满秩线性变换换是满秩变换的一个充分必要条件是
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时间：2017-05-01 18:10
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(y1,y2,...,yn)=b1y12+b2y22+...+bnyn2
2. ABnnC CTAC=BABAB
& X=CY&&&&&&&
&&& X=CY&&
=XTAX=(CY)TA(CY)
&&&&&& =YT(CTAC)Y=YTBY
&&& BT=(CTAC)T=CTAC=B
BYTBYBCCTAC
(x1,x2,,xn)P&
&&&&& &=1y12+2y22++nyn2
1, 2,...,,n
(x1,x2,,xn)A
(x1,x2,,xn)AA3P&&&
&P-1AP=PTAP=diag(1, 2,...,
& &&& X=PY
(x1,x2,,xn)=
XTAX =(PY)TA(PY)=YT(PTAP)Y
& =YT[diag(1, 2,,
=1y12+2y22++nyn2&
(x1,x2,x3)=2x12
+ 5x22 + 5x32+4x1x2-4x1x3
(x1,x2,x3)=2x12
+ 5x22 + 5x32+4x1x2
- 4x1x3 - 8x2x3
=y12+y22+10
(x1,x2,x3)=x12 + ax22
+ x32 + 2bx1x2 + 2x1x3
=y22+4y32ab
P-1AP=PTAP=D
1+a+1=0+1+4a3
1=0 (0E-A)x=
1=(1,0,-1)T 1
2=1 (E-A)x=
2=(1,-1,1)T
(x1,x2,x3)=x12 + 3x22
+ x32 + 2x1x2 + 2x1x3
3 (x,y)=5x2-4xy+8y2
(x,y)=5x2-4xy+8y2
& & (x1,x2,,xn)=2x12+x22-4x1x2-4x2x3
(x1,x2,x3)=
3= -2 & X3=[1,
(X 1, X2)=-4+2+2=0;
1, X3)=-2-2+4=0;
2, X3)=+2-4+2=0;
&& (x1,x2,x3)=XTAX=
(PY)TA(PY)= YT(PTAP)Y
=[y1,y2,y3]T
=y12+4y22-2y32第六章&二次型
一、【重点】
1．正交变换化二次型为标准型
2．二次型的正定性
二、【难点】
1．正交变换化二次型为标准型
2．惯性定理。
三、【基本概念与定理】
1．二次型：含有<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image002.gif" WIDTH="13" HEIGHT="15" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />个变量<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image004.gif" WIDTH="80" HEIGHT="24" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />的二次齐次多项式<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image006.gif" WIDTH="188" HEIGHT="39" V:SHAPES="_x" NAME="image_operate_29848"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />称为二次型。
2．二次型的矩阵形式：<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image008.gif" WIDTH="68" HEIGHT="24" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />是二次型的矩阵形式，其中<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image010.gif" WIDTH="204" HEIGHT="27" V:SHAPES="_x" NAME="image_operate_29896"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />为对称矩阵，称<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image012.gif" WIDTH="16" HEIGHT="17" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />为二次型<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image014.gif" WIDTH="107" HEIGHT="21" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />的矩阵。
3．二次型的秩：矩阵<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image012.gif" WIDTH="16" HEIGHT="17" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />的秩称为二次型<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image008.gif" WIDTH="68" HEIGHT="24" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />的秩。
4．线性变换：设有两组变量<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image004.gif" WIDTH="80" HEIGHT="24" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />和<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image017.gif" WIDTH="83" HEIGHT="24" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />，关系式
<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image019.gif" WIDTH="207" HEIGHT="99" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />
称为由变量<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image004.gif" WIDTH="80" HEIGHT="24" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />到变量<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image017.gif" WIDTH="83" HEIGHT="24" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />的一个线性变换。
如果记<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image023.gif" WIDTH="312" HEIGHT="99" V:SHAPES="_x" NAME="image_operate_50764"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />，则线性变换可写成矩阵形式<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image025.gif" WIDTH="48" HEIGHT="21" V:SHAPES="_x" NAME="image_operate_41152"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />。矩阵<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image027.gif" WIDTH="16" HEIGHT="19" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />称为线性变换的矩阵.
