狭义相对论求助，关于质量速度关系的推导_物理吧_百度贴吧
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狭义相对论求助，关于质量速度关系的推导收藏
高中学生，最近在推导以前没有推导过的狭义相对论的一些公式。对于质量速度关系方程中，设两个全同粒子A，B发生完全非弹性碰撞后结合成一个复合粒子，在此过程中，从固定于B的S系看来，碰撞前B粒子静止，其质量为M0，A粒子以速率u沿X轴向右运动，其质量在S系看来为M，碰撞后，复合粒子以相对于S系的速率Vx运动，质量为M合。然后书上就写出两行等式（1）：M0+M=M合
（2）：Mu=M合Vx。第二个表达式我懂，但第一个表达式我有点不明白，既然在狭义相对论中说质量与速度有关，那么静止质量为两倍M0的复合粒子，它在相对于S系以Vx的速率运动时，它的质量在数值上为什么会等于M0+M？
求助大神，由于高三学习紧张，我可能不能够马上回复。希望大家见谅，谢谢帮助。
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狭义相对论的速度和长度的相关公式
牙麦德丶40
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狭义证明　　相对论公式及证明 　　符号 单位 符号 单位 　　坐标(x,y,z)：m 力F(f)：N 　　时间t(T)：s 质量m(M):kg 　　位移r：m 动量p:kg*m/s 　　速度v(u)：m/s 能量E:J 　　加速度a：m/s^2 冲量：N*s 　　长度l(L)：m 动能Ek：J 　　路程s(S)：m 势能Ep：J 　　角速度ω：rad/s 力矩：N*m 　　角加速度:rad/s^2α 功率P：W一、牛顿力学（预备知识）　　(一)：质点运动学基本公式：(1)v=dr/dt,r=r0+∫rdt 　　(2)a=dv/dt,v=v0+∫adt 　　(注：两式中左式为微分形式,右式为积分形式) 　　当v不变时,(1)表示匀速直线运动.　　当a不变时,(2)表示匀变速直线运动.　　只要知道质点的运动方程r=r(t),它的一切运动规律就可知了.　　(二)：质点动力学：　　(1)牛一：一切物体在没有受到力的作用时,总保持静止状态或匀速直线运动状态.　　(2)牛二：物体加速度与合外力成正比与质量成反比.　　F=ma=mdv/dt=dp/dt 　　(3)牛三：作用在同一物体上的两个力,如果等大反向作用在同一直线上,则二力平衡.　　(4)万有引力：两质点间作用力与质量乘积成正比,与距离平方成反比.　　F=GMm/r^2,G=6.67259*10^(-11)m^3/(kg*s^2) 　　动量定理：I=∫Fdt=p2-p1(合外力的冲量等于动量的变化) 　　动量守恒：合外力为零时,系统动量保持不变.　　动能定理：W=∫Fds=Ek2-Ek1(合外力的功等于动能的变化) 　　机械能守恒：只有重力做功时,Ek1+Ep1=Ek2+Ep2 　　(注：牛顿力学的核心是牛顿第二定律：F=ma,它是运动学与动力学的桥梁,我们的目的是知道物体的运动规律,即求解运动方程r=r(t),若知受力情况,根据牛二可得a,再根据运动学基本公式求之.同样,若知运动方程r=r(t),可根据运动学基本公式求a,再由牛二可知物体的受力情况.)二、狭义相对论力学　　（注:“γ”为相对论因子,γ=1/sqr(1-u^2/c^2),β=u/c,u为惯性系速度.） 　　1．基本原理：（1）相对性原理：所有惯性系都是等价的.　　（2）光速不变原理：真空中的光速是与惯性系无关的常数.　　（此处先给出公式再给出证明） 　　2．洛仑兹坐标变换：　　X=γ(x-ut) 　　Y=y 　　Z=z 　　T=γ(t-ux/c^2) 　　3．速度变换：　　V(x)=(v(x)-u)/(1-v(x)u/c^2) 　　V(y)=v(y)/(γ(1-v(x)u/c^2)) 　　V(z)=v(z)/(γ(1-v(x)u/c^2)) 　　4．尺缩效应：△L=△l/γ或dL=dl/γ 　　5．钟慢效应：△t=γ△τ或dt=dτ/γ 　　6．光的多普勒效应：ν(a)=sqr((1-β)/(1+β))ν(b) 　　（光源与探测器在一条直线上运动.） 　　7．动量表达式：P=Mv=γmv,即M=γm 　　8．相对论力学基本方程：F=dP/dt 　　9．质能方程：E=Mc^2 　　10．能量动量关系：E^2=(E0)^2+P^2c^2 　　（注：在此用两种方法证明,一种在三维空间内进行,一种在四维时空中证明,实际上他们是等价的.） 四、四维证明　　1．公理,无法证明.　　2．坐标变换：由光速不变原理：dl=cdt,即dx^2+dy^2+dz^2+(icdt)^2=0在任意惯性系内都成立.定义dS为四维间隔,　　dS^2=dx^2+dy^2+dz^2+(icdt)^2 (1).　　则对光信号dS恒等于0,而对于任意两时空点的dS一般不为0.dS^2>0称类空间隔,dS^2
