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角动量守恒 角动量守恒定律 角动量守恒原理 角动量守恒的推导 陀螺仪 角动量守恒 角动量守恒的条件 角动量守恒公式 角动量定理 质点的角动量定理 动量守恒定理
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角动量守恒定理的应用
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第五章 角动量及守恒定律
2012年诺贝尔物理学奖授予塞尔日?阿罗什和大卫? J ?维因兰 德，以表彰他们分别独立发明并拓展了在保持单个粒子量子力学 特性的前提下，测量和操纵它们的方法。 他们的发明开辟了量子物理学的新时代；他们成功地观测到 非常脆弱的量子态，在不破坏单个粒子的前提下直接观察它们的 特性；他们的工作为制造新型超高速基于量子物理的计算机迈出 了第一步。也可以用来制造极精准时钟，用于未来的时间标准， 1 比现有的铯原子钟精确百倍。第五章角动量角动量 变化率 力矩角动量守恒定律角动量 转动 惯量角动量 定理角动量 守恒定律刚体定轴转动定律2第五章动量动量守恒定律基 本 要 求（1）理解质点、质点系、定轴刚体的角动量概念。 （2）理解定轴刚体的转动惯量概念，会进行简单计算。 （3）理解力矩的物理意义，会进行简单计算。 （4）掌握刚体定轴转动定律，熟练进行有关计算。 （5）理解角冲量（冲量矩）概念，掌握质点、质点系、 定轴刚体的角动量定理，熟练进行有关计算。 （6）掌握角动量守恒条件，熟练应用角动量守恒定律求 解有关问题。3第五章角动量角动量守恒定律今日内容：一.角动量 二.转动惯量 三.角动量的时间变化率45.1 角动量 一.角动量问题：将一绕通过质心的固定轴转动的圆盘视为一个质点系，系统总 动量为多少？Cωp总 = MvC = 0由于该系统质心速度为零，所以系统总动量为零。 系统有机械运动，总动量却为零？ 说明不宜用动量来量度转动物体的机械运动 引入与动量 p 对应的角量－－角动量 L55.1 角动量 1. 质点的角动量 定义：mθp⊥pL = r × p = r × mv大小：r⊥ozr rL方向：L = rmv sinθ = rp⊥ = pr⊥垂直于 r 和 p 组成的平面， 服从右手螺旋法则。xor⊥rθ m p⊥py角动量与参考点的选择有关吗？65.1 角动量设m 作直线运动o′r′mrθ pp⊥o以o′为参考点： L′ = r ′ × p = r ′p sin θ = 0 以o 为参考点： L = r × p = rp sin θ ≠ 0注 分析质点的角动量，必须指明参考点。物理意义：质点对某参考点的角动量反映质点绕 该参考点旋转运动的强弱。75.1 角动量 2. 质点系角动量 系统内所有质点对同一参考点角动量的矢量和L = ∑ Li = ∑ ri × pi = ∑ ri × m i v ii i ip1p2pir1or2riθmicrcopiri′θrimi85.1 角动量L自旋L 轨道LL轨道L自旋与参考 点无关L = rc × Mv c + ∑ ri′ × m i v ′ i = L轨道 + L 自旋i描述质点系整体绕参考点的旋转运动 反映质点系绕质心的旋转运动95.1 角动量 3. 定轴转动刚体的角动量 刚体运动 简化 转动平面运动 简化 质点运动 转轴 z 角速度为ω 刚体上任一质点 mi 转轴与其转动平面交点O mi 绕O 圆周运动半径为riz转 动 平 面ωm i 对O的角动量：Lio = ri × m i v i?大小： Lio = ri m i v i = m i ri2ω Lio ? ? ?方向：沿 ω即o rimiviLio = m i ri ω2105.1 角动量 在轴上确定正方向，角速度ω表示为 代数量，则定义质点对z轴的角动量 （即质点对参考点O的角动量在z轴 上的投影）为:z转 动 平 面ωo rimiviLiz = ± Lio = ± r × m i v i = m i ri ω2刚体对 z 轴的总角动量为：Lz = ∑ Liz = ∑ ri2 m iω = ω ∑ ri2 m i = Jωi i i定义J = ∑ ri2 m ii刚体对轴的转动惯量115.1 角动量 对质量连续分布的刚体：zωvdLo = r × dm vdLz = r × dmv = dmr 2ω刚体对z轴的总角动量为：o rdmLz = ∫ dLz = ∫ r 2ωdm = ω ∫ r 2dm = Jω式中J = ∫ r dm2刚体对轴的转动惯量12第五章角动量角动量守恒定律今日内容：一.角动量 二.转动惯量 三.角动量的时间变化率135.1 转动惯量 1. 定义J = ∑ ri2 m ii刚体对定轴的转动惯量等于其各质点的质量 与该质点到转轴距离的平方之积求和。 若质量连续分布，则J = ∫ r 2 dmdm dmdm14J = ∫ r 2dm 积分元选取：λ dl线密度： λ , 线元： d l面密度： σ , 面元： dS体密度： ρ , 体元： dVdm =σdSρdV5.1 转动惯量 2. 计算 J 刚体对轴的转动惯量 J 与刚体总质量有关 与刚体质量分布有关 与转轴的位置有关练习1. 由长l 的轻杆连接的质点如图所示，求质点系对过A垂直于纸面的轴的转动惯量。4mJ = 2ml 2 + 3m ( 2l ) 2 + (4m + 5m )( 2l ) 2 = 32ml2ml l2m3mA ll5m155.1 转动惯量练习2. 一长为L的细杆，质量m均匀分布，求该杆对垂直于杆，分别过杆的中点和一端端点的轴的转动惯量。解：(1) 轴过中点dm?L 2oxL 2xL L m1 3 2 2 2 2 m 2 J = ∫ r dm = ∫ x dm = ∫ L x x dx = L ? L L3 2 ? 