，下，只能是b=1．于是a=-1． 所以，a=(-1)3=1+1=2． 5．设这堆核桃共x个．依题意我们以m表示这堆核桃所剩的数目（正整数），即目标是求m的最小正整数值．可知，必须20|x即x=20，40，60，80，??m为正整数，可见这堆核桃至少剩下6个．由于x取整数解1、2、3，表明x不小于3， 即9≤a＜12．可被第三个整除，应有b|a+c．∴b≥2，但b|2，只能是b=2． 于是c=1，a=3．因此a3+b3+c3=33+23+13=27+8+1=36． 8．因为a=1990，b=1991，c=1992，所以 a2+b2+c2-ab-bc-ca9．将2，3，4，5，6，7，8，9，10，11填入这10个格子中，按田字格4个数之和均等于p，其总和为3p， 其中居中2个格子所填之数设为x与y，则x、y均被加了两次，所以这3个田字形所填数的总和为 2+3+4+5+6+7+8+9+10+11+x+y=65+x+y 于是得3p=65+x+y． 要p最大，必须x，y最大，由于x+y≤10+11=21． 所以3p=65+x+y≤65+21=86．所以p取最大整数值应为28． 事实上，如图19所示可以填入这10个数使得p=28成立． 所以p的最大值是28． 10．设A1，A2，A3，A4，A5的单价分别为x1，x2，x3，x4，x5元． 则依题意列得关系式如下：③?2-④式得 x1+x2+x3+x4+x5=2?00． 所以购买每种教具各一件共需1000元． 三、解答题 1．解①（逻辑推理解） 我们知道，用1，2，3，4，5，6，7，8，9排成的最大九位数是．但这个数不是11倍的数，所 以应适当调整，寻求能被11整除的最大的由这九个数码组成的九位数． 设奇位数字之和为x，偶位数字之和为y． 则x+y=1+2+3+4+5+6+7+8+9=45． 由被11整除的判别法知 x-y=0，11，22，33或44． 但x+y与x-y奇偶性相同，而x+y=45是奇数，所以x-y也只能取奇数值11或33． 于是有但所排九位数偶位数字和最小为1+2+3+4=10＞6． 所以 （Ⅱ） 的解不合题意， 应该排除， 由此只能取x=28， y=17． 的奇位数字和为25，偶位数字和为20，所以必须调整数字，使奇位和增3，偶位和减3才行。 为此调整最后四位数码，排成即为所求． 解②（观察计算法） 被11除余5．因此，是被11整除而最接近的九位数．但并不是 由1，2，3，4，5，6，7，8，9排成的，其中少数字2，多数字6．于是我们由开始，每次减 去11，直到遇到恰由1，2，3，4，5，6，7，8，9九个数字组成的九位数为止．其过程是 →→→ →→→→ →→→→ →→??→→ →． 这其间要减去173次11，最后得出一个恰由九个数码组成的九位数，为所求，其最大性是显见 的，这个方法虽然操作173次，但算量不繁，尚属解决本题的一种可行途径，有一位参赛学生用到了 此法，所以我们整理出来供大家参考． 2．(1)答：由于?142857，所以428571是一个“希望数”． 说明： 一个自然数a， 若将其数字重新排列可得一个新的自然数b． 如果a恰是b的3倍， 我们称a是一个 “希 望数”．这实际上给出了“希望数”的定义。考察参赛学生阅读理解定义的能力，并能举例说明被定 义的对象存在．在一位数、二位数、三位数中找不到“希望数”．而在四位数中很容易找到实例． 如：5，所以3105是个“希望数”； 或：5，所以7425是个“希望数”； 或：?285714，所以857142是个“希望数”； 以下我们再列举几个同学们举的例子供参考，如：?=3?538=3?213=3?68=3??172=3?113724． 可见，7368，1172都是希 望数，事实上用3105是希望数，可知也是“希望数”，只要这样排下去，可以排出无穷多个 “希望数”．因此，“希望数”有无穷多个． (2)由a为“希望数”，依“希望数”定义知，存在一个由a的数字重新排列而成的自然数p，使得a=3p并 且a的数字和等于p的数字和． 由a=3p和a为3的倍数．因此a被9整除．于是a是27的倍数． 这样就证明了，“希望数”一定能被27整除． 现已知a，b都是“希望数”，所以a，b都是27的倍数． 即a=27n1，b=27n2（n1，n2为正整数）． 所以ab=(27n1)(27n2) =(27?27)(n1?n2) =729n1n2． 所以ab一定是729的倍数． 希望杯第四届（1993 年）初中一年级第一试试题 一、选择题:（每题1分，共15分） 1 2 3 4 5 1．若a是有理数,则 m ? ? ? ? ? 一定不是( ) a a a a a A．正整数． B．负整数．C．负分数． D．零． 2.-[-1993)]}的值等于 ( ) A．-1995． B．1991．C．1995． D．1993． 3．若a＜b，则(a-b)|a-b|等于 ( ) 2 2 2 2 2 A．(a-b) ． B．b -a ．C．a -b ． D．-(a-b)2． 1 4.若n是正整数,并且有理数a,b满足a+ =0,则必有( ) b?1? A.an+ ? ? =0; ?b?2n?1? B.a2n+ ? ? ?b?2 n ?1=0;?1? C.a2n+ ? ? =0; ?b?3n?1? D.a2n+1+ ? ? ?b?2 n ?1=0.1 1 ? =0,则下列说法中不正确的一个是( ) a b A． a与b的和是0． B．a与b的差是正数． C．a与b的积是负数． D．a除以b，得到的商是-1． 3 6.甲的6张卡片上分别写有-4,-1,-2.5,-0.01,-3 ,-15,乙的6张卡片上分别写有 4 1 -5,-1,0.1,-0.001,-8,-12 ,则乙的卡片上的最小数a与甲的卡片上的最大数b的 2 ( ) A．1250． B．0．C．0.1． D．800． 7．a是有理数，则在下列说法中正确的一个是 ( ) 2 2 A．-a是负数． B．a 是正数．C．-|a |是负数． D．(a-.001是正数． 190
? ? 8.的值等于( ) 930
1 A.-3; B.- ; C.-1; .D.- . 31 3 9．在下列条件中，能使ab＜b成立的是( ) A．b＞0，a＞0．B．b＜0，a＜0．C．b＞0，a＜0．D．b＜0，a=0．5.如果有理数a,b满足比a 的值等于 b? ?3.14 ? ? 2.14 ? ? 1.14 ? 10.若a= ? ? ? 3.12 ,b= ? ? ? 2.12 ,c= ? ? ? (?1.12) ,则a,b,c的大小关系是 ( ? 3.13 ? ? ?2.13 ? ? 1.13 ?)A．a＞b＞c． B．a＞c＞b．C．b＞c＞a． D．c＞b＞a． 11．有理数a、b小于零，并且使(a-b)3＜0，则 ( ) 1 1 A. ? ; B.-a&-b; C.丨a丨&丨b丨; D.a2&b4. a b 12．M表示a与b的和的平方，N表示a与b的平方的和，则当a=7，b=-5时，M-N的值为 ( A．-28． B．70．C．42． D．0． 1 11 13.有理数 , ,8恰是下列三个方程的根: 2 5)x z 1? 1 2 x ? 1 10 x ? 1 2 x ? 1 ? 2 ? ? ? 1 ,3(2y+1)=2(1+y)+3(y+3), ? z ? ( z ? 1) ? ? ( z ? 1) ,则 ? 的值为 ( y x 2? 2 3 12 4 ? 3171 347 71 142 ; B.; C. ; D. . 80 55 40 220 14．图22是中国古代著名的“杨辉三角形”的示意图．图中填入的所有数的总和等于( A．126． B．127．C．128． D．129． 15．在自然数：1，2，3，4，5，?中，前15个质数之和的负倒数等于( ) 1 1 1 1 A.; B.; C.; D.. 328 329 337 340 二、填空题（每题1分，共15分） 1．若a＞0，在-a与a之间恰有1993个整数，则a的取值范围是______． 2．如果相邻的两个正整数的平方差等于999，则这两个正整数的积等于______．)