当<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image029.gif" WIDTH="45" HEIGHT="27" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />时，称上述线性变换为非退化的线性变换，否则称之为退化的。
5．合同：设<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image031.gif" WIDTH="32" HEIGHT="19" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />为<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image002.gif" WIDTH="13" HEIGHT="15" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />阶矩阵，若有<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image002.gif" WIDTH="13" HEIGHT="15" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />阶非奇异矩阵<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image033.gif" WIDTH="16" HEIGHT="17" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />，使得<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image035.gif" WIDTH="73" HEIGHT="21" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />，则称<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image037.gif" WIDTH="16" HEIGHT="16" V:SHAPES="_x" NAME="image_operate_7960"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />与<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image039.gif" WIDTH="16" HEIGHT="16" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />合同。
6．定理：若矩阵<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image037.gif" WIDTH="16" HEIGHT="16" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />与<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image039.gif" WIDTH="16" HEIGHT="16" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />合同，则<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image012.gif" WIDTH="16" HEIGHT="17" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />与<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image043.gif" WIDTH="16" HEIGHT="17" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />等价，且有相同的秩。
7．定理：对于二次型<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image008.gif" WIDTH="68" HEIGHT="24" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />，一定存在正交变换<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image045.gif" WIDTH="49" HEIGHT="21" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />后，将<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image047.gif" WIDTH="16" HEIGHT="20" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />化为标准型：
<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image049.gif" WIDTH="184" HEIGHT="24" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />
其中<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image051.gif" WIDTH="81" HEIGHT="24" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />是二次型<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image047.gif" WIDTH="16" HEIGHT="20" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />的矩阵<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image012.gif" WIDTH="16" HEIGHT="17" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />的全部特征值。
8．正交变换化二次型为标准型的方法：对二次型<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image047.gif" WIDTH="16" HEIGHT="20" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />的矩阵<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image012.gif" WIDTH="16" HEIGHT="17" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />（实对称矩阵），
（1）解特征方程<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image054.gif" WIDTH="87" HEIGHT="24" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />，求出矩阵<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image012.gif" WIDTH="16" HEIGHT="17" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />的全部特征值<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image051.gif" WIDTH="81" HEIGHT="24" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />；
（2）对不同特征值<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image058.gif" WIDTH="17" HEIGHT="21" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />，解齐次线性方程组<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image060.gif" WIDTH="97" HEIGHT="21" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />，求出其基础解系，就是<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image012.gif" WIDTH="16" HEIGHT="17" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />的对应于特征值<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image058.gif" WIDTH="17" HEIGHT="21" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />的线性无关的特征向量，并正交化；
（3）将两两正交的特征向量为<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image062.gif" WIDTH="83" HEIGHT="21" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />单位化，得正交规范向量组<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image064.gif" WIDTH="77" HEIGHT="21" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />；
（4）构造可逆矩阵<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image066.gif" WIDTH="115" HEIGHT="21" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />，使其满足<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image068.gif" WIDTH="75" HEIGHT="24" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />，其中<img ALIGN="middle" src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image070.gif" WIDTH="144" HEIGHT="91" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />；
作正交变换<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image072.gif" WIDTH="48" HEIGHT="20" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />，将二次型<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image047.gif" WIDTH="16" HEIGHT="20" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />化为标准型：<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image049.gif" WIDTH="184" HEIGHT="24" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />。
9．配方法化二次型为标准型的方法：对任一实<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image002.gif" WIDTH="13" HEIGHT="15" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />元二次型，通过配方的方法，将二次型化为仅有平方和的形式<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image075.gif" WIDTH="181" HEIGHT="24" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />，其中<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image077.gif" WIDTH="128" HEIGHT="24" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />，且<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image079.gif" WIDTH="37" HEIGHT="17" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />。
10．初等变换法化二次型为标准型的方法：对二次型<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image047.gif" WIDTH="16" HEIGHT="20" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />的矩阵<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image012.gif" WIDTH="16" HEIGHT="17" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />（实对称矩阵），
