用二分法求方程的近似解一、教学内容分析本节课选自《普通高中课程标准实验教科书数学 1 必修本（A 版） 》的第三章 3.1.2 用二分法求方程的近似解．本节课要求学生根据具体的函数图象能够借助计算机或信 息技术工具计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方法是求方程近似解的常 用方法，从中体会函数与方程之间的联系；它既是本册书中的重点内容，又是对函数 知识的拓展，既体现了函数在解方程中的重要应用，同时又为高中数学中函数与方程 思想、数形结合思想、二分法的算法思想打下了基础，因此决定了它的重要地位．二、学生学习情况分析学生已经学习了函数， 理解函数零点和方程根的关系, 初步掌握函数与方程的转化 思想．但是对于求函数零点所在区间，只是比较熟悉求二次函数的零点，对于高次方 程和超越方程对应函数零点的寻求会有困难．另外算法程序的模式化和求近似解对他 们是一个全新的问题．三、设计思想倡导积极主动、 勇于探索的学习精神和合作探究式的学习方式； 注重提高学生的数 学思维能力，发展学生的数学应用意识；与时俱进地认识“双基”，强调数学的内在 本质，注意适度形式化；在教与学的和谐统一中体现数学的文化价值；注重信息技术 与数学课程的合理整合.四、教学目标通过具体实例理解二分法的概念， 掌握运用二分法求简单方程近似解的方法， 从中 体会函数的零点与方程根之间的联系及其在实际问题中的应用；能借助计算器用二分 法求方程的近似解，让学生能够初步了解逼近思想；体会数学逼近过程，感受精确与 近似的相对统一；通过具体实例的探究，归纳概括所发现的结论或规律，体会从具体 到一般的认知过程．五、教学重点和难点1．教学重点：用“二分法”求方程的近似解，使学生体会函数零点与方程 根之间的联系，初步形成用函数观点处理问题的意识． 2．教学难点：方程近似解所在初始区间的确定，恰当地使用信息技术工具，利用 二分法求给定精确度的方程的近似解．六、教学过程设计（一）创设情境，提出问题 问题 1：在一个风雨交加的夜里，从某水库闸房到防洪指挥部的电话线路发生了故障．这是一条 10km 长的线路，如何迅速查出故障所在？ 如果沿着线路一小段一小段查找，困难很多．每查一个点要爬一次电线杆子．10km 长，大约有 200 多根电线杆子呢． 想一想，维修线路的工人师傅怎样工作最合理？ 以实际问题为背景，以学生感觉较简单的问题入手，激活学生的思维，形成学生 再创造的欲望．注意学生解题过程中出现的问题，及时引导学生思考，从二分查找的 角度解决问题． [学情预设] 学生独立思考，可能出现的以下解决方法： 思路 1：直接一个个电线杆去寻找． 思路 2：通过先找中点，缩小范围，再找剩下来一半的中点． 老师从思路 2 入手，引导学生解决问题：如图，维修工人首先从中点 C．查用随身带的话机向两个端点测试时，发现 AC 段 正常，断定故障在 BC 段，再到 BC 段中点 D，这次发现 BD 段正常，可见故障在 CD 段， 再到 CD 中点 E 来查．每查一次，可以把待查的线路长度缩减一半，如此查下去，不用 几次，就能把故障点锁定在一两根电线杆附近． 师：我们可以用一个动态过程来展示一下（展示多媒体课件） ． 在一条线段上找某个特定点，可以通过取中点的方法逐步缩小特定点所在的范围 （即二分法思想） ． [设计意图] 从实际问题入手，利用计算机演示用二分法思想查找故障发生点， 通过演示让学生初步体会二分法的算法思想与方法, 说明二分法原理源于现实生活， 并在现实生活中广泛应用． （二）师生探究,构建新知 问题 2：假设电话线故障点大概在函数 f ( x) ? ln x ? 2 x ? 6 的零点位置，请同学们先 猜想它的零点大概是什么？我们如何找出这个零点？ 1．利用函数性质或借助计算机、计算器画出函数图象，通过具体的函数图象帮助 学生理解闭区间上的连续函数，如果两个端点的函数值是异号的，那么函数图象就一 定与 x 轴相交，即方程 f ( x) ? 0 在区间内至少有一个解（即上节课的函数零点存在性定 理，为下面的学习提供理论基础） ．引导学生从“数”和“形”两个角度去体会函数零 点的意义，掌握常见函数零点的求法，明确二分法的适用范围． 2．我们已经知道，函数 f ( x) ? ln x ? 2 x ? 6 在区间（2，3）内有零点，且 f (2) ＜0，f (3) ＞0.进一步的问题是，如何找出这个零点？第 2 页 共 126 页合作探究：学生先按四人小组探究.（倡导学生积极交流、勇于探索的学习方式， 有助于发挥学生学习的主动性） 生：如果能够将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定精确度的要求下，我们可 以得到零点的近似值. 师：如何有效缩小根所在的区间？ 生 1：通过“取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围． 生 2： 是否也可以通过 “取三等分点或四等分点” 的方法逐步缩小零点所在的范围？ 师：很好，一个直观的想法是:如果能够将零点所在的范围尽量缩小，那么在一定 精确度的要求下，可以得到零点的近似值.其实“取中点”和“取三等分点或四等分点” 都能实现缩小零点所在的范围.但是在同样可以实现缩小零点所在范围的前提下， “取 中点”的方法比取“三等分点或四等分点”的方法更简便.因此，为了方便，下面通过 “取中点”的方法逐步缩小零点所在的范围. 引导学生分析理解求区间 (a, b) 的中点的方法 x ?a?b ． 2合作探究： （学生 2 人一组互相配合，一人按计算器，一人记录过程．四人小组中 的两组比较缩小零点所在范围的结果．） 步骤一：取区间(2，3)的中点 2.5，用计算器算得 f (2.5) ? ?0.084 ? 0 . 由 f (3) ＞0，得知 f (2.5) ? f (3) ? 0 ，所以零点在区间(2.5，3)内。 步骤二：取区间(2.5，3)的中点 2.75，用计算器算得 f (2.75)? 0.512 0 ? .因为f (2.5)? f (2.75) 0 ? ，所以零点在区间(2.5，2.75)内.结论:由于(2，3) (2,3) ? (2.5,3) ? (2.5, 2.75) ，所以零点所在的范围确实越来越小 了. 如果重复上述步骤，在一定精确度下，我们可以在有限次重复上述步骤后，将所 得的零点所在区间内的任一点作为函数零点的近似值．特别地，可以将区间端点作为 函数零点的近似值． 引导学生利用计算器边操作边认识， 通过小组合作探究， 得出教科书上的表 3―2， 让学生有更多的时间来思考与体会二分法实质，培养学生合作学习的良好品质． [学情预设]学生通过上节课的学习知道这个函数的零点就是函数图象与 x 轴的交 点的横坐标，故它的零点在区间（2，3）内．进一步利用函数图象通过“取中点”逐 步缩小零点的范围，利用计算器通过将自变量改变步长减少很快得出表 3―2，找出零 点的大概位置． [设计意图]从问题 1 到问题 2， 体现了数学转化的思想方法， 问题 2 有着承上启下 的作用，使学生更深刻地理解二分法的思想，同时也突出了二分法的特点．通过问题 2 让学生掌握常见函数零点的求法，明确二分法的适用范围． 3.问题 3：对于其他函数，如果存在零点是不是也可以用这种方法去求它的近似解第 3 页 共 126 页呢？ 引导学生把上述方法推广到一般的函数，经历归纳方法的一般性过程之后得出二 分法及用二分法求函数 f (x) 的零点近似值的步骤． 对于在区间 [ a ， b ] 上连续不断且满足 f (a) ? f (b) ? 0 的函数 y ? f (x) ，通过不断 地把函数 f (x) 的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得 到零点近似值的方法叫做二分法． 注意引导学生分化二分法的定义（一是二分法的适用范围，即函数 y ? f (x) 在区间 ． [ a ， b ] 上连续不断，二是用二分法求函数的零点近似值的步骤） 给定精确度 ? ，用二分法求函数 f (x) 的零点近似值的步骤如下： 1、确定区间 [ a ， b ] ，验证 f (a) ? f (b) ? 0 ，给定精确度 ? ； 2、求区间 ( a ， b) 的中点 c ； 3、计算 f (c) ： （1）若 f (c) = 0 ，则 c 就是函数的零点； （2）若 f (a) ? f (c) & 0 ，则令 b = c （此时零点 x0 ? (a, c) ） ； （3）若 f (c) ? f (b) & 0 ，则令 a = c （此时零点 x0 ? (c, b) ） ； 4、判断是否达到精确度 ? ： 即若 | a ? b |? ? ，则得到零点零点值 a （或 b ） ；否则重复步骤 2―4． 利用二分法求方程近似解的过程，可以简约地用下图表示．初始区间 取区间中点中点函数值为零 是 否 取新区间满足精确度 是 结束 否[学情预设] 学生思考问题 3 举出二次函数外，对照步骤观察函数f ( x) ? ln x ? 2 x ? 6 的图象去体会二分法的思想．结合二次函数图象和标有 a 、b 、 x0 的数轴理解二分法的算法思想与计算原理．第 4 页 共 126 页[设计意图]以问题研讨的形式替代教师的讲解，分化难点、解决重点，给学生“数 学创造”的体验，有利与学生对知识的掌握，并强化对二分法原理的理解．学生在讨 论、合作中解决问题，充分体会成功的愉悦．让学生归纳一般步骤有利于提高学生自 主学习的能力，让学生尝试由特殊到一般的思维方法．利用二分法求方程近似解的过 程，用图表示，既简约又直观，同时能让学生初步体会算法的思想． （三）例题剖析，巩固新知 例：借助计算器或计算机用二分法求方程 2 x ? 3x ? 7 的近似解（精确度 0.1）. 两人一组，一人用计算器求值，一人记录结果；学生讲解缩小区间的方法和过程， 教师点评. 本例鼓励学生自行尝试，让学生体验解题遇阻时的困惑以及解决问题的快乐.此例 让学生体会用二分法来求方程近似解的完整过程，进一步巩固二分法的思想方法. 思考： 问题（1）：用二分法只能求函数零点的“近似值”吗？ 问题（2）：是否所有的零点都可以用二分法来求其近似值？ 教师有针对性的提出问题，引导学生回答，学生讨论，交流. 反思二分法的特点， 进一步明确二分法的适用范围以及优缺点，指出它只是求函数零点近似值的“一种” 方法. [设计意图]及时巩固二分法的解题步骤,让学生体会二分法是求方程近似解的有 效方法.解题过程中也起到了温故转化思想的作用． （四）尝试练习，检验成果 1、下列函数中能用二分法求零点的是（ ）.y。 (A)o(D)x(B)(C)[设计意图]让学生明确二分法的适用范围. 2、 用二分法求图象是连续不断的函数 y ? f (x) 在 x ∈(1,2)内零点近似值的过程中得到f (1) ? 0 , f (1.5) ? 0 , f (1.25) ? 0 ,则函数的零点落在区间（）.(A)（1,1.25）(B)（1.25,1.5）(C)（1.5,2）(D) 不能确定[设计意图]让学生进一步明确缩小零点所在范围的方法.第 5 页 共 126 页3．借助计算器或计算机，用二分法求方程 x ? 3 ? lg x 在区间（2，3）内的近似解（精 确度 0.1）. [设计意图] 进一步加深和巩固对用二分法求方程近似解的理解. （五）课堂小结，回顾反思 学生归纳，互相补充，老师总结： 1、理解二分法的定义和思想，用二分法可以求函数的零点近似值，但要保证该函 数在零点所在的区间内是连续不断； 2、用二分法求方程的近似解的步骤. [设计意图]帮助学生梳理知识,形成完整的知识结构.