A.-)3.(?1)(?2) ? (?3)(?4) ? (?5)(?6) ? (?7)(?8) =_________. (?1)(?2) ? (?2)(?3) ? (?3)(?4) ? (?4)(?5)4．一辆公共汽车由起点站到终点站（这两站在内）共途经8个车站。已知前6个车站共上车100人，除终 点站外前面各站共下车80人，则从前6站上车而在终点站下车的乘客共有______．5．(32-22)2+(42-32)2+(52-42)2+(62-52)2=______． 6．在多项式1993umvn+3xmyn+u3mv2n-4xn-1y2m-4（其中m，n为正整数）中，恰有两项是同类项，则m?n=______． 7．若a，b，c，d为整数，(a2+b2)(c2+d2)=1993，则a2+b2+c2+d2=______．1 ?1 ?1 ? 1 ? ? ? 8.方程 ? ? ? x ? 1? ? 1? ? 1? ? 1 ? 1993 的根是x=____________. 2 ?2 ?2 ? 2 ? ? ?? 19 ? ? 9393 ? 9.(-1)÷ ? ? ? ? ? ? ? =______. ? 93 ? ? 1919 ?10．甲、乙两个火车站相距189公里，一列快车和一列慢车分别从甲、乙两个车站同时出发，相向而行， 经过1.5小时，两车相遇，又相距21公里，若快车比慢车每小时多行12公里，则慢车每小时行______ 公里． 11．在等式y=kx+b中，当x=0时，y=2；当x=3时,y=3,则 12.满足不等式b2 =______. k2 ? x 2x ? 1 ? 的所有非负整数的乘积等于_______. 2 313.有理数a,b,c,d使abcd abcd=-1,则a a?b b?c c?d d的最大值是_______.14．△ABC是等边三角形，表示其边长的代数式均已在? x2 ? y2 图23中标出,则 ? 2 2 ? x ? 2y ? 27 ? ? 1 =_________. ? 4015．有人问一位老师：他教的班有多少学生．老师说：“一半学生在学数学，四分之一的学生在学音乐， 七分之一的学生在念外语，还剩不足六位学生正在操场踢足球．”则这个“特长班”共有学生______ 人． 答案与提示 一、选择题 1．D 2．C 3．D 4．D 5．B 6．A 7．D 8．B 9．C 10．A 11．C 12．A 13．B 1 4．B 15．A 提示：若a=1，m=3排除A，若a=-1，m=-3排除B．= =+[1993-(-1)]=1+，选C． 3．因a＜b所以a-b＜0，此时|a-b|=b-a． 所以(a-b)|a-b|=(a-b)(b-a)=-(a-b)(a-b)=-(a-b)2，选D．的是B．7．当a=0，显然A，B，C，均不正确，应排除，所以选D．事确上，对任意有理数a，都有(a-， 所以(a-.001＞0是正数．9．b=1＞0，a=2＞0，ab=2?1=2＞1=b，排除A；a＜0，b＜0，ab＞0＞b，排除B；a=0，b＜0，ab=0＞b 排除D，因此选择C． 10．容易看出a，b，c均为负数，我们看|a|，11．由(a-b)3＜0，得出a-b＜0．即a＜b． ∵a，b＜0，∴|a|＜|b|，选C． 12．M=(a+b)2，N=a+b2． M-N=(a+b)2-(a+b2)=a2+2ab+b2-a-b2=a2+2ab-a．14．第1行只有1=20，第2行1+1=2=21， 第3行1+2+1=4=22，第4行1+3+3+1=8=23， 第5行1+4+6+4+1=16=24， 第6行1+5+10+10+5+1=32=25 第7行1+6+15+20+15+6+1=64=26． 图中填入所有数之和为1+2+4+8+16+32+64=127，选B． 二、填空题提示： 1．在-a与a之间的整数为2n+1个．所以由2n+1=1993知，n=996，即996≤a＜997． 2．相邻的两个正整数设为n与n+1，则由(n+1)2-n2=2n+1=999得n=499，n+1=500． 相邻的两个正整数的积为499?500=249500．4．设第1站到第7站上车的乘客依次为a1，a2，a3，a4，a5，a6，a7．第2站到第8站下车的乘客依次为b2， b3，b4，b5，b6，b7，b8显然应有a1+a2+a3+a4+a5+a6+a7=b2+b3+b4+b5+b6+b7+b8． 已知a1+a2+a3+a4+a5+a6=100，b2+b3+b4+b5+b6+b7=80．表明从前6站上车而在终点站下车的乘客共20人． 5．原式=52+72+92+112=276． 6．若1993umvn与u3mv2n为同类项．只能m=0且n=0．与已知条件不合，所以只能3xmyn与-4xn-1y2m-4为同类项．于 是得m=n-1，n=2m-4．解得m=5，n=6，所以mn=30． 7．由于1993是质数，a2+b2，c2+d2是1993的约数，只能a2+b2=1，c2+d2=1993，或a2+b2=1993，c2+d2=1，所 以a2+b2+c2+d2=1+．所有非负整数解的积=0．14．由2x-8=x+6，解得x=14．所以正三角形边长为14+6=20． 由3y+2=20，解得y=6，所以15．设这个班共有学生x人．在操场踢足球的学生共a人，依条件，x，a都是自然数，且1≤a＜6． 根据题意列方程如下： 合并同类项，移项得 因为a，x均为自然数，(3，28)=1所以3|a． 但a只能取1，2，3，4，5这五个数，所以a=3．因此x=28． 答：这个班共有28名学生．希望杯第四届（1993 年）初中一年级第二试试题 一、 选择题:（每题1分，共10分） 1 1 1 1 ? ? ? 1. 的值是 ( ) 0.1 0.01 0.001 0.0001 A．-11110． B．-11101．C．-11090． D．-11909． 2．一滴墨水洒在一个数轴上，根据图24中标出 的数值， 可以判定墨迹盖 住的整数个数是( ) A．285． B．286．C．287． D．288． 3． b都是有理数， a， 代数式a2+b2， 2-b2， a (a-b)2， 2 2 2 3 2 2 2 (a+b) ，a b +1，a b+1，a +b +0.1，2a +3b4+1中，其值为正的共有( ) A．3个． B．4个．C．5个． D．6个． 4．a，b，c在数轴上的位置如图25所示,则下列代数式中其值为正的一个是 ( )1? ? A. ? a ? ? (a ? c) ; b? ? ?1 1? B. ? ? ? (c ? a) ; ?b c?C.(1-a)(c-b);D.ac(1-bc).5．的末位数字是 ( ) A．2． B．4． C．6． D．8． 6．今天是4月18日，是星期日，从今天算起第19933天之后的那一天是 ( ) A．星期五． B．星期六．C．星期日． D．星期一． 7．n为正整数，302被n(n+1)除所得商数q及余数r都是正值．则r的最大值与最小值的和是 ( ) A．148． B．247．C．93． D．122． 8．绝对值小于100的所有被3除余1的整数之和等于 ( ) A．0． B．-32．C．33． D．-33． 9．x是正数，&x&表示不超过x的质数的个数，如&5.1&=3．即不超过5.1的质数有2，3，5共3个．那么 &&19&+&93&+&4&?&1&?&8&&的值是( ) A．12． B．11．C．10． D．9． 10．如图26是一个长为a，宽为b的矩形．两个阴影图形都是一对长为c的底边在矩形对边上的平行四边 形．则矩形中未涂阴影部分的面积为( ) A.ab-(a+b)c．B．ab-(a-b)c． C．(a-c)(b-c)．D．(a-c)(b+c)． 二、填空题（每题1分，共10分） 1 1．在1993.4与它的负倒数之间共有a个整数．在1993.4与它的相反数之间共有b个整数,在与它 1993.4 的绝对值之间共有c个整数,则a+b+c=_________. 2．