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2013三维设计高二数学人教B版选修2-2课件：1.1.1 函数的平均变化率
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* 第 一 章 1.1 1.1.1 理解教材新知 把握热点考向 应用创新演练 考点二 考点一
假设下图是一座山的剖面示意图，并建立如图所示平面直角坐标系．A是出发点，H是山顶．爬山路线用函数y＝f(x)表示．
自变量x表示某旅游者的水平位置，函数值y＝f(x)表示此时旅游者所在的高度．设点A的坐标为(x0，y0)，点B的坐标为(x1，y1)．
问题1：若旅游者从点A爬到点B，且这段山路是平直的，自变量x和函数值y的改变量分别是多少？
提示：自变量x的改变量为x1－x0，记作Δx，函数值的改变量为y1－y0，记作Δy＝y1－y0. 问题2：Δy的大小能否判断山坡陡峭程度？ 提示：不能． 问题3：怎样用数量刻画弯曲山路的陡峭程度呢？ 提示：不相同． f(x0＋Δx)－f(x0)
[一点通]　求平均变化率可根据定义代入公式直接求解，解题的关键是弄清自变量的增量Δx与函数值的增量Δy，求平均变化率的主要步骤是： 1．已知函数y＝f(x)＝x2＋1，则在x＝2，Δx＝0.1时，Δy 的值为(　　) A．0.40　　　　　　　　　B．0.41 C．0.43
D．0.44 解析：Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝f(2.1)－f(2)＝2.12－22＝0.41. 答案：B 答案：C 3．计算函数f(x)＝x2在区间[1,1＋Δx](Δx>0)的平均变化率， 其中Δx的值为： (1)2；(2)1；(3)0.1；(4)0.01. 并思考：当Δx越来越小时，函数f(x)在区间[1,1＋Δx]上的平均变化率有怎样的变化趋势？ [一点通]　 (1)比较平均变化率大小的步骤：
(2)函数的平均变化率的大小反映的是函数的图象在该点x0附近的“陡峭”程度，其绝对值越大，则在该处附近的图象越“陡峭”，函数值变化就越快． 5．婴儿从出生到第24个月的体重变化如图所示，试分别计 算第一年与第二年婴儿体重的平均变化率，说明婴儿体重的变化情况． 点击进入 提示：对山坡AB来说，＝可近似地刻画．问题4：能用刻画山路陡峭程度的原因是什么？提示：因表示A、B两点所在直线的斜率k，显然，“线段”所在直线的斜率越大，山坡越陡．这就是说，竖直位移与水平位移之比越大，山坡越陡，反之，山坡越缓．问题5：从A到B，从A到C，两者相同吗？函数的平均变化率一般地，已知函数y＝f(x)，x0，x1是其定义域内不同的两点，记Δx＝x1－x0，Δy＝y1－y0＝f(x1)－f(x0)＝，则当Δx≠0时，商＝ 称作函数y＝f(x)在区间[x0，x0＋Δx](或[x0＋Δx，x0])的平均变化率．对平均变化率的理解(1)x0，x1是定义域内不同的两点的横坐标，因此Δx≠0，但Δx可正也可负；Δy＝f(x1)－f(x0)是相应Δx＝x1－x0的改变量，Δy的值可正可负，也可为零．因此，平均变化率可正可负，也可为零．(2)函数f(x)在点x0处的平均变化率与自变量的增量Δx有关，与x0也有关．同一个函数，不同的x0与不同的Δx其平均变化率往往都是不同的．(3)平均变化率表示点(x0，f(x0))与点(x1，f(x1))连线的斜率，是曲线陡峭程度的“数量化”，其值可粗略地表示函数的变化趋势．[例1]　求y＝f(x)＝2x2＋1在区间[x0，x0＋Δx]的平均变化率，并求当x0＝1，Δx＝时平均变化率的值．[思路点拨]　先求函数值的增量Δy，再求，然后代入已知数据求解．[精解详析]　Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)＝2(x0＋Δx)2＋1－(2x＋1)＝4x0?Δx＋2(Δx)2，函数f(x)＝2x2＋1在区间[x0，x0＋Δx]的平均变化率为＝＝4x0＋2Δx，当x0＝1，Δx＝时，平均变化率为4×1＋2×＝5.2．已知函数f(x)＝2x2－4的图象上一点(1，－2)及附近一点(1＋Δx，－2＋Δy)，则等于(　　)A．4
B．4xC．4＋2Δx
