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投影的斜面圆弧怎么画？
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我都是用3D生成2D，呵呵，比较懒
本人是做电阻焊设备的，用在各种车辆生产线上，用于车辆内部的焊接。
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需把左视图先画出来，然后截取几个特殊点，投影到俯视图上，用样条线连接。总之，需要用到画法几何的知识。
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三维转二维或描点放样。
我用描点放样的方法画了一个，该方法利用了相似三角形理论：
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这种画相贯线的画法一般在学校的时候大家会很认真，工作的时候，大家基本上都是大概画个轮廓出来，并没有一个一个的描点法画出来
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引用第4楼guozailiang于 18:36发表的&&:
这种画相贯线的画法一般在学校的时候大家会很认真，工作的时候，大家基本上都是大概画个轮廓出来，并没有一个一个的描点法画出来这是我自已想出来的，没参考任何书，也许书上有吧。
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《圆的认识》课堂实录（华应龙）及评析（转）
作者：佚名
文章来源：
点击数：3321
更新时间： 11:27:05 【字体： 】
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《圆的认识》课堂实录及评析（转）
& ( 08:30:26)
大成若缺认识“圆”
【课前慎思】
《圆的认识》一直是小学高年级数学的教学内容，几乎所有小学数学教学领域的名师大家都用过这节课来“吟诗作画”，各领风骚；后生新秀们更是频频用这节课来“小试牛刀”，争奇斗艳。
我在欣赏品味之余,发现我自己和同行们对于“圆的认识”这节课教学内容的处理，主要存在以下三个问题：第一，注重组织学生通过折叠、测量、比对等操作活动来发现圆的特征，不重视通过推理、想象、思辨等思维活动来概括出圆的特征；第二，注重让学生学会“用圆规画圆”，不重视让学生思考“为什么用圆规可以画出圆”；第三，注重数学史料的文化点缀，不重视数学史料文化功能的挖掘。
我思考――“圆的认识”这节课究竟要讲什么?
我思考――“特征”是指“一事物区别于他事物的特别显著的征象、标志。”（《辞海》）那么，圆的特征究竟是什么?“一条曲线围成”、“没有角”、“半径是直径的一半”，是不是特征？“一中同长”的特征是不是需要下发空白研究报告，组织学生小组合作研究？这是不是为了“研究报告”而组织研究？这是不是教学上的形式主义?
我思考――半径和直径是不是应该“浓墨重彩”地去渲染? “圆”的概念都没有给出,是否需要咬文嚼字地概括出“半径”和“直径”的概念？揭示两者概念后，让学生从一个圆内各各不同的线段中挑出“半径”和“直径”，有没有哪位老师见过学生有错？学生都不会有错的活动，要不要组织？
我思考――半径和直径的关系是不是教学难点，要不要研究，是否“顾名思义”就可以理解？得出关系后的填表练习，究竟是练习的两者关系，还是练习的乘以2和除以2的口算？我们是不是总是好为人师，以为我们不讲学生就不会？是的，熟能生巧，但熟还能生厌，那熟是不是还能生笨呢? 爱因斯坦的话----“取一块木板在上面寻找最薄弱的部位，在那些容易打孔的地方钻开无数个孔”----会给我们什么启发?
我思考――量出半径都相等,就科学、深刻吗?在一个圆内，半径和直径真的画不完吗？画不完就能说明“半径有无数条”吗？ “半径都相等”和“直径都相等”要不要加上前提条件“在同一个圆中或等圆中”？我们说“正常人的两条腿是一样长的”，怎么不加上前提条件“在同一个人身上”？以后再说“正方形的四条边都相等”，还要不要加上“在同一个正方形中”呢？数学上的严谨就是这样的吗？要加上前提条件“在同一个圆中或等圆中”，这是不是教学内容上的形式主义?
我思考――圆的画法是应该教,以促进学生更好的学，但应该一二三地教吗?是不是在学生容易疏忽的两个地方“手拿住哪里”、“两脚之间的距离是直径还是半径”点破就可以了?学生抑或老师画出的不圆，是否就该随手擦掉？那些“不圆”的作品，是不是课堂中的生命体？是否应该珍惜？
我思考―― 我们的小学数学教学是否应该不仅关注“是什么”和“怎样做”，还应该引导学生去探究“为什么”和“为什么这样做”？这样是不是才凸显出“数学是思维的体操”这一学科特色？是不是应该带领学生经历从现象到本质的探究过程，促使学生养成研究问题的良好意识？“问题是数学的心脏”，我们数学老师是否可以给学生一个问题模式,让学生“知道怎样思维”，让学生掌握作为一种“非言语程序性知识”的思维？
我思考――“圆”的意蕴实在是丰富，借着这么“圆满”的素材,我们是否可以在培养学生批判思维和突破常规的创新思维上做些文章，引导学生思考“一定这样吗”?柳暗花明、曲径通幽、殊途同归的心理体验，是否更有利于学生的可持续发展？
我思考……
经过一段时间的慎思明辨,我认识到“圆”这一节课应该讲的有价值的东西实在是太多，有舍才有得，一课一得足矣!
【教学目标】1.&认识圆的特征，初步学会画圆，发展空间观念。
2.&在认识圆的过程中,感受研究的一般方法,享受思维的乐趣。
【课前谈话】
师：我看到有同学桌上放了橡皮，借给我，行吗？借谁的呢?都借给我吧！
（学生们纷纷把橡皮借给了老师，才“借”了一个小组――）
师：（举起满手的橡皮）嗳，我借这么多橡皮，干什么用呢？猜一猜――
&&&&（学生不明就里，有些木然。一个学生试探性地说――）
生：做魔术。
师：（摇头。）
生：你自己写错了，要擦。
师：我借你们的橡皮干什么用呢？哈哈，是为了不让你用。(学生们笑了。)没有橡皮，下笔会更慎重。错了，也不白错，抓住“她”好好欣赏！
这样，这节课我们就约定不用橡皮，好吗？我相信大家会守信用的。（老师把借的橡皮再还掉，学生们脸上露出会意的微笑。）
【课堂实录】
一、&&&寻宝中创造“圆”
师（很神秘）：小明参加头脑奥林匹克的寻宝活动，得到这样一张纸条――“宝物距离你左脚3米。”
（稍顿）你手头的白纸上有一个红点，这个红点就代表小明的左脚，想一想，宝物可能在哪呢？用1厘米表示1米，请在纸上表示出你的想法。
（学生独立思考、在纸上画着……）
师：刚才我看了一圈，同学们都在纸上表示出了自己的想法。（课件演示）宝物可能在这――
师：找到这个点的同学，请举手。（几乎全班举手。）还可能在其它位置吗？（学生们纷纷表示还有其它可能，课件依次出示2个点、3个点、4个点、8个点、16个点、32个点，直到连成一个圆。）
师（笑着）：这是什么？（板书：①是什么？）
生（有的惊讶、有的惊喜）：圆！
师：刚才想到圆了的同学请举手！（十几位同学举手。）开始没想到的同学，现在认同了吗？那宝物的位置可能在哪呢？
生（高兴地）：宝物的位置在这个圆上。
师：谁能说一说这是怎样的一个圆？
生1：这是一个有宝物的圆！
（全班同学善意的笑了。）
生2：宝物就在小明周围！
师（点头）：说得真好，周围这个词用得没错！（又像是自言自语地）周围的范围可大了……
生（迫切地）：宝物在距离左脚3米的位置。
（全班同学鼓掌。）
师：是啊，他强调了左脚。这个左脚也就是圆的什么？
生（争先恐后地）：圆心！！圆心！
师：没错，叫圆心。（板书：圆心。）也就是以左脚为圆心。他刚才强调了，距离左脚3米，这个距离3米，知道叫什么名称吗？
生：直径！半径！
师：（板书：半径&&直径。）直径还是半径？
生（绝大部分）：半径！
师：现在，用上“圆心”、“半径”，谁能清楚地说一说这个宝物可能在哪？
生：以他左脚为圆心，半径3米的圆内。
师：在圆内还是在圆上？
生（纷纷纠正道）：在圆上！
师：刚才董思纯很精彩的发言，把两个要素都说出来了，是不是只要说“以什么为圆心，以多长为半径”把这个圆就确定下来了？（同学们纷纷点头。）
二、追问中初识“圆”
师：咦――为什么宝物可能在的位置就是个圆呢？（板贴：②为什么？）
生1：因为宝物所在位置以小明左脚为定点旋转一圈，所以宝物所在位置是个圆。
生2：因为纸条上并没有明确地指出宝物在左脚3米哪个地方！
师：对！要圆满地回答这个问题，需要知道圆的特征。想一想，圆具有什么特征呢？
生1：圆有无数条对称轴。