2 m 1 ? L3 L3 ? 1 2 ? = mL = + ? ? ? L 3? 8 8 ? 12165.1 转动惯量 (2) 轴过一端端点ox2 2dmLLxm x dx L2J = ∫ r dm = ∫ x dm = ∫ m1 3 L 1 2 = = mL x L3 0 30175.1 转动惯量练习3. 求质量 m ,半径 R 的球壳对直径的转动惯量 解：取离轴线距离相等的点的dlRrdθ集合为积分元θod s = 2πrd l = 2π R sin θ ? R d θm σ= 4πR 21 d m = σ d s = m sin θ d θ 2 1 2 2 d J = r d m = ( R sin θ ) d m = mR 2 sin 3θ d θJ =∫ dJ=∫0π1 2 2 3 mR sin θ d θ = mR 2 322185.1 转动惯量练习4. 求质量 m ,半径 R 的球体对直径的转动惯量 解：以距中心r，厚dr的球壳Rdr为积分元dV = 4πr 2dr m dm = ρdV ρ= 4 3 πR 3 4 2mr dr 2 2 dJ = dm ? r = 3 R3RorJ = ∫ dJ = ∫02mr 4dr 2 2 = mR 5 R3195.1 转动惯量 3. 关于转动惯量的定理 平行轴定理dDmCJ D = J C + md 2正交轴定理 对平面刚体zJz = Jx + J yxoy205.1 转动惯量 注意: 对同轴的转动惯量具有可加减性。同轴圆柱r1 r2 o m2 m1J z = J 2 + J1 m 2 r22 m1 r12 = + 2 2zm1 r1 m2 r2空心圆盘J z = J 2 ? J1 m 2 r22 m1 r12 = ? 2 2215.1 转动惯量 一些均匀刚体的转动惯量表225.1 转动惯量练习5. 求长 L，质量 m 的均匀杆对 z 轴的转动惯量 解一：m 2 7 2 J z = ∫ l dm = ∫ l dl = mL L 48 ?L 422z3L 4AL 4oLmCB1 m ? L ? 1 3m ? 3L ? 7 解二：J z = J oA + J oB = ? ? = mL2 ? ? + 3 4 ? 4 ? 3 4 ? 4 ? 4821 7 ? L? ? L? 2 解三： J z = J C + m? ? = mL + m? ? = mL2 ? 4 ? 12 ? 4 ? 482223第五章角动量角动量守恒定律今日内容：一.角动量 二.转动惯量 三.角动量的时间变化率245.2 质点角动量的时间变化率 1. 质点角动量的时间变化率dL d dr dp = ( r × p) = × p+r × dt dt dt dt dr × p = v × p = v × mv = 0 ∵ dt dL dp ∴ =r× = r ×F dt dt 合力 质点位矢F) M (力矩大小 r × F = rF sin θ = Fd 方向：服从右手螺旋法则d 质点角动量的时间变化率等于质点所受合力的力矩 25orrrm mθ F5.2 力矩 2.力矩 1) 对参考点的力矩F定义： M = r × F大小： Fd = Fr sin θrθm方向： 垂直于 r 和F组成的平面 服从右手螺旋法则2) 对轴的力矩odzF⊥FF//M = r ×F = r × ( F// + F⊥ ) = r × F// + r × F⊥or m265.2 力矩M = r × F = r × F// + r × F⊥第一项M 1 = r × F//zMzF方向垂直于轴，其效果是改变 轴的方位，在定轴问题中，与 轴承约束力矩平衡，不影响物 体绕轴转动状态。 第二项M z = r × F⊥F⊥F//or m方向平行于轴，其效果是改变绕轴转动状态，称 为力对轴的矩，在轴上选择正方向，可用代数量 表示为：M z = ± r × F⊥275.2 力矩i即：MO = r × F = xj ky z Fx Fy Fz? + ( zF ? xF ) ? ? = ( yFz ? zFy ) i + ( ? ) j xF yF k x z y x所以 M z = ± r × F⊥ = xF y ? yFx力对O点的力矩在z轴方向的分量为力对z轴的力矩注： r : 轴与转动平面的交点O到力作用点的位矢F⊥ :力在转动平面内的分量285.2 力矩 注意: 1. 力矩求和只能对同一参考点（或轴）进行。M o = M 1o + M 2 o +矢量和 代数和M z = M 1z + M 2 z +2.FoFoF F∑F = 0 ∑F =? ∑F ≠ 0 ∑M ≠0 ∑M =? ∑M =0295.2 练习 其一端的竖直轴旋转，杆与桌面间的摩擦系数为?，求 摩擦力矩。 1) 杆的质量均匀分布 2) 杆的密度与离轴距离成正比例1：质量为m，长为L的细杆在水平粗糙桌面上绕过解 1）m dm = dr Lzdfdr dmωdf = ?dmg与假设反向r od M = ? rd fm 1 M = ∫ d M = ? ∫ r? gd r = ? ?mgL L 2 0L305.2 练习2) 设杆的线密度λ = krdm = λ dr = krdrm = ∫ dm = ∫0 Lzdfω1 2 krdr = kL 2r o dr2 ? mg ∴ d f = ? d mg = rd r 2 L 由 d M = ? rd f L 2 ? mg 2所以 M =2m 得 k= 2 L∫ dM=?∫0L22 r d r = ? ? mgL 3315.2 练习实际意义f′rfz等效dfωo Rr o dr半径 R ，质量 m 的匀质圆盘，与 桌面间摩擦系数 ?，求摩擦力矩简化模型： 长 R ，线密度 λ = kr 总质量 m 的细杆325.2 质点系角动量的时间变化率 3. 