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重积分第二题怎么算
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第九章重积分习题解答.doc 36页
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第九章重积分习题解答
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··········
··········
1、利用二重积分的定义，证明（其中为积分区域的面积）．
证明：把D分成n个小区域..其中(这个小闭区域的面积也记作).
2、根据二重积分的性质，比较下列二重积分的大小：
（1），，其中是由轴，轴与直线所围成的三角形闭区域．
（2），，其中
（3），，其中
（4），，其中
（5），，其中为以点，，为顶点的三角形闭区域．
解：(1)在区域D中.两边乘以,得.根据二重积分的性质可得:
(2)由于(1,0)在圆周上,且过该点的切线方程为.
所以,在D上处处有
(3) 在D上有得
故在D上有即
(4)在D上有得
故在D上有即
(5)在D中有1&x+y&2
即在D中有0&&1
根据二重积分的性质有&,即&
3、根据二重积分的性质，估计下列积分的值
（1），其中，．
（2），其中，．
（3），其中，．
（4），其中，．
解：(1)因为在积分域D上,,所以,
于是可得,而D的面积为
应用估值定理有即
(2)因为在积分域D上有,所以,而D的面积为
应用估值定理有即
(3)由已知有,且D的面积
(4)在积分区域D上有,从而有
,且积分区域D的面积
4、设为平面上有界闭区域，函数，都在上连续，且在上不变号，证明：存在一点，使得
证明：不失一般性,不妨设
在有界闭区域D上连续
一定存在最大值M,最小值m,使在D上有,从而有
根据积分中值定理,有
在D中至少存在一点,使
1、化二重积分为二次积分（在直角坐标系下，写出两种积分次序）
（1） 由轴，及围成的区域；
（2） 由轴，及围成的区域；
（3） 由直线及抛物线围成的区域；
2、画出下列二重积分的积分区域，并在直角坐标系下计算二重积分．
（1） ，其中是矩形：；
（2） ，其中是由及直线所围成的区域；
（3） ，其中是由抛物线及直线所围成的闭区域；
（4） ，其中是由直线所围成的闭区域；
（5） ,其中是由不等式所确定的闭区域；
（6） ，其中是由两条抛物线所围成的闭区域；
（7） ，其中是由直线及所围成的闭区域；
（8） ，其中是顶点分别为和的三角形闭区域；
（9） ，其中是由直线和曲线所围成的闭区域.
3、交换下列二次积分的次序
解 （1） D；
4、通过交换积分次序计算下列二次积分：
5、化二重积分为极坐标系下的二次积分，其中积分区域为
6、将下列累次积分化为极坐标系下的累次积分：
（1） （）
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换元,x=rcosθ,y=rsinθ 则 r^2≤a^2 即 0≤r≤a ,0
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上面一楼的那位回答的我感觉不是太对吧？解题过程这样大致没有错，但是半径是取r(0,a),象限是(0,π/2)才对吧？所以解出来是a^4/4。
换元，x=rcosθ，y=rsinθ
则 r^2≤a^2
, 0<θ<2π原积分就变为：∫∫r^3sinθdrdθ=(r^4/4)*cosθ
（-a≤r≤a
, 0<θ<2π)所以积分值为0
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