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动力学的主要内容研究物体的机械运动 与作用力之间的关系动力学所涉及的研究内容包括：1. 动力学第一类问题 ―― 已知系统的运动，求作用在系统上的力。 2. 动力学第二类问题 ―― 已知作用在系统上的力，求系统的运动。动力学普遍定理?
动量定理 ? 动量矩定理 ? 动能定理动力学普遍定理1、物理量（1）动量（2）冲量? ? p ? mv? t ? I ? ? F dt0? ? p ? ? mi vii? mvC（3）动量矩 LO ??MO(mi vi ) ? ? ri ? mi viLOz ? J z?动力学普遍定理（4）转动惯量 ① 定义z1、物理量J z ? ? ri mi2 irivimiJ z ? m?2 z?xmOy回转半径动力学普遍定理② 简单形体的转动惯量 ● 均质细圆环1、物理量JC ? mr2mCr● 均质薄圆盘● 均质细长杆1 J C ? mr 2 2Crm1 2 J C ? ml 12C lm动力学普遍定理③ 平行移轴定理zC m21、物理量 z1J z1 ? J zC ? mdCl 2 1 2 J O ? J C ? m( ) ? ml 2 3d O C lm动力学普遍定理 （5）力的功● 常力的功W ? F cos? SSM2 M21、物理量 F?M1M2v● 变力的功 ● 重力的功 ● 弹性力的功W12 ?M1? F ? dr ? ? F cos ? dsM1W12 ? mg ( z1 ? z2 )k 2 W12 ? (?1 ? ? 22 ) 2动力学普遍定理（6）动能1 ● 质点 T ? mv 2 2● 定轴转动刚体1、物理量1 T ? J z? 2 21 1 2 2 2 ● 平移刚体 T ? 1 mvC T ? m v ? J ? ● 平面运动刚体 C C 2 2 2 1 2 T ? J ? （7）势能 P M0 2 V ? ? F ? drMM0作为基准位置，势能为零，称为零势能点。动力学普遍定理2．定理（1）动量定理 （2）质心运动定理 若 若? dp dt?e ? FR（p ? mvC）?e ? m aC ? FR? ? p＝C（3）动量定理、质心运动定理守恒?e FR ＝0?e FR ＝0则? ? 则 vC ＝C动力学普遍定理（4）动量矩定理? ?e dLO ? MO dt2．定理（LOz ? J z? ）e z（5）定轴转动微分方程 （6）平面运动微分方程J z? ? M?C ? ? Fx m? x ?C ? ? Fy m? yi i?? ? ? M C (Fi e ) J C?i动力学普遍定理（7）动能定理2．定理T2－T1＝W12（8）机械能守恒T ? V ? E ? 常数【思考题】1．选择题（1）如图所示，质量为m的质点受力F作用，沿平 面曲线运动，速度为v。试问下列各式是否正确？?dv dv a.m ? F? , b.m ? F dt dt( A )vMFA、a、b都正确； B、a、b都不正确。 C、a正确，b不正确；D、a不正确，b正确。n(2)重量为G的汽车，以匀速v驶过凹形路面。试问汽车过路 面最低点时，对路面的压力如何 ? （ B） A、压力大小等于G； B、压力大小大于G。 C、压力大小小于G； D、已知条件没给够，无法判断。【思考题】1.选择题 （1）设刚体的动量为 P ，其质心的速度为 v c，质量为M， D 则式 P ? Mvc 。（ ） A、只有在刚体作平动时才成立； B、只有在刚体作直线运动时才成立； C、只有在刚体作圆周运动时才成立； D、刚体作任意运动时均成立； （2）质点作匀速圆周运动，其动量。（ C ）A、无变化；B、动量大小有变化，但方向不变 C、动量大小无变化，但方向有变化 D、动量大小、方向都有变化（3）一均质杆长为 l，重为P，以角速度 ? 绕O轴转动。试确 定在图示位置时杆的动量。（ ） C Pl ? ，方向朝左 A、杆的动量大小 p ? 2g B、杆的动量大小 C、杆的动量大小 D、杆的动量等于零l 3Pl p? ?