师：对称轴是什么？
生1：直径。（也有学生附和着。）
生2：圆没有棱角。
师：圆有什么特征呢？有比较才有鉴别。我们可以把圆和以前学过的图形进行比较。（出示正三角形、正方形、正五边形、正六边形和圆。）
生3：圆的半径无论画在哪里，它的长都是一样的。
生4：圆不能计算面积。
生（不认可地）：可以的！
生5：长方形、正方形都是有四条直的线围成的，而圆是由曲线围成的。
师：几条曲线？
生（齐）：一条。
生6：圆是个封闭图形。
师：这句话说得很专业！对，封闭图形。
师：孩子们，我们以前认识图形特征就是从边和角两个方面来研究的，圆确实具有大家说的这些特点。知道古人是怎么说的圆的特征吗？
（板书：圆，一中同长也。）
师：明白这句话的意思吗？“一中”指什么？
生（抢着说）：一个中心点！
师（笑着）：什么“同长”？
生（争抢着）：半径的长度都一样的！直径的长度都一样的！
师（反问）：圆，是有这个特征吗？
（学生们认可地点头。）
师（若有所思地）：难道正三角形、正方形、正五边形、正六边形，它们不是“一中同长”吗？
&（学生们沉默，紧张地思考着，片刻学生的手陆续举起来。）
生1（手指课件中的三角形）：如果把线连到三角形的边上，那么两根线段的长度就是不一样的。
师（恍然大悟地）：哦――连在顶点上的长度是一样的，但连在不是顶点的其它点上就不一样长了！但是圆呢？
生（纷纷地）：都一样！一样长！
师：是呀，圆上的点都是平等的，没有哪个点搞特殊！正三角形内，中心到顶点相等的线段有3条，正方形内有4条，正五边形内有5条……圆呢？
生（齐）：无数条。
师：（板书：无数条）为什么是无数条？
生：因为圆上有无数个点。（同学纷纷点头。）
师：那谁来说说，半径是一条怎样的线段？
生：一端在圆心，一端是圆上任意的一个点。（老师竖大拇指。）
师（神秘地）：请看――（课件演示正多边形边数不断增多最终转变成圆的动态过程）
生（惊奇地）：成一个圆了！
师（笑着）：现在是正819边形！
生（情不自禁地）：哇――
师：看到刚才这个画面你有什么想法？
生（争着站起来大声说道）：我认为圆是一个正无数边形！
师（欣赏地）：佩服佩服！用老子的话来说就是“大方无隅”（板书：大方无隅）大方就是指最大最大的方，“无隅”猜一猜，“隅”是什么意思？
生（异口同声地）：角！
师（肯定地）：真佩服！不用猜都知道！这样看来，圆是不是“一中同长”？
生（十分认可地）：对！&&&&&&&&&&&&
师（感慨地）：圆真是具有这样的特征！那刚才同学们说的对不对呢？（出示椭圆）它也是由一条曲线围成，没有角。（老师微笑，学生会意了。）“圆，一中同长也”才是圆的特征，由这个特征能衍生出圆的其它特点来。
师：“圆，一中同长也”，是墨子说的。墨子的的发现比西方人早了1000多年……
生（惊叹地）：哇――
师：那就让我们带着这份自豪，试着以古人的样子读一读这句话。
生1（摇头晃脑、学着古人读书的腔调）：圆，一中同长也――
（大家被他的样子和腔调逗笑了，也为他的勇气鼓起掌来。）
生2（也学着古人的样子）：圆，一中同长也！
师（微笑着）：嗯――另一位古人！
师： “圆，一中同长也”，在寻宝的问题里，“一中”就是小明的“左脚”，“ 同长”就是3米，具备圆的特征，当然就是圆了。为什么宝物所在的位置是个圆的问题解决了吗？（学生们频频点头。）
三、&&&画圆中感受“圆”
师：刚才我巡视的时候，发现同学们都会画圆了！会画圆的请举手！（学生们热情地高举起小手来，跃跃欲试。）画圆一般得用圆规，古人说“没有规矩，不成方圆”。现在请大家用圆规画一个直径是4厘米的圆。边画边想：我们是怎样画圆的？（板书：③怎样做？）
（学生们立刻投入地画起来，师巡视并收集学生不圆的作品。刚展示一幅不圆的作品，学生们都笑起来。）
师（意味深长地）：孩子们，圆的样子都是一样的，不圆的样子就各有各的不同。想想这样的“不圆”是怎样被创造出来的？
（学生们热情高涨，争抢着举起手来。）
师（悠悠地）：想――不说――继续欣赏！
作品2、3（仍是不圆，学生会意地、开心地笑了。）
师（疑惑地）：怎么回事？怎么会这样的呢？从这些作品中，我们是不是看出画圆并不是件太容易的事。
（学生纷纷点头表示很同意。）
师：（出示圆规雏形――树枝。）
师：树枝，哈哈，原始的圆规，用这个圆规在沙地上能不能画出圆来？
生（异口同声）：能！
师（笑着）：我们小时候都玩过。（继续出示：）
师：这是我们现在用的圆规。这个圆规的优点当然是两个脚之间的距离可以变化，所以我们可以画出大小不同的圆来。
生（点头）：对！是！
师（疑问地）：但是刚才我们就是用这样的圆规来画圆的，怎么会创造出那些不圆的作品呢？
（学生们争着举手要发表看法。）
师（会意地）：是不是它的缺点也是这两个脚能动啊？
学生十分肯定地点头赞同：对！
师：所以，画圆时我们的手应该拿住哪才行？
（生已经是不迫不及待，很多人站起来举手。）
生1：手应该拿住把柄！
生2：抓住“头”！
师（微笑）：把柄这个词用得很好！形象地说就是抓住它的头！你可别捏住它的脚――
生（笑）：那就动不了了！距离就变了！
师（思考着）：刚才我看到同学们的作品还有点纳闷，大家都是画一个直径4厘米的圆，那么画出来是不是应该一样大的？但是我看到有大有小。你觉得要圆满地完成这个画圆的任务，圆规两脚的距离应是多少？
生（争抢着）：是半径！半径2厘米。
师：对，圆规两脚的距离就是半径。那现在我也来画一个圆！
（教师在黑板画完，学生佩服地惊叹：“哇噢!”）
师：谁能在这个圆上标出一条半径？
生（争先恐后地）：我！我！
师（和同学一起边看边问）：我们看他是怎样画的？他在找什么？
生：圆心。
（学生画出了半径后，大家不约而同地为他准确的画法鼓起掌来。）
师：他画得多认真呀！谁再来画一条直径呢？
师（请一位没有举手的学生）：虽然没举手，但请你来好吗？
生（有些不好意思）：我不会，我试试吧。
师（风趣地）：不会，试试！想好了试，我们也没黑板擦呦！
（学生画好直径后，掌声再次响起来。）
师（感慨地）：其实学习也不难，学习就是猜想、尝试！敢于试，不就行了吗？
师：直径是一条怎样的线段呢？同桌互相说说。
生1：两端都在圆上。
生2：还要通过圆心。
师（指着黑板的圆）：这个圆心，一般用字母o表示，半径一般用字母r表示，直径用字母d表示。（边介绍边标注在圆上相应的位置。）
师：半径与直径之间什么关系呀？
生（热情、几乎是喊着）：2倍关系！一半！
师：（板书： d=2r）
刚才我们研究完了怎样画圆――先确定圆规两脚之间的距离，然后拿住头固定一个点，旋转。我们是不是又应该思考“为什么这样做”呢？（板书：④为何这样做？）
生：（思考，没有人回应。）
师：随手不能画出一个圆，用圆规这样（手拿圆规比划）就能画出一个圆了，为什么？
生1：我们不能准确判断中心点和手上的距离，而圆规是两个点固定了，绕一圈就可以画出个圆了。
生2：因为圆规可以旋转，而手不好旋转。
生3：因为“没有规矩，不成方圆”。
（引得全班开心地笑起来。）
生4：圆规是没有生命的，它可以一动不动好长时间。
师（佩服地）：她说的“一动不动”太重要了！刚才我们在画圆的时候圆心是一动不动、半径是一动不动！不过，除了一动不动，还有动的…….
生（热切地呼应）:旋转！
师：对对对，这么一旋转，因为确定了长度，“同长”，确定了圆心，“一中”，没有两个中心，所以画出曲线上的所有点和圆心的距离都一样长（生点头），这就符合了圆的特点――“圆，一中同长也。”符合圆的特点，当然就是一个圆了。
四、&&&篮球场上解释“圆”
师（手指板书）：刚才我们通过追问这样四个问题“是什么？为什么？怎么做？为何这样做？”我们一起认识了圆，知道了圆的特征，知道了怎样画圆，还增长了学问。
学问，学问，就是要学会去“问”。一般的研究就是追问这样的问题。请继续看――
（出示篮球场画面，学生们很兴奋。）
师（笑着）：是什么？篮球场的中间是什么？为什么？篮球场的中间为什么要做成一个圆呢？看过篮球比赛吗？如果说你没有注意篮球比赛是怎么开始的，你就不能很好地回答这个问题。
（很多学生已经站起身来要争抢着解答“为什么”了，师并不急于请学生回答。课件播放NBA开赛录像。）
师：现在明白为什么了吗？
（学生们已经按捺不住要发言的热情了，纷纷高举小手。）
生1：这样才公平！
生2：我帮他补充一下，这样就看谁的反应快，球就归谁了！
生3（迫不及待地起身）：因为圆的半径是处处相等的，所以球员站在圆的旁边是很公平的，他离球的距离都一样！
（同学们都赞同地点头，并为他的精彩发言不约而同地鼓起掌来。）
师：其实还是要回到圆的特点上来说――“圆，一中同长也。”大家都在圆上，球在圆心，大家离球的距离都一样，这样才公平。再想想，怎样画这个大圆呢？
生（窃窃私语）：拿大圆规!
