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确立核心问题 促进有效学习.doc 4页
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确立核心问题促进有效学习【关键词】小学数学课堂教学核心问题有效学习【中图分类号】G【文献标识码】A【文章编号】（14-01所谓核心问题就是基本问题、中心问题，是单位时间内学生的学习重心所在。在数学教学中，要想使学生在单位时间内的学习更加有效，确立核心问题，吸引学生的注意力，引导学生围绕核心问题展开学习探究就是一种有效的教学策略。这样教学不仅可以节省大量的教学时间，而且可以使学生探究的方向更明确，进而为促进学生有效学习奠定基础。那么，如何确立核心问题，使课堂教学更加有效呢？笔者认为，可以从以下三方面入手。一、在疑难点确立“核心问题”――直抵中心在数学教学中，每节课都会设计许多知识点的教学，这些知识点的难易程度不一，共同为促进学生深刻理解教学内容奠定了基础。因此，教师要根据这些知识点的难易程度，确立核心问题，只有准确确立核心问题，才能使学生在思考时直奔中心，抓住重点，积极思考，展开有效学习。如在教学人教版一年级数学下册《带有小括号的两步混合运算》时，教学的重点和难点是让学生掌握含有小括号的两步计算的运算顺序，明确如果遇到带有小括号的一定要先算括号里面的算法算理。在教学时，笔者把课堂教学的核心问题设计为：在含有小括号的算式中，能够按照从左到右的顺序依次计算吗？为什么？你能用具体的例子来说明吗？这样，学生就会从为什么不能按照从左到右的顺序依次计算上深入思考，进而认识到小括号在四则运算中的特别之处，真正感受到遇到算式中有小括号的必须先算小括号里面的重要性，为促进学生更加深入有效地学习奠定基础。可见，在教学内容的疑难点处确立核心问题，可以使学生直抵解决问题的中心，认识到小括号在学习中的重要作用，这样学生在计算时遇到小括号就不会再出现运算顺序错误的现象，进而使学生的数学能力得到有效提升。二、在关联处确立“核心问题”――承前启后数学是一门逻辑性很强的学科，各部分内容之间存在着密切的联系，在教学过程中，教师如能在数学知识的关联处设计核心问题，不仅可以统领本节课的关键教学内容，而且还有利于学生对数学相关知识之间的联系与比较，从而激活学生的思维，激发学生的潜能，促进学生有效学习数学知识。如在教学人教版五年级数学上册《小数乘法》时，教学的主要目标是让学生掌握小数乘法的计算方法，并从中体会到小数乘法与整数乘法之间的内在联系。在教学时，教师可以确立如下核心问题让学生思考：1.整数乘法的计算方法是什么？2.在计算含有小数的乘法算式时，在计算完毕以后，如何确定小数点的位置，依据是什么？3.在计算小数乘法时，确定小数点的位置是以什么为标准的？依据是什么？在这些问题提出以后，教师再引领学生在积极思考探究的基础上讨论交流，最后再把自己的学习成果向大家展示，从而促进学生的有效学习。三、在整合处确立“核心问题”――抓住关键对数学教学而言，如果对问题进行深究，就会发现每一节数学课的教学内容都会存在许多细小的问题。因此，教师在备课时就要注重认真分析教材，依据教学内容特点，根据教学需要就这些细小问题进行合理整合，设计出能够直达教学关键的核心问题，从而促进学生的深刻探究。如在教学人教版五年级数学上册《用字母表示数》时，教师给出了这样一道习题：“用3根小棒可以围成一个三角形，那么，如果用小棒围成2个三角形、3个三角形、4个三角形……n个三角形呢？你知道围成n个三角形至少需要几根小棒吗？”在解决这个问题时，学生往往会就以下问题进行思考：1.围成2个三角形至少需要几根小棒？2.围成3个三角形至少需要几根小棒？3.围成n个三角形呢？这些都是学生需要探究解决的问题，但是，对于短短的一节课来说，让学生运用这样的方法一个个思考下去，不仅会增加学生的学习负担，而且课堂教学任务也难以完成。因此，在教学这部分知识时，在整合数学问题的基础上，笔者设计了这样一个核心问题：用小棒摆成一个三角形，至少需要几根小棒？请大家思考，三角形的个数与小棒根数之间有什么关系？让学生就这个问题进行思考探究，有效降低了学生思考问题的难度，很快就得出了三角形个数与小棒根数之间的关系是2n+1。总之，在小学数学教学中，确立核心问题就犹如抓住了数学课堂教学的缰绳，它可以使整个课堂教学都围绕着核心问题展开，让学生的思维有了聚焦点，课堂教学也因有了核心问题的确立而更具层次性与连贯性。教师要深入钻研教材，确立好核心问题，引领学生积极思考探究，进而使学生的数学学习更加有效。（责编林剑）4
