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设二次函数f（x）=ax^2+bx+c（a,b,c∈R）满足下列条件：①当x∈R时,f（x）的最小值为0,且f（x-1）=f（-x-1）恒成立；②当x∈（0,5）时,2x≤f（x）≤4|x-1|+2恒成立求最大的实数m（m＞1）,使得存在实数t,只要当x∈[1,m]时,就有f（x+t）≤2x成立．
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二次函数f（x）=ax^2+bx+c（a,b,c∈R）f（x-1）=f（-x-1）恒成立,则f(x)关于x=-1对称∵f（x）的最小值为0∴f(x)=a(x+1)² (a>0)当x∈（0,5）时,2x≤f（x）≤4|x-1|+2恒成立2x≤a(x+1)²≤4|x-1|+2恒成立即 2x/(x+1)²≤a≤(4|x-1|+2)/(x+1)²2x/(x+1)²=2x/(x²+2x+1)=2/(x+1/x+2)≤1/2设g(x)=(4|x-1|+2)/(x+1)² ,00,x∈(1,5],g'(x)
①==> -4≤t≤0
需②在[-4,0]上有解
①②要同时成立
②必须在[-4,0]内有解，不然交集为空集
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扫描下载二维码（本题满分14分）已知函数．（Ⅰ）若是上是增函数，求实数a的取值范围；（Ⅱ）证明：当a≥1时，证明不等式≤x+1对x∈R恒成立；（Ⅲ）对于在(0，1)中的任一个常数a，试探究是否存在x0&0，使得&x0+1成立？如果存在，请求出符合条件的一个x0；如果不存在，请说明理由．（I）∵时，，∴．由题意，≥0在上恒成立，当a=0时，&0恒成立，即满足条件．当a≠0时，要使≥0，而ex&0恒成立，故只需≥0在上恒成立，即解得a&0．综上，a的取值范围为a≤0．………………………………………………4分（Ⅱ）由题知f(x)≤x+1即为-≤x+1．①在x≥0时，要证明-≤x+1成立，只需证≤，即证1≤，①令，得，整理得，∵x≥0时，≤1，结合a≥1，得≥0，∴为在上是增函数，故g(x)≥g(0)=1，从而①式得证．②在x≤0时，要使-≤x+1成立，只需证≤，即证1≤，②令，得，而在x≤0时为增函数，故≤≤0，从而≤0，∴m(x)在x≤0时为减函数，则m(x)≥m(0)=1，从而②式得证．综上所述，原不等式-≤x+1即f(x)≤x+1在a≥1时恒成立．…10分（Ⅲ）要使f(x0)&x0+1成立，即，变形为，③要找一个x0&0使③式成立，只需找到函数的最小值，满足即可．∵，令得，则x=-lna，取x0=-lna，在0&x&-lna时，，在x&-lna时，，即t(x)在(0，-lna)上是减函数，在(-lna，+∞)上是增函数，∴当x=-lna时，取得最小值下面只需证明：在时成立即可．又令，则≥0，从而在(0，1)上是增函数，则，从而，得证．于是的最小值，因此可找到一个常数，使得③式成立．………………14分四川省绵阳市2014届高三第二次诊断性考试数学（理）试题解析
（I）∵时，，∴ ．由题意，≥0在上恒成立， 当a=0时，&0恒成立，即满足条件．当a≠0时，要使≥0，而ex&0恒成立，故只需≥0在上恒成立，即解得a&0．综上，a的取值范围为a≤0．……………………………………………… 4分（Ⅱ）由题知f(x)≤x+1即为-≤x+1．①在x≥0时，要证明-≤x+1成立，只需证≤，即证1≤， ①令，得，整理得，∵ x≥0时，≤1，结合a≥1，得≥0，∴ 为在上是增函数，故g(x)≥g(0)=1，从而①式得证．②在x≤0时，要使-≤x+1成立，只需证≤，即证1≤， ②令，得，而在x≤0时为增函数，故≤≤0，从而≤0，∴ m(x)在x≤0时为减函数，则m(x)≥m(0)=1，从而②式得证．综上所述，原不等式-≤x+1即f(x)≤x+1在a≥1时恒成立．…10分（Ⅲ）要使f(x0)&x0+1成立，即，变形为，? ③要找一个x0&0使③式成立，只需找到函数的最小值，满足即可．∵ ，令得，则x=-lna，取x0=-lna，在0& x &-lna时，，在x &-lna时，，即t(x)在(0，-lna)上是减函数，在(-lna，+∞)上是增函数，∴ 当x=-lna时，取得最小值下面只需证明：在时成立即可．又令， 则≥0，从而在(0，1)上是增函数，则，从而，得证．于是的最小值，因此可找到一个常数，使得③式成立．………………14分相关试题京ICP证号&&
京网文[3号&&