，方向朝右 3gPl p? ? ，方向朝左 6gB?O A[例] 基本量计算 (动量，动量矩，动能)1 p ? mv p ? m R? mL ? 6 1 3 2 2 1 L L ? J ? ? mR ? 2 2 L ? J ? ? mR ? C C O LO ? J O? ? [ mL ? m( ) ]? O 2 2 12 6 LO ? rC ? mvC ? LCr 1 2 ? mL ? 3 9 2 p ? mv C ?? LO ? mv ? R ? J C? ?1 1 2 T ? J O? ? mL2? 2 2 18T?1 3 J O? 2 ? mR 2? 2 2 42 1 1 2 T ? mv ? mR 2? 2 2 4mR ?A?O图示行星齿轮机构，已知系杆OA长为2r， 质量为m，行星齿轮可视为均质轮，质量 为m，半径为r，系杆绕轴O转动的角速度 为?。则该系统动量主矢的大小为（ 3mr ? ），对轴O的动量矩大小为（13 mr 2? ） 3 ， 系统动能为（11 2 2 mr ? ）。 3质量为m长为l的均质细长杆，杆端B端 置于水平面，A端铰接于质量为m，半径 为r的轮O边缘点A,已知轮沿水平面以大 小为?的角速度作纯滚动，系统的动量 0 大小为（ 3m r?），对点 P的动量矩大小 11 2 2 为 （ 7 mr 2? ），系统动能为（ mr ? 0 0 2 4 ）。例如图所示系统中，均质杆OA、AB与均质轮的质量均为m，OA 杆的长度为l1，AB杆的长度为l2，轮的半径为R，轮沿水平面 作纯滚动。在图示瞬时，OA 的角速度为?，则整个系统的动量为多少 ？ 【解】因为按图示机构，系统可分成3个刚块：OA、AB、和轮B。 首先需找出每个刚块的质心速度： （1）OA作定轴转动，其质心速度在图示 ? 瞬时只有水平分量v1cx ? 1 2 l1，方向水 平向左。 A （2）AB作瞬时平动，在图示瞬时其质心速 ? 度也只有水平分量 v2cx ? v A ? l1，方向水 ? B 平向左。O（3）轮B作平面运动，其质心B的运动轨迹为水平直线，所以B点的速 vB ?，方向水平向左。 vA ? l1? 度方向恒为水平，在图示瞬时 所以py ? 0p x ? mv1x ? mv 2 x ? mv 3 x所以5 p ? p x ? ml1? 2方向水平向左5 ? ml1? (?) 2A?OB动力学普遍定理[例 题 ]图示均质细直杆OA长为l，质量为m，质心C处连接一刚度系数 为k 的弹簧，若杆运动到水平位置时角速度为零，则初始铅垂位置（此时弹簧为原长）时，杆端A的速度vA为 多少？T2－T1＝W121 1 1 2 vA 2 2 T1 ? J O? ? ? ml ( ) 2 2 3 lvAA C OT2 ? 0k450l k 2 2 W12 ? mg ? (l ? l ) 2 2 23kl 2 vA ? (2 ? 2)2 ? 3gl 4m例11-5 如图所示，质量为m，半径为r的均质圆盘，可绕通过O 点且垂 直于盘平面的水平轴转动。设盘从最高位置无初速度地开始绕O轴转 动。求当圆盘中心C和轴O点的连线经过水平位置时圆盘的角速度、 y 角加速度及O处的反力。【解】（1）用动能定理求角速度。T1 ? 01 1 1 3 J 0? 2 ? ( mr 2 ? mr 2 )? 2 ? mr 2? 2 2 2 2 4 W12 ? mgr T2 ?Cr由T2－T1＝W12，得 3 2 2 mr ? －0＝mgr 44g ?? ? 3rC?Ox（2）当OC在同一水平位置时，由动量矩定理有：(a)d? JO ? mgr dt 2g ? ? 代入JO，有3r法二：用动能定理求角速度及角加速度。1 1 1 3 J 0? 2 ? ( mr 2 ? mr 2 )? 2 ? mr 2? 2 W12 ? mgr(1 ? cos? ) 2 2 2 4 4g 由T2－T1＝W12，得 3 mr 2? 2－0＝mgr (1 ? cos ? ) ?? ? (1 ? cos? ) (*) 3r 4 ? ? ? ? ?＝ 2 g sin ? 两边对（*）式求导 3 mr 2? ? ? ? ＝mgr sin ? ? ? 