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数据结构与算法（34）
1、定义Fibonacci数列如下：
&&&&&&&&&& / &0&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&n=0
&f(n)&& =& 1&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& n=1
&&&&&&&&& &\ &f(n-1)+f(n-2)&&&&&&& n=2
输入n，用最快的方法求该数列的第n项。
&&&&&&& 分析：在很多C语言教科书中讲到递归函数的时候，都会用Fibonacci作为例子。因此很多程序员对这道题的递归解法非常熟悉，看到题目就能写出如下的递归求解的代码。
long Fibonacci_Solution1(unsigned int n)
int result[2] = {0, 1};
return result[n];
return Fibonacci_Solution1(n - 1) + Fibonacci_Solution1(n - 2);
&&&&& & 但是，教科书上反复用这个题目来讲解递归函数，并不能说明递归解法最适合这道题目。我们以求解f(10)作为例子来分析递归求解的过程。要求得f(10)，需要求得f(9)和f(8)。同样，要求得f(9)，要先求得f(8)和f(7)……我们用树形结构来表示这种依赖关系&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& f(10)
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&/&&&&&&&& &\
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& f(9)&&&&&&&& f(8)
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &&/&&& \&&&&&&&& /&& \
&&&&&&&&&&&&&&&&&& f(8) & f(7)& &f(6) &f(5)
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&/&& \&&& &/& \
&&&&&&&&&&&&& f(7) f(6) f(6) f(5)
&&&&&&& 我们不难发现在这棵树中有很多结点会重复的，而且重复的结点数会随着n的增大而急剧增加。这意味这计算量会随着n的增大而急剧增大。事实上，用递归方法计算的时间复杂度是以n的指数的方式递增的。
&&&&&&& 其实改进的方法并不复杂。上述方法之所以慢是因为重复的计算太多，只要避免重复计算就行了。比如我们可以把已经得到的数列中间项保存起来，如果下次需要计算的时候我们先查找一下，如果前面已经计算过了就不用再次计算了。
更简单的办法是从下往上计算，首先根据f(0)和f(1)算出f(2)，在根据f(1)和f(2)算出f(3)……依此类推就可以算出第n项了。很容易理解，这种思路的时间复杂度是O(n)。
long Fibonacci_Solution2(unsigned n)
int result[2] = {0, 1};
return result[n];
long fibNMinusOne = 1;
long fibNMinusTwo = 0;
long fibN = 0;
for(unsigned int i = 2; i &= ++ i)
fibN = fibNMinusOne + fibNMinusT
fibNMinusTwo = fibNMinusO
fibNMinusOne = fibN;
return fibN;
&&&&&&& 这还不是最快的方法。下面介绍一种时间复杂度是O(logn)的方法。在介绍这种方法之前，先介绍一个数学公式：
{f(n), f(n-1), f(n-1), f(n-2)} ={1, 1, 1,0}n-1 (注：{f(n+1), f(n), f(n), f(n-1)}表示一个矩阵。在矩阵中第一行第一列是f(n+1)，第一行第二列是f(n)，第二行第一列是f(n)，第二行第二列是f(n-1)。)有了这个公式，要求得f(n)，我们只需要求得矩阵{1, 1, 1,0}的n-1次方，因为矩阵{1, 1, 1,0}的n-1次方的结果的第一行第一列就是f(n)。这个数学公式用数学归纳法不难证明。感兴趣的朋友不妨自己证明一下。
