A55/A22=60种；解法二：先在5个位置中选2个位置放定序元素(甲、；解法三：先固定甲、乙，再插入另三个中的第一人有3；练习6要编制一张演出节目单，6个舞蹈节目已排定顺；答案：A1111/A66或C116A55=C11；七．分排问题用“直排法”：把几个元素排成若干排的；例19．7个人坐两排座位，第一排3个人，第二排坐；分析：7个人可以在前两排随意就坐，再
A55/A22=60种。
解法二：先在5个位置中选2个位置放定序元素(甲、乙)有C52种，再排列其它3人有A33，由乘法原理得共有C52A33=60种。
解法三：先固定甲、乙，再插入另三个中的第一人有3种方法，接着插入第二人有4种方法，最后插入第三人有5种方法。由乘法原理得共有3×4×5=60种。
练习6要编制一张演出节目单，6个舞蹈节目已排定顺序，要插入5个歌唱节目，则共有几种插入方法？
答案：A1111/A66或C116A55=C115A55或7×8×9×10×11种
七．分排问题用“直排法”：把几个元素排成若干排的问题，可采用统一排成一排的排法来处理。
例19．7个人坐两排座位，第一排3个人，第二排坐4个人，则不同的坐法有多少种？
分析：7个人可以在前两排随意就坐，再无其它条件,故两排可看作一排来处理，不同的坐法共有A77种。
八．逐个试验法：题中附加条件增多，直接解决困难时，用试验逐步寻找规律。
例20.将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的方格中，每方格填1个，方格标号与所填数字均不相同的填法种数有（）
A．6B.9C.11D.23
解：第一方格内可填2或3或4，如第一填2，则第二方格可填1或3或4，若第二方格内填1，则后两方格只有一种方法；若第二方格填3或4，后两方格也只有一种填法。一共有9种填法，故选B
九、构造模型“隔板法”
对于较复杂的排列问题，可通过设计另一情景，构造一个隔板模型来解决问题。
例21．方程a+b+c+d=12有多少组正整数解？
分析：建立隔板模型：将12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成的11个间隙中任意插入3块隔板，把球分成4堆，每一种分法所得4堆球的各堆球的数目，对应为a、b、c、d的一组正整解，故原方程的正整数解的组数共有C113.
又如方程a+b+c+d=12非负整数解的个数,可用此法解。
例10．把10本相同的书发给编号为1、2、3的三个学生阅览室，每个阅览室分得的书的本数不小于其编号数，试求不同分法的种数。请用尽可能多的方法求解，并思考这些方法是否适合更一般的情况？
本题考查组合问题。
解：先让2、3号阅览室依次分得1本书、2本书；再对余下的7本书进行分配，保证每个阅览室至少得一本书，这相当于在7本相同书之间的6个“空档”内插入两个相同“I”（一般可视为“隔板”）共有种插法，即有15种分法。
例22．20个相同的球分给3个人，允许有人可以不取，但必须分完，有多少种分法？
解：将20个球排成一排，一共有21个空隙，将两个隔板插入这些空隙中（两个隔板可以插在同一空隙中），规定由隔板分成的左、中、右三部分球分别分给
3个人，则每一种隔法对应了一种分法，每一种分法对应了一种隔法，于是分法的总数为种方法。
的非负整数解的个数。注：本题可转化成求方程
相同元素进盒，用档板分隔
例23．10张参观公园的门票分给5个班，每班至少1张，有几种选法？解：这里只是票数而已，与顺序无关，故可把10张票看成10个相同的小球放入5个不同的盒内，每盒至少1球，可先把10球排成一列，再在其中9个间隔中选4个位置插入4块“档板”分成5格(构成5个盒子)有C94种方法。
注：档板分隔模型专门用来解答同种元素的分配问题。
练习9从全校10个班中选12人组成排球队，每班至少一人，有多少种选法？
答案：C119
十.正难则反――排除法
对于含“至多”或“至少”的排列组合问题，若直接解答多需进行复杂讨论，可以考虑“总体去杂”，即将总体中不符合条件的排列或组合删除掉，从而计算出符合条件的排列组合数的方法．
例24．从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要甲型与乙型电视机各一台，则不同的取法共有()种．
A．140种B．80种C．70种D．35种
解：在被取出的3台中，不含甲型或不合乙型的抽取方法均不合题意，因此符合题意的抽取方法有C93-C43-C53=70(种)，故选C．
注：这种方法适用于反面的情况明确且易于计算的习题．
例25．求以一个长方体的顶点为顶点的四面体的个数。
解：从8个点中取4个点，共有种方法，其中取出的4个点共面的有
个。种，所以符合条件的四面体的个数为
100件产品中有3件是次品，例26．其余都是正品。现在从中取出5件产品，其中含有次品，有多少种取法？
解：从100件产品中取5件产品，有
出5件产品有种取法，从不含次品的95件中取种。种取法，所以符合题意的取法有
例27．8个人站成一排，其中A与B、A与C都不能站在一起，一共有多少种排法？
解：无限制条件有种排法。A与B或A与C在一起各有种排法，A、
B、C三人站在一起且A在中间有
+=21600种排法。种排法，所以一共有
十一．逐步探索法：对于情况复杂，不易发现其规律的问题需要认真分析，探索出其规律。
例28．从1到100的自然数中，每次取出不同的两个数，使它们的和大于100，则不同的取法种数有多少种。
解：两个数相加中以较小的数为被加数，1+100&100，1为被加数时有1种，2为被加数有2种，…，49为被加数的有49种，50为被加数的有50种，但51为被加数有49种，52为被加数有48种，…，99为被捕加数的只有1种，故不同的取法有（1+2+3+…+50）+（49+48+…+1）=2500种
十二．一一对应法：
例29.在100名选手之间进行单循环淘汰赛（即一场失败要退出比赛）最后产生一名冠军，要比赛几场？
解：要产生一名冠军，要淘汰冠军以外的所有选手，即要淘汰99名选手，要淘汰一名就要进行一场，故比赛99场。
十三、多元问题――分类讨论法
对于元素多，选取情况多，可按要求进行分类讨论，最后总计。
例30．（2003年北京春招）某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目.如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同插法的种数为（A）
A．42B．30C．20D．12
解：增加的两个新节目，可分为相临与不相临两种情况：1.不相临：共有A62种；2.相临：共有A22A61种。故不同插法的种数为：A62+A22A61=42，故选A。
例31．（2003年全国高考试题）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有多少种？（以数字作答）
解：区域1与其他四个区域相邻，而其他每个区域都与三个区域相邻，因此，可以涂三种或四种颜色。用三种颜色着色有=24种方法,用四种颜色着色有=48种方法,从而共有24+48=72种方法,应填72.
