华住会会员说明 积分计算常见问题 - 华住酒店集团
积分是如何累计的？
预订华住酒店集团所得积分是以持卡人本人入住酒店所消费的房费总额为基数，再乘以相应的积分系数所得，并在您结账离店后的三个工作日到账。华住会会员预订积分系数为1.5、华住会金会员、华住会铂金会员预订积分系数为2。会员卡的积分仅限于累计酒店订单实际成交金额（持卡人本人入住房间的单位房价乘以实际入住间夜数），除此以外的其他消费都不能累计积分。例如：华住会金会员预订华住酒店集团双床房的价格为200元（持卡人本人入住），同时入住客人在酒店另外消费了10元长途话费，那么入住2天后将得到800分=200（房价）*2（积分系数）*2（间夜数）。
积分是否有有效期？
有的，每笔积分的有效期为2年，若过期未有兑换，将被视为放弃该权利，积分自动扣除。例如：您的会员卡在日获得一笔积分，到日您的会员帐户内此笔积分将被清零。
如何查看华住积分是否过期？
您可以在网站右上角点击“个人信息”，再新页面中选择“我的积分”，即可查看到每笔积分的有效期。
我在华住酒店集团的其他消费是否能累计积分？华住会员卡的积分仅限于累计持卡人本人入住酒店所消费的房费总额，除此以外，客人在华住酒店集团的其他消费（餐饮、洗衣、会议、商务等）是不予累计积分的。
我是华住的会员，用我的卡为我的家人、朋友订房是否有积分累计？对不起，积分是华住给予会员本人入住酒店的奖励回馈，如果不是持卡人本人入住的房费消费是不予累计积分的，但是您的家人、朋友可以享受房价优惠。
我是否可以把我的积分转给我朋友的卡？对不起，因为华住会主要是为会员本人提供优惠，因此您会员卡中的积分不能转换、合并。
我已经入住了酒店，为什么积分还没有累计上？
会员本人以会员身份及会员价格入住酒店并结账离店后，华住会将对客人的入住成交情况进行核实，若确认无误则积分将在三个工作日后到账。如果您还是对您的积分有任何疑问，可以致电
并告知您对哪几次入住的积分累计情况表示质疑，我们会在三个工作日内给出详细的解释。情况属实，客服人员会为您补入相应的积分。
如果我延住、提前离店、临时在前台修改房型，积分该如何累计？如果您的行程有变，发生延住、提前离店、临时在前台修改房型等情况，积分将按照持卡人本人实际入住成交金额累计。
我在华住酒店集团入住了时租房是否有积分累计？可以，只要是持卡人本人入住华住酒店集团的房费消费都可以享受积分累计，但延住不累计积分；时租房不享受房价折扣优惠等其他会员专享服务。
我住了两天之后才买的会员卡，是不是可以把前面的积分都补上？非常抱歉，华住会的积分奖励只是针对华住会会员，您还没有成为华住会会员之前，是不能享受华住会会员待遇的，即不能累计积分。&&>>&&>>&&>>&正文
奖励积分的两种计算
13:22:15东奥会计在线字体：
　　[小编“娜写年华”]东奥会计在线中级职称频道提供：本篇为2016年《中级会计实务》答疑精选：奖励积分的两种计算。
　　【原题】计算分析题
　　日，甲公司董事会批准了管理层提出的客户忠诚度计划。该客户忠诚度计划为：持积分卡的客户在甲公司消费一定金额时，甲公司向其授予奖励积分，客户可以使用奖励积分（每一奖励积分的公允价值为0.01元）购买甲公司经营的任何一种商品；奖励积分自授予之日起3年内有效，过期作废。
　　2013年度，甲公司销售各类商品共计50 000万元（不包括客户使用奖励积分购买的商品，下同），授予客户奖励积分共计50 000万分，客户使用奖励积分共计20 000万分。
　　2013年年末，甲公司估计2013年度授予的奖励积分将有80%使用。
　　2014年客户使用奖励积分8 000万分，2014年年末，甲公司估计2013年度授予的奖励积分将有70%使用。
　　2015年客户使用奖励积分6 000万分，至日，2013年度授予的奖励积分剩余部分失效。假定不考虑相关税费因素的影响。
　　要求：
　　（1）计算甲公司2013年度授予奖励积分的公允价值、因销售商品应当确认的销售收入，以及因客户使用奖励积分应当确认的收入，并编制相关会计分录；
　　（2）计算甲公司2014年度因客户使用奖励积分应当确认的收入，并编制相关会计分录；
　　（3）计算甲公司2015年度因客户使用奖励积分应当确认的收入，并编制相关会计分录。
　　（答案中的金额单位用万元表示）
　　正确答案：
　　（1）2013年授予奖励积分的公允价值=50 000×0.01=500（万元）；销售商品应当确认的收入=50 000-500=49 500（万元），递延收益部分2013年确认的收入（因奖励积分部分确认的收入）=20 000÷（50 000×80%）×500=250（万元），2013年确认的总收入=49 500+250=49 750（万元）。
　　借：银行存款　　　　　　　　　　　　　　　　　50 000
　　　　贷：主营业务收入　　　　　　　　　　　　　　　49 500
　　　　　　递延收益　　　　　　　　　　　　　　　　　　 500
　　借：递延收益　　　　　　　　　　　　　　　　　　 250
　　　　贷：主营业务收入　　　　　　　　　　　　　　　　 250
　　（2）递延收益部分2014年累计确认的收入（因奖励积分部分累计确认的收入）=（8 000+20 000）÷（50 000×70%）×500=400（万元），2014年客户使用奖励积分应确认的收入=400-250=150（万元）。
　　借：递延收益　　　　　　　　　　　　　　　　　　 150
　　　　贷：主营业务收入　　　　　　　　　　　　　　　　 150
　　（3）最后一年应将剩余递延收益全部确认为当期收入，即2015年客户使用奖励积分应确认的收入=500-400=100（万元）。
　　借：递延收益　　　　　　　　　　　　　　　　　　 100
　　　　贷：主营业务收入　　　　　　　　　　　　　　　　 100
　　知识点：授予客户奖励积分的处理
　　【学员提问】
　　老师您好：这题确认递延收入是按=500，而试题编号578881。确认递延收入是按240/0=200。这两题的计算方法不一致，请问题的区别是什么呢？为什么上一题是按比例确认递延。此题直接按积分公允确认呢？
　　【东奥老师回答】
　　尊敬的学员，您好：
　　在确认奖励积分公允价值时，有两种方法：
　　一种是相对公允价值比例法，另一种是剩余价值比例法。
　　如果题目给定的是每个奖励积分的公允价值，如每一奖励积分的公允价值为0.01元，则按照剩余价值法进行会计处理，即先确定总的奖励积分的公允价值，然后确认收入。
　　如果题目给定的是每个奖励积分兑换商品的价值，则按照相对公允价值比例法进行会计处理。
　　您所说的这两个题目一个是采用的是“公允价值比例法”一个是“剩余价值比例法”所以二者计算投资收益的方法是不一样的。
　　希望可以帮助到您，如有其它问题欢迎继续交流~~
　　祝您学习愉快！
　　更多中级职称疑难问题，帮您解答！
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责任编辑：娜写年华
