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第6章前三节研究报告.ppt 163页
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线性控制系统的状态空间模型与状态空间分析 小结 由系统的机理列写动态方程：
―物理方程的罗列，状态变量的选择（任意） 由传递函数求动态方程：
―相变量形式（可控标准型），输入前馈形式，可观测标准型，对角阵标准型 由结构图求动态方程：
―将结构图等效为比例环节和积分环节的形式，选择积分环节后的变量为状态变量 由微分方程写动态方程：
―画出模拟结构图，选择积分器后的变量为状态变量 6.2.3
传递函数与状态空间表达式之间的关系 小结 多维传递函数 传递函数阵的概念 传递函数阵的性质 6.2.4
动态方程的线性变换 6.2.4.1
状态变量模型的非唯一性
系统的特征值和特征向量6.2.4.3
动态方程的约当标准型 小
组合系统的状态空间表达式 1.
子系统并联 2.
子系统串联 3.
子系统反馈连接 小结 子系统的串联 子系统的并联 子系统的反馈联接 小
结 ②传递函数在非奇异线性变换前后不变。 变换前 变换后 证： 根据矩阵求逆规则 6.2.4.2
系统的特征值和特征向量 说明： ，那么： 6.2.4.3
动态方程的约当标准型（对角型）
个互异的特征根 ，则
必可化为对角阵
，即 ，对角线元素为特征根的值。其转化阵为 ，其中
对应的特征向量。
我们知道，若 ，则 是
对应的特征向量。所以，转换矩阵
的特征向量组成的。 例： ，求特征值和特征向量。 解：① 求特征值l ② 求vi，对应l1 －1，代入 [lI-A]v1 0 得 6.2.4.3
动态方程的约当标准型（对角型） ⑶－⑵得 由⑴得 6.2.4.3
动态方程的约当标准型（对角型） 例：将 转换为对角阵，并求转换矩阵。 解：在前例中，已经求出了 A 的特征值为： 其对应的特征向量分别为： 所以转换阵为： 即有： 6.2.4.3
动态方程的约当标准型（对角型） 特例：若方阵A是可控标准型，且特征根互异，则转换阵是范得蒙矩阵。 6.2.4.3
动态方程的约当标准型（对角型） 复习线性代数的几个概念 矩阵的秩：矩阵中不等于零的子式的最大阶数。对矩阵A而言，其秩用rankA表示。 齐次方程Ax 0的线性无关的解与A矩阵的秩有关：若A为n×n矩阵，而rankA r，则x有n-r组线性无关的解。 6.2.4.3
动态方程的约当标准型（对角型） 若rankA 2，则意味着只有两个方程独立，可把x3,x4,x5看作是已知数，即可解得
即 Ax 0 若令x3,x4,x5取三组线性无关的值，如最简的三组线性无关值为 6.2.4.3
动态方程的约当标准型（对角型） 于是有n-r 3组线性无关的解。 6.2.4.3
动态方程的约当标准型（对角型）
若A有相同的特征根时，分两种情况： ①m个相同的特征值对应的特征向量完备，即m个相同的特征值对应m个独立的特征向量。此时相当于rank lI-A
n-m，这种情况较少见。转换阵P的求法同上。 即： 前面m项是对应m重特征根的m个互相独立的特征向量；后面n-m个是互异特征根的特征向量。这时A阵可转换为如下形式的约当标准型。 6.2.4.3
动态方程的约当标准型（对角型） 例：已知 ， 转换为对角阵，并求转换矩阵。 解:先求特征根 |lI-A| 0, 解得 对应l 1，求特征向量，令[l1I-A]v1 0 可得v31 0，v11、v21任意。这是因为rank[lI-A] 1，则有n-r
2个独立的特征向量。 这两个特征向量可取为 6.2.4.3
动态方程的约当标准型（对角型） 于是 对应l 2，求特征向量，令[l3I-A]v3 0 可得v23 0，v13 -v33。此时rank[lI-A] 2,则有n- n-1
1个独立的特征向量。 可取为 变换后 6.2.4.3
动态方程的约当标准型（对角型） ②m个相同的特征值对应的特征向量不完备，即m个相同的特征值不存在m个独立的特征向量。这时不能将之化为对角阵而只能转换为约当阵。（设有m个重根l1） 约当块：形如 的矩阵称为约当块。 由若干个约当块组成的准对角线矩阵称为约当矩阵。 6.2.4.3
动态方程的约当标准型（对角型） 6.2.4.3
动态方程的约当标准型（对角型） 式中
是约当块的块数，它等于A的独立特征向量数。即对于每一个约当块，有且只有一个线性独立的特征向量。设每个约当块的阶数为mi，则有 应当指出的是每个约当块的阶数mi，并非一定等于该特征值的重数，只有对应该特征值的独立特征向量个数为1时，即rank liI-A
n-1时，其约当块的阶数才等于该特征值的重数。
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2第二节动态方程的建立
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―物理方程的罗列，状态变量的选择（任意） 由传递函数求动态方程：
―相变量形式（可控标准型），输入前馈形式，可观测标准型，对角阵标准型 由结构图求动态方程：
―将结构图等效为比例环节和积分环节的形式，选择积分环节后的变量为状态变量 由微分方程写动态方程：
―画出模拟结构图，选择积分器后的变量为状态变量 6.2.3
传递函数与状态空间表达式之间的关系 小结 多维传递函数 传递函数阵的概念 传递函数阵的性质 6.2.4
动态方程的线性变换 6.2.4.1
状态变量模型的非唯一性
系统的特征值和特征向量6.2.4.3
动态方程的约当标准型 小
组合系统的状态空间表达式 1.
