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举例说明余弦定理、正弦定理的作用和意义
举例说明余弦定理、正弦定理的作用和意义
例1.在△ABC中,已知b=16,A=30°,B=120°,求边a及S△ABC.
本题是已知两角和任一边解三角形,由三角形全等的判定定理知,这样的三角形有一解.利用正弦定理求边a,然后利用公式S△ABC=absinC.
解:由正弦定理得a===,
又C=180°-(A+B)=180°-(30°+120°)=30°,
∴S△ABC=absinC=××16×=.
例2.根据下列条件解三角形:
①a=7,b=9,A=100°;②a=10,b=20,A=60°;③a=2,b=2,A=45°;④a=23,b=6,A=30°.
本题是已知三角形的两边及其一边的对角解三角形,可能会出现一解、两解或无解的情况,应该注意判断.
解:①a=7,b=9,∴a,∴AB.又A=100°,∴本题无解.
②bsinA=20·sin60°=10,∴aA.∴本题无解.
③∵a=2,b=,A=45°,∴a&B.∴三角形有一解.
sinB===,∴B=30°.
C=180°-(A+B)=180°-(30°+45°)=105°,
c===×=+1.
④a=2,b=6,a,A=30°,
又∵bsinA=6sin30°=3,a&bsinA,∴本题有两解.
由正弦定理得sinB===.
∴B=60°或B=120°.
当B=60°时,C=90°,边c===4.
当B=120°时,C=30°,边c==2.
(1)sin105°=sin75°=sin (45°+30°)=,另外, sin15°=sin (45°-30°)= .
(2)在判断解的个数时,注意运用三角形中大边对大角的性质.
(3)对于第②③④小题,亦可接如下解法求解:
②sinB===&1,∴三角形无解.
③sinB==,又a&b,∴A&B,即B为锐角.∴B=30°,有一解.
④sinB=,又a,即A,A=30°.
∴B=60°或120°,有两解.
例3.在△ABC中,已知a=2,b=2,C=15°,解此三角形.
由条件知本题是已知两边及其夹角解三角形问题,故可用余弦定理求出边c,然后结合正弦定理求A,
解:cos15°=cos (45°-30°)=,sin15°=sin (45°-30°)= .
由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcosC=4+8-22×(+)=8-43,∴c=-.
由正弦定理=,得==,∴sinA=.
∵b&a,即B&A.∴A为锐角,即A=30°.
∴B=180°-(A+C)=180°-(30°+15°)=135°.
在用正弦定理求角A时,如果不注意结合大边对大角,可能会得出A=30°或150°而得到两组解,实际这是错误的.
例4.在△ABC中,已知a=7,b=10,c=6,求三角(精确到1°).
已知三边求三角,应使用余弦定理的推论,如cosA=求解.
解:cosA==≈0.725,∴A≈44°.
cosC=≈0.807 1,∴C≈36°.
∴B=180°-(A+C)=180°-(44°+36°)=100°.
已知三边求三角,先用余弦定理求出任一边所对的角,求另外的角时可用正弦定理,亦可用余弦定理.用余弦定理求解,可直接通过符号判断角是锐角还是钝角,但计算较复杂,用正弦定理需要判断解的个数,但一般要先计算较小角(一定为锐角).
例5.已知△ABC中,b=3,c=3,B=30°,求A.
已知两边和其中一边的对角,可根据正弦定理求解,也可根据余弦定理解三角形.
解法一:由正弦定理得sinC==.
∵c&b,∴C&B.
∴C=60°或120°.
①当C=60°时,A=90°,∴a=6.
②当C=120°时,A=30°,∴a=3.
解法二:由余弦定理得b2=a2+c2-2accosB.
∴b2=a2+(3)2-2a·3·cos30°=9.
∴a2-9a+18=0.
∴a=3或a=6.
利用正弦定理,必须注意讨论解的情况,同时结合三角形大边对大角的性质.在解三角形问题中,应根据题目中给定的条件,灵活地选择正弦、余弦定理.
例6.△ABC中,sinA∶sinB∶sinC=(-1)∶(+1)∶,求最大角的度数.
由正弦定理可知a∶b∶c=(-1)∶(+1)∶,根据“大边对大角”,所以c边为最大边,则C角最大,可设a=(-1)k,b=(+1)k,c=k(k&0),则本题可转化为已知三边解三角形问题.
解:∵sinA∶sinB∶sinC=(-1)∶(+1)∶,
∴a∶b∶c=(-1)∶(+1)∶.
设a=(-1)k,b=(+1)k,c=k(k&0).
∴c边最长,即角C最大,由余弦定理,得cosC==-.
又C∈(0,π),∴C=120°.
本题关键在于把条件中的角的关系,转化为三角形边的关系,然后设出三边,利用转化的数学思想,把问题转化为已知三边求三角问题.
例7.已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2,BC=6,CD=DA=4,求四边形ABCD的面积.
连结AC,可将四边形转化为两个三角形,进而在三角形中利用三角函数的知识及正、余弦定理解决.
解:如图1-1-7,连结AC,∵B+D=180°,∴sinB=sinD.
S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=AB·BCsinB+AD·DCsinD=14sinB.
由余弦定理得
AB2+BC2-2AB·BCcosB=AD2+DC2-2A·DCcosD,
即40-24cosB=32-32cosD.
又cosB=-cosD,∴56cosB=8,cosB=.
∵0°,∴sinB==.
∴S四边形ABCD=14sinB=8.
(1)明确正弦、余弦定理的实质以及在解决三角形问题中的作用;在一些题目中,要注意转化,主要就是把问题放到三角形中,通过作辅助线,结合圆内接四边形的性质、三角形及余弦定理解决.
(2)求三角形面积的常用方法:①S△=×底×高;②S△=absinC;③海伦公式:S=(其中p=).
作用与意义:
1、利用正、余弦定理解三角形;
2、利用正、余弦定理进行边角关系的相互转化;
3、利用正、余弦定理判断三角形的形状;
4、利用正、余弦定理证明三角形中的三角恒等式;
5、通过实例,让学生发展用数学工具解答现实生活问题的能力。
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高三数学题：关于正弦定理的问题
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学生困惑：
来自于手机提问
17-08-04 23:15提问
数学老师木子12的解答
难&&易&&度：中等
考查了正弦定理及其应用，考查了利用三角函数值求角的范围
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大学本科毕业，中学高级教师，从事多年高中数学教学，教学经验丰富
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