多类元素组合，分类取出
例32．车间有11名工人，其中4名车工，5名钳工，AB二人能兼做车钳工。今需调4名车工和4名钳工完成某一任务，问有多少种不同调法？
解：不同的调法按车工分为如下三类：第一类调4车工4钳工；第二类调3车工4钳工，从AB中调1人作车工；第二类调2车工4钳工，把AB二人作为车工。故共有C44C74+C43C21C64+C42C22C54=185种不同调法。
注：本题也可按钳工分类。若按A、B分类，会使问题变得复杂
十四、混合问题――先选后排法
对于排列组合的混合应用题，可采取先选取元素，后进行排列的策略．例33．（2002年北京高考）12名同学分别到三个不同的路口进行车流量的调查，若每个路口4人，则不同的分配方案共有（）
A．种B．种C．种D．种
解：本试题属于均分组问题。则12名同学均分成3组共有种方法,分配到三个不同的路口的不同的分配方案共有：种，故选A。
例34．（2003年北京高考试题）从黄瓜、白菜、油菜、扁豆4种蔬菜品种中选出3种，分别种在不同土质的三块土地上，其中黄瓜必须种植，不同的种植方法共有（）
A．24种B．18种C．12种D．6种
解:先选后排,分步实施.由题意，不同的选法有:C32种,不同的排法有:A31?A22,故不同的种植方法共有A31?C32?A22=12，故应选C.
排组混合，先选后排
对于排列与组合的混合问题，宜先用组合选取元素，再进行排列。
例35．(95年全国)4个不同的小球放入编号为1、2、3、4的四个盒内，则恰有一个空盒的放法有几种？
解：由题意，必有一个盒内有2个球，同一盒内的球是组合，不同的球放入不同的盒子是排列。因此，有C42A43=144种放法。
练习2由数字1，2，3，4，5，6，7组成有3个奇数字，2个偶数字的五位数，数字不重复的有多少个？
答案：有C43C32A55=1440（个）
十五.机会均等法
例36．10个人排成一队，其中甲一定要在乙的左边，丙一定要在乙的右边，一共有多少种排法？
解：甲、乙、丙三人排列一共有6种排法，在这6种排法中各种排列顺序在10个人的所有排列中出现的机会是均等的，因此符合题设条件的排法种数为
例37．用1，4，5，四个数字组成四位数，所有这些四位数中的数字的总和为288，求。
解：若不为0，在每一个数位上1，4，5，，出现的机会是均等的。由于一共可以得到24个四位数，所以每一个数字在每一个数位上出现6次，于是得到：，解得。若为0，无解。
十六.转化法
例38．一个楼梯共10级台阶，每步走1级或2级，8步走完，一共有多少种走法？
解：10级台阶，要求8步走完，并且每步只能走一级或2级。显然，必须有2步中每步走2级，6步中每步走一级。记每次走1级台阶为A，记每次走2级台阶为B，则原问题就相当于在8个格子中选2个填写B。其余的填写A，这是一个组合问题，所以一共有种走法。
例39．动点从（0，0）沿水平或竖直方向运动到达（6，8），要使行驶的路程最小，有多少种走法？
解：动点只能向上或向右运动才能使路程最小而且最小的路程为14，把动点运动1个单位看成是1步，则动点走了14步，于是问题就转化为在14个格子中填写6个“上”和8个“右”，这也是一个组合的问题，于是得到一共有种走法。
十七、“小团体”排列，先“团体”后整体
对于某些排列问题中的某些元素要求组成“小团体”时，可先按制约条件“组团”并视为一个元素再与其它元素排列。
例40．四名男歌手与两名女歌手联合举行一场演唱会，演出的出场顺序要求两名女歌手之间有两名男歌手，则出场方案有几种？
解：先从四名男歌手中选2人排入两女歌手之间进行“组团”有A42A22种，把这个“女男男女”小团体视为1人再与其余2男进行排列有A33种，由乘法原理，共有A42A22A33种。
练习76人站成一排，其中一小孩要站在爸妈之间的站法有多少种？答案：A22?A44
十八、不同元素进盒，先分堆再排列
对于不同的元素放入几个不同的盒内，当有的盒内有不小于2个元素时，不可分批进入，必须先分堆再排入。
例41．5个老师分配到3个班搞活动，每班至少一个，有几种不同的分法？解：先把5位老师分3堆，有两类：3、1、1分布有C53种和1、2、2分布有C51C42C22/A22种，再排列到3个班里有A33种，故共有(C53+C51C42C22/A22)?A33。
注意：不同的老师不可分批进入同一个班，须一次到位(否则有重复计数)。即“同一盒内的元素必须一次进入”。
练习8有6名同学，求下列情况下的分配方法数：1分给数学组3人，物理组2人，化学组1人；2分给数学组2人，物理组2人，化学组2人；
③分给数学、物理、化学这三个组，其中一组3人，一组2人，一组1人；④平均分成三组进行排球训练。
答案：①C63C32C11；②C62C42C22；③C63C32C11?A33；④C62C42C22/A33。
