a1,a2,,an线性无关，则根据P.89定理5；充分性设任一n维向量都可由a1,a2,,an线性；a1,a2,,an线性表示，那么n=R(En)≤；16．证明：；方法一因为a1≠0，所以a1线性无关．；第一步：考虑a1,a2，若a1,a2线性相关，则；第二步：考虑a1,a2,a3，若a1,a2,a3；因为a1,a2,,am线性相关，所以此过程必在第；方法二
a1,a2, ,an线性无关，则根据P.89定理5结论(3)可知b可由a1,a2, ,an线性表示．
设任一n维向量都可由a1,a2, ,an线性表示．特别地，En的列向量组也可由
a1,a2, ,an线性表示，那么n=R(En)≤R(a1,a2, ,an)．又R(a1,a2, ,an)≤n，故R(a1,a2, ,an)=n，即a1,a2, ,an线性无关．
16．证明：
因为a1≠0，所以a1线性无关．
第一步：考虑a1,a2，若a1,a2线性相关，则a2可由a1线性表示，a2即为所求．否则，转入下一步．
第二步：考虑a1,a2,a3，若a1,a2,a3线性相关，则a3可由a1,a2线性表示，a3即为所求．否则，转入下一步． ??
因为a1,a2, ,am线性相关，所以此过程必在第m-1步之前结束．若在第k-1步结束（1≤k≤m-1），则向量ak即为所求．
方法二（反证法）
设不存在某个向量ak，使得ak(2≤k≤m)能由a1,a2, ,ak-1线性表示．又设k1a1+k2a2+ +kmam=0．
am不能由其前面m-1个向量线性表示，则km=0； am-1不能由其前面m-2个向量线性表示，则km-1=0；
a2不能由其前面a1个向量线性表示，则k2=0．
于是k1a1=0．
又a1≠0，故k1=0，从而a1,a2, ,am线性无关，矛盾，假设不成立，命题得证．
17．证明：因为a1,a2, ,as线性无关，所以R(A)=R(a1,a2, ,as)=s，即A是一个列满秩矩阵．
又B=AK，根据P.70例9的结论，R(B)=R(K)．
于是b1,b2, ,br线性无关?R(B)=R(b1,b2, ,br)=r?R(K)=r．
22．解：因为ξ1,ξ2是4维向量，所以方程组有4个未知数，即系数矩阵A的列数等于4．另一方面，因为基础解系含2个向量，所以R(A)=4-2=2，方程的个数可以是任意m(≥2)个．考虑构造一个2?4矩阵A，且R(A)=2．
ξ-2ξ?1? 0?=0，方法一
因为Aξ1=0，Aξ2=0，所以A 2记ξ3=(1,0,-1,-2)T，=A? -1??3?
显然ξ1和ξ3线性无关，构成齐次线性方程组Ax=0的一个基础解系，那么通解可表示为
?x1??0??1? ? ? ?x1 2?=c ?+c 0?．
x3?1 2?2 -1? ? ? ?x3???-2??4?
容易看出：可令x1，x2做自由变量，那么x3=-x1+2x2，x4=-2x1+3x2．于是取
?x1-2x2+x3=0?1-210?
即是所求，对应的齐次方程组为． A= ??
?2-301??2x1-3x2+x4=0
ξ1,ξ2是Ax=0的基础解系
?AB=A(ξ1,ξ2)=O且R(A)=2，其中B=(ξ1,ξ2) ?BTAT=O且R(AT)=2
?AT的两个列向量是BTx=0的两个线性无关的解，其中A是2?4矩阵 ?AT的两个列向量是BTx=0的基础解系（因为R(B)=2）
?0123?r?0123?B= ?~ ?
?1??2??12? ? ? ?-2-3-2-3T?，从而A=?1-210?，基础解系为η1= ?,
η2= ?，于是A=
? 1? 0? 10??2-301? ? ? ?0102??????
?x1-2x2+x3=0
对应的齐次方程组为?．
2x-3x+x=0?124
24．解：因为A=A，所以A(A-E)=O，根据矩阵的秩的性质8有， R(A)+R(A-E)≤n．又A+(E-A)=E，根据矩阵的秩的性质6有，
R(A)+R(A-E)=R(A)+R(E-A)≥R(E)=n．
综上所述，R(A)+R(A-E)=n．
25．证明：
当R(A)=n时，A可逆，从而A可逆（P.56第23题的结论），R(A*)=n． (2)
当R(A)≠n时，A=0，AA=O，R(A)+R(A*)≤n，R(A*)≤1． 其中当R(A)=n-1时，A中存在n-1阶非零子式，故A不是零矩阵，R(A)=1．
当R(A)≤n-2时，A中不存在n-1阶非零子式，故A是零矩阵，R(A)=0．
27．解：因为四元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为3，所以对应的齐次线性方程组的基础解系只包含一个向量，构造如下：
2η1-(η2+η3)= ?，
?x1??3??2? ? ? ?x432
于是四元非齐次线性方程组的同解可表示为 ?=c ?+ ?．
x3? 5? 4? ? ? ?x?6??5??4?
