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什么样的函数可积但是没有原函数？
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如题，概念一直有点模糊，这里全书上没有说清楚又没有具体举例，有点不明白，还望大神指点。。
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这么说吧，连续或者是有界区间上有有限个间断点是可积的，而只有连续函数是有的或者是有界震荡函数有可能有原函数，有间断点的函数一定没原函数
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大掌柜回 发表于
这么说吧，连续或者是有界区间上有有限个间断点是可积的，而只有连续函数是有的或者是有界震荡函数有可能有 ...
第二类间断点可能有原函数，第一类必没有，可从定义上得出。是怎么回事。
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sdkevin42 发表于
第二类间断点可能有原函数，第一类必没有，可从定义上得出。是怎么回事。 ...
第二类只可能是无穷有，其他都不可能，估计也不太可能考证明吧，考的话导数定义，洛必达，用反证
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大掌柜回 发表于
第二类只可能是无穷有，其他都不可能，估计也不太可能考证明吧，考的话导数定义，洛必达，用反证 ...
导数定义应该就行了吧。
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sdkevin42 发表于
导数定义应该就行了吧。
总的思路是定义，反正法更简单，洛必达可能用到，都给你列了出来
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1.75亿学生的选择
存在原函数是否等价于可积,他们的区别在哪?
甕槇謢0027B
这个问题都问烂了.正好我也正在研究这个问题.首先说明,这两个不等价.大概的讲一下吧,今天做那个660题考研的选择68题有这个函数f(x)=X^2,x>=0.cosx,x
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原函数与可积性
一、f(x)在区间I上的原函数存在与f(x)在区间I上可积有什么关系么？
总的来说原函数存在和函数可积没有必然的联系。
1、可积性：
(i) 若函数f在区间[a,b]上连续，则f在区间[a,b]上可积；
(ii) 若函数f在区间[a,b]上单调，则f在[a,b]上可积；
(iii) 若有界函数f在区间[a,b]上仅有有限个间断点，则f在[a,b]上可积。 由以上的可见，有三类函数即连续函数、只有有限个间断点的有界函数和单调函数一定是可积的；可以概括为可积的两大条件：积分区间有限、被积函数几乎处处连续。
不过大家肯定会问上面所说的条件中第二个“几乎处处连续”的意思，由连续性定义，x0左右极限等于函数在f(x0)值，则函数在x0 点连续；那么如果在某点处不连续则会出现间断点，所以“几乎处处连续”就是指函数的间断点是“有限个间断点”。
但是这个“有限个间断点”到底是第一类间断点还是第二类间断点或者全可以？
由“函数的间断点是‘有限个间断点’时，有界函数可积”可知被积函数有界是第二个条件前提，是函数可积的必要条件，所以f在区间[a,b]上有第二类的无穷型间断点时一定不可积。因此可积必有界，有无穷间断点的函数必无界，所以必不可积。
1.1、性质：
若f(x)在[a,b]上可积，那么f(x)在[a,b]上的以任取c∈[a,b]为下限的变上限积分函数连续。
当函数存在间断点时，这里的间断点可以是第一类间断点和第二类的振荡间断点，由f(x)在[a,b]上可积，可推论出“变上限积分形成的函数”也是几乎处处连续。
2、原函数存在性：
(i)若函数f在区间[a,b]上连续，则f在区间[a,b]上原函数一定存在；
(ii)若函数f在区间[a,b]上含有第一类间断点，则f在[a,b]上一定不存在原函数；
(iii)若函数f在区间[a,b]上有第二类无穷型间断点，则f在[a,b]上一定不存在原函数。但是f(x)在（a,b）上无界的函数，在（a,b）上并不一定没有原函数存在。例如 f(x)=1/√(1-x^2)在(-1,1)上无界，却有原函数arcsinx。
(iv)若函数f在区间[a,b]上存在原函数，则f在[a,b]上的间断点必是第二类的振荡间断点。
由以上的可见，原函数存在条件：原函数在定义域上可导（可导必连续，故原函数必然连续）。
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有原函数不一定可积的举例
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