十九、两类元素的排列，用组合选位法
例42．10级楼梯，要求7步走完，每步可跨一级，也可跨两级，问有几种不同的跨法？
解：由题意知，有4步跨单级，3步跨两级，所以只要在7步中任意选3步跨两级即可。故有C73种跨法。
注意：两类元素的排列问题涉及面很广，应予重视。
练习103面红旗2面黄旗，全部升上旗杆作信号，可打出几种不同的信号？答案：C52
例43．沿图中的网格线从顶点A到顶点B，最短的路线有几条？
解：每一种最短走法，都要走三段“|”线和四段“―”线，这是两类元素不分顺序的排列问题。故有C74或C73种走法。
例44．从5个班中选10人组成校篮球队(无任何要求)，有几种选法？解：这个问题与例12有区别，虽仍可看成4块“档板”将10个球分成5格(构成5个盒子)，是球与档板两类元素不分顺序的排列问题。但某些盒子中可能没有球，故4块“档板”与10个球一样也要参与排成一列而占位置，故有C144种选法。
练习11(a+b+c+d)10的展开式有几项？
提示：因为每一项都是由a,b,c,d中的一个或多个相乘而得到的10次式，所以可以看成是10个球与3块档板这两类元素不分顺序的排列，故共有C133
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十三. 合理分类与分步策略
例13.在一次演唱会上共10名演员,其中8人能能唱歌,5人会跳舞,现要演
出一个2人唱歌2人伴舞的节目,有多少选派方法
解含有约束条件的排列组合问题，可按元素的性质进行分类，按事件发生的连续过程分步，做 到标准明确。分步层次清楚，不重不漏，分类标准一旦确定要贯穿于解题过程的始终。
4名男生和3名女生中选出4人参加某个座
谈会，若这4人中必须既有男生又有女生，则不同的选法共有
2. 3成人2小孩乘船游玩,1号船最多乘3人, 2号船最多乘2人,3号船只能乘1人,他们任选2只船或3只船,但小孩不能单独乘一只船, 这3人共有多少乘船方法.
十四.构造模型策略
例14. 马路上有编号为1,2,3,4,5,6,7,8,9的九只路灯,现要关掉其中的3
盏,但不能关掉相邻的2盏或3盏,也不能关掉两端的2盏,求满足条件的关灯方法有多少种？
解：把此问题当作一个排队模型在6盏亮灯的5个空隙中插入3个不亮的灯
练习题：某排共有10个座位，若4人就坐，每人左右两边都有空位，那么不同的坐法有多少种？（120）
十五.实际操作穷举策略
例15.设有编号1,2,3,4,5的五个球和编号1,2,3,4,5的五个盒子,现将5个球投入这五个盒子内,要求每个盒子放一个球，并且恰好有两个球的编号与盒子的编号相同,有多少投法
解：从5个球中取出2个与盒子对号有C种还剩下3球3盒序号不能对应，2
利用实际操作法，如果剩下3,4,5号球, 3,4,5号盒3号球装4号盒时，则4,5号球有只有1种装法，同理3号球装5号盒时,4,5号球有也只有1种装法,由分步计数原理有2C种
对于条件比较复杂的排列组合问题，不易用公式进行运算，往往利用穷举法或画出树状图会收 到意想不到的结果
1.同一寝室4人,每人写一张贺年卡集中起来,然后每人各拿一张别人的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有多少种？
2.给图中区域涂色,要求相邻区 域不同色,现有4种可选颜色,则不同的着色方法有
十六. 分解与合成策略
例16. 30030能被多少个不同的偶数整除
分析：先把30030分解成质因数的乘积形式×5 × 7 ×
依题意可知偶因数必先取2,再从其余5个因数中任取若干个
组成乘积，
所有的偶因数为：C+C+C+C+C
练习:正方体的8个顶点可连成多少对异面直线
解：我们先从8个顶点中任取4个顶点构成四体共有体
每个四面体有
十七.化归策略
例17. 25人排成5×5方阵,
现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,不同的选法有多少种？
练习题:某城市的街区由12个全等的矩形区组成其中实线表示马路，从A走
到B的最短路径有多少种？
十八.数字排序问题查字典策略
例18．由0，1，2，3，4，5六个数字可以组成多少个没有重复的比324105大的数？ 解:N=2A+2A+A+A+A=297
练习:用0,1,2,3,4,5这六个数字组成没有重复的四位偶数,将这些数字从小到大排列起来,第71个数是
十九.树图策略
例19．3人相互传球,由甲开始发球,并作为第一次传球,经过5次传求后,球
仍回到甲的手中,则不同的传球方式有______
练习: 分别编有1，2，3，4，5号码的人与椅，其中i号人不坐i号椅（i=1,2,3,4,5）的不同坐法有多少种？
