平面向量的数量积的物理背景及其含义
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平面向量的数量积的物理背景及其含义
作者：佚名 教案来源：网络 点击数： &&&
平面向量的数量积的物理背景及其含义
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文章来源莲 山课件 w ww.5 Y
&&&&&&&&& 2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义
一、教材分析&&& 本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的运算律，然后通过概念辨析题加深学生对于平面向量数量积的认识.主要知识点：平面向量数量积的定义及几何意义；平面向量数量积的5个重要性质；平面向量数量积的运算律.二．目标1．了解平面向量数量积的物理背景，理解数量积的含义及其物理意义；2．体会平面向量的数量积与向量投影的关系，理解掌握数量积的性质和运算律，并能运用性质和运算律进行相关的判断和运算；3．体会类比的数学思想和方法，进一步培养学生抽象概括、推理论证的能力。三、重点难点重点： 1、平面向量数量积的含义与物理意义，2、性质与运算律及其应用。难点：平面向量数量积的概念四、学情分析我们的学生属于平行分班，没有实验班，学生已有的知识和实验水平有差距。有些学生对于基本概念不清楚，所以讲解时需要详细五、教学方法1．实验法：多媒体、实物投影仪。2．学案导学：见后面的学案。3．新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习六、课前准备1．学生的学习准备：预习学案。2．教师的教学准备：多媒体课件制作，课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。。七、课时安排：1课时八、教学过程(一)预习检查、总结疑惑检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。
（二）情景导入、展示目标。创设问题情景，引出新课1、提出问题1：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？期望学生回答：向量的加法、减法及数乘运算。& 2、提出问题2：请同学们继续回忆，我们是怎么引入向量的加法运算的？我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的？期望学生回答：物理模型→概念→性质→运算律→应用3、新课引入：本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量的另外一种运算：平面向量数量积的物理背景及其含义 （三）合作探究，精讲点拨探究一：数量积的概念1、给出有关材料并提出问题3：（1）如图所示，一物体在力F的作用下产生位移S，那么力F所做的功：W= |F| |S| cosα。 （2）这个公式的有什么特点？请完成下列填空：①W（功）是&&& 量，②F（力）是&&& 量，③S（位移）是&& 量，④α是&&&&&&&&&&&& 。（3）你能用文字语言表述“功的计算公式”吗?期望学生回答：功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积2、明晰数量积的定义（1）&数量积的定义：已知两个非零向量 与 ，它们的夹角为 ，我们把数量
• bcos 叫做 与 的数量积（或内积），记作： • ，即： • =
• cos （2）定义说明：①记法“ • ”中间的“• ”不可以省略，也不可以用“& ”代替。&&&& ② “规定”：零向量与任何向量的数量积为零。（3）提出问题4：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？& 期望学生回答：线性运算的结果是向量，而数量积的结果则是数，这个数值的大小不仅和向量 与 的模有关，还和它们的夹角有关。（4）学生讨论，并完成下表：&的范围0°≤ &90°&=90°0°& ≤180°&• 的符号&&
例1 ：已知｜ ｜＝３，｜ ｜＝６，当① ∥ ，② ⊥ ，③ 与 的夹角是60°时，分别求 • .解：①当 ∥ 时，若 与 同向，则它们的夹角θ＝０°，∴ • ＝｜ ｜•｜ ｜cos0°＝3×6×1＝18；若 与ｂ反向，则它们的夹角θ＝180°，∴ • ＝｜ ｜｜ ｜cos180°＝3×6×（-1）＝－18；②当 ⊥ 时，它们的夹角θ＝90°，∴ • ＝０；③当 与 的夹角是60°时，有&• ＝｜ ｜｜ ｜cos60°＝3×6× ＝9评述：& 两个向量的数量积与它们的夹角有关，其范围是［0°，180°］，因此，当 ∥ 时，有0°或180°两种可能. 变式：对于两个非零向量 、 ，求使| +t |最小时的t值，并求此时 与 +t 的夹角。&