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1.75亿学生的选择
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1.75亿学生的选择
已知函数f（x）=ax 3 +bx 2 +（b-a）x（a，b是不同时为零的常数），其导函数为f′（x）．（Ⅰ）当 a=
时，若不等式 f′(x)＞-
对任意x∈R恒成立，求b的取值范围；（Ⅱ）若函数f（x）为奇函数，且在x=1处的切线垂直于直线x+2y-3=0，关于x的方程 f(x)=-
t 在[-1，t]（t＞-1）上有且只有一个实数根，（i）&求f（x）的解析式；（ii）求实数t的取值范围．
温暖如初丶皌
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（Ⅰ）当 a=
若使不等式 f′(x)＞-
对任意x∈R恒成立，只需使x 2 +2bx+b＞0对任意x∈R恒成立，即使（2b） 2 -4b＜0成立，∴b的取值范围为：（0，1）（Ⅱ）（i）∵f′（x）=3ax 2 +2bx+（b-a），∴f′（1）=3a+2b+（b-a）=2a+3b又在x=1处的切线垂直于直线x+2y-3=0，∴2a+3b=2又函数f（x）为奇函数，∴b=0，∴a=1，∴f（x）=x 3 -x（ii）求导函数可得f′（x）=3x 2 -1令f′（x）＞0，可得 x＜-
，令f′（x）＜0，可得 -
∴函数的单调增区间为（-∞，-
，+∞），减区间为 (-
) ．当 t∈(-1，-
) 时，若使关于x的方程 f(x)=-
t 在[-1，t]（t＞-1）上有且只有一个实数根，即使 f(-1)≤-
t≤f(t) ，∴ t∈(-
) 当 t∈(-
，0) 时，若使关于x的方程 f(x)=-
t 在[-1，t]（t＞-1）上有且只有一个实数根，即使 f(-1)=-
) ，此时无解当 t∈[0，
] 时，若使关于x的方程 f(x)=-
t 在[-1，t]（t＞-1）上有且只有一个实数根，即使 -
t＜0 ，∴ t∈(0，
，1) 时，若使关于x的方程 f(x)=-
t 在[-1，t]（t＞-1）上有且只有一个实数根，即使 -
) 或 f(t)≤-
t＜0 ，∴ t∈(
] 当 t∈[1，
) 时，若使关于x的方程 f(x)=-
t 在[-1，t]（t＞-1）上有且只有一个实数根，即使 -
) ，此时无解当 t∈[
，+∞) 时，若使关于x的方程 f(x)=-
t 在[-1，t]（t＞-1）上有且只有一个实数根，即使 -
t≤f(t) ，∴ t∈(
] 综上，可知实数t的取值范围为： (-
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当前位置：&&&&
“指数函数”教学与信息技术整合的探索
上传: 刘荣锋 &&&&更新时间： 19:42:31
& & & & &&指数函数&教学与信息技术整合的探索
教材分析：
（一）教学内容结构分析：
（1）指数函数的概念、图象和性质．
（2）教材从一个关于细胞分裂的具体问题引入指数函数的概念，既说明指数函数的概念来源于生产实践，也便于学生接受．在讲解指数函数的定义时，要说明它的定义域是什么，为什么要规定a是一个大于零且不等于1的常数．
（3）函数图象是研究函数性质的直观工具，利用函数图形便于学生掌握函数的性质和变化规律．充分体现信息技术的优势．
（4）利用具体的指数函数的图象，分析它们的特征，并得出指数函数的性质．
（5）指数函数单调性是可以证明的．
（二）教学目标分析：
知识与技能：通过具体事例（如细胞分裂，考古所用的C14的衰减，药物在人体内的残留量的变化等）了解指数函数模型的实际背景，理解指数函数的概念和意义，理解指数函数的单调性和特殊点．
过程与方法：能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索指数函数的单调性与特点．
情感、态度与价值观：在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型，激发学生学习数学的兴趣，努力培养学生的创新意识．
（三）教学重点难点：
重　点：指数函数的概念和性质．
难　点：指数函数的性质及应用．
（四）教学方法与手段：
&& &采用观察、分析、归纳、抽象、概括，自主探索，合作交流的教学方法，通过各种教学媒体（如计算机或计算器），调动学生参与课堂教学的主动性和积极性．
&&&&&&&& &
&&&&&&&&&& 教学过程：
&问题的提出
（1）细胞分裂问题.