二十.复杂分类问题表格策略
例20．有红、黄、兰色的球各5只,分别标有A、B、C、D、E五个字母,现从
中取5只,要求各字母均有且三色齐备,则共有多少种不同的取法
强化练习 例1
7人排成一行，分别求出符合下列要求的不同排法的种数。
（1）甲排中间； （2）甲不排两端；
（3）甲，乙相邻；
（4）甲在乙的左边（不要求相邻）；
（5）甲，乙，丙连排；
6）甲，乙，丙两两不相邻。
用0，1，2，3，4，5这六个数字组成无重复数字的五位数，分别求出下列各类数的个数：
（1）奇数；（2）5的倍数；（3）比20300大的数；（4）不含数字0，且1，2不相邻的数。
用0，1，2，3，4，5六个数字可组成多少个被5整除且数字不同的六位数?
用1，2，3，4，5这五个数字，可以组成比20000大并且百位数字不是3的没有重复数字的五位数有多少个?
平面上4条平行直线与另外5条平行直线互相垂直，则它们构成的矩形共有
在正方体的8个顶点，12条棱的中点，6个面的中心及正方体的中心共27个点中，共线的三点组的个数是多少?
某种产品有4只次品和6只正品(每只产品均可区分)。每次取一只测试，直到4只次品全部测出为止。求第4只次品在第五次被发现的不同情形有多少种?
3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士，不同的分配方法共有
4个不同小球放入编号为1、2、3、4的四个盒子，则恰有一个空盒的放法有_________种。
例10 马路上有编号为1、2、3、…、9的9只路灯，为节约用电，现要求把其中的三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，也不能关掉两端的路灯，则满足条件的关灯方法共有_______种。
例11 有2个a，3个b，4个c 共九个字母排成一排，有多少种排法?
例12 四面体的顶点和各棱中点共有10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法
例13 从0、1、2、3、4、5、6、7、8、9这10个数中取出3个数，使和为不小于10
的偶数，不同的取法有多少种。
例14 A，B，C，D，E五人并排站成一排，如A，B必相邻，且B在A右边，那么不
同排法有 （
例15 计划展出10幅不同的画，其中一幅水彩画、4幅油画、5幅国画，排成一行陈列，
要求同一品种的画必须连在一起，并且水彩画不放在两端，那么不同的陈列方式有多少种?
例16 要排一个有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈不相邻，
问有多少种不同排法?
例17 从1，2，3，…，个自然数中，取出10个互不相邻的自然数，有多少种方法?
例18 一排6张椅子上坐3人，每2人之间至少有一张空椅子，共有多少种不同的坐 例19 由数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的六位数，其中个位数小于十位数字的共有（
例20 信号兵把红旗与白旗从上到下挂在旗杆上表示信号，现有3面红旗、2面白旗，把这5面旗都挂上去，可表示不同信号的种数是 ________(用数字作答)。
例21 有4个男生，3个女生，高矮互不相等，现将他们排成一行，要求从左到右，女生从矮到高排列，有多少种排法?
例22 不同的钢笔12支，分3堆，一堆6支，另外两堆各3支，有多少种分法?
例23 两排座位，第一排3个座位，第二排5个座位，若8位学生坐(每人一个座位)。则不同的坐法种数是
例24 三名男歌唱家和两名女歌唱家联合举行一场音乐会，演出的出场顺序要求两名女歌唱家之间恰有一名男歌唱家，其出场方案共有
例25 有五位老师在同一年级的6个班级中，分教一个班的数学，在数学会考中，要求每位老师均不在本班监考，共有安排监考的方法总数是多少？
某校准备组建一个18人的足球队，这18人由高一年级10个班的学生组成，每个班级至少1人，名额分配方案共有_________种。
例27 将组成篮球队的12个名额分给7所学校，每所学校至少1个名额，问名额分配方法有多少种?
例28 6人带10瓶汽水参加春游，每人至少带1瓶汽水，有多少种不同的带法?
例29 由数字1，2，3，4，5可以组成多少个无重复数字的
1不在首位、5在末位的五位数?
2，3都与4不相邻的五位数?
例30 男运动员6名，女运动员4名，其中男女队长各1人，选派5人外出比赛，在下列情形下各有多少种选派方法?
队长至少有1人参加；(2)
既要有队长，又要有女运动员。
例31 在100名选手之间进行单循环淘汰赛(即一场比赛失败要退出比赛)，最后产生一名冠军，问要举行几场?
