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三年级下册思考题(小学数学)江苏凤凰教育出版社资料.doc 107页
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三年级下册思考题（PAGE107）一、两位数乘两位数1.口算：①29×10＝461×10＝10×508＝②29×5＝26×5＝372×5＝③98×9＝386×9＝509×9＝2.填空：①24×13＝24×()＋24×()②212×34＝()×30＋()×4③45×7＋45×20＝45×()④326×2＋326×50＝326×()⑤根据36×7＝252，不用计算写出下面算式的积。36×70＝()360×7＝()36×700＝()3.①甲乙两数相乘，如果乙数增加3，积就增加270。已知甲数是乙数的9倍，求这两个数的积。②甲、乙两数相乘，如果甲数加上2，积就增加36；如果乙数减少5，积就减少120。原来的甲数是()，乙数是()。4.(1)①11×11＝11×17＝36×11＝②59×11??74×11＝11×85＝③98×11＝86×11＝11×55＝(2)①36×34＝28×22＝65×65＝②13×17＝82×88＝43×47＝③86×84＝52×58＝29×21＝(3)①48×68＝52×52＝13×93＝②27×87＝76×36＝61×41＝③99×19＝18×98＝27×87＝5.①49×11＝61×69＝54×54＝②29×21＝55×55＝72×11＝③98×92＝86×84＝39×99＝6.右面是两个两位数□□相乘的竖式，在空×□□格中填上适当的数87字，简单说明理由。.①两位数乘一位数，积可能是几位数；()两位数乘两位数，积可能是几位数；()两位数乘三位数，积可能是几位数。()※②用7、2、4、0四个数字，你能组成几道积不为0且不相等的乘法算式？请都写出来。8.①甲、乙两数相乘，乙数是10，积比甲数多720，甲数是()。②一道乘法算式，乙数是7，把乘得的积、甲数、乙数相加得127。甲数是多少？9.①已知43×7＝301，直接写出下面算式的得数。43×70＝0×70＝×700＝430×700＝②已知160×80＝12800，直接写出下面算式的得数。16×80＝160×8＝16×8＝×800＝1600×80＝③一个乘数扩大10倍，另一个乘数不变，积就()()倍，一个乘数不变，另一个乘数缩小100倍，积就()()倍。④两个乘数都扩大10倍，积就()()倍。⑤如果一个乘数扩大100倍，要使积也扩大100倍，则另一个乘数()。10.小丁用简便算法计算一道乘法式题时，积的末尾少添写一个0，结果比正确的积少783。正确的乘积是多少？11.①订《儿童时代》一年级订了8份，二年级订了30份，每份18元，一共要用多少元？二年级比一年级多付多少钱？(都用两种方法解答)②一年级订《小朋友》27份，每份15元；二年级订《儿童画报》31份，每份19元，一共要用多少元？二年级比一年级多付多少钱？③一车间有36个工人，五月份生产620台机器，五月份是四月份生产台数的2倍，这两个月共生产多少台？（你能用两种方法解答吗？如能，请解答）12.①汽车每小时行56千米，汽车的速度是骑自行车速度的4倍，汽车每小时比自行车快多少千米？②一条绳长28米，用去21米，用去的是剩下的几倍？③一批水泥，用去45袋后，剩下的部分是用去的16倍，这批水泥有多少袋？13.①水果店卖出13筐桃，每筐25千克。卖出的桃是卖出葡萄千克数的5倍，卖出葡萄多少千克？②小军今年10岁，爸爸的年龄比小军的4倍少3岁，爸爸今年多少岁？③纺织车间有女工250人，比男工人数的4倍还多10人，这个车间有工人多少人？14.①菜场运到12筐西红柿，每筐重35千克，西红柿比黄瓜少135千克，运到黄瓜多少千克？②学校体育室有排球8个，羽毛球的个数是排球的3倍，乒乓球的个数是羽毛球的2倍，乒乓球的个数是排球的几倍？③48个同学参加劳动，如果每4人合用3把铁锹，共需要多少把铁锹？④三年级买回6包练习本，如果每人买4本，可供75人用。每包练习本有多少本？15.①学校有14只羽毛球，乒乓球比羽毛球的3倍还多9只，要使羽毛球和乒乓球同样多，那么还要买多少只羽毛球？②会议室里摆了6排椅子，每排14把。有两个班的学生来会议室上大课，每班45人，椅子够不够坐？如果不够，还差几把？③3位老师带着50名学生去参观植物园。票价：成人10元，学生5元，团体（10人以上）6元，怎么样买票合算？16.①一套衣服用布2米，一批布做了这样的衣服35套后还剩下14米，这批布共有多少米？②一批钢材450吨，用去290吨后，还能制造8台同样的机器，每台机器用钢材多少吨？17.填写数量，并写出乘法数量关系式。①一架飞机每小时飞行700千米，飞行2100千米需要3小时。↓↓↓()()()乘法关系式：②练习本每本6角钱，买4本要2元4角钱。↓↓↓()()()乘法关系式：