细胞分裂，每次每个细胞分裂为2个，则这样的细胞第一次分裂后变为两个细胞，第二次分裂后得到4个细胞，第三次分裂后就得到8个细胞&&
&&& 在这个问题中，分裂的次数是一个变量，我们把它看作自变量，用x表示，每次分裂后，细胞的个数是一个变量，显然这个变量是自变量x的函数，用y表示．如何来计算y ？
（2）一种放射性物质不断衰变为其它物质，每经过一年剩留的物质质量约是原来的84%．求出这种物质的剩留量的时间（单位：年）变化的函数关系？这样的函数有什么样的性质呢？
& &&问题的提出建构了实现探索、交流、互动的教学环境，为通过师生的互动和学生获得知识的过程，建立与完善认知结构创造了条件．
问题的探索
学& 生：部分学生经过思考后提出：要想解决以上的问题必须根据引例中两个变量之间的关系定义一种函数，然后我们完全可以通过《几何画板》做出此种函数的图象，看看这种函数有什么样的规律．进而得出函数的性质．
学生第一组：&& x＝0，y＝20＝1；
&&&&&&&&&&&&&& x＝1，y＝21＝2；
&&&&&&&&&&&&&& x＝2，y＝21&2＝22＝4；
&&&&&&&&&&&&&& x＝3，y＝22&2＝23＝8；
&&&&&&&&&&&&&& &&
归纳出：第x次分裂后，细胞的个数y＝2x是一个函数，有这个式子，任给一个x值就可以求出对应的y值．
教& 师：函数的定义域是什么？
学& 生：非负整数．
学生第二组：设最初的质量为1，时间变量用x表示，剩留量用y表示．则
&&&&&&&&&&&&&& 经过1年，y＝1&84%＝0.841；
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 经过1年，y＝1&84%&84%＝0.842；
&&&&&&&&&&&&&& &&
归纳出：经过x年，y＝0.84x，定义域是正整数．
教& 师：这两个函数是同类函数么，自变量都出现在什么位置上？
学& 生：是同一类函数，都出现在指数位置上．
教& 师：我们把这种的函数叫做指数函数，板演指数函数的定义：
&&& 一般地，函数y＝ax（a＞0，a&1，x&R）叫做指数函数．
教& 师：为什么不能a＝0，a＜0， a＝1& ?
学& 生：a ＝0 当x＞0时，ax 恒为0 ；当x&0时，ax无意义.