现在的问题转换为求矩阵{1, 1, 1, 0}的乘方。如果简单第从0开始循环，n次方将需要n次运算，并不比前面的方法要快。但我们可以考虑乘方的如下性质：
a^n=a^(n/2)*a^(n/2)&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& n为偶数
a^n=a^((n-1)/2)*a^((n-1)/2)*a&& & n为奇数
&&&&&&& 要求得n次方，我们先求得n/2次方，再把n/2的结果平方一下。如果把求n次方的问题看成一个大问题，把求n/2看成一个较小的问题。这种把大问题分解成一个或多个小问题的思路我们称之为分治法。这样求n次方就只需要logn次运算了。
&&&&&&& 实现这种方式时，首先需要定义一个2×2的矩阵，并且定义好矩阵的乘法以及乘方运算。当这些运算定义好了之后，剩下的事情就变得非常简单。完整的实现代码如下所示。
#include &stdafx.h&
#include &stdlib.h&
#include &iostream.h&
#include &string.h&
#include &cassert&
//结构体数据表示数组
struct Matrix2By2
Matrix2By2(long m00 = 0,long m01 = 0,long m10 = 0,long m11 = 0 ) :m_00(m00), m_01(m01), m_10(m10), m_11(m11) { }
long m_00;
long m_01;
long m_10;
long m_11;
//两个数组相乘
Matrix2By2 MatrixMultiply (const Matrix2By2& matrix1,const Matrix2By2& matrix2 )
return Matrix2By2(matrix1.m_00 * matrix2.m_00 + matrix1.m_01 * matrix2.m_10, matrix1.m_00 * matrix2.m_01 + matrix1.m_01 * matrix2.m_11, matrix1.m_10 * matrix2.m_00 + matrix1.m_11 * matrix2.m_10, matrix1.m_10 * matrix2.m_01 + matrix1.m_11 * matrix2.m_11);
//数组的n次方
Matrix2By2 MatrixPower(unsigned int n)
assert(n & 0);
Matrix2By2
if(n == 1)
matrix = Matrix2By2(1, 1, 1, 0);
else if(n % 2 == 0)
matrix = MatrixPower(n / 2);
matrix = MatrixMultiply(matrix, matrix);
else if(n % 2 == 1)
matrix = MatrixPower((n - 1) / 2);
matrix = MatrixMultiply(matrix, matrix);
matrix = MatrixMultiply(matrix, Matrix2By2(1, 1, 1, 0));
//计算Fibonacci数列
long Fibonacci_Solution3(unsigned int n)
int result[2] = {0, 1};
return result[n];
Matrix2By2 PowerNMinus2 = MatrixPower(n - 1);
return PowerNMinus2.m_00;
void main()
cout&&Fibonacci_Solution3(20)&&
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(4)(4)(9)(25)(57)(17)一道数列通项公式的求法（错位排列）
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一道数列通项公式的求法（错位排列）