同时让学生知道理解二分法 定义是关键，掌握二分法解题的步骤是前提，实际应用是深化. （六）课外作业 1．[书面作业]第 92 页习题 3.1A 组 3、4、5； 2．[知识链接]第 91 页阅读与思考“中外历史上的方程求解” ． 3．[课外思考]:如果现在地处学校附近的地下自来水管某处破裂了,那么怎么找出 这个破裂处,要不要把水泥板全部掀起? 板书设计 §3.1.2 用二分法求方程的近似解 1．二分法的定义 2．用二分法求函数的零点近似值的步骤 3．用二分法求方程的近似解七、教学反思这节课既是一堂新课又是一堂探究课.整个教学过程,以问题为教学出发点, 以教 师为主导，学生为主体，设计情境激发学生的学习动机，激励学生去取得成功，顺应 合理的逻辑结构和认知结构，符合学生的认知规律和心理特点，重视思维训练，发挥 学生的主体作用，注意数学思想方法的溶入渗透，满足学生渴望的奖励结构.整个教学 设计中，特别注重以下几个方面： （1） 重视学生的学习体验,突出他们的主体地位.训练了他们用从特殊到一般,再由 一般到特殊的思维方式解决问题的能力.不断加强他们的转化类比思想. （2）注重将用二分法求方程的近似解的方法与现实生活中案例联系起来，让学生 体会数学方法来源于现实生活，又可以解决生活中的问题. （3）注重学生参与知识的形成过程，动手、动口、动脑相结合，使他们“听”有 所思，“学”有所获，增强学习数学的信心，体验学习数学的乐趣. （4）注重师生之间、同学之间互动，注重他们之间的相互协作，共同提高.第 6 页 共 126 页福建师大附中周裕燕点评： 本节课既是一堂新课又是一堂探究课.如何在数学课堂教学中体现新 课程理念，本课例进行了有益的探索。整个教学设计过程,以问题为出发 点,以教师为主导，学生为主体，设计的问题情境顺应合理的逻辑结构和 认知结构，符合学生的认知规律和心理特点，有效地激发了学生的学习动 机；重视思维训练，注意数学思想方法的溶入渗透。 本节课采用 “问题情境― 意义建构― 数学理论― 数学运用― 回顾 反思” 的教学流程。周老师在课题引入时，以实际问题为背景，以学生 感觉较简单的问题入手，“让学生找出电话线故障点， ”有效地激发学生 学习的欲望和探究的兴趣。 采用探究教学方式， 在师生共同探究的过程中， 构建新的知识，既让学生了解数学概念和结论产生的过程，同时也培养了 学生独立思考和勇于质疑的品质。此外，周老师在本课例的设计中，能很 好地将现代信息技术与数学课程进行有机的整合，使“方法建构、技术运 用、算法渗透”三者同步发展。 “用二分法求方程的近似解”是对函数知识的拓展，既体现了函数在 解方程中的重要应用，同时又为高中数学中函数与方程思想、数形结合思 想、二分法的算法思想打下了基础。周老师不仅注意到本节知识在这一章 中的重要性，而且还注意将本节知识与现实生活中的案例联系起来，让学 生体会数学方法来源于现实生活，又可以解决生活中的问题。正弦定理（2）一、教学内容分析 本节内容安排在《普通高中课程标准实验教科书?数学必修 5》 （人教 A 版）第一 章，正弦定理第一课时，是在高二学生学习了三角等知识之后，显然是对三角知识的 应用；同时，作为三角形中的一个定理，也是对初中解直角三角形内容的直接延伸， 因而定理本身的应用又十分广泛。 根据实际教学处理，正弦定理这部分内容共分为三个层次：第一层次教师通过引 导学生对实际问题的探索，并大胆提出猜想；第二层次由猜想入手，带着疑问，以及 特殊三角形中边角的关系的验证，通过“作高法”“等积法”“外接圆法”“ 向量法” 、 、 、 等多种方法证明正弦定理，验证猜想的正确性，并得到三角形面积公式；第三层次利 用正弦定理解决引例，最后进行简单的应用。学生通过对任意三角形中正弦定理的探 索、发现和证明，感受“观察――实验――猜想――证明――应用”这一思维方法， 养成大胆猜想、善于思考的品质和勇于求真的精神。 二、学情分析 对普高高二的学生来说， 已学的平面几何，解直角三角形，三角函数，向量等知识，第 7 页 共 126 页有一定观察分析、解决问题的能力，但对前后知识间的联系、理解、应用有一定难度， 因此思维灵活性受到制约。根据以上特点，教师恰当引导，提高学生学习主动性，多 加以前后知识间的联系，带领学生直接参与分析问题、解决问题并品尝劳动成果的喜 悦。 三、设计思想： 本节课采用探究式课堂教学模式，即在教学过程中，在教师的启发引导下，以学 生独立自主和合作交流为前提，以问题为导向设计教学情境，以“正弦定理的发现和 证明”为基本探究内容，为学生提供充分自由表达、质疑、探究、讨论问题的机会， 让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动，在知识的形成、发展过程 中展开思维，逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力和创造性思维的能 力。 四、教学目标： 1．让学生从已有的几何知识出发, 通过对任意三角形边角关系的探索，共同探究 在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，实验，猜想，验证，证明， 由特殊到一般归纳出正弦定理，掌握正弦定理的内容及其证明方法，理解三角形面积 公式，并学会运用正弦定理解决解斜三角形的两类基本问题。 2．通过对实际问题的探索，培养学生观察问题、提出问题、分析问题、解决问题 的能力，增强学生的协作能力和交流能力，发展学生的创新意识，培养创造性思维的 能力。 3．通过学生自主探索、合作交流，亲身体验数学规律的发现，培养学生勇于探索、 善于发现、不畏艰辛的创新品质，增强学习的成功心理，激发学习数学的兴趣。 4． 培养学生合情合理探索数学规律的数学思想方法， 通过平面几何、 三角形函数、 正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。 五、教学重点与难点 教学重点：正弦定理的发现与证明；正弦定理的简单应用。 教学难点：正弦定理的猜想提出过程。 教学准备：制作多媒体课件，学生准备计算器，直尺，量角器。 六、教学过程： （一）结合实例，激发动机 师生活动： B 教师：展示情景图如图 1，船从港口 B 航行到港口 C，测得 BC 的距离为 600m ， 船在港口 C 卸货后继续向港口 A 航行，由 于船员的疏忽没有测得 CA 距离，如果船 上有测角仪我们能否计算出 A、 的距离？ B 学生：思考提出测量角 A，C A 教 师 ： 若 已 知 测 得 ?BAC ? 75? ， C ?ACB ? 45? ，要计算 A、B 两地距离，你 （图 1） 有办法解决吗？ 学生：思考交流，画一个三角形 A?B?C? ，使得 B?C ? 为 6cm， ?B?A?C? ? 75? ， ?A?C?B? ? 45? ，量得 A?B? 距离约为 4.9cm，利用三角形相似性质可知 AB 约为 490m。第 8 页 共 126 页老师：对，很好，在初中，我们学过相似三角形，也学过解直角三角形，大家还 记得吗？ 师生：共同回忆解直角三角形，①直角三角形中，已知两边，可以求第三边及两个 角。②直角三角形中，已知一边和一角，可以求另两边及第三个角。 。 教师：引导， ?ABC 是斜三角形，能否利用解直角三角形，精确计算 AB 呢？ 学生：思考，交流，得出过 A 作 AD ? BC 于 D 如图 2，把 ?ABC 分为两个直角三角 形，解题过程，学生阐述，教师板书。 解：过 A 作 AD ? BC 于 D AD A 在 Rt ?ACD 中， sin ?ACB ? AC? AD ? AC ? ?ACB ? 600 ? sin 2 ? 300 2m 2? ?ACB ? 45? ， ?BAC ? 75???ABC ? 180? ? ?ACB ? ?ACB ? 60?CD（图 2）BAD 在 Rt ?ABD 中， sin ?ABC ? AB? AB ? AD 300 2 ? ? 200 6m sin ?ABC 3 2教师：表示对学生赞赏，那么刚才解决问题的过程中，若 AC ? b ， AB ? c ，能否 用 B 、 b 、 C 表示 c 呢？ 教师：引导学生再观察刚才解题过程。 AD AD 学生：发现 sin C ? ， sin B ? b c ? AD ? b sin C ? c sin B b sin C ?c ? sin B 教师：引导 ，在刚才的推理过程中，你能想到什么？你能发现什么？ b sin C a sin C b sin A 学生：发现即然有 c ? ，那么也有 c ? ，a ? 。 sin B sin A sin B b sin C a sin C b sin A 教师：引导 c ? ， c? ， a? ，我们习惯写成对称形式 sin B sin A sin B c b c a a b a b c ， ， ，因此我们可以发现 ， ? ? ? ? ? sin C sin B sin C sin A sin A sin B sin A sin B sin C 是否任意三角形都有这种边角关系呢？ 设计意图： 兴趣是最好的老师。 如果一节课有良好的开头， 那就意味着成功的一半。 因此，我通过从学生日常生活中的实际问题引入，激发学生思维，激发学生的求知欲， 引导学生转化为解直角三角形的问题，在解决问题后，对特殊问题一般化，得出一个 猜测性的结论――猜想，培养学生从特殊到一般思想意识，培养学生创造性思维能力。 （二）数学实验，验证猜想 教师：给学生指明一个方向，我们先通过特殊例子检验第 9 页 共 126 页a b c 是否成立，举出特例。 ? ? sin A sin B sin C （1）在△ABC 中，∠A，∠B，∠C 分别为 60? ， 60? ， 60? ，对应的边长a： c 为 1： 1， b： 1： 对应角的正弦值分别为3 3 3 a ， ， ， 引导学生考察 ， 2 2 2 sin Ab c ， 的关系。 （学生回答它们相等） sin B sin C （2） 、在△ABC 中，∠A，∠B，∠C 分别为 45? ， 45? ， 90? ，对应的边长 a：b：c 为 1：1： 2 ，对应角的正弦值分别为 答它们相等）2 2 ， ，1； （学生回 2 2（3） 、在△ABC 中，∠A，∠B，∠C 分别为 30? ， 60? ， 90? ，对应的 边长 a：b：c 为 1： 3 ：2，对应角的正弦值分别为 它们相等） （图 3）A A A3 1 ， ，1。 （学生回答 2 260 ?c b c45 ?b30 ?60 ?B a60 ?CB45 ?a90 ?C60 ?B90 ?C（图 3） 教师：对于 Rt ?ABC 呢？ 学生：思考交流得出，如图 4，在 Rt ? ABC 中，设 BC=a,AC=b,AB=c, a b c A 则有 sin A ? ， sin B ? ，又 sinC ? 1 ? , c c c c a b c 则 ? ? ?c b sin A sin B sin C a b c 从而在直角三角形 ABC 中， ? ? C sin A sin B sinC a B(图 4)a b c 教师：那么任意三角形是否有 呢？学生按事先安排分组， ? ? sin A sin B sin C 出示实验报告单，让学生阅读实验报告单，质疑提问：有什么不明白的地方或者有什 么问题吗？（如果学生没有问题，教师让学生动手计算，附实验报告单。 ） 学生：分组互动，每组画一个三角形，度量出三边和三个角度数值，通过实验数据 a b c 计算，比较 、 、 的近似值。 sin A sin B sin C a b c 教师：借助多媒体演示随着三角形任意变换， 、 、 值仍然保持相 sin A sin B sin C第 10 页 共 126 页等。a b c = = sin A sin B sin C 设计意图：让学生体验数学实验，激起学生的好奇心和求知欲望。学生自己进行 实验，体会到数学实验的归纳和演绎推理的两个侧面。 （三）证明猜想，得出定理 师生活动： 教师：我们虽然经历了数学实验，多媒体技术支持，对任意的三角形，如何用数学 a b c 的思想方法证明 呢？前面探索过程对我们有没有启发？学生分组 ? ? sin A sin B sinC 讨论，每组派一个代表总结。 （以下证明过程，根据学生回答情况进行叙述） 学生：思考得出 ①在 Rt ?ABC 中，成立，如前面检验。 ②在锐角三角形中，如图 5 设 BC ? a ， CA ? b ， AB ? c 作： AD ? BC ，垂足为 D AD 在 Rt ?ABD 中， sin B ? AB ? AD ? AB ? sin B ? c ? sin B A AD 在 Rt ?ADC 中， sin C ? AC ? AD ? AC ? sin C ? b ? sin C ?c sin B ? b sin C c b ? ? sin C sin B a c 同理，在 ?ABC 中， ? C B D sin A sin C （图 5） a b c ? ? ? sin A sin B sin C ③在钝角三角形中，如图 6 设 ?C 为钝角， BC ? a ， CA ? b ， AB ? c 作 AD ? BC 交 BC 的延长线于 D AD A 在 Rt ?ADB 中， sin B ? AB ? AD ? AB ? sin B ? c ? sin B AD 在 Rt ?ADC 中， sin ?ACD ? AC ? AD ? AC ? sin ?ACD ? b ? sin ?ACB ?c ? sin B ? b ? sin ?ACB c b B ? ? D C sin ?ACB sin B （图 6） a c 同锐角三角形证明可知 ? sin A sin C a b c ? ? ? sin A sin B sin ?ACB 教师：我们把这条性质称为正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的我们猜想：第 11 页 共 126 页比相等，即a b c ? ? sin A sin B sin C 还有其它证明方法吗？ 学生：思考得出，分析图形（图 7） ，对于任意△ABC，由初中所学过的面积公式可以得 1 1 1 出： S?ABC ? AC ? BD ? CB ? AE ? BA ? CF ， 2 2 2 BD AE CF 而由图中可以看出：sin ?BAC ? ，sin ?ACB ? ，sin ?ABC ? AB AC BC? BD ? AB ? sin ?BAC, AE ? AC ? sin ?ACB, CF ? BC ? sin ?ABC1 1 1 AC ? BD ? CB ? AE ? BA ? CF 2 2 2 1 1 1 = AC ? AB ? sin ?BAC ? CB ? CA ? sin ?ACB ? BA ? BC ? sin ?ABC 2 2 2 1 1 1 = b ? c ? sin? BAC ? a ? b ? sin ?ACB ? c ? a ? sin ?ABC 2 2 2 1 1 1 1 等式 b ? c ? sin ?BAC ? a ? b ? sin ?ACB ? c ? a ?sin ? ABC中均除以 abc 后可 2 2 2 2 sin ?BAC sin ?ABC sin ?ACB 得 ， ? ? a b c a b c 即 。 ? ? sin ?BAC sin ?ABC sin ?ACB 教师边分析边引导学生，同时板书证明过程。 ? S?ABC ?B F c b A(图 7) （图7）E aDC在刚才的证明过程中大家是否发现三角形高 AE ? c ? sin ?ABC ? a ? sin ?ABC ，三角形 1 的面积： S?ABC ? ? a ? AE ，能否得到新面积公式 2 1 1 1 学生： S?ABC ? b ? c ? sin ?BAC ? a ? b ? sin ?ACB ? c ? a ? sin ?ABC 2 2 2 1 1 1 得到三角形面积公式 S?ABC ? ab sin C ? ca sin B ? bc sin A 2 2 2第 12 页 共 126 页a b c 、 、 都等于同一个比 sin A sin B sin C 值 k ，那么它们也相等，这个 k 到底有没有什么特殊几何意义呢？ 学 生 ： 在 前 面 的 检 验 中 ， R ? A B中 ， t C a b c ? ? c ， c 恰为外接接圆的直径，即 ? C s iA n sB n i C i n s B' c ? k ? 2 R，所以作 ?ABC 的外接圆 O ，O 为圆心，连接 BO 并延长交圆 O 于 B ' ，把一般三角形转化为直角三角 形。 证明：连续 BO 并延长交圆于 B ' ??B ' AB ? 90? ， ?B ' ? ?C A AB B 在 Rt?B ' AB 中， ? B?B sin B ' （图 8） AB AB ? ? ? B ' B ? 2R sin B ' sin C c 即 ? 2R sin C a b 同理可证： ? 2R ， ? 2R sin A sin B a b c ? ? ? ? 2R sin A sin B sin C a b c 教师：从刚才的证明过程中, ? ? ? 2 R ，显示正弦定理的比值等于 sin A sin B sin C 三角形外接圆的直径 2R ，我们通过“作高法”“等积法”“外接圆法”等平面几何方 、 、 法证明正弦定理，能否利用其他知识来证明正弦定理？比如，在向量中，我也学过 ? ? ? ? a ? b ? a ? b ? cos ? ，这与边的长度和三角函数值有较为密切的联系，是否能够利用向教师：大家还有其他的证明方法吗？比如：O量积来证明正弦定理呢？ 学生：思考（联系作高的思想）得出： ??? ??? ??? ? ? ? ? 在锐角三角形 ?ABC 中， AB ? BC ? AC ，作单位向量 j 垂直于 AC ，???? ? ??? ? ??? ? ? ? AC ? j ? AB ? j ? BC ? j? j即 0 ? c ? cos(90? ? A) ? a ? cos(90? ? C )B?c ? sin A ? a ? sin C ? 0 c a ? ? ? ? sin C sin A j j b a C 同理：? ? A sin B sin A （图 9） a b c ? ? ? sin A sin B sin C 对于钝角三角形，直角三角形的情况作简单交代。 教师：由于时间有限，对正弦定理的证明到此为止，有兴趣的同学回家再探索。第 13 页 共 126 页设计意图： 经历证明猜想的过程， 进一步引导启发学生利用已有的数学知识论证猜 想，力图让学生体验数学的学习过程。 （四）利用定理，解决引例 师生活动： 教师：现在大家再用正弦定理解决引例中提出的问题。 学生：马上得出 c b 在 ?ABC 中， ?B ? 180? ? ?A ? ?C ? 60? , ? sin C sin B b ? sin C 600 ? sin 45? ?c ? ? ? 200 6m sin B sin 60? （五）了解解三角形概念 设计意图：让学生了解解三角形概念，形成知识的完整性 教师：一般地，把三角形的三个角 A 、 B 、 C 和它们的对边 a 、 b 、 c 叫做三角形 的元素，已知，三角形的几个元素，求其他元素的过程叫做解三角形。 设计意图：利用正弦定理，重新解决引例，让学生体会用新的知识，新的定理，解 决问题更方便，更简单，激发学生不断探索新知识的欲望。 （六）运用定理，解决例题 师生活动： 教师：引导学生从分析方程思想分析正弦定理可以解决的问题。 学生：讨论正弦定理可以解决的问题类型： ①如果已知三角形的任意两个角与一边，求三角形的另一角和另两边，如 b sin A ； a? sin B ②如果已知三角形任意两边与其中一边的对角，求另一边与另两角，如 a sin A ? sin B 。 b 师生：例 1 的处理，先让学生思考回答解题思路，教师板书，让学生思考主要是突出 主体，教师板书的目的是规范解题步骤。 例 1：在 ?ABC 中，已知 A ? 30? ， B ? 45? ， a ? 6cm ，解三角形。 分析“已知三角形中两角及一边，求其他元素” ，第一步可由三角形内角 和为 180 ? 求出第三个角∠C，再由正弦定理求其他两边。 例 2：在 ?ABC 中，已知 a ? 2 2 ， b ? 2 3 ， A ? 45? ，解三角形。 例 2 的处理，目的是让学生掌握分类讨论的数学思想，可先让中等学生讲解解题思路， 其他同学补充交流 学生：反馈练习（教科书第 5 页的练习） 用实物投影仪展示学生中解题步骤规范的解答。 设计意图：自己解决问题，提高学生学习的热情和动力，使学生体验到成功的愉 悦感，变“要我学”为“我要学”“我要研究”的主动学习。 ， （七）尝试小结： 教师：提示引导学生总结本节课的主要内容。 学生：思考交流，归纳总结。第 14 页 共 126 页师生：让学生尝试小结，教师及时补充，要体现： a b c （1）正弦定理的内容（ ? ? ? 2 R ）及其证明思想方法。 sin A sin B sin C （2）正弦定理的应用范围：①已知三角形中两角及一边，求其他元素；②已知三 角形中两边和其中一边所对的角，求其他元素。 （3）分类讨论的数学思想。 设计意图：通过学生的总结，培养学生的归纳总结能力和语言表达能力。 （八）作业设计 作业：第 10 页[习题 1.1]A 组第 1、2 题。 思考题： 2： ?ABC 中， 例 在 已知 a ? 2 2 ，b ? 2 3 ，A ? 45? ， 解三角形。 2 中 b ? 2 3 例 分别改为 b ? 2 6 ， b ? 5 并解三角形，观察解的情况并解释出现一解，两解，无解的 原因。 课外链接： 课后通过查阅相关书籍， 上网搜索， 了解关于正弦定理的发展及应用 （相 关网址：） 七、设计思路： 本节课，学生在不知正弦定理内容和证明方法的前提下，在教师预设的思路中， 学生积极主动参与一个个相关联的探究活动过程，通过“观察――实验――归纳―― 猜想――证明”的数学思想方法发现并证明定理，让学生经历了知识形成的过程，感 受到创新的快乐，激发学生学习数学的兴趣。其次，以问题为导向设计教学情境，促 使学生去思考问题，去发现问题，让学生在“活动”中学习，在“主动”中发展，在 “合作”中增知，在“探究”中创新。 1、结合实例，激发动机 数学源于现实，从学生日常生活中的实际问题引入，激发学生学习的兴趣，引导启 发学生利用已有的知识解决新的问题，方法一通过相似三角形相似比相等进行计算， 方法二转化解直角三角形。让学在解决问题中发现新知识，提出猜想，使学生在观察、 实验、猜想、验证、推理等活动中，逐步形成创新意识。 2、数学实验，验证猜想 通过特例检验， 让学生动手实验， 提高了学生实验操作、 分析思考和抽象概括的能， 激发学生的好奇心和求知欲望，体会到数学实验的归纳和演绎推理的两个侧面。 