2016年度考研高等数学之定积分临考复习的三个要点-青岛西海岸新闻网 扫一扫关注“青岛西海岸新闻网” 2016年度考研高等数学之定积分临考复习的三个要点 2016考研初试时间临近，积分是考研数学中非常重要的考点也是容易丢分的部分。下文中，跨考教育数学教研室向老师就来说下最后40天左右要怎么复习定积分。我们可以看到：在学习定积分之前，我们首先学习了不定积分。很多同学把不定积分与定积分搞混淆。其实不定积分是导数的逆运算，本质还是导数的延伸。而真正的积分部分是定积分。在此，跨考教育数学教研室向喆老师在临考提供如下学习建议：1.复习知识体系在讲定积分的时候，我又回归到原来的讲法：从知识体系讲起。因为定积分这章非常重要，考试考查的内容多而广。这章包括：定积分的定义，性质；微积分基本定理；反常积分；定积分的应用。这四个部分各有侧重点。其中定积分的定义是重点；要理解微积分基本定理；要掌握定积分在几何和物理上面的应用。至于反常积分大家了解就行了。2.深刻回顾知识点在掌握了知识体系之后，自然就需要明确具体的重点知识点了。首先是定积分的定义及性质。大家需要深刻理解定积分的定义。我觉得同学们不仅要会用自己的话来表述定义，而且要一步一步的写出精髓。比如说从定义中体现的思想：微元法。同学们要理解分割，近似，求和，取极限这四个步骤。同时要知道其几何意义及定义中需要注意的方面。对定积分定义的考察在每年考研中是必考内容。所以希望引起大家的足够重视。至于性质，大家关键也在于理解。特别是区间可加性；比较定理；积分中值定理。对这三个性质大家一定要知道是怎么来的。考研中有关积分的证明题多多少少会用到这三个性质。所以大家只有理解了才懂得在什么时候用。然后是微积分基本定理。这个知识点非常重要。因为它定义了一种新的函数：积分上限函数。而且在一定的条件下，它的导数就是f（x）。所以我们扩展了函数类型。那么导数应用中的切线与法线；单调性；极值；凹凸性等应用就可以与积分上限函数联系了。同时提出了牛顿-莱布尼茨公式，使得我们可以用不定积分来计算定积分。希望同学们要掌握牛顿-莱布尼茨公式的证明过程。补充说一点：求定积分常用的方法是基本积分公式；换元积分法（凑微分法和换元积分法）；分部积分法。其中换元积分法和分部积分法是重点。大家要理解换元积分法的思想。即我们通过复合函数求导公式推出了凑微分法；通过三角代换，根式代换等提出了换元积分法。而我们通过相乘函数的导数公式推出了分部积分法。所以大家只有知道这些方法是怎么来的才能更好的使用这些方法。接着大家要注意变限积分求导了，最好请大家自己证明下。第三个要说的是反常积分。对这一部分，同学们了解基本定义，会用定积分判断是否收敛就够了。最后，是定积分的应用。其实就是微元法在几何以及物理上面的应用。同样的，同学们要知道数学一，数学二，数学三的区别。在几何上，数学三只用掌握用定积分求面积和简单几何体的体积。而数学一和数学二还要求掌握用定积分求曲线弧长，旋转曲面面积。在物理应用方面，数学一和数学二主要掌握用定积分求变力沿直线做功，抽水做功，液太静压力和质心问题。但核心是，同学们一定要掌握微元法的思想。3.大量做题在大家理解了重点知识以及明确了考试重点后就需要做题巩固了。关键是做真题，反复做真题，反复练习。总之，希望大家经过这三个步骤能够学号临门一脚，祝大家成功。考研复习已经进入冲刺阶段，对于已经经过考研数学系统复习的考生，但做题有所欠缺的考生，不用紧张，跨考杨超老师为了帮助想直击数学分数130+的考生带来了福音，直击核心考点，透视历年真题，把握复习方向，强化基础知识，熟悉考研数学命题及考察形式，培养正确的解题思路，掌握基本的解题方法。 文章来源：　　 编辑：陈蔚 更多新闻！欢迎扫描下方二维码关注青岛西海岸新闻官方微信（xihaiannews） 友情链接 | 青岛西海岸新闻网版权所有 鲁ICP备号扫二维码下载作业帮 1.75亿学生的选择 下载作业帮安装包 扫二维码下载作业帮 1.75亿学生的选择 没有微分的话是对什么求积分?比如一个微分方程xdy+ydx=1.凑微分可得d(xy)=1,然后两边同时积分得xy=x+C我想问的是右边就只有一个1,又没有1dx.这怎么积分呢?为什么认为结果是x+C呢? 