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有人能告诉我论坛积分是怎么计算的吗，比如说回帖加多少，别人回复你的帖子加多少，具体点的……谢谢了
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发帖+4积分，回帖+2，另外内测申请没有具体的积分限制的。玩机达人以上都可以申请～后台系统会按照论坛活跃积分高低自动审核，无人工干预。楼主可以多参与论坛互动，多发主题，积极回复(勿灌水)，48小时未通过，可重新申请～
新版MIUI社区“内测粉丝组”申请机制及管理条例
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回帖+2，发帖+4，别人回你的帖子不会加的
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回帖+2，发帖+4，别人回你的帖子不会加的
可是好像有加……
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回帖多少次加啊都
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回帖多少次加啊都
每天限制回帖50次好像，没试过
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每天限制回帖50次好像，没试过
50次之后就不加了……
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为了凑足1200积分进内测组 我只能每个帖子混个2积分才好
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复积分的计算方法及其应用
摘要在复变函数的理论中,复积分是研究解析函数的重要工具.解析函数中的许多重 要性质都要利用复变函数积分来证明.柯西积分定理在复积分的计算理论中处于关键 地位,柯西积分公式、柯西积分定理及其推论、柯西高阶导数公式和留数定理对复积 分的计算起到很大的作用.本文首先阐述复积分的相关概念，在此基础上介绍复积分 的几种基本求法，如：用参数方程
法、牛顿―莱布尼兹公式、柯西积分定理、柯西积 分公式、复周线柯西积分定理、解析函数的高阶导数公式、留数定理.针对每一种计 算方法给出相应的例子.对复积分的计算方法作出较系统的归纳总结，从中概括出求 复变函数积分的解题方法和技巧.关键词：复积分；解析函数；柯西积分定理；柯西积分公式；留数定理- I -ABSTRACTIn complex function theory, complex integration is an important tool of analytic function.Analytic function of many important properties are using the complex function integral to prove.Cauchy integral theorem in the calculation of complex integration theory in a key position,Cauchy integral formulas, Cauchy integral theorem and its corollary, Cauchy higher derivatives formula and residue theorem of integral to the complex calculation has played a significant role. This paper first describes the complex integration of related concepts introduced on this basis, the complex integration of several basic method for finding such as : parametric equations , Newton - Leibniz formula , Cauchy's integral theorem, Cauchy integral formula , complex contour Cauchy integral theorem, the formula of the higher order derivatives of analytic functions , residue theorem to give the corresponding examples for each type of calculation.The calculation method of complex integral to make a summary of the system, from which generalizes the complex functions for solving integral method and the skill.Key words: C A Cau Cau the residue theorem- II -目录摘要....................................................................................................................................... I ABSTRACT..........................................................................................................................II 1 前言...................................................................................................................................1 2 预备知识............................................................................................................................2 3 复变函数积分的计算方法....................................................................................... 