&&&&&&& 新童鞋如果想阅读前面发的文章，请查看“历史消息”。&&&&&& 如有任何疑问可在本文底部留言，也可在本公众号首页的底部留言（点击首页左下角，使之切换成留言模式才能留言）下面是上期预告数列题目小编的解答（作了两次阶乘代换后变为等比，再累加）：小资料：本题是著名的错位排列问题，来源于一个有趣的错装信封问题。错装信封问题由数学家约翰·伯努利(Johann Bernoulli，)的儿子丹尼尔·伯努利(Danid Bernoulli，)提出来的，瑞士著名数学家欧拉按一般情况给出了一个递推公式：D(n) = (n-1) [D(n-2) + D(n-1)]，其中D(1) = 0, D(2) = 1.分析：&用A、B、C……表示写着ｎ位友人名字的信封，a、b、c……表示ｎ份相应的写好的信纸。把错装的总数为记作D(n)。假设把ａ错装进Ｂ里了，包含着这个错误的一切错装法分两类：(1)b装入Ａ里，这时每种错装的其余部分都与A、B、a、b无关，应有D(n－2)种错装法。　　　　(2)ｂ装入A、B之外的一个信封，这时的装信工作实际是把（除a之外的）n－1份信纸ｂ、ｃ……装入（除B以外的）n－1个信封A、C……，显然这时装错的方法有D(n－1)种。总之在ａ装入B的错误之下，共有错装法D(n－2)＋D(n－1)种。a装入C，装入D……的n－2种错误之下，同样都有D(n－1)＋D(n－2)种错装法，因此D(n)＝(n－1)[D(n－1)＋D(n－2)]　　这是递推公式，令ｎ＝1、2、3、4、5逐个推算就能解答的问题。&&& D(1)＝0，D(2)＝1，D(3)＝2，D(4)＝9，D(5)＝44，…….也可用容斥原理解决的，参见后面供题人的解答。如下的1993年全国高考题理科第17题，也是此模型：同室四人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡．则四张贺年卡的不同分配方式有&& A．6种&&& B．9种&& C．11种&&& D．23种本题的另一背景是n对夫妻跳舞问题（即每对原配夫妻都不能伴舞）还有变式版本：n个人，每个人都有一件礼物想送给他人，他们决定把礼物混在一起，然后每个人随机拿走一件，问恰好有m个人拿到的礼物恰好是自己的概率是多少？解析：n个人的排列数是n的阶乘n！，随机选取m个人作为拿到自己礼物的一组，有Cnm种方法，假设用D(n-m)表示剩下的n-m个人全部拿错的方法数，那么答案就是：D(n-m)*Cnm/n!下面是供题人的解答（请自行验证结果）：本题收到的四份解答的大方向是相同的：即先从不同的角度得到，然后再累加。本题收到江苏泰州周建发老师的解答见下（先分奇偶，再累加）：本题收到浙江杭州余杭区新理想高级中学王卫香老师的解答见下（和供题人第一种基本一致，后用累加法）：本题收到浙江宁波宁外陆建军老师的解答如下（先数归，再累加）：本题收到微信昵称为“王炜”的网友手写版解答如下：感谢以上数学爱好者提供的精彩解答！上期关于三次方程有三个实数根，求P的最小值的题目。解答者遗漏了重庆邓丁瑞，因为是手写版，且没有在word里用公式编辑器后传给我存档，时间久了造成小编遗忘，实在抱歉，现贴出来：请有兴趣的朋友们做一做，把你的解答截图留言给本公众号sxjt_zl，或者通过qq留言（需要截图，最好是将word文件传给我们，不要把解答发在群里，这样你的解法才不至于遗漏），我们会登载一些解法（建议用word和公式编辑器，汉字不要写在公式编辑器内。手写稿亦可，但不建议手写稿。手写稿需字迹和排版清晰，且无涂改痕迹，并且?每行不能写太长，也就是不能写很多字或公式，每行的长度是手机屏幕的宽度的1.5倍左右就要换行。请自行检查一下是否有错误，不要让小编审核太痛苦！）。&&&& 另外，欢迎数学爱好者提供有意思的题目（难度不必太大，需要用公式编辑器在word里写清详解，word文件名的命名方法：题目内容简称、作者姓名、省份或单位的信息，在word里也写好作者的姓名、省份）。
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TA的最新馆藏题目：定义Fibonacci数列如下：
分析1：看到斐波那契数列几乎所有的程序员在第一时间的反应都是&递归&，没错了，作为和汉诺塔一样的经典递归问题，我们几乎毫不犹豫就可以写出如下的代码：
1 #include&iostream& 2 #include&string& 3 using namespace 4
5 long Fibonacci(unsigned int n) 6 { 7
if(n == 0) 8
return 0; 9
else if(n == 1)10
return 1;11
return Fibonacci(n-1) + Fibonacci(n-2);13 }14 15 int main()16 {17
cout&&"Enter An N:"&&18
unsigned int number=0;19
cout&&Fibonacci(number)&&21
return 0;22 }
然而我们不禁要问：虽然用这道题使得递归变得容易理解，那么这道题用递归是最好的吗？我们用计算f(10)来说明：
从图中可以看出：在计算F(10)要计算F(9)和F(8)，二要计算F(9)，又要计算F(8)，以此类推，要计算很多重复的值，这样就浪费了时间，而计算重复值的数量随着N值而急剧增大，事实上该算法的时间复杂度随着n值呈指数增长。不信，大家可以取N=100看看递归要慢到什么程度。