质点系角动量的时间变化率 对N个质点m1，m2，…，mN组成的质点系， dL 由M= = r × F = M 外＋M内 可得 dt? ? ? ? ? ? ? ? dLN ? = M N外 + M N内 ? dt ? dL1 = M 1外 + M 1内 dt dL2 = M 2外 + M 2内 dt两边求和得= ∑ M i外 + ∑ M i内i i33d dL Li = ∑ dt i dt5.2 质点系角动量的时间变化率d dL Li = = ∑ M i外 + ∑ M i内 ∑ dt i dt i ir1f 12odr2m1f 21m2θ2由图可知θ1∑Mii内=0所以：dL = M 外 = ∑ ri × Fi外 dt i34质点系总角动量的时间变化率等于质点系所 受外力矩的矢量和。5.2 质点系角动量的时间变化率 注意:dL = M 外 = ∑ ri × Fi外 dt i1. 合外力矩 M 外 是质点系所受各外力矩的矢量和， 而非合力的力矩。 2. 质点系内力矩的作用 不能改变质点系总角动量，但是影响总角动 量在系内各质点间的分配。355.2 定轴刚体 4. 定轴刚体dL ? M外 = dt 由得2dLz Mz = dtLz = ω ∑ ri m i =JωidLz d dω Mz = = ( Jω ) = J = Jβ dt dt dtM z = Jβ刚体定轴转动定律365.2 定轴刚体 物体平动惯性的量度。F =ma比较地位 相当(平动)改变物体平动状态的原因。物体转动惯性的量度。Mz = J β(转动)37改变物体绕轴转动状态的原因。5.2 定轴刚体例2:一定滑轮的质量为m，半径为r，一轻绳两边分别系m1和m2两物体挂于滑轮上，绳不伸长，绳 与滑轮间无相对滑动。不计轴的摩擦，初角速度 为零，求滑轮转动角速度随时间变化的规律。思路：质点平动与刚体定轴转mm2 m138r动关联的综合问题。隔离研究 各对象，并列出方程。 先求角加速度 β ，进而求角速度5.2 定轴刚体m2, m为研究对象，用隔离法，分别 依据牛顿第二定律和刚体定轴转动 定律建立方程。T1解：在地面参考系中，分别以m1,mm2rm1a1m1 g以向下为正方向m1 : m1 g ? T1 = m1a1 (1) = m1a m 2 : T2 ? m 2 g = m 2 a 2 = m2 a ( 2)思考：T2 a 2 以向上为正方向T1 × = T2 a1 √ = a239m2g5.2 定轴刚体 +NrT1以顺时针方向为正方向T 2 mg1 2 m : T1r ? T2r = Jβ = mr β 2(3)a, T1 , T2 , β 四个未知数：三个方程 ？绳与滑轮间无相对滑动，由角量和线量的关系：a = rβ解式(1)―(4)得：( 4)(m1 ? m2 )g (m1 ? m2 ) gt β= ? ω = ω0 + β t = 1 1 (m1 + m2 + m)r (m1 + m2 + m)r 40 2 25.2 定轴刚体练习：如图示，两物体质量分别为m1和m2，滑轮质量为m，半径为r。已知m2与桌面间的滑动摩擦 系数为?，求m1下落的加速度和两段绳中的张力。?m2ro mm15.2 定轴刚体解：在地面参考系中，选取m1、m2和滑轮为研究对象，分别进行受力分析：T1 m1m1 gNaT2T2Nya?m 2 gm2m2 go向里+T1Nx运用牛顿定律和刚体定轴转动定律列方程得：m1 g ? T1 = m1a T2 ? ?m 2 g = m 2 a 1 (T1 ? T2 )r = mr 2 β 2 a = rβ结果425.2 定轴刚体例3.质量为M的匀质圆盘，可绕通过盘中心垂直于盘的固定光滑轴转动，绕过盘的边缘有质量为m、 长为l的匀质柔软绳索。设绳与圆盘无相对滑动，试 求当圆盘两侧绳长差为s时，绳的加速度的大小。解：在地面参考系中，建立如A M r ox2m图 x 坐标，设滑轮半径为 r 有：BB′l = AA′ + AB + BB′ = x1 + x 2 + πrs = x1 ? x 2m AA′ m = ? x1 , lA′x1sxm m AB = ? π r l m mBB′ = ? x2 , l435.2 定轴刚体 用隔离法列方程: (以逆时针方向为正)T1 CA T2.CB.Jr T1 T2A M r ox2mBB′mAgmBgm A g ? T1 = m A a T2 ? mB g = m B a T1 r ? T2 r = Jβ J = J M + J AB 1 = Mr 2 + m AB r 2 2A′x1sxmgs ?a= ( m + M / 2 )l44a = rβ s = x1 ? x 2第五章角动量角动量守恒定律今日内容：一.角动量定理 二.角动量守恒定律455.3 角动量定理一.角动量定理 角冲量 角动量定理 （有限时间过程）角动量的时 间变化率 质点dL M= dtdL M外 = dtdω M轴 = Jβ = J dt∫ ∫∫t2t1t2t1Mdt = ∫ dL =?LL1 L2L2质点系t2t1M 外dt = ∫ dL =?LL1定轴刚体M 轴 d t = ∫ Jd ω = J ? ωω146ω25.3 角动量定理 二.角冲量 角冲量：力矩与其作用时间的乘积 力钜在dt时间内的元角冲量：Mdt 力钜在t1到t2时间间隔内的角冲量：∫效果：改变角动量t2t1M dt475.3 角动量定理 注意:p1.比较：时间变化率与 F 对应 一定时间过程的变化量与 时间变化率与 M 对应t2∫ F d t 对应t1L一定时间过程的变化量与 ∫ M d t 对应t1t22. 同一式中，M , 点或同一轴计算。L, J , ω 等角量要对同一参考48第五章角动量角动量守恒定律今日内容：一.角动量定理 二.角动量守恒定律495.4 角动量守恒定律 一.