子系统并联 2.
子系统串联 3.
子系统反馈连接 小结 子系统的串联 子系统的并联 子系统的反馈联接 小
结 ②传递函数在非奇异线性变换前后不变。 变换前 变换后 证： 根据矩阵求逆规则 6.2.4.2
系统的特征值和特征向量 说明： ，那么： 6.2.4.3
动态方程的约当标准型（对角型）
个互异的特征根 ，则
必可化为对角阵
，即 ，对角线元素为特征根的值。其转化阵为 ，其中
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我们知道，若 ，则 是
对应的特征向量。所以，转换矩阵
的特征向量组成的。 例： ，求特征值和特征向量。 解：① 求特征值l ② 求vi，对应l1 －1，代入 [lI-A]v1 0 得 6.2.4.3
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动态方程的约当标准型（对角型） 复习线性代数的几个概念 矩阵的秩：矩阵中不等于零的子式的最大阶数。对矩阵A而言，其秩用rankA表示。 齐次方程Ax 0的线性无关的解与A矩阵的秩有关：若A为n×n矩阵，而rankA r，则x有n-r组线性无关的解。 6.2.4.3
动态方程的约当标准型（对角型） 若rankA 2，则意味着只有两个方程独立，可把x3,x4,x5看作是已知数，即可解得
即 Ax 0 若令x3,x4,x5取三组线性无关的值，如最简的三组线性无关值为 6.2.4.3
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动态方程的约当标准型（对角型）
若A有相同的特征根时，分两种情况： ①m个相同的特征值对应的特征向量完备，即m个相同的特征值对应m个独立的特征向量。此时相当于rank lI-A
n-m，这种情况较少见。转换阵P的求法同上。 即： 前面m项是对应m重特征根的m个互相独立的特征向量；后面n-m个是互异特征根的特征向量。这时A阵可转换为如下形式的约当标准型。 6.2.4.3
动态方程的约当标准型（对角型） 例：已知 ， 转换为对角阵，并求转换矩阵。 解:先求特征根 |lI-A| 0, 解得 对应l 1，求特征向量，令[l1I-A]v1 0 可得v31 0，v11、v21任意。这是因为rank[lI-A] 1，则有n-r
2个独立的特征向量。 这两个特征向量可取为 6.2.4.3
动态方程的约当标准型（对角型） 于是 对应l 2，求特征向量，令[l3I-A]v3 0 可得v23 0，v13 -v33。此时rank[lI-A] 2,则有n- n-1
1个独立的特征向量。 可取为 变换后 6.2.4.3
动态方程的约当标准型（对角型） ②m个相同的特征值对应的特征向量不完备，即m个相同的特征值不存在m个独立的特征向量。这时不能将之化为对角阵而只能转换为约当阵。（设有m个重根l1） 约当块：形如 的矩阵称为约当块。 由若干个约当块组成的准对角线矩阵称为约当矩阵。 6.2.4.3
动态方程的约当标准型（对角型） 6.2.4.3
动态方程的约当标准型（对角型） 式中
是约当块的块数，它等于A的独立特征向量数。即对于每一个约当块，有且只有一个线性独立的特征向量。设每个约当块的阶数为mi，则有 应当指出的是每个约当块的阶数mi，并非一定等于该特征值的重数，只有对应该特征值的独立特征向量个数为1时，即rank liI-A
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2第二节动态方程的建立
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自控原理9(第九章418-437)分析.ppt
