如何画一条直线
如何穿越平面上的一组「点」，画一条「最佳」的直线？当然不能随手乱画，你得尽量靠近所有的点。
让我把这件事情说得再明白一些。假设，你正在做一项科学实验，实验中有很多的采集来的数据被输入，每一份数据都经过你的实验（计算）得到一个结果。你想要在数据和结果之间，找到某种联系。
数学家喜欢用「因变量」和「自变量」来描述数值。所以，实验中采集来，用来输入的数据叫做「自变量」，经过实验得到的数据叫「因变量」（因为它们依赖于你的实验设计。）
（小编：其实我觉得英文说得更直白：dependent variables（因变量） 和 independent variables（自变量） 而已）
在我们的例子中，我们试图找到数据中的「直接关系」（成比例关系）。我们想要画一条直线，穿越在这些数值，其实，这就是在找它们的「线性相关」。
有一个统计学上的，牛逼的词来表示「自变量」和「因变量」之间的关系，叫做：回归（Regression）。
因为我们要在这些数据之间，画一条穿越的直线， 因此也有一个牛逼词，把我们这种做法叫做：线性回归（Linear Regression）
当然，在这些数据点之间，可以画出无数条穿越它们的直线。但是显然，它们中间有「最贴合」所有点的一条直线存在。我们要做的，就是评价每条直线的「品质」，然后选出质量最好的那一条。
如果我们能给待选的某条直线列一个等式，加上我们的老冤家「微积分」的帮忙，就能给这个等式对于这些数据点的有效使用打分，以此来找出「最优解」。
现在假设我们有 n 个点，每个点都是一个坐标：（xi, yi）
接着，我们就来找到穿越这些点的直线的方程……
把还给老师的给我拿回来！
呃……可能你们还不习惯在煎蛋上看到数学文，但这绝对是「节操大补丸」，周五来一粒，周一就可以随便 YD 去了，所以，速速随我去拜见一次几何老师。
在平面上的任何一条直线，都可以只用两个参数表达，方法呢有很多种，但是为了方便起见，我们还是在笛卡尔坐标系下面干活，用（x,y）来描述点，然后来推导我们直线的等式。
任何一条直线，都可以用「斜率（Gradient）」，我们把它叫做 M …（你好 M，我是邦德……）
和「截距（intercept）」，我们称之为 C 来表示。
所谓「斜率」（M），指的是竖轴 y 的数值随着横轴 x 数值的变化而变化的幅度。而所谓「截距」（C）则是说在 x=0 的时候，y 的值。
你可以把「斜率」理解为这条直线的「陡峭程度」。把「截距」理解为这条直线在 Y 轴上下飘移了多少。
我相信这点基础知识，现在已经还魂到了你的心中。
误差与残差（Errors and Residuals）
于是，我们要找的那条「最佳直线」，同样可以用 M 和 C 来描述。
我们要做的就是，找出最优的 M 和 C 的值，所以我们需要掌握一些优化这两个数值的方法。
除非所有的点都正好落在了这条直线上（那我们还要写这篇文章干嘛？！），在点和直线之间总有误差，这段误差的值是可以测量的，这个值就被称之为：残差（Residuals）。
我们要找的这条直线，就是在它与所有点之间的残差的和，达到最小。但是只用「所有点的残差的和」来找，有两个明显的问题：首先，残差的值可能是正的（在直线之上），也可能是负的（在直线以下）。如果我们只是把残差简单相加，有可能得到完全错误的结果。其次，距离直线很远，具有很大残差值的点，并没有在「残差之和和」中体现出它的重要性（或者说权重），我们希望这些点对于结果起到更大的影响。
解决这两个问题的办法，就是求残差的「平方和」。
平方后的数（实数），它总是正的（这就解决了第一个问题），通过平方计算，这些分离主义分子得到了惩罚，他们的行为被放大（一个远离直线2的点，平方后得到了残差为4倍的惩罚，距离为3的点，得到了9倍的惩罚……）
如果我们把所有点的残差的平方数加起来，我们就得到了这条直线对于所有这些点的「契合度」。我们的目标，就是把这个值弄到最小。