例32 从1到100的自然数中，每次取出不同的两个数，使它们的和大于100则不同的取法有 （
D． 2500种
例33 将数字1，2，3，4填入标号为1，2，3，4的四个方格内，每个格填1个，则每个方格的标号与所填数字均不相同的填法有
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人教版高中数学必修系列：10.2排列(备课资料)
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一、排列问题常见类型
对于有限制条件的排列问题，要注意总结以下几种类型的问题的思考方法.
1.某些元素不能排或必须排在某一位置的问题.
（1）先排特殊元素或特殊位置，然后再排其他元素或位置.
（2）先不考虑限制条件，求出所有的排列数，然后减去不符合条件的排列数，即间 接法.
2.某些元素要求相邻的问题，常用“捆绑”的办法，先看成一个元素.
3.某些元素要求不相邻的问题，常用“插空”的办法.
二、参考例题
［例1］5男5女共10个同学排成一行.
（1）女生都排在一起，有几种排法？
（2）女生与男生相间，有几种排法？
（3）任何两个男生都不相邻，有几种排法？
（4）5名男生不排在一起，有几种排法？
（5）男生甲与男生乙中间必须排而且只能排2位女生，女生又不能排在队伍的两端，有几种排法？
解：（1）将5名女生看作一人，就是6个元素的全排列，有A种排法.又5名女生内部可有A种排法，所以共有A?A 86400种排法.
（2）男生自己排，女生也自己排，然而相间插入（此时有2种插法），所以女生与男生相间共有2A?A 28800种排法.
（3）女生先排，女生之间及首尾共有6个空隙.任取其中5个安插男生即可，因而任何两个男生都不相邻的排法共有A?A 86400种.
（4）直接分类较复杂，可用间接法.即从10个人的排列总数中，减去5名男生排在一起的排法数，得5名男生不排在一起的排法数为A-AA 座机电话号码.
（5）先安排2个女生排在男生甲、乙之间，有A种方法；又甲、乙之间还有A种排法.这样就有A?A种排法.然后把他们4人看成一个元素（相当于一个男生），再从这一元素及另3名男生中，任选2人排在首尾，有A种排法.最后再将余下的2个男生、3个女生排在其间，有A种排法.故总排法为
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& 数学：1.2.2《组合》同步练习（新人教B版选修2-3）
数学：1.2.2《组合》同步练习（新人教B版选修2-3）
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资料概述与简介
排列组合应用题的类型及解题策略
四川省双流县中学
排列组合问题，通常都是出现在选择题或填空题中，或结合概率统计综合出题，它联系实际，生动有趣，但题型多样，思路灵活，不易掌握。实践证明，解决问题的有效方法是：题型与解法归类、识别模式、熟练运用。
一．处理排列组合应用题的一般步骤为：①明确要完成的是一件什么事（审题）
②有序还是无序
③分步还是分类。
二．处理排列组合应用题的规律
两种思路：直接法，间接法。
两种途径：元素分析法，位置分析法。
解决问题的入手点是：特殊元素优先考虑；特殊位置优先考虑。
特殊优先法:对于存在特殊元素或者特殊位置的排列组合问题，我们可以从这些特殊的东西入手，先解决特殊元素或特殊位置，再去解决其它元素或位置，这种解法叫做特殊优先法。
例1．（06上海春）电视台连续播放6个广告，其中含4个不同的商业广告和2个不同的公益广告，要求首尾必须播放公益广告，则共有
种不同的播放方式（结果用数值表示）.
解：分二步：首尾必须播放公益广告的有A22种；中间4个为不同的商业广告有A44种，从而应当填 A22·A44＝48. 从而应填48．
（3）对排列组合的混合题，一般先选再排，即先组合再排列。弄清要完成什么样的事件是前提基本题型及方法：1）、全相邻问题，捆邦法
例2、6名同学排成一排，其中甲，乙两人必须排在一起的不同排法有（ C ）种。
说明：从上述解法可以看出，所谓“捆邦法”，就是在解决对于某几个元素要求相邻问题时，可以整体考虑将相邻元素视作一个“大”元素。
（2）、全不相邻问题，插空法
例3、要排一张有6个歌唱节目和4个舞蹈节目的演出节目单，任何两个舞蹈节目不得相邻，问有多少不同的排法，
解：先将6个歌唱节目排好，其中不同的排法有6！，这6个节目的空隙及两端共有七个位置中再排4个舞蹈节目有种排法，由乘法原理可知，任何两个舞蹈节目不得相邻的排法为种
例4（06重庆卷)高三（一）班学要安排毕业晚会的4各音乐节目，2个舞蹈节目和1个曲艺节目的演出顺序，要求两个舞蹈节目不连排，则不同排法的种数是
解：不同排法的种数为＝3600，故选B
说明：从解题过程可以看出，不相邻问题是指要求某些元素不能相邻，由其它元素将它隔开，此类问题可以先将其它元素排好，再将特殊元素插入，故叫插空法。
（3）．不全相邻排除法，排除处理
例5．五个人站成一排，其中甲、乙、丙三人有两人相邻，有多少排法？
例6．有两排座位，前排11个座位，后排12个座位，现安排2人就座，规定前排中间的3个座位不能坐，并且这2人不左右相邻，那么不同排法的种数是
解法一：　　①前后各一个，有8×12×2＝192种方法
　　②前排左、右各一人：共有4×4×2＝32种方法
③两人都在前排：
两人都在前排左边的四个位置：
　　 乙可坐2个位置
乙可坐1个位置
　此种情况共有4＋2＝6种方法
因为两边都是4个位置，都坐右边亦有6种方法，所以坐在第一排总共有6＋6＝12种方法
　　④两人都坐在第二排位置，先规定甲左乙右
　　∴　甲左乙右总共有种方法．同样甲、乙可互换位置，乙左甲右也同样有55种方法，所以甲、乙按要求同坐第二排总共有55×2＝110种方法。综上所述，按要求两人不同排法有 192＋32＋12＋110＝346种
解法二：考虑20个位置中安排两个人就坐，并且这两人左右不相邻，4号座位与5号座位不算相邻（坐在前排相邻的情况有12种。），7号座位与8号座位不算相邻（坐在后排相邻的情况有22种。），共有种