（1）构造<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image081.gif" WIDTH="43" HEIGHT="17" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />矩阵<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image083.gif" WIDTH="32" HEIGHT="45" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />，对<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image012.gif" WIDTH="16" HEIGHT="17" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />作初等行变换，并对<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image083.gif" WIDTH="32" HEIGHT="45" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />也作相同的初等列变换；
（2）当<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image012.gif" WIDTH="16" HEIGHT="17" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />化为对角矩阵后，单位矩阵就化成了相应的满秩矩阵<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image033.gif" WIDTH="16" HEIGHT="17" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />；
（3）二次型<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image008.gif" WIDTH="68" HEIGHT="24" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />经满秩线性变换<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image086.gif" WIDTH="47" HEIGHT="20" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />化为标准型<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image088.gif" WIDTH="181" HEIGHT="24" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />。
11．惯性定理：设实二次型<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image008.gif" WIDTH="68" HEIGHT="24" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />的秩为<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image090.gif" WIDTH="12" HEIGHT="13" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />，经两个实满秩线性变换<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image086.gif" WIDTH="47" HEIGHT="20" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />及<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image092.gif" WIDTH="45" HEIGHT="17" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />，使
<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image094.gif" WIDTH="327" HEIGHT="28" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />，其中<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image096.gif" WIDTH="121" HEIGHT="21" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />
<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image098.gif" WIDTH="312" HEIGHT="28" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />，其中<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image100.gif" WIDTH="121" HEIGHT="21" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />
则<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image102.gif" WIDTH="37" HEIGHT="17" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />，且<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image104.gif" WIDTH="15" HEIGHT="17" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />称为二次型<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image047.gif" WIDTH="16" HEIGHT="20" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />的正惯性指数，<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image106.gif" WIDTH="37" HEIGHT="17" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />称为二次型<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image047.gif" WIDTH="16" HEIGHT="20" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />的负惯性指数，
<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image108.gif" WIDTH="132" HEIGHT="21" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />称为符号差。
12．二次型的规范型：设二次型<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image008.gif" WIDTH="68" HEIGHT="24" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />的秩为<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image090.gif" WIDTH="12" HEIGHT="13" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />，经满秩线性变换<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image086.gif" WIDTH="47" HEIGHT="20" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />，使
<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image094.gif" WIDTH="327" HEIGHT="28" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />，
其中<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image096.gif" WIDTH="121" HEIGHT="21" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />，我们可以再通过满秩变换化为<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image110.gif" WIDTH="223" HEIGHT="27" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />，这种形式叫做二次型<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image047.gif" WIDTH="16" HEIGHT="20" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />的规范型。
13．定理：实对称矩阵<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image037.gif" WIDTH="16" HEIGHT="16" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />与<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image039.gif" WIDTH="16" HEIGHT="16" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />合同的充分必要条件是<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image037.gif" WIDTH="16" HEIGHT="16" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />与<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image039.gif" WIDTH="16" HEIGHT="16" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />有相同的规范型。
14．二次型的正定性：在二次型<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image008.gif" WIDTH="68" HEIGHT="24" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />中，如果对任意<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image114.gif" WIDTH="44" HEIGHT="17" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />都有<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image116.gif" WIDTH="89" HEIGHT="24" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />成立，则称<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image047.gif" WIDTH="16" HEIGHT="20" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />为正定二次型，相应的对称矩阵<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image012.gif" WIDTH="16" HEIGHT="17" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />称为正定矩阵；如果对任意<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image114.gif" WIDTH="44" HEIGHT="17" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />都有<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image118.gif" WIDTH="89" HEIGHT="24" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />成立，则称<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image047.gif" WIDTH="16" HEIGHT="20" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />为负定二次型，相应的对称矩阵<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image012.gif" WIDTH="16" HEIGHT="17" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />称为负定矩阵。
