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罗尔定理的条件有区间内可导那为什么还要多出区间内连续可导必连续.那区间连续这条件不就多余了吗
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请重新仔细研读罗尔定理：如果函数f(x)满足以下条件：（1）在闭区间[a,b]上连续,（2）在开区间(a,b)内可导,（3）f(a)=f(b),则至少存在一个ξ∈(a,b),使得f'(ξ)=0.特别注意：是闭区间[a,b]上连续,开区间(a,b)内可导,换句话说,在端点处,必须连续,但并不一定要求可导,举例如下：函数f(x)=|sinx|,在[0,π]上可以应用罗尔定理,在端点x=0处,连续但不可导,不过并不影响其使用罗尔定理.
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罗尔定理、拉格朗日、柯西中值定理、洛必达法则与导数的应用
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1.75亿学生的选择
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1.75亿学生的选择
设函数f（x）在闭区间[-1，1]上具有三阶连续导数，且f（-1）=0，f（1）=1，f′（0）=0，证明：在开区间（-1，1）内至少存在一点ξ，使f′′′（ξ）=3．
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1.75亿学生的选择
方法一：在x=0处，将函数f（x）按照泰勒公式展开，得：2+13!f″′(η)x3，其中η介于0与x之间，x∈[-1，1]，由已知可得：1)，(-1&η1&0)，…①2)，(0&η2&1)，…②②-①得：f″′（η2）+f″′（η1）=6，由于：f（x）具有三阶连续导数，从而：f″′（x）在闭区间[η1，η2]上连续，故：f″′（x）在闭区间[η1，η2]上有最大值和最小值，设最大值和最小值分别为M和m，则：1)+f″′(η2)2≤M，由闭区间上连续函数的介值定理，得：至少存在一点ξ∈[η1，η2]?[-1，1]，使得：1)+f″′(η2)2=3．方法二：（应用三次罗尔定理）作辅助函数：2(x+1)+(1+x)(1-x)f(0)，则：φ（1）=f（1），φ（-1）=f（-1），φ（0）=f（0），φ′（0）=f′（0），令：F（x）=f（x）-φ（x），则：F（0）=F（1）=F（-1）=0，易知F（x）满足罗尔定理，从而，?ξ1∈（-1，0），?ξ2∈（0，1），使得：F′（ξ1）=F′（ξ2）=0，而：F′（0）=0，于是：F′（ξ1）=F′（0）=F′（ξ2）=0，易知：F（x）也是具有三阶连续导数的．从而对F′（x）应用罗尔定理得：?η1∈（ξ1，0），η2∈（0，ξ2），使得：F″（η1）=F″（η2）=0，又：在闭区间[η1，η2]上F″（x）满足罗尔定理的条件，从而：?ξ∈（η1，η2），使得：F′″（ξ）=0，而：F′″（x）=f′″（x）-φ′″（x）且φ′″（x）=3，∴f′″（ξ）=3．
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根据题意函数f（x）三阶可导，将函数在x=0处泰勒展开，再由闭区间上连续函数的介值定理得出结论
本题考点：
A:利用泰勒公式将函数展开成幂级数 B:有界闭区域上连续函数的性质介值定理
考点点评：
本题主要考查到的知识点有：泰勒展开，介值定理，罗尔定理；考查的知识点主要是闭区间上连续函数的性质以及中值定理，这在高等数学中是必须熟练掌握的知识点，是考研必考内容之一．
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