这称为：最小二乘法（least square method）拟合。
还需要一步，然后才轮到我们的老冤家「微积分」！
那如何得到这个残差的值呢？
我们的「自变量」是 x，我们通过观测得到的每一个「因变量」yi 都在这条直线上有一个对应的点。
因为有相同的 xi，我们可以把「因变量」yi，减去我们期望的值 y（通过直线等式得到），从而得到这个点的残差值。
你可以这么理解：在实验的某个时间点（Xi）上, 你得到了一个观测数据 Yi，把它减去你预测的在这个时间点上应该出现的（你想要的，漂亮的，可以拿来交差骗经费的）Y，就得到了这个「残差」。
动真格的数学
好了，现在准备好呕吐袋，你最想跳过的部分来了。
如上文所说，我们可以计算点与直线的上升方向的竖直距离来得到「残差」。
我们可以把直线的方程代入计算「残差」等式，然后取平方数：
然后把所有点的「残差」的平方和统统加到一起，我们把这个数用符号 Q 表示：
好了，我们要做的就是把这个 Q 弄到最小最小，就得到了我们想要的直线方程！现在召见我们的「微积分」，要使得 Q 最小，一阶导数为0，为了达到最小（或者最大），在这条曲线上的这个点的斜率为0。
以下是 Q 基于所求回归直线的参数 M 和 C 的「偏导数」。（这里我用了「链式法则」），我们希望这些东西=0，得到最小值：
这两个等式可以展开，分别得到以下两个结果：
然后我把两边都除以2，让式子看上去更养眼一些……：
最后，我们可以把一些常数提取出来，得到一个非常有趣的结果。上面的等式中，可以简单地得到 nC。我们也可以把 M 从 x 的和前面提取出来。其他所有的计算线性回归所需要的数值都可以简单计算得到。
最最后，来一些简单的等式间的代入（我们有两个等式和两个未知数），得到我们想要的东西：
哒哒~~这就是求得穿越平面上 n 个点的那条直线：「最小二乘法线性回归线」！！
这两个等式实在堪称优雅。如果你仔细看，你会发现要求得这条直线，我们不必记住/存储所有的点的坐标，我们只要累积计算 x 和 y 的相加和就可以了！这样，在有新的点加入/删除的时候，我们只需简单相加相减就 OK 了。
对于所有的需要计算的点，我们只需要跟踪这些值：所有x 的和，所有 y 的和，所有 x·y 的积的和，所有 x 的和的平方，还有所有 x 的平方的和。（注意到最后两个的细微差异了么？）
对于这个两个等式来说，最神奇的一点是在第二个等式，从本质上讲，就是基于点的y 坐标和 x 坐标的算数平均数。
是的，就是这样简单！
原文网站上有两个交互式的 js 脚本，可以让你自己体验一下基于以上推导结果求得的最小二乘回归线。在这里我就放一个 GIF，有兴趣的同学点进原文网站体验一下。
「残差」的几何意义
还有一种直观理解「残差」的方式，就是下图。在这个课件中，可以随机生成几个点，然后求出直线（灰色）。然后以可以移动鼠标，改变 M 和 C 的值，来感觉残差平方数的意义（红色的线）。
最匹配的那条回归线，所有点的残差的面积（平方数）加起来最小。无论你鼠标怎么动，蓝色区域的面积总是更大的。
当鼠标在课件中心位置的时候，两条线应该重合。鼠标上下移动改变截距，左右移动改变斜率。
线性回归的应用
通过最小平方和求线性回归的应用场合太多太多了，这里拿谁举例子都显得不太公平。你应该用过 EXCEL 的数据图表中，就有这个功能。
虽然线性回归看上去很酷，但它不总是万用灵丹。在使用它之前，你必须了解它的局限。
首先，对于那些「确实有线性倾向的数据」，通过最小残差平方和来计算很管用。但是如果你的数据内部没有这种线性关系，那么虽然你也能得到一条直线，但它没有任何意义。
以下是四幅著名的图例，作者是剑桥著名的统计学家 Francis Anscombe。被称之为「安斯科姆四重奏」，它提醒我们，在分析数据之前，最好先看一下数据的图像！数据的分布形式，对结果有巨大的影响。
虽然他们的线性回归线一模一样，但是看看数据，你就知道这有多不靠谱了。
