Algorithm（14）
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作者：人子立
链接：/question//answer/
来源：知乎
http://blog.csdn.net/kongming_acm/article/details/6212813
/kf/337.html
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意见详细错误描述：
教师讲解错误
错误详细描述：
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把一个数a拆成两数之和，何时它们的乘积最大?你能得出一个一般性的结论吗?
主讲：马立忠
【思路分析】
两数中，设一个数为m，另一个数为a-m，设积是y，就可以表达它们的二次函数关系了．
【解析过程】
解：设一个数为m，另一个数为a-m∴乘积y=m（a-m）=-m²+am当m=时，y最大值为结论：当两个数的和一定，这两个数为它们和的一半时，两个数的积最大．
当m=时，y最大值为结论：当两个数的和一定，这两个数为它们和的一半时，两个数的积最大．
明确两个数和的关系，用一个数去表示另外一个数，一个数是自变量，积就是函数．根据二次函数的性质解答本题．
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京ICP备号 京公网安备在点(；,?1)处B2?AC?02?2e?2e??4e2；（3）由方程组；?z??y(a?2x?y)?0；?x；???zy?x(a?2y?x)?0；得四个驻点（0，0），0,((,),0),a,；a.；?aa????33?；又zxx????2y,zxy???a?2x?2y；在点（0，0）处，B2?AC?a2?0,该点不是；a2?aa?2；?0，所以函数在该点
,?1)处B2?AC?02?2e?2e??4e2?0,且A?2e?0,所以函数取得极小值211f(,?1)??e. 22
（3）由方程组
?z??y(a?2x?y)?0
???zy?x(a?2y?x)?0
得四个驻点（0，0），0,((,),0),a,
?aa??? ?33?
又zxx????2y,zxy???a?2x?2y,zyy????2x.
在点（0，0）处，B2?AC?a2?0,该点不是极值点. 在点(0,a)处，B?AC?a?0,该点不是极值点. 在点(a,0)处，B?AC?a?0,该点不是极值点.
?0，所以函数在该点有极值，且极值为在点?,?处,B?AC??333??
2a?a??A?z??a故 ,由于?xx?33?27
当a?0时，(A?0)，函数有极大值,
当a?0时，(A?0)，函数有极小值.
２．求函数z?x3?4x2?2xy?y2在闭区域D：?1≤x≤4,?1≤y≤1上的最大值和最小值． [分析]由f(x,y)在D上连续，所以必有最大最小值，又由于f(x,y)在D内可导，所以
f(x,y)的最值在D的内部驻点或在D的边界上，由f(x,y)在D内部驻点上值与边界上函
数比较可求出f(x,y)的最大和最小值.
?z??3x2?8x?2y?0
解：由方程?得驻点（0，0），（2，2）
???zy?2x?2y?0
（2，2）?D应该舍去，f(0,0)?0（可由充分条件判别知是极大值）.
D的边界可分为四部分：
L1:x??1,?1?y?1;
L2:y??1,?1?x?4; L3:x?4,?1?y?1;
L4:y?1,?1?x?4.
在L1上，f(?1,y)??5?2y?y2??(y),?1?y?1.
?(1)??8最小. 因为??(y)??2(y?1)?0,所以?(y)单调递减，因而?(?1)??4最大，
在L2上，f(x,?1)?x3?4x2?2x?1?g(x),?1?x?4 令g?(x)?
而min{g(?1),g(x1),g(x2),g(4)}?g(x2)?
maxg{?(1g)x,1(gx)2,g()?,g(x4)?1}
分别是f(x,y)在L2上的最小值与最大值.
类似讨论可得：在L3上f(4,1)?7,f(4,?1)??9，分别是f(x,y)的最大值与最小值;在L4上f(4,1)?7,f(?1,1)=-8分别是f(x,y)的最大值与最小值.