分析2：既然上面算法的主要缺点是要重复的计算很多不必要的数值，那么我们的想法是不计算那些重复的值，我们考虑对于任意一个N值，我们从第一项开始，不断的累积下去，这样就可以避免重复计算。由于是从第一项逐次求解，所以该算法的时间复杂度为O(n)。代码如下：
1 #include&iostream& 2 #include&string& 3 using namespace 4
5 long Fibonacci(unsigned int n) 6 { 7
if(n == 0) 8
return 0; 9
if(n == 1)10
return 1;11
long firstItem = 0;12
long secondItem = 1;13
long fib = 0;14
unsigned int cnt = 1;15
while(cnt & n)16
fib = firstItem + secondI18
firstItem = secondI19
secondItem =20
return23 }24 25 int main()26 {27
cout&&"Enter A Number:"&&28
unsigned int29
cout&&Fibonacci(number)&&31
return 0;32 }
分析3：最后介绍一种效率最高的算法O(logn)，首先我们有下面的数学公式：
我们可以用数学归纳法证明如下：
Step1: n=2时
Step2：设n=k时，公式成立，则有：
等式两边同乘以[1,1;1,0]矩阵可得：
左=右，这正是n=k+1时的形式，即当n=k+1时等式成立。
由Step1和Step2可知，该数学公式成立。
由此可以知道该问题转化为计算右边矩阵的n-1幂问题。
我们利用分治的算法思想可以考虑如下求解一个数A的幂。
实现这种算法需要定义矩阵，以及矩阵的有关运算，具体代码如下：
1 #include&iostream& 2 #include&string& 3 using namespace 4
5 //定义2&2矩阵； 6 struct Matrix2by2 7 { 8
//构造函数 9
Matrix2by210
long m_00,12
long m_01,13
long m_10,14
long m_1115
:m00(m_00),m01(m_01),m10(m_10),m11(m_11)17
//数据成员21
long m00;22
long m01;23
long m10;24
long m11;25 };26 27 //定义2&2矩阵的乘法运算28 Matrix2by2 MatrixMultiply(const Matrix2by2& matrix1,const Matrix2by2& matrix2)29 {30
Matrix2by2 matrix12(1,1,1,0);31
matrix12.m00 = matrix1.m00 * matrix2.m00 + matrix1.m01 * matrix2.m10;32
matrix12.m01 = matrix1.m00 * matrix2.m01 + matrix1.m01 * matrix2.m11;33
matrix12.m10 = matrix1.m10 * matrix2.m00 + matrix1.m11 * matrix2.m10;34
matrix12.m11 = matrix1.m10 * matrix2.m01 + matrix1.m11 * matrix2.m11;35
return matrix12;36 37 }38 39 40 //定义2&2矩阵的幂运算41 Matrix2by2 MatrixPower(unsigned int n)42 {43
Matrix2by2 matrix(1,1,1,0);44
if(n == 1)45
matrix = Matrix2by2(1,1,1,0);47
else if(n % 2 == 0)49
matrix = MatrixPower(n / 2);51
matrix = MatrixMultiply(matrix, matrix);52
else if(n % 2 == 1)54
matrix = MatrixPower((n-1) / 2);56
matrix = MatrixMultiply(matrix, matrix);57
matrix = MatrixMultiply(matrix, Matrix2by2(1,1,1,0));58