师（笑）：拿大圆规，超大圆规，谁来画？超人吗？没有圆规能画圆吗？
生异口同声：能！
师（追问）：怎么画呢？小组商量一下！
（学生立刻投入热烈的讨论。）
生1：用两个量角器量的！
学生们立刻不赞同地反问：有那么大吗？！
师：想到用量角器好不好？
生（齐声）：好！
师（肯定地）：想到这点真好，用两个一拼起来，沿着边就可以画。不过要画个大圆的话真要找个大量角器呢！
生2（自信地）：我觉得先要量出想要画的圆的半径，然后用一个绳子固定住中心点，然后绕一个圈就是一个圆了！
（老师用绳子比划画圆,同学们掌声响起来。）
生3：还可以很多人手拉手围成一个圈！
生4：但是不圆啊。
师：但是！但是很重要，不过，我觉得说但是之前，应该先说她的创意好不好？首先应该看到别人好的地方，然后再说但是……
生5：我觉得可以先确定圆心，画一个很小的圆，然后一米一米地扩大，一直扩大到比较合适的地方，然后把它用油漆画下来就好了。
师（情不自禁地）：创造！创造！我想你将来会像爱迪生那样去创造！你看，他多棒！华老师教书20多年，还没哪个孩子像他这样想到先画个小圆，然后一段一段往外放的，真是佩服！
（全班同学善意、开心地笑了。）
师：(课件出示用绳子画圆)为什么没有规矩也画出了圆呢？
生1：因为他确定了圆心！
生2：还确定了半径！
生3：道理都是一样的。确定了圆心，确定了半径，然后再绕一圈，
（老师竖大拇指，同学们给以掌声。）
师：是啊，圆心只能“一中”，半径一定“同长”。当我们真正理解了祖先的“圆，一中同长也”，才知道以前听说的“圆心”、“半径”是多么重要的两个词啊！其实呀，孩子们，没有规矩不成方圆，这句话还是对的！这样画遵照了画圆的规矩。圆有圆的规矩，方有方的规矩，做人有做人的规矩，研究问题有研究问题的规矩。
（手指板书的四个问题）同学们，篮球场上中圈的问题研究完了，你觉得这样追问研究有意思吗？（学生们满脸灿烂地齐声说“有意思！”）
五、&&&再次寻宝突破“圆”
师:二十世纪最伟大的科学家爱因斯坦说――我没有什么特别的才能，不过喜欢寻根刨底地追究问题罢了。孩子们，我要告诉你，科学家们还喜欢追问这个问题：“一定这样吗？”（板书：⑤一定这样吗？）
师（回味地）：请看――“宝物距离你左脚3米”，宝物一定在左脚为圆心、半径是3米的圆上吗？
（沉静，学生们陷入紧张的思考，没有手举起来。老师出示半个西瓜图片，有很多学生恍然大悟，马上举起手来。）
生1：宝物也有可能在地下、西瓜皮上。
生2：也有可能在上面，在树枝上。
生3：以左脚为球心，半径是3米的球上。
师：是啊！（老师脸上荡漾着幸福。）现在看，圆是一中同长的，球也是一中同长的。圆和球最大不同是什么？
生：一个是平面的、一个是立体的。
师：说得真专业！关于球，细致地研究要到高中。不过，在一个平面内，“一中同长”的就是圆，不是球。
六、&&&课后延伸研究“圆”
（手指钥匙外形的五个问题）问号是开启智慧的钥匙。圆在我们生活中触目皆是，是美的使者和智慧的化身，你可以选择我们身边的圆来研究研究，很有意思的。
（依一天时间顺序，配乐出示各种各样的圆:时钟、纽扣、圆桌、向日葵、车轮、井盖、转盘绿岛、笔帽、篮球、锣鼓、锁孔、剪纸、篝火、荷塘月色、“花未全开月未圆”。)
（随着画面，同学们兴奋地大声说出发现的圆。老师再次提醒“下课啦！”，学生们坐着不动，有的说“不下课，不下课！”）
师：那干什么呢？
生1：为什么要有圆呢？
生2：为什么要有半径？
生3：圆的面积能求吗？
师：（心满意足地点点头）天下没有不散的筵席，课上解决不了所有的问题。课下自己研究，好吗？
（同学们依依不舍，久久不肯离去……）
【课后反思】
非常成功，非常享受！已经拖课了，学生还是不愿意下课。
师父张兴华满意地对我们几个徒弟说：“应龙的这节课，我就七个字――浑然大气铸成圆！”
认识决定行为。已有的会成为包袱。备课时，我就觉得半径、直径不要原来那样教，一问学生“这是一个多大的圆”，学生就会说出“半径、直径”。课堂事实也是这样，就让自己不再思考了。试教后一反思，才发现“宝物在哪儿呢？”是个更妙的问题，首先是回答了探讨的问题,其次是凸显了圆心定位置，半径定大小。现在想来，这样问，味道好极了！
正像电影《阿甘正传》中，阿甘妈妈对阿甘说的：“要想往前走，就得甩掉过去。”是啊，我今天的教法不就是想“甩掉过去”吗？但甩掉别人的过去容易，甩掉自己的过去就难了。否定别人容易，否定自己难。我是这样，听课老师会不会也是这样，而不肯接受我这节课呢？应该坦荡荡,何必长戚戚，“我的地盘我作主”，30年后再说吧。哈哈哈，“上士闻道，勤而行之;中士闻道，若存若亡;下士闻道，大笑之。不笑不足以为道。”（《老子》第四十一章）哦，我不该这样想，数学研究者往往是孤傲的，认为只有自己发现的“1”才是对的，我应该再思考，再否定自己，就像硬汉海明威说的“比别人优秀并无任何高贵之处。真正的高贵在于超越从前的自我”。
顿悟：几何画板上显示“正多边形和圆的关系”应该从正六边形开始，这样暗合了刘徽割圆术也是从正六边形开始的，并且解决了几何画板上正三角形不正、看着不舒服的问题，还解决了与前面研究正三角形、正方形、正五边形、正六边形“一中同长”重复的问题。哈哈，反思真好！
课上学生画出的“不圆”的资源化运用,感觉真好：有方法上的启迪、情感上的善意、借走橡皮的回应，那意境真有林黛玉说的“留得残荷听雨声”的美妙。
在完成了为什么没有规矩也画成了圆的追问，我说――是啊，圆心只能“一中”，半径一定“同长”。当我们真正理解了祖先的“圆，一中同长也”，才知道以前听说的“圆心”、“半径” 是多么重要的两个词啊！――之后，看到学生闪亮的眼睛，我心里真舒畅。这样不就把经验、直观与抽象结合起来了吗？数学的抽象首先是一个过程，其次不就是建立一套术语概念系统吗？
……&&……
整体感受――在学生需要教的时候再教，效果就是好。看来我说“教是因为需要教”，没错！
自己以前多次教过《圆的认识》，为什么没有今天这么享受呢？莫名地，我想起《老子》第四十五章：“大成若缺，其用不弊。大盈若冲，其用不穷。”这几句话的意思是：完全做成的东西，看上去好像缺了些什么，但用起来却一点也不差。完全装满水的容器，看上去好像是空的，但用起来却一点也不少。
那，我“成”在哪呢? 爱因斯坦曾经说过这样的话:“用专业知识教育人是不够的，通过专业教育，学生可以成为一种有用的机器，但不能成为和谐发展的人。要使学生对价值（社会伦理准则）有了理解并产生出热烈的情感，那才是最基本的。”我在没有增加新知识点的情况下，上得学生不愿意下课，让学生体验到不同现象背后的本质是一样的，让学生体验到认识事物“特征”的价值，让学生认识圆的“规矩”的同时感受了研究问题的“规矩”，让学生体验到追问“为什么”是一件很有意味的事情，让学生听到了自己成长的声音……
以前，我教《圆的认识》时，总是觉得这不能丢，那也不敢掉，把自己扣牢在自己和他人一起画就的小圆里……
哈哈哈，现在的我真是在理想“圆”里！
为什么以前的我没能、没敢这么上？教学的能力不到, 教学的勇气不够，教学的追求没有……
为什么今天的我能这么上、敢这么上？课程改革的深入，百花齐放的氛围……大抵还源于自己对自己和他人的教育实践的过程和结果的意义和价值的哲学之思。
“花未全开月未圆”，大成“有”缺。那，我“缺”在哪呢?拖课了，总是不好，如何在40分钟内和学生交流？要舍什么？这节课的教学主线是“是什么？”“为什么？”“怎么做？”“为何这么做？”“一定这样吗？”等五个问题，为了凸显这一主线，课上我安排了两个回合的研究，最后呈现生活中无处不在的圆，还是想引导学生沿着这五个问题的思维路径去研究，那么是否就该进一步删繁就简？“大方无隅”等可否舍掉？画圆的环节，已经一题多功能了，可否再压缩？
在研究圆的特征时，一个学生说：“圆有无数条对称轴”，虽然学生已经学过轴对称图形，我的预设也是第二课时研究圆的对称性、找直径、找圆心等，但如果当时让学生都动手折一折，是不是更自然顺畅？教学效果更好？
这节课，多处引经据典，是否过“度”了？“度”是几处呢？每一处都与“数学”有关，只是“顺手一投枪”（鲁迅语），那老师“顺手”多了，学生是否会目不暇接、审美疲劳？