扫二维码下载作业帮 1.75亿学生的选择 xdy+ydx=1无解吧.d(xy)应该是个无穷小量,不能等于常数1吧?我觉得应该是题出错了. 为您推荐： 其他类似问题 扫描下载二维码&&欢迎来到论文网！ 论文网8200余万篇毕业论文、各种论文格式和论文范文以及9千多种期刊杂志的论文征稿及论文投稿信息，是论文写作、论文投稿和论文发表的论文参考网站，也是科研人员论文检测和发表论文的理想平台，。 您当前的位置：&>&&>& 导读:：求不定积分的过程比较复杂，没有一个统一的法则可以遵循。本文就不定积分运算中的一些灵活技巧给予了诠释。 论文关键词：不定积分，换元法，分部积分法，凑微分法 　　下面仅就不定积分运算中的一些灵活技巧给予诠释。 　　解：原式= +)dx 　　= =xtan+C 　　本题直接利用公式 = uv+c,从而免去了分部积分范文。 　　解：原式==+++ 　　=-cotxe+cscxe+c 　　本题不仅利用了公式=uv+c，同时在三角函数有理式处先使分母出现平方项凑微分法，再化简，这也是种有效的方法。 　　 解：原式= 　　又因为 　　=，代入得： 　　在此例中利用了使分母出现平方项再化简的方法，从而使问题得以简化，当然有些问题直接利用第一凑微分法，二换元法也可。 　　解：原式== 　　利用了凑微分= 　　解：原式= （注：令） 　　本例关键利用第二换元法同时将用代换，从而使问题迎刃而解。可见代换也是求不定积分比较常用的一种方法。 　　解：原式= 　　本例采用分子，分母同乘以，从而可凑微。一般情况下，当被积函数含有时凑微分法，上述凑微分法也是比较常见的。 　　在不定积分运算中，不仅方法是多样的，而且灵活性也较强。那么在实际运算中究竟采用哪种方法，还要因题而宜。通过多做习题来不断积累经验，以求在掌握各种方法同时，灵活地运用它们。 [参考文献] [1]李晓主编.高等数学[M]. 浙江大学出版社. [2]李心灿主编.高等数学[M]. 高等教育出版社. 查看相关论文专题： & ------------------------------------------------------------------------- 上一篇论文： 下一篇论文： 相关数学建模论文 最新数学建模论文 读者推荐的数学建模论文 热门：&&&&当前位置： >> 第五章 定积分 第五章 定积分 一、内容精要（一） 基本概念定积分的概念是由求曲边梯形面积，变力作功，已知变速直线运动的速度求路程，密度不均质线段 的质量所产生。定义 3.3 成设函数 f(x)在闭区间上有定义，在闭区间[a,b]内任意插入 n-1 个分点将
分n 个小区间， 记，， 作乘积（称为积分元），把这些乘积相加得到和式（称为积分和式）设，若极限存在唯一且该极限值与区是[a,b]的分法及分点的取法无关， 则称这个唯一的极限值为函数 f(x)在 否则称 f(x)在上的定积分，记作 上不可积.，即.注 1 由牛顿莱布尼兹公式知，计算定积分与原函数有关，故这里借助了不定积分的符号。注2若存在， 区间进行特殊分割， 分点进行特殊的取法得到的和式极限存在且与定积分的值相等，但反之不成立，这种思想在考题中经常出现，请读者要真正理解。 注 3 定积分是否存在或者值是多少只与被积函数式和积分区间有关与积分变量用什么字母表示无关，即定积分的几何意义: 直线若 f(x)在上可积， 且则表示曲线与所围成的曲边梯形的面积.同样， 变力所作的功 是瞬时速度），密度不均质直线段（其中 f(x)是变力） 变速直线运动的路程 的质量 （其中 是线密度）。（规定 广义积分定义 3.4 为函数设函数在区间上连续， 称记号（1）在无穷区间上的广义积分（或第一类广义积分）若（1）式右端极限存在，称广义积分 由 在收敛，该极限值称为广义积分的值，否则称广义积分 连续必有原函数，设 的原函数为 。于是发散。从而广义积分可以按照正常定积分计算方式来计算，即若 在，则（存在）=A，则 发散。收敛，且若不存同理可得 若 存在，则广义积分 收敛，否则发散。若 定义 3.5 设， 在区间都存在，则 上连续，收敛，否则发散。 不存在（称 a 点为瑕点）， 且，称记号 与上面研究方式相同，可得 若 同理若 存在，则广义积分 在 上连续， 收敛，否则发散。 