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不让一个学生落后
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 不让一个学生落后
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &俞正强一、引言(一) 研究的缘起案例：她需要什么样的帮助？有一年俞老师新接了一个四年级班，有一位学生解这样一道题目：xx牌52型拖拉机，一天耕地150公亩，问12 天耕地多少公亩？这位学生的解答是：52×150×12＝（略）因为是新接班，对孩子不熟悉，所以俞老师就找她问话：“告诉我，你为什么这么列式？”“老师，我错了。”“好的，告诉我，你认为正确的该怎么列式？”“除。”“怎么除？”“大的除以小的。”“为什么是除呢？”“老师，我又错了。”“你说，对的该怎样呢？”“应该把他们加起来。”看来，这位学生是在瞎猜，只要老师重复问一句，她就习惯性的说自己错了，接着拿另一种计算方法来搪塞，显然，她没有学会分析，她知道加减乘除肯定有一种是适合这道题目的，这也是在许多数学学习困难的学生中常见的。于是，又对她说：“我们换一道题目，比如你每天吃两个大饼，5天吃几个大饼？”老师想这题目应该会做的，其结构与前面的题目一样，都是每份数、份数与总数的关系，引导学生迁移一下就可以了。正等着学生的回答，结果与这位学生形成了如下对话：“老师，我早上不吃大饼的。”“那你吃什么的？”“我经常吃粽子”“好，那你每天吃两个粽子，5天吃几个粽子？”“老师，我一天根本吃不下两只粽子。”“那你能吃几个粽子？”“吃半个就可以了。”“好，那你每天吃半个（小数乘法没学）粽子，5天吃几个粽子？”“两个半。”“怎么算出来的？”“两天一个，5天两个半。”这位学生的问题在那里呢？我想人学习数学，是从生活经验开始的，并于生活中养成了生活型的思维习惯，在他们学习数学的时候，需要养成数学的思维习惯，举例说：当学生面对“每天吃两个粽子”这一材料时，有的学生首先会想：这可能吗？而有的学生首先会想：这是每份数。前者是一种极生活的思考，关注材料的合理性；后者是一种数学思考，将材料抽象为一个“量”，从而进行形式化的演绎思考。这位学生的问题就在于这种数学思考的方式尚未建立起来，需要一个特别的辅导，这种辅导是数学学习中教师所未曾凸现的，这被我们数学老师忽视的问题成为我们关于准备课程开发的思考契入口。数学是一门基础学科，从义务教育的课程设计来看，学生要不辞辛劳的学习12年的中小学数学。在教学实践中，数学对一部分学生来说可能是趣味盎然的，对于大部分学生来说会以枯燥来表达感受，而对于另一部分学生来说，可能会是痛苦的，痛苦的原因大都缘于学习困难。在小学里，数学学习困难是学生对学习产生负面心理的原因，小学生对数学学习困难的感受在小学中低段，可以用以下三句话来概括，即：1． 不明白我怎么就算错了。（计算）2． 搞不清到底该加还是减。（数量关系）3． 搞不懂该怎样去分析。（问题解决）面对小学生数学学习的这些最初的困惑，成人世界似乎总忘记自己以前所经历过的相同经历，相对应的会以如下观点应对小学生们，即：1．孩子太粗心了。（计算）2．听课不专心。（数量关系）3．懒惰。（问题解决）须知，小学生对学习都是抱着积极心态的，幼儿园的小朋友还特喜欢考试。成人对小学生的学习困难毫不客气的归结为学生的学习态度，而未能正确的对学生的学习困难给予指导，这使小学生的学习困难更带来痛苦。同时，成人们的这种归因极易影响学生本人的归因。当学生本人也认为计算错误是自己粗心时，学生就会听任这一困难的持续，因为谁也没法告诉学生，怎么可以变“细心”，这样的结果是：小学生在面对自己的学习困难时，不知道如何以方法的方式去应对，而囿于被动的诸如“粗心”、“笨”等的消极评价之中，从而渐渐地害怕数学，认为自己不是读数学的“料”，于是，一门原本生动活泼的课程就起不到原来应有的对学生发展的价值。学生数学学习产生学习障碍的原因到底是什么？这个问题是让学生享受优质学习；实现数学价值必须解决的问题。在讨论这一问题时，我们基于学生的智能处于一般的正常状态，个别有智碍的学生例外。因为，在小学生中许多发生数学学习困难的学生，其智力水平均表现良好，有的学生甚至很有智慧。引起学习困难的因素是多方面的，但是我们更要注意儿童的学习能力问题、数学学习能力在哪些方面存在困难。实际上，儿童在学校中，不管学习哪门功课，都存在着一个共同的“教与学”的过程。要想顺利地完成学习，就必须学者有其“能”，教者有其“法”。因此，学习能力也是与教师的教学有一定的关系的。教者缺“法”与学者缺其“能”，是导致学习失败的两大重要因素。先说学者缺少能力的问题。我们已经知道，儿童是用自己的“知觉、思维与记忆”能力来进行各种各样学习的，这里面就很有学问。譬如说知觉，为什么有的孩童偏偏要把39写成93，为什么有的儿童总是把十位数与个位数相加，对不齐位，且屡教不改？碰到这种情况，我们就不能不检讨一下儿童的视知觉能力。譬如，“他能很清楚地辨认两个很相近的图形刺激吗？”