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10两种常见的状态转移矩阵。设Adiag[?1，?2，…，?n]，即A为对角阵，且具有互异元素，则：（9-54）设A阵为m×m约当阵：则（9-55）用幂级数展开式即可证明式9-54和式9-55成立。[例9-6]设系统的状态方程为：试求状态转移矩阵及状态方程的解。[解]由于本例是线性定常系统，故状态转移矩阵可写作：此题中：因而有：状态方程的解为：[例9-7]设系统状态方程为：试求状态方程的解。[解]用拉氏变换求解：[例9-8]已知状态转移矩阵为：试求??1t，A。[解]根据状态转移矩阵的运算性质有：3非奇次状态方程的解状态方程：9-56称为非奇次状态方程，有如下两种解法：1积分法。由式9-56可得：由于：积分可得：（9-57）式中第一项是对初始状态的响应，第二项是对输入作用的响应。若取t0作为初始时刻，则有：2拉普拉斯变换法。将式9-56两端取拉氏变换，有：结果与式9-57相同。上式又可表示为：9-59有时利用式9-59求解更为方便。[例9-9]系统状态方程为：且x0[x10x20]T，试求在utlt作用下状态方程的解。[解]由于ut1，ut??1，根据式9-59可得：由例9-7已求得：故：6．系统的传递函数矩阵则：9-61系统的传递函数矩阵表达式为：9-62若输入u为p维向量，输出y为q维向量，则Gs为q×p矩阵。式9-61的展开式为：式中，Gijsi1,2,…,q;jl,2,…,p表示第i个输出量与第j个输入量之间的传递函数。2开环与闭环传递矩阵3解耦系统的传递矩阵2用前馈补偿器Gds实现解耦引入Gds后解耦系统的闭环传递矩阵?s为：9-75式中?s为所希望的对角阵。由式9-75可得：9-76按式9-76设计前馈补偿器可使系统解耦。[解]求原系统开环传递矩阵Gps，只需写出输出量y1,y2与偏差量e1,e2各分量之间的关系，即：其向量-矩阵形式为：原系统开环传递矩阵为：输出量y1，y2与输入量u1,u2各分量之间的关系为：其向量-矩阵形式为：原系统闭环传递矩阵为：串联补偿器Gcs的设计：由式9-74并考虑HsI，有：可以验证这种解耦系统的开环传递矩阵GpsGcs为对角阵：用串联补偿器实现解耦的系统结构图见图9-20。前馈补偿器Gds设计：由式9-75有：式中Gcijs表示Ujs至U?isi,j1,2通道的串联补偿器传递函数。用前馈补偿器实现解耦的系统结构图见图9-21。4传递函数矩阵的实现1单输入-多输出系统传递矩阵的实现若将A阵写为友矩阵，便可得到可控标准型实现的状态方程：2多输入-单输出系统传递矩阵的实现[例9-12]已知单输入-双输出系统的传递矩阵为：求传递矩阵的可控标准型实现及对角型实现。[解]由于系统是单输入、双输出的，故输入矩阵只有一列，输出矩阵有两行。将Gs化为严格有理真分式：7.线性离散系统状态空间表达式的建立及其解1由差分方程建立动态方程考虑初始条件为零时的z变换关系有：对式9-87两端取z变换并加以整理可得：9-882定常连续动态方程的离散化故离散化状态方程为9-93式中?T与连续系统状态转移矩阵?t的关系为：9-94离散化系统的输出方程仍为：9-953定常离散动态方程的解对于离散状态方程式9-91，其解为：9-989-99式中Gk表示k个G自乘。[解]由例9-7已知该连续系统的状态转移矩阵为：9-2线性系统的可控性与可观测性1．可控性2．可观测性3.线性定常连续系统的可控性判据于是，欲使式9-111成立，应当有：（9-112）另一方面，因系统完全可控，根据定义，对此非零向量应有：（9-113）[凯莱-哈密顿定理]:设n阶矩阵A的特征多项式为：9-117则A满足其特征方程，即：这表明状态变量x1和x2都可通过选择控制量u而由始点达到原点，因而系统完全可控。但是，输出y只能反映状态变量x2，而与状态变量x1既无直接关系也无间接关系，所以系统是不完全可观测的。[例9-15]桥式电路如图9-24所示，选取电感电流iL和电容端电压uc作为状态变量，u为网络输入，输出量yuc。图9-24例9-15桥式电路设x1iL，x2uc。由电路可以看出，如果x2t00，则不论u如何选取，对于所有t≥t0，x2t?0，即u只能控制x1的变化而不能控制x2的变化，x2不可控。由于yuc?0，因而也不可能由输出y来反映状态变量x1的变化，x1不可观测。故系统不可控也不可观测。图9-24例9-15桥式电路考虑线性时变系统的状态方程：（9-100）其中，x为n维状态向量；u为p维输入向量；Tt为时间定义区间；At和Bt分别为n×n和n×p矩阵。现对状态可控、系统可控和不可控分别定义如下：状态可控：对于式9-100所示线性时变系统，如果对取定初始时刻t0∈Tt的一个非零初始状态xt0x0，存在一个时刻t1∈Tt，t1t0，和一个无约束的容
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