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§9.1&&二重积分的概念与性质
一、二重积分的概念
1、曲顶柱体的体积
设有一空间立体,它的底是面上的有界区域,它的侧面是以的边界曲线为准线,而母线平行于轴的柱面,它的顶是曲面。
当时,在上连续且,以后称这种立体为曲顶柱体。
曲顶柱体的体积可以这样来计算:
(1)、用任意一组曲线网将区域分成个小区域&&,以这些小区域的边界曲线为准线,作母线平行于轴的柱面,这些柱面将原来的曲顶柱体分划成个小曲顶柱体&。
（假设所对应的小曲顶柱体为,这里既代表第个小区域,又表示它的面积值,既代表第个小曲顶柱体,又代表它的体积值。)
从而&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&(将化整为零)
(2)、由于连续,对于同一个小区域来说,函数值的变化不大。因此,可以将近似地看作,于是
(以不变之高代替变高,&求的近似值)
(3)、整个曲顶柱体的体积近似值为
(积零为整,&得曲顶柱体体积之近似值)
(4)、为得到的精值,只需让这个小区域,即让每个小区域向某点收缩。为此,我们引入区域直径的概念:
一个闭区域的直径是指区域上任意两点距离的最大者。
所谓让区域向一点收缩性地变小,意指让区域的直径趋向于零。
设个小区域直径中的最大者为,&则
(取极限让近似值向精确值转化)
2、平面薄片的质量
设有一平面薄片占有&&面上的区域,&它在处的面密度为,这里,而且在上连续,现计算该平面薄片的质量。
将分成个小区域&用记的直径,既代表第个小区域又代表它的面积。
当很小时,&由于连续,&每小片区域的质量可近似地看作是均匀的,&那么第小块区域的近似质量可取为
两种实际意义完全不同的问题,&最终都归结同一形式的极限问题。因此,有必要撇开这类极限问题的实际背景,&给出一个更广泛、更抽象的数学概念___&二重积分。
3、二重积分的定义
设是闭区域上的有界函数,&将区域分成个小区域
其中:既表示第个小区域,&也表示它的面积,表示它的直径。
若极限&&&存在,则称此极限值为函数在区域上的二重积分,记作&。
其中:&称之为被积函数,
称之为被积表达式,
称之为面积元素,
称之为积分变量,
称之为积分区域,
称之为积分和式。
4、几个事实
(1)、二重积分的存在定理
若在闭区域上连续,&则在上的二重积分存在。
在以后的讨论中,我们总假定在闭区域上的二重积分存在。
(2)、中的面积元素象征着积分和式中的。
由于二重积分的定义中对区域的划分是任意的,若用一组平行于坐标轴的直线来划分区域,那么除了靠近边界曲线的一些小区域之外,绝大多数的小区域都是矩形,因此,可以将记作(并称为直角坐标系下的面积元素),二重积分也可表示成为&。
(3)、若,二重积分表示以为曲顶,以为底的曲顶柱体的体积。
二、二重积分的性质
二重积分与定积分有相类似的性质
1、【线性性】
其中:是常数。
2、【对区域的可加性】
若区域分为两个部分区域,则
3、若在上,,为区域的面积,则
&高为的平顶柱体的体积在数值上等于柱体的底面积。
4、若在上,,则有不等式
特别地,由于，有
5、【估值不等式】
设与分别是在闭区域上最大值和最小值,是的面积,则
6、【二重积分的中值定理】
设函数在闭区域上连续,是的面积,则在上至少存在一点,使得
【例1】用二重积分的定义计算下述二重积分，并利用二重积分的几何意义验证你的计算结果。
解:在上连续,故二重积分存在。用平行于轴或轴的直线
将剖分成个小矩形区域,
每个小区域的面积为&,
在小区域上选取点为格点,
作积分和式
小区域的直径均为
该曲顶柱体的图形为
据二重积分的几何意义,该抛物柱面的体积为
【例2】估计二重积分&&的值,是圆域。
解:&求被积函数在区域上可能的最值
是驻点,且&；
§9.2&&二重积分的计算法