比较f(x,y)在内部驻点（0，0）与整个边界上函数值的情况得到f(4,1)?7是函数
?1???16.1. f(x,y)在D
上的最大值，f????327??
３．求函数z?x?y在条件解：构造拉格朗日函数
??1 (x＞０,y＞０)下的条件极值． xy
F(x,y)?x?y?????1?
???Fx??1?2?0
???F?1??0 ?y2
?11???1?xy
得x?2,y?2,??4,故得驻点(2,2)。
又dF?dx?dy?
(dx)?(dy) 33xy882(dx)?(dy)2 33xy
由x?0,y?0知dF?0，所以函数z?x?y在(2,2)处有极小值z?4.
4．把正数a分解成三个正数之和，使它们的乘积最大．
解：设三个正数为x,y,z,则要求函数u?xyz在条件x?y?z?a(x?0,y?0,z?0)下的极值.
先构造拉格朗日函数
F(x,y,z)?xyz??(x?y?z?a)
?F??yz???0?x??Fy??xz???0
?F??xy???0?z??x?y?z?a
得x?y?z?,???.
dz?xdz?y又?
dF?xydyz??x(d?xd?y dz
由d(x?y?z)?0得dz??(dx?dy)
? d2F?2ydxdz?2xdydz?2zdxdy
a[dxdy?(dx?dy)2]3
??a[(dx?dy)2?(dx)2?(dy)2]?0
所以当x?y?z?时，乘积xyz有最大值u?.
5．设生产某种产品的数量f(x,y)与所用甲、乙两种原料的数量x,y之间有关系式f(x,y)＝
0.005x2y，已知甲，乙两种原料的单价分别为1元，2元，现用150元购料，问购进两种原料各多少，使产量f(x,y)最大?最大产量是多少?
解：依题意知要求函数f(x,y)=0.005x2y在条件x?2y?150下的极值，为此，先构造拉格朗日函数.
F(x,y)?0.005x2y??(x?2y?150),
?F??0.01xy???0?x??2
?Fy?0.005x?2??0
x?2y?150??
?y?25??x?0
（依题意，舍去） ?y?75?
得驻点（100，25），由问题实际意义知，函数的最值一定存在，故当x?100,y?25时，产量f(x,y)最大，最大产量为f(100,25)?1250.
6．某厂生产甲、乙两种产品，其销售单位价分别为10万元和9万元，若生产x件甲产品和
y件乙产品的总成本为：
Ｃ?400?2x?3y?0.01 (3x2?xy?3y2)（万元）
又已知两种产品的总产量为100件，求企业获得最大利润时两种产品的产量． 解：依题意销售x件甲产品和y件乙产量的总收入
R(x,y)?10x?9y
总利润L(x,y)?R(x,y)?C(x,y)
?8x?6y?400?0.01(3x?xy?3y)
又知x?y?100，故要求函数L(x,y)在约束条件x?y?100的极值，为此构造拉格朗日函数:
F(x,y)?8x?6y?400?0.01(3x2?xy?3y2)??(x?y?100)
?F??8?0.06x?0.01y???0?x??
?Fy?6?0.01x?0.06y???0 ?
得唯一驻点(70,30)，由问题的实际意义知，最值一定存在，故当x?70,y?30时，即生产甲产品70件，乙产品30件时，企业获得最大利润，最大利润为L(70,30)?145万元.
1． 将二重积分
??f(x,y)dxdy化为二次积分(两种次序都要)，其中积分区域D是：
(1) x≤1,y≤2;
(2) 由直线y?x及抛物线y2?4x所围成； (3) 由x轴及半圆周x2?y2?r2(y≥0)所围成．
f(x,y)dxdy??dx?f(x,y)dy
f(x,y)dxdy??dy?f(x,y)dx
（2）解方程?2得两交点 (0,0),(4,4).
??f(x,y)dxdy??
f(x,y)dxdy??dy?y2f(x,y)dx
（3）由x?y?
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