3、证明猜想，得出定理 引导启发学生从角度进行证明定理，展示自己的知识，培养学生解决问题的能力， 增强学习的兴趣，爱好，在知识的形成、发展过程中展开思维，培养推理的意识。 附一： 实验报告单 组长: 组员： a b c 试验目的 研究三角形中各边和它对角的正弦值的比( ， ， )是否相 sin A sin B sin C 等。 实验器材 实验方法 实验内容 计算器，直尺，量角器，硬纸板（由老师统一发） 画一个任意三角形，量取三边和三个角的值，并计算。 三边：a= b= c= 三角：A= B= C=第 15 页 共 126 页a b = = sin A sin B （精确到小数点后两位）计算： 结论：c = sin C福安一中 陈桢仔 林旭点评：本节定理教学课，教师把重点放在定理的发现与证明上，符合新课标 重视过程与方法的理念，克服了传统教学只注重结论的倾向。首先，利用 解决一个可测量两角一对边，求另一对边的实际问题引入，在解决实际问 题中，引导学生发现“三角形三边与其对应角的正弦值的比相等”的规律； 通过对特殊三角形的验证，大胆猜想对任意三角形成立；接着证明了这个 定理。在课堂上展示了定理的发现过程，使学生感受到创新的快乐，激发 学生学习数学的兴趣，同时让学生体验了“观察―实验―归纳―猜想―证 明”的数学思想方法，经历了知识形成的过程，符合新课标重视过程与方 法的理念。 其次， 在解决引例中的测量问题时利用用初中相似三角形知识、 正弦定理的不同证法（转化为直角三角形、辅助以三角形外接圆、向量） 等，都体现了 “在已有知识体系的基础上去建构新的知识体系”的理念， 加强了知识间的联系，培养了学生思维的灵活性。定理证明的方法一、方 法二，参透了分类 、转化的数学思想。但是，本节课的教学内容还是偏 多，在时间分配上要有规划，突出重点，删繁就简；引入的例题要注意条 件更加明确直接，以免产生歧义，冲淡主体，浪费时间。 总之，本节课有效地采用了探究式教学，在教师的启发引导下，以学第 16 页 共 126 页生独立自主和合作交流为前提，以问题为导向设计教学情境，以“正弦定 理的发现和证明”为基本探究内容，为学生提供充分自由表达、质疑、探 究、讨论问题的机会，让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝 试活动，感受“观察――实验――猜想――证明――应用”等环节，教学 过程流畅，在知识的形成、发展过程中展开思维，逐步培养学生发现问题、 探索问题、解决问题的能力和创造性思维的能力。正弦定理（3）一、教学内容分析“正弦定理”是《普通高中课程标准数学教科书?数学（必修 5）（人教版）第一 》 章第一节的主要内容，它既是初中“解直角三角形”内容的直接延拓，也是三角函数 一般知识和平面向量等知识在三角形中的具体运用，是解可转化为三角形计算问题的 其它数学问题及生产、生活实际问题的重要工具，因此具有广泛的应用价值。为什么 要研究正弦定理？正弦定理是怎样发现的？其证明方法是怎样想到的？还有别的证法 吗？这些都是教材没有回答，而确实又是学生所关心的问题。 本节课是“正弦定理”教学的第一课时，其主要任务是引入并证明正弦定理，在 课型上属于“定理教学课” 。因此，做好“正弦定理”的教学，不仅能复习巩固旧知识， 使学生掌握新的有用的知识，体会联系、发展等辩证观点，而且通过对定理的探究， 能使学生体验到数学发现和创造的历程，进而培养学生提出问题、解决问题等研究性 学习的能力。二、学生学习情况分析学生在初中已经学习了解直角三角形的内容，在必修 4 中，又学习了三角函数的 基础知识和平面向量的有关内容，对解直角三角形、三角函数、平面向量已形成初步 的知识框架，这不仅是学习正弦定理的认知基础，同时又是突破定理证明障碍的强有 力的工具。正弦定理是关于任意三角形边角关系的重要定理之一， 《课程标准》强调在 教学中要重视定理的探究过程，并能运用它解决一些实际问题，可以使学生进一步了 解数学在实际中的应用，从而激发学生学习数学的兴趣，也为学习正弦定理提供一种第 17 页 共 126 页亲和力与认同感。三、设计思想培养学生学会学习、学会探究是全面发展学生能力的重要前提，是高中新课程改 革的主要任务。如何培养学生学会学习、学会探究呢？建构主义认为： “知识不是被动 吸收的，而是由认知主体主动建构的。 ”这个观点从教学的角度来理解就是：知识不是 通过教师传授得到的，而是学生在一定的情境中，运用已有的学习经验，并通过与他 人（在教师指导和学习伙伴的帮助下）协作，主动建构而获得的，建构主义教学模式 强调以学生为中心，视学生为认知的主体，教师只对学生的意义建构起帮助和促进作 用。本节“正弦定理”的教学，将遵循这个原则而进行设计。四、教学目标1、知识与技能：通过对任意三角形的边与其对角的关系的探索，掌握正弦定理的 内容及其证明方法。 2、过程与方法：让学生从已有的知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对 角的关系，引导学生通过观察、归纳、猜想、证明，由特殊到一般得到正弦定理等方 法，体验数学发现和创造的历程。 3、情感态度与价值观：在平等的教学氛围中，通过学生之间、师生之间的交流、 合作和评价，实现共同探究、教学相长的教学情境。五、教学重点与难点重点：正弦定理的发现和推导 难点：正弦定理的推导六、教学过程设计（一）设置情境 利用投影展示：如图 1，一条河的两岸平行，河宽 d ? 1km 。因上游暴发特大洪水， 在洪峰到来之前，急需将码头 A 处囤积的重要物资及留 员用船尽快转运到正对岸的码头 B 处或其下游 1km 的码 处，请你确定转运方案。已知船在静水中的速度v1 ? 5km / h ，水流速度 v1 ? 3km / h 。B C守人 头C【设计意图】培养学生的“数学起源于生活，运用于 （二）提出问题A图 1生活”的思想意识，同时情境问题的图形及解题思路均为研究正弦定理做铺垫。 师：为了确定转运方案，请同学们设身处地地考虑有关的问题，将各自的问题经 小组（前后 4 人为一小组）汇总整理后交给我。 待各小组将问题交给老师后，老师筛选了几个问题通过投影向全班展示，经大家 归纳整理后得到如下的五个问题：第 18 页 共 126 页1、船应开往 B 处还是 C 处？ 2、船从 A 开到 B、C 分别需要多少时间？ 3、船从 A 到 B、C 的距离分别是多少？ 4、船从 A 到 B、C 时的速度大小分别是多少？ 5、船应向什么方向开，才能保证沿直线到达 B、C？ 【设计意图】通过小组交流，提供一定的研究学习与情感交流的时空，培养学生合 作学习的能力；问题源于学生，突出学生学习的主体性，能激发学生学习的兴趣；问 题通过老师的筛选，确定研究的方向，体现教师的主导作用。 师：谁能帮大家讲解，应该怎样解决上述问题？ 大家经过讨论达成如下共识：要回答问题 1，需要解决问题 2，要解决问题 2，需 要先解决问题 3 和 4，问题 3 用直角三角形知识可解，所以重点是解决问题 4，问题 4 与问题 5 是两个相关问题。因此，解决上述问题的关键是解决问题 4 和 5。 师：请同学们根据平行四边形法则，先在练习本上做出与问题对应的示意图，明 确已知什么，要求什么，怎样求解。 生 1：船从 A 开往 B 的情况如图 2，根据平行 边形的性质及解直角三角形的知识，可求得船在河水 的速度大小 | v | 及 v1 与 v2 的夹角 ? ：| v |? | v1 |2 ? | v2 |2 ? 52 ? 32 ? 4 ，D E v1 v F A v2 图 2 B C四 中sin ? ?| v1 | 3 ? , | v2 | 5用计算器可求得 ? ? 37?B D v1 v v2 A F 图 3 E C船从 A 开往 C 的情况如图 3， | AD |?| v1 |? 5 ，| DE |?| AF |?| v2 |? 3 ，易求得 ?AED ? ?EAF ? 45? ，还需求?DAE 及 v ，我还不知道怎样解这两个问题。师： 请大家思考， 这两个问题的数学实质是什么？ 部分学生：在三角形中，已知两边和其中一边的 角，求另一边的对角和第三边。对【设计意图】将问题数学化，有助于加深学生对问题的理解，有助于培养学生的数 学意识。 师：请大家讨论一下，如何解决这两个问题？ 生 3：不知道。 师：图 2 的情形大家都会解，但图 3 的情形却有困难，那么图 2 与图 3 有何异同 点？ 生 4： 2 和图 3 的情形都是已知三角形的两边和其中一边的对角， 图 求另一边的对第 19 页 共 126 页角和第三边。但图 2 中 ?ADE 是直角三角形，而图 3 中 ?ADE 不是直角三角形，不能 象在直角三角形中可直接利用边角的关系求解。 师：图 3 的情形能否转化成直角三角形来解呢？ 【设计意图】通过教师的问题引导，启发学生将问题进行转化，培养学生的化归思 想，同时为下一步用特例作为突破口来研究正弦定理以及用作高的方法来证明正弦定 理做好铺垫。 生 5：能，过点 D 作 DG ? AE 于点 G（如图 4） ，? DG |?| v1 | sin ?DAG ?| DE | sin ?AED | | AG |?| v1 | cos ?DAG ， | EG |?| DE | cos ?AED? sin ?DAG ? | DE | sin ?AED 3sin 45? 3 2 ? ? | v1 | 5 10B D v1 v A E CG v2 F 图 4| v |?| AG | ? | GE |? ???师：很好！采取分割的方法，将一般三角形化为两个直角三角形求解。但在生活 中有许多三角形不是直角三角形，如果每个三角形都划分为直角三角形求解，很不便。 能不能象直角三角形一样直接利用边角关系求解呢？三角形中，任意两边与其对角之 间有怎样的数量关系？ 【设计意图】通过教师对学生的肯定评价，创造一个教与学的和谐环境，既激发学 生的学习兴趣，使紧接着的问题能更好地得到学生的认同，又有利于学生和教师的共 同成长。 （三）解决问题 1、正弦定理的引入 师：请同学们想一想，我们以前遇到这种一般问题时，是怎样处理的？ 众学生：先从特殊事例入手，寻求答案或发现解法。可以以直角三角形为特例， 先在直角三角形中试探一下。 师：如果一般三角形具有某种边角关系，对于特殊的三角形――直角三角形也是 成立的，因此我们先研究特例，请同学们对直角三角形进行研究，寻找一般三角形的 各边及其对角之间有何关系？同学们可以参与小组共同研究。 （1）学生以小组为单位进行研究；教师观察学生的研究进展情况或参与学生的研 究。 （2）展示学生研究的结果。 【设计意图】教师参与学生之间的研究，增进师生之间的思维与情感的交流，并 通过教师的指导与观察，及时掌握学生研究的情况，为展示学生的研究结论做准备； 同时通过展示研究结论，强化学生学习的动机，增进学生的成功感及学习的信心。 师：请说出你研究的结论？第 20 页 共 126 页生 7：a b c ? ? sin A sin B sin C师：你是怎样想出来的？ 生 7：因为在直角三角形中，它们的比值都等于斜边 c 。 师：有没有其它的研究结论？（根据实际情况，引导学生进行分析判断结论正确 与否，或留课后进一步深入研究。 ） a b c 师： 对一般三角形是否成立呢？ ? ? sin A sin B sin C 众学生：不一定，可以先用具体例子检验，若有一个不成立，则否定结论：若都 成立，则说明这个结论很可能成立，再想办法进行严格的证明。 a b c 师：这是个好主意。