不光是线型一样，还有很多其他数据也是这样具有迷惑性：
两个因变量？
在上文的推导中，我们假设数据中一个是「自变量」，一个是「因变量」，这就是我们为什么通过测量竖直距离来得到「残差」，然后求残差平方和的得最小值。但是，这并不是唯一的方法。我们应该可以，比如说，已经筛选优化过了数据，使得点在 x 轴，或者 y 轴上的差异得到优化。
下图（1）中，我们在左侧放上两个点，右侧放上三个点。图（2）里，我们在上面放上两个点，下面放上三个点。你能否注意到，本质上这两幅图只是互相旋转了90度，竖直残差变成了水平残差而已，并且结果相同。
如果我们把每一个点（x,y）看做一次采样，而且我们假设所有的采样中的 x 这个自变量，全都符合正确的预期，就是等于我们的因变量x的值，那么所有的误差，全都是变量 y 中造成的。或者反过来，所有的误差都在 x 中，那么理论上说，这对求得回归线将很有意义。
如果所有的数据都有相关性，那么求得回归线的最优解，就最好用点与直线的「垂直」距离来求平方和，并且使其最小。这种方法被称之为「完全最小二乘法」，它真的很酷，有兴趣的话可以读一下。公式有点烦，但不会比上文的复杂太多。
如果所有的变量都有相同的范围和大小，这种技术将非常有用，但是如果 x 和 y 的范围和大小（或者误差）非常不同呢？如果在 x 轴上的变化会造成 y 轴上的巨大变化，那么计算垂直误差的方法的劣势就比较明显了，它会明显的向其中一个变量偏移。
如果 x 和 y 轴表示的是完全不同的对象的分量（比如一个是时间，一个是距离），它们之间的误差如何比较？
为了求出这样的线，我们需要把坐标轴缩放（理论上），让 x 和 y 轴上的误差在数值上相等。如果我们能做到这些，我们就能把这些点看成几何意义上的数值，计算垂直距离上的残差的平方和，并求出线性回归线。当然，这要求我们先得到误差差异的分部情况。
关于这条直线所饱含的知识，要比你想象的来的多。
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Junius_Lou
15:13:51 :地区：黄浦区
头衔：项目经理
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怎么不不在一条直线上的两段梁 合并成一根梁？
GGJ2009 红色梁（如图）
地区：山东
等级：16 级
头衔：全球总裁
先别打断梁，直接绘制一架梁，然后在原位标注的时候，调整；梁距左边线距离就可以偏移单跨梁的
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我的答疑任务
图片正在上传...好钢用在刀刃上 全合成机油该怎么用？
来源：网上车市
汽车养护中最关键的部分莫过于对机油的选择，机油号称是发动机的血液，正是依靠它的润滑作用才保证了发动机的正常运转，因此选择正确的机油对发动机寿命起到了直接的作用。也正因为如此，有着不少的车主爱车心切，不管合适与否一律给自己的爱车使用最高级的全合成机油，其实机油的选择只需适用就好，过高标号的机油不仅浪费钱，所起到的效果也只是事倍功半。因此我们今天为大家列举出了必须使用全合成机油的几种情况，帮助大家对机油的选择有深入的了解。
一、 特殊车型必须使用全合成机油
对于某些车型而言是必须要使用全合适机油的，否则将会引起车辆的故障。比如现在大行其道的涡轮增压车，就必须要配合全合成机油使用。带有增压器的发动机在加速的一瞬间可以带来爽快的推背感，但当涡轮开始工作的那一瞬间，发动机扭矩会成倍增加，而根据涡轮增压技术的原理，此时覆盖在发动机曲轴上的机油膜要承受着比先前高出数倍的剪切力。
所谓的机油油膜就是在发动机顺畅运行中担任抗磨作用，通常它薄到只能用微米来计算。举个例子，当您在公路上享受着速度带来的快感时，转速4、5000转的发动机曲轴可以说是漂浮在薄薄的机油油膜上旋转，完全不予其它金属部件发生接触。所以针对涡轮增压发动机的特性而言，就必须要使用标准更高性能更好的全合成机油，加入了&抗磨剂&的全合成机油具备较高抗剪切力的机油油膜，能更好的保护发动机。因此，我们不建议涡轮车车主使用矿物机油。