设a=1÷2÷3÷4，b=1÷(2÷3÷4)，c=1÷(2÷3)÷4，d=1÷2÷(3÷4)，则(b÷a)÷(c÷d)=______． 3．两个同样的大小的正方体形状的积木．每个正方形上相对的两个面上写的数之和都v 等于-1，现将 两个正方体并列放置．看得见的五个面上的数字如图27所示，则看不见的七个面上的数的和等于 ______．? 7 ?? 7 ?? 7 ?? 7 ?? 7 ?? 7 ? ? 7 ?? 7 ?? 7 ? ?1 ? ??1 ? ??1 ? ??1 ? ??1 ? ??1 ? ? ?1 ? ??1 ? ??1 ? ? ? 1 ?? 2 ?? 3 ?? 4 ?? 5 ?? 6 ? ? ? 7 ?? 8 ?? 9 ? 4．计算: ? 9 ?? 9 ?? 9 ?? 9 ?? 9 ? ? 9 ?? 9 ? ?1 ? ??1 ? ??1 ? ??1 ? ??1 ? ? ?1 ? ??1 ? ? ? 1 ?? 2 ?? 3 ?? 4 ?? 5 ? ? 6 ?? 7 ?=__________. 5. abcde 是一个五位自然数,其中a,b,c,d， e为阿拉伯数码， 且a＜b＜c＜d， 则|a-b|+|b-c|+|c-d|+|d-e| 的最大值是______． 6．连续的1993个自然数之和恰是一个完全平方数．则这1993个连续自然数中最大的那个数的最小值是 ______． 7．某次竞赛满分为100分，有六个学生的得分彼此不等，依次按高分到低分排列名次．他们六个人的平 均分为91分，第六名的得分是65分．则第三名的得分至少是______分． 8.计算: =________.
? 29．若a，b，c，d为非负整数．且(a2+b2)(c2+d2)=1993．则a+b+c+d=______． 10．有甲、乙、丙、丁四位同学去林中采蘑菇．平均每个采得蘑菇的个数约是一个十位数字为3的两位 4 3 数,又知甲采的数量是乙的 ,乙采的数量是丙的 倍,丁比甲多采了3个蘑菇,则丁采蘑菇______ 个. 5 2 三、解答题（在试卷背面写出推理、运算的过程及最后结果．每题5分，共10分） 1．如图28，十三个边长为正整数的正方形纸片恰好拼成一个大矩形（其中有三个小正方形的边长已标 出字母x，y，z）．试求满足上述条件的矩形的面积最小值．2．你能找到三个整数a，b，c，使得关系式(a+b+c)(a-b-c)(a-b+c)(b+c-a)=3388成立吗？如果能找到， 请举一例，如果找不到，请说明理由． 答案与提示 一、选择题 1．C 2．C 3．A 4．A 5．C 6．B 7．A 8．D 9．B 10．C 提示： =10-100-=-11090．选C． 2． 在-109.2与-11.9之间最小整数是-109， 最大整数是-12． 共计包含(-12)-(-109)+1=98个整数． 在10.5 与199.5之间包含最小整数是11，最大整数是199．共计包含199-11+1=189个整数．因此墨水共盖住 98+189=287个整数．选C． 3．当a=b=0时，a2+b2，a2-b2，(a-b)2，(a+b)2取值为0，而当a=-1，b=1时a3b+1=0．因此对任意有理数a， b其值为正的只有a2b2+1，a2+b2+0.1，2a2+3b4+1，共3个选A．ac(1-bc)＜0，所以选A． 5．+1，+3 所以的末位数相同是9、末位数字相同是7．因此末位数字是9+7=16的末位数字 6，选C．6．1+5)3=(284?7)3+3?(287?7)2?5+3(287?7)?52+125． 所以19933被7除的余数与125被7除的余数相同，125=7?7+6．所以19933被7除余数为6．从4月18日星期 日数起，每到第十天就是星期六，如4月24日是星期六，因此19933-6恰是星期六，再往后数6天，19933 天是星期五．而19933天之后的那一天应是星期六，选B． 7．n(n+1)为偶数．设302被n(n+1)除商q余r，则302=n(n+1)q+r知，r为偶数．显然B、C均应排除．由除 数n(n+1)只能取6，12，20，30，42，56，72，90，110，132，156，182，210，240，272这些值，计 算得相应的余数中最小的正值为2，最大正值为146．所以r的正的最小值与最大值的和是148．选A． 8．即求-100与100之间被3除余1的整数之和，在0到100之间被3除余1的整数是1，4，7，?91，94，97 共计33个．在-100到0之间被3除余1的整数是-98，-95，-92，-89，?-8，-5，-2．共33个其总和为 -33．选D． 9．&19&为不超过19的质数，有2，3，5，7，11，13，17，19共8个．&93&为不超过93的质数，共24个， 易知&1&=0．所以&&19&+&93&+&4&?&1&?&8&&=&&19&+&93&&=&8+24&=&32&=11，选B． 10．解①大矩形面积为ab，两个阴影平行四边形面积分别为ac与bc．重叠部分面积为c2，所以未涂阴影 部分面积为ab-ac-bc+c2=(a-c)(b-c)，选C． 解②将阴影部分等积变形如图29，两个阴影平行四边形面积及二者重叠部分面积(c2)均未改变．易见， 未涂阴影部分面积为空白矩形的面积，是(a-c)(b-c)，选C． 二、填空题提示：1994个整数，a=1994。在1993.4与它的相反数-1993.4之间有2?7个整数，2．3．由于正方体上相对两个面上写的数之和都等于-1．所以每个正方体六个面上写的数之和等于-3．两 个正方体共十二面上写的数之总和等于-6．而五个看得见的面上的数之和是1+2+3+4+5=15．因此，看 不见的七个面上所写数的和等于 (-6)-15=-21．5．若a＜b＜c＜d≤e时 |a-b|+|b-c|+|c-d|+|d-e|=(b-a)+(c-b)+(d-c)+(e-d)=e-a．当e=9，a=1时取最大值为8． 若a＜b＜c＜d，且d＞e时． |a-b|+|b-c|+|c-d|+|d-e|=(b-a)+(c-b)+(d-c)+(d-e)=2d-a-e．当d=9，a=1，e=0时，取最大值17．所 以|a-b|+|b-c|+|c-d|+|d-e|的最大值是17． 6．设这连续的1993个自然数为 x-996，x-995，?，x-1，x，x+1，x+2，?，x+995，x+996．显然．x-996≥1，即x≥997．这1993个连 续自然数之和设为σ ． 则σ =1993x，要求σ 为完全平方数，而1993又是质数，x的最小值为1993．此时，1993个连续自然数中 最大的那个数x+996=9，即当σ 为完全平方数时，1993个连续自然数中最大的那个数的 最小值是2989． 7．设六个人的成绩依次为x1，x2，x3，x4，x5，x6．则65=x6＜x5＜x4＜x3＜x2＜x1≤100．∴x1+x2+x3+x4+x5=546-65=481． 要使x3最小，必须x1，x2尽可能大，x4，x5尽可能接近x3，所以当x1=100，x2=99，x4=x3-1，x5=x3-2时，x3 取最小值，即100+99+x3+(x3-1)+(x3-2)=481． 3x3=481-100-99+3=285．x3=95． 答：第三名的得分至少是95分．9．因为1993是质数，a2+b2与c2+d2都是正整数，所以a2+b2与c2+d2分别取值1与1993（参见第一试填空第7 题解答）．为确定起见；，不妨设a2+b2=1，c2+d2=1993． (1)a2+b2=1．推知a＝0，b=1或a=1，b=0，因此a+b=1． (2)c2+d2=1993． 若c≤31，d≤31，则c2+d2≤2?312=2?961=．所以c，d中至少有一个大于31．又由于442=1936 ＜1993，故设c为c，d中较大的一个，则32≤c≤44． 我们依次取c=44，43，42，41，?，33，32试算如下：其中1933-c2的结果中，只有144=122为完全平方数，即432+122=1993，所以c=43，d=12或c=12，d=43．因此，c+d=55． 