不存在（称 b 点为瑕点），有若在上连续，不存在（称 c 点为瑕点），定义当且仅当 的值之和。 注 若 在 上连续，都收敛时，收敛，且值等于（常数），则可看成正常积分，事实上，定义知在上连续，即存在，而，由于 在 故 上连续，有 可看成正常积分。在上连续，知变下限函数 ，即若广义积分收敛，也有线性运算法则，不等式性质，也有凑微分，变量替换，分部积分公式，换句 话说可以像正常的定积分一样运算。第一 p 广义积分（a&0，常数）.当时，当时，知时收敛，时发散第二 p 广义积分.令 由第一 p 广义积分知，当，有 ，即 时收敛，当 ，即 时发散。（二）重要定理与公式定理 3.2 若函数 f(x)在闭区间上可积，则 f(x)在上有界，反之不成立。例 事实上，因为不论把[0，1]分割得多么细，在每个小区间. 中，总能找到有理数 ，无理数，知知不存在。 定理 3.3 定理 3.4 立. 若 f(x)在闭区间 若 f(x)在闭区间 上连续，则 f(x)在 上可积，反之不成立. 上可积，反之不成上只有有限个间断点且有界，则 f(x)在定理 3.5若 f(x)在闭区间上单调，则 f(x)在上可积，反之不成立.定积分的性质性质 1 性质 2 （线性运算法则）设 在 上可积，对任何常数 则. 该性质用于定积分的计算与定积分的证明. 性质 3 （区间的可加性），若 f(x)在以 a,b,c 为端点构成的最大区间上可积，则不论 a,b,c 顺序如何，有 该性质用于计算分段函数的定积分与定积分的证明.性质 4 性质 5 性质 6若 f(x)在 若 f(x),g(x)在 若 f(x)在上可积且 上可积且 上连续，则 则 且 f(x) 0 则.性质 7若 f(x),g(x)在上连续且但,则. 性质 8 性质 9 若 f(x)在 若 f(x)在 上可积，则 上可积，在区间 . 上，m≤f(x)≤M，m，M 是常数，则性质 4、5、6、7、8、9 主要用于定积分不等式的证明及不通过定积分的计算，估计定积分值的范围.性质 10（积分中值定理）若 f(x)在闭区间上连续，则至少存在一点，使而称为 f(x)在区间上的平均值，即闭区间[a,b]上连续函数 f(x)的平均值是 注：这里的 与 是不同的。 设 f(x)连续， 可导，则性质 131 变上限积分求导定理1．定积分计算的方法（1）牛顿一莱布尼兹公式若 f(x)在上连续,则. （2）凑微分（3）变量替换（4）分部积分设在上导数连续，则具体的用法是如果能够计算出就可以计算出定积分的凑微分、变量替换、分部积分与不定积分中三种方法适合的被积函数相同，即不定积分用 三种的哪一种方法，定积分也用三种方法的哪一种。（5）设 f(x)在 事实上，上连续，则而 故得证推论证由于且为偶函数，为奇函数，于是（6）设 f(x)为周期函数且连续，周期为 T，则 事实上.由于于是（7）设 f(x)在[0,1]上连续，则事实上移项两边同除以 2 得 微元法.根据所给条件，画图，适当建立坐标系，在图中把所需曲线的方程表示出来，确定要求量 Q 所分布的区间且区间上的总量 Q 具有等于各小区间上部分量之和的特点. 。写出部分量 的近似值 即（1）取近似求微元.选取区间要求是的线性主部即计算的过程中，可以略的高阶无穷小。这一步是关键、本质的一步，所以称为微元分析法或简称微元法.（2）得微分. 注：第一步一定要把 由（3）计算积分. 表示成 x 的函数与 的乘积形式.，于是又可写成下面的步骤：（1）选取求的线性主部，,（2）二、考题类型、解题策略及典型例题 考题类型、 类型 1.1 涉及到定积分的方程根的存在性 解题策略利用积分中值理，定积分的 13 条性质，尤其是变上限积分求导定理及微分中值定理，证明 方法与技巧与第三章我们介绍的证明思想完全类似。例 3.2.1 设函数 f(x)在[0，1]上连续，在（0，1）内可导，且证明在（0。1）内存在一点，使.分析 由结论知对被积函数用罗尔定理.证由积分中值定理知，在上存在一点 c，使 c)上连续，在[0，c]内可导，f(0)=f(c)，由罗尔定理知至少存在一点 类型 1.2 涉及到定积分的适合某种条件 的等式.