2、顺序一定，除法处理或分类法。
例7、信号兵把红旗与白旗从上到下挂在旗杆上表示信号，现有3面红旗、2面白旗，把5面旗都挂上去，可表示不同信号的种数是（
）（用数字作答）。
解：5面旗全排列有种挂，由于3面红旗与2面白旗的分别全排列均只能作一次的挂法，故有
说明:在排列的问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序问题,这类问题用缩小倍数的方法求解比较方便快捷
例8．（06湖北卷）某工程队有6项工程需要单独完成，其中工程乙必须在工程甲完成后才能进行，工程丙必须在工程乙完成后才能进行，有工程丁必须在工程丙完成后立即进行。那么安排这6项工程的不同排法种数是
。（用数字作答）
解一：依题意，只需将剩余两个工程插在由甲、乙、丙、丁四个工程形成的5个空中（插一个或二个），可得有＝30种不同排法。解二：=30
例9、由数字0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的6位数，其中个位数字小于十位的数字的共有（
4、多元问题，分类法
例10．(06陕西卷某校从8名教师中选派4名教师同时去4个边远地区支教(每地1人)其中甲和乙不同去甲和丙只能同去或同不去=240种选法；②甲、丙同不去，乙去，有=240种选法；③甲、乙、丙都不去，有种选法，共有600种不同的选派方案
解析：若集合A、B中分别有一个元素，则选法种数有=10种；若集合A中有一个元素，集合B中有两个元素，则选法种数有=10种；若集合A中有一个元素，集合B中有三个元素，则选法种数有=5种；若集合A中有一个元素，集合B中有四个元素，则选法种数有=1种；若集合A中有两个元素，集合B中有一个元素，则选法种数有=10种；若集合A中有两个元素，集合B中有两个个元素，则选法种数有=5种；若集合A中有两个元素，集合B中有三个元素，则选法种数有=1种；若集合A中有三个元素，集合B中有一个元素，则选法种数有=5种；若集合A中有三个元素，集合B中有两个元素，则选法种数有=1种；若集合A中有四个元素，集合B中有一个元素，则选法种 数有=1种；总计有，选B.
解法二：集合A、B中没有相同的元素，且都不是空集，
从5个元素中选出2个元素，有=10种选法，小的给A集合，大的给B集合；
从5个元素中选出3个元素，有=10种选法，再分成1、2两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有2×10=20种方法；
从5个元素中选出4个元素，有=5种选法，再分成1、3；2、2；3、1两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有3×5=15种方法；
从5个元素中选出5个元素，有=1种选法，再分成1、4；2、3；3、2；4、1两组，较小元素的一组给A集合，较大元素的一组的给B集合，共有4×1=4种方法；
总计为10+20+15+4=49种方法。选B.
A．10种　　　　　B．20种　　　　　C．36种 　　　　　D．52种
解析：将4个颜色互不相同的球全部放入编号为1和2的两个盒子里，使得放入每个盒子里的球的个数不小于该盒子的编号种方法；②1号盒子中放2个球，其余2个放入2号盒子，有种方法；则不同的放球方法有A．
5、交叉问题，集合法（二元否定问题，依次分类）。
例13、从6名运动员中选出4名参加4×100米接力赛，如果甲不跑第一棒，乙不跑第四棒，共有多少种不同的参赛方法？
解：设全集U={6人中任选4人参赛的排列}，A={甲跑第一棒的排列}，B={乙跑第四棒的排列}，根据求集合元素的个数的公式可得参赛方法共有：card(U)-card(A)-card(B)+card(A∩B)=252
例14、某天的课表要排入语文、数学、英语、物理、化学、体育共六门课程，且上午安排四节课，下午安排两节课。
（1）若第一节不排体育，下午第一节不排数学，一共有多少种不同的排课方法？
（2）若要求数学、物理、化学不能排在一起（上午第四节与下午第一节不算连排），一共有多少种不同的排课方法？
例15、同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送来的贺年卡，则四张贺年卡不同的分配方式有（
解：此题可以看成是将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格里，每格填一数，且每个方格的标号与所填数字不同的填法问题。所以先将1填入2至4的3个方格里有3种填法；第二步把被填入方格的对应数字填入其它3个方格，又有3种填法；第三步将余下的两个数字填入余下的两格中只有一种填法，故共有3×3×1=9种填法。故选B
说明：求解二元否定问题可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依此即可完成。
例16、（06湖北卷）安排5名歌手的演出顺序时，要求某名歌手不第一个出场，另一名歌手不最后一个出场，不同排法的总数是
.(用数字作答) 。（答：78种）
说明：某些排列组合问题几部分之间有交集，可用集合中求元素的个数的公式来求解。
6、多排问题，单排法
例17、两排座位，第一排有3个座位，第二排有5个座位，若8名学生入座（每人一座位），则不同的座法为
解：此题分两排座可以看成是一排座，故有 种座法。∴选（D）
说明：把元素排成几排的问题，可归纳为一排考虑，再分段处理。
7、至少问题，分类法 或 间接法（排除处理）
例18．（06福建卷）从4名男生和3名女生中选出3人，分别从事三项不同的工作，若这3人中至少有1名女生，则选派方案共有
（A）108种　　　 （B）186种　　　
　（C）216种　　　　
（D）270种
解析：从全部方案中减去只选派男生的方案数，合理的选派方案共有=186种5名乒乓球队员中,有2名老队员和3名新队员.现从中选出3名队员排成1、2、3号参加团体比赛,则入选的3名队员中至少有一名老队员,且1、2号中至少有1名新队员的排法有_______种.(以数作答)
【解析】两老一新时, 有种排法；两新一老时, 有种排法,即共有48种排法.