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核心问题：数学教学的有效统领 （转载） 10:11:42
核心问题：数学教学的有效统领
&&& 摘& 要：核心问题是数学教学的有效统领，因为核心问题有利于学生清晰学习目标、践行自主学习、发展思维能力、整理所学知识。探讨数学教学中的核心问题，是改进课堂教学的关键，也是学生的数学学习从被动走向主动，从学会走向会学的重要因素。确立核心问题，需要教师准确梳理教学内容，准确判断教学重难点，准确把握所授知识与相关知识的联系。
关键词：核心问题& 教学& 有效统领
&& 学校举行“园丁杯”评优活动，一位教师执教五年级（下册）《分数的意义》。教学以核心问题统领，取得了很好的效果。
教师在课始提出问题：我们在三年级的时候学过分数。想一想，我们学的分数是分什么、怎样分得到的？
生1：把一个饼平均分成4份，这样的1份用1/4表示。
生2：不仅可以把一个饼平均分，也可以把一个长方形平均分后用分数表示。
教师出示图，请学生分别用分数表示涂色部分：&&
生：第一幅图用3/4表示，第二幅图……
教师提问：刚才这些分数各是把什么分一分、怎样分得到的？
小结：把一个物体、一个图形、一个计量单位平均分，这样的一份或者几份就可以用分数表示。
教师再出示：&
提问：这是把什么分一分、怎样分的？能用分数表示吗？
生：这是把6个圆平均分成3份，可以用分数表示。
教师请学生在本子上写出分数。反馈时发现，有的学生用2/6表示，也有的学生用1/3表示。一番讨论后，学生统一认识，认为应该用1/3表示。接着，教师再出示把8个圆、12个圆平均分的情况，分别让学生先思考“把什么分一分、怎样分的”，再用分数表示。在此基础上，教师引导学生思考：刚才我们是把什么分的？学生不难回答：是把几个圆看作一个整体来分的。在此基础上，教师归纳一个物体、一个图形、一个计量单位、一个整体都可以称为“单位1”，学生进一步明确了把单位“1”平均分成若干份，这样的一份或者几份就可以分数来表示。
在后面的练习中，教师也紧扣把什么（单位“1”）分一分、怎样分的问题进行。整节课显得很简洁，学生对分数意义的理解也很到位。
细细推究，“把什么分一分、怎样分的”是理解分数意义的核心问题。只有解决了这个问题，学生才能理解分数的意义。教师在教学中提炼出了这个核心问题，在教学时紧紧围绕这个问题引导学生进行分析，并且在感知将大量典型材料分一分的基础上，及时抽象概括单位“1”，使学生水到渠成地理解了分数的意义，为后续的分数实际问题的解决打下了扎实的基础。
在上述案例的教学中，我们是否可以获得这样的启发？──核心问题，是数学教学的有效统领。
一、什么是数学教学的核心问题
当代美国著名数学家哈尔莫斯(P.R.Halmos)曾说：问题是数学的心脏。诚然，问题之于数学教学的重要性已经不需多言。那什么是问题？《牛顿大词典》的解释是：那些并非可以立即求解或较困难的问题&(question)，那种需要探索、思考和讨论的问题，那种需要积极思维活动的问题。可见，所谓的问题不是学生能立即作答的，是要能引发讨论、具有一定思维价值的问题。
笔者认为核心问题即指中心问题，是诸多问题中相对最具思维价值、最利于学生思考及最能揭示事物本质的问题。数学教学中的核心问题，要符合问题的特征，还要满足教学的需要。它是在教学过程中，为学生更好地理解和掌握新知、更好地积累学习经验和方法，针对具体教学内容，提炼而成的教学中心问题。
核心问题可以是指针对概念的本质内涵所提的问题。就如分数的意义而言，其本质就是将单位“1”平均分后用来表示其中一份或几份的数。因此，结合具体材料思考“把什么分一分、怎样分”的问题，就是认识分数意义的核心问题，直指分数的本质。
核心问题也可以指为了探究知识的来龙去脉而在关键环节提出的指向性问题。就如圆柱体积的计算而言，在这节课的教学过程中，教师抓住“圆柱的体积怎么计算？”“圆柱的体积为什么能够这样算？”“通过圆柱体积计算的推导能受到怎样的启发？”这三个问题，使学生在获取圆柱体积公式的同时又了解了体积公式的由来，并及时总结了思考问题的方法。