那么 对等边三角形是否成立呢？ ? ? sin A sin B sin C 生 9：成立。 a b c 师：对任意三角形 是否成立，现在让我们借助于《几何画板》 ? ? sin A sin B sin C 做一个数学实验，?? 【设计意图】引导学生的思维逐步形成“情境思考”――“提出问题”――“研 究特例”――“归纳猜想”――“实验探究”――“理论探究”――“解决问题”的 思维方式，进而形成解决问题的能力。 2、正弦定理的探究 （1）实验探究正弦定理 师：借助于电脑与多媒体，利用《几何画板》软件，演示正弦定理教学课件。边 演示边引导学生观察三角形形状的变化与三个比值的变化情况。 a b c 结论： 对于任意三角形都成立。 ? ? sin A sin B sin C 【设计意图】通过《几何画板》软件的演示，使学生对结论的认识从感性逐步上 升到理性。 师：利用上述结论解决情境问题中图 3 的情形，并检验与生 5 的计算结果是否一 致。 生 10： （通过计算）与生 5 的结果相同。 师：如果上述结论成立，则在三角形中利用该结论解决“已知两边和其中一边的 对角，求另一边的对角和第三边。 ”的问题就简单多了。 【设计意图】与情境设Z中的问题相呼应，间接给出了正弦定理的简单应用，并 强化学生学习探究、应用正弦定理的心理需求。 （2）点明课题：正弦定理 （3）正弦定理的理论探究 师：既然是定理，则需要证明，请同学们与小组共同探究正弦定理的证明。第 21 页 共 126 页探究方案： 直角三角形――已验证； 锐角三角形――课堂探究； 钝角三角形――课后证明。 【设计意图】通过分析，确定探究方案。课堂只让学生探究锐角三角形的情形， 有助于在不影响探究进程的同时，为探究锐角三角形的情形腾出更多的时间。钝角三 角形的情形以课后证明的形式，可使学生巩固课堂的成果。 师：请你（生 11）到讲台上，讲讲你的证 路？ 生 11： （走上讲台） ，设法将问题转化成直 形中的问题进行解决。通过作三角形的高，与 办法一样，如图 5 作 BC 边上的高 AD，则AD ? csin B ? b sin C，所以 b c a b ，同理可得 ? ? sin B sin C sin A sin BB c a C D 图 5 锐角三角形 A明思角三角b生5的师：因为要证明的是一个等式，所以应从锐角三角形的条件出发，构造等量关系 从而达到证明的目的。注意： c sin B ? b sin C 表示的几何意义是三角形同一边上的高 不变。这是一个简捷的证明方法！ 【设计意图】点明此证法的实质是找到一个可以作为证明基础的等量关系，为后 续两种方法的提出做铺垫，同时适时对学生作出合情的评价。 师：在三角形中还有哪些可以作为证明基础的等量关系呢？ 学生七嘴八舌地说出一些等量关系，经讨论 定如下一些与直角三角形有关的等量关系可能有 价值：①三角形的面积不变；②三角形外接圆直 变。在教师的建议下，学生分别利用这两种关系 基础又得出了如下两种证法： 证法二： 如图 6， AD、 CF 分别是 ?ABC 设 BE、 条高。则有AD ? b ? sin ?ACB ， BE ? c ? sin ?BAC ， CF ? a ? sin ?ABC 。B a D 图 6 F c E b C A后确 利用 径不 作为 的三第 22 页 共 126 页1 1 1 ? S?ABC ? a ? b ? sin ?ACB ? b ? c ? sin ?BAC ? c ? a ? sin ?ABC 2 2 2 a b c ? ? ? sin ?BAC sin ?ABC sin ?ACBA证法三：如图 7，设 BD ? 2r 是 ?ABC 外接圆 径，则 ?BAD ? 90? ， ?ACB ? ?ADB c c ? ? ? BD ? 2r sin ?ACB sin ?ADB a b 同理可证： ? ? 2r sin ?BAC sin ?ABC a b c ? ? ? sin ?BAC sin ?ABC sin ?ACBBc b a C 图 7 三角形 外接圆 D的直【设计意图】在证明正弦定理的同时，将两边及其夹角的三角形面积公式 a b c 及 ? ? ? 2r 一并牵出，使知识的产生自然合理。 sin A sin B sin C 师：前面我们学习了平面向量，能否运用向量的方法证明呢？ ? ??? ? ??? ? ??? 师：任意 ?ABC 中，三个向量 AB 、 BC 、 CA 间有什么关系？ ??? ??? ??? ? ? ? ? 生 12： AB ? BC ? CA ? 0 ??? ??? ??? ? ? ? ? 师：正弦定理体现的是三角形中边角间的数量关系，由 AB ? BC ? CA ? 0 转化成数 量关系？ 生 13：利用向量的数量积运算可将向量关系转化成数量关系。 ??? ??? ??? ? ? ? ? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? 师： AB ? BC ? CA 两边同乘以向量 j ,有 ( AB ? BC ? CA) ? j ? 0 ,这里的向量 j 可否 在 ? 任意？又如何选择向量 j ? ? 生 14：因为两个垂直向量的数量积为 0，可考虑让向量 j 与三个向量中的一个向 ??? ? 量（如向量 BC ）垂直，而且使三个项的关系式转化成两个项的关系式。 师：还是先研究锐角三角形的情形，按以上思路，请大家具体试一下，看还有什 么问题？ 教师参与学生的小组研究，同时引导学生注意两个向量的夹角，最后让学生通过 小组代表作完成了如下证明。??? ? ? 证法四：如图 8，设非零向量 j 与向量 BC 垂直。 ??? ??? ??? ? ? ? ? 因为 AB ? BC ? CA ? 0 ， ??? ??? ??? ? ? ? ? 所以 ( AB ? BC ? CA) ? j ? 0 ??? ? ??? ? ? ? 即 AB ? j ? CA ? j ? 0 B ??? ? ? ??? ? ? ??? ? ? ??? ? ? | AB | ? | j | ? cos ? AB, j ? ? | CA | ? | j | ? cos ? CA, j ?? 0 ? ? c? | j | ? cos(90? ? B) ? b? | j | ? cos(90? ? C ) ? 0 ? ? c? | j | ?(? sin B) ? b? | j | ? sin C ? 0Ac? j abC图 8 向量第 23 页 共 126 页所以b c a b ，同理可得 ? ? sin B sin C sin A sin B师：能否简化证法四的过程？（留有一定的时间给学生思考） ??? ? ??? ? ? ? 师： AB ? j ? CA ? j ? 0 有什么几何意义？ ??? ? ??? ? ? ? ??? ? ??? ? ? ? 生 15：把 AB ? j ? CA ? j ? 0 移项可得 CA ? j ? BA ? j ，由向量数量积的几何意义可知 ??? ? ??? ? ? CA 与 BA 在 j 方向上的投影相等。 生 16：我还有一种证法 师：请你到讲台来给大家讲一讲。 （学生 16 上台板书自己的证明方法。 ） ??? ? ???? 证法五：如图 9，作 AD ? BC ，则 AB 与 AC 在 ??? ???? ??? ???? ? ? ???? A AD 方向上的投影相等,即 AB ? AD ? AC ? AD ??? ???? ? ???? ???? ?| AB | ? | AD | ? cos(90? ? B) ?| AC | ? | AD | ? cos(90? ? C )?c ?s i nB ? b ? s i n C b c a b 故 ，同理可得 ? ? sin B sin C sin A sin Bc D a 图 9 向量 b CB师：利用向量在边上的高上的射影相等，证明 了正弦定理，方法非常简捷明了！【设计意图】 利用向量法来证明几何问题， 学生相对比较生疏， 不容易马上想出来， 教师通过设计一些递进式的问题给予适当的启发引导，将很难想到的方法合理分解， 有利于学生理解接受。 （四）小结 师：本节课我们是从实际问题出发，通过猜想、实验，归纳等思维方法，最后发 现了正弦定理，并从不同的角度证明了它。本节课，我们研究问题的突出特点是从特 殊到一般，利用了几何画板进行数学实验。我们不仅收获着结论，而且整个探索过程 我们也掌握了研究问题的一般方法。 （五）作业 1、回顾本节课的整个研究过程，体会知识的发生过程； 2、思考：证法五与证法一有何联系？ 3、思考：能否借助向量的坐标的方法证明正弦定理？ 4、当三角形为钝角三角形时，证明正弦定理。 【设计意图】为保证学生有充足的时间来完成观察、归纳、猜想、探究和证明，小 结的时间花得少且比较简单，这将在下一节课进行完善，因此作业的布Z也为下节课 做一些必要的准备。七、教学反思为了使学生真正成为提出问题和解决问题的主体，成为知识的“发现者”和“创 造者” 使教学过程成为学生主动获取知识、 ， 发展能力、 体验数学的过程。 我想到了 “情第 24 页 共 126 页境――问题”教学模式，即构建一个以情境为基础，提出问题与解决问题相互引发携 手并进的“情境――问题”学习链，并根据上述精神，结合教学内容，具体做出了如 下设计：①创设一个现实问题情境作为提出问题的背景（注：该情境源于《普通高中 课程标准数学教科书?数学（必修 4）（人教版）第二章习题 2.5 B 组第二题，我将其 》 加工成一个具有实际意义的决策型问题） ②启发、 ； 引导学生提出自己关心的现实问题， 逐步将现实问题转化、抽象成过渡性数学问题，解决过渡性问题 4 与 5 时需要使用正 弦定理，借此引发学生的认知冲突，揭示解斜三角形的必要性，并使学生产生进一步 探索解决问题的动机。然后引导学生抓住问题的数学实质，将过渡性问题引伸成一般 的数学问题：已知三角形的两条边和一边的对角，求另一边的对角及第三边。解决这 两个问题需要先回答目标问题：在三角形中，两边与它们的对角之间有怎样的关系？ ③为了解决提出的目标问题，引导学生回到他们所熟悉的直角三角形中，得出目标问 题在直角三角形中的解，从而形成猜想，然后使用几何画板对猜想进行验证，进而引 导学生对猜想进行严格的逻辑证明。 总之，整个过程让学生通过自主探索、合作交流，亲身经历了“情境思考”―― “提出问题”――“研究特例”――“归纳猜想”――“实验探究”――“理论探究” ――“解决问题”――“反思总结”的历程，使学生成为正弦定理的“发现者”和“创 造者” ，切身感受了创造的苦和乐，从而使三维教学目标得以实现。大田一中 陈永民点评： 本节课是典型合作探究课，教师先设计一个实际问题引导学生讨论问 题解决方案，将方案数学化，归纳出一类数学问题“在三角形中，已知两 边和其中一边的对角，求另一边的对角和第三边” ，顺利地引入新课，实 现了从“现象”到“本质”的飞跃，培养了学生提出问题、分析问题、数 学建模的能力。为寻求解决问题的普遍方法，对三角形的边角关系进行探 索，在特殊情况（直角三角形）下得到正弦定理a b c ，又在 ? ? sin A sin B sin C等边三角形和一般三角形中验证，坚定了结论成立的猜想，最后通过严格 证明，得到了正弦定理，再返回到前面的引例中，利用正弦定理问题迎仞 而解。从而使学生亲身经历了“情境思考”―“提出问题”―“研究特例” ―“归纳猜想”―“实验探究”―“理论探究”―“解决问题”―“反思第 25 页 共 126 页总结”的历程，学会研究数学问题的方法，学生成为正弦定理的“发现者” 和“创造者” ，切身感受了创造的苦和乐。