第二种情况是SUV和大排量轿车也最好使用全合成机油，这类车相比较普通小轿车而言，在发动机的结构上都有一个额外的部件，既&机油散热器&。顾名思义，机油散热器就是一个为机油进行散热的系统。这里我们不妨转换一下角度，用车辆技术的角度去看待这个部件，尽管每台发动机都可以对高温的机油进行散热，但对越野车和大排量轿车而言，这是远远不够的，因为这一类车的共同点就是自重远大于普通小轿车，且发动机的输出功率非常高，这样随之而来问题就是发动机及机油的工作温度也远高于一般的轿车。所以，这些车辆上才都装备了&额外&的机油散热器。大家知道，机油的工作温度直接影响到它的工作效能，这是因为当机油温度过高时，机油会产生氧化变质，机油膜的强度也会大幅下降，厂家所装备的机油散热器只能提供最基本的保障，除此之外车主还需配合使用高性能的机油，其实很多大排量车的说明书(通常被车主忽略)上都写着&必须为发动机配合全合成机油&。这就是因为，全合成机油中所含有的抗氧化剂可以有效的抵御高温状态下的机油氧化变质，维持机油正常工作。
二、 选择机油要适时考虑车辆运行环境
这是一个之前很少被提及的话题，但是不可否认，扬尘天气、潮湿天气、低温天气甚至拥堵道路都能对发动机内部运转的机油产生直接影响。
首先不得不说的就是&潮气&，也就是空气中所含的水分，生活在南方潮湿天气环境下的车主最需要注意。虽然机油是深藏在发动机内部的，但发动机需要依靠空气才能燃烧运转，这样空气中的潮气就还是有机会进入到发动机内部，我们行驶一段距离后，停车、熄火，发动机在经由高温骤然冷却的过程中，空气中的潮气就会凝结成水混入到机油当中(尽管非常之细微但确实还是有的)。水和机油发生反应，促使机油发生乳化，虽然这一过程非常非常的缓慢，但久而久之还是会影响到机油的润滑能力，同时也弱化了机油的防腐能力。因此，我们建议在特别潮湿的气候下车主考虑使用全合成机油，因为全合成机油当中添加有的&防锈剂&，要比一般矿物机油更加有效的防止乳化。当然全合成机油也不是万能的，如果您的车真的已经停放很久很久了(3个月以上)，那还是赶紧去4S店换箱新机油吧。
汽车的连续停放时间最好不要超过1个月，期间最好请朋友帮助热热车
以上建议也只是针对于有条件的车主，而如果您是一部自然吸气发动机的车主，也只想使用普通机油，那么也不用着急，接下来我就介绍另一种行之有效的方法，只需要遵守以下非常简单的方法同样可以避免机油乳化。
首先就是要避免在潮湿环境下长期停放车辆，短时间内，机油和水是不会发生乳化的，而且随着发动机的下一次运转，一部分水分是会受热自然蒸发掉的。但是长时间在潮湿环境下停放车辆，就给足了机油和水发生反应的时间。这样如果您的爱车真的需要停放一个月以上的时间，不妨让亲朋好友帮个忙，每周带您的爱车去&散散步&，每次二十分钟就足矣。一来是可以防止机油乳化，二来也可以延缓其它部件老化。
其次拥堵的道路也是造成汽车发动机磨损加剧的一个诱因。频繁的走走停停，使得发动机不能高转速运转，燃油或者窜入燃烧室的机油也不可能百分之百的燃烧，而未燃烧的部分在高温和氧化的作用下就会形成胶质，粘附在发动机内部的零件上，再经过高温作用形成积碳。发动机工作产生积碳是不可避免的，但当积碳在发动机内部过多时就会造成发动机运转不畅，而且也是促使机油提早变质的罪魁祸首之一。因此如果您的爱车是常年行驶在拥堵道路上，我们建议还是使用全合成机油更好。
除了使用更好的机油外，我们还建议车主定期去拉拉高速，时间不用太久，30-60分钟为宜，既可以减缓积碳的产生，也能保护机油使其不会过早变质。
原标题：好钢用在刀刃上 全合成机油该怎么用？
编辑：袁大鹏
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