（视觉分辨）；“他能很好地记住刚刚看到的数字吗？”（视觉记忆）；“他在书写的时候，手眼能够很好地协调码？”（视觉、动作配合）。如果我们继续做一些视觉辨认或视觉记忆方面的检测，就很有可能发现问题。也许有的孩子知觉能力没有问题，可看到一个问题仍觉得无法下手。譬如，孩童清清楚楚地看到除和除以这个数学符号，却不晓得它们有何分别；清清楚楚地知道“已知与未知”，却怎么也看不出它们之间有什么逻辑关系。碰到这些问题我们就不仅必须检讨一下“儿童对数学概念与符号的理解能力”，还必须检讨儿童的“抽象概括能力”。儿童缺乏这些“能力”造成数学学习障碍是学生方面的内在的原因。目前的情况是我们尚未对这些“能力”的培养进行科学的研究。另一方面，教师的教学如果不适合儿童现有的能力特点，过于高深或浅显，也是造成儿童数学学习困难的一个重要原因。儿童的抽象思维能力的发展是有个体差异的，有人空间和数量思维很好，有些人则语言的具体思维不错。教师应当针对不同孩子的特点进行教学。可实际上，很难做到这点。其实，老师和家长在遇到对数学计算和应用题不理解的孩子时，要看到孩子的思维过程是由感觉动作的思维到具体形象的思维，再到抽象的思维。作为数学能力基础的是儿童在实际生活中的具体操作的经验。小时候儿童经常玩弄一些物体，了解它们的属性；然后当大人用图形形象地代表这些物体时，儿童也能理解；最后才上升到用文字符号或数学符号代表现实生活中的具体物体的阶段。所以有经验的教师总是能循循善诱，根据儿童的特点，逐步把他们从具体的实物导入到生动的图形，最后才上升到抽象的符号。譬如讲到垂直关系时，有经验的教师会引导孩童自己发现生活中有许多垂直的例子，它们有各种各样的位置关系，绝非黑板上写的这一种，然后教师会在黑板上绘出各种垂直的情形，这些图形虽千姿百态角度不一，但那两条相交的直线却总是呈90度角，最后学生终于明白了垂直，教不得“法”，必然会导致孩童学习上的诸多“误会”。如果以上分析成立，那么，数学优质学习的前提有两个：首先学生有学习的“能力”，这能力包括三个方面，即有良好的数学感知能力，有起码的知识准备与经验准备，有一定的思维能力。其次是教师教学得法，教师教学得法的关键是找准学生的学习基础，使学生的学习有一个使力的地方。学习困难的原因分而言之是学生的能力与教师的方法，事实上，这两个方面是同一问题的两面而已，是处于互动之中的一个问题，也即教师在组织学生开展某一学习活动之前，应该有一定的时间用于与学生互动，在互动过程中帮助学生形成良好的知识准备、经验准备，以及思维方式定势的辅堑，从而调整好自己教学方法的选择，达到学者有“能”，教者得“法”，使学生的课堂学习困难降到最低，优质学习最大限度得到彰显。基于以上认识，笔者认为：良好的学习准备是学生获得优质学习，减少学习困难的必要前提，以学习准备为目的的师生互动过程所呈现的形式课程，即为本课题所要研究的问题：即准备课程。(二)研究的意义研究学习准备的意义主要体现在以下几个方面1﹒从学生个体层面看良好的学习准备可以使学生能够顺利的完成学习任务，达到优质学习的效果。教育界有句行话，叫“跳一跳，摘苹果”，这句话倒过来说就是“摘苹果，要跳一跳”。跳，需要一个借力的地方，这个“地方”就是学生的准备状况。“跳”是一种学习能力，“苹果”是需达到的学习目标。案例：给思考一个借力的地方以浙教版义务教材小学数学第七册“长方形，正方形的面积”为例，用两种不同的设计来讨论良好的学习准备对于学生们学习所具有的意义。教学设计一：从情境入手开展学习环节一：创造情境，激发兴趣，提炼问题。情境材料：如何比较数学课本与作业本封面的大小。问题材料：两个平面图形如何比较大小。设计意图：要求学生想出多种比较大小的办法，最后通过方法比较，归结到数方格的办法比较好。环节二：探究新知：认识面积和面积单位1．建立面和面积的概念。2．在数方格比较大小的过程中，通过数两个方格不同大小的图形，来认识到必须建立同样大小的方格，从而引出面积单位。3．看书认识面积单位：平方厘米、平方分米、平方米。4．例举、判断形成面积单位的表象。设计意图：引导学生经历面积单位建立的过程，让学生在分组讨论中学会逐步抽象的学习方法。环节三：练习（略）。教学设计二：从学生的预习和复习入手环节一：课前预习，要求阅读书本第134页到136页，分别剪一个边长为1厘米和1分米的正方形。设计意图：因为学生的“先期学习”有所不同，通过布置预习作业，让每一个学生被动的进行一次较完整的先期学习，以此缩短学生个体间因先期学习而形成的差别。环节二：复习、整理有关长度认识的基本结构1．讨论材料：线。2．讨论问题：线的知识有哪些。3．边讨论边整理，形成如下板书：长度 线 长短 常用单位 度量 工具cm 、dm m 尺子设计意图：一个奇点在一维空间中运动可得到一条线，在两维空间中运动即可得到面，线和面的认知结构一样的，不同的是线比长短，面比大小。通过这一环节的学习，将学生已有的结构呈现出来，供后一环节的学习。环节二：新授、整理长方形、正方形的面积认识1．观察展现由线到面的发展过程指导学生观察思考，线可以围成规范的图形和不规则的图形。