6 3.1 用参数方程法..................................................................................................... 6 3.2 用牛顿―莱布尼兹公式计算复积分..................................................................8 3.3 用柯西积分定理计算复积分...............................................................................10 3.4 用柯西积分公式计算复积分...............................................................................12 3.5 用复周线柯西积分定理计算复积分...................................................................14 3.6 用解析函数的高阶导数公式计算复积分...........................................................16 3.7 用留数定理计算复积分.......................................................................................20 结论......................................................................................................................................24 参考文献........................................................................................................................ 25 致谢............................................................................................................................. .....26- III -济南大学毕业论文1前 言2006 年 3 月淮南师范学院的崔东玲研究的《复积分的计算方法》，他通过变量 代换、柯西积分公式、柯西积分定理、留数定理从中揭示诸多方法的内在联系.在研 究复积分的计算方法这一方面取得了许多进展，证明了复变函数积分的计算方法.复 变函数积分的计算方法灵活多样， 而目前对复变函数积分的计算方法作出较系统的归 纳却很少见.本文将利用复变函数积分基本原理，利用几种复积分的基本求法，针对 每一种计算方法给出例子，并通过柯西积分定理、柯西积分公式、柯西高阶导数公式 等来计算复积分，从中揭示诸多方法的内在联系，对复积分的计算方法作出较系统的 归纳总结，从中概括出求复变函数积分的解题方法和技巧.- 1 -济南大学毕业论文2 预备知识定义 2.1 ?1? 设 l 为复平面上以 z0 为起点， 而以 z 为终点的光滑曲线 y ? y ? x ? 有 （ ?? 连续导数） 在 l 上取一系列分点 z0 , z1 ,?, zn?1 , zn ? z 把 l 分为 n 段， ， 在每一小段 zk ?1 zk 上任取一点 ? k 作和数 Sn ? ? f ??k ?? zk ? zk ?1 ? ? ? f ??k ? ?zk , ?zk ? zk ? zk ?1 当 n ?? ，且k ?1 k ?1 n n每一小段的长度趋于零时， lim S n 存在， 若 则称 f ? z ? 沿 l 可积，lim S n 称为 f ? z ? 沿 l 的n ?? n ??路径积分. l 为积分路径，记为 ? f ? z ? dz (若 l 为围线（闭的曲线） ，则记为 ? f ? z ? dz ). ?l l?lf ? z ? dz ? lim Sn ? lim ? f ??k ? ?zk ( f ? z ? 在 l 上取值，即 z 在 l 上变化).n ?? n ?? k ?1n图 2.1定理 2.1若函数 f ? z ? ? u ? x, y ? ? iv ? x, y ? 沿曲线 C 连续，则 f ? z ? 沿 C 可积，且z ? f ? z? d ? ?C Cudx ?v? ? dyCi ?v d x .udy(1.1)复变函数积分的基本性质 (1) (2) (3) (4)设函数 f ? z ? , g ? z ? 沿曲线 C 连续，则有下列性质：?Caf ? z ?dz ? a ? f ? z ?dz , a 是复常数：C? ?C? f ? z ? ? g ? z ? ?dz = ? f ? z ?dz ? ? g ? z ? ? ? C CC1 C2? f ? z ?dz ? ? f ? z ? dz+?CC Cf ? z ?dz , 其中 C 由曲线 C1 和 C2 衔接而成;? f ? z ?dz ? ? ? f ? z ?- 2 -济南大学毕业论文(5) 即? f ? z ? dz ? ? f ? z ? dz ? ? f ? z ?ds. 这里 dz 表示弧长的微分，C C Cdz ?定义 2.2? dx ? ? ? dy ?22? ds如果函数 w ? f ( z ) 在区域 D 内可微,则称 f ( z ) 为区域 D 内的解析函数,或称 f ( z ) 在区域 D 内解析. 定理 2.2 函数 f ? z ? 在区域 G 内解析的充要条件是：(1) f ? z ? 在 G 内连续；? 2?对任一周线 C ,只要 C 及其内部全部含于 G ，就有 ? f ? z ?dz ? 0 .C定义 2.3若函数 f ( z ) 在 z0 不解析,但在 z0 的任一邻域内总有 f ( z ) 的解析点,则称z0 为函数 f ( z ) 的奇点.定义 2.4 如果函数 f ( z ) 在点 a 的某一去心邻域 K ? ?a? : 0 ? z ? a ? R (即除去圆心 a 的某圆)内解析，点 a 是 f ( z ) 的奇点，则称 a 为 f ( z ) 的一个孤立奇点. 定义 2.5 设 a 为函数 f ( z ) 的孤立奇点.(1) 如果 f ( z ) 在点 a 的主要部分为零，则称 a 为 f ( z ) 的可去奇点. (2) 如果 f ( z ) 在点 a 的主要部分为有限多项，设为c? m ? c?? m?1? ? ??? ? c?1 (c ? 0) z ? a ?m? z ? a?m? z ? a?m ?1则称 a 为 f ( z ) 的 m 阶极点.一阶极点也称为单极点. (3) 如果 f ( z ) 在点 a 的主要部分有无限多项，则称 a 为 f ( z ) 的本质奇点. 