协变微分 - 中国百科网
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在数学分析里，我们已有了一个函数的微分和导数的概念。 这一概念中， 微分的对象是一个纯量函数，其定义域是欧氏空间的一个区间，求导的方向就是坐标轴的方向（方向导数，梯度）。在微分几何里，人们希望推广这个概念到一般微分流形上。首先求导（或求微）的对象从函数推广到向量场（就是向量丛的截面，如切向量场和余切向量场）， 定义域则移到了整个流形上（不再是平坦的空间）， 求导的方向可以是任何切向量的方向。 这样得到的导数就称为协变导数，其微分称为协变微分。从局部上看，这样的导数和我们以前的偏导数相比多出了一堆修正值。这些修正值就是所谓的联络---这是近代微分几何最重要的概念。 粗略的讲，联络就是反映流形在外部大空间中看，所处的位置和弯曲程度。 但是，值得注意的是，我们定义的协变导数和协变微分实际上是内蕴的（就是说只和流形有关，与它的外部无关）。如果是黎曼流形（就是有度量的流形），则可以为一定义一种联络，从而有了一种协变微分定义。
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以上来源于：《新汉英大辞典》
得到了欧氏空间中，单位球面上坐标函数关于某一特定标架场的协变微分的两个等式。
We obtain two formulas about the covariant derivative of the coordinate functions on the unit sphere in Eucdidean space.
在数学分析里，我们已有了一个函数的微分和导数的概念。 这一概念中， 微分的对象是一个纯量函数，其定义域是欧氏空间的一个区间，求导的方向就是坐标轴的方向（方向导数，梯度）。
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粗略的解释一下广义相对论中的协变微分与协变导数有什么不同？
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广义相对论与狭义相对论不同，通常不能建立大范围的笛卡儿坐标系，于是选用了广义坐标变换并逐点定义了张量以描述时空几何和物质的能量动量。在这种定义下，张量的加法和乘法都还是张量，但微分运算的结果却必然不再是张量。为了保持张量运算的闭合性，进而确保广义相对论尽量的简单，需要引入张量平移的概念并用它定义出仿射联络，继而定义张量场的协变微分，与普通微分不同，协变微分运算具有闭合性。协变导数进一步保证了张量微商运算的结果阶数不变，其实二者都是为了简化计算所做的处理。
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