角动量守恒定律 研究对象：质点系 由角动量定理： 当 M 外 = 0 时，M 外dL = =0 dtL = 恒矢量M x = 0 时 Lx = 恒量分量式：M y = 0 时 L y = 恒量 M z = 0 时 Lz = 恒量L轴 = 恒量 对定轴转动刚体，当 M 轴 = 0 时，505.4 角动量守恒定律角动量守恒定律：当质点系所受外力对某参考点（或轴）的力矩 的矢量和为零时，质点系对该参考点（或轴）的角 动量守恒。 注意: 1.守恒条件： 能否为M外 = 0 或 M轴 = 0∫M外dt = 0?2.与动量守恒定律对比：当 F外 = 0 时， p = 恒矢量 当 M 外 = 0 时， L = 恒矢量 彼此独立515.4 角动量守恒定律角动量守恒现象举例:适用于一切转动问题，大至天体，小至粒子...茹科夫斯基凳实验 为什么直升飞机的尾翼要安装螺旋桨？ 芭蕾、花样滑冰、跳水…...525.4 角动量守恒定律的竖直轴转动, 质量为m 的人站在转台边缘，最初人 和台都静止。若人沿转台边缘跑一周 (不计阻力)，相 对于地面，人和台各转了多少角度？ 思考：例1.一半径为R、质量为M 的转台，可绕通过其中心mR1.台为什么转动？向什么方向 转动？ 2.人相对转台跑一周，相对于 地面是否也跑了一周？ 3.人和台相对于地面转过的角 度之间有什么关系？M535.4 角动量守恒定律解： 选地面为参考系，设对转轴人：J = mR 2 ; ω 1 台： J ′ = MR 2 ; ω? 2 系统对转轴合外力矩为零， 角动量守恒。以向上为正：mRJω + J ′ω ′ = 0 2m ω′ = ? ω MM545.4 角动量守恒定律设人沿转台边缘跑一周的时间为t：θ 人台 = θ 人地－θ台地＝ 2π ?∫ ω d t ? ∫ ω ′d t = 2π2m ? ∫ ω dt + M 0tttt0 t0∫ ω d t = 2π0人相对地面转过的角度：2π M θ = ∫ ωdt = 2m + M 0台相对地面转过的角度：4π m θ ′ = ∫ ω ′dt = 2m + M 0t555.4 角动量守恒定律例2.已知：两平行圆柱在水平面内转动，m1,R1, ω 10 ;= ?m 2 , R2, ω 20求：接触且无相对滑动时ω1 = ?ωω10m1 R12ω 20R2ω1ω2.o1.o2m2o1.o2.565.4 角动量守恒定律解一：因摩擦力为内力，外力过轴，外力矩为零，则：J1 + J2 系统角动量守恒，以顺时针方向为正：J 1ω10 + J 2ω 20 = J 1ω1 ? J 2ω 2 (1)接触点无相对滑动：ω1 R1 = ω 2 R2又：( 2)1 2 J 1 = m1 R1 2 1 2 J 2 = m 2 R2 2联立1、2、3、4式求解( 3)( 4)？575.4 角动量守恒定律问题： ① 式中各角量是否对同轴而言？② J1 +J2 系统角动量是否守恒？ 分别以m1 , m2 为研究对象，受力如图：f1F2 o2f2(1) o1为轴 ( 2) o2为轴M F2 ≠ 0 M F1 ≠ 0o1. F1系统角动量不守恒！585.4 角动量守恒定律解二：分别对m1，m2用角动量定理列方程，设 f1 = f2 = f ， 以顺时针方向为正 m1对O1 轴： ? ∫ R1 fdt = J 1ω1 ? J 1ω10 ,m1 R12 J1 = 2 m2对O2 轴：ω1o1. F1f1ω2F2 o2f2? ∫ R2 fdt = ? J 2ω 2 ? J 2ω 20 ,2 m 2 R2 J2 = 2 ω1 R1 = ω 2 R2接触点：595.4 角动量守恒定律联立各式解得：m 1 R1ω 10 ? m 2 R 2ω 20 ω1 = (m 1 + m 2 )R1 m 1 R1ω 10 ? m 2 R 2ω 20 ω2 = (m 1 + m 2 )R 2605.4 角动量守恒定律二. 有心力场中的运动 物体在有心力作用下的运动 力的作用线始终通过某定点的力 力心 有心力对力心的力矩为零，只受有心力作 用的物体对力心的角动量守恒。 应用广泛，例如： 天体运动（行星绕恒星、卫星绕行星...） 微观粒子运动（电子绕核运动；原子核中质子、中 61 子的运动一级近似；加速器中粒子与靶核散射...）5.4 角动量守恒定律例3：已知地球 R = 6378 km卫星 近地: h1= 439 km v1 = 8.1 km?s-1 dm’ dF2 远地: h2= 238 km 求: v2 解题思路：卫星―质点m； 地球~均匀球体dm h2dF OdF1h1 m m对称性：引力矢量和过地心，对地心力矩为零 所以卫星 m 对地心O 角动量守恒mv1 ( R + h1 ) = mv 2 ( R + h2 )R + h1 6378 + 439 v2 = ? v1 = × 8.1 = 6.3kms ? 1 R + h2 6378 + 238462角动量与角动量守恒定律一.转动惯量 二.角动量 质点 质点系小结J = ∑ m i ri = ∫ r 2dm2 i mL = r × mvL = L轨道 + L自旋 = rc × m v c + ∑ ri × m i v ii定轴刚体 L z = J ω 三.力矩M = r × F ; M z = ± r × F⊥ ;∑Mii内=063角动量与角动量守恒定律四.角动量定理质点质点系小结dL M = dtM外 dL = dtt2∫ M dt = ?Lt1t2∫Mt1外dt = ?Lt2定轴刚体M z = JβM外 = 0 Mz = 0∫Mt1zd t = ? Lz五.角动量守恒L = 恒矢量 L z = 恒量64角动量与角动量守恒定律练习例4.已知轻杆，m1=m , m2=4m， 油灰球m以速度v0撞击 m2 ，发生完全非弹性碰撞。 求撞后m2的速率 v ? 解一：m和m2系统动量守恒A mmv0 = (m + m2 ) v解二： m和(m1 + m2 )系统动量守恒v0L2m2mv0 = (m + m1 + m2 ) v解三： mv0 = (m + m2 ) v + m1 × 2v 以上解法对吗？