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sinx的10次方在0到π的范围内的定积分怎么算?
▍i′inc︷
先算不定积分：(63 x)/256 - 105/512 Sin[2 x] + 15/256 Sin[4 x] - (15 Sin[6 x])/1024 + (5 Sin[8 x])/2048 - Sin[10 x]/5120代入上下限得
63π / 256
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扫描下载二维码定积分习题
定积分习题
范文一：定积分习题第二节
微积分基本定理习题
5-2dy: dxx31.
求下列函数y=y(x)的导数t2(1)
(2)y=∫x2t;(3)
y=∫xx22-tx2sint2t;
y=∫sinxt2cosx
(6)∫0ytedt+∫costdt=0;2?x=tsinudu,∫0?(8)
?t?y=∫0?(9)
∫etdt+∫costdt=0.yxyt?x=cosu2du,?∫0 ?4??y=解
y′=sinx2.dx3=3x2-2x (2)
∫2dxx=2.(3)
y′=x4e-x?2x-x2e-x=x2(2x3e-x-e-x).
y′=22sinx41+e2x2?2x=2xsinx41+e2x2.(5)
y′=esinx?cosx-ecosx?(-sinx)=esinxcosx+ecosxsinx.22(6)
方程两边对x求导得ey?dy+cosx=0, dx1所以y对x的导数dycosx=-y. dxe(7)
∵xt'=sint,yt'=cost,dyyt'cost∴===cott. dxxtsint(8)
∵dx=cost4?2t=2tcost4, dtdy=cost4?4t3=4t3cost4, dtdy4t3cost422t. ∴==dx2tcost4(9)
方程两边对x求导得ey?dydy+cos(xy)?(y+x?=0, dxdxdyy?cos(xy)=-. dxe+xcos(xy)所以y对x的导数为2.
求下列极限: (1)
lim∫0xln(1+t)dtx2x→0x;
lim∫0xcos2tdtxx→0;(3)
lim(∫etdt)22x→0∫0xte2tdtx2;
lim1x2t2-x2(1)edt.
+tx→∞x∫0ln(1+t)dtln(1+x)∫0=lim=lim解
limx→0x2x→02xx1=.
x→02x2cos∫0(2)
limx→0x2tdtxcos2x=lim=1.
x→01=lim2∫etdt?ex0x22(3)
lim(∫etdt)2x2x→0∫0te2t2dtx→0xe2x2=lim2∫etdtx2x→0xex2=2limex2x→0(1+2x2)ex2=2lim1=2.x→01+2x22(4)
lim1x2t2-x2(1)edt=lim+tx→∞x∫0x→∞e-x2∫0x(1+t2)etdtx2=lim∫0x(1+t2)etdtxex22x→∞=lim(1+x2)ex2x→∞(1+2x2)ex21+x2=lim x→∞1+2x21+121x=lim=.x→∞+22x3.设f(x)=, 找ξ∈(-1,1), 使∫f(x)dx=2f(ξ).-11解∫-11f(x)dx表示曲线f(x)=与x轴在[-1,1]内所围的面积, 显然是圆1, 因此
2x2+y2=1的面积的∫-11f(x)dx=π.
2又由积分中值定理, 存在ξ∈(-1,1), 使得∫-11f(x)dx=2f(ξ)=π,2从而有=故ξ=.4.
设f(x)=∫te-tdt, 求f(x)的极值点与拐点.0x2解
f′(x)=xe-x,f′′(x)=e-x-2x2e-x=e-x(1-2x2).令f′(x)=0得x=0. 当x0时,f′(x)>0,故x=0为f(x)的唯一极值点且为极小值点.2222-2-2),().
令f′′(x)=0得x=±, 故f(x)图形的拐点为25.
设f(x)连续, 且∫f(t)dt=x2(1+x), 求f(2).0x113解
对方程∫f(t)dt=x2(1+x)两边关于x求导, 有xf(x)=2x(1+x)+x2=3x2+2x.令x=2, 则f(2)=16.6.
计算下列各定积分:21(1)
(2)1x∫4+x;lnxx(3)
22x(1+x)∫e1ex;(5)
(6)2π1πsin1yy2y;3x4+3x2+1(7)
(8)-11+x2∫π40tan3θdθ;1(9)
(10)-(e+1)1+x-2x;(11)
∫π201∫0x2-x+1x;10ex;
22x(1+x)2∫01-2(15)
∫12111129.(x+)2dx=∫(x2+2+2x=(x3+2x-=1x3x16x2(2)
∫4+x=∫+x)dx=(49233x2+121x)=45.2649(3)
122+x+x11+2x21)dx x=x=++x)x(1+x)x1+x=(=1-.4(4)
1eelnxxx=∫1e1-lnxxx+∫1e11elnxx=-∫1lnxdlnx+∫lnxdlnx1xee1111=-ln2x+ln2x=+=1.122221e注意
常见错误是∫e1elnx1x=ln2x, 产生错误的原因是忽略了lnx的取值范1x2ee1围.
事实上当≤xelnx>0.(5)
∫1siny1yx=∫=01=1.(6)
2π1π02y=2π1dcosπ11=cosyy2π1π=1.003x4+3x2+11π23(7)
x=(3x+x=(x+arctanx)=1+∫-1-1-141+x21+x2(8)
∫tgθdθ=∫π403π40sin3θsin2θ1-cos2θ44θ=-∫cosθ=-∫cosθ0cos3θ0cos3θcos3θ11)(1-ln2).
=2cos2θ02=ln1-lne=-1.ππ=(lncosθ+(9)
∫1x=ln+x-(e+1)1+x-2π4-2-e-1(10)
x=x=x=2∫3π2(cosx)20sinxdx=-2∫=4.
5π2π(sin43π2(cosx)2dcosx 0=-2?π205π522(cosx)2(11)
∫sinx-cosxx=∫π4(cosx0-sinx)dx+∫5x-cosx)dx=(sinx+π4cosx)0-(sinx+cosx)π2π4=-1-1+=1).
∫1dxdx41dx==∫023∫02 0x-x+1(x-)+1+(x-)24321=411? ∫3201+2=π.=9(13)
∫x=∫x=cosxxπ2cosxdx0π=+π(-cosx)dx2π=x-sinxπ)=2π20π(14)
(15)∫0-xx=∫0(1-x)dx+∫1∫1e21211(x-1)dx=(x-x2)+(x2-x)=1.220112e111()dx x=-∫22221x(1+x)x1+xe1=(--arctgx)x11π=1--arctge-.e4?2tanx,??7.
已知f(x)=??sinxcos3x,??π,π4 计算2f(x)dx.∫0πππ2πsin4解∫π20f(x)dx=∫tanxdx+π402xcos3xdx6=∫π4(sec20x-1)dx-∫π32πcos4xdcosx=(tanx-π4x)01-cos4xπ44π2=1-π117π+=-.
416164π8.
设m、n为正整数, 证明下列各式: (1)
∫sinmxdx=0;
(2)-ππ∫-πcosmxdx=0;∫-πsinmxsinnxdx=0(m≠n);
∫-πsinπ2π(3)
∫sinmxcosnxdx=0;
(4)-ππ(5)
∫cosmxcosnxdx=0(m≠n);
(6)-ππmxdx=π;(7)
∫cos2mxdx=π.-ππ证
∫sinmxdx=--ππ1πcosmx-π m1(cosmπ-cosmπ)=0. m=-(2)
∫cosmxdx=-ππ1πsinmx-π m1(sinmπ+sinmπ)=0. mπ=(3) 因为sinmxcosnx是奇函数, 故∫-πsinmxcosnxdx=0.(4)
∫sinmxsinnxdx=--ππ1π[cos(m+n)x-cos(m-n)x]dx=0(m≠n) 2∫-ππ1sin(m+n)xsin(m-n)x-=0.
=-[2m+nm-n-π(5)
∫cosmxcosnxdx=-ππ1π[cos(m+n)x+cos(m-n)x]dx 2∫-ππ1sin(m+n)xsin(m-n)x+=0.
=[2m+nm-n-π(6)
∫sin2mxdx=-ππ1π(1-cos2mx)dx ∫π-21π1π=(x-π)-(sin2mx-π)=π.24m7(7)
∫cos2mxdx=-ππ1π(1+cos2mx)dx 2∫-π1π1π =(x-π)+(sin2mx-π)=π.24m2??x,9.