28．思路：
R(a1,a2,a3)&R(a1,a2,a3,b)
R(a1,a2,a3)=R(a1,a2,a3,b)=3 (3)
R(a1,a2,a3)=R(a1,a2,a3,b)&3
31．证明：
(1) 方法一
设k0η*+k1ξ1+k2ξ2+ +kn-rξn-r=0，那么
A(k0η*+k1ξ1+k2ξ2+ +kn-rξn-r)=k0Aη*=k0b=0．
因为b≠0，所以k0=0，从而k1ξ1+k2ξ2+ +kn-rξn-r=0．
又ξ1,ξ2, ,ξn-r是对应齐次线性方程组的基础解系，线性无关，故k1=k2= =kn-r=0． 于是根据定义，η*,ξ1,ξ2, ,ξn-r线性无关．
方法二（反证法）
设η*,ξ1,ξ2, ,ξn-r线性相关，已知ξ1,ξ2, ,ξn-r是对应的齐次线性方程组的基础解系，线性无关，那么
η*可由ξ1,ξ2, ,ξn-r线性表示，记作
η*=λξ11+λ2ξ2+ +λn-rξn-r，从而
Aη*=A(λξ11+λ2ξ2+ +λn-rξn-r)=0≠b
这与η的定义矛盾，假设不成立，命题得证．
设k0η*+k1(η*+ξ1)+k2(η*+ξ2)+ +kn-r(η*+ξn-r)=0，即
(k0+k1+k2 +kn-r)η*+k1ξ1+k2ξ2+ +kn-rξn-r=0
已经证明η*,ξ1,ξ2, ,ξn-r线性无关，故k0+k1+k2 +kn-r=0，k1=k2= =kn-r=0，从而k0=0，得证．
33．证明：设Ax=b解集为S，容易验证若x=kη1+k2η2+ +k1n-r+η1n-r+（1其中，则Ax=b成立，于是 k1+k2+ +kn-r+1=1）
{x=k1η1+k2η2+ +kn-r+1ηn-r+1|k1+k2+ +kn-r+1=1}?S．
令ξ1=η1-ηn-r+1,ξ2=η2-ηn-r+1, ,ξn-r=ηn-r-ηn-r+1，则ξ1,ξ2, ,ξn-r是对应的齐次线性方程组的线性无关的解．又R(A)=r，于是ξ1,ξ2, ,ξn-r构成Ax=0的一个基础解系，
从而Ax=b的通解可表示为
x=ηn-r+1+k1ξ1+k2ξ2+ +kn-rξn-r
=k1(η1-ηn-r+1)+k2(η2-ηn-r+1)+ +kn-r(ηn-r-ηn-r+1)+ηn-r+1=k1η1+k2η2+ +kn-rηn-r+(1-k1-k2- -kn-r)ηn-r+1=k1η1+k2η2+ +kn-rηn-r+kn-r+1ηn-r+1
其中k1+k2+ +kn-r+1=1，得证．
36．思路：往证R(a1,a2)=R(a1,a2,b1,b2)=R(b1,b2)．
37．思路：仿照P.104例24．
38．思路：思路：仿照P.104例25．
(1) HT=(E-2xxT)T=ET-2(xxT)T=E-2(xT)TxT=E-2xxT=H，所以H是对称阵．
(2) H是正交阵，因为
HTH=H2=(E-2xxT)2=E-4xxT+4xxTxxT=E-4xxT+4x(xTx)xT
=E-4xx+4xx=E
综上所述，H是对称的正交阵．
5．证明：因为AA=E，BB=E，所以
(AB)T(AB)=BTATAB=BT(ATA)B=BTB=E．
7．证明：因为A-λE=(A-λE)=A-λE，即A与A有相同的特征多项式，从而
AT与A有相同的特征值．
8．证明：因为R(A)+R(B)&n，所以R(A)&n．
R(A)&n?A=0?λ=0是A的特征值
同理，λ=0也是B的特征值，故A，B有相同的特征值．
A，B对应于特征值λ=0的特征向量依次是Ax=0和Bx=0的非零解．
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34???5??6?(??6)(??1)?0 2
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向量为c2?2,(c2?0,为任意常数)
0?1?10?(??2)(??1)?0 2??21??1
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