定理 2.3 如果 a 为函数 f ( z ) 的孤立奇点，则下列三条是等价的.它们中的任何一 条都是可去奇点的特征. (1) f ( z ) 在点 a 的主要部分为零； (2) lim f ( z ) ? b( ? ?) ；z ?a- 3 -济南大学毕业论文(3) f ( z ) 在点 a 的某去心邻域内有界. 定理 2.4 如果函数 f ( z ) 以点 a 为孤立奇点， 则下列三条是等价的.它们中的任何一条都是 m 阶极点的特征. (1) f ( z ) 在点 a 的主要部分为? z ? a?c? mm?c?? m?1?? z ? a?m ?1? ??? ?c?1 （ c? m ? 0 ） ； z?a(2) f ( z ) 在点 a 的某去心邻域内能表成f ( z) ?? ( z)( z ? a)m，其中 ? ? z ? 在点 a 邻域内解析，且 ? ? z ? ? 0 ； (3) 注g ( z) ? 1 以点 a 为 m 阶零点(可去奇点要当作解析点看，只要令 g (a) ? 0 ). f ( z)第(3)条表明：1 以点 a 为 m 阶零点. f ? z?z ?af ( z ) 以点 a 为 m 阶极点 ?定理 2.5 定理 2.6函数 f ( z ) 的孤立奇点 a 为极点的充要条件是 lim f ( z ) ? ? . 函数 f ( z ) 的孤立奇点 a 为本质奇点的充要条件是:b ?（有理数） ，即 lim f ( z ) 不存在. lim f ( z ) ? ? z ?a z ?a ??定理 2.7 若 z ? a 为函数 f ( z ) 之一本质奇点，且在点 a 的充分小去心邻域内不1 的本质奇点. f ? z?C为零，则 z ? a 亦必为 定理 2.8如果函数 f ( z ) 在单连通域 B 内处处解析，那么积分 ? f ( z )dz 与连结起z点与终点的路线 C 无关. 定理 2.9 如果函数 f ( z ) 在单连通域 B 内处处解析,那么函数 F（z） ? f (? )d? ?z0必为 B 内一个解析函数，并且 F ?( z) ? f ( z ) . 定义 2.6? 如果函数 ? ?（z） f (z ) ，那么称 ? (z ) 为 f (z ) 在区域内的原函数.- 4 -济南大学毕业论文注原函数之间的关系： f (z ) 的任何两个原函数相差一个常数. 称 f (z ) 的原函数的一般表达式 F ( z ) ? C （C 为任意常数）为 f (z ) 的不定义 2.7定积分，记作 ? f ( z )dz ? F ( z ) ? C . 定义 2.8 考虑 n ? 1 条周线 C0 , C1 , ???, Cn ,其中 C1 , C2 , ???, Cn 中的每一条都在其余各条的内部， 而它们又全都在 C0 的内部.在 C0 内部的同时又在 C1 , C2 , ???, Cn 外部的点集构 成一个有界的 n ? 1 连通区域 D ,以 C0 , C1 , C2 , ???, Cn 为它的边界.在这种情况下，我们称 区域 D 的边界是一条复周线? ? C ? C0 ? C1? ? C2 ???? ? Cn ,它包括取正方向的 C0 ,以及取负方向的 C1 , C2 , ???, Cn .换句话说,假如观察者沿复周线 C 的正方向绕行时，区域 D 的点总在它的左手边. 定义 2.9 如果函数 f ( z ) 在点 a 是解析的,周线 C 全在点 a 的某邻域内， 并包围点a ，则根据柯西积分定理得 ?C f ? z ? dz ? 0. ?注 如果 a 为 f ( z ) 的一个孤立奇点,且周线 C 全在 a 的某个去心邻域内，并包 围点 a ，则积分 ? f ? z ? dz 的值，一般来说，不再为零. ?C设函数 f ( z ) 以有限点 a 为孤立奇点，即 f ( z ) 在点 a 的某个去心邻域 0 ? z ? a ? R 内解析，则称积分1 f ? z? d z (? : z ? a ? ?,0 ? ? ? R) 为 f ( z ) 在 点 a 的 留 数 2? i ??（residue） ，记为 Res f ( z ) .- 5 -济南大学毕业论文3 复变函数积分的计算方法3.1 用参数方程法设有光滑曲线 C ： ， z ? z ?t ? ? x ?t ? ? i ?t ? （ ? ? t ? ? ） 这就表示 z? ? t ? 在 ?? , ? ? 上连续且有不为零的导数，z? ?t ? ? x? ?t ? ? iy? ?t ? . 又设 f ? z ? 沿 C ? 连续.令f ? z ? t ? ? ? u ? x ? t ? , y ? t ? ? ? iv ? x ? t ? , y ? t ?? ? u ? t ? ? iv ? t ? ? ? ? ? ? ?由 (式 1.1) 得?即Cf ( z )dz ? ? udx ? vdy ? i ? udy ? vdxC C=? ?u ? t? ? ? ?t? x ? ??? v? t? ? y? ??t? d t? ? ?? ? i?? ? ?u ? t y ? t ? ? ?v ? ? ? ?t x tdtz ? f ? z? d ? ??C??f ?? z? t? ? ?z ???,t d t(1.2)或?Cf ? z ? dz=? Re f ? z ? t ?? z? ? t ? dt +i ? Im f ? z ? t ?? z? ?t ? dt ? ? ? ? ? ??????(1.3)公式(1.2)、(1.3)是从积分路径的参数方程着手，称为参数方程法. (1.2)、(1.3)称 为复积分的变量代换公式. 注 (1) 一个重要的常用积分：? ? z ? a?Cdzn?2? i, ? n ? 1? ? ?? ） ?（n ? z , n ? 1 ? ?0(这里 C 是以 a 为圆心， ? 为半径的圆周) (2) 如果 C 是由 C1 , C2 , ?, Cn 等光滑曲线依次相互连接所组成的按段光滑曲线, 则? f ? z? ? ?CC1f(z)dz ? ? f(z)dz ? ? ? ? f(z)dz.C2 Cn(3)在今后讨论的积分中,总假定被积函数是连续的, 曲线 C 是按段光滑的. 例 3.1[2]计算 ? z dz ，其中 C 为：圆周 z ? 3 .C- 6 -济南大学毕业论文解积分路径的参数方程为z ? 3ei? (0 ? ? ? 2 ) , dz ? 3iei? d? π?Cz dz ? ? 3 ? 3iei? d? (因为 z ? 3 )02 π? 9i ? (cos ? ? i sin ? )d?02 π=0 .例 3.2 解计算积分 ? ? x ? y ? ix 2 ? dz ,积分路径 C 是连接由 0 到 1 ? i 的直线段.CC 的参数方程是 z ? ?1? i ? t, x ? t, y ? t, ? 0 ? t ? 