设f(x)=?3??sinxcosx,x∈[0,1),x∈[1,2].求Φ(x)=∫f(t)dt在[0,2]上的表达式,x并讨论Φ(x)在(0,2)内的连续性.解
当x∈[0,1)时,Φ(x)=∫xf(t)dt=∫tdt=(t)=x-x=;030333x2x当x∈[1,2]时,Φ(x)=∫f(t)dt=∫f(t)dt+∫f(t)dt1x1x=∫tdt+∫12x11312x21-;
tdt=(t)+(t)=302126x?x3?x∈[0,1),?3故
Φ(x)=?2?x-1,x∈[1,2].??26x31==Φ(1), 因为
lim-Φ(x)=lim-x→1x→133x211limΦ(x)=lim+(-==Φ(1), x→1+x→1263故Φ(x)在x=1处连续. 显然在(0,1),(1,2)内Φ(x)为初等函数, 故连续.综上有Φ(x)在(0,2)内连续.10. 设f(x)在[a,b]上连续, 在(a,b)内可导, 且f′(x)≤0, F(x)=证明: 在(a,b)内F′(x)≤0.证
由条件知f(x)在[a,b]上单调递减, 对F(x)=x1f(t)dt两边关于x求x-a∫ax1f(t)dt. ∫ax-a导，得F′(x)=(xx11)′?∫f(t)dt+?(∫f(t)dt)′ax-ax-aax1f(x)f(t)dt=-+x-a(x-a)2∫a8=f(x)1[(x-a)?f(ξ)]-x-a(x-a)2f(x)f(ξ)1[f(x)-f(ξ)], -=x-ax-ax-a(a≤ξ≤x)=且x≠a.由a0从而1>0, 又由于f(x)在[a,b]上单调递减, 并且x-aξ≤x, 所以有f(ξ)≥f(x), 即f(x)-f(ξ)≤0,故
F′(x)=1[f(x)-f(ξ)]≤0.x-a9原文地址：
范文二：定积分习题定积分习题1.计算limn∑i=1n→∞2i/n1.n+1/i∫a2.设f(x)∈C[-a,a],求I=∫3.求I=∫4.求I=0π/2π-a3π/2(x+x2)f(x)+(x-x2)f(-x)dx.(tanx+1)sin22xdx.√dx.∫0x5.设f(x)可导，f(0)=0,F(x)=6.讨论函数tf(x2-t2)dt，求limx→0F(x).x4?2(1-cosx)????x??1f(x)=?∫x???1??cost2dtx0∫x在x=0处的连续性与可导性.bf(x)dx=f(ξ)(b-a).a∫b1f(x)dx=f(b)。证明?ξ∈(a,b)8.设f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)可导，且b-aa使得f′(ξ)=0.∫1f(x)dx=0.证明?ξ∈(0,1)使得f(1-ξ)+f(ξ)=0.9.设f(x)∈C[0,1],且7.设f(x)∈C[a,b],证明?ξ∈(a,b)使得∫∫a(∫xλ∫f(x)dx≥λa110.设f(x)在[0,1]上连续且单调递减，证明当λ∈(0,1)时，)f(t)dtdx=+∞f(x)dx.∫11.设f(x)∈C[0,+∞),a>0,证明：∫12.判断广义积分∫13.反常积分12f(x)(a-x)dx.arctanxdx的敛散性，若收敛，求其值。xdx是否收敛？若收敛，求其值。(1-x)14.求曲线ρ=3,ρ=2(1+cosθ)所围成的图形的面积S。15.求平面曲线y=f(x),x轴及x=a,x=b所围成的平面图形绕y轴旋转一圈所得立体的体积V。16.求由y=ex,x轴，y轴及x=1围成的平面图形绕y轴旋转一圈所得立体的体积V。1阅读详情：
范文三：微积分-定积分习题·微积分（上）练习册·[第六章] 定积分及其应用习题 6-1?4定积分的概念1. 用定积分的几何意义画图说明下列等式： （1）?a 0a 2 ? x 2 dx ?a2? a ? 0?（2）??2??2cos xdx ? 2 ? cos xdx.2?0（3）?2? 0sin xdx ? 0（）班级：（1）姓名：学号：2. 利用定积分定义计算下列定积分：?2 0xdx（2）?1 0e x dx（）·微积分（上）练习册·[第六章] 定积分及其应用习题 6-2定积分的性质1. 不算出积分值，比较下列各组积分的大小，并说明理由. （1） I1 ??2 1ln xdx,I2 ? ?2 1? ln x ?2dx ；（2） I1 ??1 0e x dx,I2 ? ?1 0?1 ? x ? dx.（）班级：2. 证明不等式 ?2e ?2姓名：学号：?0 2ex2?xdx ? ?2e?1 43. 设 f ?x ? 在[0，1]上连续， 在（0，1）内可导，且 5 （0，1）内存在一点 ? ，使 f ??? ? ? 0.?14 5?1? f ? x ? dx ? f ? ? ， 证明在 ?2?（）·微积分（上）练习册·[第六章] 定积分及其应用习题 6-31. 求下列函数的导数： （1）微积分基本公式d x3 dx ? 01 ? t 2 dt.（2）d cos x 2 ? sin x cos ?? t ? dt dx（3）求由?y 0et dt ? ? cos tdt ? 0 所决定的隐函数 y ? y?x ? 的导数x 0dy . dx（）班级：（4）设 F ? x ? ?x 0姓名：学号：? ? x ? u ? f ?u ? du ，其中 f ?x ? 连续，求 F ???x?2. 当 x 为何值时， I ? x ??x 0te?t dt 取得极值？23. 求极限： limx ?0???x 0 x 0et dt22?2te 2t dt（）·微积分（上）练习册·[第六章] 定积分及其应用4. 设 f ?x ? ? ?2 ? x 2 , x ? ?0,1? ，计算 ? f ? x ?dx 0 x ? ?1,2? ?x5. 证明：当 x ? 0 时，1 dt dt ? x ?? ? 0 1? t2 0 1? t2 ? 2x（）班级：6. 计算下列积分： （1）姓名：学号：?3a 0dx ? a ? 0? a ? x22（2）?2?0sin x dx（）·微积分（上）练习册·[第六章] 定积分及其应用习题 6-41. 计算下列定积分： （1）定积分的换元法?11 21 ? x2 dx x2（2）?100? 01 ? sin 2 xdx （参看后面第 4 题结论）（3）?a 0dx x ? a2 ? x2? a ? 0?（4）?1 3/ 4dx 1? x ?1（）班级：（5）姓名：学号：?? /2?? / 2cos x ? cos3 xdx（6）??2?? 2cos x cos 2 xdx.（7）?2 0? 1 ?1 ? x , x ? 0 ? f ? x ? 1? dx ，其中 f ? x ? ? ? ? 1 ,x ? 0 ?1 ? e x ?（）·微积分（上）练习册·[第六章] 定积分及其应用2. 利用函数的奇偶性计算： （1）?1 ?1x 2 ? sin x ? 5x 2 ? dx（2）?? /4?? / 4cos x ? cos x ? sin x ? dx2（）班级：3. 计算：姓名：学号：??20sin10 x sin10 x ? cos10 x4. 设 f ?x ? 是以 T 为周期的连续函数，证明：?a ?T af ? x ? dx ? ? f ? x ? dx.T 0（）·微积分（上）练习册·[第六章] 定积分及其应用习题 6-51. 计算下列定积分： （1）定积分的分部积分法?1 0xe x dx（2）?e 1x ln xdx（3）?2? 0x sin x（4）??3 0x dx cos2 x（）班级：（5）姓名：学号：?1 0xan tan xdx（6）?1 0ln ?1 ? x ? dx（7）??20e x sin xdx（）·微积分（上）练习册·[第六章] 定积分及其应用2. 