2．思考：图形比线更复杂的是什么？① 图形边上的线的总长是周长。② 图形由线围成的空间就是一个面，面的大小叫面积。3．讨论：面的比较该如何进行① 面的比较主要是大小的比较。② 面的大小需要度量。③ 常的度量单位是平方厘米、平方分米、平方米。4．讨论：面的度量工具是什么？① 提供如下辅助材料，供学生练习并思考：长方形的面积是（ ）平方厘米长方形的面积是（ ）平方厘米长方形的面积是（ ）平方厘米长方形的面积是（ ）平方厘米② 结论：面积的度量工具还是尺子，但必须经过计算。5．边讨论边整理，形成如下板书。长度 线 长短 常用单位 度量 工具cm、dm m 尺子面积 图形 大小 常用单位 度量 工具cm2、dm2 m2 尺寸+计算设计意图：通过预习，学生们了解面积的概念与面积单位，通过复习，学生呈现了一个认知结构，均属于学生的“先期学习”。本环节的作有在于将学生们先期学习的关于面积的有关知识通过以前曾经历过的认知结构，将其整理为有序的知识结构，从而达到理解。环节四：（略）显然，设计一所展示的过程是一个封闭的学习过程，学习的已有学习会成为教学进程的干扰，比如老师问如何比较两个图形的大小，学生最好先回答重叠，相差部分剪下来再重叠，然后让老师问这样是不是太烦，有更简单的吗？最好是此时的学生都睁着疑惑的眼晴，然后老师说让我们来学习新知识吧！但如果有个不识相的学生一开始就说可以求面积，那么，这个情境的作用就大打折扣了。再看设计二，它没有去创设情境，却安排了预习、复习，课堂学习的主要任务所将学生的已有学习在讨论中整理，使之系统化，因此，这一设计框架具有较好的开放性。同时，当学生面对着黑板上整理而成的板书时，也许很自然的会设想：如果几个面围起来，会是什么呢？它们的度量单位呢？度量工具呢？从而学会一种思考方法。从学生的角度来说，如果他面对着“设计一”的课堂学习，他要使自己努力跟着老师，不去打乱老师组织的进程。如果他面对的是“设计二”的课堂学习，他只要将自己所知的知识纳入一个框架之中，形成一个知识系统就可以了，便能够用这个框架去容纳，生成丰富的知识。2﹒就学生班级群体层面看有利于将学生的学习准备状况调整到大致相近的水平上来，这样，有助于学生在相同的时间里获得相近的学习成果，从而不断缩小学生之间的学习差距。数学学习从源头上来说，最初的学科学习是建筑于学生的生活经验之上的，由于各个学生的生活环境与生活条件不同，因此，学生在生活中所积累的经验是不同的，又由于学生的悟性各有差别，学生在经验中所悟得的可用于认知迁移的结构性知识也是不同的。案例：学习前的知识调查四年级学生学习平均数应用题，笔者于课前做了一个简单的调查：材料：小明班里平均身高132厘米，小玲班平均身高135厘米，小玲当然比小明高。你认为对吗？通过问卷调查统计，54位学生中有38位学生明确认为是错的，有10位学生认为可能是错的，有4位学生认为是对的。分别请两位学生代表陈述，整理如下：甲：小明班的平均身高是132厘米，并不等于说小明是132厘米，他可能有140厘米，也可能有120厘米。同样，小玲也是如此，因此，说小玲当然比小明高，肯定是不对的。乙：我本来认为是对的，听了甲的发言，我现在认为他说的有道理。上述之简短过程，至少说明某一知识学习点的学习之前，学生们对这一知识的了解的确是不均衡的。通过一些生活化的材料，组织学生开展一些交流，的确可以让学生们比较容易的消除原来的不均衡，有助于学生们在大致相同的起点上进行新知识的学习。此外，还有一个重要的内容是学生相对于学习情绪上的差别也是存在的。这种存在是不可能将其消灭的。但教师一定可以通过适当的形式，以某一学习任务或某一学习时间段为对象，将相对于该对象的准备内容有效地进行调节，将其调整到大致相近，适宜于开展学习的状态上来，这显然具有非常重要的意义。3﹒就教师的教学层面看针对学生的学习准备设计课程，主要是拓开了一条提高优质学习的思路，同时也为教师的教学行为吻合于学生的学习水平提供了一套可操作的现实办法。“回到源头去”是一条找到问题症结的好思路，是教师思考学生学习缺陷的有效视角。在现实教学中，在我们面对学生的学习困难时，我们习惯于让学生再重复几次，在学生重复几次还未明白时，通常归责于学生的智力因素，从而使本次学习困难又成为下次学习困难的原因之一。如果教师能及时地去思考学生完成某一特定学习任务的学习准备是否充分，教师就能够理性而非感性的认识学生的学习行为，而学生的学习困难也能够得到有效的缓和，有助于有续学习。二、小学数学准备课（一）“动物学校”课例分析教材目标的把握下面是北师大版第五册“动物学校”一节内容的目标分析。材料：课堂小结实录：……师：同学们，谁来小结一下，今天我们学了什么？生：今天我们学习了怎样判断可以组成多少个不同的两位数。生：今天我们学习了组成不同数的三种不同方法。生：还有第四种最简单的方法（即通常说的乘法原理，笔者注）师：同学们总结的很好，还有什么补充的吗？生：今天我们学得很高兴。生：还有最大和最小。生：……师：还有要做到不重复不遗漏。