一元四次方程求根公式_百度百科
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一元四次方程求根公式
一元四次方程是未知数最高次数不超过四次的多项式方程，应用化四次为二次方法，结合盛金公式求解，适用未知数最高次数不超过四次的多项式方程。其解法来源是是受一元三次方程求解方法的启发而得到的，除最初解法外，该方程是还有其他简便解法。
一元四次方程求根公式来源
费拉里与的解法 卡当在《重要的艺术》一书中公布了塔塔利亚发现的之后，塔塔利亚谴责卡当背信弃义，提出要与卡当进行辩论与比赛。这场辩论与比赛在米兰市的教堂进行，代表卡当出场的是卡当的学生费拉里。 费拉里(Ferrari L.,)出身贫苦，少年时代曾作为卡当的仆人。卡当的数学研究引起了他对数学的热爱，当其数学才能被卡当发现后，卡当就收他作了学生。 费拉里代替卡当与塔塔利亚辩论并比赛时，风华正茂，他不仅掌握了的解法，而且掌握了一元四次方程的解法，因而在辩论与比赛中取得了胜利，并由此当上了波伦亚大学的数学教授。 一元四次方程的求解方法，是受一元三次方程求解方法的启发而得到的。一元三次方程是在进行了巧妙的换元之后，把问题归结成了从而得解的。于是，如果能够巧妙地把一元四次方程转化为一元三次方程或一元二次方程，就可以利用已知的公式求解了。
一元四次方程求根公式费拉里法
费拉里的方法是这样的：方程两边同时除以最高次项的可得 x^4+bx^3+cx^2+dx+e=0 (1)可得 x^4+bx^3=-cx^2-dx-e (2) 两边同时加上(1/2bx)^2 ，可将（2）式左边配成完全平方，方程成为 (x^2+1/2bx)^2=(1/4b^2-c)x^2-dx-e (3) 在（3）式两边同时加上(x^2+1/2bx)y+1/4y^2 可得 [(x^2+1/2bx)+1/2y]^2= (1/4b^2-c+y)x^2+(1/2by-d)x+1/4y^2-e (4) （4）式中的y是一个参数。当（4）式中的x为原方程的根时，不论y取什么值，（4）式都应成立。特别，如果所取的y值使（4）式右边关于x的二次也能变成一个，则对（4）对两边同时开方可以得到次数较低的方程。 为了使（4）式右边关于x的二次三项式也能变成一个完全平方式，只需使它的变成0，即 (1/2by-d)^2-4(1/4b^2-c+y)(1/4y^2-e)=0 (5) 这是关于y的，可以通过塔塔利亚公式来求出y应取的实数值。 把由（5）式求出的y值代入（4）式后，（4）式的两边都成为完全平方，两边开方，可以得到两个关于x的。解这两个一元二次方程，就可以得出原方程的四个根。 费拉里发现的上述解法的创造性及巧妙之处在于：第一次配方得到（3）式后引进参数y，并再次配方把（3）式的左边配成含有参数y的完全平方，即得到（4）式，再利用（5）式使（4）的右边也成为完全平方，从而把一个一元四次方程的求解问题化成了一个一元三次方程及两个一元二次方程的求解问题。
不幸的是，就象塔塔利亚发现的一元三次方程求根公式被误称为卡当公式一样，费拉里发现的一元四次方程求解方法也曾被误认为是波培拉发现的。
一元四次方程求根公式置换群法
解法见图片
说明：X1，X2，X3是某个三次方程的对称多项式(X1+X2+X3，X1*X2+X2*X3+X3*X1，X1*X2*X3均可求)，利用三次方程求根公式解出X1,X2,X3；又有X=x1+x2+x3+x4=ω1，接下来根据X,X1,X2,X3解x1,x2,x3,x4
一元四次方程求根公式盛金公式
将置换群解法与盛金公式综合，会更简便。解法：
若ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0 令 D=-(3b^2-8ac)
E=3b^4+16a^2c^2-16ab^2c+16a^2bd-64a^3e F=-(b^3-4abc+8a^2d)^2
A=D^2-3E,B=DE-9F,C=E^2-3DF,Δ=B^2-4AC
1.若D=E=F=0，则方程有一个四。则
x1=x2=x3=x4=-b/4a=-2c/3b=-3c/2d=-4d/e
2.若A=B=C=0，且DEF不为0，则方程有一个三重根。则
x1=-b/4a-F/4aD x2=x3=x4=-b/4a+3F/4aD