所以a+b+c+d=1+55=66．一个近似为首位的是3的两位整数．因此，由近似数的表示有23.5?≤x≤31.5? 因x是整数，x只能从24，25，26，27，28，29，30，31中选取．因此只能有x=30，即丙采30个蘑菇． 此时，乙采45个蘑菇，甲采36个蘑菇，因此丁采39个蘑菇． 舍五入，约为38是个十位数是3的两位数． 三、解答题 1．如图30已有三个小正方形的边长为x，y，z，我们通过x，y，z表示其余正方形的边长依次填在每个 正方形中，它们是x+y，x+2y，x+3y，4y，x+7y，2x+y，2x+y+z，4x+4y-z，4x+4y-2x，及5x-2y+z．因 矩形对边相等。所以得11x+3y=7x+16y-z及8x+8y-3z=6x+5y+z 化简上述的两个方程得到z=13y-4x，4z=2x+3y．消去z得18x=49y． 因为18与49互质，所以x、y的最小自然数解是x=49，y=18，此时z=38． 以x=49，y=18，z=38代入矩形长、宽的表达式11x+3y及8x+8y-3z，得长、宽分别为593和422．此时得最 小面积值是593?422=250246． 2．答：找不到满足条件的三个整数理由如下： 如果存在整数a，b，c，使(a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)=3388成立． 因为3388是偶数，则左边四个因子中至少有一个是偶数． 不妨设a+b+c为偶数,则a-b+c=(a+b+c)-2b为偶数． 同理a+b-c=(a+b+c)-2c为偶数．b+c-a=(a+b+c)-2a为偶数． 因此(a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)能被16整除，而3388不能被16整除，得出矛盾． 故不存在三个整数a，b，c满足关系式 (a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)=3388． 希望杯第五届（1994 年）初中一年级第一试试题 一、选择题（每题3分，共30分）以下每题的四个结论中，仅有一个是正确的．1．-│-a│是 ( ) A．正数 B．负数. C．非正数 D．0. 2．在下面的数轴上(图1)，表示数(?2)?(?5)的点是( A．M B．N. C．P D．Q 3.1? 9 ? 9 ? 4 1? 9 ? 9 ? 4)的值的负倒数是( C.1; D.-1.)1 A.4 ; 3B.-3 ; 13? 3 1? ? 4 1? ?5 1? ?6 1? ?7 1? ?8 1 ? 4. ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? =( ? 4 5 ? ? 5 6 ? ? 6 7 ? ? 7 8 ? ? 8 9 ? ? 9 10 ?)A．5.5 B．5.65. C．6.05 D．5.85 5．-4?32-(-4?3)2=( ) A．0 B．72. C.180 D．108 4 1 6. x的 与 的差是( ) 5 3 4 1 4 1 4 1 5 A. x ? B. x ? ; C. ( x ? ) ; D. x ? 3 . 5 3 5 3 5 3 4 7．n是整数，那么被3整除并且商恰为n的那个数是( ) n A. ; B.n+3; C.3n; D.n3. 3 8．如果x∶y=3∶2并且x+3y=27，则x，y中较小的是( ) A．3 B．6. C．9 D．12 1 9. 200角的余角的 等于( ) 14? 3? ? 3? ? 6? A. ?1 ? ; B. ?11 ? ; C. ? 7 ? ; D.50. ? 7? ? 7? ? 7?10.1 ? 1? ? (?7) ? ? ? ? ? 7 =( 7 ? 7?000)A．1 B．49. C．7 D．7 二、A组填空题（每题3分，共30分） 1．绝对值比2大并且比6小的整数共有______个． 2．在一次英语考试中，某八位同学的成绩分别是93,99,89,91,87,81,100,95，则他们的平均分数是 ______． 3．| | | ||-|-1996|=______． 4．数：-1.1,-1.01,-1.001,-1.01中最大的一个数与最小的一个数的比值是______． 5.1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? =________. 02 006． 在自然数中， 从小到大地数， 第15个质数是N,N的数字和是a， 数字积是b,则a 2 ? b2 的值是__________. N7．一年定期储蓄存款，月利率是0.945%．现在存入100元，则明年的今日可取得本金与利息共______元．8．若方程19x-a=0的根为19-a，则a=______． 9.当丨x丨=x+2时,19x94+3x+27的值是__________. 10．下面有一个加法竖式，其中每个□盖着一个数码，则被□盖住的七个数码之和等于______． 三、B组填空题（每题4分，共40分） 1．已知a,b是互为相反数，c,d是互为负倒数，x的绝对值等于它的相反数的2倍，则x3+abcdx+a-bcd的值 是______． 2．4-3=___．按上表中的要求,填在空格中的十个数的乘积是_______． 4．在数码两两不等的所有的五位数中，最大的减去最小的，所得的差是______． 5．已知N=94+95+96+97，则N的末位数 字是______． 6．要将含盐15%的盐水20千克，变为含盐20%的盐水，需要加入纯盐______千克． 7．一次考试共需做20个小题,做对一个得8分，做错一个减5分， 不做的得0分．某学生共得13分．那么这个学生没有做的题目有______个． 8．如图2．将面积为a2的小正方形与面积为b2的大正 方形放在一起(a＞0,b＞0)．则三角形ABC的面积是_______． 9．在1到100这一百个自然数中任取其中的n个数．要使这几个数中至少有一个合数，则n至少是______． 10．如图3，是某个公园ABCDEF，M为AB的中点，N为CD的中点， P为DE的中点，Q为FA的中点，其中游览区APEQ与BNDM的面积和 是900平方米，中间的湖水面积为361平方米，其余的部分是草地， 则草地的总面积是______平方米． 答案?提示 一、选择题 提示 1．若a=0,则?-│-a│=0,排除(A),(B)． 若a≠0,-│-a│≠0,排除(D)． 事实上对任意a，|-a|≥0,∴-|-a|≤0．即-|-a|为非正数． 2．(-2)-(-5)=-2+5=3．在数轴上对应的是点P．5．原式=-4?9-(-4?3)?(-4?3)=-36? (-12)?(-12)=-36-144=-180．7．被3整除的商恰好为n的数是3n． 8．由x∶y=3∶2得x=1.5y,代入x+3y=27得4.5y=27,于是y=6,x=9,所以x,y中较小的那个数是6．二、A组填空题 提示： 1．绝对值比2大而比6小的整数共有?-5,-4,-3,3,4,5共6个．3．||=1,|||-． ||||-|=||=2． ∴|||||-|-1996|=|2-． 4．数?-1.1,-1.01,-1.001,-1.01中最6．在自然数列中,质数由小到大依次排列是2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,??,第15个 质数N=47,其数字和a=11,数字积b=28,所以7．本金100元,一年的利息是100?0.945%?12=11.34元 一年到期取的本金与利息之和是111.34元． 8．因为19-a是方程19x-a=0的根,所以19-a满足方程19x-a=0,即19(19-a)=0,解得a=18.05． 9．由|x|=x+2,显然|x|≠x,只能|x|=-x． 得?-x=x+2,于是x=-1． 当x=-1时, 19x94+3x+27|x=?1=19(-1)94+3(-1)+27=19-3+27=43． 