利用二重积分的定义来计算二重积分显然是不实际的,二重积分的计算是通过两个定积分的计算(即二次积分)来实现的。
一、利用直角坐标计算二重积分
我们用几何观点来讨论二重积分的计算问题。
讨论中,我们假定&；
假定积分区域可用不等式&表示,
其中,&在上连续。
据二重积分的几何意义可知,的值等于以为底,以曲面为顶的曲顶柱体的体积。
在区间上任意取定一个点,作平行于面的平面,这平面截曲顶柱体所得截面是一个以区间为底,曲线为曲边的曲边梯形,其面积为
一般地,过区间上任一点且平行于面的平面截曲顶柱体所得截面的面积为
利用计算平行截面面积为已知的立体之体积的方法,该曲顶柱体的体积为
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&(1)
上述积分叫做先对Y,后对X的二次积分,即先把看作常数,只看作的函数,对计算从到的定积分,然后把所得的结果(&它是的函数&)再对从到计算定积分。
这个先对,&后对的二次积分也常记作
在上述讨论中,假定了，利用二重积分的几何意义,导出了二重积分的计算公式(1)。但实际上,公式(1)并不受此条件限制,对一般的&(在上连续),公式(1)总是成立的。
例如:计算&
类似地,如果积分区域可以用下述不等式
表示,且函数,在上连续,在上连续,则
&&&&&&&(2)
显然,(2)式是先对,后对的二次积分。
二重积分化二次积分时应注意的问题
1、积分区域的形状
前面所画的两类积分区域的形状具有一个共同点:
对于I型(或II型)区域,&用平行于轴(轴&)的直线穿过区域内部,直线与区域的边界相交不多于两点。
如果积分区域不满足这一条件时,可对区域进行剖分,化归为I型(或II型)区域的并集。
2、积分限的确定
二重积分化二次积分,&确定两个定积分的限是关键。这里,我们介绍配置二次积分限的方法&--&几何法。
画出积分区域的图形(假设的图形如下&)
在上任取一点,过作平行于轴的直线,该直线穿过区域,与区域的边界有两个交点与,这里的、就是将,看作常数而对积分时的下限和上限；又因是在区间上任意取的,所以再将看作变量而对积分时,积分的下限为、上限为。
【例1】计算,其中是由轴,轴和抛物线在第一象限内所围成的区域。
类似地,&
【例2】计算,&其中是由抛物线及直线所围成的区域。
【例3】求由曲面及所围成的立体的体积。
解: 1、作出该立体的简图,&并确定它在面上的投影区域
消去变量得一垂直于面的柱面&,立体镶嵌在其中,立体在面的投影区域就是该柱面在面上所围成的区域
2、列出体积计算的表达式
3、配置积分限,&化二重积分为二次积分并作定积分计算
由,的对称性有&&
所求立体的体积为
二、利用极坐标计算二重积分
1、变换公式
按照二重积分的定义有
现研究这一和式极限在极坐标中的形式。
用以极点为中心的一族同心圆&以及从极点出发的一族射线&,将剖分成个小闭区域。
除了包含边界点的一些小闭区域外,小闭区域的面积可如下计算
其中,表示相邻两圆弧半径的平均值。
(数学上可以证明:&包含边界点的那些小闭区域所对应项之和的极限为零,&因此,&这样的一些小区域可以略去不计)
在小区域上取点,设该点直角坐标为,据直角坐标与极坐标的关系有
由于也常记作,&因此,上述变换公式也可以写成更富有启发性的形式
&&&&&&&&&&&&&&&&(1)
(1)式称之为二重积分由直角坐标变量变换成极坐标变量的变换公式,其中,就是极坐标中的面积元素。
(1)式的记忆方法:
2、极坐标下的二重积分计算法
极坐标系中的二重积分,&同样可以化归为二次积分来计算。
【情形一】积分区域可表示成下述形式
其中函数,&在上连续。
【情形二】积分区域为下述形式
显然,这只是情形一的特殊形式&(&即极点在积分区域的边界上&)。
【情形三】积分区域为下述形式
显然,这类区域又是情形二的一种变形(&极点包围在积分区域的内部&),可剖分成与,而