3.若E=F=0，D不为零，则方程有两对重根。
x1=x2=(-b+(-D)^(1/2))/4a x3=x4=(-b-(-D)^(1/2))/4a
4.若Δ=0，A不为零，则方程只有一对。
令X1=-D+B/A,X2=-B/2A,则
x1=(-b+X1^(1/2)+2X2^(1/2))/4a x2=(-b+X1^(1/2)-2X2^(1/2))/4a x3=x4=(-b+X1^(1/2))/4a
5.若Δ&0,令T=arccos[(2AD-3B)/2A^(3/2)]
y1=-(D+2A^(1/2)cos(T/3)
y2=-(D+2A^(1/2)cos(T/3+2π/3)
y3=-(D+2A^(1/2)cos(T/3-2π/3)
x1=(-b+y1^(1/2)+y2^(1/2)+y3^(1/2))/4a
x2=(-b+y1^(1/2)-y2^(1/2)-y3^(1/2))/4a
x3=(-b-y1^(1/2)-y2^(1/2)+y3^(1/2))/4a
x4=(-b-y1^(1/2)+y2^(1/2)-y3^(1/2))/4a
Y1=AD+(3/2)(-B+(B^2-4AC)^(1/2))
Y2=AD+(3/2)(-B-(B^2-4AC)^(1/2))
Z1=(-2D-Y1^(1/3)-Y2^(1/3))/6
Z2=3^(1/2)(Y1^(1/3)-Y2^(1/3))/6
Z=-(-D+Y1^(1/3)+Y2^(1/3))/3
W1=(2Z1+2(Z1^2+Z2^2)^(1/2))^(1/2)
W2=(-2Z1+2(Z1^2+Z2^2)^(1/2))^(1/2)
x1=(-b+Z^(1/2)+2W1)/4a x2=(-b+Z^(1/2)-2W1)/(4a)
x3=(-b-Z^(1/2)-2W2)/4a x4=(-b-Z^(1/2)+2W2)/(4a)
一元四次方程求根公式求根公式（费拉里法）
的求根公式过于复杂。为了描述方便，不得不借助几个中间变量。
（取模较大的数值）
（若 u 为零，则 v 也取值为零）
上面三个公式中，k 可取值 1,2,3。（m,S,T）的取值最好选择
最大的一组，这样计算 T 时数值最稳定。如果三个
均为零，则上面三个变量按下面三个公式取值
四个根为（下式中
一元四次方程求根公式求根公式（维基百科）
维基百科上有一个非常复杂的公式[2]
的四个根。将其拆分后，可得：
四个根为（下式中
可见，这个公式是“求根公式（费拉里法）”的一个特例。这个公式不仅复杂、难用，而且还不能处理 m = 0 的情况，如：求解方程
（等价于方程
）时会失败。
中华人民共和国教育部．数学书：未知，2003
．en.wikipedia.org．[引用日期]数值分析课后习题与解答
课后习题解答
1.设x&0,x*的相对误差为δ，求f(x)=ln x的误差限。
解：求lnx的误差极限就是求f(x)=lnx的误差限，由公式(
已知x*的相对误差
满足 ，而 ，故
2.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，试指出它们有几位有效数字，并给出其误差限与相对误差限。
解：直接根据定义和式(1.2.2)(1.2.3)则得有5位有效数字，其误差限 ，相对误差限 有2位有效数字，
有5位有效数字，
3.下列公式如何才比较准确？（1）
解：要使计算较准确，主要是避免两相近数相减，故应变换所给公式。（1）
4.近似数x*=0.0310,是&
位有数数字。
5.计算 取 ，利用 ：式计算误差最小。
四个选项：
第二、三章&
插值与函数逼近
习题二、三
用线性插值与二次插值计算ln0.54的近似值并估计误差限.
解： 仍可使用n=1及n=2的Lagrange插值或Newton插值,并应用误差估计（5.8）。线性插值时，用0.5及0.6两点，用Newton插值
误差限 ，因 ，故
二次插值时，用0.5，0.6，0.7三点，作二次Newton插值
误差限 ，故
2. 在-4≤x≤4上给出 的等距节点函数表，若用二次插值法求
的近似值，要使误差不超过
，函数表的步长h应取多少?
解：用误差估计式（5.8），
解：由均差与导数关系
4. 若 互异，求
的值，这里p≤n+1.