15．定理：若<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image037.gif" WIDTH="16" HEIGHT="16" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />是<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image002.gif" WIDTH="13" HEIGHT="15" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />阶实对称矩阵，则下列命题等价：
（1）<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image008.gif" WIDTH="68" HEIGHT="24" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />是正定二次型；
（2）<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image012.gif" WIDTH="16" HEIGHT="17" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />是正定矩阵；
（3）<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image037.gif" WIDTH="16" HEIGHT="16" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />的<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image002.gif" WIDTH="13" HEIGHT="15" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />个特征值全为正；
（4）<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image047.gif" WIDTH="16" HEIGHT="20" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />的标准型的<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image002.gif" WIDTH="13" HEIGHT="15" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />个系数全为正；
（5）<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image047.gif" WIDTH="16" HEIGHT="20" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />的正惯性指数为<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image002.gif" WIDTH="13" HEIGHT="15" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />；
（6）<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image037.gif" WIDTH="16" HEIGHT="16" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />与单位矩阵<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image120.gif" WIDTH="17" HEIGHT="16" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />合同；
（7）存在可逆矩阵<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image122.gif" WIDTH="16" HEIGHT="16" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />，使<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image124.gif" WIDTH="61" HEIGHT="20" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />；
（8）<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image012.gif" WIDTH="16" HEIGHT="17" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />的所有顺序主子式<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image126.gif" WIDTH="145" HEIGHT="24" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />
四、【基本公式与法则】
1．<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image037.gif" WIDTH="16" HEIGHT="16" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />与<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image037.gif" WIDTH="16" HEIGHT="16" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />自己合同；
2．<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image037.gif" WIDTH="16" HEIGHT="16" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />与<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image039.gif" WIDTH="16" HEIGHT="16" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />合同，则<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image039.gif" WIDTH="16" HEIGHT="16" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />与<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image037.gif" WIDTH="16" HEIGHT="16" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />合同；
3．<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image037.gif" WIDTH="16" HEIGHT="16" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />与<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image039.gif" WIDTH="16" HEIGHT="16" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />合同，<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image039.gif" WIDTH="16" HEIGHT="16" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />与<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image033.gif" WIDTH="16" HEIGHT="17" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />合同，则<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image037.gif" WIDTH="16" HEIGHT="16" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />与<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image033.gif" WIDTH="16" HEIGHT="17" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />合同。
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(y1,y2,...,yn)=b1y12+b2y22+...+bnyn2
2. ABnnC CTAC=BABAB
& X=CY&&&&&&&
&&& X=CY&&
=XTAX=(CY)TA(CY)
&&&&&& =YT(CTAC)Y=YTBY
&&& BT=(CTAC)T=CTAC=B
BYTBYBCCTAC
(x1,x2,,xn)P&
&&&&& &=1y12+2y22++nyn2
1, 2,...,,n
(x1,x2,,xn)A
(x1,x2,,xn)AA3P&&&
&P-1AP=PTAP=diag(1, 2,...,
& &&& X=PY
(x1,x2,,xn)=
XTAX =(PY)TA(PY)=YT(PTAP)Y
& =YT[diag(1, 2,,
=1y12+2y22++nyn2&
(x1,x2,x3)=2x12
+ 5x22 + 5x32+4x1x2-4x1x3
(x1,x2,x3)=2x12
+ 5x22 + 5x32+4x1x2
- 4x1x3 - 8x2x3
=y12+y22+10
(x1,x2,x3)=x12 + ax22
+ x32 + 2bx1x2 + 2x1x3
=y22+4y32ab
P-1AP=PTAP=D
1+a+1=0+1+4a3
1=0 (0E-A)x=
1=(1,0,-1)T 1
2=1 (E-A)x=
2=(1,-1,1)T
(x1,x2,x3)=x12 + 3x22
+ x32 + 2x1x2 + 2x1x3
3 (x,y)=5x2-4xy+8y2
(x,y)=5x2-4xy+8y2
& & (x1,x2,,xn)=2x12+x22-4x1x2-4x2x3
(x1,x2,x3)=
3= -2 & X3=[1,
(X 1, X2)=-4+2+2=0;
1, X3)=-2-2+4=0;
2, X3)=+2-4+2=0;
&& (x1,x2,x3)=XTAX=
(PY)TA(PY)= YT(PTAP)Y
=[y1,y2,y3]T
=y12+4y22-2y32第六章&二次型
一、【重点】
1．正交变换化二次型为标准型
2．二次型的正定性
二、【难点】
1．正交变换化二次型为标准型
2．惯性定理。
三、【基本概念与定理】
1．二次型：含有<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image002.gif" WIDTH="13" HEIGHT="15" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />个变量<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image004.gif" WIDTH="80" HEIGHT="24" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />的二次齐次多项式<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image006.gif" WIDTH="188" HEIGHT="39" V:SHAPES="_x" NAME="image_operate_29848"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />称为二次型。
2．二次型的矩阵形式：<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image008.gif" WIDTH="68" HEIGHT="24" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />是二次型的矩阵形式，其中<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image010.gif" WIDTH="204" HEIGHT="27" V:SHAPES="_x" NAME="image_operate_29896"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />为对称矩阵，称<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image012.gif" WIDTH="16" HEIGHT="17" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />为二次型<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image014.gif" WIDTH="107" HEIGHT="21" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />的矩阵。