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速度变换：　　V(x)=(v(x)-u)/(1-v(x)u/c^2)　　V(y)=v(y)/(γ(1-v(x)u/c^2))　　V(z)=v(z)/(γ(1-v(x)u/c^2))　　尺缩效应：△L=△l/γ或dL=dl/γ
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〔学习〕狭义相对论公式及证明收藏
单位&&符号&&&&&&&&单位&&&符号&
坐标：&&&m&&&&(x,y,z)&力：&N&&&&&F(f)&
时间：&&&s&&&&t(T)&&&&质量:kg&&&&m(M)&
位移：&&&m&&&&r&&&&&&&动量:kg*m/s&p(P)&
速度：&&&m/s&&v(u)&&&&能量:&J&&&&&E&
加速度：&m/s^2&a&&&&&&冲量：N*s&&&I&
长度：&&&m&&&&l(L)&&&&动能：J&&&&&Ek&
路程：&&&m&&&&s(S)&&&&势能：J&&&&&Ep&
角速度：&rad/s&ω&&&&&力矩：N*m&&&M&
角加速度:rad/s^2α&&&&功率：W&&&&&P&
一：&
牛顿力学（预备知识）&
(一)：质点运动学基本公式：(1)v=dr/dt,r=r0+∫rdt&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&(2)a=dv/dt,v=v0+∫adt&
(注：两式中左式为微分形式，右式为积分形式)&
当v不变时，(1)表示匀速直线运动。&
当a不变时，(2)表示匀变速直线运动。&
只要知道质点的运动方程r=r(t)，它的一切运动规律就可知了。&
(二)：质点动力学：&
(1)牛一：不受力的物体做匀速直线运动。&
(2)牛二：物体加速度与合外力成正比与质量成反比。&
F=ma=mdv/dt=dp/dt&
(3)牛三：作用力与反作与力等大反向作用在同一直线上。&
(4)万有引力：两质点间作用力与质量乘积成正比，与距离平方成反比。&
F=GMm/r^2,G=6.67259*10^(-11)m^3/(kg*s^2)&
动量定理：I=∫Fdt=p2-p1(合外力的冲量等于动量的变化)&
动量守恒：合外力为零时，系统动量保持不变。&
动能定理：W=∫Fds=Ek2-Ek1(合外力的功等于动能的变化)&
机械能守恒：只有重力做功时，Ek1+Ep1=Ek2+Ep2&
(注：牛顿力学的核心是牛二：F=ma,它是运动学与动力学的桥梁，我们的目的是知道物体的运动规律，即求解运动方程r=r(t),若知受力情况，根据牛二可得a,再根据运动学基本公式求之。同样，若知运动方程r=r(t),可根据运动学基本公式求a，再由牛二可知物体的受力情况。)&
二：&
狭义相对论力学：(注：γ=1/sqr(1-u^2/c^2),β=u/c,u为惯性系速度。)&
(一)基本原理：(1)相对性原理：所有惯性系都是等价的。&
&&&&&&&&&&&&&&(2)光速不变原理：真空中的光速是与惯性系无关的常数。&
(此处先给出公式再给出证明)&
(二)洛仑兹坐标变换：&
X=γ(x-ut)&
Y=y&
Z=z&
T=γ(t-ux/c^2)&
(三)速度变换：&
V(x)=(v(x)-u)/(1-v(x)u/c^2)&
V(y)=v(y)/(γ(1-v(x)u/c^2))&
V(z)=v(z)/(γ(1-v(x)u/c^2))&
(四)尺缩效应：△L=△l/γ或dL=dl/γ&
(五)钟慢效应：△t=γ△τ或dt=dτ/γ&
(六)光的多普勒效应：ν(a)=sqr((1-β)/(1+β))ν(b)&
(光源与探测器在一条直线上运动。)&
(七)动量表达式：P=Mv=γmv,即M=γm.&
