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shear rate（剪切速率）和 rpm
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最近有碰到一个问题，我非常的不了解，请教各位：
1 shear rate（剪切速率）的单位是S-1， 我不知道如何读？是测量什么指标的单位，是表征剪切快慢的参数吗？
2 它和rpm（转速）有关联吗？如果有的话，那么进行换算的公式是什么？:)
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这是什么上的指标？楼主说清楚一点哦！
我是一匹来自北方的马~~~~~
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shear rate多数跟viscosity（黏度）有关。每一次撕开需要的速度，跟秒有关，所以是S-1。像是做淀粉（starch)，mayonnaise的等会用到。
shear rate多少和rotation per minute(rpm) 有关，因为你会设定一定的rpm来测试而得到shear rate以判断样本的黏度。
而进行公式转换，这我不太清楚。
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wangke1978 版主, 正因为我不了解，所以没法再提供什么，以上是我所有了解的，
(到猪猪面馆吃霸王餐)
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有三种粘度计用于测量聚合物流体的剪切粘度，即落球粘度计，毛细管粘度计和转动粘度计。不同粘度计具有不同的施加剪切力的原理，因此具有不同的粘度（η）、剪切应力（στ）、剪切速率（γ）的计算方法。其中落球式粘度计，用来测低剪切速率下的剪切粘度值；
流变学是研究物体流动和变形的一门科学。
流体的粘度定义是：流体在剪切应力τ作用下流体产生剪切速率dv/dx，并相互成正比，比例系数即为粘度η。即：η=τ/D
式中：剪切速率——D=dv/dx
& && &剪切应力——τ
凡符合这个规律的物质称为理想流体或牛顿型流体。若用剪切应力τ与剪切速率D作图，可以得到流变曲线如图2-1（A）所示。
当在物体上加以剪切应力，则物体即开始流动，剪切速度与剪切应力成正比。当应力消除后，变形不再复原。属于这类流动的物质有水、甘油、低分子量化合物溶液。
在许多工业中应用的液体并不具有牛顿流体的行为，它们常常显示出比较复杂的流动性质。亦即剪切应力对剪切速度作图为曲线，曲线可以凸向或凹向剪应力轴，在这些系统中剪切力与剪切速度不成正比。为了与牛顿流动有所区别，常常称之为不正常流动或非牛顿流动。这类流动可以有如图2-1（B）所示的几种。
& & 宾汉流动：
& & 这类流体流动特点是应力必须大于流动极限值f后才开始流动，一旦流动后，又与牛顿型相同。表现出流动曲线形式如图2-1（A）。这种流动可写成：
& && && && && && && && &&&F-f＝ηdv/dx
f为屈服值，若 D=dv/dx，上式写成 F/D＝η+f/D
& && && && && && && && && & ηa=η+f/D
& & 当D→∞，f/D→0，此时ηa=η，ηa称为宾汉流动粘度。通常又称为表现粘度，η为牛顿粘度。
& & 新拌混凝土接近于宾汉流动，这类流动是塑性变形的简例。
& & 塑性流动：
& & 这类流动的特点是施加的剪应力必须超过某一最低值——屈服值以后才开始流动，随剪切应力的增加，物料由紊流变为层流，直至剪应力达到一定值，物料也发生牛顿流动。流动曲线如图2-1（B），属于这类流动的物体有：泥浆、油漆。油墨，硅酸盐材料在高温烧结时，晶粒界面间的滑移也属于这类流动。粘土泥浆的流动只有较小的屈服值，而可塑泥团屈服值较大，它是粘土坯体保持形状的重要因素。
& & 假塑性流动：
这一类型的流动曲线类似于塑性流动，但它没有屈服值。也即曲线通过原点并凸向应力轴如图2-1（B）。它的流动特点是表观粘度随切变速率增加而降低。属于这一类流动的主要有高聚合物的溶液、乳浊液、淀粉、甲基纤维素等。
膨胀流动：
& &&&这一类型的流动曲线是假塑性的相反过程。流动曲线通过原点并凹向剪应力轴如图2-1（B）。这些高浓度的细粒悬浮液在搅动时好象变得比较粘稠，而停止搅动后又恢复原来的流动状态，它的特点是粘度随切变速率增加而增加。属于这一类流动的一般是非塑性原料如氧化铝、石英粉的浆料等。
本实验利用旋转粘度计测定流体的流变曲线。 测定理想流体或牛顿型流体，用水、甘油等低分子量化合物溶液。 测定塑性流动采用陶瓷泥浆。测定假塑性流动采用高聚合物的溶液、乳浊液、淀粉、甲基纤维素等。测定膨胀流动采用非塑性原料如氧化铝、石英粉。
三、实验仪器以及用具
1、旋转粘度计
2、电动搅拌机
3、塑料烧杯500毫升5只
4、量筒2只
5、甘油、陶瓷泥浆（含水50%）、糊精或甲基纤维素、氧化铝。
四、实验方法
1、试样准备
水、甘油可以放入塑料烧杯直接测定。
陶瓷泥浆需现配：陶瓷坯料干粉：100g，电解质Na2CO3：0.5g，水（35%）： 54ml。
糊精或甲基纤维素:2～10g,加水：50ml。
氧化铝粉悬浮液：氧化铝粉：20～50g，加水：50ml。
1、实验步骤
将配好的试样放入塑料烧杯中，电动搅拌机充分搅拌均匀（5～15分钟），分别倒入旋转粘度计附带的试样杯中（A杯）15～20ml，物料装至转子全部被浸没，转子上有少量物料为佳。将试样杯上螺套旋紧，再将控制面板上的悬钮红点打到工作点。
& && &旋转粘度计内部设计的剪切应力τ=Zα
式中：α——读数刻度；
& && &Z——转筒常数（查表）
& && &D——剪切速率（查表）
作τ——D图即得到各种流体的流变曲线。
五、实验结果分析
1.& && & 根据测定的结果作图；
2.& && & 分析流体的流变特性；
3.& && & 分析实验误差对结果的影响；
4.& && & 实验讨论以及本实验后的体会。
--为防止被人骂，特别声明以上解释只是本人自己的理解，仅供参考，不代表官方
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关于印刷油墨和连结料的粘度使用落棒
粘度仪的标准检验方法
(译自ASTMD4040-91) 轻工业部沈阳轻工机械研究所王斌译 上海油墨厂冼海生校
1.1　本检验方法包括了测定印刷油墨、连结料和类似流体的落棒粘度值的步骤。这些流体在普通室内条件下本质上都是不挥发和不起反应的。
1.2　本检验方法适用于剪切速率为2500秒-1时表观粘度从10泊到300泊的印刷油墨一类的典型非牛顿流体，对牛顿流体适用范围是粘度约为10泊到100泊。(1泊=0.1帕.秒)
1.3　本标准可能涉及危险物料、操作和工具，本标准不打算针对与其应用相关的所有安全问题作说明。本标准使用者的责任是制订适当的安全与卫生操作规程并在应用前确定规程范围的适用性。
2.　参考文件
2.1　ASTM标准: D445 透明和不透明流体运动粘度的检验方法(和动力粘度计算)