2 3rT1 ? 0T2 ?（3）求O处约束反力 作圆盘的受力分析和运动分析，有4g 4g n aC ? r? 2 ? r ? ? 3r 3 2 ? aC ? r? ? g 3?mgC由质心运动定理，得ma ? FOx ? FOxn C4 ? mg 3?? aCn aCFOxFOy(b)ma C ? mg ? FOy ? FOy?1 ? mg 3【思考与讨论】1．选择题 （1）如图所示，半径为R，质量为m的均质圆轮，在水平地面上只 滚不滑，轮与地面之间的摩擦系数为f。试求轮心向前移动距离s的过 程中摩擦力的功WF。 （ ） DA． WF=fmgs B． WF&fmgs C． WF=F?s D． WF=0sM? F? WC? v? FN(2)如图所示，楔块A向右移动速度为v1,质量为m的物块B沿斜面下滑， 它相对于楔块的速度为v2，求物块B的动能TB。（ ） D A. T ? m v 2 ? m v 2 B 1 2 2 2 B. TB ? m v 2 2 C. T ? m (v ? v ) 2 B 1 2 2 m D. TB ? [( v1 ? v 2 cos ? ) 2 ? v 2 2 sin 2 ? ]22B? v2 ? v1?A（3）如图所示，质量可以忽略的弹簧原长为2L，刚度系数为 k，两端固定并处于水平位置，在弹簧中点挂一重物，则重物 下降x路程中弹性力所作的功 。（ ） C A. W ? k {0 2 ? [(L ? x) 2 ? L]2 } 2 1 B. W ? k{02 ? [(L2 ? x 2 ) 2 ? L]2 } C. W ? 2k{02 ? [(L2 ? x ) ? L]2 } D. W ?2 2 2 1 2 21 2 21kL A L BxC2k{0 ? [(L ? x ) ? L] }1 2 21 1 2 2 W ? k (?1 ? ? 2 ) ? k{0 2 ? [2( L2 ? x ) ? 2 L]2 } 2 21 ? k ? 4{02 ? [(L2 ? x 2 ) 2 ? L]2 } 21（4）如图所示，平板A以匀速v沿水平直线向右运动，质量为 m，半径为r的均质圆轮B在平板上以匀角速度ω朝顺时针方向 滚动而不滑动，则轮的动能为（ ） B A. T ? 1 mv 2 ? 1 ? 3 mr 2? 2 2 2 2 B. T ? 1 m(v ? r? ) 2 ? 1 ? 1 mr 2? 2 2 2 2 1 1 1 C.T ? mv 2 ? ? mr 2? 2 D. T ? 1 m( r? ) 2 ? 1 ? 1 mr 2? 2 2 2 222 2rO?? v例9-8 如图所示，均质杆OA，长 2l ,重为P ，绕O 轴在铅 垂面内转动。杆与水平线成? 角时，其角速度和角加速度 分别为? 和 ? ，求该瞬时轴O 的约束反力。 【解】取杆OA为研究对象，受力如（b）图所示。 建立坐标系oxy，杆OA质心加速度为： ? O ? n 2 C a ? l? 方向如图所示。则：n ? acy ? ac sin ? ? ac cos? ? l? 2 sin ? ? l? cos? Macx ? ? Fx y 由质心运动定理计算约束反力acx ? ?a cos? ? ac sin ? ? ?l? cos? ? l? sin ?n cac ? l??lc?2l?oFOy FOxacn l ac?P Pl (?l? 2 cos? ? l? sin ? ) ? Fox Fox ? ? (? 2 cos? ? ? sin ? ) g g P 2 x g (l? sin ? ? l? cos? ) ? Foy ? P ? ? Pl 2 C ? l Foy ? P ? (? sin ? ? ? cos? )gA P Macy ? ? FyPA[例12-1] 均质杆长l ,质量m, 与水平面铰接, 杆从与平面成?0角位置静止 落下。求开始落下时杆AB的角加速度及A点支座反力。 解： （法1）选杆AB为研究对象，虚加惯性力系：注意定轴转动刚体的惯性力虚加于转轴上。2 m l ? ml ? n ? FIR ? man ? 