求几何所有公式,定理
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var sogou_ad_width=690;本题难度：0.60&&题型：综合题
（2016o南安市模拟）我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．例如图1，图2，图3中，AF，BE是△ABC的中线，AF⊥BE，垂足为P．像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC=a，AC=b，AB=c．特例探索（1）①如图1，当∠ABE=45°，时，a=&&&&5，b=&&&&5；②如图2，当∠ABE=30°，c=4时，求a和b的值归纳证明（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式．
来源：2016o南安市模拟 | 【考点】三角形综合题．
（2016o南安市模拟）我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．例如图1，图2，图3中，AF，BE是△ABC的中线，AF⊥BE，垂足为P．像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC=a，AC=b，AB=c．特例探索（1）①如图1，当∠ABE=45°，时，a=&&&&5，b=&&&&5；②如图2，当∠ABE=30°，c=4时，求a和b的值归纳证明（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式．
（2015秋o李沧区期中）我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”，例如图1，图2，图3中，AF，BE是△ABC的中线，AF⊥BE，垂足为P，像△ABC这样的三角形均称为“中垂三角形”，设BC=a，AC=b，AB=c．特例探索（1）如图1，当∠ABE=45°，c=2时，a=&&&&5，b=&&&&5．如图2，当∠ABE=30°，c=4时，a=&&&&13，b=&&&&7．归纳证明（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a2，b2，c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式．拓展应用（3）如图4所示，在△ABC中，AF，BE是△ABC的中线，AF⊥BE，垂足为P，连接CP交线段AB于点H，已知AC=7cm，BC=6cm，求线段PH的长度．
新定义：我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．如图所示，△ABC中，AF、BE是中线，且AF⊥BE，垂足为P，像△ABC这样的三角形称为“中垂三角形”，如果∠ABE=30°，AB=4，那么此时AC的长为&&&&7．
我们把两条中线互相垂直的三角形称为“称为中垂三角形”，例如图1，图2，图3中，AF，BE是△ABC的中线，AF⊥BE，垂足为P，像△ABC这样的三角形均称为“中垂三角形”，设BC=a，AC=b，AB=c．特例探索（1）如图1，当∠ABE=45°，c=2时，a=&&&&5，b=&&&&5．如图2，当∠ABE=30°，c=4时，a=&&&&13，b=&&&&7．归纳证明（2）请你观察（1）中的计算结果，猜想a2，b2，c2三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图3证明你发现的关系式．拓展应用（3）如图4，在?ABCD中，点E、F、G分别是AD，BC，CD的中点，BE⊥EG，AD=2，AB=3，求AF的长．
下列说法中正确的是（　　）
A、有且只有一条直线垂直于已知直线B、互相垂直的两条线段一定相交C、从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离D、三角形的高、中线、角平分线都是线段
解析与答案
（揭秘难题真相，上）
习题“（2016o南安市模拟）我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．例如图1，图2，图3中，AF，BE是△ABC的中线，AF⊥BE，垂足为P．像△ABC这样的三角形均为“中垂三角形”．设BC=a，AC=b，AB=c．特例探索（1）①如图1，当∠ABE=45°，c=22时，a=5，b=5；②如图2，当∠ABE=30°，c=4时，求a和b的值归纳证明（2）”的学库宝（/）教师分析与解答如下所示：
【分析】（1）先判断△ABP是等腰直角三角形再得到△EFP也是等腰直角三角形最后计算即可（2）先设AP=mBP=n表示出线段PEPF最后利用勾股定理即可．
【解答】解：（1）①当∠ABE=45°c=22时a=25b=25如图1连接EF则EF是△ABC的中位线∴EF=12AB=2∵∠ABE=45°AE⊥EF∴△ABP是等腰直角三角形∵EF∥AB∴△EFP也是等腰直角三角形∴AP=BP=2EP=FP=1∴AE=BF=5∴a=b=25②如图2连接EF则EF是△ABC的中位线．∵∠ABE=30°AE⊥BFAB=4∴AP=2BP=23∵EF∥ABEF=12ABPE=3PF=1∴AE=7BF=13∴a=213b=27．&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp&nbsp（2）a2+b2=5c2&nbsp&nbsp&nbsp如图3连接EF设AP=mBP=n则c2=AB2=m2+n2∵EF∥ABEF=12AB∴PE=12BP=12nPF=12AP=12m∴AE2=m2+14n2BF2=n2+14m2∴b2=AC2=4AE2=4m2+n2a2=BC2=4BF2=4n2+m2∴a2+b2=5（m2+n2）=5c2．
【考点】三角形综合题．
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知识点讲解
经过分析，习题“（2016o南安市模拟）我们把两条中线互相垂直的三角形称为“”主要考察你对
等考点的理解。
因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
知识点试题推荐
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意见详细错误描述：
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如图1，已知直线m∥n，点A、B在直线n上，点C、P在直线m上；（1）写出图1中面积相等的各对三角形：___；（2）如图①，A、B、C为三个顶点，点P在直线m上移动到任一位置时，总有___与△ABC的面积相等；（3）如图②，一个五边形ABCDE，你能否过点E作一条直线交BC（或延长线）于点M，使四边形ABME的面积等于五边形ABCDE的面积．
【思路分析】
解：（1）∵m∥n，∴点C、P到直线n间的距离与点A、B到直线m间的距离相等；又∵同底等高的三角形的面积相等，∴图①中符合条件的三角形有：△CAB与△PAB、△BCP与△APC，△ACO与△BOP；（2）∵m∥n，∴点C、P到直线n间的距离是相等的，∴△ABC与△PAB的公共边AB上的高相等，∴总有△PAB与△ABC的面积相等；（3）连接EC，过点D作直线DM∥EC交BC延长线于点M，连接EM，线段EM所在的直线即为所求的直线．
【解析过程】
（1）找出图①中同底等高的三角形，这些三角形的面积相等；（2）因为两平行线间的距离是相等的，所以点C、P到直线n间的距离相等，也就是说△ABC与△PAB的公共边AB上的高相等，所以总有△PAB与△ABC的面积相等；（3）只要作一个三角形CEM与三角形CED的面积相等即可．
△CAB与△PAB、△BCP与△APC、△ACO与△BOP△PAB
本题主要考查了三角形的面积及平行线的性质，利用平行线间的距离相等得到同底等高的三角形是解题的关键．
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