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设函数f（x）=ax+sinx+cosx．若函数f（x）的图象上存在不同的两点A，B，使得曲线y=f（x）在点A，B处的切线互相垂直，则实数a的取值范围为______．
轩辕采薇GCQNM
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由f（x）=ax+sinx+cosx，得f′（x）=a+cosx-sinx，设A（x1，y1），B（x2，y2），则f′（x1）=a+cosx1-sinx1，f′（x2）=a+cosx2-sinx2．由′(x1)f′(x2)=-1，得a2+[（cosx1-sinx1）+（cosx2-sinx2）]a+（cosx1-sinx1）（cosx2-sinx2）+1=0．令m=cosx1-sinx1，n=cosx2-sinx2，则m∈，．∴a2+（m+n）a+mn+1=0．△=（m+n）2-4mn-4=（m-n）2-4，∴0≤（m-n）2-4≤4，2-4≤2．当m-n=时，m+n=0，又2-4mn-42=2-42．∴-1≤a≤1．∴函数f（x）的图象上存在不同的两点A，B，使得曲线y=f（x）在点A，B处的切线互相垂直，则实数a的取值范围为[-1，1]．故答案为：[-1，1]．
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求出原函数的导函数，设出A，B的坐标，代入导函数，由函数在A，B处的导数等于0列式，换元后得到关于a的一元二次方程，结合线性规划知识求得a的取值范围．
本题考点：
利用导数研究曲线上某点切线方程．
考点点评：
本题考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，考查了数学转化思想方法，解答的关键在于由关于a的方程的根求解a的范围，是有一定难度题目．
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＞＞＞设函数f（x）=ax+cosx，x∈[0，π]．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设f（x）≤..
设函数f（x）=ax+cosx，x∈[0，π]．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设f（x）≤1+sinx，求a的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（Ⅰ）求导函数，可得f'（x）=a-sinx，x∈[0，π]，sinx∈[0，1]；当a≤0时，f'（x）≤0恒成立，f（x）单调递减；当a≥1 时，f'（x）≥0恒成立，f（x）单调递增；当0＜a＜1时，由f'（x）=0得x1=arcsina，x2=π-arcsina当x∈[0，x1]时，sinx＜a，f'（x）＞0，f（x）单调递增当x∈[x1，x2]时，sinx＞a，f'（x）＜0，f（x）单调递减当x∈[x2，π]时，sinx＜a，f'（x）＞0，f（x）单调递增当x∈[0，arcsina]时，单调递增，当x∈[arcsina，π]时，单调递减； （Ⅱ）由f（x）≤1+sinx得f（π）≤1，aπ-1≤1，∴a≤2π．令g（x）=sinx-2πx（0≤x≤π2），则g′（x）=cosx-2π当x∈(0，arccos2π)时，g′（x）＞0，当x∈(arccos2π，π2)时，g′（x）＜0∵g(0)=g(π2)=0，∴g（x）≥0，即2πx≤sinx（0≤x≤π2），当a≤2π时，有f(x)≤2πx+cosx①当0≤x≤π2时，2πx≤sinx，cosx≤1，所以f（x）≤1+sinx；②当π2≤x≤π时，f(x)≤2πx+cosx=1+2π(x-π2)-sin(x-π2)≤1+sinx综上，a≤2π．
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据魔方格专家权威分析，试题“设函数f（x）=ax+cosx，x∈[0，π]．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设f（x）≤..”主要考查你对&&函数的单调性与导数的关系，函数的最值与导数的关系&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
函数的单调性与导数的关系函数的最值与导数的关系
导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）&0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）&0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间； （2）若f′（x）&0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）&0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间。 利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
①确定f（x）的定义域； ②计算导数f′（x）； ③求出f′（x）=0的根； ④用f′（x）=0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）&0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）&0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间。
函数的导数和函数的单调性关系特别提醒：
若在某区间上有有限个点使f′(x)=0，在其余的点恒有f′（x）&0，则f(x)仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′(x)&0是f(x)在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件。&函数的最大值和最小值：
在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值，分别对应该区间上的函数值的最大值和最小值。
&利用导数求函数的最值步骤：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值； （2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值。