1? , dz ? ?1? i ? dt由参数方程法得：? ? x ? y ? ix ? dz=? ?t ? t ? it ? ?1 ? t ? dt2 1 2 C 0=i ?1 ? i? ? 2t d t1 0t2 ? ? i ?1? ? 3??1 0注1? i . 3 通过上面的例子，我们知道在计算沿光滑曲线的复变函数积分的时候，可利用曲线的参数方程把复积分化为定积分，这是计算复积分的基本方法. 凡是在定积分和线积分中使用的技巧,在这里都可以照常使用.在解题的时候要 注意曲线用参数方程来表示时,正方向是参数增大的方向.参数的取值应与起点和终 点相对应；在分段光滑曲线时，要注意各段曲线的起点与终点所对应的参数值的准确 性.- 7 -济南大学毕业论文3.2 用牛顿―莱布尼兹公式计算复积分牛顿-莱布尼兹公式 [3]z1如果函数 f (z ) 在单连通域内处处解析, G ( z ) 为 f (z ) 的一个原函数，那么 ? f ( z)dz ? G( z1 ) ? G( z 0 ) ，这里 z0 , z1 为 B 内的两点.z0例 3.3 解求 ? z cos z 2 dz 的值.0?i??i0z cos z 2 dz ?1 ?i cos z 2 dz 2 2 ?0?i1 ? sin z 2 2 01 ? sin(?? 2 ) 2 1 ? ? sin ? 2 . 2注 行求解.此题先使用了微积分学中的“凑微分”法,然后运用牛顿-莱布尼兹公式进 求 ? z cos zdz 的值.0 i例 3.4 解i? z cos zdz ? ? zd ? sin z ?i 0 0? z sin z i0 ? ? sin zdz0i=z sin z ? cos zi 0? e?1 ? 1 .注 行求解.此题先使用了微积分中的“分部积分法”，然后运用牛顿-莱布尼兹公式进例 3.5 求? ? 2zC2? 8 z ? 1?dz 的 值 ， 其 中 C 是 连 接 0 到 2? a 的 摆 线 ：x ? a? ? i n? ? s ?解,y ? ?a 1 c?o s ? ?.因为函数 2 z 2 ? 8z ? 1 在复平面内处处解析，所以积分与路线无关，由牛顿―莱布尼兹公式得：?C(2 z 2 ? 8z ? 1)dz ? ?2? a0? 2z2? 8 z ? 1?dz- 8 -济南大学毕业论文2? a2 ? ( z 3 ? 4 z 2 ? z) 3 0?注16 3 3 ? a ? 16? 2 a 2 ? 2? a . 3 利用这种方法将复变函数积分转化成定积分来计算，方法虽然很好，但是要求非常苛刻，函数必须在单连通域内解析，而很多函数都不具备这一性质，所以在应 用时需注意.- 9 -济南大学毕业论文3.3 用柯西积分定理计算复积分柯西积分定理 [ 4 ] 如果函数 f ? z ? 在单连通区域 B 内处处解析,那么函数 f ? z ? 沿B 内的任何一条周线 C 的积分为零.即:? f ? z ?dz ? 0 . ?C注(1) 定理中的 C 可以不是简单曲线. (2) 如果曲线 C 是区域 B 的边界，函数在 f ? z ? 在 B 内 C 上解析,即在闭区域B ? B ? C 上解析，那么 ? f ? z ?dz ? 0 。 ?C(3) 如果曲线 C 是区域 B 的边界， 函数 f ? z ? 在 B 内解析， 在闭区域 B ? B ? C上连续，那么定理依然成立。例 3.6 解 则有计算积分 ? ?z ?11 dz. 2z ?1函数1 在 z ? 1 内解析,根据柯西积分定理， 2z ?1? ?例 3.7 计算积分 ? ?z ?11 dz ? 0 . 2z ?1z -i ?1 2z ? z 2 ? 1?1dz.解z z ?12?1??1 z 1 1? 1 1 ? ? 2 ? ? ? ? ? z z ?1 z 2 ? z ? i z ? i ?1 1 1 因为 和 都在 z ? i ? 上解析， z z?i 2 根据柯西积分定理得：? ?z -i ?1 2z ? z ? 1?21dz ? ? ?z ?i ?1 21 1 ? ?1 1 1 ? ? ? ? ? ? dz ? z 2 z ?i 2 z ?i ?=? ?z ?i ?1 21 1 1 1 1 dz - ? 1 ? z ?i ? 2 z ? i dz- 2 ?z ?i ? 12 z ? i dz ? z 2- 10 -济南大学毕业论文??1 1 ?z ?i ? 12 z ? i dz ? 21 ? ? ? 2? i 2 ? ?? i.注(1) 定理的条件是“单连通域”. (2) 定理不能反过来用.即:不能由 ? f ? z ?dz ? 0 ， 而说 f ? z ? 在 C 内处处解析. ?C利用柯西积分定理有一定的局限性，主要体现在被积函数上，只有某些特殊的函 数或能拆成若干个特殊函数的函数计算起来较方便.- 11 -济南大学毕业论文3.4 用柯西积分公式计算复积分柯西积分公式C 如果函数 f ? z ? 在区域 D 内处处解析， 为 D 内的任何一条正向简单闭曲线，它的内部完全含于 D ， z0 为 C 内任一点，那么 f ? z0 ? ? 注 关于柯西积分公式的说明：f ? z? 1 dz ?C 2? i ? z ? z0(1) 把函数在 C 内部任一点的值用它在边界上的值表示; (2) 公式不但提供了计算某些复变函数沿闭路积分的一种方法，而且给出了解析 函数的一个积分表达式. (3) 一个解析函数在圆心处的值等于它在圆周上的平均值；如果 C 计算复积分在 圆周 z ? z0 ? R ? ei?， 则f ? z0 ? ? 1 2? i f ?z? 1 2? i? ? ??R z ? z0 2? i ?0 f ? z0 ? R ? e ?d? . z ? z0例 3.8 [5 ] (1) 解 得：求下列积分：1 sin z ?z ?4 ? 2? i(2) ? ?z ?42 ? ? 1 ? ? ? dz. ? z ?1 z ? 3 ?(1) 因为 f ? z ? ? sin z 在复平面内解析， z ? 0 位于 z ? 4 内，由柯西积分公式1 sin z 1 ?z ?4 z dz ? 2? i ? 2? i ? sin z ? 2? i =0z ?0(2)? ?z ?42 ? 1 2 ? 1 ? ? ?dz ? ?z ?4 ? z ? 1dz ? ?z ?4 z ? 3 dz ? ? z ?1 z ? 3 ?? 2? i ? 1? ? i ? 2 2? 6? i .例 3.9 解计算积分 ? ?z ?i ?1 2z ? z 2 ? 1?1dz此题用柯西积分定理解析见例 3.7;- 12 -济南大学毕业论文1 z ? z ? i? 1 1 ? = z ?i z ? z 2 ? 1? z ? z ? i ?? z ? i ?令1 ? f ? z ? , z0 ? i z ? z ? i?1 内解析，由柯西积分公式 2因为 f ? z ? 在 z ? i ? 得：? ?z ?i ?1 2z ? z 2 ? 