探究二：研究数量积的意义1.给出向量投影的概念：如图，我们把│ │cos （│ │cos ）叫做向量 在 方向上（ 在 方向上）的投影，记做：OB1=│ │cos 2.提出问题5：数量积的几何意义是什么？期望学生回答：数量积 • 等于 的长度 与 在 的方向上的投影 cos& 的乘积。
&&&& 3. 研究数量积的物理意义&& 请同学们用一句话来概括功的数学本质：功是力与位移的数量积 。
探究三：探究数量积的运算性质1、提出问题6：比较 • 与 × 的大小，你有什么结论？ 2、明晰：数量积的性质
3.数量积的运算律& （1）、提出问题7：我们学过了实数乘法的哪些运算律？这些运算律对向量是否也适用？预测：学生可能会提出以下猜想：①& • =& •&&&&& ②&（ • ） =& ( • )& ③（& +& ）•& = •& +& • &（2）、分析猜想：猜想①的正确性是显而易见的。关于猜想②的正确性，请同学们先来讨论：猜测②的左右两边的结果各是什么？它们一定相等吗？期望学生回答：左边是与向量 共线的向量，而右边则是与向量 共线的向量，显然在向量 与向量 不共线的情况下猜测②是不正确的。&&& （3）、明晰：数量积的运算律：&
例2、（师生共同完成）已知 =6， =4,& 与 的夹角为60°，求（ +2& ）•（ -3 ），并思考此运算过程类似于实数哪种运算？解：（ +2& ）•（ -3 ）= . -3 . +2 . -6 . &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& =36-3×4×6×0.5-6×4×4
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& = -72评述：可以和实数做类比记忆数量积的运算律
变式：（1）( + )2= 2+2 • + 2&&&&&&& （2）( +& )•( - )=& 2― 2
（四）反思总结，当堂检测。教师组织学生反思总结本节课的主要内容，并进行当堂检测。设计意图：引导学生构建知识网络并对所学内容进行简单的反馈纠正。（课堂实录）（五）发导学案、布置预习。我们已经学习平面向量数量积的物理背景及含义，那么，在下一节课我们一起来学习数量积的坐标运算。模。夹角。这节课后大家可以先预习这一部分，着重分析坐标的作用设计意图：布置下节课的预习作业，并对本节课巩固提高。教师课后及时批阅本节的延伸拓展训练。九、板书设计
十、教学反思本课的设计采用了课前下发预习学案，学生预习本节内容，找出自己迷惑的地方。课堂上师生主要解决重点、难点、疑点、考点、探究点以及学生学习过程中易忘、易混点等，最后进行当堂检测，课后进行延伸拓展，以达到提高课堂效率的目的。我首先安排让学生讨论影响数量积结果的因素并完成表格，其次将数量积的几何意义提前，这样使学生从代数和
几何两个方面对数量积的“质变”特征有了更加充分的认识。通过尝试练习，一方面使学生尝试计算数量积，另一方面使学生理解数量积的物理意义，同时也为数量积的性质埋下伏笔。数量积的性质和运算律是数量积概念的延伸，教材中这两方面的内容都是以探究的形式出现，为了让学生很好的完成这两个探究活动，我始终按照先创设一定的情景，让学生去发现结论，教师明晰后，再由学生或师生共同完成证明。比如数量积的运算性质是将尝试练习的结论推广得到，数量积的运算律则是通过和实数乘法相类比得到，这样不仅使学生感到亲切自然，同时也培养了学生由特殊到一般的思维品质和类比创新的意识。&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 临清三中数学组& 编写人：王晓燕&& 审稿人：刘桂江 李怀奎2.4.1平面向量的数量积的物理背景及其含义
课前预习学案一、预习目标：预习平面向量的数量积及其几何意义；平面向量数量积的重要性质及运算律；二、预习内容：1.平面向量数量积（内积）的定义：&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 2.两个向量的数量积与向量同实数积有很大区别&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 3．“投影”的概念：作图4.向量的数量积的几何意义：&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 5．两个向量的数量积的性质：设 、 为两个非零向量，e是与 同向的单位向量.1& e =& e =&&&&&&&& 2&&   & =&&&&&& 设 、 为两个非零向量，e是 与同向的单位向量.e& = e =&&&&&&&&&&&&&&&& 3& 当 与 同向时，  =&&&&&& 当 与 反向时， & =&&&&&&&&&& 特别的  = | |2或 4& cos =&&&&&&&&&&&&&&& 5& |  | ≤ | || |&
三、提出疑惑：同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中疑惑点&疑惑内容&