且，由 f(x)在(0， 使解题策略利用积分中值理，定积分的 13 条性质，尤其是变上限积分求导定理及微分中值定理，证明 方法与技巧与第三章我们介绍的证明思想完全类似。例 3.2.2 设 证明至少存在一点在[0,1]上连续，在（0，1）内可导，且满足 ,使分析 由前面的例知原理相同，对被积函数用罗尔定理.证由及积分中值定理，知至少存在一点，使得令 至少存在一点由在[c,1]上连续，在（c,1）内可导 ，使得 ，由。由罗尔定理知，得 类型 1.3 涉及到定积分的不等式.即解题策略利用积分中值理，定积分的 13 条性质，尤其是变上限积分求导定理及微分中值定理，证明 方法与技巧与第三章我们介绍的证明思想完全类似。例 3.2.3设上连续且递减，证明当 0＜＜1 时，。分析 利用积分中值定理与函数的单调性.证法一其中 0 0＜ ＜1，0＜1 ＜1，从而上递减，知，即 分析 利用函数的单调性与积分不等式性质.。证法二 由 0＜ 从而 分析 利用单调性定理与积分中值定理. ＜1，知 递减，知 得 .， .证法三要证原不等式成立，只要证成立，令，由 成立，由 内可导，且（1）其中 上递减，又 0＜ 即（1）式成立，由每一步可递，故原等式成立。 类型 1.4 涉及到定积分的等式证明. ＜1，有知解题策略 用变量代换较多或利用周期函数的性质.例 3.2.4证明.证类型 1.5 涉及到定积分变上下限函数的等式证明. 解题策略 用分变上下限函数的求导，注意要化成标准形式.以下两题类似.例 3.2.5设连续函数 f(x)满足.分析 要化成变上下限函数的标准形式，然后等式两边对 x 求导解令，有 ，令 x=1 有 求连续函数 f(x)，使满足从而得到 例 3.2. 6分析 通过变量代换把左边的积分化成变上限函数的标准形式，然后等式两边对 x 求导解代入等式并化简有，等式两边同时对 x 求导有 得 于是 . . ，分析 通过变量代换把左边的积分化成变上限函数的标准形式，然后等式两边对 x 求导 类型 1.6 涉及到 f(x)与其定积分的等式，求 f(x) 解题策略 令该积分为 k,求出 k，从而求出 f(x)例 3.2.7设连续函数 f(x) 满足.解设由于得.例 3.2.8已知 f(x)满足方程 又有 一个等式中就会有两个未知数，解不出来，因分析如果令 此把等式两边平方后再积分.解设得两边平方后再积分有整理得，解得，所以类型 1.7上连续 f(x)定积分的计算.解题策略利用区间的对称性与被积函数的奇偶性例 3.2.9计算.分析 利用区间的对称性与被积函数的奇偶性.解 原式（利用定积分几何意义）. 类型 1.8 定积分的计算. 解题策略利用定积分的线性运算法则、凑微分、变量代换、分部积分例 3.2.10计算.解原式。 例 3.2.11 解法一 计算 .原式.解法二令则于是原式例 3.2.12计算.分析 被积函数含有根式不能凑微分，用变量代换.解设则于是原式 类型 1.9 求平面图形的面积解题策略（i）曲线围成的曲边梯形面积是.事实上，由所求平面图形面积 S 分布 在区间[a,b]上.（1）选取，.（2）.注：计算时，需去绝对值进行定积分计算.（ii）特别地 的平面图形面积 S 为围成. （iii）同理 所围成的平面图形面积 S 为. （iv）特别地 所围成的平面图形面积 S 为. 如果所求平面图形是属于上述情形之一，就不需画图，直接用上述公式，否则就需画图选用相应公 式. 求平面图形的步骤： （1）求出边界曲线交点，画出经过交点的边界曲线，得所求平面图形（若边界曲线简，可在画图的 过程中求交点）。2．根据具体情形选择 x 或 y 作为自变量，选择上述相应的公式计算或把所求平面形分成几块，每一 块可选用上述相应公式计算，然后大块面积等于小块面积之和。例 3.2.13计算由抛物线及直线所围成的平面图形的面积。解由即交点为（2，-2），（8，4）. 故所求的曲边形是由直线，曲线及直线所围成（图 3-3），其面积. 注：本题如用公式（4.3）来计算，就需要将整个面积分成两部分 S1 及 S2，分别计算 S1，S2，相加才得读者可以计算一下，这样做就复杂多了。例 3.2.14 解计算曲线及直线所围成的平面图形面积。