10．显然，加数的百位数码都是9，千位数码也都是9，个位数码之和是14，和的千位数码是1，所以被 □盖住的数字之和等于1+9+9+9+9+14=51． 三、B组填空题 提示： 1．a,b互为相反数,所以a+b=0,c、d互为负倒数,所以cd=-1．x的绝对值等于它的相反数的2倍,可得x=0． ∴x3+abcdx+a-bcd=0+0+a-b(cd)=a+b=0． 2．4-3 =001-001 =?() =?=-所以按表中要求填入的十个数之积是五个-1相乘，其积为-1． 4．在五个数码两两彼此不等的五位数中，最大的一个是98765，最小的一个是10234，它们的差是 =88531． 5．94的末位数字与2?3?4的末位数字相同,等于4．容易看出其余三个乘式中每一个都 有因子2和因子5,所以95,96,97的末位数字都是0．所 以N的末位数字是4． 6．20千克盐水中含纯盐20?15%千克,设加入x千克的纯盐后盐水浓度变为20%,则 20?15%+x=(20+x)?20%解得：x=1.25（千克）． 7．设该生做对x个题,做错y个题,没做的是z个题,则x+y+z=20,z=20-(x+y)=13+13y=13(1+y) 又8x-5y=13 ∴8(x+y)=8x+8y=13+13y=13(1+y) ∵(13,8)=1,∴13|(x+y)．又0＜x+y≤20 ∴x+y=13,z=20-13=7． 8．延长大、小正方形的边交成一个矩形（图4），其面积为(a+b)?b，△ABC的面积等于这个矩形面积 减去外围三个直角三角形的面积，即9．在1?100这100个自然数中，容易数出来共有25个质数，不有1既不是质数也不是合数，所以，在最坏 的情况下，拿到这26个非合数之后，只要拿一个数，必然会出现一个合数，因此要保证多少取出一个 合数，必须至少取27个数，所以n至少是27． 10．连接AD、AE、DB（图5）． 根据一个三角形的中线平分这个三角形的面积,可知： △EQA面积=△EQF面积 △AEP面积=△ADP面积 △DBM面积=△DAM面积 △BND面积=△BNC面积 上述四个等式相加,可知:游览区APEQ与BNDM的面积之和恰等于△EQF、 △BNC， 四边形APDM的面积之和． 因 此，草地和湖水的面积之和恰为900平方米，其中湖水面积为361平方米，所以草地面积是900?361=539 平方米．希望杯第五届（1994 年）初中一年级第二试试题 一、选择题:（每题4分，共40分） 1．若a＜0,b＞0,且|a|＜|b|,则a+b= [ ] A．|b|-|a| B．-|a|-|b| C．|a|-|b| D．|a|+|b| 22 355 268 ,3.1416, 2.在数 , 中,最小的一个数是[ ] 7 113 85A.22 ; 7B.355 ; 113C.268 ; 85D.3.1416.1 ,-a,c-b,c+a中,最大的一个是[ a3．a,b,c在数轴上的位置如图6．则在A.-a; B.c-b; C.c+a; D.-]1 . a 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7 1993 ? 1994 ? 1995 ? 1996 ? 1997 ? 4.若 ,则N=[ ] 5 N A．1991 B．1993. C．1995 D．1997 5．a,b在数轴上的位置如图7． 则在a+b,b-2a,|a-b|,|b|-|a|中负数的个数是 [ ] A．1 B．2. C．3 D．4 6．如果等式96+-□成立,则□中应当填的数是 A．5. B．-980 C．-1990 D．-2980[] [ ] ]7．据报道目前用超级计算机找到的最大质数是,这个质数的末尾数字是A．1 B．3. C．7 D．9 8．在-0.1428中用数字3替换其中一个非0数码后,使所得的数最大,则替换的数字是 [ A．1 B．4. C．2 D．8 9．当-1＜a＜0时,则有 [ ] 1 A. &a; B.丨a3丨&a3; C.-a&a2; D.a3&-a2. a 10．有如下三个结论： 甲：a,b,c中至少有两个互为相反数，则a+b+c=0． 乙：a,b,c中至少有两个互为相反数，则(a+b)2+(b+c)2+(c-a)2=0．丙：a,b,c中至少有两个互为相反数，则(a+b)(b+c)(c+a)=0． 其中正确结论的个数是 [ ] A．0 .B．1. C．2. D．3 二、填空题:（每题4分，共40分） 1．图8中,以点A,B,C,D,E,O为端点的线段有______条． 2．在1,2,3?,N这前N个自然数中,共有p个质数,q个合数,m个奇数,n个偶数,则(p-m)+(q-n)=______． 4.一个六位数 2abcde 的3倍等于 abcde9 ,则这个六位数是_______________. 5．某缝纫师做成一件衬衣、一条裤子、一件上衣所用的时间之比为1∶2∶3．他用十个工时能做成2 件衬衣、3条裤子和4件上衣．那么他要做成14件衬衣、10条裤子和2件上衣，共需______工时． 6．若p,q都是质数,以x为未知数的方程px+5q=97的根是1,则p2-q=______． 7．n是自然数,我们称n的非0数字的乘积为n的“指标数”，如1的指标数是1，27的指标数是14，40 的指标数为4，则1～99这九十九个自然数的指标数的和是______． 8．在等式y=ax2+bx+c中,当x=1时,y=-2,当x=-1时,y=20,则ab+bc+9b2=______． 9．我们用&x&表示不超过正数x的质数的个数,如&3.1&=2,&7&=4等等．那么式子&&48&? &6.7&-&10.1&&=______． 10．电子跳蚤落在数轴上的某点k0,第一步从k0向左跳1个单位到k1,第二步由k1向右跳2个单位到k2,第三步由k向左跳3个单位到k3,第四步由k3向右跳4个单位到k4,?,按以上规律跳了100步时， 电子 跳蚤落在数轴上的点k100所表示的数恰是19.94．则电子跳蚤的初始位置k0点所表示的数是 ______． 三、解答题:（每题10分，满分20分） 1．在矩形ABCD中,放入六个形状、大小相同的长方形，所标尺寸如图9所示． 试求图中阴影部分的总面积(写出分步求解的简明过程)2．(1)现有一个19°的“模板”（图10），请你设计一种办法，只用这个“模板”和铅笔在纸上画 出1°的角来． (2)现有一个17°的“模板”与铅笔，你能否在纸上面画出一个1°的角来？ (3)用一个21°的“模板”与铅笔，你能否在纸上画出一个1°的角来？ 对(2)、(3)两问，如果能，请你简述画法步骤，如果不能，请你说明理由．答案?提示 一、选择题 提示： 1．依有理数加法法则知,选(A)．3．由图6可见,-1＜a＜0,0＜b＜c＜1． ∴-1＜c+a＜1．又c-b＜1-0=1．5．由图7可见,a＜0,b＞0,|a|＞|b|． ∴a+b＜0,b-2a＞0,|a-b|＞0,|b|-|a|＜0．选(B)． 6．设□的数是x,则96+-x,即-x∴x==-2980．选(D)． 7．2n的末位数字对指数以4为周期而变化,21=2,22=4,23=8,24末位数是6．一般地24k+1末位数字为 2,24k+2末位数字为4,24k+3末位数字为8,24k+4末位数字是6(其中k是非负整数)． 858?4+1,? ∴2859433末位数字为2． ∴末位数字为1．选(A)． 8．实际上是比较-0.)、-)、-0.)、-0.)哪个最大，即比 较0.8、0.3哪个最小．易知0.1328最小．所以在-0.1428中用数字3换4， 所得之数最大．选(B)．10．比如选a=5,b=-5,c=3,5,-5,3至少有两个互为相反数,但5+(-5)+3=3≠0．知(甲)不 真．[5+(-5)]2+(-5+3)2+(3-5)2=8≠0知(乙)不真．a,b,c三数中至少有两个互为相反数，比如至 少a,b互为相反数，即a+b=0,则有(a+b)(b+c)(c+a)=0，(丙)真．所以(甲)、(乙)、(丙)中只有丙 是真命题．