核心问题还可以是在学生认知困惑处的方法指引或者思路点拨。例如教学比的基本性质时，教师可以提示：“比和除法有着密切的关系，根据除法中商不变的规律大胆地猜测比可能存在怎样的规律，并举例验证。”引导学生通过联系旧知大胆猜测新知，并进行验证，这是一种有效的学法指导，也是学生思考问题的思路点拨。
教学中的核心问题要因教学内容而具体制定，需要教师认真研究，有时偏重引领学生经历知识的形成过程，有时则可能偏重引导学生体会、掌握学习方法，感悟基本的数学思想。
二、为什么要确立数学教学的核心问题
康托尔指出：在数学的领域中，提出问题的艺术比解答问题的艺术更为重要。笔者认为，数学教学中，成功提炼核心问题并以此作为统领，能够促进并提高数学教学的有效性。
1.有利于学生清晰学习目标。
对于一节课的教学内容来讲，核心问题一定是针对教学的重点、难点高度提炼而成。核心问题不可能琐碎，必然高度凝练，直接指向学习目标，学生根据问题就能直接或间接地明确学习任务，这是教学是否有效的关键。我们不难发现在有的课上，由于教学内容被过于肢解，问题太多，问题的角度变换过频，学生很难把握学习的重点和难点，搞不清学习的目标，以至于上完课后还不清楚究竟学到了什么。而判断一节课的教学是否有效，笔者认为学生知道学了什么是重要的标尺。因此从这个角度讲，核心问题之于有效教学是有意义的。
2.有利于学生践行自主学习。
核心问题因为极具思维含量和思维张力，因此需要有一定的时间和空间才能得到解决。而这一过程往往就是学生自主学习的过程，至少能够促进学生的自主学习。试想，如果问题琐碎，学生处于一个一个具体问题的包围之中，只能被动地回答和应和，不大可能跳出问题去进行更深入、更全面的思考，教学势必以师生问答的形式推进，这样做很难有效地激发全体学生主动思考。而核心问题由于思维空间大，学生需要充分调动自身的相关知识经验储备，或独立探索，或与同伴合作，方能获得问题的解决。可以说，因为核心问题的统领，自主学习的推进就有了适宜的土壤。而学生是否具有自主学习的机会，是学生是否能够主动全面发展的重要前提。
3.有利于学生发展思维能力。
核心问题不同于一般的课堂提问，它因高度凝练而往往给思维留下很大的空间，学生不能仅靠简单的判断就能回答，而是需要调动已有的知识储备，通过观察、分析、推理、想象、概括等方式去作深入思考。核心问题还不同于一般的直线型问题，不是单纯地通过“因为……所以……”就能解决，而是需要学生合理地梳理思考的“序”，即确定问题应该从哪里开始思考，顺着怎样的方向进行思考。有时还需要学生多次进行“如果……那么……”的假设与推理。因此，有了核心问题的统领，既能避免因为教师过多的引导而使得学生被动思维，也能够基于学习目标，从问题的全局出发整体进行思考，学生的思维不再琐碎，也不会停留在浅表层面，而会因认识或研究的推进而将思维不断引向深入。
4.有利于学生整理所学知识。
由于核心问题是围绕教学目标设置的一个或几个关键性问题，学生在问题的引领下能够有序地回忆一节课所学习的知识与方法，并在头脑中留下鲜明的印象。因此，核心问题的引领，能够为学生主动地回顾和总结学习过程留下了清晰的线索，从而对所学的内容能够留下鲜明的印象。如果问题太多，问题的角度变换过频，学生就很难把握学习的重点和难点，很难在头脑中留下鲜明的印象。
探讨数学教学中的核心问题，是改进课堂教学的关键，也是学生的数学学习从被动走向主动，从学会走向会学的关键因素。
三、如何确立数学教学的核心问题
核心问题的确立是个复杂的话题，涉及到教学内容、学生及教师自身的数学理解与教学实践认识等许多要素。笔者认为，确立数学教学的核心问题需要关注以下几个方面：
1．教师要准确把握教学内容。
准确把握教学内容，也就是教师要弄明白“教什么”。弄明白“教什么”，首先要梳理知识点，即通过阅读教材，知道教材讲了什么，需要学生掌握哪些知识，形成哪些技能，感悟哪些数学思想方法等。知识点的梳理，不仅要关注例题，也要关注“试一试”“练一练”及练习题。例如，苏教版教材六年级（上册）的《认识比》，这节课虽然只有两个例题，但是涉及的知识点很多，有比的意义，比的各部分名称，比和分数、除法的联系和区别，求比值等，初步感受数学知识之间的密切联系。再如，苏教版教材五年级（下册）的《异分母分数加减法》，这节课虽然只提供了一个例题，但是知识点远不止一个，有异分母分数加减法的算理、异分母分数加减法的计算方法、计算结果的约分、自然数1减分数的计算、异分母分数加减法的验算等，要让学生在探索异分母分数加减计算的过程中感受转化的数学思想方法，建立分数加减计算的认知结构。在这里，转化思想是隐藏在教材字里行间的，需要教师深度解读后挖掘得到。同时教师要认识到虽然数学思想方法属于隐性的数学知识，但其实它是蕴涵在学生探索异分母分数加减计算的过程之中的，教学时要在适当的时机化隐为显，帮助学生逐步体验数学思想方法的价值。