以上是“动物学校”学习过程中小结环节的课堂整理，从小结中不难看出，教师的教学目标锁定在“方法”上。那么，这一材料的目标设置是否妥当呢？在教学实践中，发现教师们针对这一材料，预设的目标大致可以概括为两类：第一类的终极目标为：通过本课学习，使学生们掌握判断组成数个数的方法。第二类的终极目标为：通过本课学习，使学生在经历中养成有序列举的思考习贯。显然，两类目标都是体现本课时材料精神的，但不同的目标设置，就决定了课堂学习的不同侧重点。如果按第一类终极目标来作为目标设置，那么，这堂课的课堂学习其基本思路是在多组练习中概括出判断的方法，形成技巧。如果按第二类终极目标来作为目标设置，那么，这堂课的基本思路是在练习中讨论怎样才能做到不重复、不遗漏，得到体验。简言之，两类目标预设的区别在于第一类是以知识目标作为终极目标，重在知识提炼、技巧形成上；第二类是把过程目标作为终极目标，重在体验与思考习惯养成上。从学生的发展来说，本课时的意义在于借助简单的排列组合这一知识，来让学生体会思考问题的时候怎样做到不遗漏、不重复，养成有序列举的这么一种思考习惯。因此，正确的目标预设是学生成功学习的基础，也为教师在学习材料的选择与进程推进上提供了正确的保证。基于以上认识，“动物学校”的教学设计的目标定位应回归到“有序列举”这一思维品质上来，方法是让学生体验不遗漏、不重复这一品质的载体。下面针对思维品质这一主要目标，对教学设计作如下建议：问题一：用8、1、4三个数字任选两个组成两位数，你能写出几个？目 的：制造认识冲突，展现学生能力基础，因为不同学生得到的个数有差别。问题二：（讨论）为什么有的同学写的个数多，有的同学少目 的：分析重复——遗漏的现象，抽象出问题：为什么会出现重复与遗漏？问题三：（研究）怎样才能做到不重复不遗漏呢？目 的：展现学生自认为可以改善重复与遗漏程度的办法，并概括为“有序列举”。问题四：（练习）你能说了正确的个数吗？目 的：掌握有序列举的一般方法，提高思维严谨水平。这样讨论，也许有的教师专家会认为是多此一举，因为目标是多元的，排列组合的方法是知识目标，不重复不遗漏的思维习惯是情意目标，彼此之间互不冲突。这种认识表面上看来有道理，而事实上却会引导教育走向一个茫然的误区。就象北斗有七星，而指引方向是其中的两颗。因此，在多元的目标中，就某节课而言，有它的主目标，这目标的把握决定了本课时的价值意义。笔者认为，目标的多元是正确的，但多元的目标并不意味着每一目标的平均着力，在目标的多元中有主辅之分，因此，本课时的目标理解在于“是通过强调不遗漏不重复来达到正确掌握列举方法”还是“通过排列组合这一知识来培养学生不重复不遗漏的思维品质”之间，决定了课堂进程的性质。（二）数学准备课的涵义准备课，顾名思义，是以学习准备为目的的课，所以以课的形式进行准备学习，是为了学习主体具备知识学习所要求的一些条件，以便提高知识学习的质量。或者说以课的形式对学习准备有效的研究。就广义而言，小学数学每一节数学课，都是后续学习的准备课，但本文所探讨的是狭义的数学准备课，它通常是指为提高数学显性知识学习质量而进行的，指向于经验、思维要素、学习品质、数学语言等内容的课堂学习。为表述方便，相比较而言，我们把平时所上的以学习显性知识为目的课暂且称之为知识课。就学生的整个数学学习而言，没有数学准备课，学生的数学学习同样是完整的，但有了数学准备课，学生的数学学习会显得比较有质量。有关“动物学校”的课例讨论，其实质就是将它作为数学准备课来认识，还是把它作为知识课来认识的问题。在通常的课堂学习中，学习组织者一般都会安排复习环节，帮助学生回忆起从前学习过的知识，从而开展本节课的学习。毫无疑问，这是一种学习准备。那么，“准备课”与知识课中的“复习”环节是否就是同一回事呢？显然，两者有相同之处，但其差别也是显而易见的。“数学准备课”将学习准备识为一门学问，进行专门研究，在关注学生知识学习中应具有的条件，并为这些条件设计课，给予其学习准备重要的地位。（三）数学准备课的基本特征为了在实践中较好的把握小学数学准备课程，本文对小学数学准备课程的特征作简单论述。1﹒辅助性小学数学准备课程是为学生有质量的学习小学数学课程而开发设计的众多计划的总和，是教师为国家课程为学生所接受而进行的创造性工作的一部分。而且小学数学准备课程因为多指向于内在经验、内隐图式、习惯、思维品质、思维要素等隐性知识，作为显性知识的支撑部分，所取得的效果往往难以象显性知识那样作试验测试。2﹒人本性我们知道，一门学科课程，课程开发者多从学科知识的系统性来考虑问题，这些问题可以表现为简入繁，由浅入深，由易入难等。而数学准备课程则强调了人的状况，即从人的可接受性来思考问题，因此，小学数学准备课程的开发完全是基于学生的学习能力而进行的，是对人的学习关怀，具有最人性的表现。3﹒生成性小学数学准备课程是针对具体学生的具体任务而设计的，因此，小学数学准备课程具有生成性。正是这一生成性，决定了小学数学准备课程的开发主体是教师本人，就如前面“动物学校”内容，有的老师把它上成知识课，有的老师把它理解为准备课。