3.1.1　　粘度，V——剪切应力与剪切速率的比值。流体的粘度是运动流体内部摩擦的测量。CGS制粘度单位为1g/cm.s（1 dyne.s/cm2 )，也称作泊(P)；SI制1 N.S/ cm2 也等于10泊。
3.1.2　　剪切应力，S——单位面积上的剪切力，其单位是1g/cm.s2 (1dyne / cm2 )在落棒粘度仪中剪切应力和单位剪切面积A上的总重量W与重力常数g的乘积成正比例，写成公式为：
3.1.3　　剪切速率，D——作用在流体上应力的速度变化率,单位是1/秒或秒-1，在落棒粘度仪中剪切速率和下落单位距离L上的时间F与被剪切流体的厚度X成反比例,写成公式是:
3.1.4　　牛顿流体——在任何剪切速率下粘度都不变的流体。
3.1.5　　非牛顿流体粘度随剪切速率变化的流体。这种流体既可能剪切后变薄(假塑性流体)，也可能剪切后变厚 (胀流型流体)。大多数印刷油墨是剪切变薄的。
3.1.6　　表观粘度VD——非牛顿流体在某一特定剪切速率D时的粘度。已知剪切速率为2500秒-1适用于印刷油墨并在本检验方法中作了规定 。
3.1.7　　屈服应力，SO——使非牛顿流体开始运动所需要的最小剪切应力。
3.2　本标准特定术语的描述
3.2.1　　乘方定律——为一假设流体粘度随剪切速率变化的数学模型，它以下列乘方函数式表示：
式中：K=相对于流体粘度的常量。
　　　N=反映剪切应力随剪切速率变化的速率常量。
　　对牛顿流体，N的值恰好是1，小于1的是剪切变薄流体，大于1的是剪切变厚流体,
3.2.2　　乘方定律曲线——剪切应力与剪切速率关系的对数曲线是以乘方定律公式的展开为基础的：
lnS = lnK + Nln D
　　对于符合乘方定律的流体，其S与D的对数关系曲线在剪切速率有意义范围内具有线性关系。这条直线的斜率是乘方定律常数N。
3.2.3　短度( Shortness) ——为阻碍非牛顿流体拉成细丝的性质。
3.3　　符号(用于乘方定律计算)
　　　B = 直线截距
　　　F = 下落时间，秒
　　　Fc = 校正下落时间，秒
　　　　F2500 = 等效于剪切速率为2500秒-1的下落时间，秒
　　　　K2500 = 在2500秒-1时的表观粘度常数,厘米-1秒-1。
　　　　N = 乘方定律曲线的斜率，为非牛顿性的一种测量，厘米2/达因.秒
　　　　SF = 短度因子，秒-1
　　　　SO’= 假屈服值，达因/厘米2
　　　　T = 样品测试温度，℃
　　　　TR = 基准温度，℃
　　　　V2.5 = 在2.5秒-1时的表观粘度，泊
　　　　W = 总重量，克
　　　　WA = 所加砝码重量，克
　　　　WR = 落棒重量，克
　　　　W2500 = 为获得2500秒-1的剪切速率所需重量，克
4.　检验方法概述
4.1　本检验方法的基础是测量加载落棒通过一涂有测试样品的孔隙所需下落时间。
4.2　下落时间要按基准温度25℃(或其它议定温度)进行校正。本检验方法规定实际样品温度的精确测量是为了检出由于金属冷却、剪切摩擦热和操作者的身体热而引起的波动。
4.3　每个具体温度都必须进行校正，以确定等于2500秒-1剪切速率时所需的下落时间。
4.4　下落时间作为重量的函数被外推至2500秒-1是借助于乘方定律(对数)中剪切应力与剪切速率的关系的。在2500秒-1的表观粘度和非牛顿性程度是由计算或作图法确定的。一些低剪切参数计算也包括在内。
5　 重要性和应用
5.1　　在2500秒-1这样相对高剪切速率下的表观粘度不能完全表达清楚印刷油墨的流变性质，但是它适用于生产期间油墨粘度的实际控制并作为卖方与买方之间验收的技术要求。
5.2　　乘方定律曲线的斜率更适合于非牛顿性的测量。屈服值是由高剪切测量外推至剪切速率达到零时得到的，与真实屈服应力定义不一致(见3.1.7)。屈服值和其它低剪切参数也是受高度易变性支配的(见16节精度表)。
6　仪器及工具
6.1　下落时间操作
6.1.1　落棒粘度仪，装备有旋转平台和自动计时器，精度至少0.1秒，最好是0.01秒，特殊的轻量落棒是用于10泊范围的流体的。
6.1.2　一套有狭边或有槽的砝码组——50或100至500克重的砝码通常是由仪器提供的。额外的500克重砝码大约有四个，总计约重2000克，是用于测量实际量程上限的流体的。25克砝码适用于10泊范围内的流体。
6.1.3　恒温控制箱，可任选(如果室内温度不合适)。另一种方法是通过一个特殊水浴使水能从恒温槽中回流。
6.1.4　热敏元件，装配有一个3到6秒响应时间的探头。
6.1.5　圆台和夹子，或其它可把热敏探头放在适当位置的装置。
6.1.6　小塑料调墨刀——金属调墨刀不适用。
6.1.7　塑料刮刀，由一片柔性的塑料构成，大约为30×70mm大小，在一端有一个挖去的半圆，半圆应与落棒吻合。
6.2　仪器校准
6.2.1天平，称量至0.1克。
6.2.2米尺或比例尺，长度至少100mm。
6.2.3游标卡尺，精度0.01mm，量程至少30mm。
6.3　图解法
6.3.1对数图纸，2×2到2×3周期。
6.3.2三角板，45度 ，斜边长度至少为100mm(约8英寸).
6.3.3量角器
7.1　ASTM标准粘度油，至少二种，最好三种，复盖落棒粘度仪的实际量程 (只用于校准目的)。
7.2　平版墨用调墨油或类似连结料，具有大约200泊粘度。
7.3　无金属和不起毛刺的擦布或棉纸。
7.4　粗汽油或其它低沸点溶剂，装在干净的瓶内或密闭的金属容器中。
安全措施——因为溶剂很可能危害皮肤和眼睛，除其它一些措施外，为避免溶剂与手和眼睛接触，要戴上橡皮手套和防护眼睛。万一接触到时，应马上用水洗手、用水冲洗眼睛15分钟并立即去医院。详见每种溶剂说明书上的物料安全资料单。
仪器注意事项
避免任何可能刮伤落棒的操作，不准使用金属刮墨刀。不准在无墨情况下使用落棒。
添加的砝码超过3000克时可能引起落棒弯曲。
操作时为尽量降低人体温度造成的升温，应避免裸手接触粘度仪的环状套管。在需调整环状套管稳度时要戴手套或在手里放一小块棉布。
在进行下落时间测量时，操作应迅速且不能中断，使全部操作能在5到10分钟内完成。
注1——很多现代印刷油墨和连结料都含有一些溶剂，除非严格控制实际暴露时间，否则操作时的挥发损失可能严重使检验结果偏离。如果连续数次投下相同重量的落棒发生下落时间变长，挥发性损失就被检出。
9　　仪器准备
9.1　将粘度仪放在一个牢固的无直接气流、直射阳光和其它热源的平台上，转动调整地脚向上或向下直到水面仪的汽泡位于中心为止。
9.2　用手遮住上面和下面的光电管以确定计时器的启动和关闭。
9.3　把夹子连到圆台上靠近或放在粘度仪后面，把热敏元件探头挂在夹子上，调整夹子使探头一端靠近粘度仪环状套管。
9.4　用沾湿粗汽油的棉纸清洁环状套管和落棒，然后用干燥棉纸除去剩余溶剂。在一平面上滚动干棒来检验其平直度，如果棒弯曲则废弃并使用一对新的棒/孔装置。
9.5　检查落棒每端的标志，选择一端做为起始端的标志以当作插入孔内的首端。
以上是我查到的一些资料，应该可以说明一些问题
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8-非牛顿流体流动-72
