向量证明三线共点与三点共线问题_百度文库
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向量证明三线共点与三点共线问题
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请问,如何证明平面几何三线共点三个边长互不相等的等边三角形△ABF、△BCD、△ACE,围成一个三角形△ABC.求证：直线AD、直线BE、直线C相交于同一点H.
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先连接BE、CF,设交点为H,再连接AH、DH,题意即需证明∠AHD=180°证明如下：因为∠FAC=60°+∠BAC=∠BAE,AF=AB,AC=AE,所以∴△FAC≌△BAE所以∠AFC=∠ABE,∠ACF=∠AEB于是A,F,B,H共圆,所以∠AHF=∠ABF=60°,∠BHF=∠BAF=60°又∠BDC=60°,故∠BHF=∠BDC,所以B,D,C,H共圆,所以∠BHD=∠BCD=60°于是∠AHD=∠AHF+∠BHF+∠BHD=60°+60°+60°=180°故A,H,D共线.注：并回复 lin0qun： 共圆的依据是∠AFC=∠ABE或者说∠AFH=∠ABH,即圆周角相等则共圆.证明如下：设有四点P,Q,R,S,满足∠QPR=∠QSR,画三角形PQR的外接圆,交QS或QS的延长线于M,连接MR,则∠QPR=∠QMR,故∠QSR=∠QMR于是∠MRS=∠QMR-∠QSR=0,RM与RS重合,点M与点S重合,即P、Q、R、S共圆.至于为什么∠BHF=∠BAF=60°,那是因为共圆,所以圆周角相等,并且三角形ABF为等边三角形.为什么只赞同、不采纳呀?我写得啰嗦了吗?
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