&用导数的方法求最值特别提醒：
①求函数的最大值和最小值需先确定函数的极大值和极小值，因此，函数极大值和极小值的判别是关键，极值与最值的关系：极大（小）值不一定是最大（小）值，最大（小）值也不一定是极大（小）值；②如果仅仅是求最值，还可将上面的办法化简，因为函数fx在[a，b]内的全部极值，只能在f（x）的导数为零的点或导数不存在的点取得（下称这两种点为可疑点），所以只需要将这些可疑点求出来，然后算出f（x）在可疑点处的函数值，与区间端点处的函数值进行比较，就能求得最大值和最小值；③当f（x）为连续函数且在[a，b]上单调时，其最大值、最小值在端点处取得。&生活中的优化问题：
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题，解决优化问题的方法很多，如：判别式法，均值不等式法，线性规划及利用二次函数的性质等，不少优化问题可以化为求函数最值问题．导数方法是解这类问题的有效工具．
用导数解决生活中的优化问题应当注意的问题：
(1)在求实际问题的最大（小）值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去；(2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f'（x)=0的情形．如果函数在这点有极大（小）值，那么不与端点比较，也可以知道这就是最大（小）值；(3)在解决实际优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还应确定出函数关系式中自变量的定义区间．
利用导数解决生活中的优化问题：
&(1)运用导数解决实际问题，关键是要建立恰当的数学模型（函数关系、方程或不等式），运用导数的知识与方法去解决，主要是转化为求最值问题，最后反馈到实际问题之中．&(2)利用导数求f(x)在闭区间[a，b]上的最大值和最小值的步骤，&&①求函数y =f(x)在（a，b）上的极值；& ②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f（b）比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．&&(3)定义在开区间(a，b)上的可导函数，如果只有一个极值点，该极值点必为最值点．
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与“设函数f（x）=ax+cosx，x∈[0，π]．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设f（x）≤..”考查相似的试题有：
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设函数f（x）=ax+cosx，x∈[0，π]．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设f（x）≤1+sinx，求a的取值范围．
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（Ⅰ）求导函数，可得f'（x）=a-sinx，x∈[0，π]，sinx∈[0，1]；当a≤0时，f'（x）≤0恒成立，f（x）单调递减；当a≥1 时，f'（x）≥0恒成立，f（x）单调递增；当0＜a＜1时，由f'（x）=0得x1=arcsina，x2=π-arcsina当x∈[0，x1]时，sinx＜a，f'（x）＞0，f（x）单调递增当x∈[x1，x2]时，sinx＞a，f'（x）＜0，f（x）单调递减当x∈[x2，π]时，sinx＜a，f'（x）＞0，f（x）单调递增当x∈[0，arcsina]时，单调递增，当x∈[arcsina，π]时，单调递减； （Ⅱ）由f（x）≤1+sinx得f（π）≤1，aπ-1≤1，∴a≤．令g（x）=sinx-（0≤x），则g′（x）=cosx-当x时，g′（x）＞0，当时，g′（x）＜0∵，∴g（x）≥0，即（0≤x），当a≤时，有①当0≤x时，，cosx≤1，所以f（x）≤1+sinx；②当时，=1+≤1+sinx综上，a≤．
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（Ⅰ）求导函数，可得f'（x）=a-sinx，x∈[0．π]，sinx∈[0，1]，对a进行分类讨论，即可确定函数的单调区间；（Ⅱ）由f（x）≤1+sinx得f（π）≤1，aπ-1≤1，可得a≤，构造函数g（x）=sinx-（0≤x），可得g（x）≥0（0≤x），再考虑：①0≤x；②，即可得到结论．
本题考点：
利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性．
考点点评：
本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，考查函数的最值，解题的关键是正确求导，确定函数的单调性．
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已知函数f(x)=cosx+ax^2,当x大于等于0时,使f(x)大于等于1恒成立的a的最小值为k,求k的值
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这是导数的应用类问题,应该是高二数学或高三练习卷上的题,具体做法如下：观察得f（0）=1,故题目即求f（x）>=f（0）恒成立,即f（0）是0到正无穷上最小值,故函数在0到正无穷上单调递增,即f ‘（x）>=0在0到正无穷上恒成立,求导f ‘（x）=-sinx+2ax,即-sinx+2ax>=0在0到正无穷上恒成立,分离变量得a>=sinx/(2x)在x属于0到正无穷上恒成立,故a要大于等于g（x）=sinx/（2x）在0到正无穷上的最大值,对g（x）求导,得g '(x)=（xcosx-sinx）/2(x^2),令g '(x)=0,得x=tanx,即x=tanx时有最大值（此处解不出x值）,将x=tanx带回g（x）得x=tanx时g（x）=cosx/2,故g（x）最大值为1/2,得a>=1/2,k=1/2,明白了吗,有不明白的再问我,打了这么多,
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你这题在哪来的，不还有第二问和第三问，a=k时p1x1
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