return60 }61 //计算Fibnacci的第n项62 long Fibonacci(unsigned int n)63 {64
if(n == 0)65
return 0;66
if(n == 1)67
return 1;68 69
Matrix2by2 fibMatrix = MatrixPower(n-1);70
return fibMatrix.m00;71
72 }73 74 int main()75 {76
cout&&"Enter A Number:"&&77
unsigned int78
cout&&Fibonacci(number)&&80
return 0;81 }
参考文献：
微软、Google等面试题：
1）本博客所有的代码环境编译均为win7+VC6。所有代码均经过博主上机调试。
2）博主python27对本博客文章享有版权，网络转载请注明出处。对解题思路有任何建议，欢迎在评论中告知。
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特征方程特征根法求解数列通项公式
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特征方程特征根法求解数列通项公式
官方公共微信十、不动点法目的是将递推数列转化为等比（差）数列；不动点的定义：函数f(x)的定义域为D，若存在f；f(x)的不动点或称(x0,f(x0))为函数f；分析：由f(x)?x求出不动点x0，在递推公式两；例21已知数列{an}中，a1?1,an?2an；a?an?b；c?an?d；分析：递归函数为f(x)?；a?x?b；c?x?d；（1）若有两个相异的不动点p,
十、不动点法
目的是将递推数列转化为等比（差）数列的方法
不动点的定义：函数f(x)的定义域为D，若存在f(x)x0?D，使f(x0)?x0成立，则称x0为
f(x)的不动点或称(x0,f(x0))为函数f(x)的不动点。
分析：由f(x)?x求出不动点x0，在递推公式两边同时减去x0，在变形求解。 类型一：形如an?1?qan?d
已知数列{an}中，a1?1,an?2an?1?1(n?2)，求数列?an?的通项公式。 解：递推关系是对应得递归函数为f(x)?2x?1，由f(x)?x得，不动点为-1 ∴an?1?1?2(an?1)，?? 类型二：形如an?1?
分析：递归函数为f(x)?
（1）若有两个相异的不动点p,q时，将递归关系式两边分别减去不动点p,q，再将两式相除得
an?1?pan?p(a1q?pq)kn?1?(a1p?pq)a?pc
，其中k?，∴an? ?k?n?1
(a1?p)k?(a1?q)an?1?qan?qa?qc
（2）若有两个相同的不动点p，则将递归关系式两边减去不动点p，然后用1除，得
??k，其中k?。
an?1?pan?pa?d
例22. 设数列{an}满足a1?2,an?1?
,求数列{an}的通项公式.
分析：此类问题常用参数法化等比数列求解. 解：对等式两端同时加参数t,得：
5a?4(2t?5)an?7t2t?5, ?t?n?t??(2t?5)2an?72an?72an?7
解之得t=1,-2
代入an?1?t?(2t?5)得
,an?1?2?9,
2an?72an?7
an?1?11an?1a?1a?11
???， ,即{n}是首项为1
an?1?23an?2an?2a1?24
an?111?n4?3n?1?21
公比为的等比数列, =?3,
解得an?. n?1
2an?72(an?1)?923
3(an?1)3(an?1)3an?1
两边取倒数得
，则bn?an?1
?3bn,?,转化为累加法来求.
，a1?4，求数列{an}的通项公式。
已知数列{an}满足an?1?
，得4x?20x?24?0，则x1?2，x2?3是函数f(x)?的两个不
动点。因为
?a?2?an?1?24an?121an?24?2(4an?1)13an?2613an?2
????。所以数列?n?是
a?3an?1?321an?24?321an?24?3(4an?1)9an?279an?3?n?
a?2a1?24?21313
??2为首项，以?2()n?1，则为公比的等比数列，故n
9a1?34?3an?39
练习1：已知{an}满足a1?2,an?
(n?2)，求{an}的通项an
答案：?an?n n
练习2。已知数列{an}满足a1?2,an?1?
(n?N*)，求数列{an}的通项an
答案：?an?
练习3.（2009陕西卷文）
已知数列?an}满足， a1＝1’a2?2,an＋2＝
???令bn?an?1?an，证明：{bn}是等比数列；
(Ⅱ)求?an}的通项公式。 答案：（1）?bn?是以1为首项，?