利用递椎公式计算：I100 ? ? x sin100 xdx0?（）班级：3. 设 f ? x ? 连续，证明：姓名：学号：? u f ? t ? dt ? du ? x ? x ? u ? f ? u ? du ? 0 ?? 0 ?0 ? ? ?x（）·微积分（上）练习册·[第六章] 定积分及其应用习题 6-6广义积分与Γ-函数1. 判别下列广义积分的收敛性，如收敛，则计算广义积分的值： （1）??? 0e? kt e pt dt? p ? k?（2）??? 0e?t sin tdt（）班级：（3）姓名：学号：??? ??dx x ? 2x ? 22（4）? ?1 ? x ?02dx2（）·微积分（上）练习册·[第六章] 定积分及其应用（5）?e 1dx x 1 ? ? ln x ?22. 利用Γ -函数计算： （1） I n ???? 0（n xne? x dx ， 为自然数）（2）??? 0x5e? x dx2（）班级：3. 当 k 为何值时，广义积分 散？b a姓名：k学号：dx ? ? x ? a ? ?b ? a ? 收敛？又当 k 为何值时，此广义积分发4. I ? k ? ???? 2dx x ? ln x ?k，求函数 I（k）的定义域，当 k 取何值时，I（k）取得最小值？（）·微积分（上）练习册·[第六章] 定积分及其应用习题 6-7定积分的几何应用（一）1. 求由下列各曲线所围成的图形的面积： （1） y ? ex , y ? e? x , x ? 1；（2） y ? 3 ? x2 , y ? 2 x（）班级：姓名：学号：（3） y ? ln x, y ? ln a, y ? ln b ?b ? a ? 0? , x ? 0.2. 求位于曲线 y ? e x 下方，该曲线过原点的切线的左方以及 x 轴上方之间的图形的面 积.（）·微积分（上）练习册·[第六章] 定积分及其应用3. 求曲线 y ? x2 与直线 y ? kx ? 1 所围平面图形的面积，问 k 为何时，该面积最小？（）班级：姓名：学号：4. 现有抛物线 y ? x2 ? 0 ? x ? 1? 和直线 y ? a ? 0 ? a ? 1? ，它们与直线 x ? 0 围成的面 积为 A1 ，与直线 x ? 1 围成的面积为 A2，求 A ? A ? A2 的最小值. 1（）·微积分（上）练习册·[第六章] 定积分及其应用习题 6-71. 求 y ? 体积.定积分的几何应用（二）x3 , x ? 0, y ? 8 所围成的图形分别绕 y 轴及直线 x ? 4 旋转所得的旋转体的2. x ? y ? a 绕直线 x ? a 旋转的旋转体的体积.2 2 2（）班级：姓名：学号：3. 有一立体以抛物线 y 2 ? 2 x 与直线 x ? 2 所围成图形为底，而垂直于抛物线轴的截面 都是等边三角形，求其体积.（）·微积分（上）练习册·[第六章] 定积分及其应用4. 证明曲线 y ? f ? x ? ? 0, y ? 0, x ? a, x ? b ?b ? a ? 0? 所围曲边梯形绕 y 轴旋转的旋 转体的体积公式为：V ? 2? ? xf ? x ? dxb a（）班级：姓名：学号：5. 求半径为 R 的球体中高为 h ? h ? R? 的球缺的体积.（）·微积分（上）练习册·[第六章] 定积分及其应用习题 6-81. 已知边际成本为 C ? ? x ? ? 7 ?定积分的经济应用25 ，固定成本为 1000，求总成本函数. x2. 已知边际收益 R? ? x ? ? a ? bx ，求收益函数.（）班级：姓名：学号：3. 已知边际成本为 C? ? x ? ? 100 ? 2x ，求当产量由 x ? 20 增加到 x ? 30 时，应追加的 成本数.4. 已知边际收益为 R? ? x ? ? 60 ? 2x ，边际成本为 C? ? x ? ? 30 ? 4x （固定成本为 0） ， 求最大利润.（）·微积分（上）练习册·[第六章] 定积分及其应用5. 某地区居民购买商品房的消费支出 W ? x ? 的变化率是居民总收入 x 的函数，W ?? x? ?加多少？1 ， 当地居民的总收入由 x ? 4 亿增加到 x ? 9 亿元时， 购买商品房的支出增 200 x（）班级：姓名：学号：6. 某公司按利率 10% （连续复利） 贷款 100 万元购买某设备， 该设备使用 10 年后报废， 公司每年可收入 b 万元 （1）b 为何时公司不会亏本？ （2）当 b ? 20 万元时，求收益的资本价值.阅读详情：
范文四：微积分定积分练习题微积分定积分练习题?x＋1、函数f(x)＝??2cosx3A. 2－2≤xπx≤2的图象与x轴所围成的图形面积S为(
C．41D. 22．用S表示图中阴影部分的面积，则S的值是(
)A．?cf(x)dx
B．|?cf(x)dx| ?a?aC．?bf(x)dx＋?cf(x)dx
D．?cf(x)dx－?bf(x)dx ?a?b?b?a3．曲线y＝cosx(0≤x≤2π)与直线y＝1所围成的图形面积是(
)A．2π5B．3π
C.3π2 C。3D．πD。2
D。2（） （） （） （）4． ?0(2x?4)dx=A．52B。41lnxdx=1x1A．ln22 B。C。ln222a16． 若?(2x?)dx?3?ln2，且a＞1，则a的值为1x5． ?A．610B。4 C。37． ?(ex?e?x)dx=A．e?211B．2e
D．e?eee38． 曲线y?cosx,x?[0,?]与坐标轴围成的面积25A．4
D．32（ ）9． 曲线y?x2与直线y?x?2所围成的图形（阴影部分）的面积等于． 10．若?0(3x2?4x?5)dx=a3-2（a＞1），则a=
。 11．计算下列定积分的值（1）?(4x?x)dx；
（2）?2(x?sinx)dx；
（ 3）?2?cos2xdx。?1?2a3?2?12．求定积分：?x(9?x)dx22132阅读详情：
范文五：定积分与微积分习题高中数学高考总复习定积分与微积分基本定理习题及详解一、选择题1．(2010·山东日照模考)a＝?2xdx，b＝?2exdx，c＝?2sinxdx，则a、b、c的大小关系是(
)?0?0?0A．a∴cB．a?02xdx＝12x2|02＝2，b＝?2exdx＝ex|02＝e2－1>2，c＝?2sinxdx＝－cosx|02＝1－cos2?0?02．(2010·山东理，7)由曲线y＝x2，y＝x3围成的封闭图形面积为(
12[答案] A 11B.
3D.127[解析]?y＝x2由??y＝x3得交点为(0,0)，(1,1)．∴S＝?1(x2－x3)dx＝?0?x－4??0＝???12[点评] 图形是由两条曲线围成的时，其面积是上方曲线对应函数表达式减去下方曲线对应函数表达式的积分，请再做下题：(2010·湖南师大附中)设点P在曲线y＝x2上从原点到A(2,4)移动，如果把由直线OP，直线y＝x2及直线x＝2所围成的面积分别记作S1，S2.如图所示，当S1＝S2时，点P的坐标是(
?39??415?C.?，
?37?[答案] A?416B.? ?59??413?D.? ?57?[解析] 设P(t，t2)(0≤t≤2)，则直线OP：y＝tx，∴S1＝??0t(tx－x2)dx＝t38；S2＝?2(x2－tx)dx＝63?t4?416?2t＋S1＝S2，则t＝P?.63?39?3．由三条直线x＝0、x＝2、y＝0和曲线y＝x3所围成的图形的面积为(
[答案] A4B.