解： ，由均差对称性 可知当 有 而当P＝n＋1时
解：解：只要按差分定义直接展开得
求出三次Newton均差插值多项式，计算f(0.23)的近似值并用均差的余项表达式估计误差.
解：根据给定函数表构造均差表
由式(5.14)当n=3时得Newton均差插值多项式
N3(x)=1.67x(x-0.2)+0.17400x(x-0.2)(x-0.3)由此可得
f(0.23) N3(0.23)=0.23203由余项表达式(5.15)可得
7. 给定f(x)=cosx的函数表
用Newton等距插值公式计算cos 0.048及cos
0.566的近似值并估计误差
解：先构造差分表
计算 ，用n=4得Newton前插公式
误差估计由公式（5.17）得
时用Newton后插公式（5.18)
误差估计由公式（5.19）得
这里 仍为0.565
求一个次数不高于四次的多项式p(x),使它满足
解：这种题目可以有很多方法去做，但应以简单为宜。此处可先造
使它满足，显然
p(x)=x2(2-x)+Ax2(x-1)2由p(2)=1求出A＝ ，于是
9. 令 称为第二类Chebyshev多项式，试求
的表达式，并证明
是［-1,1］上带权 的正交多项式序列。
10. 用最小二乘法求一个形如
的经验公式，使它拟合下列数据，并计算均方误差.
解：本题给出拟合曲线
，即 ，故法方程系数法方程为
最小二乘拟合曲线为
11. 填空题　　(1) 满足条件 的插值多项式p(x)=(　　).　　(2)
,则f［1,2,3,4］=(　　)，f［1,2,3,4,5］=(　　).　　(3) 设 为互异节点，
为对应的四次插值基函数，则
＝(　　)， ＝(　　).　　(4) 设 是区间［0,1］上权函数为ρ(x)=x的最高项系数为1的正交多项式序列，其中 ，则
＝(　　)， ＝(　　)
（2） （3）
第4章　数 值 积 分与数值微分
1. 分别用复合梯形公式及复合Simpson公式计算下列积分.　　　　　
解　　本题只要根据复合梯形公式（6.11）及复合Simpson公式（6.13）直接计算即可。对 ，取n=8,在分点处计算f(x)的值构造函数表。按式（6.11）求出 ，按式（6.13）求得 ，积分
2. 用Simpson公式求积分 ，并估计误差
解：直接用Simpson公式（6.7）得
由（6.8）式估计误差，因 ，故
3. 确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精确度尽量高，并指明求积公式所具有的代数精确度.　　(1) 　　(2) 　　(3)
解：本题直接利用求积公式精确度定义，则可突出求积公式的参数。（1）令 代入公式两端并使其相等，得
解此方程组得 ，于是有
故求积公式具有3次代数精确度。
（2）令 代入公式两端使其相等，得
而对 不准确成立，故求积公式具有3次代数精确度。
（3）令 代入公式精确成立，得
解得 ，得求积公式
故求积公式具有2次代数精确度。
4. 计算积分
，若用复合Simpson公式要使误差不超过
要分为多少等分?若改用复合梯形公式达到同样精确度，区间 应分为多少等分?
解：由Simpson公式余项及 得即 ，取n=6，即区间 分为12等分可使误差不超过 对梯形公式同样 ，由余项公式得
取n=255才更使复合梯形公式误差不超过
5. 用Romberg求积算法求积分 ，取
解：本题只要对积分 使用Romberg算法（6.20），计算到K＝3，结果如下表所示。
于是积分 ，积分准确值为0.713272
用三点Gauss-Legendre求积公式计算积分.　　　
解：本题直接应用三点Gauss公式计算即可。由于区间为 ，所以先做变换 于是
本题精确值
用三点Gauss-Chebyshev求积公式计算积分
解：本题直接用Gauss-Chebyshev求积公式计算
，因n=2,即为三点公式，于是，即
8. 试确定常数A，B，C，及α，使求积公式　　　　　　　　　　　　　
有尽可能高的代数精确度，并指出所得求积公式的代数精确度是多少.它是否为Gauss型的求积公式?
解：本题仍可根据代数精确度定义确定参数满足的方程，令
对公式精确成立，得到
由（2）（4）得A=C，这两个方程不独立。故可令 ，得（5）由（3）（5）解得
，代入（1）得 则有求积公式
令 公式精确成立，故求积公式具有5次代数精确度。三点求积公式最高代数精确度为5次，故它是Gauss型的。
第五章 　解线性方程组的直接法
1. 用Gauss消去法求解下列方程组.　　　　