m1L265角动量与角动量守恒定律分析：因为相撞时轴A作用力不能忽略不计，故系统动量不守恒。 因为重力、轴作用力过轴，对轴力 矩为零，故系统角动量守恒。练习Ny Nx AL2解：由以上分析列方程：L L mv 0 ? = (m + m 2 )v ? + m1 ? 2v ? L 2 2L 2 ? L? m ? ? ? ω 0 = [( m + m 2 )( ) + m1 ? L2 ] ? ω 或： 2 ?2? L L ω 0 ? = v0 ; ω ? = v 2 22m m2L2m1得： v =v0966角动量与角动量守恒定律注意：区分两类冲击摆(1)o练习质点质点 (柔绳无切向力)v0m (2)Fyl? 水平方向： Fx =0 ， px 守恒 m v 0= ( m + M ) vL 守恒 ? 对 o 点： M=0 ， m v 0l = ( m + M ) v lFxMo质点定轴刚体（不能简化为质点）mv0lM轴作用力不能忽略，动量不守恒， 但对 o 点合力矩为零，角动量守恒 1 2 mv 0 l = ml ω + Ml 2 ? ω v = ωl 67 3角动量与角动量守恒定律回顾动量相关练习练习mMhF轴 ≠ 0 m + M系统p 不守恒;M 轴 = 0 m + M系统 对O点角动量守恒 m 2 gh ? R = (m + M )vR68角动量与角动量守恒定律练习：已知 m = 20 克，M = 980 克v 0 =400米/秒，绳不可伸长。求 m 射 入M 后共同的 v =?哪些物理量守恒？请列方程。练习mv 0 30Mov解：m、M系统水平方向动量守恒（Fx =0)竖直方向动量不守恒（绳冲力不能忽略） 对过O点的轴角动量守恒（外力矩和为零）mv 0 sin 30 0 = (m + M )v或：mv 0 ? l ? sin 30 = v (m + M )l ? sin 9069得： v = 4 m?s-1角动量与角动量守恒定律练习例5. 已知：匀质细棒 m , 长 2l ；在光滑水平面内以 v 0 平动，与支点 O 完全非弹性碰撞。 求：碰后瞬间棒绕 O 的ω = ?ml/2 l/2解：碰撞前后AB棒对O的角动量守恒OB思考：碰撞前棒对O角动量 L=?碰撞后棒对O角动量 L′=？ 撞前：解法（1）c v0 AlL = L轨 + L自旋 l L = mv 0 ? + 0 270角动量与角动量守恒定律练习解法(2) 各微元运动速度相同，但到O距离不等， 棒上段、下段对轴O角动量方向相反 m -l/2 线密度： λ = 2l m dx O 取质元： dm = λ ? dx =质元角动量：dm2lv0x3l 23l/2L=设垂直向外为正方向，总角动量：mv 0 xdx ? 2lmv 0 dL = dm ? v 0 ? x = xd x 2l∫0?l 2∫0mv 0 1 x d x = mv 0 l 2 2l71角动量与角动量守恒定律撞后： L′ = Jω练习1 l m l 2 1 3l m 3l 2 = [ ( ? )( ) + ( ? )( ) ] ω 3 2 2l 2 3 2 2l 2 7 2 -l/2 = ml ω 12令L = L′ 1 7 2 mv 0 l = ml ω 2 12Odm6v 0 得： ω = 7lv0x723l/2
第五章 角动量?关于对称性 一、内容提要 1. 质点对参考点的角动量: L ? ...质点对轴的角动量定理和守恒定律:τ z ? d Lz dt 质点对轴的角动量守恒...第五章 角动量 关于对称性 第五章 角动量 关于对称性§5.1 质点的角动量一...dt §5.2 质点系的角动量定理及角动量守恒定律一质点系对参考点的角动量定理...第五章:角动量、关于对称生 - 欢迎访问百色学院网站 学校_其它考试_资格考试/...§ 5.2 质点系的动量定理及角动量守恒定律一、质点系队叁考点的角动量定律家...3-4角动量 角动量定理 角... 12页 1下载券 第五章 角动量角动量守恒......角动量守恒定理摘 要:角动量这一概念是经典物理学里面的重要组成部分,角动量的...第五章 角动量 关于对称性 教学时数:7 教学目的与要求: (1)着重讲授角动量,力矩等概念,使学生能牢固掌握角动量定理及其守恒律。 (2)质点系对质心的角动量定理...第五章 角动量关于对称性_物理_自然科学_专业资料。第五章 角动量若 若 关于...(当然有不同内涵) 对称性:20 世纪以来物理研究的重要方法与内容,与守恒定律...第五章 角动量.关于对称性 习题解答 5.1.1 我国发射的第一颗人造地球卫星近...所以小球 的角动量守恒。 根据牛顿第二定律 由动量定理拉力 作的功 5.1.8 ...第四章 角动量 隐藏&& 《大学物理 AI》作业 》 No.3 角动量、角动量守恒定律 角动量、 班级 ___ 学号 ___ 姓名 ___ 成绩 ___ (注意 一、选择题: ...第五章 角动量 47页 2财富值 第5章 角动量 55页 免费 L(角动量) 9页 ...角动量守恒定律 如果合外力矩零(即 M 外=0),则 L1=L2,即 L=常矢量。 ...第五章 角动量 47页 2财富值 第5章 角动量 55页 免费 L(角动量) 9页 ...《大学物理》作业 No.3 角动量、角动量守恒定律 班级 ___ 学号 ___ 姓名 ...
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角动量 角动量守恒定律