在对具体的一般三角形验证a b c 成立的过程中，利用《几何画板》软件，不断变换三角 ? ? sin A sin B sin C形，观察上式成立，提高了效率，现代教育技术的运用恰到好处。余 弦 定 理一、教学内容分析人教版《普通高中课程标准实验教科书?必修（五）（第 2 版）第一章《解三角 》 形》第一单元第二课《余弦定理》 。通过利用向量的数量积方法推导余弦定理，正确理 解其结构特征和表现形式，解决“边、角、边”和“边、边、边”问题，初步体会余 弦定理解决“边、边、角” ，体会方程思想，激发学生探究数学，应用数学的潜能。二、学生学习情况分析本课之前，学生已经学习了三角函数、向量基本知识和正弦定理有关内容，对于 三角形中的边角关系有了较进一步的认识。在此基础上利用向量方法探求余弦定理， 学生已有一定的学习基础和学习兴趣。总体上学生应用数学知识的意识不强，创造力 较弱，看待与分析问题不深入，知识的系统性不完善，使得学生在余弦定理推导方法 的探求上有一定的难度，在发掘出余弦定理的结构特征、表现形式的数学美时，能够 激发学生热爱数学的思想感情；从具体问题中抽象出数学的本质，应用方程的思想去 审视，解决问题是学生学习的一大难点。三、设计思想新课程的数学提倡学生动手实践，自主探索，合作交流，深刻地理解基本结论的 本质，体验数学发现和创造的历程，力求对现实世界蕴涵的一些数学模式进行思考， 作出判断；同时要求教师从知识的传授者向课堂的设计者、组织者、引导者、合作者 转化，从课堂的执行者向实施者、探究开发者转化。本课尽力追求新课程要求，利用 师生的互动合作，提高学生的数学思维能力，发展学生的数学应用意识和创新意识，第 26 页 共 126 页深刻地体会数学思想方法及数学的应用，激发学生探究数学、应用数学知识的潜能。四、教学目标继续探索三角形的边长与角度间的具体量化关系、掌握余弦定理的两种表现形式， 体会向量方法推导余弦定理的思想；通过实践演算运用余弦定理解决“边、角、边” 及“边、边、边”问题；深化与细化方程思想，理解余弦定理的本质。通过相关教学 知识的联系性，理解事物间的普遍联系性。五、教学重点与难点教学重点是余弦定理的发现过程及定理的应用； 教学难点是用向量的数量积推导 余弦定理的思路方法及余弦定理在应用求解三角形时的思路。 六、教学过程： 教学 环节 合作探究活动 学情分析与设计意图知识 回顾1、一般三角形全等的四种判断方法是什么？ a b c 2、三角形的正弦定理内容 ，主要 ? ? sin A sin A sin C 解决哪几类问题的三角形？ 你能判断下列三角形的类型吗？ 1、以 3，4，5 为各边长的三角形是_____三角形 以 2，3，4 为各边长的三角形是_____三角形 以 4，5，6 为各边长的三角形是_____三角形 2、在△ABC 中 a＝8，b＝5，∠c＝60°，你能求 c 边 长吗？ 引导学生从平面几何、实践作图方面进行估计判断。 你能够有更好的具体的量化方法吗？回顾旧知，防止遗忘学生可能比较茫然， 帮助学生分析相关内 容，从多角度看待问 题，用实践进行检验。创设 引入提出 问题帮助学生从平面几何、三角函数、向量知识、坐标法等 方面进行分析讨论，选择简洁的处理工具，引发学生的 积极讨论。引导学生从相关知识 入手，选择简洁的工 具。第 27 页 共 126 页利用向量法推导余弦定理： 如图：设 CB ? a, CA ? b, AB ? C , ， 由三角形法则有 c ? a ? b 合作 探究c ? c?c ? a ?b ? a ?b 　　 a ? a ? b ? b ? 2a ? b ? 　　 a 2 ? b 2 ? 2ab cos c ? 即：△ ABC中 : c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cos c2A学生对向量知识可能 遗忘，注意复习；在bacB利用数量积时，角度 可能出现错误，出现 不同的表示形式，让 学生从错误中发现问 题，巩固向量知识， 明确向量工具的作 用。同时，让学生明 确数学中的转化思 想：化未知为已知。? ?? ?C同理，让学生利用相同方法推导，a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A, b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2a cos B余弦定理： a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A 归纳 概括b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC知识归纳比较，发现 特征，加强识记三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方和减去 这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。 观察余弦定理，指明了三边长与其中一角的具体关系， 并发现 a 与 A，b 与 B，C 与 c 之间的对应表述，同时 发现三边长的平方在余弦定理中同时出现 余弦定理的推论： cos A ?b2 ? c2 ? a2 2bc cos C ? a2 ? b2 ? c2 2ab使学生明确对应关 系，树立方程思想， 解决“边、角、边” 问题结构 分析知识 联系cos B ? a2 ? c2 ? b2 2ac解决“边、边、边” 问题用准确的量化关系去 方法 应用 怎样准确地解答引入中的两个问题？ 怎样利用已知条件判断三角形的形状？ 解决问题，用边长去 判断三角形形状，勾 股定理是余弦定理特 例。第 28 页 共 126 页应用数学知识求解问 题加强计算器的运算 例 1 ： 在 △ ABC 中 ， 已 知 b ＝ 60cm ， c ＝ 34cm ， A＝41°，求解三角形（角度精确到 1°，边长精确到 功能，同时，巩固好 1cm） 正弦定理，余弦定理 例 2：在△ABC 中，已知 a＝134.6cm，b＝87.8cm，c 知识，发现两种知识 ＝161.7cm，解三角形（角度精确到 1′） 方法在解三角形中的 综合应用。 继续深化正弦、余弦 例 3：已知△ABC 中 a ? 3, b ? 3, sin A ? 知识 深化 分析： （1）用正弦定理分析引导2 2 2知识 应用6 求 c 边长 3定理，尤其是余弦定 理的方程思想求解问 题优越于余弦定理。（2） 应用余弦定理 a ? b ? c ? 2bc cos A 构造关 并 让 学 生 初 步 发 现 于 C 的方程求解。 “边、边、角”问题 （3）比较两种方法的利弊。能用正弦定理解决的 解法，为下节学习辅 问题均可以用余弦定理解决，更具有优越性。 垫。 1、某人站在山顶向下看一列车队向山脚驶来，他看见 第一辆车与第二辆车的俯角差等于他看见第二辆与第 三辆车的俯角差， 则第一辆车与第二辆车的距离 d 1 与第 二辆车的距离 d 2 之间关系为（ A： d 1 & d 2 B： d 1 = d 2 D：大小不确定 ） ） 用练习去巩固所学知 识，使学生逐步形成 良好的知识结构，加 强数学知识应用能力 的培养。练习 检测 C： d 1 & d 2 2、锐角△ABC 中 b＝1，c＝2，则 a 取值为（ A： （1,3） C： 3 ，2） （ B： （1, 3 ） D： 3 ， 5 ） （3、在△ABC 中若有 a cos A ? b cos B ，你能判断这个三 角形的形状吗？若 a cos B ? b cos A 呢？第 29 页 共 126 页课堂 小结1、正弦、余弦定理各能解决哪些类型问题？各有什么 通过知识回顾，使学 利与弊？ 生各自体会收获。 2、从本课中你学到了哪些知识和方法？板书 设计1、推导余弦定理及其推论 2、例 3、例 4 3、练习指导 4、小结投影正弦、余弦定理，比较它们理解知识作业 设计1、讨论余弦定理的其它解法设计思路。 2、第 11 页 A 组 3、4 题巩固知识 多角度看待问题七、教学反思本课的教学应具有承上启下的目的。因此在教学设计时既要兼顾前后知识的联系， 又要使学生明确本课学习的重点，将新旧知识逐渐地融为一体，构建比较完整的知识 系统。所以在余弦定理的表现方式、结构特征上重加指导，只有当学生正确地理解了 余弦定理的本质，才能更好地应用求解问题。本课教学设计力求在型（模型、类型） ， 质（实质、本质） ，思（思维、思想方法）上达到教学效果。本课之前学生已学习过三 角函数，平面几何，平面向量、解析几何、正弦定理等与本课紧密联系的内容，使本 课有了较多的处理工具，也使余弦定理的探讨有了更加简洁的工具。因此在本课的教 学设计中抓住前后知识的联系，重视数学思想的教学，加深对数学概念本质的理解， 认识数学与实际的联系，学会应用数学知识和方法解决一些实际问题。学生应用数学 的意识不强，创造力不足、看待问题不深入，很大原因在于学生的知识系统不够完善。 因此本课运用联系的观点，从多角度看待问题，在提出问题、思考分析问题、解决问 题等多方面对学生进行示范引导，将旧知识与新知识进行重组拟合及提高，帮助学生 建立自己的良好知识结构。福建漳平市第一中学李永彬点评：本课是在学生学习了三角函数、平面几何、平面向量、正弦定 理的基础上而设Z的教学内容，因此本课的教学有较多的处理办法。 李老师从解三角形的问题出发，提出解题需要，引发认知冲突，激第 30 页 共 126 页起学生的求知欲望，调动了学生的学习积极性；在定理证明的教学 中，引导学生从平面几何、三角函数、向量知识、坐标法等方面进 行分析讨论，注意分析思路，揭示蕴含在证明中的数学思想，最后 引导学生用向量知识推导出公式 c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC ， 在给出余弦定 理的三个等式和三个推论之后，又对知识进行了归纳比较，发现特 征，便于学生识记，同时也指出了勾股定理是余弦定理的特殊情形， 提高了学生的思维层次。 命题的应用是命题教学的一个重要环节，学习命题的重要目的是应用 命题去解决问题。所以，例题的精选、讲解是至关重要的。设计中的例 1、 例 2 是常规题，让学生应用数学知识求解问题，巩固正弦定理、余弦定理 知识。例 3 是已知两边一对角，求解三角形问题，可用正弦定理求之，也 可用余弦定理求解，通过比较分析，突出了正、余弦定理的联系，深化了 对两个定理的理解，培养了解决问题的能力。但李老师在对例 3 解法的总 结时，指出“能用正弦定理解决的问题均可以用余弦定理解决，更具有优 越性。 ”这结论有点片面。 本课在继承了传统数学教学模式优点，结合新课程的要求进行改进和 发展，以发展学生的数学思维能力为主线，发挥教师的设计者，组织者作 用，在使学生掌握知识的同时，帮助学生摸索自己的学习方法。等差数列一、教学内容分析本节课是《普通高中课程标准实验教科书?数学 5》 （人教版）第二章数列第二节 等差数列第一课时。 数列是高中数学重要内容之一，它不仅有着广泛的实际应用，而且起着承前启后第 31 页 共 126 页的作用。一方面, 数列作为一种特殊的函数与函数思想密不可分；另一方面,学习数列 也为进一步学习数列的极限等内容做好准备。而等差数列是在学生学习了数列的有关 概念和给出数列的两种方法――通项公式和递推公式的基础上，对数列的知识进一步 深入和拓广。同时等差数列也为今后学习等比数列提供了“联想”“类比”的思想方 、 法。