0 , M IA ? J A? ? FIR ? 3 2 根据动静法，有 ? F ? 0 , F ? ? mgcos? ? F ? ? 0 (1) ? A 0 IA?M(F ) ? 0 , mgcos?0 ? l/ 2 ? M IA ? 0 (3) n 由(2)得 : FA ? mgsin ?0 ; 3g 由(3)得 : ? ? cos ? 0 ; 2l mg ? 代入(1)得 : FA ?? cos ? 0 。 4An n F ? 0 , F ? mg sin ? ? F ? n A 0 IA ? 0(2)法2：用动量矩定理+质心运动定理再求解此题： 解：选AB为研究对象， 由动量矩定理，得： l mg cos ?0 l 3g 2 J A? ? mg cos ?0 ? ?? ? ? cos ?0 1 2 2 2l ml 3 3g t ? 0时 , ? ? ?0 , ? ? cos ?0 , 此时? ? 0 2l 由质心运动定理：l 3g ? maC ? FA ? mgcos?0 ? aC ? ?? cos ?0 2 4 n n 0 ? maC ? mgsin ?0 ? FA mg n ? 所以 FA ? mg sin ? 0 , FA ? ? cos ? 0 4? ?这里如图所示，均质杆AB质量为m，长为l，由图示位置（ 度地倒下，求该瞬时A端所受到地面的约束反力。? ）无初速 ? 450BC?C?A?思考题 12-3. 匀质轮重为G，半径为 r ，在水平面上作纯滚动。某瞬时角 速度? ，角加速度为ε，求轮对质心C 的转动惯量，轮的动量、动能，对 质心C和水平面上O点的动量矩，向质心C和水平面上O点简化的惯性力系 主矢与主矩。 G 2 解： p ? G vC ? G r? (?) JC ? rg g 2g2 1G 2 1 1G 1 G 2 2 2 3 Gr 2 2 T? vC ? J C? ? (r? ) ? ( r )? ? ? 2 g 2 2 g 2 2g 4g 2 Gr LC ? J C? ? ? 2g G Gr 2 3Gr 2 LO ? r ? m vC ? J C? ? r ? ? r? ? ?? ? g 2g 2g G G Gr 2 FIC ? aC ? r? , M IC ? J C? ? ? g g 2g G G FIO ? aC ? r? , g g Gr 2 G 3Gr 2 M IO ? J C? ? M O ( FIC ) ? ? ? r ? r? ? ? 2g g 2gO[例12-4] 质量为m1和m2的两均质重物，分别挂在两条绳子上，绳 又分别绕在半径为r1和r2并装在同一轴的两鼓轮上，已知两鼓轮对于转 轴O的转动惯量为J，系统在重力作用下发生运动，求鼓轮的角加速度 （轴O 处摩擦不计，绳与轮无相对滑动）。解： 方法1 用达朗贝尔原理求解 取系统为研究对象，虚加惯性力和惯性力偶：FI1 ? m1a1 , FI 2 ? m2 a2 ,由动静法：M IO ? J O? ? J??MO(F ) ? 0 ,m1 gr 1 ? m2 gr 2 ? FI1r 1 ? FI 2 r2 ? M IO ? 0? m1 gr 1 ? m2 gr 2 ?m 1a1r 1 ? m2 a2 r2 ? J? ? 0列补充方程：代入上式a1 ? r1? , a2 ? r2?m1r1 ? m2 r2 ?? g 2 2 m1r1 ? m2 r2 ? J方法2 用动量矩定理求解 取系统为研究对象LO ? m1v1r1 ? m2 v2 r2 ? J? ? (m1r1 ? m2 r2 ? J )?2 2M O ( F (e) ) ? m1gr 1 ? m2 gr 2根据动量矩定理：d [(m1r12 ? m2 r2 2 ? J )? ] ? m1 gr 1 ? m2 gr 2 dtm1r1 ? m2 r2 所以 ? ? g 2 2 m1r1 ? m2 r2 ? JW12 ? m1 g ? s1 ? m2 g ? s2 ? m1 g ? r1? ? m2 g ? r2? ? (m1r1-m 2 r2 ) g ? ?