【点评】本题考查了有限制条件的排列组合问题以及分类讨论思想.
例20．(06重庆卷)将5名实习教师分配到高一年级的３个班实习，每班至少１名，最多２名，则不同的分配方案有
（A）３０种　　　（B）９０种
（C）１８０种　　　　（D）２７０种
解析：将5名实习教师分配到高一年级的3个班实习，每班至少1名，最多2名，则将5名教师分成三组，一组1人，另两组都是2人，有种方法，再将3组分到3个班，共有种不同的分配方案，选B.
说明：含“至多”或 “至少”的排列组合问题，是需要分类问题，或排除法。排除法，适用于反面情况明确且易于计算的情况。
8、部分符合条件淘汰法
例21．四面体的顶点各棱中点共有10个点，在其中取4个不共面的点，不同的取法共有
解：10个点取4个点共有
种取法，其中面ABC内的6个点中任取4个点必共面，这样的面共有6个，又各棱中点共6个点，有四点共面的平面有3个，故符合条件不共面的平面有
说明：在选取总数中，只有一部分符合条件，可从总数中减去不符合条件数，即为所求。
9．分组问题与分配问题
①分组问题：均匀分组，除法处理；非均匀分组，组合处理
例22。有9个不同的文具盒：（1）将其平均分成三组；（2）将其分成三组，每组个数2，3，4。上述问题各有多少种不同的分法？
分析：（1）此题属于分组问题：先取3个为第一组，有 种分法，再取3个不第二组，有种分法，剩下3个为第三组，有 种分法，由于三组之间没有顺序，故有种分法。（2）同（1），共有种分法，因三组个数各不相同，故不必再除以。
练习：12个学生平均分成3组，参加制作航空模型活动，3个教师各参加一组进行指导，问有多少种分组方法？
②分配问题：
定额分配，组合处理；
随机分配，先组后排。
例23。有9本不同的书：（1）分给甲2本，乙3本，丙4本；（2）分给三个人，分别得2本，3本，4本。上述问题各有多少种不同的分法？
（1）此题是定额分配问题，先让甲选，有种；再让乙选，有种；剩下的给丙，有种，共有种不同的分法（2）此题是随机分配问题：先将9本书分成2本，3本，4本共有三堆，再将三堆分给三个人，共有种不同的分法。
例24：对某种产品的6件不同正品和4件不同次品一一进行测试，至区分出所有次品为止，若所有次品恰好在第5次测试时被全部发现，则这样的测试方法有多少种可能?