5D．6t3[解析] S＝?2x3dx＝?0x4?4?02＝4.4．(2010·湖南省考试院调研)?1－1(sinx＋1)dx的值为(
)?A．0B．2C．2＋2cos1
[答案] B [解析]D．2－2cos11－1(sinx＋1)dx＝(－cosx＋x)|－1＝(－cos1＋1)－(－cos(－1)－1)＝2. ??15．曲线y＝cosx(0≤x≤2π)与直线y＝1所围成的图形面积是(
2[答案] A [解析] 如右图，B．3π D．πS＝∫02π(1－cosx)dx＝(x－sinx)|02π＝2π. [点评]?π?此题可利用余弦函数的对称性①②③④面积相等解决，但若把积分区间改为?，π?，则对称?6?性就无能为力了．6．函数F(x)＝?xt(t－4)dt在[－1,5]上(
)?0A．有最大值0，无最小值 B．有最大值0和最小值－323323C．有最小值－D．既无最大值也无最小值 [答案] B[解析] F′(x)＝x(x－4)，令F′(x)＝0，得x1＝0，x2＝4， 73225∵F(－1)＝－，F(0)＝0，F(4)＝－，F(5)＝－33332∴最大值为0，最小值为－3[点评] 一般地，F(x)＝?xφ(t)dt的导数F′(x)＝φ(x)．?07．已知等差数列{an}的前n项和Sn＝2n2＋n，函数f(x)＝?t，若f(x)t?x11A.???36???B．(0，e21)C．(e－11，e)
[答案] DD．(0，e11)1[解析] f(x)＝?xdt＝lnt|1x＝lnx，a3＝S3－S2＝21－10＝11，由lnx?1t8．(2010·福建厦门一中)如图所示，在一个长为π，宽为2的矩形OABC内，曲线y＝sinx(0≤x≤π)与x轴围成如图所示的阴影部分，向矩形OABC内随机投一点(该点落在矩形OABC内任何一点是等可能的)，则所投的点落在阴影部分的概率是(
π[答案] A[解析] 由图可知阴影部分是曲边图形，考虑用定积分求出其面积．由题意得S＝?πsinxdx＝－cosx|0π2B.
ππD. 4?0＝－(cosπ－cos0)＝2，再根据几何概型的算法易知所求概率P＝SS矩形OABC2ππ＝2.1?x＋－2≤x9．(2010·吉林质检)函数f(x)＝?π2cosxx≤2?3A.
2[答案] CB．1C．41D. 2的图象与x轴所围成的图形面积S为(
)ππ[解析] 面积S－2f(x)dx＝?0－2(x＋2)dx＋∫2cosxdx＝2＋2＝4.22?10．(2010·沈阳二十中)设函数f(x)＝x－[x]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[－1.2]＝－2，[1.2]＝1，[1]＝1.又函数g(x)＝－f(x)在区间(0,2)上零点的个数记为m，f(x)与g(x)的图象交点的个数记为n，3则?ng(x)dx的值是(
)x?m5A．－2C．－4[答案] A54B．－3D．－67[解析] 由题意可得，当0?x?则?g(x)dx＝??－dx＝?m?1?3?n4－x2?14＝－6?2511．(2010·江苏盐城调研)甲、乙两人进行一项游戏比赛，比赛规则如下：甲从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为b，乙从区间[0,1]上随机等可能地抽取一个实数记为c(b、c可以相等)，若关于x的方程x2＋2bx＋c＝0有实根，则甲获胜，否则乙获胜，则在一场比赛中甲获胜的概率为(
3[答案] A[解析] 方程x2＋2bx＋c＝0有实根的充要条件为Δ＝4b2－4c≥0，即b2≥c，2B.
23D. 4由题意知，每场比赛中甲获胜的概率为p＝?1b2db?01. 1×1312．(2010·吉林省调研)已知正方形四个顶点分别为O(0,0)，A(1,0)，B(1,1)，C(0,1)，曲线y＝x2(x≥0)与x轴，直线x＝1构成区域M，现将一个质点随机地投入正方形中，则质点落在区域M内的概率是(
3[答案] C1[解析] 如图，正方形面积1，区域M的面积为S＝?1x2dx＝x3|013?1B.
42D. 511＝，故所求概率p＝33二、填空题13．(2010·芜湖十二中)已知函数f(x)＝3x2＋2x＋1，若?1－1f(x)dx＝2f(a)成立，则a＝________.?1[答案] －1或3[解析] ∵?1－1f(x)dx＝?1－1(3x2＋2x＋1)dx＝(x3＋x2＋x)|－11＝4，?1－1f(x)dx＝2f(a)，∴6a2＋???4a＋2＝4，1∴a＝－1或3π14．已知a＝∫(sinx＋cosx)dx，则二项式(2[答案] －192ππππ[解析] 由已知得a＝∫(sinx＋cosx)dx＝(－cosx＋sinx)|＝(sin－cos－(sin0－cos0)＝2，2222(2x－1x6的展开式中含x2项的系数是________．x1x)6的展开式中第r＋1项是Tr＋1＝(－1)r×C6r×26－r×x3－r，令3－r＝2得，r＝1，故其系数为(－1)1×C61×25＝－192.15．抛物线y2＝2x与直线y＝4－x围成的平面图形的面积为________． [答案] 18[解析]?y2＝2x由方程组??y＝4－x解得两交点A(2,2)、B(8，－4)，选y作为积分变量x＝、x＝4－y2y2∴S＝?2－4[(4－y)－＝(4y－－)|－42＝18.226?y2y2y3416．(2010·安徽合肥质检)抛物线y2＝ax(a>0)与直线x＝1围成的封闭图形的面积为l与抛3物线相切且平行于直线2x－y＋6＝0，则l的方程为______．[答案] 16x－8y＋1＝0 [解析] 由题意知??0axdx＝a＝1，32设l：y＝2x＋b代入y2＝x中，消去y得， 4x2＋(4b－1)x＋b2＝0， 1由Δ＝0得，b＝，8∴l方程为16x－8y＋1＝0.17．(2010·福建福州市)已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx(a，b∈R)的图象如图所示，它与x轴在原点处相切，且x轴与函数图象所围成区域(图中阴影部分)的面积为112，则a的值为________．[答案] －1[解析] f ′(x)＝－3x2＋2ax＋b，∵f ′(0)＝0，∴b＝0，∴f(x)＝－x3＋ax2，令f(x)＝0，得x＝0或x＝a(aS阴影＝－?0(－x3＋ax2)dx＝112?aa4＝112，∴a＝－1.三、解答题18．如图所示，在区间[0,1]上给定曲线y＝x2，试在此区间内确定t的值，使图中阴影部分的面积S1＋S2最小．2[解析] 由题意得S1＝t·t2－?tx2dx＝t3，3?S2＝?1x2dx－t2(1－t)＝3－t2＋，2313?t41所以S＝S1＋S2＝3－t2＋(0≤t≤1)．33又S′(t)＝4t2－2t＝4t?t－??1?2??，1令S′(t)＝0，得t＝或t＝0.211因为当00.22?1??1?所以S(t)在区间?0，上单调递减，在区间?，1?上单调递增．?2??2?所以，当t＝Smin＝. 2411阅读详情：
范文六：不定积分习题第一节 不定积分的概念与性质例题：计算下列不定积分：121．?xdx
2．?x3．设曲线通过点?1,2?，且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线的方程 4．?11
5． 3?xxx26．?x?xx?5dx
7．?x2xdx?3?x?1?x?e8．?
9．??3cosx?dx 22xx10．2edx
11．tanxdx??12．sin?2x13．?21xxsin2cos2222x4?x22x4?x2?315．?214．?2x?1x?1习题：1．利用求导运算验证下列等式：（1）??x1x2?112?ln(x?x2?1)?Cx2?1?C x（2）x?12?（3）2x1?arctanx??C ?(x2?1)(x?1)x?1（4）secxdx?lntanx?secx?C （5）xcosxdx?xsinx?cosx?C??1(sinx?cosx)?C ?22．求下列不定积分1（1）?3
（2）?xxdxx（6）esinxdx?x（3）?dxx2（4）xxdx?（5）?x?dx2x（6）?xndx32（7）5xdx
（8）(x?3x?2)dx?（9）??dx2gh（g是常数）
（10）??x2?1dx?2（11）x?1?x3?1dx
（12）??dxx2x（13）?2e????x?323???
（14）dx???1?x2?x2x???xx??dx
（16）?3edx ???dx ???e?x（15）?e??1?x?x2?3x?5?2x（18）?secx?secx?tanx?dx （17）?x3xdx
（20） ??21?cos2xcos2xcos2x（22）? （21）?cosx?sinxcos2xsin2x（19）cos22（23）cotxdx
（24）cos??tan??sec??dx??x23x4?2x3（26）?dx （25）?2x?1x2?13．一曲线通过点e,3，且任一点处的切线斜率等于该点横坐标的倒数，求该曲线的方程．?2?1?2x)和24．证明函数arcsin(2x?1)、arccos(1x都是的原函数．21?xx?x第二节 换元积分法例题求下列不定积分1、2cos2xdx
2、?1?3?2xx2x22xedx 3、?