3．二次型的秩：矩阵<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image012.gif" WIDTH="16" HEIGHT="17" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />的秩称为二次型<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image008.gif" WIDTH="68" HEIGHT="24" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />的秩。
4．线性变换：设有两组变量<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image004.gif" WIDTH="80" HEIGHT="24" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />和<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image017.gif" WIDTH="83" HEIGHT="24" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />，关系式
<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image019.gif" WIDTH="207" HEIGHT="99" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />
称为由变量<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image004.gif" WIDTH="80" HEIGHT="24" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />到变量<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image017.gif" WIDTH="83" HEIGHT="24" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />的一个线性变换。
如果记<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image023.gif" WIDTH="312" HEIGHT="99" V:SHAPES="_x" NAME="image_operate_50764"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />，则线性变换可写成矩阵形式<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image025.gif" WIDTH="48" HEIGHT="21" V:SHAPES="_x" NAME="image_operate_41152"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />。矩阵<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image027.gif" WIDTH="16" HEIGHT="19" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />称为线性变换的矩阵.
当<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image029.gif" WIDTH="45" HEIGHT="27" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />时，称上述线性变换为非退化的线性变换，否则称之为退化的。
5．合同：设<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image031.gif" WIDTH="32" HEIGHT="19" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />为<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image002.gif" WIDTH="13" HEIGHT="15" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />阶矩阵，若有<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image002.gif" WIDTH="13" HEIGHT="15" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />阶非奇异矩阵<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image033.gif" WIDTH="16" HEIGHT="17" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />，使得<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image035.gif" WIDTH="73" HEIGHT="21" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />，则称<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image037.gif" WIDTH="16" HEIGHT="16" V:SHAPES="_x" NAME="image_operate_7960"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />与<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image039.gif" WIDTH="16" HEIGHT="16" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />合同。
6．定理：若矩阵<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image037.gif" WIDTH="16" HEIGHT="16" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />与<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image039.gif" WIDTH="16" HEIGHT="16" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />合同，则<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image012.gif" WIDTH="16" HEIGHT="17" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />与<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image043.gif" WIDTH="16" HEIGHT="17" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />等价，且有相同的秩。
7．定理：对于二次型<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image008.gif" WIDTH="68" HEIGHT="24" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />，一定存在正交变换<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image045.gif" WIDTH="49" HEIGHT="21" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />后，将<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image047.gif" WIDTH="16" HEIGHT="20" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />化为标准型：
<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image049.gif" WIDTH="184" HEIGHT="24" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />
其中<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image051.gif" WIDTH="81" HEIGHT="24" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />是二次型<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image047.gif" WIDTH="16" HEIGHT="20" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />的矩阵<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image012.gif" WIDTH="16" HEIGHT="17" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />的全部特征值。
8．正交变换化二次型为标准型的方法：对二次型<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image047.gif" WIDTH="16" HEIGHT="20" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />的矩阵<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image012.gif" WIDTH="16" HEIGHT="17" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />（实对称矩阵），
（1）解特征方程<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image054.gif" WIDTH="87" HEIGHT="24" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />，求出矩阵<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image012.gif" WIDTH="16" HEIGHT="17" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />的全部特征值<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image051.gif" WIDTH="81" HEIGHT="24" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />；
（2）对不同特征值<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image058.gif" WIDTH="17" HEIGHT="21" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />，解齐次线性方程组<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image060.gif" WIDTH="97" HEIGHT="21" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />，求出其基础解系，就是<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image012.gif" WIDTH="16" HEIGHT="17" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />的对应于特征值<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image058.gif" WIDTH="17" HEIGHT="21" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />的线性无关的特征向量，并正交化；
（3）将两两正交的特征向量为<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image062.gif" WIDTH="83" HEIGHT="21" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />单位化，得正交规范向量组<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image064.gif" WIDTH="77" HEIGHT="21" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />；