第八章非牛顿流体流动§1 非牛顿流体的流变特性 §2 拟塑性流体在圆管中的层流运动 §3 宾汉流体在圆管中的层流运动 §4 粘弹性流体在圆管中的不稳定层流运动 §5 拟塑性流体在环空中的层流运动 §6 非牛顿流体在圆管中的湍流运动《高等流体力学》汪志明教授1/72§1 非牛顿流体的流变特性任何流动问题的数学描述都建立在力学的一般性原理基础上。这些 原理都可以用平衡方程来描述。流体对机械作用的响应不仅依据于这些 守恒律，而且取决于该种流体的特性，这种响应称之为物质的应力应变 关系（或以流变曲线的形式给出），而这种应力应变关系称之为流体的 本构方程或流变模式。尽管物质系统都遵守质量守恒方程、动量守恒方 程和能量守恒方程，但现实的问题是守恒方程的数目常少于未知数数目。严格意义上，一种特定的本构方程只适用于一种假设的模型化的流 体。因此本构关系的建立相当于定义一种假设的流体模型，即用一种近 似的方法描述某一特定流体的流变行为。T = ? pI + ? (υ o ? + ? o υ ) r r《高等流体力学》 汪志明教授2/72§1 非牛顿流体的流变特性图9.1 流体的流变曲线对比《高等流体力学》汪志明教授3/72§1 非牛顿流体的流变特性无时间依存性 的非牛顿流体1.纯粘性非牛顿流体 在双对数坐标系中，拟塑性非牛顿流体的流动曲线斜率小于1， 表观粘度随剪切速率增加而减小；胀塑性非牛顿流体的流动曲线斜 率大于1，表观粘度随剪切速率增加而增大。 没有一种具有简单形 式的本构方程足以描述不同的拟塑性非牛顿流体。在石油工程中被 广泛应用的在双对数坐标系中流动曲线为一直线的幂律方程仅适用 于有限的剪切速率范围，其经验表达式为:dυ τ =K drn稠度系数、流动指数两个系数均与温度有关。《高等流体力学》 汪志明教授4/72§1 非牛顿流体的流变特性无时间依存性 的非牛顿流体图9.2 原油的稠度系数和流动指数随温度的变化规律《高等流体力学》汪志明教授5/72§1 非牛顿流体的流变特性例题〖例 9-1〗有一属于假塑性流体的 CMC 钻井液，用旋转粘度计测得的流 例 dυ 变性实验数据如下：当剪切速率 = 250 s ?1 时， = 2.74Pa ； = 1.25Pa ， τ τdυ = 100 s ?1 。试确定该流体的流变参数。 drdr〖解〗 假塑性流体的流变方程可写为 解? dυ ? τ =K? ? ? dr ?n两边取自然对数 可得ln τn = 0.8564 = ln K + n ln( dυ ) dr ? ? dυ ?K = 0.02421带入 已知 数据0.8564 υ ? ? dυ ? 2 ? ln τ 1 ? ln τ 2 = n ? ln ? ? d? 1 ? ln ? ? ? τ = 0.02421? ? ? ? dr ? ? ? ? dr? dr ?《高等流体力学》汪志明教授6/72§1 非牛顿流体的流变特性在柱坐标系中，幂律流体本构 dυ τ rz = K 关系的一种更为精确的表达式为： dr 显然其表观粘度： ? a = K dυ drn ?1无时间依存性 的非牛顿流体dυ drn ?1&0在被验证的范围内，幂律关系式和实验数据吻合的很好，但在剪切 速率非常低和非常高时，关系式的精度下降。拟塑性非牛顿流体的流动 指数总是小于1，大多数原油、细黏土悬浮液、部分钻井液和清洗液均 呈现拟塑性非牛顿流体流动特性。《高等流体力学》汪志明教授7/72§1 非牛顿流体的流变特性无时间依存性 的非牛顿流体幂律关系式同样也可以用于描述胀塑性非牛顿流体，只要选择不同的稠 度系数和流动指数。胀塑性非牛顿流体的流动指数总是大于1。不规则形状 固体颗粒悬浮于液体的稠流体就属于这种流体，其胀塑性随浓度迅速变化， 浓度低时可能呈现拟塑性流动特性，浓度高时其可能呈现胀塑性非牛顿流体 流动特性。 2.粘塑性非牛顿流体 宾汉塑性流体是指在剪切速率超过一有限值后才流动，并且随后其应 力应变关系呈现线性关系的一类非牛顿流体。石蜡、沥青、某些钻井液、 漂浮在空中的灰尘悬浮液和下水道中排放的污液都属于宾汉流体。宾汉流 体的本构方程为:τ =τy + ?dυ dr汪志明教授8/72《高等流体力学》§1 非牛顿流体的流变特性无时间依存性 的非牛顿流体图9.3 不同浓度条件下宾汉型钻井液的流动曲线《高等流体力学》 汪志明教授9/72§1 非牛顿流体的流变特性无时间依存性 的非牛顿流体另有三个模型综合了宾汉模型和幂律模型，反映了低剪切速 率下流体介于宾汉模型和幂律模型之间的特性：卡森模型，赫谢 尔－巴克利（Herschel-Bulkley）模型和罗伯逊－史蒂夫 （Robertson-Stiff）模型。卡森模型是两参数模型，在油漆、涂料、塑料等领域有所应 用，在钻井液中应用较少，其本构方程为：2? 0.5 ? dυ ? τ = ?τ y + ? ? ? dr ? ? ? ?0.5? ? ? ?《高等流体力学》汪志明教授10/72§1 非牛顿流体的流变特性无时间依存性 的非牛顿流体在石油工程领域，大部分钻井液和某些原油为带屈服值的拟 塑性非牛顿流体，即赫谢尔－巴克利（Herschel-Bulkley）流体， 其特点是与宾汉流体一样具有屈服值，但当应力超过屈服值时其 应力应变关系是非线性的。带屈服值的拟塑性非牛顿流体的本构 方程为:dυ τ =τ y + K drn ?1dυ dr《高等流体力学》汪志明教授11/72§1 非牛顿流体的流变特性无时间依存性 的非牛顿流体罗伯逊－史蒂夫（Robertson-Stiff）模型和赫谢尔－巴克利 （Herschel-Bulkley） 模型同属三参数模型。罗伯逊－史蒂夫 （Robertson-Stiff）模型将剪切力作为一个参数，其本构方程为：? dυ ? τ =K? +C? ? dr ?n不论是牛顿流体、拟塑性非牛顿流体，还是胀塑性非牛顿流体，它 们对剪切应力的响应都是瞬时的，流变行为受系统结构影响，平衡结构 依赖于剪切速率。剪切速率改变，平衡结构无滞后地随之变化，因此称 这种结构的变化为瞬时的、可逆的变化。《高等流体力学》汪志明教授12/72§1 非牛顿流体的流变特性有时间依存性 的非牛顿流体1.触变性非牛顿流体 另一类广泛存在的依时性非牛顿流体的流变特性对剪切速率变化 的响应是滞后的，由于流体结构的变化极其缓慢，因此其变化过程不 可逆。某些钻井液和原油就属于这类依时性非牛顿流体。 如果在剪切速率恒定条件下，剪切应力随剪切过程的进行而衰减， 那么我们称这种流体为触变性非牛顿流体。 稳定的剪切应力值与剪切速率的关系为：? dυ ? τ s = Ks ? ? ? dr ?m式中 m & 1 ，该关系式说明一种与时间无关的极限结构状态是稳定 的，它可以用于描述在管线中输送几公里后的原油的流变特性。《高等流体力学》汪志明教授13/72§1 非牛顿流体的流变特性有时间依存性 的非牛顿流体图9.5 在剪切速率恒定条件下，剪切应力随剪切过程的衰减规律在剪切速率恒定条件下，剪切应力随剪切过程的进行而衰减的规律。 随剪切过程进行，剪切应力渐趋于某一稳定值，而其所需的时间随剪切速 率增大而增大。《高等流体力学》汪志明教授14/72§1 非牛顿流体的流变特性有时间依存性 的非牛顿流体原油的触变性对相对较短的输送管线，尤其是油田的地面集输管线 是很重要的。在众多描述触变性非牛顿流体的本构关系中，幂律型本构 方程是最简单的一种。基于大量的宽范围实验数据，波波克（Bobok） 纳瓦弟尔（Navratil）（1982）提出了一种相对简单的流变方程描述触 变性原油，他将原油视为流变特性变化的拟塑性流体，剪切应力随剪切 速率和一个无因次结构参数而变化，即：? dυ ? τ = f ? ,δ ? ? dr ?