4、?3(x?2)5、x?xdx
6、7、?21?a2?x2dx 1a2?x2?1a2?x28、?1e39、?
10、?x(1?2lnx)x25311、sinxdx
12、sinxcosxdx??213、tanxdx
14、cosxdx??24615、sinxcosxdx
16、secxdx????5317、tanxsecxdx
18、cscxdx?19、secxdx
20、cos3xsinxdx 21、??a2?x2dx
22、?1x?a22dx23、??1x?adx4x?9x322224、?26、a2?x2dx 4xdx?x?x225、2?27、?x?2x?22练习1、在下列各式等号右端的空白处填入适当的系数，使等式成立：（1）dx?
d(7x?3)；22（3）xdx?
（4）xdx?d(5x)； 322（5）xdx?
（6）xdx?d(3x?4)；（7）edx?d(e)
（8）e（9）sin（11）2x2x?x2dx?d(1?e)?x233dxdx?d(cosx)
（10）?d(5lnx) 22xdx?d(3?5lnx) x（12）dxdx?
（13）d(arctan3x)?d(1?arcsinx)21?x2?x（14）xdx?x2?d(?x2)2、求下列不定积分5t（1）edt
（2）?(3?2x)3dx?（3）?dx1?2x
x（5）?(sinax?eb)dx
（7）?xe?x2dx
（9）?x2?3x2
（11）?x?1x2?2x?5（13）?sinxcos3x
（15）?tan10x?sec2xdx
（17）?dx(arcsinx)2?x2（19）?tan?x2?xdx1?x2（21）?1?lnx(xlnx)2dx
（23）?lntanxcosxsinx（25）?cos2(?t??)dt
（27）?cosxcosx2（29）?tan3xsecxdx
4）?dx2?3x6）?sint8）?xcos(x2)dx3x310）?1?x4 12）?cos2(?t??)sin(?t??)dt 14）?sinx?cosxx?cosxdx16）?dxxlnxlnlnx2arccosx18）?10?x2dx20）?arctanxx(1?x)dx 22）?dxsinxcosx （24）?cos3xdx （26）?sin2xcos3xdx（28）?sin5xsin7xdx（30）?dxex?e?x（ （ （ （（ （ （ （ （ （（31）?x3（32）?229?x9?4x1?x（33）dxdx（34）?2x2?1?(x?1)(x?2)xx2dx
（36）?（35）?2x?x?2（37）?dxxx2?1（39）?x2?9x
（41）?dx1??x2（43）?x?1x2?2x?3
例题 求下列不定积分1、?xcosxdx
3、?xlnxdx
5、?xarctanxdx
7、?sec3xdx
练习 求下列不定积分（1）?xsinxdx
（3）?arcsinxdx
（5）?x2lnxdx
（7）?e?2xsinx2dx
（9）?x2arctanxdx
（11）?x2cosxdx
（38）?dx(x2?1)3（40）?dx1?2x（42）?dxx??x2（44）?x3?1(x2?1)2第三节 分部积分法2、?xexdx4、?arccosxdx6、?exsinxdx8、?exdx（2）?lnxdx（4）?xe?xdx（6）?e?xcosxdx（8）?xcosx2（10）?xtan2xdx（12）?te?2tdt2（13）lnxdx
（14）xsinxcosxdx??22xxcos
（16）?xln(x?1)dx （15）?2ln3x（17）(x?1)sin2xdx
（18）?2dxx?2（19）xe?dx
（20）?coslnxdx32x2（21）(arcsinx)dx
（22）esinxdx??2（23）xlnxdx
（24）e??3x?9dx其他有关有理函数与无理函数的不定积分计算问题：例题：1、x?1x?22、?x2?5x?6?(2x?1)(x2?x?1)dx3、1?sinxx?34、?sinx(1?cosx) ?(x?1)(x2?1)5、?dxx?16、?x1?x?27、1?x?xxdx练习：2x?3x3dx
（2）?2（1）?x?3x?10x?3（3）x?1dx（4）?x2?2x?5?x(x2?1)3x2?1dx
（6）?（5）?3 2x?1(x?1)(x?1)x5?x4?8xdxdx （7）?
（8）?(x?1)(x?2)(x?3)x3?x（9）1dx（10）?x4?1 ?(x2?1)(x2?x)dx(x?1)2（11）?2
（12）?2 2(x?1)(x?x?1)(x?1)dx?x2?2（13）?2
（14） 2?23?sinx(x?x?1)dxdx（16）?3?cosx?2?sinx dxdx（17）?
（18）?1?sinx?cosx2sinx?cosx?5（15）(x)3?1（19）?
（20）?dx1?x?1x?1dx（21）??dxx?1?1（22）?x?xx?1?1（23）1?xdxdx（24）?241?xx(x?1)(x?1)本章复习题计算下列不定积分：1、dxdxx42、3、?5?4cosx?x4x2?9?(3x?4)24、?sinxdx5、??dx4x2?96、1222x?9dx3x?2dx 7、8、?x2?2x?5??2x9、ecosxdx10、xarcsin?xdxdx11、?212、 32?2sinx(x?9)?2x313、esin3xdx14、sin3xsin5xdx15、lnxdx16、????x?1x17、11x6cos18、19、20、?xdx ?(1?x2)2?xx2?1?(2?3x)221、x?2x2?2dx22、?1?xdx23、?224、?dx2?5cosx1?xx2x?1x?5dxx4xdx26、?25、?227、?28、 2x?x?2x?2x?1e?e25?4x?x?x1?cosxlnlnxx2x29、?30、31、
32、??66?3x?sinxxa?x(1?x)33、sinxcosxa?xdx4tanxdx34、35、36、??1?sin4x?x(x6?4)?a?xdx37、?dxx(1?x)238、xcosxdx39、??dx?ex40、?xdx2x?12sin2xdx241、?442、?xsinxdx43、?ln(1?x)dx44、?2cos3xx(1?x)45、arctan?xdx46、?x11?cosxx347、?dx48、?8482sinxx?3x?2(1?x)3dxsinxx?sinxsinxxcosx?sinx51、?52、?e
49、?50、?421?sinx1?cosx16?xcosxe3x?exdxxexdx56、?x53、?55、?4x 54、?2xx22e?e?1(1?e)(e?1)x(x?x)x57、ln(x??x)dx58、?22?lnx(1?x)2359、??xarcsinxdx60、2?x3arccosx?x261、cotxdxsinxcosxdx62、63、64、?1?sinx?sin3xcosx?(2?cosx)sinx?sinx?cosxdx65、1?x2(1?x)阅读详情：
范文七：不定积分习题第四章
不定积分习题第一节
不定积分的概念与性质1.填空：(1) 已知∫f(x)dx=x+1+C（C为任意常数），则f(x)=________________； x-1x(2) 若f′(sin)=cosx+1，则f′(x)=_________，
f(x)=________________；2(3) 设F′(x)=f(x)，f(x)为可导函数，且f(0)=1，又F(x)=xf(x)+x2，则f′(x)=________________， f(x)=________________；(4)在积分曲线族y=∫4xdx中，与直线y=2x+1相切的曲线经过切点________________，其方程为________________； 2.判断下列式子的对错 (1)∫f′(x)dx=f(x)
()； )； )；(2) ∫kf(x)dx=k∫f(x)dx
ex1(3) 的一个原函数是e2x
(chx-shx2(4) 若在区间I上有f(x)1x+12+C
x+1)；(6) 设F1(x)，F2(x)是区间I内连续函数f(x)的两个不同的原函数，且f(x)≠0，则在区间I内必有F1(x)-F2(x)=C (C为常数)
3.计算下列不定积分) .(1)∫x；1+2x2(2) ∫2dx；x(1+x2)2×3x-5×2x(4) ∫dx； x3(6)dx∫sin2xcos2x；e2x-1(3) ∫xdx；e-1(5)∫cscx(cscx-cotx)dx；(7)cos2x∫sin2xcos2xdx；(8)cos2x∫cosx-sinxdx.第二节 换元积分法1.填入适当的系数，使下列等式成立.22(1) sinxdx=____________d(cosx)；331dx=____________d(3-5lnx)； (2) xdx(3) =____________d(arctan3x)；1+9x2(4)=____________.2.∫xx=____________ .3.若∫f(x)dx=F(x)+C，则
=F[g(x)]+C. (A)∫f[g(x)]dx(B)∫f[g(x)]g(x)dx(C)∫f[g(x)]g′(x)dx2x；4.计算下列不定积分(1)x；(2)(3)∫cotxcsc52xdx；13(4) ∫ln2xdx；x(6)(5)1cosx?∫ln(sinx)sinxdx；
dx∫ex(1+ex)；∫(2x-3)10dx；(7)