研究“教什么”除了要关注教材本身显性的信息，也要关注教材隐性的信息，这是确立数学教学核心问题的基础。
2.要准确判断教学重难点。
一节课的知识点往往地位和作用各有不同。教师在了解知识点之后，需要对多个知识点进行分析，特别是从班级学生的学习角度出发，合理地确定教学重点和难点。数学教学的核心问题往往都是围绕教学重点和难点生成的。对于数学概念教学而言，教学重点和难点往往就是概念的本质内涵，涉及概念本质的问题一般就是教学的核心问题。如《认识比》一课，在众多的知识点中，比的意义最为关键，因此，教学核心问题可确定为“比表示数量之间怎样的关系”。对于数学计算教学，教学重难点往往指向于算理和算法，核心问题就可以据此提出。如《异分母分数加减法》一课，其教学重点和难点是让学生理解只有统一计数单位，才能直接相加减。据此，教学核心问题可确定为：异分母分数加减法能直接相加减吗？为什么？应该怎么做？而对于解决问题的教学，如解决问题的策略，教学重点是对策略的感悟和理解，难点是策略的初步应用。教学核心问题往往可确定为：××策略是什么？什么情况下运用这一策略？运用这一策略时需要注意什么？
总而言之，确立教学核心问题是以准确把握教学重点和难点为前提的，是基于促进学生的数学思维和数学素养提升的。
3.要准确把握所授知识与相关知识的联系。
数学知识之间有着千丝万缕的联系，这就决定了教学核心问题的确定有时不能仅仅根据一节课的内容而定，还要顾及与之相关的知识之间的联系。因此，教师不仅要熟悉所教教材内容，还要能够把握整套教材知识结构的设计与编排情况,用以了解学生的知识基础和知识的发展方向，这样做才能准确判断某一教学内容在整个小学阶段学习中的地位和作用。比如，《平行四边形的面积计算》这一内容是学生学习三角形面积计算、梯形面积计算、圆面积计算的基础。它在“空间与图形”领域占有极其重要的地位，如果学生掌握了平行四边形面积推导的方法，那么他们在探究其他平面图形面积计算时就能实现方法的迁移。因此，对于这样一些具有“承前启后”作用的教学内容，教学核心问题的确立要偏重于学习方法的引导。因此，这节课的核心问题就可以确定为：要知道平行四边形的面积，可以把平行四边形转化成什么？如何转化？转化后又是如何推导出面积公式？笔者认为，这些问题的提出，更有利于学生掌握平行四边形面积公式的来龙去脉，为后续学习打下良好的基础。
其实，教学核心问题的确立主要关注的是如何引领学生有效地经历数学活动的过程，促进学生积极主动地展开数学思维活动，在获得数学基础知识与基本技能的基础上，感悟数学思想方法，积累数学活动经验。当然，教学核心问题的确立也并非是完全预设的，有时需要根据学生在课堂上的学习状态灵活调整。
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《基本概念与运算法则——小学数学教学中的核心问题》的学习笔记
放假前，在网上挑选了几本暑假期间要读的书，其中就有这本 史宁中教授主编的《基本概念与运算法则——小学数学教学中的核心问题》一书，每读一页都有很多收获，结合《课标》和另外一本关于案例式解读《课标》的书，使得我对“四基”、“四能”、“十大核心概念”等有了更深刻、更具体的认识。书读过一遍后，感觉还有必要再读一遍并做好笔记，于是就有了下面的摘要。史宁中教授的思考：（1）课程标准应当规定哪些教学内容，为什么要规定这些内容，这些内容的教育价值是什么？（2）数学的本质是什么，应该如何在教学中体现这些本质？（3）思考数学教育的本质，为了学生一生的发展，在义务教育阶段应当实施一种什么样的数学教育？（4）培养创新型人才的关键是什么，应当通过什么样的教学活动进行培养？