&(作者系北京第二实验小学副校长,本实录由石雪纳老师整理。)
【附：上海静安区教育学院副院长曹培英的信】
太感谢你了，传来如此美妙的作品，让我欣赏。读来真是一种享受。语感像散文，却又岂止“形散神不散”；看似信手拈来，却又思绪缜密，一气呵成，酣畅淋漓。
不瞒你说，我读了两遍。第一遍，似乎急着想知道，后面还有什么出其不意的高见、妙招。看完了，情不自禁又细细地读了第二遍。好象很少有哪篇文章如此打动过我。所以，抛开正在修改的文稿，写上主要的读后感。
你的很多见解，我深有同感。目前已发表的“圆的认识”课例确实存在你说的三个问题。只是第三个问题，稍作点补充：近年来的某些课例，不是“不重视数学史料文化功能的挖掘”，而是“矫枉过正”，显得过于堆砌。
你的七个“我思考”，我亦有同感。
你的教学过程中，有很多匠心独居的设计，如课前收缴橡皮的举措，宝物距离左脚3米的情境，“大方无隅”的诠释，圆与“不圆”的比对与感悟，等等，非常精彩，颇受启迪。
说实话，刚看到“宝物距离左脚3米”的答案是一个圆时，我有点惋惜，这是局限在一个平面内的回答，拓展到三维空间，应该是半个球面。看到后面，出来了“半个西瓜”，还引出了“球也一中同长也”，我甚为赞叹。
以前，我曾多次教学“圆的认识”。深感在小学高年级，完全可以揭示圆的本质特征，只是不宜采用动点轨迹的语言来描述。而“一中同长”是最地道的比较适合小学高年级学生理解水平的中国式概括。我也尝试过圆与“不圆”的比对，有一次甚至在木质小黑板上钉了3个图钉，一个栓上线和粉笔画圆，另两个栓上线和粉笔画椭圆。学生兴趣很浓，下课了，纷纷挤在小黑板前抢着画。
有一点，我不完全同意您的看法：半径与直径的关系可以顾名思义，但半径与直径的概念描述还是需要的。比如，学习扇形面积计算时，常有学生将直角扇形的半径误认为直径。这时，根据半径的描述“从圆心到圆上任意一点的线段”比较容易纠错。至于半径与直径到底是“线段”、还是“线段的长”，类似争论，我以为意义不大。虽说前者是“形”，后者是“量”，但根据需要，半径或直径可以指“线段”，也可以指“线段的长”，这样方便叙述。我始终认为：数学概念，有时需要“咬文嚼字”，有时又不宜钻“牛角尖”，“水至清，则无鱼”。
再次感谢！
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&曹培英
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&<st1:chsdate w:st="on" IsROCDate="False" IsLunarDate="False" Day="14" Month="11" Year="年11月14日夜
【附：我的设计心路】
不抛弃，不放弃，要扬弃
近一段时间，我借班讲“圆的认识”在课前准备环节总喜欢借学生的橡皮。以下是教学实录：
师：来，我们收拾一下桌面。桌面上应该有圆规、三角尺、铅笔，还有老师发的一张白纸。请把其他东西，收起来，放到抽屉里。
生：（纷纷收拾。）
师：动作真快！（表扬完了，故意东张西望，先是迟疑，后是欣喜）我看到有同学桌面上还放了橡皮，正好是我想借的，谁愿意借给我？
生：（慷慨地，把橡皮举得高高；还有学生要从抽屉里拿出来，老师制止了。）
师：（把周围学生的橡皮一块一块地借了过来，并表示出非常感谢的神情。举起满手的橡皮）嗳，我借这么多橡皮，干什么用呢？猜一猜――
&&&&生：（不明就里，有些木然。有学生试探性地说――）
生1：你自己写错了，要擦。
生2：做魔术。
生3：看橡皮是什么形状的。
生4：用橡皮拼圆。
师：（一直是微笑着，不置可否）我借你们的橡皮干什么用呢？哈哈，是为了让你没有橡皮用。(学生们笑了。)没有橡皮，下笔会更慎重。错了，也不白错，抓住“她”好好欣赏，看看能从中学到些什么！
生：（懂事地点点头。）
师：这样，这节课我们就约定不用橡皮，好吗？把橡皮收到抽屉里。我相信大家会守信用的。（老师把借的橡皮再还掉，学生们把橡皮收到抽屉里，脸上露出会意的微笑。）
我为什么要借学生的橡皮呢？
“没有橡皮，下笔会更慎重。”这是自然的结果。置之死地而后生，当我们做事情没有依赖的时候，自会多了几分慎重。而现在的学生很是浮躁，缺乏责任心，往往不肯静下心来想好了再动笔，常常是毛手毛脚，一看就动笔，一动笔就
错，一错就擦。宁静才能致远，逼学生静心思远，对学生的成长是有好处的。
“错了，也不白错，抓住‘她’好好欣赏，看看能从中学到些什么！”学生在学习过程中出现错误时，学生和我们老师总是习惯性地认为是“粗心”。其实学生做错的原因一般都不是“粗心”，往往可能是感知、技能和思维的缺陷。恩格斯说：“最好的学习是从差错中学习！”画圆就仅仅是画圆吗？其实，画圆是通过画出的圆进一步认识圆，认识圆的特征。不妨再一起分享其后的对应的教学片段――
师：刚才我巡视的时候，发现同学们都会画圆了！会画圆的请举手。（学生们热情地高举起小手来，跃跃欲试。）画圆一般得用圆规，古人说“没有规矩，不成方圆”。现在请大家用圆规画一个直径是4厘米的圆。边画边想：我们是怎样画圆的？
（学生们立刻投入地画起来，师巡视并收集学生不圆的和圆的作品。刚展示一幅不圆的作品，学生们都笑起来。）
&师（意味深长地）：孩子们，圆的样子都是一样的，不圆的样子就各有各的不同。想想这样的“不圆”是怎样被用圆规创造出来的？
（学生们热情高涨，争抢着举起手来。）
师（悠悠地）：想――不说――继续欣赏！
（学生会意地、开心地笑了。作品4、5，是圆的，但一大一小，学生说“很圆”、“圆满”；也有学生有异议，“错了”。）
师（思考状）：我也有点纳闷了，要求画一个直径4厘米的圆，那么大家画出来是不是应该一样大？怎么有大有小呢？
师（疑惑地）：（5幅作品一屏展示）怎么回事？怎么会这样的呢？从这些作品中，我们是不是看出画圆并不是件太容易的事。
（学生纷纷点头表示同意。）
师：画圆时要注意些什么呢？小组里交流。
（学生交流、汇报完――）
师：是啊，圆心只能“一中”，半径一定“同长”。当我们真正理解了祖先的“圆，一中同长也”，才知道以前听说的“圆心”、“半径”是多么重要的两个词啊！
当时，讲到这里，我看到学生闪亮的眼睛，心情真舒畅。这样不就把经验、直观与抽象结合起来了吗？数学的抽象首先是一个过程，其次不就是建立一套术语概念系统吗？
这个环节，学生画出的“不圆”、“大圆”、“小圆”的资源化运用,感觉真好：有画法上的启迪、特征的彰显，情感上的善意、借走橡皮的回应，那意境真有林黛玉说的“留得残荷听雨声”的美妙。
我为什么会想到这样子来借学生橡皮呢？
讲“圆的认识”，圆的画法是应该教的,以促进学生更好的学，但不应该一二三地“灌”，而应该让学生自己“由误到悟”。
我回想到自己以前在黑板上的板画圆时，画出的圆总是不圆，于是赶紧把画出的不圆擦掉重画。就像刚刚学会骑自行车，在路上摔倒了，就赶紧爬起来，赶紧离开这块丢丑的地儿，生怕被人看见。笑过之后，我想，为什么总是画不圆呢？要么是由于圆心滑动，要么是由于圆规两脚距离改变。我追问：这不正突出了圆的特征吗？“不圆”的作品，是不是课堂中的生命体？是否应该珍惜？是不是不该随手擦掉呢？
因此，备课时，我就计划好，如果我在黑板上画出了不圆，就不擦，也不急着重画，而是和学生一起分析“为什么不圆？”这是对圆的特征的再理解。进而，我思考：那学生的不圆的作品呢？怎么把它也用起来？因此我想到把学生的橡皮收掉。
刚开始讲这节课时，我真是把学生的橡皮“借”得一块不剩，乃至学生不肯下课时，我问“为什么”，有学生笑着说“我们要橡皮！”贲友林和郑俊选老师都对我“借橡皮”提出了异议，认为“收学生橡皮不好”、“这是不相信学生”。我知道这意见很珍贵，很正确，但我又认为这是我多年研究“差错资源化”的课题实践，这是践行自己的“课堂因差错而精彩”教学理念，并且是为了更好地教育学生，牺牲一点点“小我”又何妨？因而我不想、也舍不得把“借橡皮”这个环节去掉。不过，心里挺别扭的，就像明明知道自己“脸上长了一个瘤,额上长了一个疮”，却讳疾忌医，于是很担心被鲁迅讽刺说:“红肿之处,艳若桃花;溃烂之时,美如乳酪”。