由 T2 ? T1 ? ?W12，得 ?2 2 2 (m1r1 ? m2 r2 ? J ) ? C ? (m1r1 ? m2 r2 ) g ? ? 2 两边对时间t求导数，得 dω d? 2 2 ω (m1r1 ? m2 r2 ? J) ? (m1r1 ? m2 r2 )g ? dt dt d? m1r1 ? m2 r2 ?? ? g 2 2 dt m1r1 ? m2 r2 ? J方法3 用动能定理求解 取系统为研究对象，任一瞬时系统的 2 1 1 1 ? 2 2 2 2 T2 ? m1v1 ? m2v2 ? J? 2 ? (m1r1 ? m2 r2 ? J ) 2 2 2 2 任意假定一个初始值 T ? C(某确定值 )1[例11-6] 图示系统中，均质圆盘A、B各重P，半径均为R，两盘中心线 为水平线，盘B作纯滚动，盘A上作用矩为M(常量)的一力偶；重物D重 Q。问重物由静止下落距离h时重物的速度与加速度以及AD段、AB段 绳拉力。(绳重不计，绳不可伸长，盘B作纯滚动。) 解：取整个系统为研究对象 （1）整个系统所受力的功：?W12? M? ? Qh (? ? h / R)（2）系统的动能： T1 ? 0 1 1Q 2 1P 2 1 2 2 T2 ? J O? A ? v ?( vC ? J C?B ) 2 2 g 2g 2 1 P 2 2 1Q 2 1 3P 2 2 ? ? R ?A ? v ? ? R ?B 这里 ? A ? v , ? B ? v 2 2g 2 g 2 2g R 2R 2 v ? (8Q ? 7 P) 16g（3）对系统应用动能定理：T2 ? T1 ? ?W12 v2 M (8Q ? 7 P) ? 0 ? ( ? Q)h 16g R上式求导得：( M / R ? Q)hg ? v?4 8Q ? 7 Pdh (v ? ) dt8Q ? 7 P dv M dh ? 2v ? ( ? Q) 16g dt R dt 8( M / R ? Q) g a? 8Q ? 7 PAD段绳拉力 AB段绳拉力? FTABQ Q ? aD ? Q ? FTAD ? FTAD ? ? ? aD ? Q g g a? a P 2 ?A ? A ? R ? ? A ? ( FTAD ? FTAB ) ? R ? M R R 2g M P ? FTAD ? ? R? A R 2g解法二：也可分别取研究对象 D： Q ? a D ? Q ? FTA g A：d P 2 ( R ? ? A ) ? ( FTA ? FTB ) ? R ? M dt 2g B： d P 2 ( R ? ? B ) ? ( FTB ? FSC ? ) ? R dt 2g P d? A a ? aC ? FTB ? FSC? 这里 ? A ? ? g dt Rd?B a ?B ? ? dt 2R a aC ? R? B ? 2动力学普遍定理[例 题 ]在图示机构中，鼓轮B质量为m，内、 外半径分别为r和R，对转轴O的回转 半径为?，其上绕有细绳，一端吊一质量为m的物块A，另一端与质量为M、半径为r的均质圆轮C相连，斜面 倾角为?，绳的倾斜段与斜面平行。试求：（1）鼓轮的角加速度?；（2）斜面的摩擦力及连接C的绳子的张力 （表示为?的函数）。动力学普遍定理[例 题 ]图示滚轮C 由半径为r1的轴和半径为r2的圆盘固结而成， 其重力为FP3，对质心C的回转半径为ρ，轴沿AB作无滑动滚动； 均质滑轮O的重力为FP2，半径为r；物块D的重力FP1。求： （1）物块D的加速度；（2）EF段绳的张力；（3）O1处摩擦 力。动静法应用举例例题 用长 l 的两根绳子 AO 和 BO 把长 l ，质量是 m 的匀 质细杆悬在点 O (图 a )。当杆静止时，突然剪断绳子 BO ，试求 刚剪断瞬时另一绳子 AO 的拉力。OlA l C （a）l B例题动静法应用举例解：绳子BO剪断后，杆AB将开始在铅直面内作平面运OlF动。由于受到绳OA的约束，点A将在铅直平面内作圆周运动。在绳子 BO刚剪断的瞬时，杆AB上的实际力只有 绳子AO的拉力F和杆的重力mg。 在引入杆的惯性力之前，须对杆作加速度分析。