同学们好！ 同学们好！?数学家和哲学家追求数学的最初生 长点的研究，恰像一次向远处的地平 线走去的旅行。终点似乎就在前面， 可是走过去之后发现，它还在前方。 但是旅行者毕竟一次又一次地大开 眼界。他发现了越来越广大的世界。 －摘自张景中（院士） 摘自张景中（院士） 显然，这段话对物理学也适用。 显然，这段话对物理学也适用。 《数学与哲学》 数学与哲学》第五章 角动量 角动量守恒定律角动量 转动惯 量 角动量的 时间变化率 力矩角动量 定理角动量 守恒定律刚体定轴转动定律重要性： 重要性：大到星系，小到基本粒子都有旋转运动； 大到星系，小到基本粒子都有旋转运动； 微观粒子的角动量具有量子化特征； 微观粒子的角动量具有量子化特征； 角动量遵守守恒定律，与空间旋转对称性相对应。 角动量遵守守恒定律，与空间旋转对称性相对应。重点： 重点： 概念：角动量，转动惯量，力矩，角冲量， 概念：角动量，转动惯量，力矩，角冲量， 规律：刚体定轴转动定律， 规律：刚体定轴转动定律， 角动量定理的微分形式和积分形式， 角动量定理的微分形式和积分形式， 角动量守恒定律， 角动量守恒定律， 难点：角动量概念， 难点：角动量概念， 角动量定理及角动量守恒定律的应用 学时： 学时： 6§5.1 角动量 一、角动量转动惯量为什么要引入角动量？ 为什么要引入角动量？ 引例： 引例：将一绕通过质心的固定轴转 动的圆盘视为一个质点系， 动的圆盘视为一个质点系，系统总 动量为多少？ 动量为多少？r r p总 = MvC = 0M Cω由于该系统质心速度为零，所以系统总动量为零。 由于该系统质心速度为零，所以系统总动量为零。 系统有机械运动，但总动量却为零？ 系统有机械运动，但总动量却为零？ 说明不宜采用动量来量度转动物体的机械运动量。 说明不宜采用动量来量度转动物体的机械运动量。 r r *引入与动量 p 对应的角量 L ――角动量（动量矩） 角动量（ 引入与动量 角动量 动量矩）动量对参考点（或轴） 动量对参考点（或轴）求矩1.质点的角动量 1.质点的角动量 定义： 定义：r p p⊥θr r r r r L = r × p = r × mvL = r mv sinθ = r p⊥ = pr⊥大小： 大小：or r r⊥zm方向： 方向：r r 组成的平面， 垂直于 r 和 p 组成的平面， 服从右手定则。 服从右手定则。xr Lor⊥r rm θ p⊥r y p物理意义： 物理意义：o′r r′mθ设m 作直线运动r 为参考点： 以o′为参考点： L′ = 0 r o为参考点： 以 o为参考点： L ≠ 0 为参考点or rr pp⊥大小相同， 若 r、 p大小相同，则： p⊥ ↑ ， L ↑*质点对某参考点的角动量反映质点绕该参考点旋 转运动的强弱。 转运动的强弱。 *必须指明参考点，角动量才有实际意义。 必须指明参考点，角动量才有实际意义。2.质点系角动量 2.质点系角动量 系统内所有质点对同一参考点角动量的矢量和r r r r r r L = ∑ Li = ∑ ri × pi = ∑ ri × mi vir p1r r r ? ri = rc + ri′ Q ?r r r ? v i = v c + v i′iii有'：对质心 ： 无'：对参考点 ：rr r r1rc r 2r cp2r ri′ θ θrr pii p∴与i无关 无关r r r r L = ∑ (rc + ri′) × m i v iio om r mi r ri i rir r r r r = rc × ∑ m i v i + ∑ ri′ × m i (v c + v i′ ) r r r r r r = rc × ∑ m i v i + ∑ ri′× m i v c + ∑ ri′× m i v i′i i i i ir r r r r r r L = rc × ∑ mi vi + ∑ ri′× mi vc + ∑ ri′× mi vi′i i i设 M = ∑ mir r r r 第一项： rc × ∑ m i v i = rc × M v c 第一项：ii即将质点系全部质量集中于质心处的一个质点上， 即将质点系全部质量集中于质心处的一个质点上， 该质点对参考点的角动量 以质心为代表，描述质点系整体绕参考点的旋转运 以质心为代表， 称为质点系的轨道角动量 轨道角动量。 动，称为质点系的轨道角动量。r r r 即： L轨道 = rC × M v Cr r r r r r r L = rc × ∑ mi vi + ∑ ri′× mi vc + ∑ ri′× mi vi′i i i第二项： 第二项：∑ir r ri ′ × m i v c =r rc =∑ir r m i ri ′ × v c = Mr rc′ =r ∑ mi ri′i与 i 无关Mr × vC由r ∑ mi riir ∑ mi ri′iMM∑ir r r r ri ′ × m i v c = M rc′ × v c = 0质心对自己的位矢r r r r r r r L = rc × ∑ mi vi + ∑ ri′× mi vc + ∑ ri′× mi vi′i i i与 i 有关第三项： 第三项：r r ∑ ri′ × m i v ′ii各质点相对于质心角动量的矢量和反映质点系绕质心的旋转运动， 的选择无关， 反映质点系绕质心的旋转运动，与参考点O的选择无关，r 描述系统的内禀性质： 描述系统的内禀性质： L自旋于是： 于是：r L自旋r L轨道r r r r r L = rc × M v c + ∑ i′ m i v ′ r × i r r = L轨道 + L自旋ir Lr L自旋r L轨道3.定轴转动刚体的角动量 3.定轴转动刚体的角动量 转轴z角速度ωrz转动 平面ωr刚体上任一质点 m i 转轴与其转动平面交点Ｏm i 绕Ｏ 圆周运动半径为 r ir r r 的角动量： m i 对Ｏ的角动量： Lio = ri × m i v ir o rimir vir ?大小：Lio = ri mi v i = m i ri2ω 大小： Lio ? ? r 方向： ?