理当从善如流，那我能不能既保留“借橡皮”，又吸纳两位老师的意见？两天后，我想到了“先借后还”的中庸之招。
这样，在正式上课之前，看似不经意的整理文具，一借一还，一惊一乍，一波三折，师生情感在其中融通，学习心向在其中萌发。
从推敲借橡皮的经历中我学到了什么？
回顾“借橡皮”的前前后后，我深深地体悟到：被批评是幸福的，批评往往带来不同的视角，当从内心深处欢迎批评；批评是金，如果批评不是金，那它一定可以是点石成金的指头。
回顾“借橡皮”的前前后后，我深深地体悟到：珍惜当下的一切，差错也是一种资源。成功失败都是收获，酸甜苦辣都有营养。
庄子曾说：“始生之物，其形必丑”，他还说过，“其作始也简，其将毕也巨”。一个有价值的创新设计，开始的时候都会缺点、疏漏甚至错误。如果一听到不同的意见，就放弃，那无异于把婴儿和洗澡水一起倒掉了。
哲学家们认为，在事物的发展过程中，每一阶段对于前一阶段来说都是一种否定，但又不是单纯的否定或完全抛弃，而是否定中包含着肯定，从而使发展过程体现出对旧质既有抛弃又有保存的性质。因此，借鉴大家的批评意见，对于原来的创新设计，取其精华，去其谬误，止于至善，是应当提倡的思维方式。简言之，不抛弃，不放弃，要扬弃。
学无止境，教无止境，我们应该不断精进，不断否定自己，不断超越自己，就像硬汉海明威说的“比别人优秀并无任何高贵之处，真正的高贵在于超越从前的自我”。
【附：江苏省如皋师范学校附属小学汤卫红主任的评析】
一堂充满哲学意蕴的数学课
――听华应龙老师执教《圆的认识》有感
最近，笔者听了特级教师华应龙执教的《圆的认识》一课，他对数学操作活动别出心裁的设计与指导，对学生思维的有层次的开发，对探究体验数学的本质、方法和数学学习过程的把握，对数学史料的灵活驾驭，以及在教学中巧妙渗透情感态度价值观的做法，带给笔者许许多多的思考，在此愿与各位同行一起分享。　　一、数学概念不仅来自“操作”，更应是思辨成果　　新课程强调动手操作是学生学习数学的重要方式。但在教学实践中，操作流于形式、“脑体倒挂”的现象却比较普遍。更为深层次的问题是：有些内容是否有必要在课堂上动手操作？生活中学生在与外界事物打交道的过程中不断用自己独有的方式建构着零散的、非系统的、具有个性色彩的数学现实，其中，操作、把玩正是儿童最常用的认识事物的方法，也正是在这种有意无意的活动中，数学现实不断丰富起来。带着这些数学现实，学生走进了课堂。因此，在课堂上是激活学生在生活操作实践中形成的表象，还是再次进行操作；教学的着重点是操作体验的获得，还是思考的深化，全在于教师对学生认知世界的准确把握。　　在华应龙老师看来：以往的“圆的认识”的教学只注重组织学生通过折叠、测量、比对等操作活动来发现圆的特征，不重视通过推理、想象、思辨等思维活动来概括出圆的特征。事实上，学生对圆的半径、直径及其关系等已经通过各种渠道有着或多或少的认识，但这些经验依赖于课堂教学将其系统化。因此课伊始，华老师创设了“宝物在哪儿？”的问题情境：“小明参加奥林匹克寻宝活动，寻宝图上这样写着：宝物距你的左脚3米。孩子们，你们知道宝物在哪里吗？”这个问题激活了学生的已有经验，他们纷纷在纸上量画（用3厘米表示3米）表达自己的想法。华老师接着问：“除了你找到的这个点，宝物还可能在什么地方？”学生在纸上画的点不断增多，渐渐呈现出“圆”形。他随即以一句“告诉小明宝物在哪儿？”引导学生描述自己思考和表示的结果。这一极富艺术性和生活味的设问一方面回答了探讨的问题，另一方面在思考和表达中促进学生自主建构起“圆心确定位置，半径决定大小”这一数学知识。学生的描述逐步由生活走向数学，由笼统走向精确。在师生、生生的对话中，参与者努力做出个人理解并表达出思考的内容，通过成员间的质疑、诘问不断将探讨的问题引向深入。在不断完善的言说中，澄清、揭示出问题的数学本质――以左脚为圆心，半径3米（直径6米）的圆上。　　随着华老师层层深入的导引“为什么？”“怎么做？”“为什么这样做？“一定是这样吗？”课堂中“圆有1条边还是无数条边？”“除了圆，其他平面图形是不是也‘一中同长’呢？”“为什么用圆规可以画出圆？”等精彩的思辨层出不穷，不断挑战学生的思维深度，提升学生的思维品质，促使学生发展深层次的智慧情感与品格。　　二、数学知识不只是习得的，更应是探究而来　　很多时候，我们不自觉地以演绎的方式教学数学，学生被动地习得基本知识和基本技能，而探究知识的过程来也匆匆、去也匆匆，并非充满挑战性的“再创造”历程。在许多人看来完全属于技能习得的“用圆规画圆”，在华老师看来，却充满着探究的价值。　　华老师并没有按通常的步骤一二三地教，而是让学生自己尝试着画直径4厘米的圆，然后展示学生“不圆”的作品。他幽默地说：“圆的样子都是一样的，不圆的样子就各有各的不同。请同学们慢慢欣赏回味，想想这些不同、不圆的‘圆’是怎么用圆规创造出来的？”学生先是笑声不断，转而开始沉思。教师又展示了两个画得规范但一大（半径4厘米）一小（半径2厘米）的圆让学生辨别。接着小组交流：究竟怎么画圆？在对差错认真反思后，学生对“手拿在哪里”“两脚之间的距离是直径还是半径”等画圆的要领有了深刻的领悟。接着教者又追问“为什么用圆规可以画出圆？”这一看似明知故问的问题促成了学生交流的精彩纷呈，“把装有铅笔尖的一只脚旋转360°就成了一个圆。”“有了圆心和半径（或直径）就能确定一个圆。圆规有针尖的一只脚固定的那一点就是圆心，两脚之间的距离就是半径。”“旋转一周，就画出了无数个点，这无数个点到圆规针尖的距离总是一样长的。也就是半径有无数条且都是一样长的。”“用古人的话说，就是一中同长也。”……对学生的各种回答，华老师不作即时性评价，而是不断地追问“为什么”，让问题的答案走向开放，让学生对更好的答案不断追求。在这种看似不追寻确定性结果的诘问中，学生对圆的本质属性达到了深层次的理解，更深入地领悟了数学的本质、方法，经历了数学学习的过程。　　三、数学史料不只是点缀，更应是思想渗透　　课程标准中指出：“数学是人类的一种文化。”今天，越来越多的人开始关注并认同这一观点。然而许多的数学课上仅仅是贴标签式的数学史料渗透，坦率地说，这种直白的宣讲是以听课教师为对象的，最多只能算是课堂的点缀，至于学生从中能获得多少有益的启示，执教者和听课者似乎都不敢奢望。而华老师充分挖掘出数学史料的文化功能，使其成为教学内容的有机组成部分，引发学生在文化张力的影响下绽放数学思考的理性之美。　　研讨圆的特征时，华老师出示“圆，一中同长也。”（墨子语）在引导学生理解意思后，他反问：“难道正三角形、正方形、正五边形……不是‘一中同长’吗？”一石激起千层浪，多媒体显示的中心到各顶点的连线更是诱导着不少学生站到“是”的立场上，然而马上有同学站出来反对，教师则扮演成不知道“正确”答案的人，表现出好奇和疑惑，不断向学生提问，刺激并促成他们思考。正是在这样的激烈交锋中，“一中同长”作为圆区别于其他平面图形的本质特征得以凸显和内化，而“没有角”、“曲线图形”、“只有一条边”等学生认同的特征则在与椭圆的比对中消解为非本质属性。接下来的从中心到图形上相等的线段条数的讨论，一方面深化了学生对多边形特征的认识，另一方面更是在比较辨析中促成了学生对圆的半径有无数条的深层次认同。多媒体演示的依次渐变图形，从正六边形一直到正819边形，更是架起了多边形与圆之间的桥梁，难怪学生惊呼：“圆是正无数边形！”直线图形与曲线图形的辩证统一、有限与无限、量变与质变等思想“润物细无声”地渗入学生心田。　　在课堂教学中，华老师既有知识的渗透，又有方法的指导，更有思想的启迪。对“没有规矩，能否画圆”的追问，让学生对“规矩”的理解由表及里、由浅入深，最终认同：原来圆的“规矩”就是确定圆心、半径的工具。华老师的评价“不管怎样画圆，都遵循了圆的规矩。看来，方有方的规矩，圆有圆的规矩，做人有做人的规矩，任何事物都有规矩。”更是彰显了数学多层面的文化、教育功能，体现了“数学是一种精神，一种理性精神。”（克莱因语）的文化价值，一举多得。
【附：重庆市巴蜀小学副校长李永强的评析】