基本思想和基本活动经验是一种隐性的东西，恰恰是这种隐性的东西体现了数学素养。判定数学基本思想的准则：（1）数学的产生和发展所必须依赖的那些思想；（2）学习过数学的人和没有学习过数学的人的思维差异。数学基本思想：抽象、推理、模型。基础知识主要指概念和法则的记忆，基本技能主要是计算和证明的能力。对教师的更高要求：除了“双基”之外，（1）还要求教师能够把握教学内容的数学实质，并且能够设计出符合学生认知规律的教学过程让学生感悟这些实质；（2）引发学生思考问题，并且帮助学生养成良好的独立思考的习惯；（3）引导学生能够正确的思维与实践，并且帮助学生积累思维的和实践的经验。
数是对数量的抽象，因此在认识数之前，首先要认识数量。
数学的本质：在认识数量的同时认识数量之间的关系，在认识数的同时认识数之间的关系。
分数：虽然可以把分数看作除法运算，但分数更重要的还是数，分数本身是数而不是运算，人们用这种数表示自然数之间的两种重要关系：一种是整体与等分的关系，一种是整数的比例关系。
数量是对现实生活中事物量的抽象。例如：一粒米、两条鱼、三只鸡、四个蛋等。
数量关系的本质是多与少。
数的关系的本质是大与小。
认识自然数的两种方法：
（1）基于对应的方法。
首先利用图形对应表示事物数量的多少；
然后再对图形的多少进行命名；
最后把命名了的东西符号化。
模式：能够认识或者解决一类数学问题的方法称为模式。
形式上，自然数去掉了数量后面的后缀名词；
实质上，自然数去掉了数量所依赖的实际背景。
数学不是研究某一个有具体背景的东西，数学研究的是一般的规律性的东西，反过来，人们又可以把一般性的结果应用于某一个具体的事物，这就体现了数学的价值。
（2）基于定义的方法。
后继。（书中第6页）
在现实世界中，抽象了的数是不存在的，存在的只是数所对应的数量。（也称作抽象的存在，见书中第7页）
表示自然数的关键是十个符号和数位。
分类的核心是建构一个标准。
最早提到负数并给出正负数加减运算法则的是中国汉朝的数学著作《九章算术》。
小数：人们对小数的认识要比分数的认识晚得多，直到18世纪人们才建立起稳定的十进位小数表达形式，这比微积分的出现还要晚100多年。
小数产生的原因：1、现实世界中数量表达的需要，比如，6元7角5分就可以表示6.75元；2、为了数学本身的需要，主要是为了表示无理数，从而进行无理数的运算。（书中第16页）
十大核心概念：可以认为这些核心概念是认识一类数学问题的模式，也就是说，可以用这些核心概念指导对一类数学问题的理解。
数感：主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表达具体情境中的数量关系。
抽象的核心是舍去现实背景，联系的核心是回归现实背景。（书中第18页）
精算在本质上是对于数的运算，主要激活脑左额叶下部，与大脑的语言区域有明显的重叠，有利于培养学生的抽象能力；估算的本质上是对于数量的运算，主要激活脑双侧顶叶下部，与大脑运动知觉区联系密切，有利于培养学生的直观能力。
估算不是近似计算，更不是精算以后的四舍五入；估算也不是估计，因为估算也是需要算的。
首先需要在计算之前针对实际背景选择合理的量纲；
其次得到上界或者下界。
“=”的本质含义：符号两边的量相等。
数学研究的不是数学概念本身，而是数学概念之间的关系。
自然数集合上的乘法是加法的简便运算；整数集合上的乘法不是加法的简便计算。
算理理解为运算的本质，即运算与算理的等价。
所有混合运算都是在讲述两个或两个以上的故事。用括号表示大故事所包含的小故事，用加法表示并列的故事。
符号意识：符号意识包括两个方面（1）概念的符号（2）关系的符号。
能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律；知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性。建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式。
方程的本质是描述现实世界中的等量关系。方程描述的是现实世界中与数量有关的两个故事，其中用字母表示未知的量；这两个故事有一个共同点，在这个共同点上两个故事的数量相等。（列方程的基本原则）
技能表现于一般性，技巧表现于特殊性。一题一解的教学方法教的是技巧而不是技能。
基本活动经验：包括思维的经验和实践的经验。
解方程的本质：字母可以参与四则运算。
解方程的过程：把字母移到方程的左边，把数字移到方程的右边，然后进行四则运算。
模式：模式关心的是数学内部，是解决一类数学问题的方法。