《高等流体力学》汪志明教授15/72§1 非牛顿流体的流变特性有时间依存性 的非牛顿流体假设触变性流体的结构 完全由依赖于剪切速率和 剪切过程的结构参数确定， 则方程的物理意义可以从 由剪切速率、结构参数和 剪切应力三参数正交坐标 系中的剪切状态曲面看出。 任何剪切条件的变化都遵 循剪切状态曲面上的一条 曲线。图9.6 触变性流体的剪切状态 《高等流体力学》 汪志明教授16/72§1 非牛顿流体的流变特性有时间依存性 的非牛顿流体等剪切速率过程是不可逆的，它只能沿等剪切速率曲线朝结构参 数减小的方向（即触变结构破坏的方向）进行，因为结构破坏的速度 远快于结构重建的速度，因此我们可以认为等剪切速率过程是不可逆 过程。等剪切速率过程的另一个重要特征是它具有一条描述极限剪切应 力值的稳定流动曲线。当剪切速率恒定时，剪切应力和结构参数都随 剪切过程的持续而降低，直至达到稳定的剪切应力值和结构参数值， 即等剪切速率曲线不能穿过稳定流动曲线。《高等流体力学》汪志明教授17/72§1 非牛顿流体的流变特性实验结果表明稠 度系数随结构参数而 变，但流动指数不变。 稳定流动曲面被等剪 切速率曲线和等结构 参数曲线从不同方向 穿过，穿越点C的剪 切速率值是评价等结 构参数时任意一条流 动曲线的稠度系数的 重要参量。有时间依存性 的非牛顿流体图9.7 触变性流体的流动曲线《高等流体力学》汪志明教授18/72§1 非牛顿流体的流变特性m?n n 沿等结构参数曲线，稠度系数 dυ ? ? dυ ? ? τ = Ks ? ? ? ? 和流动指数为常数，即当结构参数 ? dr ? c ? dr ? 不变时，触变性流体实际上呈现拟 塑性流体的流变特征，即：有时间依存性 的非牛顿流体n? dυ ? τ = K? ? ? dr ?mdυ ? dυ ? 等结构参数时任意一条流动曲 当 & ? ? 时， dr ? dr ? c 线与稳定流动曲线相交于C点，显 某一给定的剪切速率值处剪切应 然有下式成立：τ sc带入 n ? dυ ? ? dυ ? = Ks ? ? = K? ? = τ c ? dr ? c ? dr ? c? dυ ? K = Ks ? ? ? dr ? cm? m? n力可能小于稳定的剪切应力值。dυ ? dυ ? 0≤ ≤? ? 当 dr ? dr ? c 时，则流变过程是可逆的，即不论何 时改变剪切速率，测量得到的剪切应 力都将落在曲线上。《高等流体力学》汪志明教授19/72§1 非牛顿流体的流变特性当剪切速率增至某一更高值P 点时，该P点瞬时获得的剪切应力 值将落在同样一条流变曲线上， 因为触变性结构没有变化。但从 即刻起，触变结构开始改变，剪 切状态将沿等剪切速率曲线达到 稳定流动曲线C点，相应的结构破 坏过程中剪切应力为：有时间依存性 的非牛顿流体? ? ? dυ ? n ? m ? ? ?? ? ? ?? α dυ + β ?? ? m? dυ ? ? ? ? dr ? ? ? e ? dr ? ? ? τ = K s ? ? ?1 + ?1 ? ? n?m ? dr ? ? ? ? dυ ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? dr ? c ?当管径增大或流量减小导致剪切速率减小时，剪 切应力是稳定的，但小于稳定剪切应力值。当管径减 小或流量增大导致剪切速率增大时，剪切应力为结构 破坏起始时的应力值其大小由（9.15）式确定。《高等流体力学》汪志明教授20/72§1 非牛顿流体的流变特性有时间依存性 的非牛顿流体2.振凝性非牛顿流体 假如流体在等剪切速率条件下剪切应力随剪切时间而 增大，那么我们称之为振凝性流体。最常见的实例就是鸡 蛋白。尽管振凝性流体作为压裂液是有用的，但与触变性 流体相比，振凝性流体不太常见。《高等流体力学》汪志明教授21/72§1 非牛顿流体的流变特性1. 爬杆现象粘弹性流体是指剪 切应力同时依赖于剪切 速率和变形程度的非牛 顿流体。既具有与时间 有关的非牛顿流体的全 部流变性质又具有部分 弹性恢复效应的物料的 性质。从某种意义上讲， 所有液体都具有粘弹性， 尤其在很高的剪切速率 下流动的情况。粘弹性非 牛顿流体图9.8 威森贝格（Weissenberg）效应试验《高等流体力学》汪志明教授22/72§1 非牛顿流体的流变特性2. 挤出胀大现象粘弹性非 牛顿流体图9.9 挤出膨胀对比图 《高等流体力学》 汪志明教授23/72§1 非牛顿流体的流变特性3. 同心套管轴向流动现象粘弹性非 牛顿流体图9.10 同心套管流动试验图 《高等流体力学》 汪志明教授24/72§1 非牛顿流体的流变特性4. 回弹现象被拉长的弹簧突然松 开时会立即缩回原来的 长度，即回弹现象。牛 顿流体只有粘性而无回 弹现象。粘弹性流体有 弹性和衰退记忆两种效 应。具备弹性使它区别 于牛顿流体，有衰退记 忆使它区别于弹性固体。粘弹性非 牛顿流体5. 无管虹吸现象图9.11 虹吸现象对比图《高等流体力学》汪志明教授25/72§1 非牛顿流体的流变特性6. 次级流现象粘弹性非 牛顿流体盛有牛顿流体（如图9.12）和粘弹性流体（如图9.13）的烧杯中，旋 转紧贴在液面上的圆盘，产生的主流方向沿周向，且近圆盘处液层周向速 度最大，越接近杯底液层流速越低，杯底处液层流速为零。圆盘旋转引起 的二次流方向如图所示，两烧杯中二次流方向相反。牛顿流体的次级流方 向可用离心效应解释，而粘弹性流体的二次流方向尚未得以解释。其它运 动状态下，粘弹性物料也会产生不同于牛顿流体的次级流现象。图9.12 牛顿流体次级流 《高等流体力学》图9.13 粘弹性流体次级流 汪志明教授26/72§1 非牛顿流体的流变特性马克斯韦尔（Maxwell）提出 了一种描述粘弹性流体的最简单 的本构方程。他认为这种粘弹性 流体的剪切速率等于粘性剪切速 率和弹性剪切速率之和：粘弹性非 牛顿流体1 dτ ? dυ ? ? ? = ? dr ? e E dtτ ? dυ ? = ? ? ? dr ?υ ?dυ ? dυ ? ? dυ ? τ 1 dτ =? ? +? ? = + dr ? dr ?υ ? dr ? e ? E dtτ+当速度梯度由起始常数值 突然降至零时，上述方程则 为：? dτE dt?=0t = 0,τ = τ 0Etτ = τ 0e《高等流体力学》?汪志明教授27/72§1 非牛顿流体的流变特性粘弹性非 牛顿流体图9.14 粘弹性松弛图《高等流体力学》 汪志明教授28/72§1 非牛顿流体的流变特性1963年怀特（White）和曼 兹纳（Metzner）提出了或许是 最切合实际的描述粘弹性流体的 本构方程，其张量形式为：粘弹性非 牛顿流体? δV V = ?2 ? a S + E δtτ rz = ? a对一维稳定层流运动而言， 怀特－曼兹纳（White-Metzner） 2 ? ? τ rz dυ σ zz ? σ rr = 2 τ rz =2 本构方程即为： E dr E ?adυ drσ rr ? σ ?? = 0《高等流体力学》汪志明教授29/72§1 非牛顿流体的流变特性流变仪测量结果和 射流膨胀现象证明了怀 特－曼兹纳（WhiteMetzner）本构方程是 正确的。