选(B)． 二、填空题 提示： 1．共有13条不同的线段,AB,AC,BC,AE,EC,CD,BD,BO,OE,BE,AO,AD,OD． 2．p+q=N-1,m+n=N．则(p-m)+(q-n)=p-m+q-n=(p+q)-(m+n)=(N-1)-N=-1． 3．因为个位是23个3的和23?3=69的末位数是9，向十位进6． 十位是22个3之和22?3=66，再加上个位进上来的6，得72，所以十位数是2，向百位进7． 百位是21个3之和21?3=63，再加上十位进上来的7，得70，所以百位数是0，向千位进7．千位数是 20?3=60，再加上百位进上来的7，得67，所以千位数字为7． 所得四位数是7029．这个六位数是285713． 5．设缝纫师做一件衬衣的时间为x，则一条裤子的时间为2x，做一件上衣用时为3x． 由于十个工时完成2件衬衣、3条裤子、4件上衣，即2x+3?(2x)+4?(3x)=10(工时)． 即20x=10(工时)，则完成2件上衣、10条裤子、14件衬衣共需： 2?(3x)+10?(2x)+14x=40x=20(工时)6．因为1为方程px+5q=97的根，所以p+5q=97．p与5q必有一个是奇数，另一个是偶数． 若p为奇数，5q为偶数，只能q为偶质数2，此时p=97-5?2=87=3?29，与p为质数的条件不符．所以 只能p为偶质数2，5q=95，q=19． ∴p2-q=4-19=-15． 7．1～9的指标数之和为1+2+3+4+5+6+7+8+9=45 10～19的指标数之和为1+1+2+3+4+5+6+7+8+9=46 20～29的指标数之和为2?(1+1+2+3+4+5+6+7+8+9)=2?46 30～39的指标数之和为3?(1+1+2+3+4+5+6+7+8+9)=3?46 40～49的指标数之和为4?(1+1+2+3+4+5+6+7+8+9)=4?46 50～59的指标数之和为5?(1+1+2+3+4+5+6+7+8+9)=5?46 60～69的指标数之和为6?(1+1+2+3+4+5+6+7+8+9)=6?46 70～79的指标数之和为7?(1+1+2+3+4+5+6+7+8+9)=7?46 80～89的指标数之和为8?(1+1+2+3+4+5+6+7+8+9)=8?46 90～99的指标数之和为9?(1+1+2+3+4+5+6+7+8+9)=9?46 所以1～99的指标数之和为45+(1+2+3+4+5+6+7+8+9)?46=45?47=2115 8．以x=1,y=-2代入y=a2+bx+c得a+b+c=-2 以x=-1,y=20代入y=ax2+bx+c得a-b+c=20 ① ②①-②,2b=-22，所以b=-11．因此a+c=9．于是 ab+bc+9b2=b(a+c)+9b2=(-11)?(9)+9?112=990． 9．由定义知,&48&=15,&6.7&=3,&10.1&=4． ∴&&48&?&6.7&-&10.1&&=&15?3-4&=&41&=13． 10．设k0点所对应的数为x,则 (x-1)+2-3+4-5+6-，?，-99+100=19.94即x+50=19.94 ∴x=-30.06． 三、解答题 1．解：设小长方形的长为x，宽为y，依图11可见， x+3y=14 ① x+y-2y=6,即x-y=6 ② ①-②得4y=8，y=2，代入②得x=8． 因此，大矩形ABCD的宽AD=6+2y=6+2?2=10． 矩形ABCD面积=14?10=140(平方厘米)． 阴影部分总面积=140-6?2?8=44(平方厘米)． 2．解：(1)在平面上取一点O，过O点画一条直线AOB，以19°模板顶点与O重合，一边与OB射线重合， 另一边落在射线OB1，仍以O为顶点，角一边重合于OB1，另一边落在射线OB2，?，这样做出19个 19°的角，其总和为361°，∠BOB19就是1°角． (2)利用17°角的模板，要画出1°的角，关键在于找到整数m和n，使得17?m-180?n=1． 事实上17?53-180?5=901-900=1．所以做法如下： 在平面上任取一点O，过O点画直线AOB，以OB为始边、O为顶点，反时针方向依次画53个17°的角， 设最后的终边为OB53，而5?180°的终边在OA射线，这时∠AOB53即为1°的角．(3)若用21°的模板可以画出1°的角，则存在整数m，n，使得21°?m-180°?n=1°希望杯第六届（1995 年）初中一年级第一试试题 一、选择题: 95 1.有理数的值一定不是[ ] a ? 19 A．19． B．-19．C．0． D．1． 1 2.方程1-19x= 的根是[ ] 19 18 1 1 A.0; B. ; C. ; D. . 361 19 361 3．若a＜0，则下列结论中不成立的是 [] D．a3=-│a3│． ]A．a2=(-a)2． B．a3=(-a)3． C．a2=│a2│．4．下面的数轴上(图1)，表示(-5)÷│-2│的值的点是 [ A．P． B．Q． C．M． D．N．5．如果由四舍五入得到的近似数是35，那么在下列各数中不可能是真值的数是[ ] A．34.49． B．34.51．C．34.99． D．35.01． 6．如果a、b均为有理数，且b＜0，则a，a-b，a+b的大小关系是 [ ] A．a＜a+b＜a-b．B．a＜a-b＜a+b．C．a+b＜a＜a-b．D．a-b＜a+b＜a． 7．如图2，∠AOB=180°，OD是∠COB的平分线，OE是∠AOC的平分线，设∠DOB=a，则与a的余角相等 的角是 [ ] A．∠COD． B．∠COE．C．∠DOA． D．∠COA． 8．在绝对值小于1000的整数中，完全平方数的个数是[ ] A．62． B．63． C．32． D．31． 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 5 ? 6 ? 7 ? 8 ? 9 ? 10 9.计算: =[ ] 0.1 ? 0.2 ? 0.3 ? 0.4 ? 0.5 ? 0.6 ? 0.7 ? 0.8 ? 0.9 1 1 1 1 A. ; B.1 ; C.- ; D.-1 . 9 9 9 9 10．已知A=a2+b2-c2，B=-4a2+2b2+3c2，若A+B+C=0，则C= [ A．5a2+3b2+2c2． B．5a2-3b2+4c2．C．3a2-3b2-2c2． 二、A组填空题 1．计算(-0.125)7?82=_____． 2．计算(-11)-(-22)-(-33)-(-44)-(-55)-(-66)=_____． 3．由0.03096四舍五入精确到万分位得近似数的有效数字是_____． 4．a、b为有理数．则表中空格内应填的数是_____． ]D．3a2+b2+4c2．5．在下表所填的16个数中，最大的一个数是_____．72 30 6.计算: ? ? ? ? ? ? =_______. ? ? ? ? ? 13 ? ? 13 ?7．若a被1995除，所得的余数是2，则-a被1995除，所得的余数是_____． 1 1 1 , , 8．a、b、c在数轴上的位置如图3所示．则在 中,最大的是____________. a ?b c ?b a ?c 9．如图4，O为圆心，半径OA=OB=r，∠AOB=90°，点M在OB上，OM=2MB，用r的式子表示阴影部分的 面积是_____． 24 2 10.如果a=-2,则在-3a,4a, ,a ,1这五个数中, a 值最大的是________. 三、B组填空题 1．在数轴上，点A、B分别表示有理数a、 26 b,原点O恰是AB的中点,则1995a? 的值是_____. 3b 2．某次测验共20道选择题、答对一题记5分，答错一题记-2分，不答记0分，某同学得48分，那么他 答对的题目最多是_____个．?1 1 1 1? 3.计算: (2 ? 3 ? 4 ? 5) ? ? ? ? ? ? =_______. ? 2 3 4 5?224．ABCD和EBFG都是正方形，尺寸如图5所示，则阴影部分的面积是_____(cm2)． 