“冷场”与顿悟&&简单与复杂
――特级教师华应龙《圆的认识》课堂智慧解密
什么样的课才是好课？听了特级教师华应龙《圆的认识》一课后，我找到了答案。以随堂的标准审视，这节课是不成功的。但以研究课审视，这节课是很成功的。“我被颠覆了，原来数学课还可以这样上。”一位数学教师听了华老师的课后由衷地感慨。为什么呢？课堂那强大的思维场和丰厚的思想场、人文场，给了听课教师强烈的思想冲击。事后我慢慢品味，悟出了此课成功的秘笈。　　解密一：“冷场”与顿悟。曾几何时，我们已对发言踊跃、师生对答如流的课堂有了天然的喜爱和追求。但今天听到了一节与此不同的课，没有了表面的浮华，有的是教师相机生成的一系列问题：“说说哪些地方可以找到宝物？”、“圆有什么特点？”……“为什么说圆有无数条直径？”问题一个比一个深刻，思维量一个比一个大，提问后教师尽量地耐心等待，但仍没有我们期待的小手直举，小脸通红的境界，有的只是全班同学的静静思考和少数几个同学试探性的举手。　　细细观察可以发现同学们眼睛变亮了，回答问题的质量提升了，最后在回答“为什么圆有无数条直径”时，竟有两位同学用“针尖”与“0.1，0.01，0.001……”作比来说明相邻两条直径之间距离无论多小，总可以在它们之间再画一条直径。同学们自觉运用生活原型“针尖”和过去学过的“数的无限性”来说明直径的无限性的回答，真令人难以置信。　　因此，这种具有思维含量的“冷场”，是思维层次的一次次提升，是思维拔节必经的历练过程，这可能就是我们常说的思维体操，真是世界上最美丽的花朵。我们要学会欣赏，要小心地呵护，“冷场”切不可用教师的话语去“救场”。　　解密二：简单与复杂。第一次在教室听随堂课，觉得课真简单；第一次在评委席上听赛课，觉得课不是想象得那么简单；第一次听自己指导的课，觉得课还真不简单；但第一次听华老师的课，我才真正意识到简单与复杂同时并存于一节课里。华老师的这节课让我见到了丰富的背景和简单课堂间的有机转化过程――　　一个知识点。圆的初步认识有：认识圆的特征、圆各部分的名称、会画圆三个知识点。三者的关系在华老师的课上感受到只有一个知识点。第二点是为了第一点说明和表示的方便，第三点是根据圆的特征创造圆验证第一点，因此本节课只有一个重点：圆的特征。做到了“简”，实现了一课一得。　　一个情境。全课用“数学头脑奥林匹克运动会寻找离左脚三米远的宝物”这一个情境贯穿，先用于开课激趣，再理解圆的特征，最后用于拓展（圆到球）。　　一个关注点。始终关注学生对圆的特征的理解进程，并根据学生情况及时调整教学流程。如：对圆各部分的认识、画圆时半径和直径的转换等，都是根据学生实际情况，随机生成。我相信华老师上几次，就可能有几个样，但他始终关注的是学生对圆的特征的理解与学生思维的发展情况。　　一个原则：古今中外唯我所用。在听课过程中，我们不难发现，历史的、现代的、未来的所有与圆相关的信息都进入今天的课堂。古代的“一中同长远”、“大方无隅”、“没有规矩不成方园”，现代的：圆的定义、圆与球的关系等这些知识都有机渗透进了他的课堂。给“认识圆”一个丰富的背景，让每个孩子都可以从中自由搜寻自己感兴趣的东西。但最后又都聚焦在“一中同长矣”的本质上来，真正体会到了数学“以简驾繁”的简洁之美。　　思考：　　这是“人课合一”的思想方法课。华老师在教学中不时清理着学生的思维方式，最后总结出：“是什么？为什么？怎么做？为什么这么做？如果不这样又会怎么样？”五步思维法。这既是课的推进方式，更是华老师自己对待数学教学的思维方式。这是“人课合一”的数学文化课。“画得好的圆一个样，不好的各有各的样。”这是华老师在学生画圆后的一句随机评价，充满哲思。
【附：江苏张家港市教育局教研室陈惠芳的评析】
精彩于“方”“圆”之间
------听华应龙老师执教《圆的认识》一课偶得
不久前，听取了全国著名数学特级教师华应龙执教的《圆的认识》一课。细观其中的课堂，有三点非常深刻的感受。
【对象感】
“我在欣赏品味之余，发现我们对于‘圆的认识’这节课教学内容的处理，主要存在以下三个问题。注重组织学生通过折叠、测量、比对等操作活动来发现圆的特征，不重视通过推理、想象、思辨等思维活动来概括出圆的特征；注重组织学生学会用圆规等材料‘画圆’，不重视组织学生思考‘为什么这样就可以画出圆’；注重数学史料的文化点缀，不重视数学史料的文化功能挖掘……”
“我思考――‘圆的认识’这节课究竟要讲什么?圆的特征究竟是什么?这样的特征是不是需要组织学生小组合作研究？接着思考――半径和直径是不是应该‘浓墨重彩’去渲染?小学数学教学是否应该不仅关注‘是什么’和‘怎样做’，还应该引导学生去探究‘为什么’和‘为什么这样做’……”
听课前，细读了华老师的“课前慎思”，别有一番滋味在心头。“一堂成功的数学课，必然有强烈的对象感！”这是我的第一直觉。传统的课堂教学，我们老师也在思考，我们思考的对象更多是教材内容，往往去想我怎么教会孩子认识直径、半径、圆心，怎么教孩子正确使用圆规，才能画出一个漂亮的圆。而对于华老师而言，他思考的对象首先是学生，他始终明白“教什么比怎么教更重要”。所以，他不断地叩问这堂课究竟要教什么？究竟怎么教？不停地追问应该这样，不应该那样，思考这些问题，就能较好地确定学生的学习起点，拟定课堂教学目标，对于如何追求朴素有效的课堂教学，他作了精心而又精致的准备，眼中有学生缘自心中有学生。
我还特别欣赏到课中这样一个镜头：请学生用圆规画一个半径是3厘米的圆，尝试练习后，一般的老师都会展示学生成功的作品，而华老师却将学生错误的作品一一展评，为什么老师要展示这些失败的作品呢？难道是老师偶然所为？直觉告诉我：这就是华老师的独到之处----有对象感。现代教学思想认为学生的错误不可能单纯依靠正面的示范和反复的练习得到纠正，而必须是一个“自我否定”的过程。部分学生第一次不会画圆，最好的办法就是让他通过相互对比，自我进行反思、自行修正！“没有对象，这些话就不可能说得使自己和听的人都相信有说出的实际必要”（斯坦尼斯拉夫斯基语）。之所以出现教师驾驭课堂左右缝源的从容，正是来源于教师对教材的正确把握，对学生的尊重与理解。这些理性的思考，也是课堂教学有效性的前提。或许当我们的思维方式呈现“方”的时候，华老师独自选择了“圆”！
【学科感】
“数学是思维的体操”,华老师深谙此理。而如何培养学生的批判思维和创新思维，如何引导他们思考“一定这样吗？为什么不可以那样”？如何获得丰富而独特的心理体验？正是他本堂课最想做的文章。不妨再现一些精彩的片段：
课始，教师创设一个问题情景。“小明”参加头脑奥林匹克寻宝活动，得到一张纸: “宝物距离你左脚3米。”（出示白纸）在头脑中想一想：宝物可能在什么地方？学生在纸上纷纷表示自己的想法。师接着问：“除了你找到的这个点，宝物还可能在什么地方？”展示学生作品后，发现由一个、两个点，渐渐由点及线----呈现了“圆”。教师随即引导学生深入思考：为什么宝物的位置就(可能会)成为了一个圆？围绕这个思维触点，整节课由此生发开去。
接着，创设了操作情景。请学生尝试用圆规画一个半径是3厘米的圆。练习后，教师选择了一些作品进行展示（学生身边没有橡皮，许多原生态的失败作品一览无遗）。教师幽默地评价说：“圆的样子都是一样的，不圆的样子就各有各的不同。请同学们慢慢欣赏回味，想象它们是怎样在无意中被创造出来的？”学生盯着屏幕，若有所思，若有所悟。“从这些不圆中，我们学会画圆了吗？”老师的及时追问似乎又暗含着什么。在比较观察中，在讨论思辨中，圆的特征渐渐明朗，画圆的方法渐获要领。
最后，教者播放篮球开赛录像，联系学生实际，创设了生活情景。有画“小圆”引发学生思考“大圆”的画法。有的认为先固定圆心，用线绕一圈画大圆，有的认为可以将小圆一圈圈往外放，还有的说先画正方形，再画圆……