1?1dz = ? ?z ?i ?1 21 z ? z ? i? dz z ?i? 2? i ?? 2? i ?1 z ? z ? i?z ?i1 2i 2 ? ?? i .注柯西积分公式是复积分计算中的重要公式，它的证明基于柯西积分定理，它的重要性在于：一个解析函数在区域内部的值可以用它在边界上的值通过积分表示， 因此它是研究解析函数的重要工具.- 13 -济南大学毕业论文3.5 用复周线柯西积分定理计算复积分定理 3.1 设 D 是由复周线? ? C ? C0 ? C1? ? C2 ???? ? Cn所围成的有界 n ? 1 连通区域，函数 f ? z ? 在 D 内解析，在 D ? D ? C 上连续，则?或写成 或写成Cf ( z )dz ? 0 ，? ?C0f ( z )dz ? ? ? f ( z )dz ? ??? ? ? ? f ( z )dz ? 0C1 CnC0f ( z )dz =? f ( z)dz ? ??? ? ? f ( z)dz .C1 Cn即：沿外边界积分等于沿内边界积分之和. 2z ?1 例 3.10 [ 6 ] 计算积分 ? 2 dz ， ? 为包含圆周 z ? 1在内的任何正向简单曲线. ?? z ? z 解 因为函数2z ? 1 z ? z ? 1 1 1 ? ? ? 在复平面内有两个奇点 z ? 0 和 z ? 1 , 2 z ?z ? 1? z ? 1 z z ?z依题意知 ? 也包含这两个奇点， ? 内做两个互不包含也不相交的正向圆周 C1 和 C 2 ， 在C1 只包含奇点 z ? 0 , C 2 只包含奇点 z ? 1 ,根据定理 3.2得：2z ?1 2z ?1 2z ?1 dz ? ? 2 2 ?C1 z ? z dz ? ?C2 z 2 ? z dz ? ? z ?z 1 1 1 1 ?? ?C1 z ? 1 dz ? ?C1 z dz ? ?C2 z ? 1 dz ? ?C2 z dz ? ? ? ? 0 ? 2? i ? 2? i ? 0? 4? i .? ?例 3.11求? ?1 dz ， ? 为含 a 的任一简单闭路， n 为整数 ? ( z ? a ) n ?1 1 在 ( z ? a)n ?1解因为 a 在曲线 ? 内部，故可取很小的正数 ? ，使 ?1: z ? a ? ? ，以 ? ? ?1? 为边界的复连通域内处处解析，由定理 3.2- 14 -济南大学毕业论文? ? z ? a? ??1n ?1dz ? ? ?1?1? z ? a?n ?1dz令? z ? a? ? ie , 0? ? ? π , 2? ? z ? a? ??1dz ? ? n ?12π0? in? 2 ie π ? iei? d? ? ? d? 0 ( ? ei? ) n ?1 ?n故?2? i ? n ? 0 ? ; 1 ? dz ? ? ?? ( z ? a)n?1 ?0 ? n ? 0? . ? ?注利用复周线柯西积分定理是计算沿闭曲线积分的最主要方法，使用定理时，要注意以下几点： (1) 曲线的不同方向; (2) 必须是简单闭曲线; (3) 内部若干条曲线互不包含，互不相交； (4) 是全部闭曲线构成区域边界.当且仅当这些条件都完全符合时,才可以应用 柯西积分定理的推论把沿区域外边界线的回路积分,化为沿区域内边界曲线的回路积 分，利用一些已知结果使积分易于计算. (5) 当计算不封闭曲线为积分路径的复积分时，可把积分路径作为部分曲线来构 造封闭曲线，首先计算封闭曲线的复积分，再计算最初的沿不封闭曲线的积分.- 15 -济南大学毕业论文3.6 用解析函数的高阶导数公式计算复积分柯西积分 [ 7 ] 设 C 为任一条简单逐段光滑曲线 （不必闭合） f ?? ? 是在 C 上有定 ，义的可积函数，则有如下形式的积分： 定理 3.2 分 F ? z? ?f ?? ? 1 d? ? z ? C ? 称为柯西积分. 2? i ?C ? ? z若函数 f ?? ? 沿简单逐段光滑曲线 C （不必闭合）连续，则有柯西型积f ?? ? 1 ?C ? ? z d? , ? z ? C ? 所定义的函数 F ? z ? ，在 z 平面上 C 外任一区域 D 2? if ?? ? n! ?C ?? ? z ?n?1 d? , ? z ? D, n ? 1, 2, ??????? . 2? i内解析，且F ? n? ? z ? ?其中 C 为在函数 f ? z ? 的解析区域内 D 围绕 z0 的任何一条正向简单闭曲线，而且它的 内部全含于 D 。 例 3.12 (1) 计算下列积分，其中 C 为正向圆周 z ? r ? 1.? ? z ?1? ?Ccos ? z 5(2)? ?C?zez2? 1?2dz.解(1) 函数cos ? z? z ?1?5在 z ? 1 处不解析，但 cos? z 在 C 内处处解析，根据公式n! f ( z) ?C ( z ? z0 )n?1 dz ? 2? if ( n ) ( z0 ) ?得：；- 16 -济南大学毕业论文- 17 -济南大学毕业论文- 18 -济南大学毕业论文- 19 -济南大学毕业论文在由 C, C1 , C2 围成的区域内解析，根据复周线柯西积分- 20 -济南大学毕业论文定理得:? ?? ?Cez ez ez dz ? ? dz ? ? ?C1 ( z 2 ? 1)2 ?C2 ( z 2 ? 1)2 dz ( z 2 ? 1)2ez ( z ? i)2 dz ( z ? i)2? ?z ?iC1ez dz ? ? ?C1 ( z 2 ? 1) 22? i ? e z ? ? (2 ? 1)! ? ( z ? i ) 2 ? ? ?(1 ? i )ei ?, 2同理可得：? ?于是C2ez ?(1 ? i)e?i dz ? ? ( z 2 ? 1)2 2? ?C?zez2? 1?dz ? 2?(1 ? i)ei ?(1 ? i)e?i ?? ? 2 2i ( 1? i )e( ? ie ? i???2)2( 1 ?i 2) ( c o s 1 ?s i n 1)? ?? ? i? 2 s i ? ?1 ? n ? 4?.注推导 1 ?ei ? cos1 ? i sin1, ie?i ? i(cos1 ? i sin1)?ei ? ie?i ? c o s ? i 1 s i? i 1 n ?o s 1 s i n 1 c ) sin1? ( 1? i ) c o? 1 ? i( 1 s? ( 1 ?i ) ( c o s 1 ?s i n 1) .推导 2cos1- sin1 ?2 2 2 ( cos1sin1) 2 2 22 ? (sin 4 22 ? sin( 4 2?c o con s1 4- 1)- 21 -?s i n 1)?济南大学毕业论文?-2 ? s i n ( 1 -. ) 4 2例 3.13求积分 ? ?C1 dz .其中 C ： (1) z ? 3 ? 2; ( z ? 2) 2 z 3(2) z ?1 ? 3.解函数1 有两个奇点 z ? 