5．a与b是相邻的两个自然数，则a、b的最大公约数与最小公倍数之和等于_____． 6.若丨x-y+3丨与丨x+y-1995丨互为相反数,则x ? 2y 的值是_____________. x? y7．120的所有是合数但不是奇数的正约数的和等于_____． 8．如图6给出的乘法竖式中，四个方块盖住的四个数字之和的最大值是_____. 答案?提示 一、选择题 提示：5．由于34.51，34.99，35.01四舍五入的近似值都可能是35，而只有34.49不可能是真值，选(A)． 6．因为b＜0，所以a+b＜a＜a-b，选(C)． 7．∵∠AOC+∠COB=180° ,即∠COE+∠BOD=90°∠COE=90°-∠BOD=90°-a ∴选(B)． 8．在绝对值小于1000的整数中，共计1999个整数，其中-1999，-1998，?，-2，-1，这999个负整 数都不能写成整数的平方。因此可以写成整数的平方的数只能在0，1，2，?，998，999这一千个 整数中去找。0=02，1=12，4=22，?，961=312。共计32个，选(C)．10．∵A+B+C=0 ∴C=-A-B=-(a2+b2-c2)-(-4a2+2b2+3c2) =-a2-b2+c2+4a2-2b2-3c2=3a2-3b2-2c2.选(C)． 二、A组填空题 提示： 1．(-0.125)7?88=(-0.125)7?87?8=(-0.125?8)7?8=-8 2．(-11)-(-22)-(-33)-(-44)-(-55)-(-66) =(-11)+22+33+44+55+66 =(-22)+(11+22+33+44+55+66) =(-22)+11(1+2+3+4+5+6) =(-22)+11?21==(-22)+231=209 3．0.03096四舍五入精确到万分位所得近似值是0.0310，有效数字是3、1、0． 4．由表可见，a+b=-49，a-b=-97 解得a=-73，b=245．表中所填的数都是负数，应该以绝对值最小的其值最大，可按行比较． 第一行最大者为-1.1，第二行最大者为-1.001，第三行最大都为-1.01，第四行最大都为-1.0101． 在-1.1、-1.001、-1.01、-1.0101中最大者为-1.001，所以全表16个数中最大者为-1.0017．设a被1995除商q余2，则a=1995?q+2-a=1995?(-q)-2=1995?(-q)- 即 -a=1995?[(-q)-1]+1993 ∴ -a被1995除的余数是1993． 8．由图3可见，0＞c＞b＞a． 于是a-b＜0，c-b＞0，a-c＜0．所以a=-2时，所给五个单项式的值最大的是6． 三、B组填空题 提示： 1．在数轴上，有理数a与b对应的点A与B满足原点O是线段AB的中点。则a+b=02．设小明答对x题，答错y题，没答z题 则 x+y+z=20 ① 5x-2y=48 ② ②+2?①得7x+2z=884．从图5中观察易知，阴影的面积是正方形ABCD面积的一半，5．a、b为两个相邻的自然数，它们的最大公约数为1，所以a、b的最小公倍数为ab． 因此，a、b这两个相邻自然数的最大公约数与最小公倍数之和等于ab+1．7．120的正约数共有1，2，3，4，5，6，8，10，12，15，20，24，30，40，60，120计有16个，其 中是合数但不是奇数的正约数有4，6，8，10，12，20，24，30，40，60，120共11个，它们的和 是4+6+8+10+12+20+24+30+40+60+120=334 8．设四个方块中所有数字为a，b，c，d, 即因乘积是两位数，所以断定a=1． 又由于乘数为5，所以d=0或5，即d的最大值是5，又b≤9，c≤d ∴a+b+c+d≤1+9+9+5=24 而事实上1+9+9+5=24，表明24是可达到的． 所以四个方块盖住的四个数字之和的最大值是24． 9．设步行所用时间为t小时，则乘汽车用1-t小时，依题意列方程如下： 36?(1-t)+4?t=28 解得 t=0.25 答 步行所用时间为0.25小时。 10．a，b，c均为整数，则a-b，c-a也为整数，│a-b│19，│c-a│95为两个非负整数，其和为1 只能 │a-b│19=0，且│c-a│95=1 ② ①或 │a-b│19=1且│c-a│95=0. 由① a=b且c=a±1 于是 │b-c│=│c-a│=1 由② c=a且a=b±1 于是 │b-c│=│a-b│=1 无论①或②，都有 │a-b│+│c-a│=1且│b-c│=1 ∴ │c-a│+│a-b│+│b-c│=2希望杯第六届（1995 年）初中一年级第二试试题 一、选择题: 1．若y是正数，且x+y＜0，则在下列结论中，错误的一个是 [ A．x3y＞0． B．x+│y│＜0．C．│x│+y＞0． D．x-y2＜0． [ ] ]]2．已知│a│=-a，则化简│a-1│-│a-2│所得的结果是 A．-1． B．1．C．2a-3． D．3-2a．3．已知a=，b=，c=．那么(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2的值等于[A．4． B．6． C．8． D．10． 4．用一副学生用的三角板的内角(其中一个三角板的内角是45°，45°，90°；另一个是 30°,60°,90°)可以画出大于0°且小于176°的不同角度的角共有_____种． [ ]． A．8． B．9．C．10． D．11． 5．数轴上坐标是整数的点称为整点，某数轴的单位长度是1厘米，若在这个数轴上随意画出一条长 为1995厘米的线段AB，则线段AB盖住的整点是[ ]个．A．． B．．C．． D．． 6．方程0000的一组整数解(x、y)是[ ] A．(61，48723)． B．(62，48725)．C．(63，48726)． D．(64，48720)． 7．某同学到集贸市场买苹果，买每公斤3元的苹果用去所带钱数的一半，而其余的钱都买了每公斤2 元的苹果，则该同学所买的苹果的平均价格是每公斤_____元． [ ] A．2.6． B．2.5． C．2.4． D．2.3． 8．a、b、c的大小关系如图7所示 则 ,a ? b b ? c c ? a ab ? ac ? ? ? 的值是[ ] a ? b b ? c c ? a ab ? acA．-1．B．1． C．2． D．3． 1 1 1 9.设P=,Q=,R=,则P,Q,R,的大小关系是[ ] 12345 ?
? 12345 A．P＞Q＞R． B．Q＞P＞R．C．P＞R＞Q． D．R＞Q＞P． 10．某项球类规则达标测验，规定满分100分，60分及格，模拟考试与正式考试形式相同，都是25道 选择题，第题答对记4分，答错或不答记0分．并规定正式考试中要有80分的试题就是模拟考试中 的原题．假设某人在模拟考试中答对的试题，在正式考试中仍能答对，某人欲在正式考试中确保 及格，则他在模拟考试中，至少要得 [ ] A．80分． B．76分．C．75分． D．64分． 二、填空题 1．计算：12+2-3?4÷5+62+7-8?9÷10=_____． 2．若a+b＜0，则化简│a+b-1│-│3-a-b│的结果是_____． 3．某市举行环城自行车比赛，跑的路线一圈 是6千米,甲车速是乙车速的,在出发后1小时10分钟时,甲,乙二人恰在行进中第二次相遇,则乙车 比甲车每分钟多走_____千米． 4．如图8，两条线段AB、CD将大长方形分成四个小长方形，其中S1面积是8，S2的面积是6，S3的面 积是5．则阴影三角形的面积是_____． 1 7 9 11 13 15 17 ? ? ? ? ,则n的负倒数是______. 5.若n= 1 ? ? 3 12 20 30 42 56 72 6．一次数学小测验共有十道选择题，每题答对得3分，答错或不答均扣1分，则这次小测验的成绩至 多有_____种可能的分数． 7．已知p、q均为质数，并且存在两个正整数m,n,使得 p=m+n,q=mn,则p p ? qq mn ? nm的值为_____. 8．