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问答题(Ⅰ)设f(x)在[a，b]上具有三阶连续导数，写出f(x)在[a，b]上带拉格朗日余项的二阶泰勒公式．
(Ⅱ)设函数f(x)在区间[a，b]上具有三阶连续导数，证明：存在η∈(a，b)，使得
． [证明] (Ⅰ)任意给定x0∈(口，b)，对任意x∈[a，b]，则f(x)在[a，b]上带拉格朗日余项的二阶泰勒公式为
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求解有一可导函数f(x),如果其某点的一阶导数为0，而二阶导数不为0，则这个某点...
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求解有一可导函数f(x),如果其某点的一阶导数为0，而二阶导数不为0，则这个某点就是函数的拐点？这个说法对吗？反之，要是存在某点为拐点，则此点处的一阶导数为0，而二阶导数不为0？这个说法对吗？ 对于广义结论：有一个n阶可导函数f(x),若f(x)在某点x_0的n阶导数为0,当n为偶数时，x_0为极值点；n为奇数时为，x_0为拐点。如何理解？
答：判断函数拐点，教材上写的比较明确，拐点是使得f^& #40;,,& #41; & #40;x& #41;&0符号发生变化的分界点，并不是说二阶导数不为0就是拐点。不要与函数的凹凸性的判断混淆。
另外，如果存在拐点，在该点的二阶导数不一定就存在，如果说二阶导数存在，且该点是拐点，才可以得到该点的二阶导数等于0。
对于你说的广义结论，不知道从哪里看到的，是完全没有根据的。
如果一个函数n阶可导，且在x_0点前n-1阶导数都等于0，第n阶导数不为0，当n为偶数时，则x_0为极值点，如果n阶导数大于0，则为极小值点，反之为极大值点，当n为奇数时，（x_0，f（x_0））为拐点
证明可以用泰勒公式n阶展开，直接可以得到结论。
这个具体的证明过程了解即可，关键是应用，在复习的时候定理成立的前提条件很重要，不能只记住个大概，就想当然。
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[原创]从泰勒公式看如何理解函数
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14:57:04 发布在
&&&&今天早上一个偶然的事情，引起我想知道什么是高等数学里面的泰勒公式。&&&&自己以前也没正经学过高数，就赶紧上网查找研究一下，大概明白了。但是发现网上的众多解释都不到位，干脆把自己的理解写一下，供参考。&&&&----------------------------------------------------------------------&&&&函数在不同的空间有不同的形态。&&&&我们所在的、所能直观感受和直接表达的空间就是0阶空间。就是我们平时写1+1=2的这个空间。&&&&我们把函数在0阶空间的形态叫原函数f(x)；&&&&函数在1阶空间的形态叫1阶导函数f’(x)；&&&&。。。。。。&&&&函数在n阶空间的形态叫n阶导函数fn(x)；&&&&我们把0阶空间的微小变化ΔX表达为：(x-a)。这里的a就是随便一个数值，你叫它X0也可以。它是假设的微小变化的起点。&&&&我们站在0阶空间，遥望n阶空间。落入我们眼中的n阶空间里的微小变化ΔX呈现为：(x-a)n。&&&&我们不断分割越来越细探微的过程，就是我们从0阶空间逐渐前往n阶空间的过程。在这个过程中，我们会发现n阶空间的ΔX在我们眼中会逐步蜕变演化为: &&&&(x-a)n&&&&n(x-a)n-1&&&&n(n-1)(x-a)n-2&&&&n(n-1)(n-2)(x-a)n-3&&&&。。。。。。&&&&n!(x-a)&&&&空间是对称的，每个空间的ΔX，在自己所处的空间里，都只是单纯的ΔX。这n！其实与ΔX无关，只是跨越空间的阶的障碍所留下的印迹，称作阶乘。这是空间的阶障碍置于我们眼中的灰尘，就是跨阶的代价。&&&&消除障碍，才能呈现本来面目，就要把这空间距离的阶乘障碍去掉。于是n阶空间ΔX的0阶空间表达调整为：(x-a)n/n!&&&&以(x-a)n/n!为起点，重走一遍前述的旅程，到达n阶空间的你会发现：n阶空间其实和0阶空间没区别，ΔX还是(x-a)。这是因为：原本的n阶空间，对于此刻的你而言，就是0阶空间。设身处地就会明白空间对称的意思：规则是对等的。&&&&逐步跨越空间的过程，我们称作求导。不断向高阶求导，就是不断向n阶空间靠近的过程，也可以说是n阶形态不断蜕变的过程。&&&&函数是飘渺的形态。当给形态罩上一个数值a，形态就实例化（坍塌）为一个具体的数值。如果罩上若干数值，俺就是个曲线。&&&&每一阶空间里的形态实例值（f(a)、f’(a)、f’’(a)、......f(n)(a)），乘以该空间的ΔX在0阶空间的表达形式(x-a)n/n!，得出的就是该空间里该处的微分在0阶空间的表达形式。&&&&函数，作为多态，可以用多维空间元素构成的集合来表示。不断逼近，极限求索精度的过程，就是把一路上遇到的各个空间的微分的0阶形式相加的过程。&&&&上面的描述过程用符号写出来就是下面的泰勒公式。&&&&&& &&&&这个静态的泰勒公式，只是所有n阶空间的形态在0阶空间的静态表达集合。只有动起来（求导），才能看到各个空间形态的本来面目。&&&&人们把函数式转化成泰勒公式形式的过程，称作泰勒展开。泰勒公式是把函数内在蕴含的高维动态过程，展开成了0阶的静态形式。&&&&当这个集合向多维空间还原（对泰勒公式两边进行n阶求导的过程），在每一阶空间里所能够剩下的，只能是属于该阶的独有形态。换句话，这个集合在n阶空间会羽化为n阶的元素。&&&&一个复杂的东西，用多个简单的东西叠加而成。这有点像动画电影的图层。&&&&原本用符号来表达的严格形式逻辑，用大白话来解释，确实有点费事。
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15:09:03 &&
面对楼主的帖子，我震惊得几乎不能动弹了。
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16:02:21 &&