(八)相对论力学基本方程：F=dP/dt&
(九)质能方程：E=Mc^2&
(十)能量动量关系：E^2=(E0)^2+P^2c^2&
(注：在此用两种方法证明，一种在三维空间内进行，一种在四维时空中证明，实际上他们是等价的。)&
三：&
三维证明：&
(一)由实验总结出的公理，无法证明。&
(二)洛仑兹变换：&
设(x,y,z,t)所在坐标系(A系)静止，(X,Y,Z,T)所在坐标系(B系)速度为u,且沿x轴正向。在A系原点处，x=0,B系中A原点的坐标为X=-uT,即X+uT=0。可令x=k(X+uT),(1).又因在惯性系内的各点位置是等价的，因此k是与u有关的常数(广义相对论中，由于时空弯曲，各点不再等价，因此k不再是常数。)同理，B系中的原点处有X=K(x-ut),由相对性原理知，两个惯性系等价，除速度反向外，两式应取相同的形式，即k=K.故有X=k(x-ut),(2).对于y,z,Y,Z皆与速度无关，可得Y=y,(3).Z=z(4).将(2)代入(1)可得：x=k^2(x-ut)+kuT,即T=kt+((1-k^2)/(ku))x,(5).(1)(2)(3)(4)(5)满足相对性原理，要确定k需用光速不变原理。当两系的原点重合时，由重合点发出一光信号，则对两系分别有x=ct,X=cT.代入(1)(2)式得：ct=kT(c+u),cT=kt(c-u).两式相乘消去t和T得：k=1/sqr(1-u^2/c^2)=γ.将γ反代入(2)(5)式得坐标变换：&
X=γ(x-ut)&
Y=y&
Z=z&
T=γ(t-ux/c^2)&
(三)速度变换：&
物理老师来精锐,针对学科薄弱点,1对1突破,量身定制辅导课程,补习效果好;物理老师1对1/1对3,满足不同学生的学习需求,&精锐教育&众多学生家长的选择.
V(x)=dX/dT=γ(dx-ut)/(γ(dt-udx/c^2))&
&&&&&&&&&&=(dx/dt-u)/(1-(dx/dt)u/c^2)&
=(v(x)-u)/(1-v(x)u/c^2)&
同理可得V(y),V(z)的表达式。&
(四)尺缩效应：&
B系中有一与x轴平行长l的细杆，则由X=γ(x-ut)得：△X=γ(△x-u△t),又△t=0(要同时测量两端的坐标)，则△X=γ△x,即：△l=γ△L,△L=△l/γ&
(五)钟慢效应：&
由坐标变换的逆变换可知，t=γ(T+Xu/c^2),故△t=γ(△T+△Xu/c^2),又△X=0,(要在同地测量)，故△t=γ△T.&
(注：与坐标系相对静止的物体的长度、质量和时间间隔称固有长度、静止质量和固有时，是不随坐标变换而变的客观量。)&
(六)光的多普勒效应：(注：声音的多普勒效应是：ν(a)=((u+v1)/(u-v2))ν(b).)&
B系原点处一光源发出光信号，A系原点有一探测器，两系中分别有两个钟，当两系原点重合时，校准时钟开始计时。B系中光源频率为ν(b),波数为N，B系的钟测得的时间是△t(b),由钟慢效应可知，A△系中的钟测得的时间为△t(a)=γ△t(b),(1).探测器开始接收时刻为t1+x/c,最终时刻为t2+(x+v△t(a))/c,则△t(N)=(1+β)△t(a),(2).相对运动不影响光信号的波数，故光源发出的波数与探测器接收的波数相同，即ν(b)△t(b)=ν(a)△t(N),(3).由以上三式可得：ν(a)=sqr((1-β)/(1+β))ν(b).&
(七)动量表达式:(注：dt=γdτ,此时，γ=1/sqr(1-v^2/c^2)因为对于动力学质点可选自身为参考系，β=v/c)&
牛二在伽利略变换下，保持形势不变，即无论在那个惯性系内，牛二都成立，但在洛伦兹变换下，原本简洁的形式变得乱七八糟，因此有必要对牛顿定律进行修正，要求是在坐标变换下仍保持原有的简洁形式。&
牛顿力学中，v=dr/dt,r在坐标变换下形式不变，（旧坐标系中为（x,y,z）新坐标系中为(X,Y,Z)）只要将分母替换为一个不变量（当然非固有时dτ莫属）就可以修正速度的概念了。即令V=dr/dτ=γdr/dt=γv为相对论速度。牛顿动量为p=mv,将v替换为V，可修正动量，即p=mV=γmv。定义M=γm(相对论质量)则p=Mv.这就是相对论力学的基本量：相对论动量。（注：我们一般不用相对论速度而是用牛顿速度来参与计算）&
(八)相对论力学基本方程：&
由相对论动量表达式可知：F=dp/dt,这是力的定义式，虽与牛二的形式完全一样，但内涵不一样。（相对论中质量是变量）&