图9.15给出了 法向应力差和剪切应力 随剪切速率变化的规律。 有意义的是在低剪切速 率时法向应力差和剪切 应力相当，而在高剪切 速率时，法向应力差高 出剪切应力一个数量级。粘弹性非 牛顿流体图9.15 法向应力差与剪切应力关系图 《高等流体力学》 汪志明教授30/72第八章非牛顿流体流动§1 非牛顿流体的流变特性 §2 拟塑性流体在圆管中的层流运动 §3 宾汉流体在圆管中的层流运动 §4 粘弹性流体在圆管中的不稳定层流运动 §5 拟塑性流体在环空中的层流运动 §6 非牛顿流体在圆管中的湍流运动《高等流体力学》汪志明教授31/72§2 拟塑性流体在圆管中的层流运动考察一个如图所示的具有等截面积的倾斜直圆管。不可压缩的拟塑 性流体在其中做一维的稳定层流运动 。图9.16 拟塑性流体倾斜圆管流动在柱坐标下的微元体图《高等流体力学》汪志明教授32/72§2 拟塑性流体在圆管中的层流运动1 dt r ? r r r r ? ? ∫∫∫ ρ V dv ? + ∫∫ V ρ Vr ? n dA = ∑ F ? ? ? cv ? cs()由动量方程：πr 2 ( p1 ? p2 ) ?τ rz 2πrl +πr 2lρg再由拟塑性流体的本构方 程知： 并考虑到管道中沿径向速 度是递减的，因此切应力方 向与流动方向相反，因此有：dυ τ rz = K drn ?1h1 ? h2 =0 ldυ drτ rzdυ =K drn进一步整理动量方程可得：ρgJr2dυ ?K drn=0《高等流体力学》汪志明教授33/72§2 拟塑性流体在圆管中的层流运动p 1 ? p 2 h1 ? h 2 + ρ gl l1 n式中水力坡降为：J =积分上式可得管道中拟塑性流 体的速度分布为：n +1 ? ? n ? ρ gJR ? ? ? r ? n ? υ= ? ? ?1 ? ? ? ? R n + 1 ? 2K ? ?R? ? ?由壁面粘附条件（即壁面速 度为零）可得积分常数为：n ? ρgJ ? C= ? ? R n + 1 ? 2K ?1 nn +1 n《高等流体力学》汪志明教授34/72§2 拟塑性流体在圆管中的层流运动Q = ∫ 2π rυ dr =0 R流量：n ? ρ gJR ? 3 ? ? πR 3n + 1 ? 2 K ?1 n1 n平均流速：υ =Q n ? ρgJR ? = ? ? R πR 2 3n + 1 ? 2 K ?最大流速：υmax =n ? ρ gJR ? 3n + 1 R= υ ? ? n + 1 ? 2K ? n +11 n壁面切应力：τ0 = ?ρ gJR2若取平均速度为参考 速度，则无因次速度为：n +1 ? ? υ 3n + 1 ? ? r ? n ? = 1? ? ? ? ? R? ? υ n +1 ? ?《高等流体力学》汪志明教授35/72§2 拟塑性流体在圆管中的层流运动若流动指数取1， 即牛顿流体，则由图可 知速度分布为我们所知 的抛物面。随流动指数 由1逐渐增大（即胀塑 性流体），速度分布变 的越陡，逐渐趋于一条 斜直线。图9.17 拟塑性流体流动的无因次速度分布图《高等流体力学》汪志明教授36/72§2 拟塑性流体在圆管中的层流运动以平均流速表示的水头损失：2 KL ? 3n + 1 ? n hhl = JL = ? υ n +1 ? n ? ρgR ?n若将上式写成：Lυ2 hhl = λ D 2g8Kυ n ? 2 λ= ρD n ? 6n + 2 ? ? ? ? n ?n则摩阻系数为： 对比牛顿流体运动方程中粘性应 力的计算，我们可以给出拟塑性流 体雷诺数的表达式：Re p =υ2? nDn ρ K另一种定义雷诺数的方法是参考 牛顿流体：64 λ= ? Re p?8υ 2?n D n ρ ? n ? Re = ? ? K ? 6n + 2 ?? pn《高等流体力学》汪志明教授37/72§2 拟塑性流体在圆管中的层流运动图中给出了不同流动指数 下雷诺数与摩阻系数间的相互 关系。当剪切速率很低时，采 用幂律流体本构方程描述粘塑 性流体是不合适的，因为管中 心处速度梯度趋于零，由此计 算出的管中心位置附近的各物 理量精度不够。同时由于管中 心附近位置的剪切应力也趋于 零，因此由此造成的能量耗散 可以忽略不计，采用幂律流体 本构方程计算出的摩擦系数和 水头损失也能满足工程精度。图9.18 摩阻系数与雷诺数关系图《高等流体力学》汪志明教授38/72第八章非牛顿流体流动§1 非牛顿流体的流变特性 §2 拟塑性流体在圆管中的层流运动 §3 宾汉流体在圆管中的层流运动 §4 粘弹性流体在圆管中的不稳定层流运动 §5 拟塑性流体在环空中的层流运动 §6 非牛顿流体在圆管中的湍流运动《高等流体力学》汪志明教授39/72§3 宾汉流体在圆管中的层流运动由第二节可知，任何流体在圆管中的稳定层 流运动均满足同样的动量方程，即ρ gJr2 + τrz= 0考虑到圆管中沿径向流体速度递减，因此宾 汉流体的本构方程为：τ rz = ?τ y + ?dυ dr由宾汉流体的流变曲线可知，流体必须克服其屈服应力才能运动，因此 圆管中宾汉流体运动由两部分组成：①圆管中心附近的流体以均匀速度做 刚体般的整体运动；②圆管与匀速刚体流体间的环形空间中的流体做剪切 流动。圆管中间均速刚体流体的半径可由下式确定 ：r0 = 2τyρ gJ汪志明教授40/72《高等流体力学》§3 宾汉流体在圆管中的层流运动ρgJr 2 τ y υ=? + r + C, 4? ?积分上述动量方程，我们 就可得环形空间中宾汉流体 的剪切流动的速度分布为：r0 ≤ r ≤ R进一步由壁面粘附条件 可求得上式中的积分常数为：ρgJR 2 τ y C= ? R 4? ?所以概括起来，宾汉流 体在圆管中的稳定层流运动 的速度分布为：τy ρgJ 2 2 υ= (R ? r ) ? ? (R ? r ), 4?r0 ≤ r ≤ R《高等流体力学》汪志明教授41/72§3 宾汉流体在圆管中的层流运动若取圆管中牛顿流体 稳定层流运动时的最大速 度为参考速度，图9.19给 出了不同无因次屈服应力 与壁面应力比值条件下， 圆管中宾汉流体在等水力 坡降条件下运动时无因次 速度随无因次径向距离的 变化规律。 从图中可看出，随屈 服应力与壁面应力比值增 大，圆管中均速运动的刚 体半径增大，而其速度随 之减小。图9.19 宾汉流体的无因次 速度与无因次距离关系图《高等流体力学》汪志明教授42/72§3 宾汉流体在圆管中的层流运动圆管中宾汉流体的流量也由均速 R 2 运动的刚体运动的流量和环形空间 Q = ∫ 2π r υ dr + π r0 υ 0 r0 中剪切流动的流量两部分组成，即： 相应地可计算出平均流速、平均 剪切速率为：ρgJR 2 υ = 8?? ? r0 ? 4 ? Rτ y ? ? r0 ? 3 ? ?1 ? ? ? ? ? ?1 ? ? ? ? R ? ? 3? ? ? R ? ? ? ? ? ? ? ?因此，水平圆管中宾汉流体的压 力降为：L ρυ 2 ?p = ρgJL = λ D 2dυ υ ρg D?p ? 4τ y = = ?1 ? dr R 4? 4 L ? 3 ? ? 4L ? τ y ? ? D?p ? + 3 ? ? ?4考虑到以压力降表示的平均剪 切速率（宾汉方程）、壁面剪切应 力分别为：? 