有个地方写得不对，修改如下：&&&&0阶空间的原函数，取个数值，就有个结果。当你从微分角度谈论X的变化的时候，就已经开始脱离0阶空间了。变化是函数在0阶以上空间的静态。&&&&我们把1阶空间的微小变化ΔX表达为：(x-a)。
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18:23:03 &&
根据前面用多维空间来理解函数的观点，就可以很容易的得出自然常数e的一种很有趣的解释：n维度空间里的1，在某个维度上的投影之和，就是自然常数e。换个角度说也就是，某个维度上的观察者，去观察同时存在于n维空间的1这个数，他眼中看到的结果就是e
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18:48:09 &&
18:23:03&&的原帖：根据前面用多维空间来理解函数的观点，就可以很容易的得出自然常数e的一种很有趣的解释：n维度空间里的1，在某个维度上的投影之和，就是自然常数e。换个角度说也就是，某个维度上的观察者，去观察同时存在于n维空间的1这个数，他眼中看到的结果就是e我常把2.71828作为注册的密码，因为我记得它。
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18:51:53 &&
e的多维空间投影解释，可以完好诠释：为什么e的x次方这个指数函数，做了n阶导数，还是它原来的形式？任意高维变量的数值，始终会是1的倍数关系。高维变量经过不同阶乘衰变之后，在单一维度的投影，就是e的指数关系。求导只是相当于观察者在切换自己所处的维度，但是无论跳到哪个维度，都改变不了局限观察者的这一本质，所以眼中的投影之和不会有任何改变，因为空间是对称的，规则是一致的，没有哪一个维度具有特殊性。维度的高低阶之分，是观察者的观察结构造成的。
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18:53:39 &&
泰勒公式是函数的近似式，至多是函数的高阶近似式，而不是函数本身，用泰勒公式理解函数是舍本求末，搞颠倒了。
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19:10:05 &&
18:53:39&&的原帖：泰勒公式是函数的近似式，至多是函数的高阶近似式，而不是函数本身，用泰勒公式理解函数是舍本求末，搞颠倒了。表面上的应用是个近似式。但是背后隐含的数学思想就是：函数是可以这样来认识的。级数、数列这些东西，都是包含了类似的思想在里面。表面上看似无穷个独立项，本质上是一个东西的无穷个身影，所以才可以叠加表达，这体现的是高维空间的逻辑。任何公式的创造者，历史上那些著名的数学家，绝不会在没有数学思想内涵的情况下，仅仅是为了凑数值，硬造出一个表面的逻辑近似形式。一个作品，如果疏于内外通达之美，对于数学家而言是可耻的，等同于心病。
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19:27:04 &&
好贴。我受启发。我希望看到楼主更多关于高数，物理的贴子。谢谢。
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19:49:57 &&
&&&&分母究竟是表示阶乘还是几阶导数的意思呢？
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21:06:24 &&
19:49:57&&的原帖：&&&&分母究竟是表示阶乘还是几阶导数的意思呢？分母是阶乘。n!阶乘这个概念可以被理解为：在n维空间里，处于第n维度的变量，向第0维度一步一步蜕化过程中，历次所突破的空间障碍的累积。就像岁月留下的纹理一样，它代表了走过的路。n*(n-1)*(n-2)....4*3*2*1，代表了变量在穿越维度过程中所走过历程的印迹。每一次越过维度的壁垒，都会留下该维度的方次符号作为印迹，并且一路上带着它，以它和先前的印迹的累积为基础，继续下一次的穿越。维度的蜕化体现为变量指数的降低；走过的每个维度留下的印迹，体现为变量系数不断按照倒序的阶乘方式累乘扩张的过程。所以阶乘作为系数，表达的是维度转换所带来的影响，而不是n维变量本身。向微观无限近似的过程，就是一次又一次的zoom in的累积。每次的zoom in，本质上都是低阶观察者向上爬升一阶的过程，向n阶靠近一层的过程，也是n阶变量在观察者眼中衰变一次的过程，也就是阶乘作为变量系数扩张一次的过程。不太引人注意的是，这个zoom in的过程，伴随着坐标系X和Y轴的刻度在不断扩张放大的过程。不断放大的过程总是伴随着维度切换，这是很多人都忽略的问题。不断追求精度的过程，就是不断求解更高阶微分的过程。泰勒之所以把各个阶的微分叠加，就是表达了这样的空间过程。
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7:42:05 &&
把微分相加，这不是积分的思想嘛？没错，只不过通常所说的积分，都是同一阶空间里的微分叠加。而跨维度的把某一点处的各阶微分叠加，积出来的就不是面积，而是精度了。函数可以采用级数展开的形式，比如傅立叶级数，是不是隐藏了类似的思想在里面呢。极限，作为一种思想的形式，存在于高等数学的各个部分。在头脑中的极限，是一种说不太清的几何直觉带来的放大模式。这种直觉性的思考习惯，是我们习惯性对于多维度浑然不察的结果。我们总是倾向于采用单一静态维度的解释，这会让习惯很舒服，因为不被打破。
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12:56:54 &&
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2:05:13 &&
柯西不等式：成员的效用之和小于集合的效用。原因是成员间的效用增值部分被丢弃。
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2:10:01 &&
当你在n维空间的某一维度上看到很多离线的点，那是低一些维度的子空间在这个高维数轴的横截的表现。
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