D．4＋2(Δx)2解析：Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝2(1＋Δx)2－2＝4Δx＋2(Δx)2，＝4＋2Δx.解：Δy＝f(1＋Δx)－f(1)＝(1＋Δx)2－12＝Δx2＋2Δx，＝＝Δx＋2.(1)当Δx＝2时，＝Δx＋2＝4；(2)当Δx＝1时，＝Δx＋2＝3；(3)当Δx＝0.1时，＝Δx＋2＝2.1；(4)当Δx＝0.01时，＝Δx＋2＝2.01.当Δx越来越小时，函数f(x)在区间[1,1＋Δx]上的平均变化率逐渐变小，并接近于2.[例2]　(12分)已知函数f(x)＝3－x2，计算当x0＝1,2,3，Δx＝时，平均变化率的值，并比较函数f(x)＝3－x2在哪一点附近的平均变化率最大？[精解详析]　函数f(x)＝3－x2在x0到x0＋Δx之间的平均变化率为＝(2分)＝＝－2x0－Δx.(4分)当x0＝1，Δx＝时，平均变化率的值为－，(6分)当x0＝2，Δx＝时，平均变化率的值为－，(8分)当x0＝3，Δx＝时，平均变化率的值为－，(10分)，－>－>－，函数f(x)＝3－x2在x0＝1附近的平均变化率最大．4．求函数y＝x2在x＝1,2,3附近的平均变化率，取Δx的值为，哪一点附近平均变化率最大？解：在x＝1附近的平均变化率为k1＝＝＝2＋Δx；在x＝2附近的平均变化率为k2＝＝＝4＋Δx；在x＝3附?的平均变化率为k3＝＝＝6＋Δx.若Δx＝，则k1＝2＋＝，k2＝4＋＝，k3＝6＋＝.由于k1<k2<k3，在x＝3附近的平均变化率最大．解：第一年婴儿体重平均变化率为＝0.625(千克/月)，第二年婴儿体重平均变化率为＝0.25(千克/月)．因此，婴儿第一年体重的平均变化率比第二年体重的平均变化率大．说明第一年婴儿的体重增加要快一些．1．用定义法求平均变化率的基本步骤：作差，求出Δy，对Δy进行有效变形，通常用到的变形是：通分、配方、分子(母)有理化、因式分解等，作商，求.2．比较平均变化率大小，实际是比较实数大小的问题，只需先根据平均变化率的定义分别计算，再用比较两数大小的方法比较即可．2013三维设计高二数学人教B版选修2-2课件：1.1.1 函数的平均变化率--博才网
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&#8226; 版权所有 Copyright 2011 All rights reserved.求函数y=在x0到x0+Δx之间的平均变化率.
∵Δy===，∴=.
试题“求函数y=在x0到x0+Δx之间的平均变化率.”；主要考察你对
等知识点的理解。
已知2x2-xy-3y2=0，求
若实数x，y满足（x+y+2）（x+y-1）=0，则x+y的值为______．
已知自然数x、y、z满足等式
=0，求x+y+z的值．
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已知函数f（x）=2x 2 +3x-5。（1）求当x 1 =4，且△x=1时，函数增量△y和平均变化率
；（2）求当x 1 =4，且△x=0.1时，函数增量△y和平均变化率
； （3）若设x 2 =x 1 +△x，分析（1）（2）问中的平均变化率的几何意义。
爱你妹子°噳呯
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f（x）=2x 2 +3x-5， ∴△y=f（x 1 +△x）-f（x 1 ） =2（x 1 +△x） 2 +3（x 1 +△x）-5-（2×x 1
2 +3×x 1 -5） =2[（△x） 2 +2x 1 △x]+3△x =2（△x） 2 +（4x 1 +3）△x，（1）当x 1 =4，△x=1时，△y=2+（4×4+3）×1=21， ∴
；（2）当x 1 =4，△x=0.1时，△y=2×0.1 2 +（4×4+3）×0.1 =0.02+1.9=1.92，∴
；（3）在（1）中，
，它表示抛物线上P 0 （4，39）与点P 1 （5，60）连线的斜率，在（2）中，
，它表示抛物线上点P 0 （4，39）与点P 2 （4.1，40.92）连线的斜率。
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函数f(x)=x2+2x在区间[1,1+△x]上的平均变化率△y/△X等于
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