2 和 z ? 0, ( z ? 2) 2 z 31 , z3(1) z ? 3 ? 2 ，仅包含奇点 z ? 2 ，取 f ( z ) ? 则1 ?C ( z ? 2)2 z 3 dz ? ? 1 3 ?C ( z ? 2)2 dz ? z? 2? i ? 1 ? ? ? ? 1! ? z 3 ??? 3? i . 8z ?2(2) z ?1 ? 3 ，两个奇点 z ? 2 和 z ? 0 都包含在 C 内，作简单闭曲线 C1 和 C2 分别包含 0 和 2， C1 和 C2 互不包含且互不相交，根据复合闭路定理和高阶导数公式有? ( z ? 2) ?C12z3dz ?? ?? ?1 1 dz ? ? 2 3 ?C2 ( z ? 2)2 z3 dz C1 ( z ? 2) z1 1 2 ( z ? 2) z 3 dz dz ? ? ?C2 ( z ? 2)2 z3?C12? i ? 1 ? ? 2! ? ( z ? 2) 2 ? ? ?3? i 3? i ? 8 8 =0 . ?? ?z ?0? 2? i ? 1 ? 1! ? z 3 ? ? ?z ?2注高阶导数公式 f ( n ) ( z0 ) ?n! f ( z) ?C ( z ? z0 )n?1 dz 是计算复积分的重要公式. ? 2? i解析函数的高阶导数公式是一个利用导数来求复积分的公式,使求沿闭曲线的积分更- 22 -济南大学毕业论文加简捷.尤为重要的是：由柯西高阶导数公式得出解析函数的无穷可微性，只要函数f ? z ? 在闭区域 D 内解析,则它在区域内的各阶导数存在且解析.高阶导数公式的作用在于通过求导来求积分. 柯西积分公式与解析函数的无穷可微性在计算复积分时的主要区别在于被积函 数分母的次数，二者在计算时都常与柯西积分定理相结合.- 23 -济南大学毕业论文3.7 用留数定理计算复积分柯西留数定理f ( z ) 在周线或复周线 C 所范围的区域 D 内，除 a1 , a2 , ???, an 外解析，在闭域 D ? D ? C 上除 a1 , a2 , ???, an 外连续，则（ “大范围”积分）?定 理 3.3Cf ? z ?dz ? 2? i ? Re s f ? z ?k ?1 z ? akn设 a 为 f ( z) 的 n 阶 极 点 , f ? z ? ?? ?z?? z ? a?n,其中 ? ? z? 在点 a 解析 ，? ? z ? ? 0 ，则Re s f ? z ? ?z ?a? ? n ?1? ? a ?? n ? 1?!,其中 ? ? 0? ? a ? 代表 ? ? a ? ，并且有 ? ? 推论 3.1 则n ?1?? a ? ? lim ? ? n?1? ? z ? . z ?a设 a 是 f ( z ) 的一阶极点, ? ? z ? ? ? z ? a ? f ? z ? ,Re s f ? z ? ? ? ? a ? .z ?a推论 3.2 则设 a 是 f ( z ) 的二阶极点 ? ? z ? ? ? z ? a ? f ? z ? ,2Re s f ? z ? ? ? ? ? a ? .z ?a定理 3.4设 a 是 f ( z )=? ? z? 的一阶极点（只要 ? ? z ? 及 ? ? z ? 在点 a 解析，且 ? ? z?）则 Re s f ? z ? ? ? ? a ? ? 0,? ? a? ? 0,?? ? a? ? 0.z ?a? ?a? . ? ??a?函数在无穷远点的留数设 ? 为函数 f ? z ? 的一个孤立奇点， f ? z ? 在去心邻域 即1 f ? z ?dz, (? : z ? ? ? r) 为 f ? z ? 在点 ? 的 2? i ???N― ???：? r ? z ? ?? 内解析，则称 0z ??留数,记为 Re s f ? z ? ，这里 ? ? 是指顺时针方向（这个方向很自然地可以看作是绕无穷 远点的正向）- 24 -济南大学毕业论文设 f ? z ? 在 0 ? r ? z ? ?? 内的洛朗展开式为c? n c ? ??? ? ?1 ? c0 ? c1 z ? ??? ? cn z n ? ??? n z z 1 由逐项积分定理知, Re s f ( z ) ? ? f ( z )dz ? ?c?1 , 也就是说, Re s f ( z ) 等于 f ? z ? 在 z ?? z ?? 2? i ??1 点 ? 的洛朗展式中 这一项的系数反号. z 定理 3.5 如果函数在扩充 z 平面上只有有限个孤立奇点（包括无穷远点在内） ， f ? z ? ? ??? ?设为 a1 , a2 , ???, an，? ,则 f ? z ? 在各点的留数综合为零. 例 3.14 解 计算积分 ?1 z ?1e z dz .1 z22在单位圆周 z ? 1的内部,函数 e 只有一个本质奇点 z ? 0 .在该去心邻域内有洛朗展式1e =1+z21 1 1 ? ? ? ??? , z 2 2! z 41 z2于是 故由留数定理得R es ez ?0? 0?例 3.15 计算积分 ? ?z ?1e dz ? 2? i ? Re s ez2 z ?011 z2?0.ze z dz ，C 为正向圆周 z ? 2 . C z 2 ?1解 所以，由于 f ( z ) ?z ez ， 有两个一阶极点 1，-1 ， 而这两个极点都在圆周 z ? 2 内， z 2 ?1ze z ?C z 2 ? 1 dz ? 2 π i{Res[ f ( z),1] ? Res[ f ( z), ?1]}. ?由推论 3.1 得：Res[ f ( z ),1] ? lim( z ? 1)z ?1z ez z ez e ? lim ? ； z 2 ? 1 z ?1 z ? 1 2 z ez z e z e?1 ? lim ? . z 2 ? 1 z ??1 z ? 1 2Res[ f ( z ), ?1] ? lim( z ? 1)z ??1- 25 -济南大学毕业论文所以? ?例 3.16 计算积分 ? ?CCz ez e e?1 dz ? 2 π i( ? ) ? 2 π i ch1 . z 2 ?1 2 2ez dz ， C 为正向圆周 z ? 2 . z ( z ? 1) 2解 z ? 0 为被积函数的一阶极点, z ? 1 为被积函数的二阶极点， 而Res[ f ( z ),0] ? lim z ?z ?0e e ? lim ? 1. 2 z ?0 ( z ? 1) 2 z ( z ? 1)zzRes[ f ( z ),1] ?1 d ? ez ? lim ?( z ? 1) 2 (2 ? 1)! z ?1 dz ? z ( z ? 1) 2 ? ?? limd ? ez ? ? ? z ?1 dz ? z ?e z ( z ? 1) z ?1 z2? lim=0所以ez ?C z( z ?1)3 dz ? 2 π i{Res[ f ( z),0] ? Res[ f ( z),1]} ?? 