有的老师在学生发生学习困难的时候一味指责学生，并简单的强迫学生记住，而有的老师会针对学习困难去寻找原因，设计新的活动内容，帮助学生纾解困难。因此，小学数学准备课特具有生成性，需要教师的智慧。4﹒创造性准备课程是以各种形式的准备课呈现的，由于教师所设计的每一节准备课（包括以教学片段呈现）都需要教师根据学生在学习进程中的具体情况进行设计，因此，其创造性便成为一个基本的要求。5﹒多样性对准备课程的多样性，前面有过零星的描述，准备课程有广义与狭义之分，就广义而言，学生在学校学习的每一课时对后续学习而言，均具有准备意义，是准备课程的形式之一。就狭义而言，准备课的形式也有多种表现形式，有呈现为复习课的、有呈现为新授课之中之复习环节的、有呈现为数学游戏的、有呈现为数学参观的、有呈现为针对某一经验而专门设计成课堂学习形态的，等等，不一而足。数学准备课程的多样性使的小学生的数学学习成为一个持续的过程，成为一个与学生生活始终连接在一起的整体。（四）小学数学准备课程的类型小学数学准备课的类型，按照分类标准的不同，呈现不同的类型1﹒按学生学习材料分① 经验类这一类准备课程主要在于帮助学生积累更多的经验准备，让学生有充分的感性认识，并在此基础上进行经验整理，使之调整到适宜于学习的状态上来。数学新课程标准对小学生的学习方式提出明确要求，强调了“经历、体验、探究”，其中经历与体验都是基于经验的学习方式，对于小学生而言，基于经验的学习是活的，不是死记硬背的，因此，经验十分重要。就数学学习而言，有助于数学学习的经验包括：程序的经验：这种经验源自生活中的行动，比如分苹果，呈现一个先后的程序性的聚合与分散的过程，在这一过程中获取的经验成为学生理解加、减、乘、除运算方式的基础。情境的经验：学生对应用题的理解程度与学生对情境的熟悉水平具有相关性，如果某一问题的情境学生熟悉，学生就能够以一种亲切而有信心的情绪状态进行问题的思考，反之，学生就会如同进入一个陌生地带，以一种略带紧张的情绪状态进行思考，就会影响思考的质量。关系的经验：能否在数与数、量与量之间建立正确的关系，是影响小学生数学学习质量的一个重要因素，这些建立关系的能力取决于小学生对关系的经验 。比如学生的购物经验，能够使他们比较容易的建立起单价与数量的相乘关系。空间的经验：从上下、左右、前后、内外开始建立起来的方位经验为基础，学生在空间方面所获得的经验对学生的形体知识的理解，具有十分重要的意义。其他的相关经验：比如度量，比如对声音的感受等等。② 语言类这一类准备课程主要帮助学生体会数学语言与生活语言的差别，并学会用数学语言进行思考，并试着用数学语言进行表达。在小学数学中，学生们经历的数学语言方式主要包括：图形符号表示的数学语言：比如各种动物图案、点线面图案等。数字符号表示的数学语言字母符号表示的数学语言关系式表示的数学语言等③ 数学思想类数学思考往往建筑于某些特定数学思想的成熟，比如一一对应，比如守衡互逆等，在这些数学思想发展不成熟的情况下，需设计相应的课程帮助学生尽快认识到这些数学思想，并使之成熟。④ 学习方法类主要向学生宣讲一些关于学习方法的知识，培养一些习惯，对学习心理形成初步的认识，形成学生之认知能力。2﹒从教师材料的组织来分类① 新课程教材提供的再创型准备课程新课程理念下的新教材已经有许多用于学习准备的材料，这些材料需要老师进行合理的再创造，实现其关于学习准备的意义。下面，我们以人教版小学数学为例，来看看教材提供的用于学习准备的材料。册 次 内 容 学习准备的意义数一数 对应思想比一比 对应、数学语言认识物体和图形 积累形体经验分类 思维方法第一册（上）认识钟表 整理时间认读的经验、方法位置 对应思想、函变思想图形拼组 空间组合、图形割补第二册（一下）找规律 思维要素的培养观察物体 换位思考去自找中心的培养第三册（二上）数学广角 经历数学问题的抽象过程平移与旋转 感受运动方式剪一剪 对称性的感受有多重 估计的经验第四册（二下）找规律 思维要素翻阅以上教材，我们感到欣慰，新教材与旧教材相比，有了许多具有准备意义的内容，这些内容是教师着手研究学习准备的好材料，这种材料就小学数学教材来看，以一、三年级为最多，二年级其次，这是符合小学生的数学认知的规律的，数学老师应当很好的认识这种规律。下面，我们以“时间”为主题进行新旧教间的分析：浙教版小学数学对教师关于时间的安排在三年级上册（第五册），以“时、分、秒的认识”为课题，从认识钟面，到时、分、秒的进率安排了两个课时。在人教版新教材中，关于时间的认识，预先分别安排在一年级（上）“认识钟表”和一年级（下）“认识时间”两个准备性材料，这两个材料均处于生活经验层面，目的是将模糊的自觉性经验凸现为公共性的经验，为进一步学习时、分、秒做好准备。可以认为，这种编排意图，对于学生的学习意义是十分重大的。因此，教师应该把这些材料使用好，使其真正实现其准备意义。② 教师根据学生实际原创性的准备课程学习是一种共性行为，同时也是个性行为，学习过程中出现的随机问题，需要教师解决这些会给学习带来困难的问题，这就要求教师本人进行原创性的课程开发，这些开发的各种类型可以依据前面论述的不同分类进行相应的开发。