为公比的等比数列。（2）an??(?)n?1(n?N*)。 2332
十一。特征方程法
形如an?2?pan?1?qan(p,q是常数）的数列
形如a1?m1,a2?m2,an?2?pan?1?qan(p,q是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项
an，其特征方程为x2?px?q?①
若①有二异根?,?，则可令an?c1??c2?(c1,c2是待定常数） 若①有二重根???，则可令an?(c1?nc2)?(c1,c2是待定常数） 再利用a1?m1,a2?m2,可求得c1,c2，进而求得an
例24 已知数列{an}满足a1?2,a2?3,an?2?3an?1?2an(n?N)，求数列{an}的通项an
解：其特征方程为x?3x?2，解得x1?1,x2?2，令an?c1?1?c2?2，
?a1?c1?2c2?2?n?1由?，得?1，
c2??a2?c1?4c2?3??2
已知数列{an}满足a1?1,a2?2,4an?2?4an?1?an(n?N)，求数列{an}的通项an
解：其特征方程为4x?4x?1，解得x1?x2?，令an??c1?nc2???，
a?(c?c)??112??c1??43n?2?12由?，得?，
2?c2?6?a?(c?2c)?1?2
练习1．已知数列{an}满足a1?1,a2?2,4an?2?4an?1?an?1(n?N)，求数列{an}的通项 练习2．已知数列{an}满足
a1?1,a2?2,4an?2?4an?1?an?n?4(n?N*)，求数列{an}的通项
说明：(1)若方程x?px?q有两不同的解s ,
t, 则an?1?tan?s(an?tan?1), an?1?san?t(an?san?1), 由等比数列性质可得an?1?tan?(a2?ta1)s
an?1?san?(a2?sa1)t
?t?s,由上两式消去an?1可得an?
?a2?ta1?na2?sa1n
ss?tts?t(2)若方程x?px?q有两相等的解s?t，则
an?1?tan?s?an?tan?1??s2(an?1?tan?2)???sn?1?a2?ta1?，
an?1ana2?ta1?an?
,即???n?是等差数列，
sn?1sns2?s?
由等差数列性质可知
ana1a2?sa1
， ????n?1.
?a1a2?sa1?a2?sa1?n． 所以an??.n?s????s?22
5求数列{a}的通项。 例26、数列{an}满足a1??，且an?1?n
an?an?2?an???
?????① 解：an?1???an?1?
29292an?2an?
令??，解得?1?1,?2?，将它们代回①得，
an?1??25?4??an?1?1????②，an?1???③，
42an?2an?4425?25?an?1?a??n???③÷②，得?, an?1?1?an?1?
a?an??n?则lg，∴数列?lg?2lg?成等比数列，首项为1，公比q=2
an?1?1an?1?an?1?
?2n?1，则?102n?1，?a?所以lg n2n?1
an?1an?110?1
十二、四种基本数列
1．形如an?1?an?f(n)型
等差数列的广义形式，见累加法。 2.形如
等比数列的广义形式，见累乘法。 an
3.形如an?1?an?f(n)型
（1）若an?1?an?d（d为常数），则数列{an}为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论;
（2）若f(n)为n的函数（非常数）时，可通过构造转化为an?1?an?f(n)型，通过累加来求出通项;或用逐差法(两式相减)得an?1?an?1?f(n)?f(n?1)，，分奇偶项来分求通项. 例27. 数列{an}满足a1?0,an?1?an?2n,求数列{an}的通项公式. 分析 1：构造 转化为an?1?an?f(n)型 解法1：令bn?(?1)an 则bn?1?bn?(?1)
an?1?(?1)nan?(?1)n?1(an?1?an)?(?1)n?1?2n.
?bn?bn?1?(?1)n?2(n?1)
?bn?1?bn?2?(?1)?2(n?2)????
?b?b?(?1)2?2?1
?b1??a1?0?
加:bn?2(?1)(n?1)?(?1)
(n?2)???(?1)3?2?(?1)2?1
当n为偶数时，bn?2?(n?1)?(?1)?
?n. 此时an?bn?n 当n为奇数时，?2?
此时bn??anan?n?1.故
?n?1,n为奇数,an??解法
n,n为偶数.
?an?1?an?2n
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