(九)质能方程：&
Ek=∫Fdr=∫(dp/dt)*dr=∫dp*dr/dt=∫vdp=pv-∫pdv&
=Mv^2-∫mv/sqr(1-v^2/c^2)dv=Mv^2+mc^2*sqr(1-v^2/c^2)-mc^2&
=Mv^2+Mc^2(1-v^2/c^2)-mc^2&
=Mc^2-mc^2&
即E=Mc^2=Ek+mc^2&
(十)能量动量关系：&
E=Mc^2,p=Mv,γ=1/sqr(1-v^2/c^2),E0=mc^2,可得：E^2=(E0)^2+p^2c^2&
四：&
四维证明：&
(一)公理，无法证明。&
(二)坐标变换：由光速不变原理：dl=cdt,即dx^2+dy^2+dz^2+(icdt)^2=0在任意惯性系内都成立。定义dS为四维间隔，dS^2=dx^2+dy^2+dz^2+(icdt)^2,(1).则对光信号dS恒等于0，而对于任意两时空点的dS一般不为0。dS^2〉0称类空间隔，dS^2&0称类时间隔，dS^2=0称类光间隔。相对论原理要求（1）式在坐标变换下形式不变，因此（1）式中存在与坐标变换无关的不变量，dS^2dS^2光速不变原理要求光信号在坐标变换下dS是不变量。因此在两个原理的共同制约下，可得出一个重要的结论：dS是坐标变换下的不变量。&
由数学的旋转变换公式有：（保持y,z轴不动，旋转x和ict轴）&
X=xcosφ+(ict)sinφ&
icT=-xsinφ+(ict)cosφ&
Y=y&
Z=z&
当X=0时，x=ut,则0=utcosφ+ictsinφ&
得：tanφ=iu/c,则cosφ=γ,sinφ=iuγ/c反代入上式得：&
X=γ(x-ut)&
Y=y&
Z=z&
T=γ(t-ux/c^2)&
(三)(四)(五)(六)(八)(十)略。&
(七)动量表达式及四维矢量：(注：γ=1/sqr(1-v^2/c^2),下式中dt=γdτ)&
令r=(x,y,z,ict)则将v=dr/dt中的dt替换为dτ，V=dr/dτ称四维速度。&
则V=(γv,icγ)γv为三维分量，v为三维速度，icγ为第四维分量。（以下同理）&
四维动量：P=mV=(γmv,icγm)=(Mv,icM)&
四维力：f=dP/dτ=γdP/dt=(γF,γicdM/dt)(F为三维力)&
四维加速度：ω=/dτ=(γ^4a,γ^4iva/c)&
则f=mdV/dτ=mω&
(九)质能方程：&
fV=mωV=m(γ^5va+i^2γ^5va)=0&
故四维力与四维速度永远“垂直”，（类似于洛伦兹磁场力）&
由fV=0得：γ^2mFv+γic(dM/dt)(icγm)=0(F,v为三维矢量，且Fv=dEk/dt(功率表达式))&
故dEk/dt=c^2dM/dt即∫dEk=c^2∫dM,即:Ek=Mc^2-mc^2&
故E=Mc^2=Ek+mc^2&
这就是你们最想知道的相对论知识之一
不小心闯进来 突然发现 哥们 你真牛——B
zmt早年勤奋学习贴。留名。
06年的帖子啊...想当初我也是刚来这混...
为什么zmt好像近期都没什么科普和学术贴？ - -？
估计忙着做各种实验吧...
回复：7楼他在研究loli学
回复：9楼正因如此，看到本贴，更让人唏嘘啊。
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论文不发，就不发~我要当物理学作家
oh my lady gaga
回复：11楼这个at让我想起了某A……汗……在化学吧呆过？
神贴 我低调的路过
zmt 怎么觉得这r=r0+∫rdt 的 ∫rdt&&不应该这样写吧 应该是dr(t)=[a,b]∫r'(t)dt=[a,b]∫v(t)dt
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狭义相对论的五个公式
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&&1.相对长度l=l0√1-(v/c)^2(1)公式中l0是相对于杆静止的观察者测量出的杆的长度,而l可认为是杆沿杆的长度方向以速度v运动时,静止的观察者测量出的杆的长度,也可以认为是杆不动,而观察者沿杆的长度方向以速度v运动时测量出的杆的长度.
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