美国劳伦斯教授曾经说过：“教学就是要通过情景在学生的头脑中引起认知的兴奋，产生认知的冲突，形成思维的爆炸，进而引发学生的认知活动，建构新的认知结构。”看来，教者并不满足于传统意义上圆的认识，而是聚焦教学重点，通过学生尝试练习，把直问改为曲问，把提问改为对话，在概念形成的教学中体现思维的曲折历程、渐变过程，由不圆思考如何画圆，由小圆延伸到大圆，由文本的学习拓展到解释生活现象，从而改变了传统的师生交流方式。由课始寻宝到画圆到解释生活问题，真正的“入一点，牵一线，构一面”----- “浑然大气练成圆”，触及了学生认知的内核，着力建构问题模式，让问题的开放与教师的统领，学生的独思与全班的互动交流和谐统一，在不断追问中逐步理解、明晰、构建、完善圆的认识，真正将概念的建构过程成为一个“意义赋予”的过程，提升了学生学习的层次，凸显了数学课的“数学味”。
【文化感】
“文化的最初本意，可以理解为对土地的开发、植物的栽培和农作物的收获。教育领域之中深层次文化的意义，是现在的教育教学方式、教育教学过程，就是文化过程。你怎么教着，学生怎么学着。”（成尚荣语）对数学课堂文化的关注是新课改的核心理念之一。本节课中，华老师通过语言的内涵品质来关注数学文化，通过教学内容的行进适时渗透数学文化，通过师生的互动交流来提升课堂文化。很多老师评价说：“他的数学课极富文化感”。
研讨圆的特征时，教师出示了古人说：“圆，一中同长也。”他让学生学着古人的样子读读这句话。“那么，难道正三角形、正四边形、正五边形……不是‘一中同长’吗？”教师的反问显然让学生有些措手不及，当媒体依次不断地渐变图形，从正六边形一直到正819边形时，学生终于耐不住性子了“老师，我认为圆是正无数边形！”是呀，由“圆”的教学引申至“正多边形与圆的关系”、“圆与球体的联系”，这样也暗含着刘徽的割圆术理论，让学生真切地体会到“圆是正无数边形”的极限思想。曲径通幽，富含哲理。
在画圆环节中，教者先呈现了“没有规矩，不成方圆”。 “那么，有了这样的‘圆规’画圆，一定没问题吧？”看似教者的自言自语，实则不断引发学生新的“学习生长点”。在探讨由小圆到大圆的过程中，教者大胆放手让学生进行思考“为什么用绳子就可以画出圆来，为什么没有规矩，也可以画出圆？”学生认为确定了圆心、半径就能确定圆了。华老师随即评价说：“原来都遵循了圆的规矩。看来，方有方的规矩，圆有圆的规矩，做人有做人的规矩，任何事物都有规矩。”因为深入，所以浅出。
课末，教者出示了爱因斯坦语:“我没有什么特别的才能，不过喜欢寻根刨底地追究问题罢了。”科学家们还喜欢追问这样的问题：“一定这样吗？”回归到课始情景，再次追问“宝物一定在左脚为圆心、半径3米的圆上吗？”（出示半个西瓜）还是“圆”吗？在学生惊喜地发现这是一个球。由圆及球，前后呼应，朴素的教材是否承载着太多的数学思考？
事实上，作为静态的在同圆或者等圆中的半径、直径都有无数条、直径是半径的两倍等知识点，圆心等一些概念，其必沉淀了丰富的数学内涵。传统的课堂教学往往停留在通过操作被动地理解这些概念、知识点，而忽视了内含于“冰冷的美丽”后的“火热的思考”。因此，关于圆的数学文化往往成了数学史料的堆积，学生根本无法去触及、去分享，而华老师善于敏锐地加以捕捉，及时作出判断，放大、外化，并在课堂中悄无声息地予以传递----“真实的想法应该善于表达，不要迁就教师！”“学问学问，要学会问哦”“首先应该看到别人好的地方，然后再说但是……”。如此精彩的评价贯穿课中，原因在于教者不仅在数学学科内寻找圆融，而从数学哲学的角度来精心设计教学流程，把抽象的概念赋予直观、形象、生动、深刻的解读，还原数学文化的本质力量，让数学课堂绽放理性之美。
缘此，在华老师的课堂上，数学学习作为一种文化熏染和文化传承，从传统的数学史料的刻意点缀转化成数学思想方法的不断充实、认知探究过程的逐渐丰满，学生数学素养的不断丰厚，足以让我们欣赏到数学文化――一种直达本质的深邃美丽。他的质疑反思和批判精神，使《圆的认识》又有了别样的解读。课堂，精彩于“方” “圆”之间！
【附：北京教育学院刘加霞教授的评析】
把握学科本质与研究学生是数学教育永恒的课题
&&&&&――评华应龙《圆的认识》一课
普普通通的“圆”引出的是不普通的话题。
&&&&听过华应龙老师执教的《圆的认识》的老师，大都为其“大气”的教学设计以及实施所折服，好评如潮：新颖，精炼，有品位，智慧，自然，活跃，从容，幽默；教者潇洒自如，上课得心应手，学生学得轻松，知识掌握牢固……
但也有这样的评价：有创意，有享受，但有争议；轻松、智慧、大气但有疑惑；满怀希望――比较失望；作秀――无意义……
有争议有质疑正是社会进步的表现，正是新的课程改革能够深化的动力。
质疑与争议的焦点在哪里呢？我们以“事实与证据”说话――课后即对部分听课教师（60人，其中江苏南通、北京各30人）做了问卷调查，调查结果如下：
您能接受这样的数学课吗？
能够接受（57%）
基本能接受，也就是认为可以偶尔为之，不可长期如此教学（37%）
不能接受（6%）
能够接受或不能够接受的理由
重视通过想象、思辨等思维活动来概括圆的特征；重视组织学生思考“为什么这样就可以画出圆”，重视数学史料的文化功能的挖掘，而不是将数学史料作为文化点缀。
亮点较多，前后呼应，有借鉴价值。
有助于学生思维品质的形成以及开发学生的创新潜能。
设计新颖，敢于放手，文化气息浓厚。
有效开发和培养学生的想象力。
来自学生中的错误较真实。
突破教材，思维活跃。
特级教师驾驭课堂的能力让人佩服，能适时对孩子进行思想品德教育。
“寻宝物”由一个平面拓展到立体，为学生的空间想象创造了平台，并告知学生提出一个问题比解决一个问题更重要。
偶尔上上可以，如果长期这样，后进生的情况不堪设想。
面对现状，教育不能只关注部分学生，而是要对全体学生负责。
&&学生有没有把知识学扎实？
不是人人能驾驭。
本课过分注重数学知识的人文背景，向学生充分展示了圆的文化内涵，可谓数学课堂文化气氛浓厚，但在基本的数学知识与数学能力方面，学生仍停留于上课之前的原始状态，朦朦胧胧的，并未上升到数学的理性与概括阶段，这不是数学课。
&&课堂教学超时。
总之，听课者担心基本知识和基本技能没有落实到位，不“扎实”。现在我们就来讨论其中的一些话题。
一、是教“定义”还是让学生经历“定义化”？
有的老师认为，华老师的课中，关于圆的半径、直径的定义及其它们之间的关系是一笔带过的，学生尤其是后进生能掌握圆的这些基本知识吗？
这位老师的评价非常中肯，本课确实淡化了这些概念的“定义”，相反却非常重视对这些概念本质的理解：
是什么（小明“寻宝”）：在思考与尝试中初步感知“圆是到定点的距离等于定长的点的轨迹”，初步感知确定“圆”的两个核心要素：圆心、半径。
为什么是圆：通过与正多边形的对比研究，再一次感悟到“圆”之所以为“圆”的关键是所有半径都相等。
怎么画圆：通过对学生“非圆”作品以及如何在篮球场上画一个大大的“圆”的分析，再一次强化“圆”之所以为“圆”的核心：到定点的距离都相等。
所以说，整堂课对对“圆”本质的理解不是“轻描淡写”，而是“浓墨重彩”，让学生真正理解“圆为什么是圆”这一个看似不是“问题”的重要“问题”。
我想老师的这种担心不无道理，因为在华老师的课上没有明确写出“圆心”、“半径”、“直径”的定义，也没有再进一步让学生练习这样的题目：给出半径的数据求直径或者给出直径的数据求半径；画出一个“圆”并标出一些非直径或者半径的“线段”让学生来判断；也没有出几个像“从圆心到圆上任意一点的距离都相等”之类的判断题，因而听课教师认为练习不够，不能很好地强化学生的理解，“后进生”怎么办？一句话，听课教师的心里不“塌实”。
但学生的后测结果表明，由于学生充分地经历了“圆”的形成过程，由于教学设计中处处以圆的两个核心要素为重点来展开教学，因此，即使课堂上不练习这样的“问题”学生仍然没有“问题”。
听课教师这种担心的背后实际上折射出教师的一种教学价值判断：我讲过的、练习过的“题目”就应该会解决，没有练过的就可能不会（甚至不会也是应该的）。教师的要求太低了，学习难道就是解决曾经解决过的问题？忘记了把握概念的本质并掌握解决问题的方法才是解决一切“问题”的法宝。
这种担心的背后更折射出教师的几何教学观：我们是教“定义”还是让学生经历“定义化”的过程？
对此，荷兰著名数学家、数学教育家弗赖登塔尔早就有过精辟的论述：