课内探究学案一、学习目标1说出平面向量的数量积及其几何意义；2.学会用平面向量数量积的重要性质及运算律；3.了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；学习重难点：。平面向量的数量积及其几何意义二、学习过程创设问题情景，引出新课1、提出问题1：请同学们回顾一下，我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？
2、提出问题2：请同学们继续回忆，我们是怎么引入向量的加法运算的？我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的？
3、新课引入：本节课我们仍然按照这种研究思路来研究向量的另外一种运算：平面向量数量积的物理背景及其含义 探究一：数量积的概念1、给出有关材料并提出问题3：（1）如图所示，一物体在力F的作用下产生位移S，那么力F所做的功：W=&& （2）这个公式的有什么特点？请完成下列填空：①W（功）是&&& 量，②F（力）是&&& 量，③S（位移）是&& 量，④α是&&&&&&&&&&&& 。（3）你能用文字语言表述“功的计算公式”吗?2、明晰数量积的定义（1）数量积的定义：已知两个非零向量 与 ，它们的夹角为 ，我们把数量
• cos 叫做 与 的数量积（或内积），记作： • ，即： • =
• cos （2）定义说明：①记法“ • ”中间的“• ”不可以省略，也不可以用“& ”代替。&&&& ② “规定”：零向量与任何向量的数量积为零。（3）提出问题4：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？&
（4）学生讨论，并完成下表：&的范围0°≤ &90°&=90°0°& ≤180°&• 的符号
例1 ：已知｜ ｜＝３，｜ ｜＝６，当① ∥ ，② ⊥ ，③ 与 的夹角是60°时，分别求 • .解： &变式：.&&& 对于两个非零向量 、 ，求使| +t |最小时的t值，并求此时 与 +t 的夹角.
探究二：研究数量积的意义1.给出向量投影的概念：如图，我们把│ │cos （│ │cos ）叫做向量 在 方向上（ 在 方向上）的投影，记做：OB1=│ │cos 2.提出问题5：数量积的几何意义是什么？
&&&& 3. 研究数量积的物理意义&& 请同学们用一句话来概括功的数学本质：&&&&&
探究三：探究数量积的运算性质1、提出问题6：比较 • 与 × 的大小，你有什么结论？
2、明晰：数量积的性质&
3.数量积的运算律& （1）、提出问题7：我们学过了实数乘法的哪些运算律？这些运算律对向量是否也用？
&&& （2）、明晰：数量积的运算律：
例2、（师生共同完成）已知 =6， =4,& 与 的夹角为60°，求（ +2& ）•（ -3 ），并思考此运算过程类似于实数哪种运算？解：&
变式：（1）( + )2= 2+2 • + 2&&&&&&& （2）( +& )•( - )=& 2― 2
（三）反思总结&
(四)当堂检测
1 .已知| |=5， | |=4，& 与 的夹角θ=120o，求 • .
2. 已知| |=6， | |=4， 与 的夹角为60o求( +2 )•( -3 ).3 .已知| |=3， | |=4， 且 与 不共线，k为何值时，向量 +k 与 -k 互相垂直.
4.已知｜ ｜＝３，｜ ｜＝６，当① ∥ ，② ⊥ ，③ 与 的夹角是60°时，分别求 • .
5.已知| |=1，| |= ，(1)若 ∥ ，求 • ；(2)若 、 的夹角为６０°，求| + |；(3)若 - 与 垂直，求 与 的夹角.
6.设m、n是两个单位向量，其夹角为６０°，求向量 =2m+n与 =2n-3m的夹角.
课后练习与提高1.已知| |=1，| |= ，且( - )与 垂直，则 与 的夹角是（&&& ）A.60°&&&&&&&& B.30°&&&&&&&&& C.135°&&&&&&&& D.４５°2.已知| |=2，| |=1， 与 之间的夹角为 ，那么向量m= -4 的模为（&& ）A.2&&&&&&&&&&& B.2&&&&&&&&&& C.6&&&&&&&&&&& D.123.已知 、 是非零向量，则| |=| |是( + )与( - )垂直的（&&& ）A.充分但不必要条件&&&&&&&&&&&&&& B.必要但不充分条件C.充要条件&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& D.既不充分也不必要条件4.已知向量 、 的夹角为 ，| |=2，| |=1，则| + |•| - |=&&&&&&&&&&& .5.已知 + =2i-8j， - =-8i+16j，其中i、j是直角坐标系中x轴、y轴正方向上的单位向量，那么 • =&&&&&&&&&& .6.已知 ⊥ 、c与 、 的夹角均为60°，且| |=1，| |=2，|c|=3，则( +2 -c)２＝______.
参考答案：1. D&&&&&&&&& 2. B&&&&&&&& 3.& A4.&&&&&&& 5.& 144&&&&& 6. 11文章来源莲 山课件 w ww.5 Y
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