(8)4cos∫xdx.5.计算下列不定积分(1)∫dx(x>a>0)；
x(2)∫xx；4(3)；(4)x.第三节
分部积分法____________1.求下列不定积分时，采用分部积分法， ____________选u=x2，选dv=x2dx. (1)
∫x2arctanxdx；(3)∫x2e-xdx；
2.计算下列不定积分 (1) ∫x2lnxdx；(3)∫sinx； (5) x；(7)∫arcsinxdx；1.计算下列不定积分 (1)∫dxx(1+x)2； (3) ∫dxx(x7+1)；2.计算下列不定积分(1) ∫dx2-sinx； (3) ∫dxsin2xcosx； 3.计算下列不定积分(1)x；第四节(2)∫x2sinxdx ；(4)∫x2ln(x+1)dx.(2)∫excos2xdx；(4) ∫arctanexexdx；(6) ∫x；(8)∫(lnx)2dx.有理函数的积分(2)∫x-9x2+3x-10dx；
(4)∫xx3-1dx.(2)∫1-cosx1+cosxdx；(4) ∫1+cosx1+sin2xdx.(2)∫2xx；(3)3x；(4)x. 第四章
不定积分总习题1.计算下列不定积分 (1)∫x+6cos2x1+cos2xdx；(3)(5) x；
(7) x；(9)∫xcos2xtan3xdx；2.计算下列不定积分(1) ∫cosx-sinx1+sinxcosxdx；(3) ∫1sin4x+cos4xdx；3.利用以前学过的方法计算下列不定积分 (1)∫lntanxcosx?sinxdx；(3)∫dx(a2-x2)(a>0)；(5) ∫x2+1x4+1dx；4.设cosxx为f(x)的一个原函数，求∫xf′(x)dx.(2)∫x；(4)∫dx(1+ex)2；(6)∫cos(lnx)dx；(8) ∫x；(10) ∫x2e3xdx. (2)∫sinxsinx+cosxdx；(4) ∫(cos3x+cos2x)dx .2arccosx(2)∫x；(4) ∫xex(ex+1)2dx；(6)∫cos2x1+sinxcosxdx.阅读详情：
范文八：不定积分练习题）（★）312）（★★）（★★）∫x23）1-x2dx4）（★★★）5）（★★）∫(2x+3x)2dxe3x6）（★★）∫+1ex+1dx7）（★）8）（★★）9）（★）∫12+3x2dx10）（★）∫1dxsin2??π??2x+4??11）（★★）∫11+cosxdx12）（★★）∫11+sinxdx13）（★★）∫x14）（★★）∫x4+x4dx15）（★★）∫x3x8-2dx16）（★★）Borntowin17）（★★）sin18）（★★★）∫1dxxx2∫1+1)3232dx19）（★★★）(x2220）（★★）∫x(x-1)dx21）（★★★）22）（★★）1∫ex+e-xdx23）（★★★）24）（★★）1∫xlnxlnlnxdx25）（★★）sin5xcosxdx∫∫26）（★★）cotxdx27）（★★★）,(a≠b)28）（★★）1∫sin2x+2cos2xdx29）（★★★）x2+130）（★★★★）∫4dxx+131）（★★★）∫x14(x5+1)4dx32）（★★★★）n2dx,(n≠-2)33）（★★★）34）（★★★★）35）（★★★★）∫2x3x9x-4xdx236）（★★）∫(1+x)1+x2dx37）（★★★）∫x2(1-x)100dx38）（★★★）∫x339）（★★）∫1x-1x+3dx40）（★★）∫1x2+1x2+2dx41）（★★★）∫xx4+3x2+2dx42）（★★）∫sin3xsin5xdx43）（★★★）∫sin4xdx44）（★★★）∫tan3xdx45）（★★★）∫1sin2xcos2xdx46）（★★★）∫cos3xsinxdx47）（★★★）∫1cos4xdx48）（★★★）∫x49）（★★★）2Borntowin50）（★★★）∫551）（★★★）cos5sinxcos3x52）（★★★）∫dx21+cosxsin2x53）（★★★）∫dxcos6x54）（★★★）55）（★★★）∫1(1-x)2322dx56）（★★★★）21322dx57）（★★★）∫(x+a2)?lnx?58）（★★）∫??dx?x?59）（★★）∫∫2xdx3-x260）（★★）xedx61）（★★）xarctanxdx62）（★★★）x2arccosxdx∫∫∫∫∫63）（★★★）arcsinx∫x2dx64）（★★★）lnxdx65）（★★★）xln(1+xdx1-x66）（★★★）67）（★★★）sinxln(tanx)dx68）（★★★★）∫arcsin2xdx69）（★★★★）∫xarctan2xdx70）（★★★）∫71）（★★★）∫xsin72）（★★★）∫sin(lnx)dx73）（★★★）∫eaxcosbxdx74）（★★★★）∫e2xsin2xdx75）（★★★★）∫arccotexexdx76）（★★★）77）（★★★）78）（★★★）79）（★★★）∫1(3dx1-x2)280）（★★★）∫1(3dxa2+x2)281）（★★★）282）（★★★）83）（★★★）1584）（★★★）∫x(x4-1)3dxBorntowin85）（★★）xtan2xdx∫86）（★★）87）（★★★）exsin2xdx∫∫∫88）（★★★）cos(lnx)dx89）（★★★）90）（★★★★）2ln(x+dx∫91）（★★★★）3x9-892）（★★★）∫10x+8x93）（★★★）x∫x8-1x294）（★★★★）∫23(1-x)95）（★★★★）1+sinx∫sin3x+sinxcos4x96）（★★★★）∫3sinx97）（★★★★）sin2x∫sin6x+cos6x98）（★★★）x299）（★★★）∫arctanxdx1+x2100）（★★★）101）（★★★）dx∫x(x7+2)Borntowin102）（★★★）∫dx(1+x+x)322103）（★★★）x2104）（★★★★）∫dx1+e+e+ex3x61-x7105）（★★★）∫7x(1+x)106）（★★★）dx∫x(x10+1)2107）（★★★）dx∫sin2x+2sinxdx109）（★★★）∫sin3x1110）（★★★★）∫66sinx+cosxxlnx111）（★★★★）∫3(1+x2)2108）（★★★★）112）（★★★）113）（★★★）114）（★★★）dx(x+a)(x+b)115）（★★★★）(x+a)(x+b)(x+b)?∫ln??(x+a)?xe-x116）（★★★★★）∫(1-x)2(x+1)ex117）（★★★★★）∫2(x+2)118）（★★★）119）（★★★）1∫sin3xcos5xxx120）（★★★）∫sinxsinsindx237cosx-3sinx121）（★★★★）∫5cosx+2sinxxtan122）（★★★）∫1+sinx+cosxf(x)f2(x)f''(x)123）（★★★★）∫[-dx'3f'(x)(f(x))124）（★★★）设f(x)在[1,+∞)上可导，f(1)=0,f'(ex+1)=e3x+2，试求f(x)125）（★★★）设f'(lnx)=??1,0?x,1若当x>0时，有F(x)f(x)=，，126）（★★★★）设F(x)是f(x)的一个原函数，F(1)=试求f(x)127）（★★★）∫max(1,x)dx阅读详情：
范文九：不定积分习题不定积分习题课资料1. 填空题 （1） 若e?x是f(x)的原函数，则?xf(lnx)dx?____________。?lnx2解：因为f(x)?(e?x)???e?x，所以f(lnx)??ex2??1x，?x（2） 设f(x)是e?x2f(lnx)dx???xdxx??2?C的原函数，则?f(lnx)dx?____________。?x?x解：因为f?(x)?e，所以f(x)??e?C0，f(lnx)??f(lnx)x1x?C0，1x2故?dx??(??C0x)dx?1x?C0lnx?C（3） 设积分?xf(x)dx??x解：因为xf(x)???2??xx1?x2?C,则?1f(x)dx?____________。?33??122??(1?x)2，所以?x(1?x)2， ?f(x)?32故?1f(x)dx??x(1?x)2dx??155(1?x)2?C22（4） 设F(x)是f(x)的原函数，F(0)?1，当x?0时，有f(x)F(x)?sin2x，F(x)?0，则f(x)?____________。2解：因为F?(x)?f(x)，所以F(x)F?(x)?sin2x，?F(x)F?(x)dx?2?sin22xdx??1?cos4x2dx，F(x)?x?14sin4x?C，2由F(0)?1，得1=F(0)?C，又F(x)?0，有F(x)?x?14sin4x?1，所以f(x)?F?(x)?x?x2sin1422xsin4x?1x2（5） 设In??x2xen2dx,n?2,则In?xx2n?1e2?______In?2.2解：（分部积分，求出递推公式）xIn?xn?1e2?(n?1)?xn?2e2dx?xn?1e2?(n?1)In?22. 求下列不定积分： （1）?23xxxx9?4dx解：（方法：凑微分）原式=?(2)323x2x1?()dx?1ln23?1?(d(2)323x2x)?arctan(23)xln2?ln3?C（2）?ln(x??x)?5?x22解：（方法：凑微分）原式=?ln(x??x)?5d[ln(x?1?x)?5]?(1?e)1?e2xx222233[ln(x??x)?5]2?C2（3）?dx解：（方法：凑微分）原式=?