二、学生学习情况分析我所教学的学生是我校高二（2）班的学生，经过一年的学习，大部分学生知识经 验已较为丰富，他们的智力发展已到了形式运演阶段，具备了较强的抽象思维能力和 演绎推理能力，但也有一部分学生的基础较弱，学习数学的兴趣还不是很浓，所以我 在授课时注重从具体的生活实例出发，注重引导、启发、研究和探讨以符合这类学生 的心理发展特点，从而促进思维能力的进一步发展。三、设计思想1．教法 ⑴诱导思维法：这种方法有利于学生对知识进行主动建构；有利于突出重点，突 破难点；有利于调动学生的主动性和积极性，发挥其创造性。 ⑵分组讨论法：有利于学生进行交流，及时发现问题，解决问题，调动学生的积 极性。 ⑶讲练结合法：可以及时巩固所学内容，抓住重点，突破难点。 2．学法 引导学生首先从四个现实问题（数数问题、女子举重奖项设置问题、水库水位问 题、储蓄问题）概括出数组特点并抽象出等差数列的概念；接着就等差数列概念的特 点，推导出等差数列的通项公式；可以对各种能力的同学引导认识多元的推导思维方 法。 用多种方法对等差数列的通项公式进行推导。 在引导分析时，留出“空白” ，让学生去联想、探索，同时鼓励学生大胆质疑，围 绕中心各抒己见，把思路方法和需要解决的问题弄清。四、教学目标通过本节课的学习使学生能理解并掌握等差数列的概念，能用定义判断一个数列 是否为等差数列，引导学生了解等差数列的通项公式的推导过程及思想，会求等差数 列的公差及通项公式，能在解题中灵活应用，初步引入“数学建模”的思想方法并能 运用；并在此过程中培养学生观察、分析、归纳、推理的能力，在领会函数与数列关 系的前提下，把研究函数的方法迁移来研究数列，培养学生的知识、方法迁移能力； 通过阶梯性练习，提高学生分析问题和解决问题的能力。在解决问题的过程中培养学 生主动探索、勇于发现的求知精神；使学生认识事物的变化形态，养成细心观察、认 真分析、善于总结的良好思维习惯。并通过一定的实例激发同学们的民族自豪感和爱 国热情。五、教学重点与难点重点： ①等差数列的概念。 ②等差数列的通项公式的推导过程及应用。 难点： ①理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义。 ②理解等差数列是一种函数模型。 关键：第 32 页 共 126 页等差数列概念的理解及由此得到的“性质”的方法。六、教学过程教学 环节 情境设计和学习任务 学生活动 设计意图 课堂引入创设 情景探索 研究上节课我们学习了数列。在日常生活 倾听 中，人口增长、教育贷款、存款利息 等等这些大家以后会接触得比较多的 实际计算问题，都需要用到有关数列 的知识来解决。今天我们就先学习一 类特殊的数列。 由学生观察分析并得出答案： 观察分析，发表各自的意见 在现实生活中，我们经常这样数 数，从 0 开始，每隔 5 数一次，可以 得到数列： 5， 0， ___,___,___,___,? 2000 年，在澳大利亚悉尼举行的 奥运会上，女子举重被正式列为比赛 项目。该项目共设置了 7 个级别。其 中较轻的 4 个级别体重组成数列（单 位：kg） ：48，53，58，63。 水库的管理人员为了保证优质鱼 类有良好的生活环境，用定期放水清 理水库的杂鱼。如果一个水库的水位 为 18cm， 自然放水每天水位降低 2.5m， 最低降至 5m。那么从开始放水算起， 到可以进行清理工作的那天，水库每 天的水位组成数列（单位：m） ：18， 15.5，13，10.5，8，5.5 我国现行储蓄制度规定银行支付 存款利息的方式为单利，即不把利息 加入本金计算下一期的利息。按照单 利计算本利和的公式是：本利和=本金 ×（1+利率×寸期）.例如，按活期存 入 10 000 元钱，年利率是 0.72%。那 么按照单利， 年内各年末的本利和分 5 别是： 年初本 年末本利和 时间 金（元） （元） 第 1 年 10 000 10 072 第 2 年 10 000 10 144 第 3 年 10 000 10 216 第 4 年 10 000 10 288 第 5 年 10 000 10 360 各年末的本利和（单位：元）组成了 数列：10 072，10 144，10 216， 10第 33 页 共 126 页引向课题288，10 360。 思考：同学们观察一下上面的这四个 数列： 0，5，10，15，20，?? ① 48，53，58，63 ② 18，15.5，13，10.5，8，5.5 ③ 10 072，10 144，10 216， 10 288， 10 360 ④ 看这些数列有什么共同特点呢？ 发现 规律总结 提高观察分析并得出答案: 引导学生观察相邻两项间 的关系，得到： 对于数列①，从第 2 项起， 每一项与前一项的差都等于 5 ； 对于数列②，从第 2 项起， 每一项与前一项的差都等于 5 ； 对于数列③，从第 2 项起， 每一项与前一项的差都等于 -2.5 ； 对于数列④，从第 2 项起， 每一项与前一项的差都等于 72 ； 由学生归纳和概括出，以上 四个数列从第 2 项起，每一项 与前一项的差都等于同一个常 数（即：每个都具有相邻两项 差为同一个常数的特点） 。 [等差数列的概念] 学生认真阅读课本相关概念， 对于以上几组数列我们称它们为等差 找出关键字。 数列。请同学们根据我们刚才分析等 差数列的特征，尝试着给等差数列下 个定义： 等差数列：一般地，如果一个数列 从第 2 项起，每一项与它的前一项的 差等于同一个常数，那么这个数列就 叫做等差数列。 这个常数叫做等差数列的公差，公差 通常用字母 d 表示。那么对于以上四 组等差数列， 它们的公差依次是 5，5， -2.5，72。 提问： 如果在 a 与 b 中间插入一个数 A， 由学生回答：因为 a，A，b 使 a ，A， b 成等差数列数列，那么 A 组成了一个等差数列，那么由 应满足什么条件？ 定义可以知道：A-a=b-A a?b 所以就有 A ? 2 由三个数 a，A，b 组成的等差数列可 深入探究，得到更一般化的 以看成最简单的等差数列，这时，A 结论 叫做 a 与 b 的等差中项。 不难发现，在一个等差数列中，从 第 2 项起，每一项（有穷数列的末项第 34 页 共 126 页通过分析，激 发学生学习 的探究知识 的兴趣，引导 揭示数列的 共性特点。通过学生自 己阅读课本， 找出关键字， 提高学生的 阅读水平和 思维概括能 力，学会抓重 点。让学生参与 到知识的形 成过程中，获 得数学学习 的成就感。 引领学习更 深入的探究， 提高学生的 学习水平。除外）都是它的前一项与后一项的等 差中项。 如数列：1，3，5，7，9，11，13? 中 5 是 3 和 7 的等差中项， 和 9 的等 1 差中项。 9 是 7 和 11 的等差中项，5 和 13 的等 差中项。 看来， a2 ? a4 ? a1 ? a5 , a4 ? a6 ? a3 ? a7 从而可得在一等差数列中， m+n=p+q 若 则 am ? an ? a p ? aq [等差数列的通项公式] 对于以上的等差数列，我们能不能 用通项公式将它们表示出来呢？这是 我们接下来要学习的内容。 ⑴、我们是通过研究数列 {a n } 的第 n 由学生经过分析写出通项公 学 会 发 现 规 式： 律，并加以总 ①这个数列的第一项是 5，第 2 结。 项是 10（=5+5） ，第 3 项是 15 （ =5+5+5 ） 第 4 项 是 20 ， ，??由此可以猜 项与序号 n 之间的关系去写出数列的 （=5+5+5+5） 想得到这个数列的通项公式是 通项公式的。下面由同学们根据通项 公式的定义，写出这四组等差数列的 a n ? 5n ② 这个数列的第一项是 48， 第 通项公式。 2 项是 53（=48+5） ，第 3 项是 58（=48+5×2） ，第 4 项是 63 （=48+5×3） ，由此可以猜想得 到这个数列的通项公式是 a n ? 48 ? 5(n ? 1) 总结 提高 ③ 这个数列的第一项是 18， 第 2 项是 15.5（=18-2.5） ，第 3 项是 13（=18-2.5×2） ，第 4 项是 10.5（=18-2.5×3） ，第 5 项是 8（=18-2.5×4） ，第 6 项 是 5.5 （=18-2.5×5）由此可以 猜想得到这个数列的通项公式 是 an ? 18 ? 2.5(n ? 1) ④这个数列的第一项是 10072， 第 2 项是 10144（=10172+72） ， 第 3 项是 10216（=10072+72× 2） 第 4 项是 1+72 ， （ × 3 ）， 第 5 项 是 10360 （=） ，由此可以猜 想得到这个数列的通项公式是 an ? 10072 ? 72(n ? 1) ⑵、那么，如果任意给了一个等差数 引导学生根据等差数列的定 引 导 学 生 进 列的首项 a1 和公差 d， 它的通项公式是 义进行归纳： 行理性分析第 35 页 共 126 页与推导，从而 ?a2 ? a1 ? d , ?a ? a ? d , 得出公式。 ? (n ? 1)个等式 ? 3 2 ?a4 ? a3 ? d , ?? ? 所以 a2 ? a1 ? d , a3 ? a 2 ? d , a 4 ? a3 ? d , ?? 思考：那么通项公式到底如何表达 a2 ? a1 ? d , 进一步的分 呢？ a3 ? a 2 ? d ? (a1 ? d ) ? d ? a ? 2d ,析。 什么呢？a4 ? a3 ? d ? (a1 ? 2d ) ? d ? a ? 3d ,总结 提高?? 得出通项公式：由此我们可以猜想得 思考，并发表各自的意见。 出：以 a1 为首项，d 为公差的等差数 列 {a n } 的通项公式为a n ? a1 ? (n ? 1)d让学生有自 主思考的时 空。也就是说，只要我们知道了等差数 列的首项 a1 和公差 d， 那么这个等差数 列的通项 an 就可以表示出来了。 例 1、⑴求等差数列 8，5，2，?的第 20 项. ⑵-401 是不是等差数列-5，-9， -13，?的项？如果是，是第几项？ 分析： ⑴要求出第 20 项，可以利用通项公式 求出来。首项知道了，还需要知道的 是该等差数列的公差，由公差的定义 可以求出公差； ⑵这个问题可以看成是上面那个问题 的一个逆问题。要判断这个数是不是 数列中的项，就是要看它是否满足该 数列的通项公式，并且需要注意的是， 项数是否有意义。 让两个学生分别对这两小题加 让 学 生 参 与 以分析。 课堂。解： ⑴由 a1 =8， d=5-8=-3， n=20， 得 a 20 ? 8 ? (21 ? 1) ? (?3) ? ?49 ⑵由 a1 =-5， d=-9- -5） （ =-4， 得这个数列的通项公式为 an ? ?5 ? 4(n ? 1) ? ?4n ? 1, 由应用 巩固题意知，本题是要回答是否存 在正整数 n,使得-401=-4n-1 成 立。 解这个关于 n 的方程，得 n=100， 即-401 是这个数列的第 100 项。 例题评述：从该例题中可以看出，等 聆听教师点评 通过教师点 差数列的通项公式其实就是一个关于 评，提高学生 a n 、 a1 、d、n（独立的量有 3 个）的 对关键问题 的认知水平。 方程；另外，要懂得利用通项公式来 判断所给的数是不是数列中的项，当第 36 页 共 126 页判断是第几项的项数时还应看求出的 项数是否为正整数，如果不是正整数， 那么它就不是数列中的项。 随堂练习： 课本 45 页 “练习” 1 题； 完成练习 第例 2．