4L ? ? ? D?p ? ? ? ?4? ? ? ?τR =τ y ? ?dυ dr=r =RρgJR2=D?p 4L43/72《高等流体力学》汪志明教授§3 宾汉流体在圆管中的层流运动λ=则求得摩阻系数为：64 ? υ Dρ1 4 τ y 1 ?τ y ? 1? + ? ? 3 τ R 3 ?τ R ? ? ?41952年赫得斯托罗姆（Hedstrom） 运用无因次分析原理得出宾汉流体在 ? ρυ D ρτ y D 2 ? ? = f (Re, He ) , 圆管中稳定流动的摩阻系数是实际雷 λ = f ? 2 ? ? ? ? ? ? 诺数和赫得斯托罗姆（Hedstrom）雷 诺数的函数，即：ρυ D 式中： Re = ? ρτ y D 2 He = ?2《高等流体力学》汪志明教授44/72§3 宾汉流体在圆管中的层流运动图中曲线告诉我 们一个重要的结论： 随赫得斯托罗姆 （Hedstrom）雷诺数 增大，宾汉流体在圆 管中由层流转捩为湍 流的临界雷诺数要比 牛顿流体在圆管中流 动时的临界雷诺数着 实大的多。图9.20 摩阻系数同雷诺数的关系图《高等流体力学》汪志明教授45/72§3 宾汉流体在圆管中的层流运动最适合计算宾汉流体在圆管中做稳定层流运动时压力降的公式是宾 汉（Buckingham）方程。首先设定某一个压力降值，并在已知宾汉流体屈 服值和粘度条件下逐步计算出圆管中的速度分布和平均剪切速率，这样就 得到一组压力降和平均剪切速率，然后插值求得实际压力降。当然也可以 直接用牛顿－烈佛逊法（Newton-Raphson）方法解四次一元方程――宾汉 方程。? dυ ? τ = τ y + K? ? 对带屈服值的拟塑性流体，其本构方程为： ? dr ?将其代入动量方程，并考虑到沿径向速度 递减的事实，则动量方程改为：? ρgJr τ y ? dυ = ?? ? 2K ? K ? ? dr ? ?n1 n《高等流体力学》汪志明教授46/72§3 宾汉流体在圆管中的层流运动n +1 n +1 ? ? ? ρgJR τ y ? n ? ρgJr τ y ? n ? 2n K ? 利用壁面粘附条件（壁面速度为零），可进一步求得带屈服值的拟塑 ? ? ? ?? υ= ? 2K ? K ? ? ? ? ?? 2 K n + 1 ρgJ ? K? ? ? ? 性流体在圆管中做稳定层流运动时的速度分布和类似于宾汉（Buckingham） ? ? ?方程的平均剪切速率公式为：2 ? ? D?p ? ? ? D?p ? ? D?p ? ?τ y ? ?? ?τ y ? 2τ y ? ?τ y ? ρg ? 2 ? dυ υ ? 4L ? ? ? 4L ? + ? 4L ? + τy ? = = n +1 + 1 2nn+11? n +1? ? 3 1 dr R ? D?p ? n τ? ? n3n + ? τy ? n ? ? ρgJR ?y 2n K? ? ? K ρgJr n ? ? ? ? n? ?? ? ?n υ= L ? ? 4? ? ? ? ? ? ? ??n +1 nn + 1 ρgJ ? 2 K ? ?K?? 2K2K?? ?? 显然，当流动指数取1时，上述的平均剪切速率公式就简化为宾汉 ? D?p ? ? ? D?p ? ? D?p ? ?τ y ? ?? ?τ y ? ?τ y ? 2τ y ? ρg ? 2 ? dυ υ ? 4L ? ? ? 4L ? + ? 4L ? + τy ? 流体的宾汉（Buckingham）方程。由上式计算出的压力降总是小于宾汉 = = 3 1 ? 3n + 1 2n + 1 n +1? dr R ? D?p ? n K ? 流体时的压力降，为简单起见，我们可以用宾汉（Buckingham）方程计 ? ? n n n ? ? ? ? 4L ? ? ? 算出带屈服值的拟塑性流体在圆管中的压力降，但计算值比实际值略高。n +1 n《高等流体力学》汪志明教授47/72第八章非牛顿流体流动§1 非牛顿流体的流变特性 §2 拟塑性流体在圆管中的层流运动 §3 宾汉流体在圆管中的层流运动 §4 粘弹性流体在圆管中的不稳定层流运动 §5 拟塑性流体在环空中的层流运动 §6 非牛顿流体在圆管中的湍流运动《高等流体力学》汪志明教授48/72§4 粘弹性流体在圆管中的不稳定层流运动因为弹性力并未出现在等直径圆管中粘弹性流体的稳定层流流 动动量守恒方程中，因此其压力损失仅受流体粘性影响，实验数据 也表明等直径圆管内粘弹性流体的稳定层流流动的压力损失不受流 体影响，所以可以将等直径圆管内粘弹性流体的稳定层流流动当作 纯粘性流体流动处理（牛顿流体或拟塑性流体）。但是，在快速振 荡流动中粘弹性流体作用特别重要。为此，我们下面考虑马克斯韦 尔（Maxwell）模型流体在圆管中做层流流动时流量与压力降的关系。《高等流体力学》汪志明教授49/72§4 粘弹性流体在圆管中的不稳定层流运动当马克斯韦尔（Maxwell）流体在圆 管内作速度很小的层流流动时，其本构方 程为：τ+? dτE dt=?dυ dr若取柱坐标系，并假定只有轴向速度，即： υ z = 0υr = 0υθ = 0将上述速度分量代入下列柱坐标系中的 连续性方程和动量方程：ρ?υ ?p 1 ? =? + (rτ ) ?t ?z r ?r1 ? (rυ r ) + 1 ?υθ + ?υ z = 0 r ?r r ?θ ?z并考虑到轴对称性，忽略质量力，则动量方程改为：?υ z ?υ z υθ ?υ z ?υ z 1 ?p 1 ? 1 ? (rτ rz ) 1 ?τ θz ?τ zz ? + υr + +υz = gz ? + ? + + ρ ?z ρ ? r ?r ?t ?r r ?θ ?z r ?θ ?z ? ?《高等流体力学》汪志明教授50/72§4 粘弹性流体在圆管中的不稳定层流运动τ = τ 0 e iω t若剪切应力、速度和压力梯度 等流动参数按下列关系式周期性 变化。υ = υ 0 e iωt?p = ? p 0 e iω t ?z? ?将改写后的本构方程代入动 量方程，则有： 将改写后的本构方程代入动 量方程：τ ?1 + i?Eω? = ?? ?dυ dr1+ i? ? ρυ 1 d ? dυ 0 ? ? iω ? 1 + i ω ? 0 ? ?r ?= E ? ? r dr ? dr ? ??Eωp0?积分上式，并利用下列边界 条件：r = 0,υ0 ≠ 0r = R,υ 0 = 0《高等流体力学》汪志明教授51/72§4 粘弹性流体在圆管中的不稳定层流运动p0 ? J 0 (αr ) ? υ0 = ?1 ? ? iρω ? J 0 (αR ) ?求解动量方程得： 式中 J 0 为零阶贝塞尔函数， α 为贝塞尔方程的连续根。利用 速度分布求得流量为： 式中 J 1 为一阶贝塞尔函数， 若将贝塞尔函数按级数展开，并 考虑到 ? ω && 1 ，则流量为：Ep0πR 2 Q0 = ∫ 2πυ 0 rdr = iρω 0R? 2 J 1 (αR ) ? 1? ? αRJ 0 (αR )? ? ?πR 4 p 0 Q= 8?? ? ? ? ρR 2 E ? ? sin ωt ? ?cos ωt ? ω ?1 ? 2 ? ? E ? 6? ? ? ?式中括弧内第一项为弹性项，第二项为惯性项。