儿童用逻辑方法组织活动的能力有着一个持续但并不连续的发展过程。在最初阶段，他们通过手、眼以及各种感觉器官进行思维，经过一段时间的亲身体验，通过主动的反思（笔者注；核心是追问“为什么”），就会客观地描述这些低层次的活动，从而进入一个较高的层次。必须注意，这个高层次的达到，绝不能借助算法或形式地灌输来强加给他们。
我们实际的教学是否有很多是“借助算法或形式地灌输来强加给他们”的？展示几幅关于“圆”的美丽图片，再问问“这些都是什么形状”，抽象出“圆形”，紧接着就给出“圆心”、“直径”、“半径”的定义，并做练习巩固强化。这是小学的几何教学吗？靠这样的“形式化”的“强化”学生就理解了？学生就掌握了？学生对“几何”以及几何学习会有什么印象？
他还接着说：
演绎必须始于定义，它是演绎推理链中的重要一环。但苏格拉底的教学理论（笔者注，实际上就是弗赖登塔尔的主张）不主张用定义来引入几何对象，……它（定义）不是强加的，而是由直观萌芽逐步发展的，因而就学会了演绎地组织一个对象性质的方法。
在实际的科学研究工作中，多数定义不是事先想好的，而是组织、推理的结果。学生应该有这个权利，让他们自己来发现，这样既直观、自然，又有相对性，可以充分体会定义的必要和作用，并且掌握等价的定义。
对此，我们以一个案例来说明。为了了解学生对于“圆”的已有认识和经验到底有哪些，我们选择不同年级的学生做了前测，我以我女儿（小学三年级学生）作为观察对象，来了解学生对“圆”的认识，下面是其中的一段对话过程：
笔者：下面这幅图中哪条线段是直径？
女儿：妈妈，什么叫“直径”啊？
笔者：你自己看，自己决定吧。
女儿：3号是直径。&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
笔者：为什么啊？
女儿：因为它是“直直”的，“直径”、“直径”嘛！
笔者：其他的线段就不是“直直”的？
女儿：是斜的，哦，也是“直直”的，因为3号最长。
到底什么是“直径”？女儿创造的“定义”――圆上最长的线段――是否可以作为直径的等价定义？学生对于几何图形是否都有“直觉”？什么最容易被学生“直觉（知觉）”到？显然是“长度”，因此“距离”是学生学习、研究几何图形时最容易感知与理解的一个概念。
让学生在动手、动脑的操作中经历“圆”的形成过程，并追问“圆为什么是圆”的理性推理过程，使得“直径”、“半径”、“圆心”的定义呼之欲出，因此，完全可以让学生自己来“创造”定义进而理解定义。在华老师的课上，就是通过如何“标出”直径、半径来强调这一点的：
师：对，圆规两脚的距离就是半径。那现在我也来画一个圆！
生（几乎是喊着）：2倍关系！一半！（教师板书： d=2r。）
（该片段详见前文课堂实录，编者注）
&&&二、对于“圆”，学生有哪些已有认识？
&&&&听完华老师的课，有很多老师担心思维慢的学生，尤其是后进生真正掌握“圆”了吗？其顾虑仍然是前面所说的没有强化定义，没有做相应的练习（后测结果表明，教师多虑了）。即使是后进生，对前面所说的练习有困难吗？学生对“圆”到底有哪些已有认识？
对此，我们选择了北京市一所重点小学的六年级学生、北京市某郊区一所农村小学的五、六年级学生以问卷的形式进行调研，对我女儿以观察、访谈的形式进行了解，结果如下：
1．总体看，城市重点小学学生的得分远远高于农村学生的得分。
2．100%的学生能够正确地辨认出“圆形”，能够正确地标出哪条线段是直径。
3．填下面表格时，学生的差距比较大，但其原因不在于学生不理解直径与半径的关系，而在于：当学生追问“什么是直径”、“什么是半径”时，如果教师鼓励学生按照自己的理解来判断，学生解决表格中的问题，几乎都没有问题（除个别学生计算上的失误以及做某个填空时以为第一行给出的是半径，第二行给出的是直径）。而在做农村六年级学生的测试时，教师没有鼓励学生按照自己的理解来做，而是说“如果会就做，如果不知道就空着，不用填”，大约70%的学生没有做这个填空题。因此，从得分来看，五年级学生远远好于六年级学生。其原因不在于五年级学生比六年级学生知道得更多，思维水平更高，而在于教师的鼓励与“引导”，因此六年级的学生不是不会填写表格，而是他们完全“按照教师的要求去做”。
4．当要求学生画一个半径为3厘米的圆并标出一条半径、直径及圆心时，重点小学的学生几乎百分之百能够解答（除个别学生“徒手”画圆）。农村学生约50%是“徒手”画圆（几乎都像“圆”，学生在力图保证到“定点”的距离相等），约50%没有留下任何“痕迹”，卷面是空白的。
三年级学生解决这个问题的过程如下：
先是“徒手”画圆，感觉“不圆”，自己的归因是“不认真”，然后又“认真”地“徒手”画了一个“圆”，仍然有的地方“瘪进去”了，最后自己终于发现“要用圆规画圆”，找到圆规后就能正确地解决这个问题。
5．小明说：“圆没有棱角，是圆圆的。”他说得对吗？请把你的理由写下来。
几乎100%的学生认为他说的正确，但不能清晰地写出理由。个别学生认为他说得不对，例如，有学生说“圆不是没有棱角，而是有无数个棱角”，有的画出了圆的“圆心角”、“圆周角”，所以他认为“圆也有角”。
通过前测调研，我们认为学生对于圆的认识没有本质上的区别，对“圆”都有一种“直觉”，差距在于是否听说过“直径”、“半径”、“圆心”等名词术语，更大的差距在于学生是否敢于挑战自己：
学习敢于从自己“朴素”的理解开始吗？
敢于自己给某个概念下“定义”吗？
是否有尝试“错误”的愿望与勇气？
是否有“教师没有讲，我也能会”的自信心？
一句话，学生的差异不在于知识储备的多少，而在于是否有一定的学习方法与学生的数学学习观是什么。
三、数学文化该如何渗透？
有老师认为：本课过分注重数学知识的人文背景，向学生充分展示了圆的文化内涵……但在基本的数学知识与数学能力方面，学生并未上升到数学的理性与概括阶段。
真是这样吗？关于圆，“上升到数学的理性阶段与概括阶段”是什么样子？数学文化的价值是什么？
在当前的小学数学课堂教学中，老师们开始试图尝试数学文化的渗透，但现在也出现了偏颇：课堂上出现“古人说”、引用数学历史上的史料就算是渗透数学文化吗？对此，我们缺少对“什么是数学文化”以及如何发挥数学文化的教育价值的追问，“数学文化”因而很容易成为课堂教学的点缀与装饰品。
对于什么是“文化”，我不敢谈论，但文化应包括三个层面的内涵：器物、制度、精神。数学文化也是这样，课堂教学中数学文化绝不能仅仅是“器物”的呈现，更重要的是制度（原理、方法等）、精神与信念的渗透，是用来帮助揭示教学内容的本质，要用得恰到好处。
在华老师的课上，当学生经过操作、追问等活动理解了“圆为什么是圆”后，引出《墨经》中的“圆，一中同长也”，学生感悟到的是：我们非常聪明、古人更聪明，那么早就能够抓住事物的本质，更能体验到中国语言文字是高度凝练与概括的，进而体验到民族自豪感。
当学生学会利用“对比”的研究方法，分析正多边形与圆的联系与区别后，并利用“课件”真正“看到”正N边形（当N越来越大）就是“圆”时，出示老子的经典概括“大方无隅”，学生的感悟又会是什么？除了前面所提之外，是否又从另一个角度高度概括了圆的本质？是否让学生初步感悟到了“量变导致质变”的哲学思想？是否让学生体验到了“无限”世界中的神奇与美妙？
当学生利用圆规画圆后，教师出示“没有规矩，不成方圆”，学生是否体验到了成语的内涵？是否体验到了语文与数学的密切关系？是否体验到要换个角度看待所要学习的各学科？
当学生不能用圆规画操场中的大圆，而是想尽一切“办法”画圆后，教师又出示“没有规矩，不成方圆”，学生是否感悟到画圆不在于是否必须用“规”，而在于必须满足“到定点的距离等于定长”这一圆的本质特征？从而理解“规矩”并不是具体的“规”与“矩”，而是“道理”或者“原理”？再进而明白这也是做人和做研究的道理。
经历这样的教学过程，学生理解了“圆，一中同长也”、“大方无隅”、“没有规矩，不成方圆”这三句话，还不是对圆的本质以及特征的高度概括吗？
课堂教学永远是“我的地盘我做主”。其前提是：把握学科本质+研究学生。
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