解　本题是Gauss消去法解具体方程组，只要直接用消元公式及回代公式直接计算即可。
2. 用列主元消去法求解方程组
并求出系数矩阵A的行列式detA的值
解：先选列主元
，2行与1行交换得消元
3行与2行交换 消元
3. 用Doolittle分解法求
解：由矩阵乘法得
4. 下述矩阵能否作Doolittle分解，若能分解，分解式是否唯一?　　　　
解：A中 ，若A能分解，一步分解后， ，相互矛盾，故A不能分解，但 ，若A中1行与2行交换，则可分解为LU对B，显然 ，但它仍可分解为
分解不唯一， 为一任意常数，且U奇异。C可分解，且唯一。
5. 用追赶法解三对角方程组Ax=b，其中　　　　
解：用解对三角方程组的追赶法公式（3.1.2）和（3.1.3）计算得
6. 用平方根法解方程组
分解直接算得由 及 求得
7. 设 ，证明　　
解： 即 ，另一方面
计算A的行范数，列范数及F-范数和2范数
设 为 上任一种范数，
是非奇异的，定义
证明：根据矩阵算子定义和 定义，得
令 ，因P非奇异，故x与y为一对一，于是
10. 求下面两个方程组的解，并利用矩阵的条件数估计
，即 　　　　
则 的解 ，而 的解
由（3.12）的误差估计得
表明估计 略大，是符合实际的。
11.是非题（若"是"在末尾（）填+,"不是"填-）：题目中 （1）若A对称正定,
,则 是 上的一种向量范数 　　（
　）（2）定义 是一种范数矩阵 　　（
　）（3）定义 是一种范数矩阵 　　（　
）（4）只要 ，则A总可分解为A=LU,其中L为单位下三角阵，U为非奇上三角阵 　　（ 　 ）（5）只要 ，则总可用列主元消去法求得方程组
的解　　（　
）（6）若A对称正定,则A可分解为 ，其中L为对角元素为正的下三角阵 　　（ 　）（7）对任何 都有
）（8）若A为正交矩阵，则 　　（ 　）
答案：　（1）（＋）（2）（－）（3）（＋）（4）（－）　　　　（5）（＋）（6）（＋）（7）（－）（8）（＋）
第六章　解线性方程组的迭代法
1.证明对于任意的矩阵A，序列 收敛于零矩阵
解：由于 而 故
2. 方程组　　　　　　　　
　　(1) 考查用Jacobi法和GS法解此方程组的收敛性.　　(2) 写出用J法及GS法解此方程组的迭代公式并以 计算到
解：因为 具有严格对角占优，故J法与GS法均收敛。（2）J法得迭代公式是
取 ，迭代到18次有
GS迭代法计算公式为
3. 设方程组　　　　　　　　
证明解此方程的Jacobi迭代法与Gauss-Seidel迭代法同时收敛或发散
解：Jacobi迭代为 其迭代矩阵，谱半径为 ，而Gauss-Seide迭代法为
其迭代矩阵，其谱半径为 由于 ，故Jacobi迭代法与Gauss-Seidel法同时收敛或同时发散。
4. 下列两个方程组Ax=b，若分别用J法及GS法求解，是否收敛?　　　
解：Jacobi法的迭代矩阵是
即 ，故 ，J法收敛、
GS法的迭代矩阵为
故 ，解此方程组的GS法不收敛。
5. 设 ，detA≠0，用
,b表示解方程组Ax=f的J法及GS法收敛的充分必要条件.
解　J法迭代矩阵为
，故J法收敛的充要条件是 。GS法迭代矩阵为
由 得GS法收敛得充要条件是
6. 用SOR方法解方程组(分别取ω=1.03,ω=1,ω=1.1)　　　　　　
时迭代终止，并对每一个ω值确定迭代次数
解：用SOR方法解此方程组的迭代公式为
取 ，当 时，迭代5次达到要求
若取 ，迭代6次得
7. 对上题求出SOR迭代法的最优松弛因子及渐近收敛速度，并求J法与GS法的渐近收敛速度.若要使 那么J法GS法和SOR法各需迭代多少次?