（五）小学数学准备程开发的案例1．以经验的积累，整理与改造为特征的准备课学生的经验与纯粹的知识之间是一个十分值得教师去研究的领域，这个领域的研究可以对学习过程中许多令人迷惑的问题作出有益的回答。数学知识的起始学习应该植根于学生的经验之中，这已是教师们的共识。但是，我们教师却很少去关注学生个体之间在经验获得上的差别。而且个体所获得的经验质量的确也是参差不齐，形成经验差别的原因主要有两个方面：即生活经历与学生在经历中的悟性。因为学生的经验有所差别，形成了数学学习的不同起点，从而必然导致数学学习的不同结果。因此，在学习纯粹的数学知识之前，分析该数学知识所导向的经验，并通过一定的数学方式，使班级学生能够在经验层面上达到大致相同的可接受水平，这对于学习是十分重要的。[案例] “半个”和“一半”教学目标：激活学生生活中关于分数的经验，引导学生由生活中的分数语言向科学的分数语言发展。学具准备：一张园形纸片环节一：“半个”的研究问题一：你看到“半个”东西吗？在哪里看到的？（目的：激活“半个”经验）问题二：“半个”和“小半个”、“大半个”有什么不同？（目的：提炼经验中关于“半个”、“平均”的体验）问题三：你能用例子来证明你得到的一定是半个而不是小半个吗？（目的：用圆形纸片对折，强化平均体验）环节二：“一半”的研究问题一：你认为“一半”和“半个”是同一回事吗？（目的：了解学生关于“一半”与“半个”的生活认识）问题二：请你举一个例子说，拿出了“一半”？（目的：体会必须说清楚，拿出谁的一半，即单位“1”）问题三：请你举一个例子说“一半”和“半个”有什么地方不同）（目的：体会分率与量的区别）问题四：你能说说“一半”和“半个”有什么共同之处吗？（目的：体会并抽象都是平均分成两份得来的）环节三：课堂小结作用分析：经验是介于纯粹的生活与科学的知识之间的一种认识，对分数这一概念而言，可做如下分析：纯粹的生活经历 经验 科学的概念认识典型场景 典型描述 典型陈述分西瓜（分月饼） 半个（小半个） 把“1”平均分成两份取其中的一份是2 分之1从上述分析中，我们可以看出，支撑学生理解分数概念的不是分西瓜或分月饼这一情景本身，而是由这一情景激发而起的经验，但这一事实，却在我们的学习过程中被忽视了，或者说被我们省略了。这种省略既表现在教材设计上，也表现在教师的课堂教学中，所以，学生在学习这一内容时，往往是从切分的生活情境直接跳跃到纯粹的概念，这个跳跃过程掩盖了学生们经验上的差别，这种经验上的差别必然表现为科学概念上的差别。需要特别指出的一点，也是我们在数学教育中亟需充分加以认识的一点，就是学生的经验的获得是纯个人的，具有很强的随机性。悟性高的学生会比较快的从经历中获得经验，且获得的经验具有一定的抽象水平，有学习性。悟性低的学生在事件的经历中会仅停留于事件本身，没有获得经验或所获得经验抽象水平低，不能成为学生个体支持接受科学概念的内在结构。在数学学习中，成为问题的首先是假设中的这些悟性低的学生，由于悟性（或经历本身）的差别，在新知识的学习中，他们已经处于一个不均衡的起点之中，即悟性高的学生是不自觉的从经验水平到科学概念水平，而悟性欠缺的学生是被迫从事件本身直接接受科学概念的学习，因此，他们理解的会不深刻，不全面，他们需要死记硬背。可以认为，如果有这么一个过程，让小学生们在事件的经历中讨论他们所获得的经验，把学生们原本不自觉的、自生自灭的经验获得，以一种课堂讨论的方式予以呈现，让所有学生意识到经验获得之间的差别，并同时意识到在一个事件的经历过程中，是有学问可以感悟的。在此基础上培养学生们的经验获得能力与经验的改造能力，使群体中的学生个体的经验处于基本类似的水平上，对于学生科学概念的获得具有重要意义。这一课时的设计在起到上述所要求的作用上作出有益探索。2．以数学语言的建立，转换与使用为特征的准备课语言的思维工具，数学学习的质量不 与数学语言的建立与使用的熟练水平有密切联系。数学语言的建立与使用需要进行专门的学习与训练。当然，大而言之，学生每一节数学课都是在学习或建立数学语言，语言学习是逐渐丰满完善，特别是帮助学生思考的语言工具如线段图，树形图等，则需要老师用专门的课程去帮助。[课例] 线段图教学目的：认识线段图，学会用线段图帮助思考问题教学过程：环节一：展现线段图的抽象过程。问题一：生活语言：有3只小鸟，这句话可以用什么符合来表示？有3只小鸟 符合表示一 & & &表示二 ○ ○ ○表示三 ● ● ●表示四目 的：（展现符号由具象到抽象的过程）体会线段图表示数量的功能。问题二：生活语言：自行车比小汽车多2辆，你可以用怎样的符号来表示？符号表示一 bbbbbbŽŽŽŽ符号表示二 ○○○○○○○○○○符号表示三问题三：你认为哪种符号来表示更好？（目的：线段可以表示更多数量，更简洁、明了）环节二：练习，认识线段图练习一：请用线段图来表示下列生活语言。① 鸡和鸭一共50只。② 略。练习二：请用语言陈述下列线段图所表达的意义。① 鸡& 鸭② 略环节三：进一步学习线段图。3．