方向：沿ω r 2 r 即 Lio = m i ri ω在轴上确定正方向， 表示为代数量， 在轴上确定正方向，角速度 ω表示为代数量，则 轴的角动量为: 定义质点对 z 轴的角动量为r 2 Liz = ± Lio = mi ri ω轴的总角动量为： 刚体对 z 轴的总角动量为：Lz = ∑ Liz = ∑ ri2 miωi 2 iz= ω ∑ ri mi对质量连续分布的刚体： 对质量连续分布的刚体：iωr vr o rLz = ∫ dLz = ∫ r ω dm2dm= ω ∫ r dm2令：J = ∑ ri m i2 iJ = ∫ r dm2轴的总角动量为： 刚体对 z 轴的总角动量为： 二、刚体对轴的转动惯量 1.定义 1.定义Lz = Jω转动惯量J = ∑ ri2 m ii刚体对某定轴的转动惯量等于其各质点的质量与 该质点到转轴距离的平方之积求和。 该质点到转轴距离的平方之积求和。 若质量连续分布， 若质量连续分布，则J = ∫ r dm2J = ∫ r dm2积分元选取： 积分元选取：线密度： 线元： 线密度： λ , 线元： dl面密度： 面元： 面密度： σ , 面元： dS体密度： 体元： 体密度：ρ , 体元：dVdm dmλ dldm =σdSρdVdm2. 计算 刚体对轴的转动惯量 J与刚体总质量有关 与刚体质量分布有关 与转轴的位置有关练习 1.由长 l 的轻杆连接的质点如图所示，求质点系 由长 的轻杆连接的质点如图所示， 对过 A 垂直于纸面的轴的转动惯量4mml l lJ = 2ml 2 + 3m ( 2l )23m2mAl5m+ ( 4m + 5m )( 2l ) = 32ml222. 一长为Ｌ的细杆，质量 m 均匀分布 ，求该杆对过 的细杆， 轴的转动惯量。 杆一端端点且垂直于杆的 z 轴的转动惯量。 zodmxLm dm = λdx = dx LxLJ =∫x2dm =∫0m m 1 3 L 1 x dx = x = mL 2 L L 3 0 323. 求质量 m ,半径 R 的均匀球壳对直径的转动惯量 半径 解：取离轴线距离相等的点的集合dlrdθ θ为积分元RodS = 2π rdl = 2π R sin θ ? R dθm σ= 4πR 21 d m = σ d S = m sin θ d θ 2md J = r d m = ( R sin θ2J =∫ dJ=π)2∫01 2 2 3 mR sin θ d θ = mR 2 31 d m = mR 2 sin 3θ d θ 224. 求质量 m ,半径 R 的均匀球体对直径的转动惯量 半径 解：以距中心drr ，厚 dr 的球壳2Rrom为积分元d V = 4π r d rρ=m 4 πR 3 3dm = ρ dV2 2 mr 4 d r dJ = dm ? r 2 = 3 R3J = ∫ dJ = ∫0R2 mr dr 2 2 = mR 3 R 54教材P.93 教材一些均匀刚体的转动惯量表注意：对同轴的转动惯量具有可加减性。 注意：对同轴的转动惯量具有可加减性。 同轴圆柱 r1 r2 o m2 m1J z = J 2 + J1 m 2 r22 m 1 r12 = + 2 2z m1 r1 m2 r2空心圆盘J z = J 2 ? J1 m 2 r22 m 1 r12 = ? 2 2平行轴定理J D = J C + md正交轴定理2Dd Cmz x oy对平面刚体Jz = Jx + J y证明见教材92页 证明见教材92页 92练习： 练习： 求长 L、质量 m 的均匀杆对 z 轴的转动惯量 、zA解1.mBL 4oLCm 2 7 J z = ∫ l dm = ∫ l dl = mL2 L 48 ?L 423L 41 m ? L ? 1 3m ? 3 L ? 7 2 解2. J z = J oA + J oB = ? ? + ? ? = mL 3 4 ? 4 ? 3 4 ? 4 ? 48解3.221 7 ? L? ? L? 2 J z = J C + m? ? = mL + m? ? = mL2 ? 4 ? 12 ? 4 ? 4822§5.2 角动量的时间变化率 力矩 一、质点角动量的时间变化率r r r dL d r r d r r r dp = (r × p)= × p+r × dt dt dt dt r r dr r r r r Q × p = v × p = v × mv = 0 dt r r dL r dp r r ∴ =r× = r ×F dt dt质点位矢 合力r r r L=r×pr r 大小： 大小： r × F = rF sin θ = Fd方向： 方向：服从右手定则 力矩r Fr dL r r = r ×F dt质点角动量的时间变化率等于 质点所受合力的力矩 二、力矩 对参考点的力矩： 1. 对参考点的力矩：r rodθmr r r M = r ×F大小： 大小： Fd = Fr sin θ r r 方向： 服从右手定则。 方向： 垂直于 r 和 F组成的平面 , 服从右手定则。2. 对轴的力矩zMzr r F⊥ F//dr For rmr r r r r r M o = r × F = r × ( F// + F⊥ ) r r r r = r × F// + r × F⊥ r r r 第一项 M 1 = r × F//方向垂直于轴，其效果是改 方向垂直于轴， 变轴的方位，在定轴问题中， 变轴的方位，在定轴问题中， 与轴承约束力矩平衡。 与轴承约束力矩平衡。第二项r r r M 2 = r × F⊥z ⊥方向平行于轴，其效果是改变绕轴转动状态， 方向平行于轴，其效果是改变绕轴转动状态， r r 称为力对轴的矩，表为代数量： 称为力对轴的矩，表为代数量： M = ± r × F即： rr r Mo = r × F = x y z Fx Fy Fz r r r = i ( yFz ? zFy ) + j (zFx ? xFz ) + k (xFy ? yFx )M z = xF y ? yFx力对 o 点 的力矩在 z 轴方向的分量r r r i j k注意：力矩求和只能对同一参考点（或轴）进行。 