《高等流体力学》汪志明教授52/72第八章非牛顿流体流动§1 非牛顿流体的流变特性 §2 拟塑性流体在圆管中的层流运动 §3 宾汉流体在圆管中的层流运动 §4 粘弹性流体在圆管中的不稳定层流运动 §5 拟塑性流体在环空中的层流运动 §6 非牛顿流体在圆管中的湍流运动《高等流体力学》汪志明教授53/72§5 拟塑性流体在环空中的层流运动在钻井和完井作业中， 存在着钻井泥浆或水泥 浆在井壁与钻杆的环形 空间中的流动，由于大 多数钻井泥浆属于拟塑 性流体或触变拟塑性流 体，因此研究环形空间 中拟塑性流体流动规律 的意义是显而易见的。图9.21 拟塑性流体在环空中流动《高等流体力学》汪志明教授54/72§5 拟塑性流体在环空中的层流运动下面我们来考察无限长的同心圆管间的环形空间中不可压缩拟 塑性流体自上而下的稳定层流运动。柱坐标系如9.21图所示，流 动方向与同心轴正向相同，因此速度分量为：υz = 0υr = 0υθ = 0柱坐标系中的动量方程为:1 ? 1 ?υθ ?υ z ( rυ r ) + + =0 r ?r r ?θ ?z《高等流体力学》汪志明教授55/72§5 拟塑性流体在环空中的层流运动?υr ?υr υθ ?υr ?υr υθ2 + υr + + υz ? r ?θ r ?t ?r ?z 1 ?p 1 1 ? (rτ rr ) 1 ?τ θ r ?τ zr τ θθ = gr ? + ( + + ? ) ρ ?r ρ r ?r r ?θ r ?z ?υθ ?υ υ ?υ ?υ υ υ + υr θ + θ θ + υ z θ + r θ ?t ?r r ?θ ?z r 1 ?p 1 1 ? (r 2τ rθ ) 1 ?τ θθ ?τ zθ = gθ ? + ( 2 + + ) ρ ?θ ρ r ?r r ?θ ?z?υ z ?υ z υθ ?υ z ?υ z + υr + + υz r ?θ ?t ?r ?z = gz ?1 ?p 1 1 ? (rτ rz ) 1 ?τ θ z ?τ zz + ( + + ) ρ ?z ρ r ?r r ?θ ?z汪志明教授56/72《高等流体力学》§5 拟塑性流体在环空中的层流运动考虑到速度分量的取值，因此动量 方程简化为：ρgJr +d (rτ rz ) = 0 drn ?1考虑到最大流速处剪切速率为零，即：r2 dυ ρ gJ + rK 2 drdυ +C = 0 dr将拟塑性流体的本构方程代入，并 对上式积分一次可得：r υ =υmax= r0dυ =0 dr这样就可进一步求得积分常数为：r02 C = ? ρgJ 2dυ drn ?1因此环形空间中拟塑性流体满足的 动量方程可改写为：《高等流体力学》dυ ρ gJ = dr 2K? r02 ? ? ?r? ? r ?57/72汪志明教授§5 拟塑性流体在环空中的层流运动与圆管中拟塑性流体运动时情况不同的是环形空间中存在两个不同 符号的剪切速率区域，一个是最大速度点与内壁面间区域，另一个是最 大速度点与外壁面间区域。前者内剪切速率为正值，后者内剪切速率为 负值，因此下面我们分两个区域来考察拟塑性流体的流动规律。首先考察剪切速率为正值的流动区域。我们注意到该区域内速度梯 度大于零，任一点的半径都小于最大流速处的半径，因此该区域内的动 量方程为：dυ ? ρ gJ r ? r ? =? ? dr ? 2 K r ?2 0 21 n《高等流体力学》汪志明教授58/72§5 拟塑性流体在环空中的层流运动? r02 ? r 2 ? ? ? r ? = a1r + b1 ? ? ??r ?r ? 1 ? a1 = ? ? r ? r ?r ? 1 ?1 1 0 ? r02 ? r12 ? n r0 b1 = ? ? r ? r ?r ? ? 1 ? 0 12 0 2 1 1 n1 n考虑到上式右边是单调函数，因 此可以用线性插值函数来取代，即：利用内壁半径值和最大流速处半 径值，即可求得上式中的待定常数：1 所以积分动量方程，并考虑到利 2 2 n ? ρ gJ r0 ? r1 ? ? 1 ? r 2 ? r12 用内壁面粘附条件求得积分常数， υ = ? ? r0 ( r ? r1 ) ? ? 2K r1 ? r1 ? r0 ? 2 ? ? ? 因此最后求得的速度分布为：《高等流体力学》汪志明教授59/72§5 拟塑性流体在环空中的层流运动其次考察剪切速率为负值的流动区 域，该区域内速度梯度小于零，任一点 的半径都大于最大流速处的半径，因此 该区域内的动量方程为：? ρ gJ r 2 ? r02 ? dυ = ?? ? dr 2K r ? ?1 n同样地，我们可用插值函数来取代 上式右边的单调函数，即：?r ?r ? ? r ?22 0? ? = a2 r + b 2 ? ?1 n1 n进一步利用外壁半径值和最大流速处 半径值，即可求得上式中的待定常数：? r22 ? r02 ? 1 a2 = ? ? r ? r ?r ? ? 2 ? 2 0 ? r22 ? r02 ? r0 b2 = ? ? r ?r ?r ? ? 2 ? 0 2汪志明教授60/72《高等流体力学》§5 拟塑性流体在环空中的层流运动所以积分动量方程，并考 虑到利用外壁面粘附条件求 得积分常数，因此最后求得 的速度分布为：? ρ gJ r ? r ? ? 1 ? r22 ? r 2 υ =? ? r0 ( r2 ? r ) ? ? ? r2 ? r2 ? r0 ? 2 2K ? ?2 2 2 01 n在上述两个剪切流动区域 的速度计算公式中，利用最大 1 1 2 2 n 2 2 n ? ? ? ? 流速处的速度匹配条件可以解 υmax = ? ρ gJ r0 ? r1 ? r0 ? r1 = ? ρ gJ r2 ? r0 ? r2 ? r0 r1 ? 2 r2 ? 2 ? 2K ? 2K 出最大流速处的半径，即：《高等流体力学》汪志明教授61/72§5 拟塑性流体在环空中的层流运动1 n规律后，我们就 很容易计算出通过 圆管截面的流量是：? ρ gJ ? Q = ∫ 2π rυ dr + ∫ 2π rυ dr = 2π C0 ? ? 2K ? ? r1 r0r0 r2式中：?r ?r ? 1 C0 = ? ? r1 ? r1 ? r0 ?2 0 2 1 2 2 2 0 1 n 1 n? r 4 ? r 4 r0 ( r03 ? r13 ) r0 r1 ( r02 ? r12 ) r12 ( r02 ? r12 ) ? ? 0 1 ? ? + ? 3 2 4 ? 8 ? ? ? ? r 4 ? r 4 r0 ( r23 ? r03 ) r0 r2 ( r22 ? r02 ) r22 ( r22 ? r02 ) ? ? 0 2 + ? ? + 3 2 4 ? 8 ? ? ?汪志明教授?r ?r ? 1 +? ? r2 ? r2 ? r0 ?《高等流体力学》62/72§5 拟塑性流体在环空中的层流运动进一步可得平均流速、水力坡降和水头损失分别为：2C ? ρ gJ ? υ = 2 02? ? r2 ? r1 ? 2 K ?1 n2 K ? r22 ? r12 ? n J= ? ? υ ρ g ? 2C0 ?n2 KL ? r22 ? r12 ? n h= ? ? υ ρ g ? 