如图9，已知△ABC中，∠C=90°，AC=1.5BC,在AC上取点D,使得AD=0.5BC,量得BD=1cm,则△ABD的 面积是________cm2. 1999?? ? 95 9．若S=15+195++?+ ? ?? ．则和数S的末四位数字的和是_____．44个910．用分别写有数字的四张卡片，，，可以排出不同的四位数，如，4231，?等等共24 个，则其中可被22整除的四位数的和等于_____． 三、解答题 1．某班参加校运动会的19名运动员的运动服号码恰是1~19号，这些运动员随意地站成一个圆圈，则一定有顺次相邻的某3名运动员，他们运动服号码数之和不小于32，请你说明理由． 17 2．已知ax+by=7，ax2+by2=49，ax3+by3=133，ax4+by4=406，试求1995(x+y)+6xy- (a+b )的值. 2答案?提示 一、选择题 提示： 1．∵y＞0，若x≥0则x+y≥0，与x+y＜0矛盾．所以由y＞0，x+y＜0必有x＜0． 因此，x3＜0，x3y＜0，即(A)是错误的． 事实上，y＞0，x+y＜0，即x+│y│＜0，(B)成立．│x│+y＞0，(C)成立．x＜0，y2＞0，x-y2＜0， (D)成立．因此，选(A)． 2．∵│a│=-a，∴a≤0． │a-1│-│a-2│=-(a-1)+(a-2)=-1，选(A)． 3．a-b=()-()=-1 b-c=()-()=-1 c-a=()-()=2 ∴ (a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=(-1)2+(-1)2+22=6．选(B)．4．由于15°=45°-30°，所以15°可以画出．因为30°，45°，60°，90°都是15°的倍数．0° ~176°之间度数为15°的倍数的角都可画出．这些不同度数的角共计11种，它们是：15°， 30°,45°,60°，75°，90°，105°，120°，135°，150°，165°．选(D)． 5．若所画的长为1995厘米的线段的两个端点A与B均为整点时，此时线段AB盖住的整点个数是 6个．若A点不是整点，则B点也不是整点，此时线段AB盖住的整点个数为1995个，所以 长为1995厘米的线段盖住的整点是1995个，所以长为1995厘米的线段盖住的整点是 个．选(C)． 6．设x，y均为整数，且满足0000． 则5│1995x，5│420000，所以5│6y． 但(5，6)=1，因此5│y．所以排除(A)，(C)．对(B)，若(62，48725)满足方程，则 事实上，?成立．选(D)． 7．设该同学买了3元一公斤的苹果x公斤，2了x+y公斤苹果，花去了3x+2y=6x元．所以所买的8．从图9中可见，a＜b＜c且a＜0，b＜0，c＞0 所以a-b＜0，b-c＜0，c-a＞0，ab＞0，ac＜0 所以ab-ac＞0，=(-1)-(-1)+1+1=2．选(C)． 9．因为1＜12346 所以＜＜即R＜Q＜P．选(A)． 10．设在模拟考试中至少要得x分，则在模拟解得x≥80．即某人欲在正式考试中确保及格，则他在模拟考试中至少要得80分．选(A)． 二、填空题 提示： 1．原式=1+2-3?4÷5+36+7-8?9÷10=3-12÷5+36+7-72÷10=3-2.4+43-7=36.4 2．∵a+b＜0,a+b-1＜0,3-a-b=3-(a+b)＞0 ∴│a+b-1│-│3-a-b│=-(a+b-1)-(3-a-b)=-a-b+1-3+a+b=-2甲、乙二人在行进中第二次相遇，乙要追过甲两圈，所以解得x=36(千米／小时)，即乙车速36千米／因此，乙车比甲车每分钟多走4．如图8，设AB、CD交于O，阴影三角形面积为S，则矩形6．设这次小测验答对x道题，则有10-x道题答错或没答，应得分数 w=3x-(10-x)=4x-10 因此，可能得到的分数为偶数，且不被4整除，又最高得分为满分30分，最低得分为-10分，在-10~30 之间被2整除但不被4整除的数有-10，-6，-2，2，6，10，14，18，22，26，30共11种可能，容易 验证，这11种分数值都是可以取到的． 7．∵q是质数，q=m?n， 所以m，n只能一个为1，另一个为q． 此时p=m+n=1+q，而p又是质数，只能p=3，q=2． 即m，n一个是1，另一个是2．即△BCD为等腰直角三角形(图10)，四个等腰9．S=(20-5)+(200-5)+(2000-5)+(20000-5)+?+(-5) =20+200++?+-5?45=-225 所以S的末四位数字的和为1+9+9+5=24 10．在由1，2，3，4组成的24个四位数中，末位数字是1，3的不能被22整除，这样的数共12个，而 其余12个末位数字是偶数，有可能被22整除，它们是，，， ，，． 由奇位数字和减去偶位数字和之差是11倍数者，原数为11的倍数，可知其中被11整除的只有1342， ，4312．即这四个数被22整除，它们的和是 24+ 三、解答题 1．证：在圆周上按逆时针顺序以1号为起点记运动服号码数为a1，a2，a3，?，a18，a19(图11)， 显然a1=1，而a2，a3，?，a18，a19就是2，3，4，5，6，?，18，19的一个排列 令A1=a2+a3+a4 A2=a5+a6+a7 A3=a8+a9+a10 A4=a11+a12+a13 A5=a14+a15+a16 A7=a17+a18+a19 则A1+A2+A3+A4+A5+A6 =a2+a3+a4+?+a17+a18+a19 =2+3+4+?+17+18+19 =189 如果A1， 2， 3， 4， 5， 6中每一个都≤31， A A A A A 则有A1+A2+A3+A4+A5+A6≤6?31=186， 与(*)式矛盾． 所 以A1，A2，A3，A4，A5，A6中至少有一个大于31．为确定起见，不妨就是A1＞31，即a2+a3+a4＞ 31，但a2+a3+a4是整数，所以必有a2+a3+a4≥32成立．即一定有顺次相邻的某三名运动员，他们 运动服号码数之和不小于32． 说明：本试题来源于一道常见的试题，“将1，2，3，4，?，17，18，19这19个自然数任意排成一 圈，必定能找到相邻的3个自然数，它们之和不小于30．” 其证法是，设这19个数在圆圈排列后依次逆时针顺序是a1，a2，?，a18，a19（图12），则 A1=a1+a2+a3 A2=a2+a3+a4 A3=a3+a4+a5 A4=a4+a5+a6?? A17=a17+a18+a19 A18=a18+a19+a1 A19=a19+a1+a2 相加得A1+A2+?+A18+A19 =3(a1+a2+?+a18+a19) =3?(1+2+3+4+?+17+18+19) =570 若A1，A2，?，A18，A19这19个自然数都小于30，则A1+A2+?+A18+A19＜19?30=570与(*)式矛盾．所 以A1，A2，?，A18，A19中至少有一个不小于30．为确定起见，不妨设A1≥30，即a1+a2+a3≥30， 即一定有顺相邻的3个数，其和不小于30． 但在写数排圈试验中不难发现，总会找到相邻3个数之和大于30，这表明30这个限不是最好的，我们 可以改进到32．要达到这个结果，其一，找三数组的个数减小，平均值可能增大，原来找出19个 数三数组，现在我们找出6个，且互不重复，这样，其用到19个中的18个数，显然有一个数没用在 三数组中，这个数只有取a1=1时，才能使其余18个数之和尽可能大．以上这些想法已经包含着非 智力因素在内的对问题灵活处理的综合能力．克报困难意识强，遇事思维开阔的学生，处理本题 的能力会表现突出一些． 2．分析：已知ax+by=7，ax2+by2=49，ax3+by3=133，ax4+by4=406．形式很对称，很容易诱使你将 ax+by=7两边平方，再减去ax2+by2=49，?想利用乘法公式算出xy，但一试发现此路不通．由于受 所作某些训练题型模式的影响，很多同学仍企图走此路，以致最后陷入死胡同． 事实上，ax+by平方后必出现a}