模型:模型关心的是数学外部，是解决一类现实问题的方法。《课标》中所说的模型，强调模型的现实性，是用数学的语言讲述现实世界中的故事；强调在建立模型的过程中，让学生感悟如何用数学的语言和方法描述一类现实生活中的问题。
是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果并讨论结果的意义。
（1）总量模型（2）路程模型（3）植树模型（4）工程模型
（见书中第42页）
探索模型的过程是帮助学生积累数学活动经验的有效方法。
发现问题的前提是勤于思考、敢于质疑，因此与培养学生的创新意识关系密切；
提出问题则要求能用数学的语言阐明问题，因此与培养学生的创新能力关系密切。提出问题分为两个层次：一个层次是用语言表述，另一个层次是用符号表达。
空间观念：是对空间中物体的位置以及位置之间关系的感性认识。
主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和互相之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言的描述画出图形。
空间观念的本质是空间想象能力。这个想象力既包括从现实物体到平面图形的抽象，也包括从平面图形到现实世界的想象。
几何直观：是指能够利用图形描述和分析问题，是指借助图形对事物的直接判断。
借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的策略，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要的作用。
几何直观这个核心概念不局限于“图形与几何”的内容。
直观：是对事物的直接判断，是经验层面的，是不经过逻辑分析的。
直观能力的养成依赖本人参与其中的思维活动或者实践活动，是一种经验的积累，而不是依靠他人的传授。
几何学是研究如何构建空间度量方法的学科。包括：欧几里得几何、希尔伯特几何、黎曼几何等。（书中第54页）
点、线、面、体、角是从立体图形中抽象出来的概念。
角：欧几里得定义角为相交直线的倾斜度。
认识图形不仅仅是为了让学生知道哪一种图形叫什么名字，学会区别图形，更重要的是让学生学会对图形分类。在分类的过程中可以让学生感悟如何合理地制定分类标准，学会如何遵循标准合理地进行分类。分类的过程还能培养学生的抽象能力。（书中第57页）
动手操作只是培养学生的直观能力，只有通过叙述才能培养学生的思考能力。
长度：是对一维空间图形的度量；
面积：是对二维空间图形的度量；
体积：是对三维空间图形的度量。
度量的基础：两点间的直线距离。
平移、旋转、轴对称是小学数学“图形与几何”的内容更中最为生动的部分，是在“图形的运动”这个标题下给出的。既然是运动，就不仅要知道运动的结果，还需要想象运动的过程。这类运动有一个共同的特点，就是运动之后保持任意两点间直线距离不变。
平移：参照物是一条射线。称图形上的所有点与射线的距离保持不变，沿射线的方向移动相同的距离的运动为平移。
旋转：参照物是一条射线。称图形上的所有点到射线原点距离保持不变，相对射线移动了相同的角度的运动为旋转。
轴对称：参照物是一条直线。称图形翻转到直线的另一侧，对应点到直线距离相等、对应点连线与直线垂直的运动为轴对称。
数据分析大体上分为两种情况：
一种情况不考虑数据的随机性，称为描述统计——针对调查了的数据本身进行表述；（书中第65页）
一种考虑数据的随机性，称为推断统计——推断调查了数据以外的信息。
推断统计的核心就是通过经验过的事物推断未曾经验的事物，或者说，是通过样本推断总体。
概率：是一个非负的、不大于1的数。
统计学研究的基础是数据，是通过对数据的分析得到产生数据背景的信息。
数据分析观念：了解在现实生活中有许多问题应当先做调查研究，收集数据，通过分析作出判断，体会数据中蕴含着信息；了解对于同样的数据，可以用多种分析的方法，需要根据问题的背景选择合适的方法；通过数据分析体验随机性，一方面对于同样的事情每次收集到的数据可能不同，另一方面只要有足够的数据就可能从中发现规律。
统计图只有“好坏”之分而无“对错”之分。
随机性与不确定性有所区别。（书中第69页）
平均数：书中第70页。
古典概型：事件发生的可能性结果是有限的，发生每种结果可能性的大小是一样的。
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