2C0 ?n对于流体在非圆截面的管道中的运动，我 π r22 ? r12 r2 ? r1 因此可得摩阻系数和雷诺数为： rh = = 们采用水力半径的概念，因此环空截面的水力 2π (r2 + r1 ) 2 半径为： n n?2 2 2 8 Kυ ( r2 ? r1 ) ? r2 ? r1 ? λ= ? ? ρ 2C0 ? ? 64 L υ2 考虑到威斯巴赫（Weisbach）摩阻公式： Re = h=λ()λ4rh 2 g《高等流体力学》汪志明教授63/72第八章非牛顿流体流动§1 非牛顿流体的流变特性 §2 拟塑性流体在圆管中的层流运动 §3 宾汉流体在圆管中的层流运动 §4 粘弹性流体在圆管中的不稳定层流运动 §5 拟塑性流体在环空中的层流运动 §6 非牛顿流体在圆管中的湍流运动《高等流体力学》汪志明教授64/72§6 非牛顿流体在圆管中的湍流运动对于任何非牛顿 流体流动，当雷诺数 超过临界雷诺数时， 流动就从层流转捩为 湍流运动。实验数据 表明，不同流体流动 时的临界雷诺数值有 微小差别。拟塑性流 体流动时的临界雷诺 数为：Re c =6464n(n + 2)n+2 n +1(3n + 1)2图9.22 不同n值拟塑性流体的临界摩阻系数《高等流体力学》汪志明教授65/72§6 非牛顿流体在圆管中的湍流运动下面我们考察拟塑性流体在无限长 圆管中的一维稳定轴对称湍流流动， 该流动的动量方程为：ρ gJr2dυ +K drn ?1? dυ ? ? ρυ x 'υ z ' = 0 ? ? dr ? ?根据拟塑性流体在无限长圆管中的 一维稳定轴对称湍流流动的流动特征， 将其流动分为两个流动区域：一个是管 壁附近的厚度很小的粘性层流低层，一 个是粘性相比湍流附加切应力可以忽略 的湍流核心流动区域。 在粘性层流低层内，剪切应力均匀 分布，等值于壁面剪切应力，则其动量 方程为：《高等流体力学》ρ gJR2? dυ ? ?K? ? =0 ? dr ?n或改写为?υ ρ ? dυ = ?? ? dr K ? ?2 ?1 n汪志明教授66/72§6 非牛顿流体在圆管中的湍流运动式中摩擦速度为： υ = ? gJR ? * ? ? ? 2 ?1 2积分上式得粘性层流低层 内线性的速度分布规律：υ =υ υ*2?n n *?ρ? ? ? ?K?1 n(R ? r)0≤ r ≤δ( dυ / dr ) 在湍流核心区域，依据卡 ρ gJr = ρk 2 门混合长度理论得动量方程： 2 2 2 2 ( d υ / dr )4δ ≤r≤R积分上式可得湍流核心区 υ 1 ? r ? r ? ? υmax = ? + ln ?1 ? ?? + ? ? 域的无因次速度分布规律为： υ* k ? R R ? ? υ* ? ? ?《高等流体力学》汪志明教授67/72§6 非牛顿流体在圆管中的湍流运动根据粘性低层与湍流 核心区域交界处的速度匹 配条件，即：υ υ*=r = R ?δ? 1? δ δ ?? υ 1 ? + ln ? 1 ? 1 ? ? ? + max = υ ? ? ? k? R R ? ? υ* ? ? ?2?n n *δ??ρ? ? ?K?1 n考虑到粘性低层厚度相 比圆管半径为无穷小量， 因此有下列近似关系式：2R ? ? δ ? δ ?? δ ?1 ? 1 ? ? ≈ ln ?1 ? ?1 ? ln? ? ? = ln R? 2 R ?? 2R ? ? ? ? ?1?δR≈ 1?δ=1将上述近似关系式代 入速度匹配关系式，可得 无因次最大速度：υmax ? υ ρ ? 1? δ ? =? δ ? ?1 + ln ? ? k? D? υ* ? K ?2?n *1 n《高等流体力学》汪志明教授68/72§6 非牛顿流体在圆管中的湍流运动从上式看出，要想求出最大速度，必须先求出粘性低层的厚度。 我们知道对于牛顿流体在圆管中的层流流动，普朗特假设粘性低层外 边界处的雷诺数为常数，即：Reδ =υ*δ = Const. υ因此，我们也可按拟塑性流体在圆管中做层流流动时的雷诺数定 将上式代入最大速度计算式，有： 义式来定义粘性低层边界处的雷诺数，即： 1 ? ? υ* ?n ? 2 ? 1 ? ln Reδ ? 6n + 2 ? Reδ ? n υmax 1 = 2? n n? Re ? ? ? ? ?1 + ln ?+ ? ? υ* nk δ ? ? υ ? ? k ? n ? n ? 8 ? υ* ρ ? = Const. ? Re =δK ? 6n + 2 ? ? ? 8? n ?n对比第二节讨论拟塑性流体在圆管中的层流流动时用平均流速定义 的雷诺数，我们有： 2? n? Re ? ? υ ? δ =? δ ? ? ? ? Re ? ? υ* ?1 n nD《高等流体力学》汪志明教授69/72§6 非牛顿流体在圆管中的湍流运动我们要注意的是，上式中有粘性低层边界处的雷诺数和卡门系数两个 未知数。同样地我们也可得到速度分布规律和平均流速分别为：n?2 ? r ? ? 1 ? ? υ* ? ? 1 ? ln Reδ υ 1? r = ? + ln ?1 ? ? ? ? ? + ln ? Re ? ? ? ? ?1 + n R ? ? nk ? ? υ ? ? k ? υ* k ? R ? ? ? ? ?? 6n + 2 ? Reδ ? ?+ n ? 8 ? ? ? ?1 nυ υmax 1 ? 25 4 ? = ? ? ? υ* υ* k ? 12 5 ? ?n?2 1 ? ? υ* ? ? 1 ? 137 ln Reδ υ = ln ? Re + ? ?? υ* nk ? ? υ ? ? k ? 60 n ? ? ? ?或? 6n + 2 ? Reδ ? ?+ n ? 8 ? ? ? ?1 n按照摩阻公式，我们可得摩阻系数为：? n? ? 1? ? ? 1 0.8141 ? 1? ln Reδ = lg ?Re λ? 2 ? ? ? ? 2.283 + nk n λ ? ? k? ? ? 1 ? ? 6n + 2 ? Reδ ? n ? n?2 ? + 0.3535? + 0.7532 ? ? ? ? n ? 8 ? ? 2n ? ? ?《高等流体力学》汪志明教授70/72§6 非牛顿流体在圆管中的湍流运动1978年纳瓦弟尔（Navratil） 根据实验测量结果得到粘性低层 边界处雷诺数和卡门系数与牛顿 流体一样，分别为：Reδ = 12.087 k = 0.4071? n? ?1? ? ? 2 ? 6.876 = lg ? Re λ ? 2 ? ? ? n λ n ? ? ? ? 1 n因此摩阻系数的最终表达式为：? 0.707 ? ?5.233 + 1.511 ? + 2.121? ? n ?粗糙管内拟塑性流体湍流流 动时的摩阻系数为：1D? ? = 2 lg? 3.715 ? K? λ ?《高等流体力学》汪志明教授71/72§6 非牛顿流体在圆管中的湍流运动1981年西拉斯（Szilas）, 波波克（Bobok）和纳瓦弟尔 （Navratil）获得了水力光滑区和完全粗糙区间的转捩区域的 摩阻系数表达式，即BNS方程为：β ? ? ? 2 1 10 k ? = ?2 lg ? 1 n ? 2 + ? 3.715 D ? λ n 2n ? Re λ ? ? ?《高等流体力学》汪志明教授72/72
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