解第5次必测出一次品，余下3次品在前4次被测出，从4中确定最后一次品有种方法，前4次中应有1正品、3次品有种，前4次测试中的顺序有种，由分步计数原理即得（）＝576【评述】本题涉及一类重要问题：问题中既有元素的限制，又有排列的问题，一般是先选元素（即组合）后排列
2．将10本不同的专著分成3本，3本，3本和1本，分别交给4位学者阅读，问有多少种不同的分法？
例25（06湖南卷）某外商计划在四个候选城市投资3个不同的项目,且在同一个城市投资的项目不超过2个,则该外商不同的投资方案有
解析：有两种情况，一是在两个城市分别投资1个项目、2个项目，此时有，
二是在在两个城市分别投资1，1，1个项目，此时有，
10．隔板法：隔板法及其应用技巧
在排列组合中，对于将不可分辨的球装入到可以分辨的盒子中，每盒至少一个，求方法数的问题，常用隔板法。见下例：
例26。求方程x+y+z=10的正整数解的个数。(即：10个相同的小球分给三人，每人至少1个，有多少种方法？)
分析：将10个球排成一排，球与球之间形成9个空隙，将两个隔板插入这些空隙中（每空至多插一块隔板），规定由隔板分成的左、中、右三部分的球数分别为 x.y.z之值（如图）
则隔板与解的个数之间建立了一一对立关系，故解的个数为 个。实际运用隔板法解题时，在确定球数、如何插隔板等问题上形成了一些技巧。下面举例说明：
技巧一：添加球数用隔板法。
例27．求方程x+y+z=10 的非负整数解的个数。
分析：注意到x 、y 、z 可以为零，故上题解法中的限定“每空至多插一块隔板”就不成立了。怎么办呢？只要添加三个球，给 x、 y、z
各一个球。这样原问题就转化为求x+y+z=13 的正整数解的个数了，故解的个数为=66个。
【小结】本例通过添加球数，将问题转化为如例1中的典型的隔板法问题。
技巧二：减少球数用隔板法。
例28．将20个相同的小球放入编号分别为1，2，3，4的四个盒子中，要求每个盒子中的球数不少于它的编号数，求放法总数。
分析1：先在编号1，2，3，4的四个盒子内分别放0，1，2，3个球，有1种方法；再把剩下的14个球，分成4组，每组至少1个，由例25知有
=286 种方法。
分析2：第一步先在编号1，2，3，4的四个盒子内分别放1，2，3，4个球，有1种方法；第二步把剩下的10个相同的球放入编号为1，2，3，4的盒子里，由例26知有
【小结】两种解法均通过减少球数将问题转化为例25、例26中的典型问题。
技巧三：先后插入用隔板法。
例29。为构建和谐社会出一份力，一文艺团体下基层宣传演出，准备的节目表中原有4个歌舞节目，如果保持这些节目的相对顺序不变，拟再添2个小品节目，则不同的排列方法有多少种？
分析：记两个小品节目分别为A、B。先排A节目。根据A节目前后的歌舞节目数目考虑方法数，相当于把4个球分成两堆，由例26知有
种方法。这一步完成后就有5个节目了。再考虑需加入的B节目前后的节目数，同上理知有 种方法。故由乘法原理知，共有 种方法。
【小结】对本题所需插入的两个隔板采取先后依次插入的方法，使问题得到巧妙解决。
11．数字问题（组成无重复数字的整数）
① 能被2整除的数的特征：末位数是偶数；不能被2整除的数的特征：末位数是奇数。
②能被3整除的数的特征：各位数字之和是3的倍数；能被9整除的数的特征：各位数字之和是9的倍数。
能被4整除的数的特征：末两位是4的倍数。
能被5整除的数的特征：末位数是0或5。
能被25整除的数的特征：末两位数是25，50，75。
能被6整除的数的特征：各位数字之和是3的倍数的偶数。
例30（06北京卷）在这五个数字组成的没有重复数字的三位数中，各位数字之和为奇数的共有
解：依题意，所选的三位数字有两种情况：（1）3个数字都是奇数，有种方法（2）3个数字中有一个是奇数，有，故共有＋＝24种方法，故选B
例31。（06天津卷）用数字0，1，2，3，4组成没有重复数字的五位数，则其中数字1，2相邻的偶数有　　24　个（用数字作答）．
12．分球入盒问题
例32：将5个小球放到3个盒子中，在下列条件下，各有多少种投放方法？
小球不同，盒子不同，盒子不空
解：将小球分成3份，每份1，1，3或1，2，2。再放在3个不同的盒子中，即先分堆，后分配。有
②小球不同，盒子不同，盒子可空
③小球不同，盒子相同，盒子不空
解：只要将5个不同小球分成3份，分法为：1，1，3；1，2，2。共有=25种
④小球不同，盒子相同，盒子可空
本题即是将5个不同小球分成1份，2份，3份的问题。共有种
⑤小球相同，盒子不同，盒子不空
解：（隔板法）。0 \ 00 \ 00
，有种方法
⑥小球相同，盒子不同，盒子可空
解一：把5个小球及插入的2个隔板都设为小球（7个球）。7个球中任选两个变为隔板（可以相邻）。那么2块隔板分成3份的小球数对应于 相应的3个不同盒子。故有=21
解：分步插板法。
⑦小球相同，盒子相同，盒子不空
解：5个相同的小球分成3份即可，有3，1，1；2，2，1。
⑧小球相同，盒子相同，盒子可空
解：只要将将5个相同小球分成1份，2份，3份即可。分法如下：5，0，0；
4，1，0；3，2，0；
例33、有4个不同的小球，放入4个不同的盒子内，球全部放入盒子内
（1）共有几种放法？（答：）
（2）恰有1个空盒，有几种放法？（答：）
（3）恰有1个盒子内有2个球，有几种放法？（答：）
（4）恰有2个盒子不放球，有几种放法？（答：）
13、涂色问题：（1）用计数原理处理的问题，需要关注图形的特征：多少块？多少色？
（2）以涂色先后分步，以色的种类分类。
例34、（2003全国）某城市在中心广场建造一个花圃，花圃分
为6个部分（如图）。现要栽种4种不同颜色的花，每部分栽
种一种且相邻部分要能栽种同种颜色的花，则不同的栽种方法有
例35、将一个四棱锥的每一个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端异色，若只有五种颜色可供使用，则不同的染色种数为
应该指出的是，上述所介绍的适用不同要求的各种方法并不是绝对的，对于同一问题有时会有多种方法，这时要认真思考和分析，灵活选取最佳方法。
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