（4）构造可逆矩阵<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image066.gif" WIDTH="115" HEIGHT="21" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />，使其满足<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image068.gif" WIDTH="75" HEIGHT="24" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />，其中<img ALIGN="middle" src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image070.gif" WIDTH="144" HEIGHT="91" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />；
作正交变换<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image072.gif" WIDTH="48" HEIGHT="20" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />，将二次型<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image047.gif" WIDTH="16" HEIGHT="20" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />化为标准型：<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image049.gif" WIDTH="184" HEIGHT="24" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />。
9．配方法化二次型为标准型的方法：对任一实<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image002.gif" WIDTH="13" HEIGHT="15" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />元二次型，通过配方的方法，将二次型化为仅有平方和的形式<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image075.gif" WIDTH="181" HEIGHT="24" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />，其中<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image077.gif" WIDTH="128" HEIGHT="24" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />，且<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image079.gif" WIDTH="37" HEIGHT="17" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />。
10．初等变换法化二次型为标准型的方法：对二次型<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image047.gif" WIDTH="16" HEIGHT="20" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />的矩阵<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image012.gif" WIDTH="16" HEIGHT="17" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />（实对称矩阵），
（1）构造<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image081.gif" WIDTH="43" HEIGHT="17" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />矩阵<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image083.gif" WIDTH="32" HEIGHT="45" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />，对<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image012.gif" WIDTH="16" HEIGHT="17" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />作初等行变换，并对<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image083.gif" WIDTH="32" HEIGHT="45" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />也作相同的初等列变换；
（2）当<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image012.gif" WIDTH="16" HEIGHT="17" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />化为对角矩阵后，单位矩阵就化成了相应的满秩矩阵<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image033.gif" WIDTH="16" HEIGHT="17" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />；
（3）二次型<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image008.gif" WIDTH="68" HEIGHT="24" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />经满秩线性变换<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image086.gif" WIDTH="47" HEIGHT="20" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />化为标准型<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image088.gif" WIDTH="181" HEIGHT="24" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />。
11．惯性定理：设实二次型<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image008.gif" WIDTH="68" HEIGHT="24" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />的秩为<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image090.gif" WIDTH="12" HEIGHT="13" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />，经两个实满秩线性变换<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image086.gif" WIDTH="47" HEIGHT="20" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />及<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image092.gif" WIDTH="45" HEIGHT="17" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />，使
<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image094.gif" WIDTH="327" HEIGHT="28" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />，其中<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image096.gif" WIDTH="121" HEIGHT="21" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />
<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image098.gif" WIDTH="312" HEIGHT="28" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />，其中<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image100.gif" WIDTH="121" HEIGHT="21" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />
则<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image102.gif" WIDTH="37" HEIGHT="17" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />，且<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image104.gif" WIDTH="15" HEIGHT="17" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />称为二次型<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image047.gif" WIDTH="16" HEIGHT="20" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />的正惯性指数，<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image106.gif" WIDTH="37" HEIGHT="17" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />称为二次型<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image047.gif" WIDTH="16" HEIGHT="20" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />的负惯性指数，
<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image108.gif" WIDTH="132" HEIGHT="21" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />称为符号差。
12．二次型的规范型：设二次型<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image008.gif" WIDTH="68" HEIGHT="24" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />的秩为<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image090.gif" WIDTH="12" HEIGHT="13" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />，经满秩线性变换<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image086.gif" WIDTH="47" HEIGHT="20" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />，使
<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image094.gif" WIDTH="327" HEIGHT="28" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />，
其中<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image096.gif" WIDTH="121" HEIGHT="21" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />，我们可以再通过满秩变换化为<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image110.gif" WIDTH="223" HEIGHT="27" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />，这种形式叫做二次型<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image047.gif" WIDTH="16" HEIGHT="20" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />的规范型。