（4）?dx2e2x(1?e2x)?2e2xx1?edx=?dx?2?dex2x1?e?x?arctane?Cx?2e?1x解：（方法一）原式=?ee?x?x2xdx?2e?1x?2e??de?(e?x2?x?1)??ln(1?e?x?2?2e?x?e?2x)?C（方法二）原式=?edxexx2e2x?2e?1x令t?ex??dtt2t?2t?12令u?1t???du(u?1)?12??ln(1?u?(u?1)?1)?C2??ln(1?e?x2e2x?2e?1)?x?Cx（5）?xsin2xdx 解：（方法：分部积分法）原式=?xe12x2xcos2x?12?cos2xdx??12xcos2x?14sin2x?C（6）?(1?x)dx解：（方法：分部积分法）原式=?xex1?xx??1?x(1?x)e21xdx??xex1?x?e?C?xex1?x?C（7）I??dx1??x解：（方法一）令t?I??x，则tdt?xdx，?t?ln?t?C?2?1?ttdt?x2?ln(1??x)?C2（方法二）令x?tant，则dx?sectdt，I?2?(cossintdtt?1)cosdu2t令u?cost???(u?1)u22?11?1?????uu21?uu1???C ?du?ln1?uu???x?ln(1??x)?C2（方法三）令x?sht，则dx?chtdt，I??shtchtdt1?cht??chtdcht1?cht?cht?ln?cht?C??x2?ln(1??x)?C2（8）?x?sinx1?cosxdx解：（方法：分部积分，凑微分）
原式=?x1?cosxxx?xtan??tandx?22dx??1?cossinxxdx?x2?21xsec2x2dx??tanx2dx?tandx?xtanx2?C（9）?esinxxcos3x?sinx2cosx解：（方法：分部积分）原式=?xe?sinxcosxdx?sinx?esinxsinx2?xd(esinx)??esinxcosxd(cosx)cos1cosx2dxx?xe?1?esinxdx?esinx??cos1xesinxcosxdx?(x?cosxx)esinx?C（10）?arctaneexdx解：（方法：分部积分，凑微分）原式=?e?xarctanedx??ex?xarctane?2xx?1?e12xdx??e?xarctane?x?(1?e)?e2x2x1?e1212dx??e?xarctane?x?x?d(1?e1?e2x)2x??e?xarctane?x?xln(1?e2x)?C（11）?dxxxx1?e2?e3?e6解：（方法：变量代换，有理函数积分法）x令t?e6，则x?6lnt，dx?6tdt，6
原式=?tdt6dt1?t3?t2?t??t(t?1)(t2?1)?6??1?t?12(t?1)?t?1?2(t2?1)?dt ???6lnt?3lnt?1?32ln(t2?1)?3arctant?Cxxx?x?3ln(e6?1)?32ln(e3?1)?3arctane6?C（12）?3cosx?sinxcosx?sinxdx解：（方法：凑微分）令3cosx?sinx?A(cosx?sinx)?B(cosx?sinx)?则
3cosx?sinx?A(cosx?sinx)?B(?sinx?cosx) ?(A?B)cosx?(A?B)sinx得A?1,B?2，所以
3cosx?sinx?(cosx?sinx)?2(cosx?sinx)? 原式=?(cosx?sinx)?2(cosx?sinx)?cosx?sinxdx??dx?2?d(cosx?sinx)cosx?sinx?x?2lncosx?sinx?C一般地，?acosx?bsinxccosx?dsinxdx 令acosx?bsinx?A(ccosx?dsinx)?B(ccosx?dsinx)?，即可（13）I1=?sinxacosx?bsinxdx, I2=?cosxacosx?bsinxdx解：（方法：凑微分）aI2?bI1??dx?x?C1
bI?asinxbsinx)2?aIbcosx1??acosx?bsinxdx??d(acosx?acosx?bsinx?lnacosx?bsinx?C2由（1），（2）两式，解得I11?a2?b2(bx?alnacosx?bsinx)?C(1)(2)I2?1a?b22(ax?blnacosx?bsinx)?C（14）I??dxn，（n为自然数）(x?b)n?1(x?a)n?1解：（方法：变量代换，化为有理函数的积分）I??dx(x?a)(x?b)x?ax?b， 令t?x?ax?b，则tn?x?ax?b，ntn?1dt?a?b(x?b)2dx，n(a?b)tna?bdt?dx(x?a)(x?b)n，I??tdt2?(b?a)t?C?nb?ax?bx?a?C（15）I?解：?x?1dx?x?1,设F?(x)?x?1???1?x,?x2?x?C1,?x?1,?2则F(x)??2xx?1,???x?C2,??2??x?1,x?1,12因为F(x)在x?1处连续，F(1)?F(1)?F(1)，有?C1?1?C2，令C?C2，则C1?1?C，故12?C1??C2，I???x2?x?1?C,??2x?1dx??2x???x?C,?2?x?1,x?1.阅读详情：
范文十：不定积分习题库第五章
不定积分复习资料练习题学生学习档案要求：仔细，认真！一 选择题:1. 若?f(x)dx?x2e2x?c,则f(x)?(
).(a) 2xe2x,
(b) 2x2e2x,
(d) 2xe2x(1?x).2. 如果F(x)是f(x)的一个原函数,c为不等于0且不等于1的其他任意常数,那么( 必是f(x)的原函数。(a) cF(x),
(b) F(cx),
(c) F??x??c??,
(d) c?F(x). 3. 下列哪一个不是sin2x的原函数(
).(a) ?12cos2x?c,
(b) sin2x?c,
(c) ?cos2x?c,
(d) 122sinx?c.4. ?xe?x2dx?(
).(a) e?x?c,
(b)121222e?x?c,
(c)?2e?x?c,
(d) ?e?x?c.5．设f(x)?2x，则f(x)的一个原函数是（
(c)12x2?c,
(d) 2x?c. 6．设f?(x)?ex，则f(x)为（
）(a) 12ex,
2ex?1. 7.?cosxdx?(
)(a) cosx,
(c) sinx?c,
(d) cosx?c. 8.?e2xdx=(
))也(a) e9.2x?c,
(b)12x1e?c,
(d) e2x. 221?2x?(
)11ln|2x|?c,
(c) ln|2x|,
(d) ln|2x|. 22(a) ln|2x|?c,
设?f(x)dx?e2x?c，则 f(x)?（
11.2x12xe,
e2x?c. 2?xdx?(
(c) 12.4141x?c,
x3. 432?1?(2x)2dx?(
)(a) arctan2x?c,
(b) arctan2x,
(c) arcsin2x,
(d) arcsin2x?c. 13.?3dx?(
(a) 3ln3?c,
设?f(x)dx?x?2?c，则f(x)?（
2x?c. 215 .