某市出租车的计价标准为 1.2 元/km， 起步价为 10 元， 即最初的 4km （不含 4 千米）计费 10 元。如果某人 乘坐该市的出租车去往 14km 处的目的 地，且一路畅通，等候时间为 0，需要 支付多少车费？解：根据题意，当该市出 租车的行程大于或等于 4km 时， 每增加 1km，乘客需要支付 1.2 元.所以，我们可以建立一个等 差数列 {a n } 来计算车费.令 a1 =11.2，表示 4km 处 的车费，公差 d=1.2。那么当出 租车行至 14km 处时，n=11，此 时需要支付车费 a11 ? 11.2 ? (11 ? 1) ? 1.2 ? 23.2(元) 答：需要支付车费 23.2 元。讲练结合，有 利提高学生 的知识应用 水平 学以致用，将 所学知识应 用到具体生 活中去，加深 对概念的理 解。例题评述：这是等差数列用于解决实 聆听教师点评 际问题的一个简单应用，要学会从实 际问题中抽象出等差数列模型，用等 差数列的知识解决实际问题。 随堂练习： 课本 45 页 “练习” 2 题； 完成练习 第通过教师点 评，提高学生 对关键问题 的认知水平。 讲练结合，有 利提高学生 的知识应用 水平 例 3 已 知 数 列 {a n } 的 通 项 公 式 为 分析思考，然后分组讨论，让 培 养 学 生 分 a n ? pn ? q, 其中 p、q 为常数，且 p≠ 两 组 学 生 代 表 发 表 自 己 的 见 析 问 题 的 能 力，在小组讨 0，那么这个数列一定是等差数列吗？ 解。 论中提高组 长的组织与 归纳组内成 员想法的能 力。 分析：判定 {a n } 是不是等差数列，可 解：取数列 {a n } 中的任意 以利用等差数列的定义，也就是看 相邻两项 a n 与a n ?1 （n＞1） ， a n ? a n ?1（n＞1）是不是一个与 n 无关 求差得 an ? an?1 ? ( pn ? q) ? [ p{n ? 1) ? q] 的常数。? pn ? q ? ( pn ? p ? q] ? p 它是一个与 n 无关的数. 所以 {a n } 是等差数列。第 37 页 共 126 页课本左边“旁注” ：这个等差数列的 首项与公差分别是多少？这 个 数 列 的 首 项 对所得结论 a1 ? p ? q, 公差 d ? p 。由此我 进 行 更 深 入 们可以知道对于通项公式是形 一步的探究， 如 a n ? pn ? q 的数列，一定是 激 发 学 生 的 等差数列，一次项系数 p 就是 学习兴趣。这个等差数列的公差，首项是 p+q. 例题评述：通过这个例题我们 知道判断一个数列是否是等差 数列的方法：如果一个数列的 通项公式是关于正整数 n 的一 次型函数，那么这个数列必定 是等差数列。 引导学生动手画图研究完成以下探 学生动手画图，并进行学习小 通 过 学 生 动 究： 组讨论，发表见解。 手作图，并加 ⑴在直角坐标系中，画出通项公式为 以对比，让学 a n ? 3n ? 5 的数列的图象。 这个图象有 生体会数列 与函数的内 什么特点？ 在关系。 ⑵在同一个直角坐标系中，画出函数 y=3x-5 的图象，你发现了什么？据此 说一说等差数列 a n ? pn ? q 与一次函 数 y=px+q 的图象之间有什么关系。 分析：⑴n 为正整数，当 n 取 1，2， 3，??时，对应的 a n 可以利用通项公 式求出。经过描点知道该图象是均匀 分布的一群孤立点； ⑵画出函数 y=3x-5 的图象一条直线后 发现数列的图象（点）在直线上，数 列的图象是改一次函数当 x 在正整数 范围内取值时相应的点的集合。于是 可以得出结论：等差数列 a n ? pn ? q 的图象是一次函数 y=px+q 的图象的一 个子集，是 y=px+q 定义在正整数集上 对应的点的集合。 该处还可以引导学生从等差数列 a n ? pn ? q 中的 p 的几何意义去探究。 本节主要内容为： ①等差数列定义：即 an ? an?1 ? d (n≥ 2) ② 等 差 数 列 通 项 公 式 ： a n ? a1 ? (n ? 1)d (n≥1) 推导出公式： an ? am ? (n ? m)d第 38 页 共 126 页探索 研究课堂 小结以学习小组为单位，在学习小 组中，各自归纳自己对这堂课 的收获，后由小组代表总结归 纳。学生自己小 结，使学生对 自己所学知 识有更深刻 的认识。1、已知 {a n } 是等差数列. ⑴ 2a5 ? a3 ? a7 是否成立？2a5 ? a1 ? a9 呢？为什么？ （ ） ⑵ 2an ? an ?1 ? an ?1 n?1 是否成立？据 此你能得出什么结论？ 2an ? an ?k ? an ?（n?1 是否成立？据 ） k评价 设计此你又能得出什么结论？ 2、已知等差数列 {a n } 的公差为 d.求 a ?a 证： m n ? d m?n作业是课堂 的延续，除了 检验学生对 本节课知识 的理解程度， 还在于引导 学生对本课 知识的进一 步探究，让学 生在更大的 深度与广度 之间进行思 考。七、教学反思本节课通过生活中一系列的实例让学生观察，从而得出等差数列的概念，并在此 基础上学会求等差数列的公差及通项公式，培养了学生观察、分析、归纳、推理的能 力。充分体现了学生做数学的过程，使学生对等差数列有了从感性到理性的认识过程， 也使本节课的三维目标真正落到实处。福州金桥高级中学林岳水点评： 本设计从生活中的数列模型，如举重级别、水库水位、储蓄的本息计 算等问题引入，进而提出有待探索的问题，这有助于发挥学生学习的主动 性。在探索的过程中，学生通过分析、观察，逐步抽象概括得出等差数列 定义，强化了由具体到抽象，由特殊到一般的思维过程。 本课各环节的设计环环相扣、简洁明了、重点突出，引导分析细致、 到位、适度。如：判断某数列是否成等差数列，这是促进概念理解的好素 材；又如：把通项公式与一次函数发生联系，利用函数这一“上位”概念， 来“同化”等差数列的概念，体现函数思想；还有让学生经历列表、画图 象的过程，从“形”的角度，感受函数与数列的联系；此外，用方程的思 想指导等差数列基本量的运算等等。学生在经历过程中，加深了对概念的 理解和巩固。 本节课教学体现了课堂教学从“灌输式”到“引导发现式”的转变， 以教师提出问题、学生探讨解决问题为途径，以相互补充展开教学，总结 科学合理的知识体系，形成师生之间的良性互动，提高课堂教学效率。教第 39 页 共 126 页学手段和教学方法的选择合理有效，体现了新课程所倡导的“培养学生积 极主动，勇于探索的学习方式” 。 值 得 商 讨 的 问 题 ， 在 等 差 数 列 中 ， 对 于 任 意 正 整 数 m, n, p, q ， 若 则 m ? n ? p ? q a m ? a n ? a p ? a q 这一性质的在第一课时提出是否不合时宜，并 且只是这样蜻蜒点水是否忽视了其重要性。等差数列的前 n 项和一、教学内容分析本节课教学内容是《普通高中课程标准实验教科书?数学（5）（人教 A 版）中第 》 二章的第三节“等差数列的前 n 项和” （第一课时） ．本节课主要研究如何应用倒序相 加法求等差数列的前 n 项和以及该求和公式的应用．等差数列在现实生活中比较常见， 因此等差数列求和就成为我们在实际生活中经常遇到的一类问题．同时，求数列前 n 项和也是数列研究的基本问题，通过对公式推导，可以让学生进一步掌握从特殊到一 般的研究问题方法．二、学生学习情况分析在本节课之前学生已经学习了等差数列的通项公式及基本性质，也对高斯算法有 所了解，这都为倒序相加法的教学提供了基础；同时学生已有了函数知识，因此在教 学中可适当渗透函数思想．高斯的算法与一般的等差数列求和还有一定的距离，如何 从首尾配对法引出倒序相加法，这是学生学习的障碍．三、设计思想建构主义学习理论认为，学习是学生积极主动地建构知识的过程，因此，应该让 学生在具体的问题情境中经历知识的形成和发展，让学生利用自己的原有认知结构中 相关的知识与经验，自主地在教师的引导下促进对新知识的建构．在教学过程中，根 据教学内容，从介绍高斯的算法开始，探究这种方法如何推广到一般等差数列的前 n 项和的求法．通过设计一些从简单到复杂，从特殊到一般的问题，层层铺垫，组织和 启发学生获得公式的推导思路，并且充分引导学生展开自主、合作、探究学习，通过 生生互动和师生互动等形式，让学生在问题解决中学会思考、学会学习．同时根据我第 40 页 共 126 页校的特点，为了促进成绩优秀学生的发展，还设计了选做题和探索题，进一步培养优 秀生用函数观点分析、解决问题的能力，达到了分层教学的目的．四、教学目标1. 理解等差数列前 n 项和公式的推导过程；掌握并能熟练运用等差数列前 n 项和 公式；了解倒序相加法的原理； 2. 通过公式的推导过程， 体验从特殊到一般的研究方法， 渗透函数思想与方程 （组） 思想，培养学生观察、归纳、反思的能力；通过小组讨论学习，培养学生合作交流、 独立思考等良好的个性品质．五、教学重点和难点本节教学重点是探索并掌握等差数列前 n 项和公式，学会用公式解决一些实际问 题；难点是等差数列前 n 项和公式推导思路的获得．六、教学过程设计（一）创设情景，唤起学生知识经验的感悟和体验 世界七大奇迹之一的泰姬陵坐落于印度古都阿格，传说陵寝中有一个三角形图案， 以相同大小的圆宝石镶饰而成，共有 100 层，你知道这个图案一共花了多少宝石吗？ 体展示三角形图案） [设计意图] 情境学习理论认为：数学学 习总是与一定的知识背景，即“情境” 相 联系．从实际问题入手，图中蕴含算数， 能激发学生学习新知识的兴趣， 并且可引 导学生共同探讨高斯算法更一般的应 用，为新课的讲解作铺垫． [知识链接] 高斯， 德国著名数学 家， 被誉为 “数学王子” 。 200 多年前，高斯的算术教师提出 了下面的问题： 1＋2＋3＋?+100＝？ 据说，当其他同学忙于把 100 个数逐项相加时，10 岁的高斯却用下面的方法迅 速算出了正确答案： （1＋100）＋（2＋99）＋??＋（50＋51）＝101×50＝5050. [学情预设]高斯的算法蕴涵着求等差数列前 n 项和一般的规律性．教学时，应给学 生提供充裕的时间和空间，让学生自己去观察、探索发现这种数列的内在规律．学生 对高斯的算法是熟悉的，知道采用首尾配对的方法来求和，但估计他们对这种方法的 认识可能处于记忆阶段，为了促进学生对这种算法的进一步理解，设计了以下三道由 易到难的问题． （二）由易到难，在自主探究与合作中学习 问题 1 图案中，第 1 层到第 51 层一共有多少颗宝石？ 该题组织学生分组讨论，在合作中学习，并把小组发现的方法一一呈现． [学情预设] 学生可能出现以下求法 方法 1：原式＝（1＋2＋3＋??＋50）＋51 方法 2：原式＝0＋1＋2＋??＋50＋51第 41 页 共 126 页方法 3：原式＝（1＋2＋?＋25＋27?＋51）＋26 以上方法实际上是用了“化归思想” ，将奇数个项问题转化为偶数个项求解，教师 应进行充分肯定与表扬． [设计意图] 这是求奇数个项和的问题，若简单地摹仿高斯算法，将出现不能全部 配对的问题，借此渗透化归思想． 问题 2：求图案中从第 1 层到第 n 层（1＜n ＜100，n∈N*）共有多少颗宝石？ [学情预设] 学生通过激烈的讨论后，发现 n 为奇数时不能配对，可能会分 n 为奇 数、偶数的情况分别求解，教师如何引导学生避免讨论成为该环节的关键． [设计意图] 从求确定的前 n 个正整数之和到求一般项数的前 n 个正整数之和，让 学生领会从特殊到一般的研究方法}