2 π i( 1? 0 )= 2? i .例 3.17 解 因此4计算积分 ? ?Cz dz , C 为正向圆周 z ? 2 . z ?14z 在 z ? 2 的外部 ? 外无奇点, z ?11 1 1 z ?1 z ?3 z ? f ( ) ? 2 ? ?4 ? ?4 ? ; 2 z z z z ?1 z ?1 1 ? z 4即? ?注Cz ? z ? dz ? 2 π i Res ? , 0? ? 0 . 4 z ?1 ?1 ? z ?4由以上讨论可以得出，留数定理与复变函数积分中柯西积分定理、柯西积分- 26 -济南大学毕业论文公式和柯西高阶导数公式之间的关系为： 在留数定理中,若被积函数在积分区域内为解析函数,留数定理就变成柯西积分 定理,可见柯西积分定理是留数定理的特殊情形； 在留数定理中,若被积函数在积分区域内只有一阶极点,留数定理中的结论就是 柯西积分公式； 留数定理中,若被积函数在积分区域内有 n 阶极点,留数定理中的结论就是柯西 高阶导数公式. 理解了留数定理与复变函数积分中的柯西积分定理、 柯西积分公式和柯西高阶导 数公式之间的内在联系之后，前面所举的求复变函数积分的例子，现在都可以用留数 定理来求解.只要掌握了各种情况下留数的求法就可以了，而且有时解题会显得更为 简捷.- 27 -济南大学毕业论文结论积分在复变函数论中处于相当重要的地位,文章以复积分的计算方法为中心张开， 分别论述了利用参数方程法、牛顿-莱布尼兹公式、柯西积分公式、柯西积分定理及 其推论、 留数定理来计算复积分.对于每一种方法都列举了相应的例题加以说明,对有 些例题用多种方法进行求解.文中对每一种求解方法在解题时需要注意的问题加以注 释,几种方法之间的内在联系也予以说明.掌握了这些方法， 在解题的时候弄清楚被积 函数所满足的条件是什么，然后选择适当的方法，复积分的计算问题就迎刃而解.- 28 -济南大学毕业论文参 考 文 献[1] 钟玉泉. 复变函数论[M].第3版. 北京:高等教育出版社,-130 [2] 麻桂英. 计算复积分的常用方法[J]. 阴山学刊,-50 [3] 郭芳. 沿不闭曲线的复积分计算方法探析[J]. 保定师范专科学校学报,):6-8 [4] 李明泉. 复积分的求法探究[J]. 通化师范学院学报,):9-11 [5] 崔冬玲. 复积分的计算方法[J]. 淮南师范学院学报,):31-32 [6] 杨秀玲,李延. 在含 ? 区域上解析函数的复积分计算[J]. 高师理科学刊,):16-17,60 [7] 吴白旺. 利用复积分计算一种特殊类型的定积分[J]. 科技创新导报，2010,(02)：241 [8] 完巧玲. 利用复积分计算实积分[J]. 菏泽学院学报，):28-31 [9] 严之山, 杨芬兰.关于复积分的计算[J]. 青海师专学报(教育科学),-36 [10] 白椿, 浅谈利用解析函数的变量替换求复积分[J]. 科技资讯，6 [11] 宋巨龙, 徐晨. 一种新的积分算法[J]. 西安电子科技大学学报 （自然科学版） ,): [12] 王文鹏,阙建华. 复变函数积分的求解策略[J]. 重庆科技学院学报,):145-147 [13] 邱双月. 复积分的计算[J]. 邯郸学院学报,):57-60 [14] 完巧玲. 周线上复积分的几种算法[J]. 陇东学院学报,):7-9 [15] 黄隽. 复变函数积分方法的探讨[J]. 常州工学院学报,):73-75 [16] Hardy GH.Wright EM.An Introduction to the Theory of Numbers[M].3rd ed ,Oxford at the Clarendon Press, -280 [17] Brown J W, Churchill R V. Complex variable and applications[M], 7th ed. New York,McGraw-Hill Book Co, -276- 29 -济南大学毕业论文致谢值此论文完成之际，我深深地感谢朱丽芹老师给予我的悉心指导、多方面的入微 关怀和帮助.她为人随和热情， 治学严谨细心.在闲聊中她总是能像知心朋友一样鼓励 我，在论文的写作和措辞等方面她也总会以“专业标准”严格要求我，从选题、定题 开始，一直到最后论文的反复修改、润色，朱老师始终认真负责地给予我深刻而细致 地指导，帮助我开拓研究思路，精心点拨、热忱鼓励.在学习中,朱老师严谨的治学态 度、丰富渊博的知识、敏锐的学术思维、精益求精的工作态度以及诲人不倦的师者风 范是我终生学习的楷模，老师高深精湛的造诣与严谨求实的治学精神，将永远激励着 我.这四年中还得到众多老师的关心支持和帮助.在此， 谨向老师们致以衷心的感谢和 崇高的敬意！ 最后，我要向百忙之中抽时间对本文进行审阅，评议和参与本人论文答辩的各位 老师表示感谢.- 30 -
复变函数的积分及其计算方法石睿 (北京林业大学工学院自动化 10-1 班,学号:...函数的学习,我已经掌握了复积分的基本知识和解 题方法,并感悟到了一些初步应用...姚益民 学科专业: 数学与应用数学 研究方向: 复积分 提交论文日期: 论文答辩日期: 2015 年 2015 年 4 月 19 日 4 月 25 日 学位授予单位:重庆文理学院 中...衡水学院毕业论文(设计)开题报告 题目:复积分的计算方法及应用 学生姓名 :张欣 系专年学别 :数学与计算机科学系 业 :数学与应用数学 级 :2012 级号 :...而利用复积分的计算方法,我们不用求出原函数而可以得到 某些定积分或反常积分的...复变函数及其应用(M) ,机械工业出版社,2004. 4 刘惠娟, 剖析解析函数惟一性(...查阅相关资料,借鉴了文献[4]-[7]的结果,总结复积分计算的各种方 法,并通过应用[1],[2],[8],[9]中的相关知识和方法,对所列出的每种方法作典 型例证和...复化求积公式计算定积分_数学_自然科学_专业资料。复化求积公式计算定积分试验四试验报告专业:数学与应用数学(师范) 年级:08 班级: 学号: 姓名: 试验目的 1. 掌...许多 与微积分有关的新的数学分支,如变分法、微分方程以至于微分几何和复变...通过对泊松积分值的计算方法及其应用的相关介绍,使人们对 泊松积分有一个更深刻...在这里,我对复变函数的积分计算方法进行了探讨,结合我们课本上介绍的,和我自己...但是应用此方法必须是针对曲线的参数方程比较容易写出这一类问 题, 而我们复变...它在数学中的许多分支、力学以及工程技 术科学中有着相对广泛的应用。复数起源于求代数方程的根。 本文对不同类型的复变函数积分的计算方法进行了系统的归纳和总结...应用软件课程设计 应用软件课程设计实验二:复化求积公式求数值积分一、实验题目 已知积分精确值 I=4.006994,分别用复化梯形公式和复化辛普森公式求积分 I ?? 2 ...
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