&&&&& 　a&0时，ax会无意义
&&&&&&& a＝1 时，对于任意一个x，y＝1x＝1是一个常量，没有研究的必要．
巩固练习 ：判断下列函数是否为指数函数
（1）y＝（-3）x& &&&（2）y＝-3x&&&& （3） y＝3x-1&&& （4）y＝2&3x &（5）y＝32x
下面重点探索和研究指数函数的性质
教& 师：我们通常采用什么方法来画函数的图象？
学& 生：描点法．我们可以使用《几何画板》应用软件，这样可以节省时间，而且图象会更准确、更直观．
教& 师：好，现在我们就利用《几何画板》来作出& y＝（0.5）x，y＝（0.1）x，y＝（2）x，
&y＝（10）x的图象．分两组对图象进行研究并归纳函数的性质．（手工描点，画出图象的过程学生已经掌握，可以不纳入本节的教学内容．）
利用人教社教材配套的《几何画板》教学课件&指数函数的图形&绘制出了 y＝（0.5）x，y＝（0.1）x，y＝（2）x， y＝（10）x，的图象．整个过程不过几分钟的时间而且做出的图象准确美观．
在屏幕上分别出现四个函数的动态图象如图1、图2 所示的内容：
为学生创设了很好的教学情境，学生们被函数图象生动的动态效果深深地吸引，激起了探索的兴趣．
（此处把y＝（0.5）x，y＝（0.1）x的图象作为一组，利用《几何画板》画在同一平面直角坐标系下，不但可以观察出图象的共同点，还可观察出&a&对同一类函数所起的作用，可以说最大限度地发挥了信息技术的优势，图2的作用也体现了这样一点．）
教& 师：请大家通过讨论后进行总结和记录，并和课本上所写的进行比较（这些问题以提纲的形式出现在大屏幕上，既可以逐条出现也可以一起出现，使学生归纳时的思路清晰，提纲挈领．而这种形势在信息技术的支持下是很简单的事情）．
（1）指数函数的a有什么特点
（2）函数的定义域、值域
（3）函数图象的分布和经过的特殊点
（4）函数的单调性和奇偶性
几分钟后第一组学生得出：&
（1）这些指数函数的a都满足：0＜a＜1
（2）定义域：x&R，定义域：y ＞0
（3）图象分布在x轴的上方且都点（0，1）
（4）函数在R上为单调减函数；为非奇非偶函数
学生第二组得出：&
（1）这些指数函数的a都满足：a＞1
（2）定义域：x&R，定义域：y ＞0
（3）图象分布在x轴的上方且都点（0，1）
（4）函数在R上为单调增函数；为非奇非偶函数
&&& 问题的解决
教师又把4个图象画在同一个平面直角坐标系下（应用信息技术手段在同一坐标系下快速做出4个图象，并指出性质总结的方向，不但节省了时间，更重要的是使学生不断地经历直观感知、观察发现、归纳处理、抽象概括、反思与构建等思维过程，有助于学生对客观事物中蕴含的数学模式进行思考和做出判断，进而突破本节的难点，掌握本节的重点．）
对两个组的讨论结果进行总结，归纳出指数函数y＝ax（a＞0，a&1，x&R）具有如下性质：
（1）定义域是实数集R，对于任意实数x都有y ＞0，即值域是（0，＋&）．
（2）函数图象在x轴上方且都通过（0，1）
（3）当a＞1时，这个函数是增函数； 当0＜a＜1时，这个函数是减函数．
巩固练习：
（1）&&&&&& 函数y＝2&a2x＋3（a＞0，a&1）的图象恒过哪个点？
（2）&&&&&& 利用指数函数的性质，比较下列各题中值的大小
①& 1.7a与1.7a＋1，&& ②& 0.8-0.1与0.8-0.2 ③& 已知（4/7）a ＞（ 4/7）b& ，比较a、b的大小　④& a0.7 ＞ a0.8
小结及作业：本结重点要熟悉和掌握指数函数的概念、图象和性质并能进行简单的应用.