由上面的讨论不难发现,&将二重积分化为极坐标形式进行计算,&其关键之处在于:&将积分区域用极坐标变量表示成如下形式
下面通过例子来介绍如何将区域用极坐标变量来表示。
【例4】将下列区域用极坐标变量表示
?据图确定极角的最大变化范围
?与区域的边界有两交点,将它们用极坐标表示,这样就得到了极径的变化范围
注:&本题不能利用直角坐标下二重积分计算法来求其精确值。
利用此题结果可求出著名概率积分&。
而被积函数满足&,从而以下不等式
成立，再利用例二的结果有
于是不等式可改写成下述形式
故当&时有&&,
3、使用极坐标变换计算二重积分的原则
(1)、积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示(&含圆弧,直线段&)；
(2)、被积函数表示式用极坐标变量表示较简单(&含,&为实数&)。
【例6】计算
解 此积分区域为
区域的简图为
该区域在极坐标下的表示形式为
§9.3&&二重积分的应用
定积分应用的元素法也可推广到二重积分,使用该方法需满足以下条件：
1、所要计算的某个量对于闭区域具有可加性(即:当闭区域分成许多小闭区域时,&所求量相应地分成许多部分量,且)。
2、在内任取一个直径充分小的小闭区域时,&相应的部分量可近似地表示为&,&其中,&称为所求量的元素,&并记作。
(注:&的选择标准为:&是直径趋于零时较更高阶的无穷小量)
3、所求量可表示成积分形式&&
一、曲面的面积
设曲面由方程给出,为曲面在面上的投影区域,函数在上具有连续偏导数和,现计算曲面的面积。
在闭区域上任取一直径很小的闭区域(它的面积也记作),在内取一点,对应着曲面上一点,曲面在点处的切平面设为。
以小区域的边界为准线作母线平行于轴的柱面,&该柱面在曲面上截下一小片曲面,在切平面上截下一小片平面,由于的直径很小,
曲面在点处的法线向量(&指向朝上的那个&)为
它与轴正向所成夹角的方向余弦为
这就是曲面的面积元素,&故
【例1】求球面含在柱面&()&内部的面积。
解:所求曲面在面的投影区域&&
曲面方程应取为&&,&则
曲面在面上的投影区域为
据曲面的对称性,有
若曲面的方程为或,可分别将曲面投影到面或面,设所得到的投影区域分别为或,类似地有
二、平面薄片的重心
1、平面上的质点系的重心
其质点系的重心坐标为
&&,&&&&&&&
2、平面薄片的重心
设有一平面薄片,占有面上的闭区域,在点处的面密度为,假定在上连续,如何确定该薄片的重心坐标。
这就是力矩元素,于是
又平面薄片的总质量&&&
从而,薄片的重心坐标为
特别地,如果薄片是均匀的,即面密度为常量,则
十分显然,&这时薄片的重心完全由闭区域的形状所决定,&因此,&习惯上将均匀薄片的重心称之为该平面薄片所占平面图形的形心。
【例2】设薄片所占的闭区域为介于两个圆,
()之间的闭区域,且面密度均匀,求此均匀薄片的重心(形心)。
解:&由的对称性可知:&
三、平面薄片的转动惯量
1、平面质点系对坐标轴的转动惯量
设平面上有个质点,&它们分别位于点处,&质量分别为。
设质点系对于轴以及对于轴的转动惯量依次为
2、平面薄片对于坐标轴的转动惯量
设有一薄片,占有面上的闭区域,在点处的面密度为,&假定在上连续。
现要求该薄片对于轴、轴的转动惯量,。
与平面薄片对坐标轴的力矩相类似,转动惯量元素为
【例3】求由抛物线及直线所围成的均匀薄片(面密度为常数&)对于直线的转动惯量。
解:&转动惯量元素为
四、平面薄片对质点的引力
设有一平面薄片,占有面上的闭区域,在点&&处的面密度为,假定在上连续,现计算该薄片对位于轴上点处的单位质量质点的引力。
于是,薄片对质点的引力在三个坐标轴上的分力的力元素为
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