解：J法的迭代矩阵为
，故 ，因A为对称正定三对角阵，最优松弛因子
J法收敛速度
若要求 ，于是迭代次数
，取K＝15对于GS法 ，取K＝8对于SOR法 ，取K＝5
8. 填空题　　(1) 要使
应满足（）.　　(2) 已知方程组
，则解此方程组的Jacobi迭代法是否收敛（）.它的渐近收敛速度R(B)=（）.　　(3) 设方程组Ax=b,其中 其J法的迭代矩阵是（）.GS法的迭代矩阵是（）.　　(4) 用GS法解方程组 ，其中a为实数，方法收敛的充要条件是a满足（）.　　(5) 给定方程组
,a为实数.当a满足（），且0＜ω＜2时SOR迭代法收敛.
(2)J法是收敛的，
(3)J法迭代矩阵是 ，GS法迭代矩阵
第七章　　非线性方程求根
1.用二分法求方程
的正根，使误差小于0.05
解　使用二分法先要确定有根区间
。本题f(x)=x2-x-1=0,因f(1)=-1,f(2)=1,故区间[1,2]为有根区间。另一根在[-1,0]内，故正根在[1,2]内。用二分法计算各次迭代值如表。
=1.5附近的一个根，将方程改写成下列等价形式，并建立相应迭代公式.　　(1) ，迭代公式
.　　(3) ，迭代公式
.试分析每种迭代公式的收敛性，并选取一种收敛最快的方法求具有4位有效数字的近似根
解：（1）取区间 且 ，在 且 ，在 中 ，则L&1，满足收敛定理条件，故迭代收敛。（2） ，在 中 ，且 ，在 中有 ，故迭代收敛。（3）
，在 附近 ，故迭代法发散。在迭代（1）及（2）中，因为（2）的迭代因子L较小，故它比（1）收敛快。用（2）迭代，取 ，则
的迭代法　　　　　
　(1) 证明对
为方程的根.　(2) 取
=4,求此迭代法的近似根，使误差不超过
,并列出各次迭代值.　(3) 此迭代法收敛阶是多少?证明你的结论
解：（1）迭代函数 ，对 有 ，
，则有各次迭代值
取 ，其误差不超过
（3） 故此迭代为线性收敛
4. 给定函数
，设对一切x, 存在，而且
的任意常数
均收敛于方程
解：由于 ， 为单调增函数，故方程 的根是唯一的（假定方程有根
）。迭代函数 ， 。令 ，则 ，由递推有，即
5. 用Steffensen方法计算第2题中(2)、(3)的近似根，精确到
解:在(2)中 ,令
,与第2题中(2)的结果一致,可取 ,则满足精度要求.对(3)有 ,原迭代不收敛.现令
6. 用Newton法求下列方程的根，计算准确到4位有效数字.　　(1) 在
=2附近的根.　　(2) 在
=1附近的根
Newton迭代法
取 ，则 ，取
（2） 令 ，则 ，取
7. 应用Newton法于方程
的迭代公式，并讨论其收敛性.
的根为 ，用Newton迭代法
此公式迭代函数 ，则 ，故迭代法2阶收敛。还可证明迭代法整体收敛性。设 ，对
一般的，当 时有
这是因为 当 时成立。从而 ，即 ，表明序列 单调递减。故对 ，迭代序列收敛于
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四个未知数三个方程怎么解?(1) x + 10z² = 2014(2) 2y + z = 54(3) (y + 2z +7/2w)z = 1211求x,y,w,z （都是正整数）求能让初二水平的看懂的算式与解释,以及告诉我算这道题需要哪些公式与理论.
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根据（3）把1211分解质因数=173*7 Z=7 带入（1）X=1524 带入（2）Y= 由（3）知道Z不能为偶数,但根据（2） 2y + z = 54 2y 必须是偶数 那么Z也应该是偶数 想矛盾,题有问题
请问你知道高斯元法和矩阵的算法吗
b不可能那么高深嘛
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不设未知数不列方程式，求算式！注：三年级孩子得听懂！
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百度有，我就不复制呢，要画线段，说实话，我都弄不明白
亲自实践了，买苹果去。
感谢大家！孩子不用我讲已经就有答案了，只是这种题考试的时候用列算式吗？孩子问我，我就说你咋算的就咋写吧，结果她把图画上了。照片是没画完的，她在下面小人儿那画了四个苹果。不管咋样，我鼓励了！
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