13．定理：实对称矩阵<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image037.gif" WIDTH="16" HEIGHT="16" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />与<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image039.gif" WIDTH="16" HEIGHT="16" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />合同的充分必要条件是<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image037.gif" WIDTH="16" HEIGHT="16" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />与<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image039.gif" WIDTH="16" HEIGHT="16" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />有相同的规范型。
14．二次型的正定性：在二次型<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image008.gif" WIDTH="68" HEIGHT="24" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />中，如果对任意<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image114.gif" WIDTH="44" HEIGHT="17" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />都有<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image116.gif" WIDTH="89" HEIGHT="24" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />成立，则称<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image047.gif" WIDTH="16" HEIGHT="20" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />为正定二次型，相应的对称矩阵<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image012.gif" WIDTH="16" HEIGHT="17" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />称为正定矩阵；如果对任意<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image114.gif" WIDTH="44" HEIGHT="17" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />都有<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image118.gif" WIDTH="89" HEIGHT="24" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />成立，则称<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image047.gif" WIDTH="16" HEIGHT="20" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />为负定二次型，相应的对称矩阵<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image012.gif" WIDTH="16" HEIGHT="17" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />称为负定矩阵。
15．定理：若<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image037.gif" WIDTH="16" HEIGHT="16" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />是<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image002.gif" WIDTH="13" HEIGHT="15" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />阶实对称矩阵，则下列命题等价：
（1）<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image008.gif" WIDTH="68" HEIGHT="24" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />是正定二次型；
（2）<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image012.gif" WIDTH="16" HEIGHT="17" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />是正定矩阵；
（3）<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image037.gif" WIDTH="16" HEIGHT="16" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />的<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image002.gif" WIDTH="13" HEIGHT="15" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />个特征值全为正；
（4）<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image047.gif" WIDTH="16" HEIGHT="20" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />的标准型的<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image002.gif" WIDTH="13" HEIGHT="15" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />个系数全为正；
（5）<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image047.gif" WIDTH="16" HEIGHT="20" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />的正惯性指数为<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image002.gif" WIDTH="13" HEIGHT="15" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />；
（6）<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image037.gif" WIDTH="16" HEIGHT="16" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />与单位矩阵<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image120.gif" WIDTH="17" HEIGHT="16" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />合同；
（7）存在可逆矩阵<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image122.gif" WIDTH="16" HEIGHT="16" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />，使<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image124.gif" WIDTH="61" HEIGHT="20" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />；
（8）<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image012.gif" WIDTH="16" HEIGHT="17" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />的所有顺序主子式<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image126.gif" WIDTH="145" HEIGHT="24" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />
四、【基本公式与法则】
1．<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image037.gif" WIDTH="16" HEIGHT="16" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />与<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image037.gif" WIDTH="16" HEIGHT="16" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />自己合同；
2．<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image037.gif" WIDTH="16" HEIGHT="16" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />与<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image039.gif" WIDTH="16" HEIGHT="16" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />合同，则<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image039.gif" WIDTH="16" HEIGHT="16" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />与<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image037.gif" WIDTH="16" HEIGHT="16" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />合同；
3．<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image037.gif" WIDTH="16" HEIGHT="16" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />与<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image039.gif" WIDTH="16" HEIGHT="16" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />合同，<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image039.gif" WIDTH="16" HEIGHT="16" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />与<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image033.gif" WIDTH="16" HEIGHT="17" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />合同，则<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image037.gif" WIDTH="16" HEIGHT="16" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />与<img src="/blog7style/images/common/sg_trans.gif" real_src ="http://public./math01/jjsx/XianDai/keys/Images/ch06/image033.gif" WIDTH="16" HEIGHT="17" V:SHAPES="_x"
ALT="第六章&二次型"
TITLE="第六章&二次型" />合同。
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