数学思想的体验、感悟与表达为特征的准备课一个正常的学童，在小学数学学习中碰到的第一个学习困难往往与“比较”联在一起的，可以说：“比较”这一数学思想贯穿了小学生小学数学学习的始终，这一条贯彻始终的线可以简单的罗列为下列几个典型句式：第一阶段： □ 和 □ 一样多。1、2 年级 □ 比 □ 多(少)几。第二阶段： □ 是 □ 的几倍。3、4 年级 □ 比 □ 的几倍多(少)几。第三阶段： □ 是 □ 的几分之几。5、6 年级 □ 比 □ 多(少)几分之几。从学生的发展来看，如果1、2 年级时没搞清楚的，那么后续学习的发展会一直发生错误。针对学生的困难，教师必需思考这样一个问题：即支撑学生理解“比较”的内在结构是什么？笔者认为是一种被称之为“对应”的数学思想。在小学三年级，有学生在解答应用题“已知3 小时行150千米，照这样计算，那么4 小时应行多少千米？”时，会出现这样列式：150÷4×3，究其原因，因为对应思想的缺乏或幼稚，对识别信息不能自动的对应处理，导致数学认知的混乱。因此，在小学起始阶段，数学教师应该去关注或有意培养学生的对应思想，守衡思想，互逆思想等等。小学数学第一册第一节内容是“数数”，第二节内容是比较，这两个材料其实就是用来观察学生对应思想的成熟水平，并根据学生实际水平，有目的的让学生在做一些关于一一对应的练句与游戏。[课例] 数一数 比一比（一年级）教学目的：培养学生一一对应的数学思想教学准备：围棋子若干教学过程：环节一：数数（一个一个数）（要求学生手指点物并报数，了解学生数数中的对应发展）环节二：数数（几个几个数）（目的：从一个一个对应，到一组一组对应）环节三：比较两堆棋子：材料1：●●●●●●○○○○○问：白子黑子谁更多？材料 2：○○○○○问：白子黑子谁更多。（目的：运用对应进行比较）环节四：听故事，说出谁家的人比较多（略）。（目的：将故事中的人对应到某家之下，培养学生对应能力）4．以思维要素的培养、熟练与运用为特征的准备课新课程提倡探究学习，老师们在运用探究学习法的时候都认为探究学习很好，可是实践起来很困难，因为探究很费时间，影响教学进度。使得探究这样一种有意义、有价值的学习方式未能很好的为学生的学习服务，这是多么可惜的事情。那么，有没有办法能够使探究学习进行的省时间呢？这办法就是通过有系统的课程，培养学生的思维要素。如怎样观察、如何分类、抽象联结等等，一个学生有了良好的思维要素，探究活动就会变得有效率。举例来说：比如培养学生的联结能力，可以参考美国的OM 头脑训练方法，进行联结能力的培养：材料： 把 和 联结起来规则：⑴评分：一般回答得2分，有创意回答得5分；⑵不得重复。操作办法：短时间的经常练习。效果：以五年级两个班为比较对象，班A从三年级开始就经常开展类似的思维要素的训练，班B从未开展过类似的训练。测试材料为同一份即“一水池单开进水管12小时放满，单开水管15小时放完，如果同时打开进水管与出水管，问几小时可以把水池放满？有人说在生活中是不可能出现同时打开进出水管这样的情境的，你认为这种情况会出现吗？回答的答案整理：A班 B班会的，比如来排队的人与进场的人比如生长的草和吃去的草比如肥胖比如出生的人和死亡的人……会的，因为有时会忘记从两个班的回答中不难发现，A班通过思维要素的训练，其联结与抽象的能力已非常突出，他们可以透过具体的形式进入最为重要的素质，思考的质量就非常突出。B班因为没有进行过类似的思维要素的训练，就一直拘泥于形，以“忘记”来作解释。从这样事例中，也充分可以看出，准备课的准备性，也许在上准备课的时候，并不能马止看出这节准备课对于学生的学习有什么帮助，但长远来看，这些准备课将非常深远的影响学生的学习能力与思考质量。5．以活动的经历，感悟与积累为特征的准备课学生的数学学习离不开学生的生活经验，新课程数学标准十分重视学生自身的经历与经验，在新教材中，有许多关于经历活动感悟经验的材料，比如“认识物体”，让学生看一看，摸一摸，滚一滚，这个过程中虽然没有对圆柱体下科学定义，但学生从中感悟的经验对学生在六年级时学习圆柱体，无疑是有十分有益的帮助的。据报道，某年高考数学试验有一道数学题错得比较多，老师们分析原因，阻碍考生理解题意的一大原因是考生们对“轧钢”这一过程不理解。新教材设计了许多引导学生积累经验的材料，比如“认识物体”，比如“平移”，比如“旋转”，通过这些课程的学习，使学生积累了有益于理解数学概念与问题情境的经验。[课例] 平移（略）结 束 语小学数学准备课程在研究的过程中，体会到作用是明显的，其作用主要有两点：第一点是给老师提供了一条新思路，当学生学习发生困难时，回到知识经验的源头去，而不是在末端与学生纠缠不清。第二点是小学数学准备课程对学生学习质量的影响是久远而深刻的。不足之处在于对数学准备课程的研究基本上局限于定性研究，尚且不能用数据来说明效果，可以用描述性的语言、案例等。因此，本课题的研究有待进一步的深入。
海淀教育科学研究所
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