曲边形如图 3-4 所示，故有注：曲线较简单时，可在画曲线的过程中求交点。图 3-4 类型 1.10 求立体的体积图 5-9解题策略 （a） 设Ω为一空间立体， 它夹在垂直于 Ox 轴的两平面 x=a 与 x=b 之间 a&b） 在区间[a,b] （ ， 上任意一点 x 处，作垂直于 Ox 轴的平面，它截得立体Ω的截面面积，显然是 x 的函数，记为 A（x）连续，，则立体的体积 V 为证 （1）取区间所求的立体 V 分布在[a,b]上（2） （b）曲线 （连续），Ox 轴及直线 x=a, x=b 所围成的曲边梯形绕 Ox 轴旋转而成的旋转体的体积 Vx 为 证 把旋转体看成夹在两平行平面 x=a, x=b之间，那么在[a,b]上任意一点 x 处作平行两底面的平面与立体相截，截面积为因此 同理，曲线 ，Oy 轴及直线 y=c, y=d 所围成的曲边梯形绕 Oy 轴旋转而成的旋转体的体积Vy 为例 3.2.15 求下列平面图形绕坐标轴旋转一周所得的体积 （2）绕 Oy 轴（1）绕 Ox 轴 解（1）（2）例 3.2.16 相交为 解设一个底面半径为 a 的圆柱体，被一个与圆柱的底面，且过底面直径 AB 的平面所截，求截下的楔形的体积。 取坐标系如图，这时垂直 x 轴的截断面 ，这个锐解都是直角三角形，它的一个锐角为的斜边长为，对边长为截面面积于是类型 1.12 求平面曲线的弧长 解题策略若给定曲线弧 其中，的方程为 在 上连续，且， ，则曲线弧 是可求长的。其弧长 s 可表示为 若曲线方程由（1） 给出，这时代入（式 1），得曲线弧 若曲线方程由 给出，的长为（2）这时 若曲线方程由代入（式 1），得曲线弧的长为（3）给出，把极坐变换化为参数方程由于于是弧长微分公式若选定点 的长为 s，显然弧长 s 是 t 的函数 则当 t 增加时 s 也增加，因此为度量弧长的起点。 这里规定：当 时，s 取正值；当为弧上一点，设弧 时，s 取负值。是严格增函数。对积分上限求导，得从这里也可以看出是增函数，改写成微分形式，即得弧长的微分公式若曲线方程 若曲线方程 若曲线方程则 则 则由于 它的几何意义是：当自变量 x 增加到所以 时，相应的曲线段增量的切线长（图 3-23）例 3.2.17计算曲线的弧长。解所求曲线的弧长为类型 1.13 广义积分的计算 解题策略 用牛顿―莱布尼茨公式例 3.2.18求.解原式=例 3.2.19计算 是其瑕点.分析 注意到被积分函数内有绝对值号且解 原式=例 3.2.20求.分析 把根式中二次三项配成两项平方差，然后用变量代换.解原式=三、综合杂题例 3.2.21计算.分析 利用定积分定义计算.解原式由于知 b-a=1，设由令得知在[0，1]上可积，而此和式是把[0，1]n 等分，取每个小区间的右端点得到的和式，故原式例 3.2.22设 f(x)在[0，1]上连续，计算解设于是得例 3.2.23设解原式解原式 海南大学三亚学院《高等数学》 (经管类)课程单元自测题 第五章 定积分题 号一二三四五六七八总分 三:计算题(共 1、已知 y ? 分 每题 分) 标准分 学号 ...第五章定积分_理学_高等教育_教育专区。第五章 定积分 一、定积分的概念与性质 1. 定积分的定义 : 定积分定义的四要素:分割;作积;求和;取极限 2. 可积的...高等数学第五章_定积分总结_理学_高等教育_教育专区。高等数学第五章_定积分总结第五章 定积分 创新生技 102 班 张梦菲 一、主要内容 定积分概念 定...11页 1财富值 文科 第五章(2)定积分及其... 52页 1财富值如要投诉违规内容,请到百度文库投诉中心;如要提出功能问题或意见建议,请点击此处进行反馈。 ...《高数(同济六版)》第五章 定积分 练习题参考答案_理学_高等教育_教育专区。《高等数学(同济六版)》 (上)练习题―第五章定积分 第五章 定积分一、 、填空...第五章 定积分及其应用_理学_高等教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 第五章 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