注意：力矩求和只能对同一参考点（或轴）进行。r r r M o = M 1o + M 2 o + L矢量和 代数和M z = M 1z + M 2z + L思考： 思考：合力为零时，其合力矩是否一定为零？ 合力为零时，其合力矩是否一定为零？ 合力矩为零时，合力是否一定为零？ 合力矩为零时，合力是否一定为零？例：r For Fr For Fr ∑ Fr = 0 ∑ Mo ≠ 0r ∑ Fr ≠ 0 ∑ Mo = 0本讲内容： 本讲内容：三个基本概念 1.角动量 1.角动量 质点 质点系r r r r r L = r × p = r × mv r r r r r r r L = rc × M v c + ∑ ri′ × m i v ′ = L轨道 + L自旋 iiiLz = ω ∑ ri2 m i =Jω 定轴刚体2. 转动惯量J = ∑ ri2 m iiJ = ∫ r dm23.力矩 3.力矩r r r M = r ×Fr r Mz = ± r × F⊥大作业第六章 能量 能量守恒定律 自学要求基本内容： 一.基本内容：1.功的计算，熟练计算变力的功， 1.功的计算，熟练计算变力的功，理解保守力做功的 功的计算 特征； 特征； 2.质点、质点系、定轴转动刚体的动能； 2.质点、质点系、定轴转动刚体的动能； 质点 3.保守力与其相关势能的关系，由势能曲线分析物体 3.保守力与其相关势能的关系， 保守力与其相关势能的关系 运动特征； 运动特征； 4.熟练使用动能定理或功能原理解题， 4.熟练使用动能定理或功能原理解题，注意内力的功 熟练使用动能定理或功能原理解题 可以改变质点系的总动能； 可以改变质点系的总动能； 5.熟练使用机械能守恒定律解题， 5.熟练使用机械能守恒定律解题，对综合性问题要能 熟练使用机械能守恒定律解题 划分阶段， 划分阶段，分别选用恰当的力学定理或守恒定律求解二.自学要求 自学要求 1.阅读教材 114页~141页； 阅读教材 页 页 2.完成自学报告（严禁抄袭！）。 完成自学报告（严禁抄袭！）。 完成自学报告三.考核方法 第五周周五（下周五）交自学报告（成绩占总成绩10%） 第五周周五（下周五）交自学报告（成绩占总成绩10%） 10% 学习内容总结： 114页 结构框图”具体化， （1）学习内容总结：将114页“结构框图”具体化，形 成较详尽的全章总结（格式不限）； 成较详尽的全章总结（格式不限）； 学习效果总结（收获与体会、与中学的比较等）； （2）学习效果总结（收获与体会、与中学的比较等）； 对本课程教学方式的反馈意见。 （3）对本课程教学方式的反馈意见。注意： 注意：今天交作业 今天交作业 NO.2 第五周周五（下周五） 第五周周五（下周五）交自学报告 第六周周三交作业NO.3 第六周周三交作业NO.3《大学物理AI》作业 大学物理AI》 No.1 运动的描述关于作业的说明? 按时交作业，与最终成绩挂钩；严禁抄袭 ? 单双号批改 ? 每班按学号顺序收好 ? 只讲存在的问题No.1 作业 参考答案一、C C D C A C 二、1. 3，3，6 1 3 2. v = v 0 + Ct 3 r 3. v = 6.32m ? s ?1 4. t = 1 s 5. 抛物线v1 1 ? x y= x ? g? v0 2 ? v0 ? ? ? ? ?21 4 x = x 0 + v 0 t + Ct 12 v2 = 8.25 m? s ?16. 17.3m/s , 20m/s一、2. 建立坐标系如图所示：小船在任一位置绳长 l =h +x22v v0xdl x dx =? = v0 2 2 dt dt h +xdx 故小船在任一位置速率 d t = ?v0 h2 + x2 x小船在任一位置加速度为2 d2 x 2 h a = 2 = ?v0 3 dt x加速度随小船位置变化，且与速度方向相同，故小船作变加 速运动。 v v v dxv dy v v v 3. v = dr j v = vxi + v y j = i+ dt dt dtv ?dx? ?d y? v = ? ? +? ? ? dt ? ? dt ?2 26.56200v v机 → 空 气v v空 气 → 地6.192 v v机 → 地( ?x ) 2 + ( ?y ) 2 2 = 2 2 + (? 6) = 6.32(m ? s ?1 ) 2 ?1二、3.v ?r r v = = ?tdx dy vx = = 2, v y = = ? 4t , v = dt dt2vx + vy22v2 = 2 2 + (? 8) = 8.25(m? s ?1 )三、 1.dv dv dy dv a= = ? = v? = ? ky dt dy dt dy∫vv0vdv =∫yy0? ky dy1 2 1 1 2 2 2 v ? v 0 = ky 0 ? ky 2 2 2()v = v0 + k y 0 ? y2 2 2(2)2.2π rN d r dt = v3T = ∫dt = ∫R2 R12π rN d r π N 2 = ( R2 ? R12 ) v vt = 4.16 ×10 s = 69.4 (min)1 .3 ω= = = 26 ( rad/s) r 0 .05?3.31×10?3 (rad/s 2 )νdω v dr v v v2 β= =? 2 =? 2 =? dt r dt r 2π rN 2π Nr 33.轨迹方程 相对运 动公式 建立如图 坐标系 参数方程 x,y方向速度ux = 0 l? ? u y ? ( ?u 0 ) = k ? x ? ? 2? ?2求kx = x(t ) y = y (t )v x = v0 cos 45o + u x = v0 / 2v y = v0 sin 45 o + u y = v0 / 2 + u y消去ty = x?2 2u 0 2 4 2u 0 3 x + 2 x lv 0 3l v 0}