取 坐标系Axyz 如图(c)所示。 利用刚体作平面运动t aAlθACBmg （b）Ot a AC的加速度合成定理，以质心C作基点，则点A的加速度为aA = anA + atA= aCx + aCy + atAC + anACθA yaCyaCxB αaCxCaCyx（ c）§5-3 动静法应用举例在绳BO刚剪断的瞬时，杆的角速度ω = 0 ，角加速 度α ≠0。因此 anAC = AC ? ω2 = 0 atACOlFlθ= lα／2A又 anA= 0，加速度各分量的方向如图(c)所示。把 aA 投 影到点A轨迹的法线 AO上，就得到t 0 ? aCx cos ? ? aCy sin ? ? aAC sin ?CBmg （b）O（1）t aA即l aCx cos ? - aCy sin ? ? ? sin ? ? 0 2t a ACθ这个关系就是该瞬时杆的运动要素所满足的条件。A yaCyaCxB αxaCxCaCy（ c）§5-3 动静法应用举例杆的惯性力合成为一个作用在质心的力 F*C 和一 个力偶M*C ，两者都在运动平面内， F*C的两个分量 大小分别是 AFθOl lF*Cx =maCx,F*Cy =maCyOt aACBmg （b）力偶矩 M*C 的大小是M*C = JCz?α旋向与α相反( 如图b)。t a ACθA yaCyaCxB αaCxCaCyx（ c）§5-3 动静法应用举例由动静法写出杆的动态平衡方程，有?例题 5-6O（2） F? Fx ? 0, ? Fy ? 0, ? M C ( F ) ? 0,? m aCx ? F cos ? ? 0? m aCy ? m g ? F sin ? ? 0 （3） l （4） ? J Cz?? ? F sin ? ? 0 2llθACBmg （b）且对于细杆 , JCz? = ml 2／12 。 联立求解方程(1)～(4)，就可求出t a ACOt aAm g sin ? 2 3 F? ? mg 2 2 4 sin ? ? cos ? 13θA yaCyaCxB αxaCxCaCy（ c）例12-7均质棒AB得质量为m=4kg，其两端悬挂在两条平行绳 上，棒处在水平位置，如图（a）所示。其中一绳BD 突然断了，求此瞬时AC绳得张力F。DCFaA?FI RyaA?CM IC?FI RxABmg(a)t aCA (b)【解】 当BD绳断了以后，棒开始作平面运动，则惯性力系的简化 中心在质心C上。因瞬时系统的速度特征量均为零，则点 ? 加速度为 。以A为基点，有 aA? ? ?n ?n ?? ?? aC ? a A ? aCA ? aCA ? a A ? aCA? 其中 a CA ?虚加惯性力系，如图（b）所示，有l ? ,l为棒长。 2? ? ?n ?n ?? ?? aC ? a A ? aCA ? aCA ? a A ? aCAM I C ? J C?，FI Rx ? ma A，FI Ry?? l ml l 则 m ( F ) ? 0 ， mg ? ? ? ? J C? ? 0 ? A 2 2 2 3g 1 2 ?? 因 J C ? ml ，得 12 2l ml 又 ? Fy ? 0，F ? 2 ? ? mg ? 0ml ? ? 2得1 F ? mg ? 9.8 N 4例：已知： m,? , AO ， 求水平绳切断后的瞬时， 1 //BO 2, O 1O2 // AB 板质心加速度和两个绳索的拉力。解：受力分析与运动分析?o1FAyo2FBBFI ? m ac建立“平衡方程”，并求解o3AaAFI C?Fxx? 0 mgsin ? ? FI ? 0?0L L L ? FI cos ? ? FI sin ? ? 0 2 2 2aC ? g sin ?aCmg?MAFB L cos ? ? mgFB ?mg (sin ? ? cos ? ) 2 mg (cos ? ? sin ? ) 2?Fy? 0 FB ? FA ? mgcos? ? 0FA ?
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