作业教材P100.2.3
教学评析与反思
（1）教法、学法分析：本节课最大的特点就是在开放的教学环境中，在信息技术与数学整合的理念和教师的指导下的教学，真正体现了以学生为主的教学，它充分调动了学生的积极性和自主探索的热情．如指数函数概念和指数函数的性质学习中，用传统教学使用描点法做出4个指数函数的图象是难以实现的，在现代信息技术的支持下难题迎刃而解，学生通过《几何画板》这一教学软件快速、轻松做出指数函数图象的动态图象，并借此逐步探究归纳出指数函数概念和性质，引导学生执因索果，发现问题所蕴含的规律和思想，揭示数学的本质，从而使学生自主探索学习得以实现，主动性得以发挥成为课堂真正的主人；教师在课堂中主要负责引导、启发、组织学生讨论学习，提示研究的方向控制课堂的进度和节奏，成为学生学习的帮助者．
（2）教学设计和教学过程分析：①问题引入的设计思想．探究性的思维需要有一定的激发条件，而数学本身就源于社会的生产实践，并最终服务于社会生产．利用实际生活和生产中的实例创设情境，启动学生的思维是最好的选择，体现了数学与生产实践相结合的理念，这两个实例是学生比较熟悉和感兴趣的，并且对于两个自变量的关系式提炼又是前一节课的内容，学生有一定的认知基础，这样，问题就被设定在了学生思维的最近发展区．因此问题一经提出，学生们异常兴奋，思维活跃，可以看出激发出了学生对本节内容的兴趣，为指数函数的概念甚至是性质的学习创造了有利条件．② 重点、难点突破的设计思想：本节课的核心问题是要求学生掌握指数函数的性质，利用信息技术的先进手段即应用《几何画板》绘制出a＞1，0＜a＜1两类图象若干，学生通过直观的图象分组讨论交流协作，最终归纳出函数的性质，通过对此内容的学习同时也加强了数形结合、分类讨论和交流协作的思想的渗透．使学生不断地经历直观感知、观察发现、归纳处理、抽象概括、反思与构建等思维过程，有助于学生对客观事物中蕴含的数学模式进行思考和做出判断，进而突破本节的难点，掌握本节的重点．
（3）信息技术支持下数学课堂教学的优势
①&&&& 信息技术使教师的教学方式发生了深刻的变化
瑞典数学教育家皮&波曼在《未来的数学教与学》一文中指出：未来的&学&应该是学生的自主学习，教师应为学生营造良好的学习氛围，提供广阔的学习空间；未来的&教&应是以现代的理论为指导的教，而不是凭感觉和经验方式的教．适当地利用现代信息技术进行教学，使强调实践、操作和研究行为，注重对数学思想方法的领悟、注重合作交流、情感体验的&活动式教学&得以实现．此案例使用的是人教版教材配套的完全用《几何画板》制作的课件，充分地展现了信息技术下数学课堂教学的优势：第一、信息技术有利于教师对数学语言文字、符号、图形、动画、实物图象、声音、视频等信息进行有效地组织与管理，从而使过去传统的教学方式难以实现的教学设计、课程内容、数学思想更直观地呈现，更容易表达．如案例中四个指数函数 y＝（0.5）x，y＝（0.1）x，y＝（2）x， y＝（10）x图象在传统的教学中这么迅速直观地体现在学生面前，是无法实现的，教师只能告诉学生我们可以通过描点法画出函数图象然后直接做出图象让学生观察总结规律，生硬、缺乏动态的效果和说服力；第二、信息技术使数学教师获得解放，使他们把主要精力和时间用在考虑教学设计上．借助信息技术的力量构建多元联系的、灵活可变的、蕴涵重要数学内容过程和方法的、交互性的学习环境．为学生提供丰富的数学活动的源泉，同时为师生之间、学生之间的交流协作提供了广阔的空间．
②信息技术使学生的学习方式产生了深刻的变化
数学教学改革的核心是学生学习方式的改革，要变被动的接收式学习为主动参与的学习方式，使学生有机会在一种真实的、体现数学发现与演绎过程的环境中接受具有挑战性的学习任务，进行实验、研究和发现．多媒体和中学数学教学整合的最终的目的是通过信息技术在课堂教学中的使用来培养学生的数学修养，改变数学课堂教学结构，从而实现数学学习由被动式学习变为主动式学习的方式．利用信息技术创设情境有助于学生学习态度的转变和教学难点的突破．利用直观动态的体现数学内在规律的《几何画板》教学软件，设计好流程、合理解释和演示，可以促进学生对知识的理解和记忆，使一些难以理解的数学概念、原理和规律形象地呈现在学生面前．信息技术还是一种产生数学问题、促进数学思考的&催化剂&．信息技术为数学学习提供了更加广阔的实践活动空间，它为学生通过丰富的活动而不仅仅是依赖语言来构建对知识的理解提供了可能．在信息技术的支持下学生通过亲身参与实践而获得对新知识的深刻理解，体现数学思想方法的真谛，领悟数学的本质，使学习的变革&落在实处&．
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