2sec2xdx?(
)(a)tan2x?c,
(b) tan2x,
(d) tanx?c.答案: 1.d 2.d. 3.d. 4.c. 5.b. 6.c 7.c. 8.b. 9.b. 10.a. 11.c.12. a. 13.b. 14.b. 15.a.二 填空题:1f(x)dx?ln(3x2?1)?c,则f(x)?. ?62. 经过点(1,2),且其切线的斜率为2x的曲线方程为.1. 设3. 已知f?(x)?2x?1,且x?1时y?2,则f(x)?.4. 5.?(10x?3sinx?dx?222(a?x)dx?. ?6.3(1?x?x?dx?7.?tan2xdx?.n8.
9.?(1?x)dx??cos(3x?4)dx?10.?x?11.
12.?edx??sin1xdx213.?x(x?2)dx?14.2?15.答案:1?x?2dx?10x2211:2.2:y?x?1.3:x?x.4:?3cosx?x?c.5:a4x?a2x3?x5?c.3x?1ln10335n?111214(1?x)16:x?x?x?3x?c.7:tanx?x?c.8:?c.9:sin(3x?4)?c.10:c.24n?13x22x11:?e?c. 12:?2cos11x?c. 13: x3?x2?c. 14: arcsin2x?c. 15: ln|x?2|?c. 23三 应用题:1. 已知某产品产量的变化率是时间t的函数f(t)?at?b(a,b是常数),设此产品t时的产量函数为P(t),已知P(0)?0,求P(t)2. 已知动点在时刻t的速度为v?2t?1,且t?0时s?4,求此动点的运动方程.23. 已知质点在某时刻t的加速度为t?2,且当t?0时,速度v?1、距离s?0,求此质点的运动方程.4. 设某产品的需求量Q是价格P的函数,该商品的最大需求量为1000(即P?0时?1?Q?1000),已知需求量的变化率(边际需求)为Q?(P)??1000ln4???,求需求量Q与?4?价格P的函数关系.5. 设生产某产品x单位的总成本C是x的函数C(x),固定成本(即C(0))为20元,边际成本函数为C?(x)?2x?10(元/单位),求总成本函数.6. 设某工厂生产某产品的总成本y的变化率是产量x的函数y??9为100元,求总成本与产量的函数关系.7. 设某工厂生产某产品的边际成本C?(x)与产量x的函数关系为C?(x)?7?定成本为1000,求成本与产量的函数.8. 已知生产某商品x单位时,边际收益函数为R?(x)?100?P,已知固定成本,已知固x(元/单位),求生产x单位时20总收益R(x)以及平均单位收益(x),并求生产这种产品1000单位时的总收益和平均单位收益.9. 已知生产某商品x单位时,边际收益函数为R?(x)?300?x,求生产这种产品位时的总收益和平均单位收益.10. 设曲线通过点(1，2)，且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线的方程．答案:1:由题意得:p(t)?(at?b)dt?故p(t)??12at?bt?c.又p(0)?0,代入得c?0. 212at?bt. 222: 由题意得:S?(2t?1)dt?t?t?c, 又 t?0时s?4,代入得c?4,故?s?t2?t?4.233: 由题意得:v?(t?2)dt??2t?c,又当t?0时,速度v?1,代入得c?1,故?13111v?t3?2t?1,从而有s??vdt??(t3?2t?1)dt?t4?t2?t?c,又t?0时33121s?0,故c?0.得s?t4?t2?t.12?1??1?4: 由题意得:Q??Q?(P)dp???1000ln4???dp?1000????c.又P?0时?4??4?1Q?1000,故Q?1000()p.425: 由题意得:C(x)?(2x?10)dx?x?10x?c.又固定成本(即C(0))为20元,代入得PP?c?20.故C(x)?x2?10x?20.6:y?(9??dx?9x?30x?c,又已知固定成本为100元,即y(0)?100,代入得c?100,故y?9x?30x?100.7:C(x)?(7?dx?7x?c,又已知固定成本为1000元,即C(0)?1000,代入得c?1000,故C(x)?7x?1000.xx2x2?c,又R(0)?0,故c?0,得R(x)?100x?, 8:R(x)??(100?)dx?100x?204040R(x)?R(x)x?100?. x4010002R(00??25000(元).40R(1000)?R(?100??75(元).100040xx2)dx?300x??c,又R(0)?0,故c?0,得9:R(x)??(300?100200x230002R(x)x?300?R(x)?300x?,R(00?..200x20020010: 设所求的曲线方程为y?f(x)，按题设，曲线上任一点(x,y)处的切线斜率为 ２x，即f(x)是2x的一个原函数．2因为
2xdx?x＋C，dy＝dx?故必有某个常数C使f(x)? x＋C，即曲线方程为y?x＋C．因所求曲线通过点(1，2)，故
2?1+C, C?1．于是所求曲线方程为
y?x＋１．222四 计算题：13x41 ?(x??3)dx
?dxxx1?x223、tanx dx
4 sin??2xdx25?2x?5)dx6 ?x2x??2dx1x 9 ?2cos2xdx
10 ?2x?5xx7 3edx
8 cos2311 xx
12 sinxdx??13?5tdx
14 edt?315 (3?2x)dx
16dx?1?2x17t 102?x19 tanxsecxdx
20 xedx??221dx
22 ?ex?e?xxsinx3x3dx23 ?
24 ?cos3xdx
26 xcosxdxx27
xarctanxdx
28 xedx?????x29 xsinxdx
30 xedx??解答：11?31、 原式=?xdx+?dx??x2dx+3?xdxx233?2x2?＋lnx?x2?x+C．322113x4?1?12(x?1?)x－x+arctanx+C． 2、原式=? dx? dx?22?1?x31?x223、原式=(secx?1)dx?secxdx?dx?tanx?x+C．???4、原式=111（１?cosx)dx?∫(1?cosx)dx? (x?sinx)+C． ?2225132710x2?C。 5、原式=?(x?5x)dx?x?73426、原式=?(x?2x?x)dx?2x?x?x?C。35?3xex?C。 7、原式=?(3e)dx?1?ln3x8、原式=1?cosxx?sinx??C。 ?2x9、原式=cos2x·２dx?cos2x·（２x)′dx＝cosudu＝sinu+C． 再以u?2x代入，即得2cos2xdx?sin2x+C. 10、原式=????1111 dx ?· (2x+5)dx＝?2x?5?22x?5211?ln u +C＝ln2x?5 +C． 2211d(2x+5)＝?2x?521?udu111、 原式=?221?x)'dx＝?22?(1?x)122d(1?x2）1令u?1?x?231132?udu??3u2+C??3 (1?x)2+C．122212、原式= (1?cosx)sinxdx??(1?cosx)d(cosx)??2?? d (cosx)+ cosxd(cosx)??1cos3x+C． 32213、原式= ?＝C．3315t15t14、原式=?ed(5t)??C。55??cosx+311415、原式=???3?2x?d(3?2x)??(3?2x)?C。28111(1?2x)??ln|1?2x|?C。 16、原式=??21?2x2211?117、原式=??(2?3x)d(2?3x)??(2?3x)?C。3218、原式=?2???C。10111tanx?C。 ?111?x21?x2220、原式=??ed(?x)??e?C。2219、原式=tanxd(tanx)?ex121、原式=??(ex)?arctanex?C。 2xx2?1?e1?(e)?111222122、原式=?(2?3x)d(2?3x)??(2?3x)?C。633134(1?x)??ln|1?x4|?C。 23、原式=??441?x4sinx13dx??cosxd(cosx)???C。 24、原式=??cos3x2cos2x25、原式=lnxdx?xlnx?xd(lnx)?xlnx?dx?xlnx?x+C．26、原式?xdsinx ?xsinx?sinxdx?xsinx+cosx+C．27、原式?arctanxd(??????12121x)?xarctanx ??x2d(arctanx) 222121x2x ?xarctanx ??2221?x1211xarctanx ??(1?)dx 221?x21211?xarctanx ?x+arctanx?C. 222?xxx28、原式=xde?xe ?edx?xex?ex+C．??29、原式=xsinxdx=xd(?cosx)??xcosx?cosxdx??xcosx?sinx?c?x?x?x?x?x30、原式=xd(?e)??xe?edx??xe?e?c。?????阅读详情：}