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如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，动点P从点B出发以2cm/s的速度向点C移动，动点Q从C出发以1cm/s的速度向点A移动，如果动点P、Q同时出发，要使△CPQ与△CBA相似，所需要的时间是多少秒？
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设经过t秒后两三角形相似，则可分下列两种情况进行求解，①若Rt△ABC∽Rt△QPC则，即解之得t=1.2；②若Rt△ABC∽Rt△PQC则，解之得t=；由P点在BC边上的运动速度为2cm/s，Q点在AC边上的速度为1cm/s，可求出t的取值范围应该为0＜t＜2，验证可知①②两种情况下所求的t均满足条件．所以可知要使△CPQ与△CBA相似，所需要的时间为1.2或秒．
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若两三角形相似，则由相似三角形性质可知，其对应边成比例，据此可解出两三角形相似时所需时间．
本题考点：
相似三角形的性质；一元一次方程的应用．
考点点评：
本题综合考查了相似三角形的性质以及一元一次方程的应用问题，并且需要用到分类讨论的思想，解题时应注意解答后的验证．
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在矩形ABCD中,AB=12cm,BC=6cm,点E沿边AB从点A开始以2cm/s的速度向点B移动,点F沿边DA从点D开始以1cm/s的速度向点A移动,如果E,F同时出发,用t表示移动时间（0≤t≤6）（1）当t为何值时,△AEF为等腰直角三角形?（2）当t为何值时,△AEF与△BCE相似?
豆仔软妹纸綞
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⑴AE=2t,DF=t,∴AF=6-t,根据题意得：AE=AF,∴2t=6-t,t=2.⑵∵∠A=∠B=90°,分两种情况,①AE/AF=BE/BC,2t/(6-t)=(12-2t)/6,解得：t=9±3√5,∵t=9+3√5>6,舍去,②AE/AF=BC/BE,2t/(6-t)=6/(12-2t)t=3,∴当t=3或9-3√5时,两个三角形相似.
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（2008o崇安区二模）如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=8cm，动点P以2cm/s的速度，从点B出发，沿B→D的方向，向点D运动；动点Q以3cm/s的速度，从点D出发，沿D→C→B的方向，向点B移动．若P、Q两点同时出发，当其中一点到达目的地时整个运动随之结束，设运动时间为t秒．（1）求△PQD的面积S（cm2）与运动时间t（s）之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．（2）在运动过程中，当t为何值时，△PQD是以∠PDQ为顶角的等腰三角形？并说明：此时，△PQD的面积恰好等于PQ2．（3）在运动过程中，是否存在这样的t，使得△PQD为直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．
老坛酸菜0485
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（1）∵AB=6cm，BC=8cm，∴BD=2+BC2=2+82=10，∵点P的速度是2cm/s，点Q的速度是3cm/m，∴点P从点B到达点D的时间是10÷2=5秒，点Q从点D到达点C的时间是6÷3=2秒，到达点B的时间是（6+8）÷3=秒，①如图1①，点Q在CD上时，作PE⊥DC于点E，则sin∠BDC==，即=，解得PE=（5-t），S△PQD=×3to（5-t）=t（5-t）=-t2+12t（0＜t≤2）；②如图2②，点Q在BC上时，作PE⊥BC于点E，则sin∠CBD==，即=，解得PE=t，此时，CQ=3t-6，BQ=（6+8）-3t=14-3t，S△PQD=S△BCD-S△CDQ-S△PBQ，=×8×6-×6（3t-6）-×（14-3t）×t，=24-9t+18-
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根据题意分别画出相应的图形，（1）利用勾股定理求出BD的长度，再求出点P到达点D的时间以及点Q到达点C与点B的时间，然后分①点Q在CD上时，作PE⊥DC于点E，利用∠BCD的正弦求出PE的长度，再表示出DQ，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解；②点Q在BC上时，作PE⊥BC于点E，利用∠CBD的正弦表示出PE，并用t表示出CQ、BQ的长度，然后根据S△PQD=S△BCD-S△CDQ-S△PBQ，列式整理即可得解．（2）由DP=DQ，推出10-2t=3t，t的值，得PD的值，确定Q点与C点重合，根据（1）所推出的结论求得S△PQD=cm2，做PH⊥DC，由PH∥BC，得比例式，便可求出PH，DH的值，继而得HQ的值，运用勾股定理求出PQ2=cm2后，便可确定S△PQD=PQ2；（3）分情况进行讨论，①若∠PQD=90°，△PQD为直角三角形，结合图形和题意推出比例式后，把PD=10-2t，DQ=3t，BD=10cm，CD=6cm代入，即可求出t=，②若∠QPD=90°，△PQD为直角三角形，由勾股定理得PD2+PQ2=DQ2，由P点的运动速度为2cm/秒，Q点的运动速度为3cm/秒，推出BP=2t，CD+CQ=3t，可知DP=10-2t，BQ=14-3t，CQ=3t-6，继而推出PD2、PQ2、DQ2，关于t的表达式，根据等式PD2+PQ2=DQ2，即可求出t=．
本题考点：
矩形的性质；函数自变量的取值范围；三角形的面积；等腰三角形的性质；直角三角形的性质．
考点点评：
本题主要考查直角三角形和等腰三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的性质，矩形的性质等知识点，关键在于对各相关性质定理的综合应用，在解题的过程中认真的进行计算，正确的进行分析．
扫描下载二维码如图，A、B、C、D为矩形的4个顶点，AB=16cm，BC=6cm，动点P、Q分别以3cm/s、2cm/s的速度从点A、C同时出发，点Q从点C向点D移动．
（1）若点P从点A移动到点B停止，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过2s时P、Q两点之间的距离是多少cm？
（2）若点P从点A移动到点B停止，点Q随点P的停止而停止移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，问经过多长时间P、Q两点之间的距离是10cm？
（3）若点P沿着AB→BC→CD移动，点P、Q分别从点A、C同时出发，点Q从点C移动到点D停止时，点P随点Q的停止而停止移动，试探求经过多长时间△PBQ的面积为&12cm2？
（1）作PE⊥CD于E，表示出PQ的长度，利用PE2+EQ2=PQ2列出方程求解即可；
（2）设x秒后，点P和点Q的距离是10cm．在Rt△PEQ中，根据勾股定理列出关于x的方程（16-5x）2=64，通过解方程即可求得x的值；
（3）分类讨论：①当点P在AB上时；②当点P在BC边上；③当点P在CD边上时．
解：（1）过点P作PE⊥CD于E．则根据题意，得
EQ=16-2×3-2×2=6（cm），PE=AD=6cm；
在Rt△PEQ中，根据勾股定理，得
PE2+EQ2=PQc，即36+36=PQ2，
∴PQ=6cm；
∴经过2s时P、Q两点之间的距离是6cm；
（2）设x秒后，点P和点Q的距离是10cm．
（16-2x-3x）2+62=102，即（16-5x）2=64，
∴16-5x=±8，
∴经过s或sP、Q两点之间的距离是10cm；
（3）连接BQ．设经过ys后△PBQ的面积为12cm2．
①当时，则PB=16-3y，
∴PBoBC=12，即×（16-3y）×6=12，
BP=3y-AB=3y-16，QC=2y，则
BPoCQ=（3y-16）×2y=12，
解得y1=6，2=-
（舍去）；&&&
QP=CQ-PQ=11-y，则
QPoCB=（22-y）×6=12，
解得y=1s（舍去）．
综上所述，经过4秒或6秒△PBQ的面积为&12cm2．}